Matematiksel analiz. Tarihin matematiksel analizi Matematiksel analizin gelişiminin tarihi kısaca

slayt 2

Matematiksel analiz, diferansiyel ve integral hesap yöntemlerini kullanarak fonksiyonların ve bunların genellemelerinin incelenmesine ayrılmış bir dizi matematik dalıdır.

slayt 3

tükenme yöntemi

Eğrisel şekillerin alanını veya hacmini incelemek için eski bir yöntem.

slayt 4

Yöntem şuydu: belirli bir şeklin alanını (veya hacmini) bulmak için, diğer şekillerin monoton bir dizisi bu şekle yazılmıştır ve alanlarının (hacimlerinin) süresiz olarak istenen alana (hacime) yaklaştığı kanıtlanmıştır. figür.

slayt 5

1696'da L'Hopital, düzlem eğriler teorisine uygulanan yeni yöntemi ortaya koyan ilk ders kitabını yazdı. Sonsuz küçüklerin analizi olarak adlandırdı, böylece matematiğin yeni dalına isimlerden birini verdi. Giriş bölümünde Lopital, Descartes, Huygens, Leibniz'in çalışmaları üzerinde durarak yeni bir analizin ortaya çıkış tarihini özetlemekte ve ayrıca ikincisine ve Bernoulli kardeşlere şükranlarını ifade etmektedir.

slayt 6

"İşlev" terimi ilk olarak 1692'de Leibniz tarafından ortaya çıktı, ancak onu ilk rollere öne süren Euler'di. Bir fonksiyon kavramının orijinal yorumu, bir fonksiyonun bir sayma ifadesi veya analitik bir ifade olduğu şeklindeydi.

Slayt 7

"Analitik Fonksiyonlar Teorisi" ("Th.orie des fonctions analytiques", 1797). Analitik Fonksiyonlar Teorisi'nde Lagrange, Cauchy'ye analiz için titiz bir temel geliştirme konusunda ilham veren ünlü enterpolasyon formülünü ortaya koyuyor.

Slayt 8

Fermat'ın önemli lemması matematik ders kitaplarında bulunabilir. Ayrıca kesirli güçlerin farklılaşmasının genel yasasını formüle etti.

Pierre de Fermat (17 Ağustos 1601 - 12 Ocak 1665), analitik geometri, matematiksel analiz, olasılık teorisi ve sayı teorisinin kurucularından biri olan Fransız bir matematikçiydi. Fermat, pratikte modern kurallara göre cebirsel eğrilere teğet buldu.

Slayt 9

Rene Descartes (31 Mart 1596 - 11 Şubat 1650) - Fransız matematikçi, filozof, fizikçi ve fizyolog, analitik geometri ve modern cebirsel sembolizmin yaratıcısı. 1637'de Descartes'ın ana matematiksel çalışması olan "Yöntem Üzerine Söylem" yayınlandı.Bu kitap analitik geometriyi ve uygulamalarda - cebir, geometri, optik ve çok daha fazlasında sayısız sonucu özetledi. Vieta'nın gözden geçirilmiş matematiksel sembolizmi özellikle dikkat çekicidir: artık değişkenler ve aranan değerler (x, y, z, ...) ve değişmez katsayılar için genel olarak kabul edilen işaretleri tanıttı. (a, b, c, ...)

Slayt 10

François Viet (1540-1603) - Fransız matematikçi, sembolik cebirin kurucusu. Eğitim ve ana mesleğe göre - bir avukat. 1591'de sadece bilinmeyen nicelikler için değil, aynı zamanda denklem katsayıları için de harf atamaları yaptı ve 2., 3. ve 4. derece denklemleri çözmek için tek tip bir yöntem oluşturdu. Keşifler arasında, Viet'in kendisi özellikle denklemlerin kökleri ve katsayıları arasında bir ilişki kurulmasını takdir etti.

slayt 11

Galileo Galilei (15 Şubat 1564, Pisa - 8 Ocak 1642) - Zamanının bilimi üzerinde önemli bir etkisi olan İtalyan fizikçi, mekanik, astronom, filozof ve matematikçi "Galileo paradoksunu" formüle etti: sayıların çoğu kare olmasa da, doğal sayıların kareleri . Bu, sonsuz kümelerin doğası ve bunların sınıflandırılması hakkında daha fazla araştırma yapılmasına yol açtı; süreç, küme teorisinin oluşturulmasıyla sona erdi.

slayt 12

"Şarap fıçılarının yeni stereometrisi"

Kepler şarap satın alırken, tüccarın fıçının kapasitesini nasıl belirlediğine şaşırdı. Satıcı stickusu bölümlere ayırdı ve yardımıyla doldurma deliğinden namlunun en uzak noktasına kadar olan mesafeyi belirledi. Bunu yaptıktan sonra, belirli bir fıçıda kaç litre şarap olduğunu hemen söyledi. Böylece bilim adamı, çalışması integral hesabın yaratılmasına yol açan problem sınıfına dikkat eden ilk kişi oldu.

slayt 13

Böylece, örneğin, bir simit hacminin formülünü bulmak için Kepler, onu meridyen bölümlerine göre, dıştaki kalınlığı içeriden biraz daha büyük olan sonsuz sayıda daireye böldü. Böyle bir dairenin hacmi, tabanı simitin enine kesitine eşit ve orta kısmındaki dairenin kalınlığına eşit bir yüksekliğe sahip bir silindirin hacmine eşittir. Buradan, simitin hacminin, taban alanının simit bölümünün alanına eşit olduğu ve yüksekliğin, silindirin uzunluğuna eşit olduğu silindirin hacmine eşit olduğu hemen ortaya çıktı. F noktası ile tanımlanan daire - torus bölümünün merkezi.

Slayt 14

bölünmezler yöntemi

Alanları ve hacimleri bulmak için yeni bir yöntemin teorik olarak doğrulanması, 1635'te Cavalieri tarafından önerildi. Şu tezi ileri sürdü: Figürler birbirleriyle ilişkilidir, tüm doğruları gibi, herhangi bir düzenli [paralel tabanı] boyunca alınır ve cisimler - tüm düzlemleri gibi, herhangi bir düzenli boyunca alınır.

slayt 15

Örneğin, bir dairenin alanını hesaplayalım. Çemberin çevresinin formülünün bilindiği varsayılır. Daireyi (Şekil 1'de solda) sonsuz küçük halkalara ayıralım. Ayrıca taban uzunluğu L ve yüksekliği R olan ve yine tabana paralel bölümlere ayırdığımız bir üçgen (Şekil 1'de sağda) düşünün. R yarıçaplı ve uzunluktaki her halka, aynı uzunluktaki bir üçgenin bölümlerinden biriyle ilişkilendirilebilir. O halde Cavalieri ilkesine göre alanları eşittir. Bir üçgenin alanını bulmak kolaydır:

slayt 16

Sunum üzerinde çalıştı:

Zharkov Alexander Kiseleva Marina Ryasov Mikhail Cherednichenko Alina

Tüm slaytları görüntüle

Felsefe, edebiyat, astronomi, edebiyat, doğa bilimleri, matematik ve diğer alanların ilk sürgünlerini içerdiği için tüm bilimlerin merkezi olarak kabul edilir. Zamanla, her alan bağımsız olarak gelişmiştir, matematik bir istisna değildir. Analiz için ilk "ipucu", birçok zihnin yaklaşmaya çalıştığı, ancak belirsiz ve hiçbir temeli olmayan sonsuz küçük miktarlara ayrışma teorisi olarak kabul edilir. Bu, formülasyonlarında katı olan eski bilim okuluna bağlılıktan kaynaklanmaktadır. Isaac Newton temelleri oluşturmaya çok yaklaştı ama çok geçti. Sonuç olarak, matematiksel analiz ayrı bir sistem olarak görünümünü filozof Gottfried Leibniz'e borçludur. Çalışmalarında bilim dünyasına minimum ve maksimum, bükülme noktaları ve bir fonksiyonun grafiğinin dışbükeyliği gibi kavramları sunan, diferansiyel hesabın temellerini formüle eden oydu. O zamandan beri, matematik resmi olarak ilköğretim ve daha yüksek olarak ayrılmıştır.

Matematiksel analiz. Günlerimiz

Teknik veya insani olsun, herhangi bir uzmanlık, çalışma sırasında analizi içerir. Çalışmanın derinliği değişir, ancak öz aynı kalır. Tüm "soyutluğa" rağmen, modern anlamda doğa biliminin dayandığı sütunlardan biridir. Onun yardımı ile fizik ve ekonomi geliştirildi, borsanın faaliyetlerini tanımlayabilir ve tahmin edebilir, optimal bir hisse senedi portföyü oluşturmaya yardımcı olur. Matematiksel analize giriş, temel kavramlara dayanmaktadır:

  • setler;
  • kümelerde temel işlemler;
  • kümelerdeki işlemlerin özellikleri;
  • fonksiyonlar (aksi takdirde - eşlemeler);
  • fonksiyon türleri;
  • diziler;
  • sayı satırları;
  • dizi limiti;
  • sınır özellikleri;
  • fonksiyon sürekliliği.

Küme, nokta, çizgi, düzlem gibi kavramları ayrı ayrı vurgulamaya değer. Tüm matematiğin üzerine inşa edildiği temel kavramlar oldukları için hepsinin tanımı yoktur. Çalışma sırasında yapılabilecek tek şey, bireysel durumlarda tam olarak ne anlama geldiklerini açıklamaktır.

Devamı olarak sınırla

Limit, matematiksel analizin temellerinden biridir. Pratikte dizinin veya fonksiyonun yöneldiği, istediğiniz kadar yaklaştığı ancak ulaşamadığı değeri temsil eder. Lim olarak gösterilir, düşünün özel durum fonksiyon limiti: x→1 için lim (x-1)= 0. Bu en basit örnekten, x→1 olduğunda, fonksiyonun tamamının 0 olma eğiliminde olduğu görülebilir, çünkü limiti fonksiyonun içine koyarsak (1-1)=0 elde ederiz. Daha ayrıntılı olarak, temelden karmaşık özel durumlara kadar, bilgiler bir tür "İncil" analizinde sunulur - Fikhtengol'ts'un eserleri. Orada, matematiksel analiz, limitler, bunların türetilmesi ve daha fazla uygulama bu bağlamda ele alınmaktadır. Örneğin, e sayısının (Euler sabiti) türetilmesi, limitler teorisi olmadan imkansız olurdu. Teorinin dinamik soyutluğuna rağmen, aynı ekonomi ve sosyolojide sınırlar pratikte aktif olarak kullanılmaktadır. Örneğin, bir banka mevduatının faizi hesaplanırken bunlardan vazgeçilemez.

