Bir yüzey, koordinatları belirli bir denklem tipini karşılayan bir dizi nokta olarak tanımlanır:
F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))eğer fonksiyon F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) bir noktada süreklidir ve en az biri kaybolmayan sürekli kısmi türevlere sahiptir, o zaman bu noktanın yakınında denklem (1) ile verilen yüzey olacaktır. doğru yüzey.
Yukarıdakilere ek olarak örtük ayar yolu, yüzey tanımlanabilir Açıkça, değişkenlerden biri, örneğin z, diğerleri cinsinden ifade edilebilirse:
z = f (x , y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))Daha sıkı, düz yüzey birim karenin iç kısmının homeomorfik bir eşlemesinin (yani, bire bir ve karşılıklı olarak sürekli bir eşlemenin) görüntüsüdür. Bu tanıma analitik bir ifade verilebilir.
İç noktalarının koordinatları 0 eşitsizliklerini sağlayan dikdörtgen koordinat sistemi u ve v olan bir düzlemde bir kare verilsin.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Bir örnek basit yüzey bir yarım küredir. Bütün alan değil düz yüzey. Bu, yüzey kavramının daha da genelleştirilmesini gerektirir.
Her noktanın bir komşuluğa sahip olduğu uzayın bir alt kümesi düz yüzey, denir doğru yüzey .
Diferansiyel geometride yüzey
sarmal
katenoid
Metrik, yüzeyin şeklini benzersiz bir şekilde belirlemez. Örneğin, uygun bir şekilde parametrelenen bir sarmal ve bir katenoidin metrikleri çakışır, yani bölgeleri arasında tüm uzunlukları koruyan bir yazışma vardır (izometri). İzometrik dönüşümler altında korunan özelliklere denir. iç geometri yüzeyler. İç geometri, yüzeyin uzaydaki konumuna bağlı değildir ve gerilme ve sıkıştırma olmaksızın büküldüğünde (örneğin, bir silindir bir koni şeklinde büküldüğünde) değişmez.
Metrik katsayılar E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) sadece tüm eğrilerin uzunluklarını değil, genel olarak yüzey içindeki tüm ölçümlerin sonuçlarını (açılar, alanlar, eğrilik vb.) belirler. Bu nedenle, yalnızca metriğe bağlı olan her şey iç geometriyi ifade eder.
Normal ve normal bölüm
Yüzey noktalarında normal vektörler
Bir yüzeyin ana özelliklerinden biri, normal- belirli bir noktada teğet düzleme dik olan birim vektör:
m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r u ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).Normalin işareti koordinat seçimine bağlıdır.
Belirli bir noktada yüzeyin normalini içeren bir düzlem tarafından yüzeyin kesiti, belirli bir eğri oluşturur. normal bölüm yüzeyler. Normal bir bölüm için ana normal, yüzeyin normaliyle (bir işarete kadar) çakışır.
Yüzeydeki eğri normal bir kesit değilse, o zaman asal normali yüzey normaliyle bir açı oluşturur. θ (\displaystyle \theta ). Daha sonra eğrilik k (\görüntüleme stili k) eğri eğrilik ile ilgilidir k n (\displaystyle k_(n)) normal kesit (aynı teğet ile) Meunier formülü:
k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )için normal vektör koordinatları Farklı yollar yüzey atamaları tabloda verilmiştir:
| Bir yüzey noktasında normal koordinatlar | |
|---|---|
| örtük atama | (∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(() \frac (\kısmi F)(\kısmi x));\,(\frac (\kısmi F)(\kısmi y));\,(\frac (\kısmi F)(\kısmi z))\sağ) )(\sqrt (\left((\frac (\kısmi F)(\kısmi x))\sağ)^(2)+\sol((\frac (\kısmi F)(\kısmi y))\sağ) ^(2)+\sol((\frac (\kısmi F)(\kısmi z))\sağ)^(2))))) |
| açık atama | (− ∂ f ∂ x ; ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f)) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\sağ))(\sqrt (\left((\frac (\partial f))(\ kısmi x))\sağ)^(2)+\sol((\frac (\kısmi f)(\kısmi y))\sağ)^(2)+1)))) |
| parametrik görev | (D (y , z) D (u , v) ; D (z , x) D (u , v) ; D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac)) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\sağ))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\sağ)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\sağ)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\sağ)^(2))))) |
Burada D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix))\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ start(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).
