Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri kavramlar matematiksel analiz. Bu fonksiyonun tanımlandığı kümenin bir noktasında bir fonksiyon tarafından alınan değere, fonksiyon kümenin başka herhangi bir noktasında daha büyük (daha küçük) bir değere sahip değilse, bu kümedeki en büyük (en küçük) değer olarak adlandırılır. N. ve n. h. f. Yeterince yakın tüm noktalardaki değerleriyle karşılaştırıldığında, fonksiyonun ekstrema (sırasıyla, maksimum ve minimum) olarak adlandırılır. N. ve n. h. f., bir segment üzerinde verilen, türevin sıfıra eşit olduğu noktalarda veya olmadığı noktalarda veya segmentin uçlarında elde edilebilir. Bir segmentte verilen sürekli bir fonksiyon mutlaka maksimum ve minimum değerlerine ulaşır; bir aralıkta sürekli bir işlev düşünülürse (yani, uçları hariç tutulan bir segment), o zaman bu aralıktaki değerleri arasında maksimum veya minimum olmayabilir. Örneğin, işlev de = x aralığında verilen , sırasıyla en büyük ve en küçük değerlere ulaşır. x= 1 ve x= 0 (yani, segmentin sonunda); Bu işlevi (0; 1) aralığında düşünürsek, o zaman bu aralıktaki değerleri arasında ne en büyüğü ne de en küçüğü vardır, çünkü her biri için x0 bu aralığın her zaman sağda (solda) yatan bir noktası vardır x0, ve fonksiyonun bu noktadaki değeri, noktasından daha büyük (sırasıyla daha az) olacak şekilde x0. Benzer ifadeler birkaç değişkenli fonksiyonlar için geçerlidir. Ayrıca bkz. Extreme.
Büyük sovyet ansiklopedisi. - M.: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .
Diğer sözlüklerde "Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin" neler olduğunu görün:
Büyük ansiklopedik sözlük
Matematiksel analiz kavramları. Bu fonksiyonun verildiği kümenin bir noktasında fonksiyon tarafından alınan değere bu kümedeki en büyük (en küçük) denir, eğer başka hiçbir noktada fonksiyonun daha büyük (daha küçük) değeri yoksa ... ... ansiklopedik sözlük
Matematik kavramları. analiz. Kümenin belirli bir noktasında fonksiyonun aldığı değere, bu fonksiyona verilen par rum denir. bu kümedeki en büyük (en küçük), başka hiçbir noktada fonksiyon daha büyük (daha küçük) bir değere sahip değilse ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük
MAKSİMUM VE MİNİMUM FONKSİYON- sırasıyla, yeterince yakın noktalarda değerlerine kıyasla fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri. Yüksek ve düşük noktalara uç noktalar denir... Büyük Politeknik Ansiklopedisi
Gerçek değerler alan bir fonksiyonun en büyük ve buna göre en küçük değerleri. Söz konusu fonksiyonun tanım alanının maksimum veya minimum aldığı noktasına denir. sırasıyla maksimum nokta veya minimum nokta ... ... Matematik Ansiklopedisi
İşlevsel sistemler ve üçlü mantık teorisindeki üçlü bir işlev, üçlü bir küme olan ve işlevin aritesi veya yerelliği olarak adlandırılan negatif olmayan bir tam sayı olan bir tür işlevidir. Kümenin elemanları dijitaldir ... ... Wikipedia
Boole fonksiyonlarının normal formlarla temsili (bkz. Boole fonksiyonlarının Normal formları). bazı karmaşıklık ölçülerine göre en basiti. Genellikle, normal bir formun karmaşıklığı, içindeki harf sayısı olarak anlaşılır. Bu durumda, en basit forma denir ... ... Matematik Ansiklopedisi
Argüman sonsuz küçük artışlarla arttıkça sonsuz küçük artışlar alan bir işlev. Tek değerli bir fonksiyon f (x), x0 argümanının değeri için sürekli olarak adlandırılır, eğer x argümanının x0'dan yeterince farklı olan tüm değerleri için ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
- (Latin maksimum ve minimum, kelimenin tam anlamıyla en büyük ve en küçük) (Matematik), bir fonksiyonun değerlerine göre en büyük ve en küçük değerleri, yeterince yakın noktalarda. Şekilde, y \u003d f (x) fonksiyonunun x1 ve x3 noktalarında ve x2 ... ... noktasında maksimum değeri vardır. ansiklopedik sözlük
- (Latince maksimum ve minimum, en büyük ve en küçük) (matematiksel), bir fonksiyonun yeterince yakın noktalarda değerlerine kıyasla en büyük ve en küçük değerleri. Yüksek ve düşük noktalara uç noktalar denir... Modern Ansiklopedi
Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız var. Sonraki akademik yıl, herkes tatile gitmek istiyor ve bu anı yakınlaştırmak için hemen işe koyuluyorum:
Alanla başlayalım. Koşulda belirtilen alan, sınırlı kapalı düzlemdeki noktalar kümesi. Örneğin, ENTIRE üçgeni de dahil olmak üzere bir üçgenle sınırlanmış bir dizi nokta (eğer sınırlar En az bir noktayı “dışarı atın”, ardından alan artık kapanmayacaktır). Pratikte dikdörtgen, yuvarlak ve biraz daha karmaşık şekillerde alanlar da vardır. Unutulmamalıdır ki matematiksel analiz teorisinde katı tanımlar verilir. sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ama bence herkes bu kavramların sezgisel düzeyde farkında ve şimdi daha fazlasına gerek yok.