Matematik tarihinde iki ana dönem geleneksel olarak ayırt edilebilir: temel ve modern matematik. Yeni (bazen daha yüksek derler) matematik çağını saymanın geleneksel olduğu kilometre taşı, 17. yüzyıldı - matematiksel analizin ortaya çıktığı yüzyıl. XVII yüzyılın sonunda. I. Newton, G. Leibniz ve onların öncülleri, matematiksel analizin ve hatta belki de tüm modern doğa bilimlerinin matematiksel temelini oluşturan yeni bir diferansiyel hesabın ve integral hesabın aygıtını yarattılar.

Matematiksel analiz, karakteristik bir çalışma nesnesi (bir değişken), özel bir araştırma yöntemi (sonsuz küçükler yoluyla veya sınıra geçerek analiz), belirli bir temel kavramlar sistemi (fonksiyon, limit, türev, diferansiyel, integral, seri) ve diferansiyel ve integral hesabı üzerine kurulu sürekli gelişen ve gelişen cihazlar.

17. yüzyılda ne tür bir matematiksel devrim gerçekleştiği, matematiksel analizin doğuşuyla ilişkili temel matematikten, şu anda matematiksel analizde araştırma konusu olana geçişi karakterize eden bir fikir vermeye çalışalım ve tüm modern teorik ve uygulamalı bilgi sistemindeki temel rolünü açıklayan şey. .

Önünüzde karaya doğru koşan fırtınalı bir okyanus dalgasının güzelce çekilmiş renkli bir fotoğrafının olduğunu hayal edin: güçlü bir kambur sırt, dik ama hafifçe çökmüş bir göğüs, zaten öne eğilmiş ve rüzgar tarafından parçalanmış gri bir yele ile düşmeye hazır. Anı durdurdunuz, dalgayı yakalamayı başardınız ve şimdi acele etmeden tüm detaylarıyla dikkatlice inceleyebilirsiniz. Bir dalga ölçülebilir ve temel matematik araçlarını kullanarak, bu dalga ve dolayısıyla tüm okyanus kardeşleri hakkında birçok önemli sonuç çıkaracaksınız. Ama dalgayı durdurmakla onu hareketten ve yaşamdan yoksun bıraktınız. Kökeni, gelişimi, koşusu, kıyıya düştüğü güç - tüm bunların görüş alanınızın dışında olduğu ortaya çıktı, çünkü henüz statik olmayan açıklamak ve incelemek için uygun bir diliniz veya matematiksel bir aygıtınız yok. , ancak gelişen, dinamik süreçler, değişkenler ve aralarındaki ilişkiler.

"Matematiksel analiz, doğanın kendisinden daha az kapsamlı değildir: tüm somut ilişkileri belirler, süreleri, boşlukları, kuvvetleri, sıcaklıkları ölçer." J. Fourier

Hareket, değişkenler ve bunların ilişkileri etrafımızdadır. Fizik, jeoloji, biyoloji, sosyoloji, vb. gibi belirli bilimlerin ana konusunu çeşitli hareket türleri ve düzenlilikleri oluşturur. Bu nedenle, değişkenleri tanımlamak ve incelemek için tam dil ve uygun matematiksel yöntemler, tüm alanlarda gerekli olduğu ortaya çıktı. Niceliksel ilişkileri tanımlamak için yaklaşık olarak sayılar ve aritmetik ile aynı ölçüde bilgi gereklidir. Bu nedenle matematiksel analiz, değişkenleri ve bunların ilişkilerini tanımlamak için dilin ve matematiksel yöntemlerin temelidir. Bugün, matematiksel analiz olmadan, yalnızca uzay yörüngelerini, nükleer reaktörlerin çalışmasını, bir okyanus dalgasının akışını ve siklon gelişim modellerini hesaplamak değil, aynı zamanda üretimi, kaynak dağıtımını, teknolojik süreçlerin organizasyonunu ekonomik olarak yönetmek, kimyasal reaksiyonların gidişatını veya doğada birbirine bağlı çeşitli türlerin sayısındaki değişiklikleri tahmin edin, hayvanlar ve bitkiler, çünkü tüm bunlar dinamik süreçlerdir.

Temel matematik temel olarak sabitlerin matematiğiydi, esas olarak geometrik şekillerin öğeleri arasındaki ilişkileri, sayıların aritmetik özelliklerini ve cebirsel denklemleri inceledi. Bir dereceye kadar, onun gerçeğe karşı tutumu, değişen, gelişen canlı dünyayı hareketinde yakalayan, ancak ayrı bir karede görünmeyen bir filmin her sabit karesinin özenli, hatta kapsamlı ve eksiksiz bir incelemesiyle karşılaştırılabilir. ve ancak teybe bir bütün olarak bakılarak gözlemlenebilir. Ancak sinema fotoğrafsız düşünülemez olduğu gibi, modern matematik de, onun şartlı olarak temel dediğimiz, bazen onlarca yüzyılla birbirinden ayrılan birçok seçkin bilim insanının fikirleri ve başarıları olmadan, o kısmı olmadan imkansızdır.

Matematik birdir ve "yüksek" kısmı "temel" olanla, inşaat halindeki bir evin bir sonraki katının bir öncekiyle bağlantılı olması ve matematiğin açtığı ufukların genişliği ile aynı şekilde bağlantılıdır. çevremizdeki dünyada biz, bu binanın hangi katına ulaşmayı başardığımıza bağlı. 17. yüzyılda doğdu matematiksel analiz, kelimenin en geniş anlamıyla, değişkenlerin ve hareketin nicel ve nitel olarak incelenmesi, bilimsel tanımlama için olanaklar açtı.

Matematiksel analizin ortaya çıkması için ön koşullar nelerdir?

XVII yüzyılın sonunda. aşağıdaki durum ortaya çıkmıştır. İlk olarak, matematiğin kendisi çerçevesinde, uzun yıllar aynı türden bazı önemli problem sınıfları birikmiştir (örneğin, standart olmayan şekillerin alanlarını ve hacimlerini ölçme problemleri, eğrilere teğet çizme problemleri) ve çeşitli özel durumlarda bunları çözmek için yöntemler ortaya çıkmıştır. İkincisi, bu problemlerin keyfi (mutlaka tekdüze olmayan) bir mekanik hareketi tanımlama problemleriyle ve özellikle anlık özelliklerinin hesaplanmasıyla (hız, herhangi bir zamanda ivme) ve ayrıca bulma ile yakından ilişkili olduğu ortaya çıktı. belirli bir değişken hızda hareket için kat edilen mesafe. Bu problemlerin çözümü fizik, astronomi ve teknolojinin gelişmesi için gerekliydi.

Son olarak, üçüncüsü, XVII yüzyılın ortalarında. R. Descartes ve P. Fermat'ın çalışmaları, genel (analitik) sayılar dilinde heterojen kökenli geometrik ve fiziksel problemleri formüle etmeyi mümkün kılan analitik koordinat yönteminin (analitik geometri olarak adlandırılır) temellerini attı. ve sayısal bağımlılıklar veya şimdi dediğimiz gibi sayısal fonksiyonlar.

NIKOLAI NIKOLAEVICH LUZIN
(1883-1950)

N. N. Luzin - Sovyet matematikçisi, Sovyet fonksiyon teorisi okulunun kurucusu, akademisyen (1929).

Luzin, Tomsk'ta doğdu, Tomsk spor salonunda okudu. Jimnastik salonunun matematik dersinin biçimciliği yetenekli genç adamı yabancılaştırdı ve ona matematik biliminin güzelliğini ve ihtişamını yalnızca yetenekli bir öğretmen gösterebilirdi.

1901'de Luzin, Moskova Üniversitesi Fizik ve Matematik Fakültesi'nin matematik bölümüne girdi. Çalışmanın ilk yıllarından itibaren sonsuzlukla ilgili sorular ilgi alanına girdi. AT geç XIX içinde. Alman bilim adamı G. Kantor, süreksiz fonksiyonların incelenmesinde sayısız uygulama alan genel sonsuz kümeler teorisini yarattı. Luzin bu teoriyi incelemeye başladı, ancak 1905'te çalışmaları kesintiye uğradı. Devrimci faaliyetlere katılan öğrenci bir süre Fransa'ya gitmek zorunda kaldı. Orada o zamanın en önde gelen Fransız matematikçilerinin derslerini dinledi. Luzin, Rusya'ya döndükten sonra üniversiteden mezun oldu ve profesörlüğe hazırlanmaya bırakıldı. Kısa süre sonra tekrar Paris'e ve ardından birçok bilim insanına yakın olduğu ve ilk bilimsel makalelerini yazdığı Göttingen'e gitti. Bilim insanını ilgilendiren temel sorun, doğal sayılar kümesinden daha fazla, ancak parçanın noktaları kümesinden daha az eleman içeren kümelerin olup olmayacağı sorusuydu (süreklilik problemi).

Sayılabilir küme kümelerinin birleşimi ve kesişimi işlemlerini kullanarak parçalardan elde edilebilecek herhangi bir sonsuz küme için bu hipotez doğruydu ve sorunu çözmek için küme oluşturmanın başka hangi yollarının olduğunu bulmak gerekiyordu. Aynı zamanda Luzin, sonsuz sayıda süreksizlik noktasına sahip olsa bile herhangi bir periyodik fonksiyonu trigonometrik bir serinin toplamı olarak temsil etmenin mümkün olup olmadığı sorusunu inceledi. sonsuz bir harmonik titreşim kümesinin toplamı. Luzin, bu konularda bir dizi önemli sonuç elde etti ve 1915'te, o sırada var olan orta yüksek lisans derecesini atlayarak, hemen Saf Matematik Doktoru derecesini aldığı "İntegral ve Trigonometrik Seriler" tezini savundu. .

1917'de Luzin, Moskova Üniversitesi'nde profesör oldu. Yetenekli bir öğretmen, en yetenekli öğrencileri ve genç matematikçileri kendine çekti. Luzin'in okulu, devrim sonrası ilk yıllarda en parlak dönemine ulaştı. Luzin'in öğrencileri, şaka olarak "Luzitania" olarak adlandırılan yaratıcı bir ekip oluşturdular. Birçoğu öğrencilik günlerinde birinci sınıf bilimsel sonuçlar aldı. Örneğin, P. S. Aleksandrov ve M. Ya. Suslin (1894-1919), kümeler oluşturmak için yeni bir yön - tanımlayıcı küme teorisinin gelişimini başlatan yeni bir yöntem keşfetti. Luzin ve öğrencileri tarafından yürütülen bu alanda yapılan araştırmalar, küme teorisinin olağan yöntemlerinin, içinde ortaya çıkan birçok sorunu çözmek için yeterli olmadığını gösterdi. Luzin'in bilimsel öngörüleri 1960'larda tamamen doğrulandı. 20. yüzyıl N. N. Luzin'in birçok öğrencisi daha sonra akademisyenler ve SSCB Bilimler Akademisi'nin ilgili üyeleri oldu. Bunlar arasında P. S. Aleksandrov. A.N. Kolmogorov. M.A. Lavrentiev, L.A. Lyusternik, D.E. Menshov, P.S. Novikov. L.G. Shnirelman ve diğerleri.