Tüm türevler noktada alınır (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).
eğrilik
Yüzeyde belirli bir noktada farklı yönler için normal bölümün farklı bir eğriliği elde edilir, buna denir. normal eğrilik; Eğrinin ana normali, yüzeyin normali ile aynı yönde gidiyorsa artı işareti veya normallerin yönleri zıtsa eksi işareti atanır.
Genel olarak konuşursak, yüzeydeki her noktada iki dik yön vardır. e 1 (\displaystyle e_(1)) ve e 2 (\displaystyle e_(2)) normal eğriliğin minimum ve maksimum değerleri aldığı; bu yönlere denir ana. Normal eğriliğin tüm yönlerde aynı olduğu (örneğin, bir kürenin yakınında veya bir dönüş elipsoidinin sonunda) bir istisnadır, o zaman bir noktadaki tüm yönler asaldir.
Negatif (sol), sıfır (orta) ve pozitif (sağ) eğriliğe sahip yüzeyler.
Ana yönlerdeki normal eğrilikler denir. ana eğrilikler; onları belirtelim κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) ve κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Boy:
K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))Depositfiles'den indirin
4. YÜZEYLER TEORİSİ.
4.1 YÜZEY DENKLEMLERİ.
3B uzayda bir yüzey tanımlanabilir:
1) dolaylı olarak: F ( x , y , z ) =0 (4.1)
2) açıkça: z = f ( x , y ) (4.2)
3) parametrik olarak: (4.3)
veya: 
(4.3’)
skaler argümanlar nerede 
bazen eğrisel koordinatlar olarak adlandırılır. Örneğin, bir küre 
küresel koordinatlarda ayarlamak uygundur: 
.
4.2 YÜZEYE TANKEN DÜZLEM VE NORMAL.
Doğru yüzey (4.1) üzerindeyse, noktalarının koordinatları yüzey denklemini sağlar:
Bu kimliği farklılaştırarak şunları elde ederiz:
(4.4)
veya 
(4.4
’
)
yüzeydeki eğrinin her noktasında. Böylece, yüzeyin ((4.5) fonksiyonunun türevlenebilir olduğu) tekil olmayan noktalarındaki gradyan vektörü ve 
) yüzeydeki herhangi bir çizgiye teğet vektörlere diktir, yani M noktasındaki teğet düzleminin denklemini formüle etmek için normal bir vektör olarak kullanılabilir 0
(x
0
,
y
0
,
z
0
) yüzeyler
(4.6)
ve normal denklemde bir yön vektörü olarak:
(4.7)
Yüzeyin açık bir (4.2) ataması durumunda, sırasıyla teğet düzlemi ve normalin denklemleri şu şekli alır:
(4.8)
ve 
(4.9)
Yüzeyin (4.3) parametrik gösteriminde, vektörler 
teğet düzlemde yer alır ve teğet düzlemin denklemi şu şekilde yazılabilir:
(4.10)
ve vektör ürünleri, yönlendirici normal vektör olarak alınabilir:
ve normal denklem şu şekilde yazılabilir:
(4.11)
nerede 
- M noktasına karşılık gelen parametre değerleri 0
.
Bundan sonra, yüzeyde yalnızca vektörlerin bulunduğu noktaları dikkate almakla yetineceğiz.
sıfıra eşit değildir ve paralel değildir.
Örnek 4.1 M noktasındaki teğet düzlem ve normalin denklemlerini oluşturun 0
(1,1,2) devrim paraboloidinin yüzeyine 
.
Çözüm: Paraboloid denklemi açıkça verildiği için (4.8) ve (4.9)'a göre bulmamız gerekiyor. 
M noktasında 0
:
ve M 0 noktasında 
. Sonra M noktasındaki teğet düzlemin denklemi 0 formu alacak:
2(x
-1)+2(y
-1)-(z-2)=0 veya 2 x
+2
y
-z - 2=0 ve normal denklem 
.