Düz alan standart olarak harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak verilir - birkaç denklemle (doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik bir sözlü devir: "çizgilerle sınırlandırılmış kapalı alan".
Söz konusu görevin ayrılmaz bir parçası, çizimdeki alanın inşasıdır. Nasıl yapılır? Listelenen tüm çizgilerin çizilmesi gerekir ( bu durum 3 Düz) ve ne olduğunu analiz edin. İstenilen alan genellikle hafifçe taranır ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulanır: 
Aynı alan ayarlanabilir doğrusal eşitsizlikler: , bir nedenden dolayı daha sık bir numaralandırma listesi olarak yazılır ve sistem.
Sınır bölgeye ait olduğundan, tüm eşitsizlikler elbette, katı olmayan.
Ve şimdi meselenin püf noktası. Eksenin koordinatların orijininden doğruca size gittiğini hayal edin. bir fonksiyon düşünün sürekli her birinde alan noktası. Bu fonksiyonun grafiği yüzey ve küçük mutluluk, bugünün sorununu çözmek için bu yüzeyin neye benzediğini bilmemize gerek olmamasıdır. Yukarıda, aşağıda, uçağı geçebilir - tüm bunlar önemli değil. Ve aşağıdakiler önemlidir: göre Weierstrass teoremleri, sürekli içinde sınırlı kapalı alan, fonksiyon maksimum değerine ulaşır ("en yüksek") ve en az ("en düşük"ten) bulunması gereken değerler. Bu değerlere ulaşılır veya içinde sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu bölgenin sınırında yatan noktalarda. Basit ve şeffaf bir çözüm algoritması izler:
örnek 1
Sınırlı bir kapalı alanda
Karar: Öncelikle alanı çizimde göstermeniz gerekiyor. Ne yazık ki, problemin etkileşimli bir modelini yapmak benim için teknik olarak zor ve bu nedenle, çalışma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son örneği hemen vereceğim. Genellikle bulundukları gibi birbiri ardına konurlar: 
Önsöze dayanarak, karar uygun bir şekilde iki noktaya ayrılabilir:
I) Durağan noktaları bulalım. Bu, derste tekrar tekrar yaptığımız standart bir eylemdir. birkaç değişkenin aşırılığı hakkında:
Sabit nokta bulundu ait alanlar: (çizimde işaretleyin), bu, belirli bir noktada fonksiyonun değerini hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:
- makaledeki gibi Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri, önemli sonuçları kalın harflerle vurgulayacağım. Bir defterde, onları bir kalemle daire içine almak uygundur.
İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok bir ekstremum için yeterli koşul. Niye ya? Örneğin, fonksiyonun ulaştığı noktada bile, yerel minimum, o zaman bu, elde edilen değerin olacağı ANLAMINA GELMEZ en az bölge genelinde (dersin başlangıcına bakın koşulsuz aşırılıklar hakkında) .
Ya durağan nokta alana ait DEĞİLSE? Hemen hemen hiçbir şey! Unutulmamalı ve bir sonraki paragrafa geçilmelidir.
II) Bölgenin sınırını araştırıyoruz.
Bordür bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt paragrafa bölmek uygundur. Ama hiçbir şekilde yapmamak daha iyidir. Benim bakış açıma göre, ilk başta koordinat eksenlerine paralel olan segmentleri ve her şeyden önce eksenlerin üzerinde bulunanları düşünmek daha avantajlıdır. Tüm sırayı ve eylemlerin mantığını yakalamak için, "tek nefeste" sonunu incelemeye çalışın:
1) Üçgenin alt tarafıyla ilgilenelim. Bunu yapmak için, doğrudan işlevin yerine geçeriz:
Alternatif olarak, bunu şöyle yapabilirsiniz: 
Geometrik olarak, bu şu anlama gelir: koordinat uçağı (ki bu da denklem tarafından verilir)"kesmek" yüzeyler tepesi hemen şüphe altına giren "mekansal" parabol. Hadi bulalım O nerede:
- sonuçta ortaya çıkan değer bölgede "isabet" ve bu noktada olabilir (çizimde işaretleyin) fonksiyon tüm alandaki en büyük veya en küçük değere ulaşır. Her neyse, hesaplamaları yapalım:
Diğer "adaylar", elbette, segmentin sonlarıdır. Noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın 
(çizimde işaretleyin):
Bu arada, "soyulmuş" versiyon üzerinde sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz: 
2) Üçgenin sağ tarafını incelemek için, onu fonksiyonun yerine koyarız ve “orada işleri sıraya koyarız”:
Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu “çaldırarak” hemen kaba bir kontrol gerçekleştiriyoruz:
, mükemmel.
Geometrik durum bir önceki noktayla ilgilidir:
- ortaya çıkan değer de “ilgi alanlarımızın kapsamına girdi”, yani ortaya çıkan noktada fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerekiyor:
Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:
işlevi kullanma 
, Hadi kontrol edelim: 
3) Herkes muhtemelen kalan tarafı nasıl keşfedeceğini biliyor. Fonksiyonu değiştiriyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:
Satır biter 
zaten araştırıldı, ancak taslakta işlevi doğru bulup bulmadığımızı hala kontrol ediyoruz 
:
– 1. alt paragrafın sonucuyla çakıştı;
– 2. alt paragrafın sonucu ile çakıştı.
Segmentin içinde ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalır:
- orada! Denklemde düz bir çizgi koyarak, bu “ilginçliğin” koordinatını elde ederiz:
Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:
Hesapları "bütçe" versiyonuna göre kontrol edelim 
:
, sipariş.