Modern Sovyet ve yabancı matematikçiler eserlerinde N. N. Luzin'in fikirlerini geliştirirler.

Bu koşulların birleşimi, geç XVII içinde. iki bilim adamı - I. Newton ve G. Leibniz - bağımsız olarak bu problemleri çözmek için matematiksel bir aparat oluşturmayı başardılar, eski bilim adamı Arşimet ve Newton ve Leibniz'in çağdaşları - B. Cavalieri, B dahil olmak üzere seleflerinin bireysel sonuçlarını özetleyip genelleştirdiler. . Pascal , D. Gregory, I. Barrow. Bu cihaz, matematiksel analizin temelini oluşturdu - çeşitli gelişen süreçleri inceleyen yeni bir matematik dalı, yani. matematikte işlevsel bağımlılıklar veya başka bir deyişle işlevler olarak adlandırılan değişkenlerin karşılıklı ilişkileri. Bu arada, “fonksiyon” terimi tam olarak 17. yüzyılda gerekliydi ve doğal olarak ortaya çıktı ve şimdiye kadar sadece genel bir matematiksel değil, aynı zamanda genel bir bilimsel anlam da kazandı.

Temel kavramlar ve matematiksel analiz araçları hakkında ilk bilgiler "Diferansiyel Analiz" ve "İntegral Analiz" makalelerinde verilmiştir.

Sonuç olarak, tüm matematikte ve analizin karakteristiğinde ortak olan tek bir matematiksel soyutlama ilkesi üzerinde durmak ve bu bağlamda matematiksel analizin değişkenleri hangi biçimde incelediği ve yöntemlerinin bu evrenselliğinin sırrının ne olduğunu açıklamak istiyorum. her türlü spesifik geliştirme sürecini ve aralarındaki ilişkileri incelemek için.

Bazı açıklayıcı örneklere ve analojilere bakalım.

Bazen, örneğin elmalar, sandalyeler veya filler için değil, belirli nesnelerden soyutlanmış soyut bir biçimde yazılmış matematiksel bir oranın olağanüstü bir bilimsel başarı olduğunu artık fark etmiyoruz. Bu, deneyimin çeşitli somut nesnelere uygulanabilir olduğunu gösterdiği matematiksel bir yasadır. Yani matematikte okumak Genel Özellikler soyut, soyut sayılar, böylece gerçek dünyanın nicel ilişkilerini inceliyoruz.

Örneğin, bir okul matematik dersinden, bu nedenle, belirli bir durumda şöyle diyebileceğiniz bilinmektedir: “12 ton toprağı taşımak için bana iki adet altı tonluk damperli kamyon tahsis edilmezse, talep edebilirsiniz. üç adet dört tonluk damperli kamyon ve iş yapılacak ve yalnızca bir adet dört tonluk damperli kamyon verirlerse üç uçuş yapması gerekecek. Böylece, artık aşina olduğumuz soyut sayılar ve sayısal düzenlilikler, somut tezahürleri ve uygulamaları ile bağlantılıdır.

Yaklaşık olarak aynı şekilde, somut değişken niceliklerin değişim yasaları ve doğanın gelişen süreçleri, göründükleri ve matematiksel analizde incelendiği soyut, soyut biçim-fonksiyonla bağlantılıdır.

Örneğin, soyut bir oran, sinemadaki gişenin satılan bilet sayısına bağımlılığının bir yansıması olabilir, eğer 20 20 kopek ise - bir biletin fiyatı. Ancak, saatte 20 km hızla bir otoyolda bisiklet sürüyorsak, aynı oran bisiklete binme süremiz (saatler) ile bu süre boyunca kat edilen mesafe (kilometre) arasındaki ilişki olarak yorumlanabilir, her zaman şunu iddia edebilirsiniz: , örneğin, birkaç kez bir değişiklik, değerinde orantılı (yani aynı sayıda) bir değişikliğe yol açar ve eğer , o zaman tersi sonuç da doğrudur. Yani özellikle bir sinemanın gişe hasılatını ikiye katlamak için iki kat daha fazla seyirci çekmeniz ve aynı hızda iki kat daha fazla bisiklet sürmek için iki kat daha uzun sürmeniz gerekiyor.

Matematik, hem en basit bağımlılığı hem de diğer çok daha karmaşık bağımlılıkları, özel yorumdan soyutlanmış soyut, genel, soyut bir biçimde inceler. Böyle bir çalışmada tanımlanan bir fonksiyonun özellikleri veya bu özellikleri incelemek için yöntemler, genel matematiksel tekniklerin, sonuçların, yasaların ve sonuçların, hangisinden bağımsız olarak, soyut bir biçimde çalışılan fonksiyonun gerçekleştiği her bir özel fenomene uygulanabilir nitelikte olacaktır. bu fenomenin ait olduğu bilgi alanı. .

Böylece matematiğin bir dalı olarak matematiksel analiz, 17. yüzyılın sonunda şekillendi. Matematiksel analizde çalışmanın konusu (modern konumlardan göründüğü gibi) fonksiyonlar veya başka bir deyişle değişkenler arasındaki bağımlılıklardır.

Matematiksel analizin ortaya çıkmasıyla, matematiğin gerçek dünyanın gelişen süreçlerini incelemesi ve yansıtması mümkün hale geldi; değişkenler ve hareket matematiğe girdi.

makalenin içeriği

MATEMATİK TARİHİ. En eski matematiksel aktivite saymaktı. Hesap, hayvancılık ve ticareti takip etmek için gerekliydi. Bazı ilkel kabileler, nesnelerin sayısını saydı, onları vücudun farklı bölümleriyle, özellikle el ve ayak parmaklarıyla ilişkilendirdi. Taş Devri'nden günümüze kadar korunan kaya çizimi, 35 sayısını arka arkaya dizilmiş bir dizi 35 parmak çubuğu şeklinde tasvir ediyor. Aritmetikteki ilk önemli ilerlemeler, sayıların kavramsallaştırılması ve dört temel işlemin icadıydı: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Geometrinin ilk başarıları, düz bir çizgi ve bir daire gibi basit kavramlarla ilişkilidir. Matematiğin daha da gelişmesi MÖ 3000 civarında başladı. Babilliler ve Mısırlılar sayesinde.

BABİLONYA VE MISIR

Babil.

Babil uygarlığı hakkındaki bilgilerimizin kaynağı, iyi korunmuş kil tabletler denilen sözde kaplı tabletlerdir. MÖ 2000'den kalma çivi yazılı metinler. ve 300 AD'ye kadar Çivi yazılı tabletlerdeki matematik esas olarak ev idaresiyle ilgiliydi. Aritmetik ve basit cebir, para ve mal karşılığı takasında, basit ve bileşik faizin hesaplanmasında, vergilerde ve mahsulün devlete, tapınağa veya toprak sahibine devredilen payında kullanıldı. Kanalların, tahıl ambarlarının ve diğer bayındırlık işlerinin inşasıyla bağlantılı olarak çok sayıda aritmetik ve geometrik problem ortaya çıktı. Takvim, tarımsal işlerin ve dini bayramların zamanlamasını belirlemek için kullanıldığından, matematiğin çok önemli bir görevi takvimin hesaplanmasıydı. Dairenin 360'a ve derece ve dakikaların 60 parçaya bölünmesi Babil astronomisinden kaynaklanmaktadır.

Babilliler ayrıca 1'den 59'a kadar olan sayılar için 10 tabanını kullanan bir sayı sistemi oluşturdular. 1'den 59'a kadar olan sayılar için bir sembolü gerekli sayıda tekrarlandı. 11'den 59'a kadar olan sayılar için Babilliler, 10 sayısı için sembol ve bir için sembol. 60 ve üzeri sayıları belirtmek için Babilliler, 60 tabanlı bir konumsal sayı sistemi getirdiler. Önemli bir ilerleme, aynı sayısal işaretin (sembol) bulunduğu yere bağlı olarak farklı anlamlara sahip olduğu konum ilkesiydi. Bir örnek, 606 sayısının (modern) gösterimindeki altının değerleridir. Bununla birlikte, eski Babillilerin sayı sisteminde sıfır yoktu, çünkü aynı karakter kümesi her ikisi anlamına da gelebilirdi. 65 (60 + 5) ve 3605 (60 2 + 0 + 5) sayısı. Kesirlerin yorumlanmasında da belirsizlikler vardı. Örneğin, aynı semboller hem 21 sayısı hem de 21/60 ve (20/60 + 1/60 2) kesri anlamına gelebilir. Belirsizlik, belirli bağlama bağlı olarak çözüldü.

Babilliler (bölme yaparken kullanılan) karşılıklılık tabloları, kareler ve kareler tabloları derlediler. Karekök, küp ve küp kökleri tablolarının yanı sıra. Sayının iyi bir tahminini biliyorlardı. Cebirsel ve geometrik problemlerin çözümüne ayrılmış çivi yazılı metinler, ikinci dereceden denklemleri çözmek için ikinci dereceden formülü kullandıklarını ve bazılarını çözebildiklerini göstermektedir. özel tipler on bilinmeyenli on denklemin yanı sıra bireysel kübik denklem çeşitleri ve dördüncü dereceden denklemleri içeren problemler. Kil tabletlerde yalnızca bunları çözme prosedürlerinin görevleri ve ana adımları gösterilmektedir. Bilinmeyen miktarları belirtmek için geometrik terminoloji kullanıldığından, çözüm yöntemleri esas olarak çizgiler ve alanlar ile geometrik işlemlerden oluşuyordu. Cebirsel problemlere gelince, bunlar sözlü notasyonda formüle edildi ve çözüldü.

MÖ 700 civarında Babilliler ay ve gezegenlerin hareketlerini incelemek için matematiği kullanmaya başladılar. Bu, hem astroloji hem de astronomi için önemli olan gezegenlerin konumlarını tahmin etmelerini sağladı.

Geometride, Babilliler, örneğin benzer üçgenlerin karşılık gelen kenarlarının orantılılığı gibi ilişkileri biliyorlardı. Pisagor teoremini ve yarım daire içine yazılan açının doğru olduğunu biliyorlardı. Ayrıca, düzenli çokgenler de dahil olmak üzere basit düz şekillerin alanlarını ve basit cisimlerin hacimlerini hesaplamak için kuralları vardı. Sayı p Babilliler bunu 3'e eşit saydılar.

Mısır.

Eski Mısır matematiği hakkındaki bilgimiz, esas olarak yaklaşık MÖ 1700'den kalma iki papirüs üzerine kuruludur. Bu papirüslerde sunulan matematiksel bilgiler daha da eski bir döneme dayanmaktadır - c. MÖ 3500 Mısırlılar cesetlerin ağırlığını, ekinlerin altındaki alanı ve tahıl ambarlarının hacmini, vergi miktarını ve belirli yapıları inşa etmek için gereken taş sayısını hesaplamak için matematik kullandılar. Papirüste, belirli sayıda bira hazırlamak için gereken tahıl miktarının belirlenmesiyle ilgili problemlerin yanı sıra, tane derecelerindeki farkla ilgili daha karmaşık problemler de bulunabilir; bu durumlar için dönüşüm faktörleri hesaplanmıştır.