Örnek 4.2 Helikoid üzerinde rastgele bir noktada teğet düzlem ve normalin denklemlerini oluşturun 
, .
Karar. Burada ,
Teğet düzlem denklemi:
veya
Normal denklemler:
.
4.3 YÜZEYİN İLK DÖRTLÜ FORMU.
Yüzey denklemle verilirse
sonra eğri 
üzerinde denklem ile verilebilir 
(4.12)
Yarıçap vektör diferansiyeli 
M noktasından yer değiştirmeye karşılık gelen eğri boyunca 0
yakındaki bir M noktasına, eşittir
(4.13)
Gibi 
aynı yer değiştirmeye karşılık gelen eğri yayının diferansiyeli), o zaman
(4.14)
nerede .
(4.14)'ün sağındaki ifadeye yüzeyin birinci ikinci dereceden formu denir ve yüzeyler teorisinde büyük rol oynar.
entegre diferansiyelds arasında değişen t 0 (M noktasına karşılık gelir 0) ila t (M noktasına karşılık gelir), eğrinin karşılık gelen bölümünün uzunluğunu elde ederiz
(4.15)
Yüzeyin ilk ikinci dereceden formunu bilerek, sadece uzunlukları değil, aynı zamanda eğriler arasındaki açıları da bulabilirsiniz.
Eğer bir du
,
dvd
bir eğri boyunca sonsuz küçük bir yer değiştirmeye karşılık gelen eğrisel koordinatların diferansiyelleridir ve 
- diğer yandan, (4.13):
(4.16)
formülü kullanma
(4.17)
ilk ikinci dereceden form, bir bölgenin alanını hesaplamayı mümkün kılar 
yüzeyler.
Örnek 4.3 Bir sarmal üzerinde sarmalın uzunluğunu bulun 
iki nokta arasında.
Karar. Çünkü bir sarmal üzerinde 
, o zamanlar . Bir noktada bul 
ilk kuadratik form. ifade eden vev
=
t
,
şeklinde bu sarmalın denklemini elde ederiz. İkinci dereceden şekil:
= - ilk ikinci dereceden form.
Burada . (4.15) formülünde bu durum 
ve yay uzunluğu:
=
4.4 YÜZEYİN İKİNCİ BÖLÜMÜ.
belirtmek 
- yüzeye birim normal vektör 
:
(4.18)
.
(4.23)
Bir yüzey üzerindeki bir çizgiye, her noktadaki yönü ana yön ise eğrilik çizgisi denir.
4.6 YÜZEYDEKİ JEODETİK ÇİZGİ KAVRAMI.
Tanım 4.1 . Bir yüzey üzerindeki eğriye, temel normali ise jeodezik denir. 
eğriliğin sıfırdan farklı olduğu her noktada normal ile çakışır. 
yüzeye.
Yüzeyin her noktasından herhangi bir yönde ve sadece bir jeodezik geçer. Örneğin bir küre üzerinde büyük daireler jeodeziktir.
Bir koordinat çizgileri ailesi jeodeziklerden oluşuyor ve diğeri ona dik ise, bir yüzeyin parametreleştirilmesine yarı jeodezik denir. Örneğin, küre üzerinde meridyenler (jeodezikler) ve paralellikler.
Yeterince küçük bir parça üzerindeki bir jeodezik, aynı noktaları birleştiren kendisine yakın tüm eğriler arasında en kısa olanıdır.
Formun bir denklemi ile verilen bir yüzeyimiz olsun
Aşağıdaki tanımı sunuyoruz.
Tanım 1. Düz bir çizgi, bir noktada yüzeye teğet olarak adlandırılır.
yüzeyde yatan ve noktadan geçen bir eğriye teğet.
Yüzeyde uzanan sonsuz sayıda farklı eğri P noktasından geçtiği için, genel olarak bu noktadan geçen yüzeye sonsuz sayıda teğet olacaktır.
Bir yüzeyin tekil ve sıradan noktaları kavramını tanıtalım
Bir noktada üç türevin tümü sıfıra eşitse veya bu türevlerden en az biri yoksa, M noktasına yüzeyin tekil noktası denir. Bir noktada üç türev de mevcutsa ve sürekliyse ve bunlardan en az biri sıfırdan farklıysa, o zaman M noktasına yüzeyin sıradan noktası denir.