Ve son adım: Tüm "şişman" sayılara DİKKATLİCE bakın, yeni başlayanlara bile beste yapmalarını tavsiye ederim tek liste:
en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap bulma problemi tarzında yaz aralıktaki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:
Duruma göre tekrar yorum yapacağım. geometrik anlamda sonuç:
- işte en çok yüksek nokta bölgedeki yüzeyler;
- işte bölgedeki yüzeyin en alçak noktası.
Analiz edilen problemde 7 "şüpheli" nokta bulduk, ancak sayıları görevden göreve değişiyor. Üçgen bir bölge için, minimum "keşif kümesi" üç noktadan oluşur. Bu, örneğin işlev ayarlandığında olur. uçak- Durağan noktaların olmadığı ve fonksiyonun maksimum / minimum değerlere sadece üçgenin köşelerinde ulaşabildiği oldukça açıktır. Ancak bir, iki kez böyle bir örnek yoktur - genellikle bir tür sorunla uğraşmanız gerekir. 2. sıranın yüzeyi.
Bu tür görevleri biraz çözerseniz üçgenler başınızı döndürebilir ve bu yüzden size kare yapmak için sıra dışı örnekler hazırladım :))
Örnek 2
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun 
kapalı bir alanda çizgilerle sınırlanmış
Örnek 3
Sınırlı bir kapalı alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
Özel dikkat Alanın sınırlarını incelemenin rasyonel düzenine ve tekniğine ve ayrıca hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek olan ara kontroller zincirine dikkat edin. Genel olarak konuşursak, istediğiniz gibi çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin aynı Örnek 2'de, hayatınızı önemli ölçüde karmaşıklaştırma şansı vardır. Dersin sonunda bitirme ödevlerine yaklaşık bir örnek.
Çözüm algoritmasını sistematize ediyoruz, aksi takdirde, bir örümcek titizliğimle, bir şekilde 1. örneğin uzun bir yorum dizisinde kayboldu:
- İlk adımda, bir alan oluşturuyoruz, onu gölgelendirmek ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulamak isteniyor. Çözüm sırasında, çizime konması gereken noktalar görünecektir.
– Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece bunlarda, bölgeye ait olan . Elde edilen değerler metinde vurgulanır (örneğin, bir kalemle daire içine alınır). Duran nokta alana ait DEĞİLSE, bu durumu bir simge veya sözlü olarak işaretliyoruz. Hiç durağan nokta yoksa, onların bulunmadığına dair yazılı bir sonuç çıkarıyoruz. Her durumda, bu öğe atlanamaz!
– Sınır bölgesini keşfetmek. İlk olarak, koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgilerle uğraşmak avantajlıdır. (Eğer varsa). "Şüpheli" noktalarda hesaplanan fonksiyon değerleri de vurgulanır. Yukarıdaki çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey söylenecek - okuyun, tekrar okuyun, araştırın!
- Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçin ve bir cevap verin. Bazen, fonksiyon aynı anda birkaç noktada bu tür değerlere ulaşır - bu durumda, tüm bu noktalar cevaba yansıtılmalıdır. Örneğin, 
ve bunun en küçük değer olduğu ortaya çıktı. O zaman şunu yazarız
Son örnekler, pratikte kullanışlı olacak diğer faydalı fikirlere ayrılmıştır:
Örnek 4
Kapalı bir alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun 
.
Alanın çift eşitsizlik olarak verildiği yazarın formülasyonunu tuttum. Bu koşul, bu problem için eşdeğer bir sistemde veya daha geleneksel bir biçimde yazılabilir: 
ile hatırlatırım doğrusal olmayanüzerinde eşitsizlikler ile karşılaştık ve eğer girdinin geometrik anlamını anlamadıysanız lütfen gecikmeden duruma açıklık getirin ;-)
Karar, her zaman olduğu gibi, bir tür "taban" olan alanın inşasıyla başlar: 
Hmm, bazen sadece bilimin granitini kemirmek zorunda değilsin ....
I) Durağan noktaları bulun: 
Aptalın rüya sistemi :) 
Durağan nokta bölgeye aittir, yani sınırındadır.
Ve böylece, hiçbir şey değil ... eğlenceli ders gitti - doğru çayı içmek bu demektir =)
II) Bölgenin sınırını araştırıyoruz. Lafı fazla uzatmadan x ekseni ile başlayalım:
1) ise, o zaman
Parabolün tepesinin nerede olduğunu bulun:
- Bu tür anları takdir edin - her şeyin zaten açık olduğu noktaya "vurun". Ama kontrol etmeyi unutmayın: 
Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım: 
2) C alt kısım"Tek oturuşta" "tabanları" bulalım - fonksiyona değiştirdiğimiz herhangi bir kompleks olmadan, ayrıca sadece segmentle ilgileneceğiz:
Kontrol:
Şimdi bu, tırtıllı bir pistte monoton sürüşe biraz canlanma getiriyor. Kritik noktaları bulalım:
biz karar veririz ikinci dereceden denklem bunu hatırlıyor musun? ... Ancak, elbette unutmayın, aksi takdirde bu satırları okumazdınız =) Önceki iki örnekte ondalık kesirlerdeki hesaplamalar uygun olsaydı (ki bu arada, nadirdir), o zaman burada bekliyoruz olağan ortak kesirler. “X” köklerini buluyoruz ve denklemi kullanarak “aday” noktaların ilgili “oyun” koordinatlarını belirliyoruz: 
Bulunan noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayalım: 
Fonksiyonu kendiniz kontrol edin.
Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz Cevap:
İşte "adaylar", yani "adaylar"!
Bağımsız bir çözüm için:
Örnek 5
Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun 
kapalı bir alanda 
Kıvrımlı parantezler içeren bir giriş şu şekildedir: "böyle bir nokta kümesi".
Bazen bu tür örneklerde kullandıkları Lagrange çarpan yöntemi, ancak gerçek kullanım ihtiyacının ortaya çıkması olası değildir. Bu nedenle, örneğin, aynı alana "de" sahip bir fonksiyon verilirse, o zaman ikame edildikten sonra - hiçbir zorluk türevi olmadan; üstelik, üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı düşünmeye gerek kalmadan her şey “tek bir satırda” (işaretlerle) çizilir. Ancak, elbette, Lagrange fonksiyonunun olmadığı daha karmaşık durumlar da vardır. (burada, örneğin, aynı daire denklemidir) geçinmek zor - iyi bir dinlenmeden geçinmek ne kadar zor!
Seansı geçmek için en iyisi ve yakında gelecek sezon görüşmek üzere!
Çözümler ve cevaplar:
Örnek 2: Karar: çizimdeki alanı çizin:
Bu yazıda bahsedeceğim en büyük ve en küçük değeri bulmak için algoritma fonksiyon, minimum ve maksimum noktalar.
Teoriden, kesinlikle ihtiyacımız olacak türev tablosu ve farklılaşma kuralları. Hepsi bu panoda:
En büyük ve en küçük değerleri bulmak için algoritma.
Somut bir örnekle açıklamayı daha kolay buluyorum. Düşünmek:
Misal:[–4;0] doğru parçasında y=x^5+20x^3–65x fonksiyonunun en büyük değerini bulun.
Aşama 1. türevini alıyoruz.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Adım 2 Ekstremum noktaları bulma.
uç nokta fonksiyonun maksimum veya minimum değerine ulaştığı noktaları adlandırıyoruz.
Uç noktaları bulmak için fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemek gerekir (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Şimdi bunu çözelim ikinci dereceden denklem ve bulunan kökler bizim ekstremum noktalarımızdır.
Bu tür denklemleri t = x^2, ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0 değiştirerek çözerim.
Denklemi 5 ile azaltın, şunu elde ederiz: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Ters ikameyi x^2 = t yaparız:
X_(1 ve 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ve 4) = ±sqrt(-13) (hariç tutuyoruz, kökün altında negatif sayılar olamaz, tabii ki karmaşık sayılardan bahsetmiyorsak)
Toplam: x_(1) = 1 ve x_(2) = -1 - bunlar bizim uç noktalarımızdır.
Aşama 3 En büyük ve en küçük değeri belirleyin.
İkame yöntemi.
Bu durumda bize [b][–4;0] segmenti verildi. x=1 noktası bu parçaya dahil değildir. O yüzden dikkate almıyoruz. Ancak x=-1 noktasına ek olarak, segmentimizin sol ve sağ sınırlarını, yani -4 ve 0 noktalarını da dikkate almamız gerekiyor. Bunu yapmak için, tüm bu üç noktayı orijinal fonksiyona yerleştiriyoruz. Orijinalin (y=x^5+20x^3–65x) koşulunda verilen olduğuna dikkat edin, bazıları türevde ikame etmeye başlar...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Bu, fonksiyonun maksimum değerinin [b]44 olduğu ve [-4; 0].
Karar verdik ve bir cevap aldık, harikayız, rahatlayabilirsiniz. Ama dur! y(-4) saymanın bir şekilde çok karmaşık olduğunu düşünmüyor musun? Kısıtlı zaman koşullarında, başka bir yöntem kullanmak daha iyidir, ben buna şöyle derim:
Sabitlik aralıkları boyunca.
Bu boşluklar, fonksiyonun türevi için, yani bizim biquadratik denklemimiz için bulunur.
Aşağıdaki şekilde yapıyorum. Bir yön çizgisi çiziyorum. Noktaları belirledim: -4, -1, 0, 1. Verilen segmente 1 dahil edilmemesine rağmen, sabitlik aralıklarını doğru bir şekilde belirlemek için yine de not edilmelidir. 1'den birçok kez büyük bir sayı alalım, diyelim ki 100, bunu zihinsel olarak 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 ikili denklemimizin yerine koyalım. Hiçbir şey saymadan bile, 100 noktasında açıkça ortaya çıkıyor. fonksiyon artı işaretine sahiptir. Bu, 1'den 100'e kadar olan aralıklar için artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sağdan sola gidiyoruz) fonksiyon işareti eksi olarak değiştirecektir. 0 noktasından geçerken, fonksiyon işaretini koruyacaktır, çünkü bu sadece segmentin sınırıdır ve denklemin kökü değildir. -1'den geçerken, fonksiyon işareti tekrar artı olarak değiştirecektir.
Teoriden, fonksiyonun türevinin nerede olduğunu biliyoruz (ve bunun için bunu çizdik) işareti artıdan eksiye değiştirir (bizim durumumuzda -1 noktası) fonksiyon ulaşır yerel maksimum (y(-1)=44 daha önce hesaplandığı gibi) bu segmentte (bu mantıksal olarak çok açık, fonksiyon maksimuma ulaştığı ve azalmaya başladığı için artmayı bıraktı).