Ancak matematiğin ana uygulama alanı astronomi, daha doğrusu takvimle ilgili hesaplamalardı. Takvim, dini bayramların tarihlerini belirlemek ve Nil'in yıllık taşkınlarını tahmin etmek için kullanıldı. Bununla birlikte, Eski Mısır'daki astronomi gelişme seviyesi, Babil'deki gelişme seviyesinden çok daha düşüktü.

Eski Mısır yazıları hiyerogliflere dayanıyordu. O dönemin sayı sistemi de Babil'den daha düşüktü. Mısırlılar, 1'den 9'a kadar olan sayıların karşılık gelen dikey çizgi sayısıyla gösterildiği ve 10'un ardışık kuvvetleri için ayrı sembollerin sunulduğu, konumsal olmayan bir ondalık sistem kullandılar. Bu sembolleri sırayla birleştirerek, herhangi bir sayıyı yazmak mümkün oldu. Papirüsün ortaya çıkışıyla birlikte, sırayla yeni bir sayısal sistemin ortaya çıkmasına katkıda bulunan hiyeratik el yazısı yazıları ortaya çıktı. 1'den 9'a kadar olan sayıların her biri ve 10, 100 vb.'nin ilk dokuz katının her biri için. özel bir tanımlama sembolü kullandı. Kesirler, payı bire eşit olan kesirlerin toplamı olarak yazılmıştır. Bu tür kesirlerle Mısırlılar dört Aritmetik işlemler, ancak bu tür hesaplamalar için prosedür çok hantal kaldı.

Mısırlıların geometrisi, dikdörtgenlerin, üçgenlerin, yamukların, dairelerin alanlarının hesaplanmasına ve ayrıca belirli cisimlerin hacimlerini hesaplama formüllerine indirgendi. Mısırlıların piramitlerin yapımında kullandıkları matematiğin basit ve ilkel olduğunu söylemeliyim.

Papirüslerde verilen görevler ve çözümler, hiçbir açıklama yapılmadan tamamen reçeteyle formüle edilmiştir. Mısırlılar yalnızca ikinci dereceden denklemlerin ve aritmetik ve geometrik dizilerin en basit türleriyle ilgilendiler ve bu nedenle Genel kurallarçıkarabildikleri de en basit türdendi. Ne Babilli ne de Mısırlı matematikçilerin genel yöntemleri yoktu; matematiksel bilginin tamamı ampirik formüller ve kurallar topluluğuydu.

Orta Amerika'da yaşayan Mayalar matematiğin gelişimini etkilemese de, yaklaşık 4. yüzyıla kadar uzanan başarıları dikkati hak ediyor. Görünüşe göre Maya, taban 20 sistemlerinde sıfırı temsil etmek için özel bir karakter kullanan ilk kişiydi. İki sayı sistemi vardı: birinde hiyeroglifler kullanıldı ve diğerinde daha yaygın olarak nokta bir, yatay çizgi 5 ve sembol sıfırdı. Konum tanımlamaları 20 sayısı ile başlar ve sayılar yukarıdan aşağıya dikey olarak yazılır.

YUNAN MATEMATİK

Klasik Yunanistan.

20. yüzyıl bakış açısından matematiğin kurucuları klasik dönemin (MÖ 6.-4. yüzyıllar) Yunanlılarıdır. Daha önceki dönemde var olan matematik, bir dizi ampirik sonuçtu. Aksine, tümdengelimli akıl yürütmede, kabul edilen öncüllerden reddedilme olasılığını dışlayacak şekilde yeni bir ifade çıkarılır.

Yunanlıların tümdengelim ispatında ısrar etmesi olağanüstü bir adımdı. Başka hiçbir uygarlık, yalnızca açıkça belirtilen aksiyomlardan tümdengelimli akıl yürütme temelinde sonuçlar çıkarma fikrini ortaya koymadı. Yunanlıların tümdengelim yöntemlerine bağlılığının açıklamalarından biri, klasik dönem Yunan toplumunun yapısında bulduğumuz. Matematikçiler ve filozoflar (çoğunlukla aynı kişilerdi), herhangi bir pratik faaliyetin değersiz bir meslek olarak görüldüğü toplumun üst katmanlarına aitti. Matematikçiler, pratik problemlerin çözümüne sayılar ve uzamsal ilişkiler hakkında soyut akıl yürütmeyi tercih ettiler. Matematik, aritmetik - teorik yön ve lojistik - hesaplama yönüne ayrıldı. Lojistik, alt sınıfların özgür doğanlarına ve kölelere bırakıldı.

Yunan matematiğinin tümdengelim karakteri, Platon ve Aristoteles zamanında tamamen geliştirildi. Tümdengelimli matematiğin icadı genellikle, klasik dönemin birçok antik Yunan matematikçisi gibi aynı zamanda bir filozof olan Miletoslu Thales'e (MÖ 640–546) atfedilir. Şüpheli olsa da Thales'in geometrideki bazı sonuçları kanıtlamak için tümdengelim kullandığı öne sürülmüştür.

Adı matematiğin gelişimi ile ilişkilendirilen bir başka büyük Yunan, Pisagor'du (MÖ 585-500). Uzun gezintileri sırasında Babil ve Mısır matematiği ile tanışabileceğine inanılıyor. Pisagor, ca. yüzyılda gelişen bir hareket kurdu. 550–300 M.Ö. Pisagorcular saf matematiği sayılar teorisi ve geometri şeklinde yarattılar. Tamsayıları nokta veya çakıl konfigürasyonları şeklinde temsil ettiler ve bu sayıları ortaya çıkan şekillerin şekline göre sınıflandırdılar (“kıvırcık sayılar”). "Hesaplama" (hesaplama, hesaplama) kelimesi, "çakıl taşı" anlamına gelen Yunanca kelimeden gelmektedir. Sayılar 3, 6, 10, vb. Pisagorcular buna üçgen dediler, çünkü karşılık gelen sayıçakıl taşları bir üçgen, 4, 9, 16 vb. sayılar şeklinde düzenlenebilir. - kare, çünkü karşılık gelen sayıda çakıl kare vb. şeklinde düzenlenebilir.

Tam sayıların bazı özellikleri basit geometrik konfigürasyonlardan doğmuştur. Örneğin, Pisagorcular ardışık iki üçgen sayının toplamının her zaman bir kare sayıya eşit olduğunu keşfettiler. if (modern gösterimde) olduğunu keşfettiler. n 2 bir kare sayıdır, o zaman n 2 + 2n +1 = (n+ 1) 2 . Bu sayının kendisi hariç tüm bölenlerinin toplamına eşit bir sayı, Pisagorcular tarafından mükemmel olarak adlandırıldı. Mükemmel sayılara örnek olarak 6, 28 ve 496 gibi tam sayılar verilebilir. Pisagorcular, her sayı diğerinin bölenlerinin toplamına eşitse iki sayıya dost derler; örneğin 220 ve 284 dost sayılardır (ve burada sayının kendisi kendi bölenlerinden çıkarılmıştır).

Pisagorcular için herhangi bir sayı, nicel bir değerden daha fazlasını temsil ediyordu. Örneğin, 2 sayısı onların görüşüne göre farklılık anlamına geliyordu ve bu nedenle görüşle özdeşleştirildi. Dört, iki özdeş faktörün çarpımına eşit olan ilk sayı olduğu için adaleti temsil ediyordu.

Pisagorcular ayrıca belirli kare sayı çiftlerinin toplamının da yine bir kare sayı olduğunu keşfettiler. Örneğin, 9 ve 16'nın toplamı 25'tir ve 25 ile 144'ün toplamı 169'dur. 3, 4 ve 5 veya 5, 12 ve 13 gibi sayıların üçlülerine Pisagor sayıları denir. Üçlüden iki sayı bacakların uzunluklarına eşitse, geometrik bir yorumu vardır. sağ üçgen, o zaman üçüncü sayı hipotenüsünün uzunluğuna eşit olacaktır. Bu yorum, Pisagorcuları, herhangi bir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesinin, uzunlukların karelerinin toplamına eşit olduğuna göre, şimdi Pisagor teoremi olarak bilinen daha genel bir gerçeği fark etmeye yöneltmiş görünüyor. bacaklardan.

Birim bacaklı bir dik üçgen göz önüne alındığında, Pisagorcular hipotenüs uzunluğunun 'ye eşit olduğunu buldular ve bu onları kafa karışıklığına sürükledi, çünkü sayıyı iki tam sayının oranı olarak temsil etmeye boşu boşuna uğraştılar, ki bu sayı için son derece önemliydi. onların felsefesi. Tam sayıların oranı olarak gösterilemeyen değerlere Pisagorcular tarafından ölçülemez deniyordu; modern terim "irrasyonel sayılar" dır. MÖ 300 civarında Öklid, sayının ölçülemez olduğunu kanıtladı. Pisagorcular, geometrik görüntülerdeki tüm miktarları temsil eden irrasyonel sayılarla ilgilendiler. 1 ve bazı bölümlerin uzunlukları olarak kabul edilirse, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki fark düzeltilir. Sayıların çarpımı, kenar uzunlukları olan bir dikdörtgenin alanıdır ve . Bugün bile bazen 25 sayısından 5'in karesi ve 27 sayısından 3'ün küpü olarak söz ediyoruz.

Antik Yunanlılar bilinmeyenli denklemleri geometrik yapılarla çözmüşlerdir. Segmentlerin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapmak, segment uzunluklarından karekök çıkarmak için özel yapılar geliştirildi; şimdi bu yönteme geometrik cebir deniyor.

Problemleri geometrik bir forma indirgemenin bir takım önemli sonuçları oldu. Özellikle sayılar, ölçülemeyen ilişkilerle ancak geometrik yöntemlerle çalışmak mümkün olduğundan, geometriden ayrı olarak ele alınmaya başlandı. Geometri, en az 1600'e kadar neredeyse tüm titiz matematiğin temeli oldu. Ve cebir ve matematiksel analizin zaten yeterince geliştirildiği 18. yüzyılda bile, titiz matematik geometri olarak kabul edildi ve "geometri" kelimesi "kelimesine eşdeğerdi. matematikçi".

Daha sonra sistematik olarak sunulan ve kanıtlanan matematiğin çoğunu Pisagorculara borçluyuz. BaşlangıçlarÖklid. Üçgenler, paralel doğrular, çokgenler, çemberler, küreler ve düzenli çokyüzlüler hakkında şu anda bilinen teoremleri keşfedenlerin onlar olduğuna inanmak için sebepler var.