Şimdi aşağıdaki teoremi formüle edebiliriz.
Teorem. Belirli bir yüzeye (1) normal P noktasındaki tüm teğet doğrular aynı düzlemdedir.
Kanıt. Yüzeyde (Şek. 206) geçen bir L doğrusunu ele alalım. verilen nokta R yüzeyi. İncelenen eğrinin parametrik denklemler tarafından verilmesine izin verin
Eğrinin teğeti yüzeye teğet olacaktır. Bu teğetin denklemleri şu şekildedir:
Eğer (2) ifadeleri (1) denkleminde değiştirilirse, o zaman bu denklem t'ye göre bir özdeşlik haline gelir, çünkü (2) eğrisi (1) yüzeyi üzerindedir. Bunu elde ettiğimize göre farklılaştırıyoruz
Bu vektörün izdüşümleri - Р noktasının koordinatlarına bağlıdır; P noktası sıradan olduğu için, P noktasındaki bu izdüşümlerin aynı anda kaybolmadığına ve dolayısıyla
P noktasından geçen ve yüzeyde yatan eğriye teğettir. Bu vektörün projeksiyonları, t parametresinin değeri ile denklem (2) temelinde hesaplanır, nokta R.
hesaplama skaler ürün N vektörleri ve aynı isimdeki projeksiyonların ürünlerinin toplamına eşit:
(3) eşitliğine göre, sağ taraftaki ifade sıfıra eşittir, bu nedenle,
Son eşitlikten, LG vektörü ve eğriye (2) teğet vektörün P noktasında dik olduğu sonucu çıkar. Yukarıdaki akıl yürütme, P noktasından geçen ve yüzeyde yatan herhangi bir eğri (2) için geçerlidir. Sonuç olarak, P noktasındaki yüzeye her teğet, aynı N vektörüne diktir ve bu nedenle tüm bu teğetler, LG vektörüne dik olan aynı düzlemde bulunur. Teorem kanıtlanmıştır.
Tanım 2. Verilen P noktasından geçen yüzeydeki doğruların tüm teğet doğrularının bulunduğu düzleme, P noktasındaki yüzeye teğet düzlemi denir (Şekil 207).
Teğet düzlemin yüzeyin tekil noktalarında bulunmayabileceğini unutmayın. Bu noktalarda yüzeye teğet çizgiler aynı düzlemde olmayabilir. Örneğin, konik bir yüzeyin tepe noktası tekil bir noktadır.
Bu noktada konik yüzeye teğetler aynı düzlemde bulunmazlar (kendileri konik bir yüzey oluştururlar).
Yüzeye (1) teğet düzlemin denklemini adi bir noktada yazalım. Bu düzlem vektöre (4) dik olduğundan, sonuç olarak denklemi şu şekildedir:
Yüzey denklemi formda verilirse veya teğet düzlem denklemi bu durumda bu formu alır.
Yorum. Formül (6)'da ayarlarsak, bu formül şu şekli alacaktır:
sağ tarafı, fonksiyonun toplam diferansiyelidir. Buradan, . Böylece, bağımsız değişkenler x ve y'nin artışlarına karşılık gelen noktada iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli, bu fonksiyonun grafiği olan teğet düzlemin yüzeye uygulamasının karşılık gelen artışına eşittir.
Tanım 3. Teğet düzleme dik olan yüzeyin (1) bir noktasından çizilen düz çizgiye yüzeyin normali denir (Şekil 207).
Normal denklemleri yazalım. Yönü N vektörünün yönü ile çakıştığı için denklemleri şu şekilde olacaktır:
1°1°. Yüzeyin açık bir şekilde belirtilmesi durumunda teğet düzlem ve normalin denklemleri.
İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik uygulamalarından birini düşünün. fonksiyon olsun z = f(x;y) bir noktada türevlenebilir (x0; 0'da bazı alan DÎ R2. hadi yüzeyi keselim S , tasvir eden fonksiyon z, yüzeyleri x = x 0 ve y = y 0(Şek. 11).