Buna göre, fonksiyonun türevi nerede işareti eksiden artıya değiştirir, ulaşıldı bir fonksiyonun yerel minimumu. Evet, evet, 1 olan yerel minimum noktayı da bulduk ve y(1), fonksiyonun aralıktaki minimum değeridir, diyelim ki -1'den +∞'ye. Lütfen bunun yalnızca YEREL MİNİMUM, yani belirli bir segmentte minimum olduğunu unutmayın. Gerçek (küresel) minimum işlev orada bir yere ulaşacağından, -∞ içinde.
Bence birinci yöntem teorik olarak daha basit, ikincisi ise aritmetik işlemler açısından daha basit ama teorik olarak çok daha zor. Sonuçta, bazen denklemin kökünden geçerken fonksiyonun işaretini değiştirmediği durumlar vardır ve gerçekten de bu yerel, küresel maksimum ve minimumlarla karıştırabilirsiniz, ancak yine de planlıyorsanız bu konuda ustalaşmanız gerekecek. girmek teknik Üniversite(ve neden başka türlü teslim profil sınavı ve bu sorunu çözün). Ancak pratik yapın ve yalnızca pratik yapın, size bu tür sorunları bir kez ve herkes için nasıl çözeceğinizi öğretecektir. Ve sitemizde eğitim alabilirsiniz. Burada .
Herhangi bir sorunuz varsa veya net olmayan bir şey varsa, sorduğunuzdan emin olun. Size cevap vermekten ve makaleye değişiklik, ekleme yapmaktan memnuniyet duyacağım. Bu siteyi birlikte yaptığımızı unutmayın!
Pratik açıdan en ilginç olanı, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmak için türevin kullanılmasıdır. Neyle bağlantılı? Kârları maksimize etmek, maliyetleri minimize etmek, en uygun ekipman yükünü belirlemek... Yani hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme problemini çözmek gerekiyor. Ve bu, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma problemidir.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin genellikle, fonksiyonun tüm etki alanı veya etki alanının bir parçası olan bir X aralığında arandığına dikkat edilmelidir. X aralığının kendisi bir doğru parçası, açık bir aralık olabilir. 
, sonsuz bir aralık .
Bu yazımızda tek değişkenli y=f(x) açık olarak verilen bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaktan bahsedeceğiz.
Sayfa gezintisi.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.
Kısaca ana tanımlar üzerinde duralım.
fonksiyonun en büyük değeri 
, herhangi biri için 
eşitsizlik doğrudur.
Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x) böyle bir değer olarak adlandırılır. 
, herhangi biri için eşitsizlik doğrudur.
Bu tanımlar sezgiseldir: bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsis ile incelenen aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.
Sabit noktalar fonksiyonun türevinin kaybolduğu argümanın değerleridir.
En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden durağan noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktada ekstremumu (yerel minimum veya yerel maksimum) varsa, bu noktanın durağan olduğu sonucu çıkar. Böylece, fonksiyon genellikle maksimum (en küçük) değerini X aralığında bu aralıktaki durağan noktalardan birinde alır.
Ayrıca bir fonksiyon genellikle bu fonksiyonun birinci türevinin olmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda en büyük ve en küçük değerleri alabilir.
Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: "Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?" Hayır her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım kümesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda, fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında hiçbir şey söylenemez.
Netlik için grafik bir örnek veriyoruz. Resimlere bakın - ve çok şey netleşecek.
segmentte
İlk şekilde fonksiyon, segment [-6;6] içindeki durağan noktalarda en büyük (max y ) ve en küçük (min y ) değerleri almaktadır.
İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirin. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri durağan bir noktada ve en büyüğü - aralığın sağ sınırına karşılık gelen bir apsisli bir noktada elde edilir.
Şekil No. 3'te, [-3; 2] parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.
açık aralıkta
Dördüncü şekilde, fonksiyon açık aralık (-6;6) içindeki durağan noktalarda en büyük (max y ) ve en küçük (min y ) değerleri almaktadır.
Aralıkta, en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.
sonsuzda
Yedinci şekilde gösterilen örnekte, fonksiyon apsisi x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y ) alır ve en küçük değere (min y ) aralığın sağ sınırında ulaşılır. Eksi sonsuzda, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak yaklaşır y=3 .
Aralıkta, işlev en küçük veya en büyük değere ulaşmaz. x=2 sağa doğru meylettiği için fonksiyon değerleri eksi sonsuz olma eğilimindedir (düz çizgi x=2 dikey bir asimptottur) ve apsis artı sonsuz olma eğiliminde olduğu için fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. . Bu örneğin grafik bir gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.
Segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.
Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazıyoruz.
- Fonksiyonun etki alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
- Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işaretinin altındaki bir argümana sahip fonksiyonlarda ve güç fonksiyonları kesirli bir rasyonel üs ile). Böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya gidin.
- Segmente giren tüm durağan noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Sabit nokta yoksa veya hiçbiri segmente girmiyorsa, bir sonraki adıma geçin.
- Fonksiyonun değerlerini seçilen durağan noktalarda (varsa), birinci türevin olmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
- Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyük ve en küçüğü seçiyoruz - sırasıyla fonksiyonun istenen maksimum ve en küçük değerleri olacaklar.
Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir örnek çözerken algoritmayı analiz edelim.
Misal.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun
- segmentte;
- [-4;-1] aralığında.
Karar.
Fonksiyonun etki alanı tüm kümedir. gerçek sayılar, yani sıfır hariç, . Her iki segment de tanım alanına girer.
Fonksiyonun türevini şuna göre buluruz: 
Açıkçası, fonksiyonun türevi segmentlerin tüm noktalarında bulunur ve [-4;-1] .
Durağan noktalar denklemden belirlenir. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.