En önde gelen Pisagorculardan biri Platon'du (MÖ 427–347). Platon, fiziksel dünyanın yalnızca matematik yoluyla anlaşılabileceğine ikna olmuştu. Analitik ispat yönteminin icadıyla kredilendirildiğine inanılıyor. ( Analitik metod ispatlanacak ifade ile başlar ve daha sonra bilinen bir gerçeğe ulaşılıncaya kadar sonuçlar bundan ardı ardına çıkarılır; ispat ters bir işlemle elde edilir.) Platon'un takipçilerinin "çelişkiyle ispat" adı verilen bir ispat yöntemini icat ettikleri genel olarak kabul edilir. Matematik tarihinde önemli bir yer, Platon'un öğrencisi Aristoteles tarafından işgal edilmiştir. Aristoteles mantık biliminin temellerini atmış ve tanımlar, aksiyomlar, sonsuzluk ve geometrik yapıların olasılığı hakkında bir takım fikirler dile getirmiştir.

Klasik dönemin Yunan matematikçilerinin en büyüğü, yalnızca Arşimet'ten sonra ikinci sırada olan Eudoxus'tur (MÖ 408–355). Çizgi parçaları ve açılar gibi nesneler için büyüklük kavramını tanıtan oydu. Büyüklük kavramına sahip olan Eudoxus, irrasyonel sayılarla uğraşan Pisagor yöntemini mantıksal olarak haklı çıkardı.

Eudoxus'un çalışmaları, açıkça formüle edilmiş aksiyomlar temelinde matematiğin tümdengelim yapısını kurmayı mümkün kıldı. Ayrıca matematiksel analizin yaratılmasında ilk adımın sahibidir, çünkü "tükenme yöntemi" olarak adlandırılan alanları ve hacimleri hesaplama yöntemini icat eden oydu. Bu yöntem, çalışmaya konu olan figür veya cismin alanını veya hacmini dolduran (“tüten”) yazılı ve tarif edilmiş düz figürler veya uzamsal cisimler oluşturmaktan oluşur. Eudoxus, gezegenlerin gözlemlenen hareketini açıklayan ilk astronomik teoriye de sahiptir. Eudoxus tarafından önerilen teori tamamen matematikseldi; farklı yarıçaplara ve dönme eksenlerine sahip dönen kürelerin kombinasyonlarının, güneşin, ayın ve gezegenlerin görünüşte düzensiz hareketlerini nasıl açıklayabileceğini gösterdi.

MÖ 300 civarında Birçok Yunan matematikçinin sonuçları, matematiksel bir başyapıt yazan Öklid tarafından bir araya getirildi. Başlangıçlar. Öklid, zekice seçilmiş birkaç aksiyomdan, klasik dönemin en önemli sonuçlarını kapsayan yaklaşık 500 teorem türetmiştir. Öklid, çalışmasına çizgi, açı ve daire gibi terimleri tanımlayarak başladı. Daha sonra, "bütün, parçaların herhangi birinden daha büyüktür" gibi on apaçık gerçeği formüle etti. Ve bu on aksiyomdan Öklid, tüm teoremleri türetebildi. matematikçiler için metin BaşlamakÖklid, 19. yüzyıla kadar uzun bir süre bir titizlik modeli olarak hizmet etti. açıkça belirtilmeyen varsayımların bilinçsiz kullanımı gibi ciddi kusurlara rastlanmamıştır.

Apollonius (MÖ 262–200) İskenderiye döneminde yaşadı, ancak asıl eseri klasik geleneklerle uyumludur. Konik kesitler -daire, elips, parabol ve hiperbol- analizi, Yunan geometrisinin gelişiminin doruk noktasıydı. Apollonius ayrıca nicel matematiksel astronominin kurucusu oldu.

İskenderiye dönemi.

MÖ 300 civarında başlayan bu dönemde, Yunan matematiğinin doğası değişti. İskenderiye matematiği, klasik Yunan matematiğinin Babil ve Mısır matematiğiyle kaynaşmasından doğdu. Genel olarak, İskenderiye dönemi matematikçileri, felsefeden ziyade salt teknik problemleri çözmeye daha eğilimliydiler. Büyük İskenderiyeli matematikçiler - Eratosthenes, Arşimet, Hipparchus, Ptolemy, Diophantus ve Pappus - Yunan dehasının teorik soyutlamadaki gücünü gösterdiler, ancak yeteneklerini pratik problemleri ve tamamen nicel problemleri çözmek için eşit derecede istekliydiler.

Eratosthenes (c. 275-194) Dünya'nın çevresini doğru bir şekilde hesaplamak için basit bir yöntem buldu, ayrıca her dört yılda bir diğerlerinden bir gün daha fazla olan bir takvimi var. Gökbilimci Aristarchus (c. 310-230 BC) bir deneme yazdı Güneş ve Ay'ın boyutları ve uzaklıkları hakkında, bu boyutları ve mesafeleri belirlemeye yönelik ilk denemelerden birini içeren; Aristarchus'un çalışması karakter olarak geometrikti.

Antik çağın en büyük matematikçisi Arşimet'ti (MÖ 287–212). Karmaşık figürlerin ve cisimlerin alanları ve hacimleri hakkında birçok teoremin formülasyonuna sahiptir, kendisi tarafından tükenme yöntemiyle oldukça titiz bir şekilde kanıtlanmıştır. Arşimet her zaman kesin çözümler elde etmeye çalıştı ve ir için üst ve alt sınırlar buldu. rasyonel sayılar. Örneğin, normal bir 96-gon ile çalışarak, sayının tam değerinin kesin olduğunu kanıtladı. p 3 1/7 ile 3 10/71 arasındadır. Arşimet ayrıca geometrik cebirde yeni sonuçlar içeren birkaç teorem kanıtladı. Parçaların hacimlerinin birbirine belirli bir oranda olması için bir topun bir düzlemle kesilmesi probleminin formülasyonuna sahiptir. Arşimet bu sorunu bir parabol ile bir ikizkenar hiperbolünün kesişimini bularak çözdü.

Arşimet, antik çağın en büyük matematiksel fizikçisiydi. Mekaniğin teoremlerini kanıtlamak için geometrik değerlendirmeleri kullandı. Onun makalesi Yüzen cisimler hakkında hidrostatiğin temellerini attı. Efsaneye göre Arşimet, kendi adını taşıyan yasayı keşfetmiştir; buna göre, yerinden çıkardığı sıvının ağırlığına eşit bir kaldırma kuvveti suya daldırılmış bir cisme etki eder ve "Eureka!" diye bağırarak sokağa çıkar. ("Açıldı!")

Arşimet zamanında, artık sınırlı değillerdi. geometrik yapılar, sadece bir pusula ve cetvel ile yapılabilir. Arşimet yapılarında bir spiral kullandı ve Diocles (MÖ 2. yüzyılın sonu) cissoid adı verilen bir eğri yardımıyla küpü ikiye katlama problemini çözdü.

İskenderiye döneminde aritmetik ve cebir, geometriden bağımsız olarak ele alındı. Klasik dönemin Yunanlıları, mantıksal temelli bir tamsayı teorisine sahipti, ancak Babil ve Mısır aritmetiği ve cebirini benimseyen İskenderiye Yunanlıları, matematiksel titizlik hakkında zaten geliştirilmiş fikirlerini büyük ölçüde kaybettiler. 100 yılları arasında yaşamış ve 100 AD İskenderiye Kahramanı, Yunanlıların geometrik cebirlerinin çoğunu açıkçası gevşek hesaplama prosedürlerine dönüştürdü. Bununla birlikte, Öklid geometrisinin yeni teoremlerini ispatlarken, hala klasik dönemin mantıksal titizlik standartları tarafından yönlendiriliyordu.

Aritmetiğin geometriden bağımsız olarak sunulduğu oldukça hacimli ilk kitap, Aritmetiğe Giriş Nikomakhos (c. 100 AD). Aritmetik tarihindeki rolü, aritmetik ile karşılaştırılabilir. Başlamak Geometri tarihinde Öklid. 1000 yılı aşkın bir süredir standart ders kitabı olarak hizmet etti çünkü tam sayılar (asal, bileşik, asal ve ayrıca oranlar) doktrinini açık, özlü ve kapsamlı bir şekilde açıklıyor. Birçok Pisagor ifadesini tekrarlamak, giriiş Ancak Nicomachus daha da ileri gitti, çünkü Nicomachus daha genel ilişkiler gördü, ancak bunları kanıtsız olarak aktardı.

İskenderiye Yunanlılarının cebirinde önemli bir dönüm noktası, Diophantus'un (c. 250) eseriydi. Başlıca başarılarından biri, sembolizm ilkelerinin cebire girmesiyle bağlantılıdır. Diophantus, eserlerinde genel yöntemler sunmamış, harf atamalarıyla değil, belirli pozitif rasyonel sayıları ele almıştır. Sözde temellerini attı. diofant analizi - belirsiz denklemlerin çalışmaları.

İskenderiyeli matematikçilerin en büyük başarısı nicel astronominin yaratılmasıydı. Hipparchus (c. 161-126) trigonometrinin icadını borçluyuz. Yöntemi, benzer üçgenlerde, birinin herhangi iki kenarının uzunluklarının oranının, diğerinin karşılık gelen iki kenarının uzunluklarının oranına eşit olduğunu belirten bir teoreme dayanıyordu. Özellikle dar açının karşısındaki bacağın uzunluğunun oranı ANCAK Bir dik üçgende, aynı dar açıya sahip tüm dik üçgenler için hipotenüsün uzunluğu aynı olmalıdır. ANCAK. Bu oran, açının sinüsü olarak bilinir. ANCAK. Bir dik üçgenin diğer kenarlarının uzunluklarının oranına, açının kosinüsü ve tanjantı denir. ANCAK. Hipparchus, bu tür oranları hesaplamak için bir yöntem icat etti ve tablolarını derledi. Bu tablolar ve Dünya yüzeyindeki kolayca ölçülebilen mesafelerle, büyük çevresinin uzunluğunu ve aya olan mesafesini hesaplayabildi. Hesaplarına göre, ayın yarıçapı, dünyanın yarıçapının üçte biri kadardı; Modern verilere göre, Ay ve Dünya'nın yarıçaplarının oranı 27/1000'dir. Hipparchus, güneş yılının uzunluğunu sadece 6 1/2 dakikalık bir hatayla belirledi; enlemleri ve boylamları tanıtan kişi olduğuna inanılıyor.

Yunan trigonometrisi ve astronomideki uygulamaları zirveye ulaştı. Almagest Mısırlı Claudius Ptolemy (MS 168'de öldü). AT Almagest hareket teorisini tanıttı gök cisimleri 16. yüzyıla kadar hakim olan, yerini Kopernik teorisi ile değiştirdiği zaman. Ptolemy en basit olanı inşa etmeye çalıştı matematiksel model, teorisinin sadece astronomik fenomenlerin gözlemlerle tutarlı, uygun bir matematiksel açıklaması olduğunu fark ederek. Kopernik teorisi kesin olarak üstün geldi çünkü bir model olarak daha basit olduğu ortaya çıktı.