Uçak X = x0 yüzeyi geçer S bir çizgi boyunca 0 (y), denklemi orijinal fonksiyonun ifadesine ikame edilerek elde edilen z==f(x;y) yerine X sayılar x 0 . Nokta M 0 (x 0 ;y0,f(x 0 ;0) eğriye ait 0 (y). türevlenebilir fonksiyon nedeniyle z noktada M 0 işlev 0 (y) noktasında da türevlenebilir y = y 0 . Bu nedenle, düzlemde bu noktada x = x 0 eğriye 0 (y) tanjant çizilebilir l 1.
Bölüm için benzer muhakeme yürütmek de = 0 , teğet oluşturmak ben 2 eğriye 0 (x ) noktada X = x 0 - doğrudan 1 1 ve 1 2 adlı bir düzlem tanımlayın teğet düzlem yüzeye S noktada 0 .
Bunun için bir denklem yapalım. Uçak bu noktadan geçtiği için ay(x 0 ;y0;z0), o zaman denklemi şu şekilde yazılabilir:
A (x - ho) + B (y - yo) + C (z - zo) \u003d 0,
bu şekilde yeniden yazılabilir:
z -z 0 \u003d A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)
(denklemi -C'ye bölmek ve 
).
Bulalım 1 ve B1.
Teğet Denklemler 1 1 ve 1 2 gibi görünmek
sırasıyla.
Teğet 1 uçakta yatıyor bir , dolayısıyla tüm noktaların koordinatları 1 denklemi (1) karşılayın. Bu gerçek bir sistem olarak yazılabilir.
Bu sistemi B 1'e göre çözerek şunu elde ederiz.Teğet için benzer bir mantık yürüterek l3, bunu kurmak kolaydır .
Değerlerin değiştirilmesi 1 ve B 1 denklemine (1), teğet düzleminin istenen denklemini elde ederiz:
Bir noktadan geçen doğru M 0 ve yüzeyde bu noktada oluşturulan teğet düzleme dik olan düzleme onun adı verilir. normal.
Bir doğrunun ve bir düzlemin diklik koşulunu kullanarak, normalin kanonik denklemlerini elde etmek kolaydır:
Yorum. Teğet düzlem ve yüzeyin normali için formüller, yüzeydeki sıradan, yani tekil olmayan noktalar için elde edilir. Nokta M 0 yüzey denir özel, bu noktada tüm kısmi türevler sıfıra eşitse veya bunlardan en az biri mevcut değilse. Bu tür noktaları dikkate almıyoruz.
Misal. Teğet düzlemin denklemlerini ve noktasındaki yüzeyin normalini yazın M(2; -1; 1).
Karar. Bu fonksiyonun kısmi türevlerini ve M noktasındaki değerlerini bulun.
Bu nedenle, (2) ve (3) formüllerini uygulayarak şunları elde ederiz: z-1=2(x-2)+2(y+1) veya 2x+2y-z-1=0- teğet düzlem denklemi ve 
normal denklemlerdir.
2°. Örtük yüzey belirtimi durumunda teğet düzlemi ve normal denklemler.
eğer yüzey S denklem tarafından verilen F(x; y;z)= 0, sonra kısmi türevlerin kapalı bir fonksiyonun türevleri olarak bulunabileceği gerçeğini dikkate alarak (2) ve (3) denklemleri.
Tanım. ODSC'ye göre genel denklem (1) tarafından verilen ikinci dereceden bir yüzey üzerinde uzanan bir noktaya, üç sayı arasında tekil olmayan denir: sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa.
Böylece, ikinci dereceden bir yüzey üzerinde uzanan bir nokta, ancak ve ancak merkezi ise, aksi takdirde yüzey konik olduğunda ve nokta bu yüzeyin tepe noktası olduğunda tekil değildir.
Tanım.Üzerinde tekil olmayan bir noktada ikinci dereceden bir yüzeye teğet, bu noktadan geçen, ikinci dereceden yüzeyi çift noktada kesen veya yüzeyin doğrusal bir generatrisi olan düz bir çizgidir.