İlk durumda, fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve durağan bir noktada hesaplıyoruz, yani x=1 , x=2 ve x=4 için: 
Bu nedenle, fonksiyonun en büyük değeri 
x=1'de ulaşılır ve en küçük değer 
– x=2'de.
İkinci durumda, işlevin değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir sabit nokta içermediğinden): 
Karar.
Fonksiyonun kapsamı ile başlayalım. kare üç terimli bir kesrin paydası kaybolmamalıdır: 
Problemin durumundan itibaren tüm aralıkların fonksiyonun etki alanına ait olduğunu kontrol etmek kolaydır.
Fonksiyonu ayırt edelim: 
Açıktır ki, türev, fonksiyonun tüm alanında mevcuttur.
Durağan noktaları bulalım. Türev de kaybolur. Bu durağan nokta (-3;1] ve (-3;2) aralıkları içindedir.
Ve şimdi her noktada elde edilen sonuçları fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırabilirsiniz. Mavi noktalı çizgiler asimptotları gösterir.
Bu, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmakla sona erebilir. Bu makalede tartışılan algoritmalar, minimum işlemle sonuç almanızı sağlar. Bununla birlikte, önce fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek ve ancak bundan sonra fonksiyonun herhangi bir aralıktaki en büyük ve en küçük değeri hakkında sonuçlar çıkarmak faydalı olabilir. Bu, sonuçların daha net bir resmini ve kesin bir gerekçesini verir.
$z=f(x,y)$ fonksiyonunun bazı sınırlı kapalı $D$ etki alanında tanımlı ve sürekli olmasına izin verin. Verilen fonksiyonun bu bölgede birinci mertebeden sonlu kısmi türevleri olsun (sonlu sayıda nokta hariç). Belirli bir kapalı bölgede iki değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için basit bir algoritmanın üç adımı gereklidir.
$D$ kapalı alanındaki $z=f(x,y)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.
- $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $D$ bölgesine ait kritik noktalarını bulun. Kritik noktalarda fonksiyon değerlerini hesaplayın.
- Olası maksimum ve minimum değerlerin noktalarını bularak $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $D$ bölgesinin sınırındaki davranışını araştırın. Elde edilen noktalarda fonksiyon değerlerini hesaplayın.
- Önceki iki paragrafta elde edilen fonksiyon değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.
Kritik noktalar nelerdir? göster/gizle
Altında kritik noktalar her iki birinci dereceden kısmi türevin de sıfıra eşit olduğu noktaları ima eder (yani, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ve $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) veya en az bir kısmi türev mevcut değildir.
Genellikle birinci mertebeden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu noktalara denir. sabit noktalar. Bu nedenle, durağan noktalar kritik noktaların bir alt kümesidir.
Örnek 1
$z=x^2+2xy-y^2-4x$ fonksiyonunun $x=3$, $y=0$ ve $y=x çizgileriyle sınırlanan kapalı bölgede maksimum ve minimum değerlerini bulun +1$.
Yukarıdakileri takip edeceğiz, ancak önce $D$ harfiyle göstereceğimiz belirli bir alanın çizimi ile ilgileneceğiz. Bize bu alanı sınırlayan üç düz çizginin denklemleri verildi. $x=3$ düz çizgisi, y eksenine (Oy eksenine) paralel $(3;0)$ noktasından geçer. Düz çizgi $y=0$, apsis ekseninin (Öküz ekseni) denklemidir. $y=x+1$ düz bir çizgi oluşturmak için, bu düz çizgiyi çizeceğimiz iki nokta bulalım. Elbette, $x$ yerine birkaç keyfi değeri değiştirebilirsiniz. Örneğin, $x=10$ yerine şunu elde ederiz: $y=x+1=10+1=11$. $(10;11)$ noktasını $y=x+1$ doğrusu üzerinde bulduk. Ancak, $y=x+1$ doğrusunun $x=3$ ve $y=0$ doğrularıyla kesiştiği noktaları bulmak daha iyidir. Neden daha iyi? Çünkü bir taşla birkaç kuş koyacağız: $y=x+1$ düz çizgisini oluşturmak için iki puan alacağız ve aynı zamanda bu düz çizginin verilenleri sınırlayan diğer çizgileri hangi noktalarda kestiğini bulacağız. alan. $y=x+1$ doğrusu $x=3$ doğrusunu $(3;4)$ noktasında ve $y=0$ doğrusunu $(-1;0)$ noktasında kesiyor. Çözümün gidişatını yardımcı açıklamalarla karıştırmamak için bu iki noktanın elde edilmesi meselesini bir not olarak belirteceğim.
$(3;4)$ ve $(-1;0)$ puanları nasıl elde edildi? göster/gizle
$y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının kesişme noktasından başlayalım. İstenen noktanın koordinatları hem birinci hem de ikinci satırlara aittir, bu nedenle bilinmeyen koordinatları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:
$$ \left \( \begin(hizalı) & y=x+1;\\ & x=3. \end(hizalı) \sağ. $$
Böyle bir sistemin çözümü önemsizdir: elde edeceğimiz ilk denklemde $x=3$ yerine koyarsak: $y=3+1=4$. $(3;4)$ noktası, $y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının istenen kesişme noktasıdır.
Şimdi $y=x+1$ ve $y=0$ doğrularının kesişme noktasını bulalım. Yine denklem sistemini oluşturup çözüyoruz:
$$ \left \( \begin(hizalı) & y=x+1;\\ & y=0. \end(hizalı) \sağ. $$
İlk denklemde $y=0$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ noktası, $y=x+1$ ve $y=0$ (apsis ekseni) doğrularının istenen kesişme noktasıdır.