Yunanistan'ın düşüşü.

MÖ 31'de Mısır'ın Romalılar tarafından fethinden sonra. büyük Yunan İskenderiye uygarlığı çürümeye başladı. Cicero, Yunanlıların aksine, Romalıların hayalperest olmadıklarını ve bu nedenle matematiksel bilgilerini pratiğe dökerek onlardan gerçek faydalar elde ettiklerini gururla iddia etti. Ancak, Romalıların matematiğin kendisinin gelişimine katkısı önemsizdi. Roma sayı sistemi, sayılar için hantal gösterime dayanıyordu. Başlıca özelliği, katkı ilkesiydi. Örneğin, 9 sayısının IX şeklinde yazılması gibi çıkarma ilkesi bile ancak 15. yüzyılda dizgi harflerinin icadından sonra yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Bazı Avrupa okullarında, yaklaşık 1600'e kadar ve bir yüzyıl sonra muhasebede sayılar için Romalı isimler kullanıldı.

HİNDİSTAN VE ARAP

Yunanlıların matematik tarihindeki halefleri Kızılderililerdi. Hintli matematikçiler ispatlarla uğraşmadılar, ancak orijinal kavramlar ve bir dizi ortaya koydular. etkili yöntemler. Sıfırı hem temel sayı olarak hem de ilgili kategoride birimlerin yokluğunun bir sembolü olarak ilk kez tanıtan onlardı. Mahavira (MS 850), bir sayıyı sıfıra bölmenin sayıyı değiştirmeden bıraktığına inanarak, sıfırla işlemler için kuralları belirledi. Bir sayıyı sıfıra bölme durumu için doğru cevap Bhaskara (1114 doğumlu) tarafından verildi, ayrıca irrasyonel sayılarla ilgili işlemlerin kurallarına da sahip. Kızılderililer negatif sayılar kavramını (borçları belirtmek için) tanıttılar. Bunların en erken kullanımını Brahmagupta'da (c. 630) buluyoruz. Aryabhata (s. 476) belirsiz denklemleri çözmek için sürekli kesirleri kullanma konusunda Diophantus'tan daha ileri gitti.

Sayıları ve sıfırı ana sayı olarak yazma ve boş bir bit atamasını kullanma konum ilkesine dayanan modern sayı sistemimize Hindu-Arapça denir. Hindistan'da inşa edilmiş bir tapınağın duvarında c. MÖ 250'de, ana hatlarıyla modern sayılarımızı anımsatan birkaç figür bulundu.

800 civarında Hint matematiği Bağdat'a ulaştı. "Cebir" terimi, kitabın başlığının başından gelir. el-cebr vel-mukabele (Tamamlama ve muhalefet), astronom ve matematikçi el-Harezmi tarafından 830 yılında yazılmıştır. Denemesinde, Hint matematiğinin esasına övgüde bulundu. El-Khwarizmi'nin cebiri Brahmagupta'nın yazılarına dayanıyordu, ancak burada Babil ve Yunan etkileri açıkça ayırt edilebilir. Bir diğer önde gelen Arap matematikçisi İbnü'l-Heysem (c. 965-1039), ikinci dereceden ve kübik denklemlerin cebirsel çözümlerini elde etmek için bir yöntem geliştirdi. Omar Khayyam da dahil olmak üzere Arap matematikçiler, konik kesitler kullanarak geometrik yöntemler kullanarak bazı kübik denklemleri çözebildiler. Arap gökbilimciler, teğet ve kotanjant kavramını trigonometriye soktular. Nasıreddin Tusi (1201-1274) c üzerinde inceleme tam dörtgen sistematik olarak düzlem ve küresel geometrileri açıkladı ve trigonometriyi astronomiden ayrı olarak ele alan ilk kişi oldu.

Yine de Arapların matematiğe en önemli katkısı, Yunanlıların büyük eserlerine yaptıkları çeviriler ve yorumlardı. Avrupa bu eserlerle Arapların fethinden sonra tanışmıştır. Kuzey Afrika ve İspanya ve daha sonra Yunanlıların eserleri Latince'ye çevrildi.

ORTA ÇAĞLAR VE RÖNESANS

Ortaçağ avrupası.

Roma uygarlığı matematiğe çok az iz bıraktı çünkü pratik problemleri çözmekle çok meşguldü. Avrupa'da Orta Çağ'ın başlarında (yaklaşık 400-1100) gelişen uygarlık, bunun tam tersi bir nedenle üretken değildi: entelektüel yaşam neredeyse tamamen teoloji ve öbür dünyaya odaklanmıştı. Matematiksel bilgi düzeyi aritmetik ve basit bölümlerin üzerine çıkmadı. BaşlamakÖklid. Astroloji, Orta Çağ'da matematiğin en önemli dalı olarak kabul edildi; astrologlara matematikçi denirdi. Ve tıbbi uygulama ağırlıklı olarak astrolojik endikasyonlara veya kontrendikasyonlara dayandığından, doktorların matematikçi olmaktan başka seçeneği yoktu.

1100 civarında, Batı Avrupa matematiği, Araplar ve Bizans Rumları tarafından korunan mirasın neredeyse üç yüzyıllık bir gelişim dönemine başladı. Antik Dünya ve Doğu. Araplar, eski Yunanlıların neredeyse tüm eserlerine sahip olduklarından, Avrupa kapsamlı bir matematik literatürü aldı. Bu eserlerin Latinceye çevrilmesi, matematiksel araştırmaların yükselişine katkıda bulundu. O zamanın bütün büyük bilim adamları, Yunanlıların yazılarından ilham aldıklarını itiraf ettiler.

Bahsetmeye değer ilk Avrupalı ​​matematikçi Pisa'lı Leonardo'ydu (Fibonacci). makalesinde abaküs kitabı(1202), Avrupalıları Hint-Arap rakamları ve hesaplama yöntemlerinin yanı sıra Arap cebiriyle tanıştırdı. Önümüzdeki birkaç yüzyıl boyunca, Avrupa'daki matematiksel etkinlik azaldı. 1494'te Luca Pacioli tarafından derlenen o dönemin matematiksel bilgisi, Leonardo'nun sahip olmadığı cebirsel yenilikleri içermiyordu.

Rönesans.

Rönesans'ın en iyi geometrileri arasında, paralel çizgilerle birleşen geometri gerektiren perspektif fikrini geliştiren sanatçılar vardı. Sanatçı Leon Battista Alberti (1404-1472), izdüşüm ve kesit kavramlarını tanıttı. Gözlemcinin gözünden betimlenen sahnenin çeşitli noktalarına gelen doğrusal ışık ışınları bir izdüşüm oluşturur; kesit, düzlem çıkıntıdan geçtiğinde elde edilir. Boyanan resmin gerçekçi görünmesi için böyle bir bölüm olması gerekiyordu. İzdüşüm ve kesit kavramları tamamen matematiksel sorulara yol açtı. Örneğin, kesitin ve orijinal sahnenin genel geometrik özellikleri nelerdir, izdüşümü farklı açılarda kesen iki farklı düzlemin oluşturduğu aynı izdüşümün iki farklı kesitinin özellikleri nelerdir? Projektif geometri bu tür sorulardan ortaya çıktı. Kurucusu J. Desargues (1593-1662), izdüşüm ve kesite dayalı kanıtları kullanarak, büyük Yunan geometricisi Apollonius'un ayrı ayrı ele aldığı çeşitli konik kesit türlerine yaklaşımı birleştirdi.

MODERN MATEMATİKİN BAŞLANGICI

16. yüzyılın taarruzu Batı Avrupa'da cebir ve aritmetikteki önemli başarılar damgasını vurdu. Ondalık kesirler ve onlarla aritmetik işlemler için kurallar dolaşıma girdi. Gerçek bir zafer, 1614'te J. Napier tarafından logaritmaların icadıydı. 17. yüzyılın sonunda. Sonunda, bir tabandan başka herhangi bir pozitif sayıya sahip üsler olarak logaritma anlayışı gelişti. 16. yüzyılın başından itibaren irrasyonel sayılar daha yaygın olarak kullanılmaya başlandı. B. Pascal (1623-1662) ve I. Barrow (1630-1677), I. Newton'un Cambridge Üniversitesi'ndeki öğretmeni, böyle bir sayının yalnızca geometrik bir miktar olarak yorumlanabileceğini savundu. Bununla birlikte, aynı yıllarda, R. Descartes (1596-1650) ve J. Wallis (1616-1703), irrasyonel sayıların geometriye atıfta bulunmadan kendi başlarına kabul edilebilir olduğuna inanıyorlardı. 16. yüzyılda Negatif sayıların tanıtılmasının yasallığı konusunda tartışmalar devam etti. Descartes tarafından "hayali" olarak adlandırılanlar gibi ikinci dereceden denklemleri çözerken ortaya çıkan karmaşık sayılar daha da az kabul edilebilirdi. L. Euler (1707-1783) bunları başarıyla kullanmasına rağmen, bu sayılar 18. yüzyılda bile şüphe altındaydı. Karmaşık sayılar nihayet ancak 19. yüzyılın başında, matematikçilerin geometrik temsillerine aşina olduklarında tanındı.

cebirdeki gelişmeler.

16. yüzyılda İtalyan matematikçiler N. Tartaglia (1499-1577), S. Dal Ferro (1465-1526), ​​L. Ferrari (1522-1565) ve D. Cardano (1501-1576) üçüncü ve dördüncü denklemlere genel çözümler buldu derece. Cebirsel akıl yürütmeyi ve yazmayı daha kesin hale getirmek için +, -, ґ, =, > ve dahil olmak üzere çeşitli semboller tanıtıldı.<.>2 - 4 AC] ikinci dereceden denklem, yani denklem balta 2 + sevgili + c= 0, diskriminant olup olmamasına bağlı olarak eşit gerçek, farklı gerçek veya karmaşık eşlenik köklere sahiptir. b 2 – 4AC sıfıra eşit, sıfırdan büyük veya sıfırdan küçük. 1799'da K. Friedrich Gauss (1777-1855) sözde kanıtladı. cebirin temel teoremi: her polinom n derece tam olarak var n kökler.

Cebirin ana görevi - cebirsel denklemlerin genel bir çözümünü aramak - 19. yüzyılın başlarında matematikçileri meşgul etmeye devam etti. İkinci dereceden bir denklemin genel çözümü hakkında konuşurken balta 2 + sevgili + c= 0, iki kökünün her birinin, katsayılar üzerinde gerçekleştirilen sonlu sayıda toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök çıkarma işlemleri kullanılarak ifade edilebileceği anlamına gelir. a, b ve İle birlikte. Genç Norveçli matematikçi N. Abel (1802-1829), elde etmenin imkansız olduğunu kanıtladı. ortak karar Sonlu sayıda cebirsel işlem kullanılarak 4'ten büyük dereceli denklemler. Ancak, böyle bir çözümü kabul eden 4'ten daha yüksek özel bir formda birçok denklem vardır. Bir düelloda ölümünün arifesinde, genç Fransız matematikçi E. Galois (1811-1832), hangi denklemlerin radikallerde çözülebilir olduğu sorusuna belirleyici bir cevap verdi, yani. Sonlu sayıda cebirsel işlem kullanılarak denklemlerin kökleri katsayıları cinsinden ifade edilebilir. Galois teorisinde, köklerin ikameleri veya permütasyonları kullanıldı ve matematiğin birçok alanında geniş uygulama alanı bulan grup kavramı tanıtıldı.

Analitik Geometri.

Analitik veya koordinat geometrisi, inşaat problemlerinde Öklid geometrisinin olanaklarını genişletmek için P. Fermat (1601-1665) ve R. Descartes tarafından bağımsız olarak oluşturuldu. Ancak Fermat, çalışmalarını yalnızca Apollonius'un çalışmalarının yeniden formüle edilmesi olarak değerlendirdi. Gerçek keşif - tüm gücün gerçekleştirilmesi cebirsel yöntemler Descartes'a aittir. Her yapı için Öklid geometrik cebir, orijinal yönteminin icadını gerektiriyordu ve bilimin ihtiyaç duyduğu nicel bilgiyi sunamadı. Descartes bu sorunu çözdü: geometrik problemleri cebirsel olarak formüle etti, cebirsel bir denklemi çözdü ve ancak o zaman istenen çözümü oluşturdu - uygun uzunluğa sahip bir segment. Descartes, çözümleri bir değil, bir dizi olası uzunluk olan belirsiz inşaat problemlerini düşünmeye başladığında, uygun analitik geometri ortaya çıktı.

Analitik geometri, eğrileri ve yüzeyleri temsil etmek ve incelemek için cebirsel denklemleri kullanır. Descartes, tek bir cebirsel denklemle yazılabilen bir eğrinin kabul edilebilir olduğunu düşündü. X ve de. Bu yaklaşım ileriye doğru atılmış önemli bir adımdı, çünkü sadece konkoid ve cissoid gibi eğrileri içermekle kalmadı, aynı zamanda eğrilerin aralığını da önemli ölçüde genişletti. Sonuç olarak, 17-18 yüzyıllarda. Sikloid ve katener gibi birçok önemli yeni eğri bilimsel kullanıma girdi.

Görünüşe göre, konik bölümlerin özelliklerini kanıtlamak için denklemleri kullanan ilk matematikçi J. Wallis'ti. 1865'te Kitap V'de sunulan tüm sonuçları cebirsel olarak elde etmişti. BaşlamakÖklid.

Analitik geometri, geometri ve cebirin rollerini tamamen tersine çevirdi. Büyük Fransız matematikçi Lagrange'ın belirttiği gibi, "Cebir ve geometri kendi yollarına giderken, ilerlemeleri yavaş ve uygulamaları sınırlı olmuştur. Ancak bu bilimler güçlerini birleştirince birbirlerinden yeni bir canlılık ödünç almışlar ve o zamandan beri hızlı adımlarla mükemmelliğe doğru yol almışlardır. Ayrıca bakınız CEBİRSEL GEOMETRİ; GEOMETRİ; GEOMETRİ İNCELEME.

Matematiksel analiz.

Modern bilimin kurucuları - Copernicus, Kepler, Galileo ve Newton - doğa çalışmasına matematik olarak yaklaştılar. Matematikçiler, hareketi incelerken, örneğin bir fonksiyon veya değişkenler arasındaki ilişki gibi temel bir kavram geliştirdiler. d = kt 2, nerede d serbest düşen bir cismin kat ettiği mesafedir ve t vücudun içinde bulunduğu saniye sayısıdır serbest düşüş. Fonksiyon kavramı, dünyadaki hız tanımının hemen merkezinde yer aldı. şu an Hareket eden bir cismin zamanı ve ivmesi. Bu problemin matematiksel zorluğu, vücudun her an sıfır zamanda sıfır mesafe kat etmesiydi. Bu nedenle, yolu zamana bölerek bir andaki hızın değerini belirleyerek, matematiksel olarak anlamsız 0/0 ifadesine geleceğiz.

Tanımlama ve hesaplama görevi anlık hızlarÇeşitli miktarlardaki değişiklikler, Barrow, Fermat, Descartes ve Wallis dahil olmak üzere 17. yüzyılın hemen hemen tüm matematikçilerinin dikkatini çekti. Onlar tarafından önerilen farklı fikirler ve yöntemler, diferansiyel hesabın yaratıcıları Newton ve G. Leibniz (1646-1716) tarafından sistematik, evrensel olarak uygulanabilir bir biçimsel yöntemde birleştirildi. Newton'un Leibniz'i intihalle suçlamasıyla, bu hesabı geliştirmenin önceliği konusunda aralarında hararetli bir tartışma vardı. Ancak bilim tarihçilerinin çalışmalarının gösterdiği gibi, Leibniz matematiksel analizi Newton'dan bağımsız olarak yarattı. Çatışmanın bir sonucu olarak, kıta Avrupası matematikçileri ile İngiltere arasındaki fikir alışverişi, İngiliz tarafının zararına uzun yıllar kesintiye uğradı. İngiliz matematikçiler analiz fikirlerini geometrik bir yönde geliştirmeye devam ederken, I. Bernoulli (1667-1748), Euler ve Lagrange dahil olmak üzere kıta Avrupası matematikçileri cebirsel veya analitik yaklaşımı izleyerek kıyaslanamayacak kadar büyük bir başarı elde ettiler.

Tüm matematiksel analizlerin temeli limit kavramıdır. Zamanın bir noktasındaki hız, ortalama hızın yöneldiği sınır olarak tanımlanır. d/t değer ne zaman t sıfıra yaklaşıyor. Diferansiyel hesap, bir fonksiyonun değişim oranını bulmak için uygun bir genel yöntem sağlar. f (x) herhangi bir değer için X. Bu hıza türev denir. Kaydın genelliğinden f (x) türev kavramının yalnızca hız veya ivmeyi bulma ihtiyacıyla ilgili problemlerde değil, aynı zamanda herhangi bir şeyle ilgili olarak da uygulanabilir olduğu açıktır. fonksiyonel bağımlılıkörneğin, ekonomik teoriden bir orana. Diferansiyel hesabın ana uygulamalarından biri sözdedir. maksimum ve minimum için görevler; Bir diğer önemli problem aralığı, verilen bir eğriye teğet bulmaktır.

Hareket problemleriyle çalışmak için özel olarak icat edilen türevin yardımıyla, sırasıyla eğriler ve yüzeylerle sınırlanan alanları ve hacimleri bulmanın da mümkün olduğu ortaya çıktı. Öklid geometrisinin yöntemleri uygun genelliğe sahip değildi ve gerekli nicel sonuçların elde edilmesine izin vermiyordu. 17. yüzyıl matematikçilerinin çabalarıyla. Şu veya bu tür eğrilerle sınırlanmış şekillerin alanlarını bulmayı mümkün kılan çok sayıda özel yöntem oluşturuldu ve bazı durumlarda bu problemler ile fonksiyonların değişim oranını bulma problemleri arasında bir bağlantı kaydedildi. Ancak, diferansiyel hesap durumunda olduğu gibi, yöntemin genelliğini fark eden ve böylece integral hesabın temellerini atanlar Newton ve Leibniz'di.

MODERN MATEMATİK

Diferansiyel ve integral hesabın yaratılması, "yüksek matematiğin" başlangıcını işaret etti. Matematiksel analiz yöntemleri, altında yatan limit kavramının aksine açık ve anlaşılır görünüyordu. Uzun yıllar boyunca Newton ve Leibniz de dahil olmak üzere matematikçiler limit kavramının kesin bir tanımını vermek için boşuna uğraştılar. Ve yine de, matematiksel analizin geçerliliği hakkındaki sayısız şüpheye rağmen, giderek daha yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Diferansiyel ve integral hesabı, sonunda diferansiyel denklemler teorisi, adi ve kısmi türevler, sonsuz seriler, varyasyonlar hesabı, diferansiyel geometri ve çok daha fazlasını içeren matematiksel analizin temel taşları haline geldi. Sınırın kesin bir tanımı ancak 19. yüzyılda elde edildi.

Öklidyen olmayan geometri.

1800'e gelindiğinde matematik, sayı sistemi ve Öklid geometrisi olmak üzere iki "sütun" üzerinde duruyordu. Sayı sisteminin birçok özelliği geometrik olarak kanıtlandığından, Öklid geometrisi matematiğin inşasının en güvenilir parçasıydı. Bununla birlikte, paralellikler aksiyomu, sonsuza uzanan doğrular hakkında, deneyimle doğrulanamayan bir ifade içeriyordu. Bu aksiyomun Öklid'in kendi versiyonu bile, bazı doğruların kesişmeyeceğini hiç söylemez. Bunun yerine, bir uç noktada kesiştikleri bir koşul formüle eder. Yüzyıllar boyunca matematikçiler paralel aksiyom için uygun bir ikame bulmaya çalıştılar. Ancak her varyantta bir tür boşluk olması kaçınılmazdı. Öklid dışı geometri yaratma onuru N.I. Lobachevsky (1792-1856) ve J. Bolyai'ye (1802-1860) düştü. Onların geometrilerinde verilen nokta sonsuz sayıda paralel çizgi çizilebilir. B. Riemann'ın (1826-1866) geometrisinde, düz bir çizginin dışındaki bir noktadan tek bir paralel çizgi çizilemez.

Öklid dışı geometrinin fiziksel uygulamalarını kimse ciddi olarak düşünmedi. A. Einstein'ın (1879–1955) 1915'te genel görelilik teorisini yaratması, bilim dünyasını Öklidyen olmayan geometrinin gerçekliğinin gerçekleşmesi konusunda uyandırdı.

matematiksel titizlik.

Yaklaşık 1870 yılına kadar matematikçiler, eski Yunanlıların planlarına göre hareket ettiklerine, tümdengelimli akıl yürütmeyi matematiksel aksiyomlara uyguladıklarına ve böylece aksiyomların sahip olduğundan daha az güvenilir olmayan sonuçlara ulaştıklarına ikna oldular. Öklidyen olmayan geometri ve kuaterniyonlar (değişmelilik özelliğinin bulunmadığı bir cebir), matematikçilerin soyut ve mantıksal olarak tutarlı ifadeler olarak kabul ettiklerinin gerçekte ampirik ve pragmatik bir temele dayandığını fark etmelerini sağladı.