Her şey şöyle görünecek bir çizim oluşturmaya hazır:
Notun sorusu bariz görünüyor, çünkü şekilden her şey görülebilir. Ancak, çizimin kanıt olarak hizmet edemeyeceğini hatırlamakta fayda var. Şekil, netlik için sadece bir örnektir.
Alanımız, onu sınırlayan doğruların denklemleri kullanılarak belirlendi. Bu çizgilerin bir üçgeni tanımladığı çok açık, değil mi? Yoksa çok açık değil mi? Ya da belki bize aynı çizgilerle sınırlanmış farklı bir alan verilmiştir:
Tabii durum, alanın kapalı olduğunu söylüyor, dolayısıyla gösterilen resim yanlış. Ancak bu tür belirsizliklerden kaçınmak için bölgeleri eşitsizliklerle tanımlamak daha iyidir. Biz uçağın $y=x+1$ çizgisinin altındaki kısmıyla ilgileniyoruz? Tamam, yani $y ≤ x+1$. Alanımız $y=0$ çizgisinin üzerinde mi olmalıdır? Harika, yani $y ≥ 0$. Bu arada, son iki eşitsizlik kolayca tek bir eşitsizlikte birleştirilebilir: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(hizalı) \sağ. $$
Bu eşitsizlikler $D$ alanını tanımlar ve herhangi bir belirsizlik olmaksızın benzersiz bir şekilde tanımlar. Ancak bu, dipnotun başındaki soruda bize nasıl yardımcı olur? Ayrıca yardımcı olacaktır :) $M_1(1;1)$ noktasının $D$ bölgesine ait olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Bu bölgeyi tanımlayan eşitsizlikler sistemine $x=1$ ve $y=1$ yerine koyalım. Her iki eşitsizlik de sağlanırsa, nokta bölgenin içindedir. Eşitsizliklerden en az biri sağlanmazsa, nokta bölgeye ait değildir. Böyle:
$$ \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(hizalı) \sağ. \;\; \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(hizalanmış) \sağ.$$
Her iki eşitsizlik de doğrudur. $M_1(1;1)$ noktası, $D$ bölgesine aittir.
Şimdi, etki alanının sınırındaki fonksiyonun davranışını araştırma sırası, yani. git. $y=0$ düz çizgisiyle başlayalım.
Düz çizgi $y=0$ (apsis ekseni), $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $y=0$ yerine koy verilen fonksiyon$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Bir $x$ değişkeninin sonuçtaki ikame işlevi $f_1(x)$ olarak gösterilecektir:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Şimdi $f_1(x)$ fonksiyonu için $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
$x=2$ değeri, $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentine aittir, dolayısıyla noktalar listesine $M_2(2;0)$ da ekleriz. Ek olarak, $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinin uçlarında $z$ fonksiyonunun değerlerini hesaplıyoruz, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_4(3;0)$ noktalarında. Bu arada, $M_2$ noktası, incelenen segmente ait değilse, o zaman, elbette, içindeki $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamaya gerek kalmayacaktı.
O halde $z$ fonksiyonunun $M_2$, $M_3$, $M_4$ noktalarındaki değerlerini hesaplayalım. Elbette, bu noktaların koordinatlarını orijinal $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ifadesinde değiştirebilirsiniz. Örneğin, $M_2$ noktası için şunu elde ederiz:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Ancak, hesaplamalar biraz basitleştirilebilir. Bunu yapmak için, $M_3M_4$ segmentinde $z(x,y)=f_1(x)$ olduğunu hatırlamakta fayda var. Ayrıntılı olarak yazacağım:
\begin(hizalanmış) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(hizalanmış)
Tabii ki, genellikle böyle ayrıntılı girişlere gerek yoktur ve gelecekte tüm hesaplamaları daha kısa bir şekilde yazmaya başlayacağız:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Şimdi $x=3$ doğrusuna dönelim. Bu satır, $0 ≤ y ≤ 4$ koşulu altında $D$ alanını sınırlar. Verilen $z$ işlevine $x=3$ yazın. Böyle bir ikame sonucunda $f_2(y)$ fonksiyonunu elde ederiz:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
$f_2(y)$ fonksiyonu için $0 ≤ y ≤ 4$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmanız gerekir. Bu fonksiyonun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
$y=3$ değeri $0 ≤ y ≤ 4$ segmentine aittir, dolayısıyla daha önce bulunan noktalara $M_5(3;3)$ ekleriz. Ayrıca, $0 ≤ y ≤ 4$ segmentinin uç noktalarındaki $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamak gerekir, yani. $M_4(3;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktalarında. $M_4(3;0)$ noktasında, $z$ değerini zaten hesaplamıştık. $z$ fonksiyonunun değerini $M_5$ ve $M_6$ noktalarında hesaplayalım. $M_4M_6$ segmentinde $z(x,y)=f_2(y)$ olduğunu hatırlatmama izin verin, bu nedenle:
\begin(hizalanmış) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(hizalanmış)
Ve son olarak, $D$'ın son sınırını düşünün, yani. satır $y=x+1$. Bu çizgi, $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $z$ işlevinde $y=x+1$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Bir kez daha $x$ değişkenli bir fonksiyonumuz var. Ve yine $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinde bu fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmanız gerekiyor. $f_(3)(x)$ fonksiyonunun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
$x=1$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığına aittir. $x=1$ ise, $y=x+1=2$ olur. Nokta listesine $M_7(1;2)$ ekleyelim ve bu noktada $z$ fonksiyonunun değerinin ne olduğunu bulalım. $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinin uçlarındaki noktalar, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_6(3;4)$ puanları daha önce düşünülmüştü, onlarda fonksiyonun değerini zaten bulduk.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Çözümün ikinci aşaması tamamlandı. Yedi değerimiz var:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
dönelim. Üçüncü paragrafta elde edilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçerek şunları elde edeceğiz:
$$z_(dk)=-4; \; z_(maks)=6.$$
Sorun çözüldü, sadece cevabı yazmak kalıyor.