Öklidyen olmayan geometrinin yaratılmasına, Öklid geometrisindeki mantıksal boşlukların varlığının farkına varılması da eşlik etti. Öklid'in eksikliklerinden biri Başlamak açıkça belirtilmeyen varsayımların kullanılmasıydı. Görünüşe göre Öklid, sahip olduğu özellikleri sorgulamadı. geometrik şekiller, ancak bu özellikler onun aksiyomlarına dahil edilmedi. Ek olarak, iki üçgenin benzerliğini kanıtlayan Öklid, dolaylı olarak şekillerin özelliklerinin hareket sırasında değişmediğini varsayarak bir üçgenin diğerine yerleştirilmesini kullandı. Ancak bu tür mantıksal boşluklardan ayrı olarak, Başlangıçlar Bazı hatalı kanıtlar da vardı.

Kuaterniyonlarla başlayan yeni cebirlerin yaratılması, aritmetiğin mantıksal geçerliliği ve olağan sayı sisteminin cebiri hakkında benzer şüphelere yol açtı. Daha önce matematikçiler tarafından bilinen tüm sayılar değişme özelliğine sahipti, yani. ab = ba. Sayılarla ilgili geleneksel fikirlerde devrim yaratan kuaterniyonlar, 1843'te W. Hamilton (1805-1865) tarafından keşfedildi. Değişebilirlik özelliği kuaterniyonlar için geçerli olmasa da, bir dizi fiziksel ve geometrik problemi çözmek için faydalı oldukları ortaya çıktı. Kuaterniyonlar, matematikçileri, Öklid'in tamsayı dışında ve mükemmel kısmından çok uzak olduğunu fark etmeye zorladı. Başlamak, aritmetik ve cebirin kendi aksiyomatik temelleri yoktur. Matematikçiler, negatif ve karmaşık sayıları özgürce ele aldılar ve yalnızca başarılı çalıştıkları gerçeğinin rehberliğinde cebirsel işlemler gerçekleştirdiler. Mantıksal titizlik, yerini şüpheli kavram ve prosedürleri tanıtmanın pratik faydasını göstermeye bırakmıştır.

Matematiksel analizin neredeyse en başından beri, ona sağlam bir temel vermek için tekrarlanan girişimler olmuştur. Matematiksel analiz iki yeni karmaşık kavram ortaya koydu - türev ve kesin integral. Newton ve Leibniz, diferansiyel ve integral hesabı matematiksel analize dönüştüren sonraki nesillerin matematikçilerinin yanı sıra bu kavramlar için savaştı. Ancak tüm çabalara rağmen limit, süreklilik ve türevlenebilirlik kavramlarında net olmayan pek çok şey vardı. Ayrıca cebirsel fonksiyonların özelliklerinin diğer tüm fonksiyonlara aktarılamayacağı ortaya çıktı. 18. yüzyılın neredeyse tüm matematikçileri ve 19. yüzyılın başlarında. kalkülüs için sağlam bir temel bulmak için çabalar sarf edildi ve hepsi başarısız oldu. Son olarak, 1821'de O. Cauchy (1789-1857), sayı kavramını kullanarak, tüm matematiksel analizler için katı bir temel getirdi. Ancak daha sonraki matematikçiler Cauchy'de mantıksal boşluklar keşfettiler. İstenilen şiddet nihayet 1859'da K. Weierstrass (1815-1897) tarafından elde edildi.

Weierstrass başlangıçta gerçek ve Karışık sayılar apaçık. Daha sonra, G. Kantor (1845–1918) ve R. Dedekind (1831–1916) gibi, bir teori inşa etmenin gerekliliğini fark etti. irrasyonel sayılar. İrrasyonel sayıların doğru bir tanımını verdiler ve özelliklerini belirlediler, ancak rasyonel sayıların özellikleri hala açık olarak kabul edildi. Son olarak, gerçek ve karmaşık sayılar teorisinin mantıksal yapısı, Dedekind ve J. Peano'nun (1858–1932) çalışmalarında son şeklini almıştır. Sayısal bir sistemin temellerinin oluşturulması, cebir doğrulama problemlerinin çözülmesini de mümkün kıldı.

Öklid geometrisinin formülasyonlarının titizliğini güçlendirme görevi nispeten basitti ve tanımlanmış terimleri listelemek, tanımları netleştirmek, eksik aksiyomları getirmek ve ispatlardaki boşlukları doldurmaktan ibaretti. Bu görev 1899'da D. Gilbert (1862–1943) tarafından tamamlandı. Hemen hemen aynı zamanda, diğer geometrilerin temelleri atıldı. Hilbert, biçimsel aksiyomatik kavramını formüle etti. Yaklaşımının özelliklerinden biri tanımsız terimlerin yorumlanmasıdır: aksiyomları karşılayan herhangi bir nesne anlamına gelebilirler. Bu özelliğin sonucu, modern matematiğin artan soyutluğuydu. Öklid ve Öklid olmayan geometriler fiziksel alanı tanımlar. Ancak geometrinin bir genellemesi olan topolojide, tanımsız "nokta" terimi geometrik çağrışımlardan arınmış olabilir. Bir topolog için bir nokta, bir fonksiyon veya bir sayı dizisi veya başka bir şey olabilir. Soyut uzay, böyle bir "nokta" kümesidir ( Ayrıca bakınız TOPOLOJİ).

Hilbert'in aksiyomatik yöntemi, 20. yüzyılda matematiğin neredeyse tüm dallarına girdi. Ancak kısa süre sonra bu yöntemin bazı sınırlamaları olduğu anlaşıldı. 1880'lerde Cantor, sonsuz kümeleri sistematik olarak sınıflandırmaya çalıştı (örneğin, tüm rasyonel sayılar kümesi, gerçek sayılar vb.) kendilerine sözde atfedilen karşılaştırmalı nicel değerlendirmeleriyle. sonlu sayılar. Aynı zamanda küme teorisindeki çelişkileri keşfetti. Böylece, 20. yüzyılın başlarında. matematikçiler, kendi çözümlerinin yanı sıra, sözde'nin örtük kullanımı gibi bilimlerinin temellerinin diğer sorunlarıyla da uğraşmak zorunda kaldılar. seçim aksiyomları. Yine de K. Gödel'in (1906-1978) eksiklik teoreminin yıkıcı etkisiyle hiçbir şey kıyaslanamaz. Bu teorem, sayı teorisini içerecek kadar zengin herhangi bir tutarlı biçimsel sistemin zorunlu olarak karar verilemeyen bir cümle içerdiğini belirtir, yani. kendi çerçevesi içinde ne ispatlanabilir ne de çürütülebilir bir ifade. Artık genel olarak matematikte mutlak bir kanıt olmadığı kabul edilmektedir. Kanıtın ne olduğu konusunda görüşler farklıdır. Bununla birlikte, çoğu matematikçi, matematiğin temellerinin problemlerinin felsefi olduğuna inanmaya meyillidir. Aslında, yeni bulunan mantıksal olarak kesin yapıların bir sonucu olarak tek bir teorem değişmedi; bu, matematiğin mantığa değil, sağlam sezgiye dayandığını gösterir.

1600'den önce bilinen matematik temel olarak nitelendirilebilirse, daha sonra yaratılanla karşılaştırıldığında, bu temel matematik sonsuz küçüktür. Eski alanlar genişledi ve matematiksel bilginin hem saf hem de uygulamalı dalları ortaya çıktı. Yaklaşık 500 matematik dergisi yayınlanmaktadır. Çok sayıda yayınlanmış sonuç, bir uzmanın bile çalıştığı alanda olan her şeyi tanımasına izin vermez, birçok sonucun yalnızca dar profilli bir uzman tarafından anlaşılabilir olduğu gerçeğinden bahsetmez. Bugün hiçbir matematikçi, bilimin çok küçük bir köşesinde olup bitenlerden fazlasını bilmeyi umamaz. Ayrıca bakınız matematikçiler hakkında makaleler.

Edebiyat:

Van der Waerden B.L. Uyanış Bilimi. Matematik Antik Mısır, Babil ve Yunanistan. M., 1959
Yushkevich A.P. Orta Çağ'da matematik tarihi. M., 1961
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Yollar ve labirentler. Matematik tarihi ile ilgili yazılar. M., 1986
Klein F. 19. Yüzyılda Matematiğin Gelişimi Üzerine Dersler. M., 1989



İngilizce: Wikipedia, siteyi daha güvenli hale getiriyor. Gelecekte Wikipedia'ya bağlanamayacak eski bir web tarayıcısı kullanıyorsunuz. Lütfen cihazınızı güncelleyin veya BT yöneticinizle iletişime geçin.

中文: 维基 百科 使 网站 更加 安全 您 正在 旧 的 ， 这 在 将来 无法 维基百科。 更新 您 设备 更 ， ， 具 技术性 的 更新 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语merhaba ）。

İspanyolca: Wikipedia está haciedo el sitio más seguro. Vikipedi'de web sitesini kullanmanın bir başka yolu yok. Gerçek bilgiler, bir su administrator informático ile temasa geçme. İngilizce ve İngilizce olarak güncellendi.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Fransızca: Wikipedia va bientôt artırıcı la securité de son sitesi. Wikipédia lorsque ce sera fait'te bir web ancien, qui ne pourra artı se bağlayıcı olmadan gezinmek için vous utilisez actuellement. Oylama ve değerlendirme için en iyi seçim, enformasyon ve oy oranı yönetimi. Des bilgi ekleri artı teknikler et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア は サイト の セキュリティ を て い ます。 ご の は バージョン 古く 、 、 、 が ます デバイス を 、 、 、 管理 管理 者 ご ください。 技術 面 更新 更新 更新 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供しています。

Almanca: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der içinde Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detayliertere) İngilizce'de en iyi Du unten'i englischer Sprache'de buldu.

italyanca: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un tarayıcı web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. En iyi şekilde, enformasyon için geçerlidir. İngilizce'de Più è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico.

Macarca: Biztonságosabb daha az bir Wikipedia. Bir böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni ve jövőben. Modernebb szoftvert vagy jelezd bir sorunlu bir rendszergazdnak. Alább olvashatod bir reszletesebb magyarázatot (angolul).

İsveç: Wikipedia gör sidan mer säker. En iyi webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia ve framtiden. Güncelleştirmeler için en iyi cihazlar kontakta din IT-administratör. Det finns en längre ve mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Güvenli olmayan TLS protokolü sürümlerine, özellikle de tarayıcı yazılımınızın sitelerimize bağlanmak için kullandığı TLSv1.0 ve TLSv1.1'e yönelik desteği kaldırıyoruz. Bu genellikle eski tarayıcılardan veya eski Android akıllı telefonlardan kaynaklanır. Veya bağlantı güvenliğini gerçekten düşüren kurumsal veya kişisel "Web Güvenliği" yazılımından kaynaklanan parazit olabilir.

Sitelerimize erişmek için web tarayıcınızı yükseltmeli veya bu sorunu başka bir şekilde düzeltmelisiniz. Bu mesaj 1 Ocak 2020'ye kadar kalacaktır. Bu tarihten sonra tarayıcınız sunucularımızla bağlantı kuramayacaktır.