Cevap: $z_(dk)=-4; \; z_(maks)=6$.
Örnek #2
$z=x^2+y^2-12x+16y$ fonksiyonunun $x^2+y^2 ≤ 25$ bölgesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
Önce bir çizim yapalım. $x^2+y^2=25$ denklemi (bu, verilen alanın sınır çizgisidir), merkezi orijinde (yani $(0;0)$ noktasında) ve yarıçapı 5. $x^2 +y^2 ≤ 25$ eşitsizliği bahsedilen çemberin içindeki ve üzerindeki tüm noktaları karşılar.
üzerinde hareket edeceğiz. Kısmi türevleri bulalım ve kritik noktaları bulalım.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Bulunan kısmi türevlerin bulunmadığı hiçbir nokta yoktur. Her iki kısmi türevin hangi noktalarda aynı anda sıfıra eşit olduğunu bulalım, yani. sabit noktaları bulun.
$$ \left \( \begin(hizalı) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(hizalı) \sağ. \;\; \left \( \begin(hizalı) & x =6;\\ & y=-8.\end(hizalanmış) \sağ.$$
Aldık sabit nokta$(6;-8)$. Ancak bulunan nokta $D$ bölgesine ait değildir. Bu, çizime bile başvurmadan gösterilmesi kolaydır. $D$ etki alanımızı tanımlayan $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliğinin geçerli olup olmadığını kontrol edelim. $x=6$, $y=-8$ ise, o zaman $x^2+y^2=36+64=100$, yani. $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliği tatmin edici değil. Sonuç: $(6;-8)$ noktası $D$ bölgesine ait değil.
Böylece $D$ içinde kritik nokta yoktur. Konusuna geçelim. Verilen alanın sınırındaki fonksiyonun davranışını araştırmamız gerekiyor, yani. $x^2+y^2=25$ çemberinde. Elbette $y$'ı $x$ cinsinden ifade edebilir ve ardından ortaya çıkan ifadeyi $z$ fonksiyonumuzun yerine koyabilirsiniz. Daire denkleminden şunu elde ederiz: $y=\sqrt(25-x^2)$ veya $y=-\sqrt(25-x^2)$. Örneğin, verilen işlevde $y=\sqrt(25-x^2)$ yerine şunu elde ederiz:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Diğer çözüm, önceki 1 No'lu örnekte bölgenin sınırındaki fonksiyonun davranışının incelenmesiyle tamamen aynı olacaktır. Ancak bu durumda Lagrange yöntemini uygulamak bana daha mantıklı geliyor. Biz sadece bu yöntemin ilk kısmıyla ilgileniyoruz. Lagrange yönteminin ilk bölümünü uyguladıktan sonra, hangi noktalardan alacağız ve minimum ve maksimum değerler için $z$ fonksiyonunu inceleyeceğiz.
Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Lagrange fonksiyonunun kısmi türevlerini buluyoruz ve karşılık gelen denklem sistemini oluşturuyoruz:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (hizalı) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(hizalı) \ \;\; \left \( \begin(hizalanmış) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( hizalanmış)\sağ.$$
Bu sistemi çözmek için hemen $\lambda\neq -1$ olduğunu belirtelim. Neden $\lambda\neq -1$? İlk denklemde $\lambda=-1$ yerine koymayı deneyelim:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Ortaya çıkan $0=6$ çelişkisi, $\lambda=-1$ değerinin geçersiz olduğunu söylüyor. Çıktı: $\lambda\neq -1$. $x$ ve $y$'ı $\lambda$ cinsinden ifade edelim:
\begin(hizalanmış) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(hizalanmış)
$\lambda\neq -1$ koşulunu neden özellikle şart koştuğumuzun burada açıkça ortaya çıktığına inanıyorum. Bu, $1+\lambda$ ifadesini paydalara müdahale olmadan sığdırmak için yapıldı. Yani paydanın $1+\lambda\neq 0$ olduğundan emin olmak için.
$x$ ve $y$ için elde edilen ifadeleri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyalım, yani. $x^2+y^2=25$ içinde:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \sağ)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \sağ)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Ortaya çıkan eşitlikten, $1+\lambda=2$ veya $1+\lambda=-2$ çıkar. Dolayısıyla, $\lambda$ parametresinin iki değerine sahibiz, yani: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Buna göre, iki çift $x$ ve $y$ değeri elde ederiz:
\begin(hizalanmış) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(hizalanmış)
Böylece, olası bir koşullu ekstremumun iki noktası var, yani. $M_1(3;-4)$ ve $M_2(-3;4)$. $M_1$ ve $M_2$ noktalarında $z$ fonksiyonunun değerlerini bulun:
\begin(hizalanmış) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(hizalanmış)
Birinci ve ikinci adımlarda elde ettiklerimizden en büyük ve en küçük değerleri seçmeliyiz. Ama bu durumda, seçim küçük :)
$$z_(dk)=-75; \; z_(maks)=125. $$
Cevap: $z_(dk)=-75; \; z_(maks)=125$.