Teorem 3.Üzerinde tekil olmayan belirli bir noktada ikinci dereceden bir yüzeye teğet çizgiler, aynı düzlemde bulunur, söz konusu noktada yüzeye teğet düzlem denir. Teğet düzlem denklemi
Kanıt. , , denklem (1) ile verilen ikinci mertebeden yüzeyin tekil olmayan bir noktasından geçen bir doğrunun parametrik denklemleri olsun. (1) , , yerine , , , denklemini değiştirerek şunu elde ederiz:
Nokta (1) yüzeyinde bulunduğundan, (3) denkleminden de buluruz (bu değer , noktasına karşılık gelir). Doğrunun yüzey (1) ile kesiştiği noktanın çift olması veya doğrunun tamamen yüzey üzerinde olması için eşitliğin sağlanması gerekli ve yeterlidir:
Aynı zamanda ise:
Daha sonra düz çizginin yüzey (1) ile kesişme noktası çifttir. Ve eğer:
Daha sonra çizgi tamamen yüzey (1) üzerinde uzanır.
(4) ve , bağıntılarından, yüzeye (1) herhangi bir teğet üzerinde bulunan herhangi bir noktanın , , koordinatlarının denklemi sağladığı sonucu çıkar:
Tersine, eğer bu denklemden başka bir noktanın koordinatları bu denklemi sağlıyorsa, o zaman vektörün , , koordinatları (4) bağıntısını sağlar, bu da doğrunun incelenen yüzeye teğet olduğu anlamına gelir.
Nokta, yüzeyin (1) tekil olmayan bir noktası olduğundan, o zaman , sayıları arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır; yani denklem (5), 'ye göre birinci dereceden bir denklemdir. Bu, üzerinde verilen tekil olmayan bir noktada yüzeye (1) teğet olan düzlemin denklemidir.
Temelli kanonik denklemler ikinci mertebeden yüzeyler, elipsoid, hiperboloid, vb. için teğet düzlemlerin denklemlerini oluşturmak kolaydır. üzerlerinde belirli bir noktada.
1). Elipsoidin teğet düzlemi:
2). Bir ve iki tabakalı hiperboloidlere teğet düzlem:
3). Eliptik ve hiperbolik paraboloidlere teğet düzlem:
§ 161. Teğet bir düzlemin ikinci dereceden bir yüzeyle kesişimi.
ODSC, eksen koordinatlarının orijini olarak ikinci mertebeden yüzeyin tekil olmayan bir noktasını alıyoruz ve noktasında yüzeye teğet olan düzleme yerleştiriyoruz. Daha sonra yüzeyin genel denkleminde (1) serbest terim sıfır: , ve orijinde yüzeye temas eden düzlemin denklemi şöyle görünmelidir: .
Ancak orijinden geçen düzlemin denklemi şu şekildedir: .
Ve bu denklem denkleme eşdeğer olması gerektiğinden, o zaman , , .
Bu nedenle, seçilen koordinat sisteminde yüzey denklemi (1) şöyle görünmelidir:
Tersine, ise, denklem (6) koordinatların orijinden geçen yüzeyin denklemidir ve düzlem, noktasında bu yüzeye teğet düzlemdir. Bir noktada yüzeye teğet düzlemin yüzeyi (6) kestiği çizginin denklemi şu şekildedir:
Eğer bir . Bu, ikinci dereceden çizgiler için değişmez teoride bir değişmezdir. Denklem (7)
Bu ikinci satır. Bu çizginin biçimine göre, değişmez, bu nedenle:
Çünkü burada kesişen iki hayali doğru var.
Ne zaman - iki gerçek kesişen çizgi.
, ancak katsayılarından en az biri sıfıra eşit değilse, kesişme çizgisi (7) çakışan iki doğrudur.
Son olarak, eğer , o zaman uçak
verilen yüzeyin bir parçasıdır ve yüzeyin kendisi bu nedenle bir çift düzleme ayrılır.
§ 162. İkinci dereceden bir yüzeyin eliptik, hiperbolik veya parabolik noktaları.
1. İkinci mertebenin yüzeyine teğet düzlemi, onu kesişen iki hayali düz çizgi boyunca bir noktada kessin. Bu durumda, noktaya yüzeyin eliptik noktası denir.
2. İkinci mertebenin yüzeyine bir noktada teğet düzlemi, temas noktasında kesişen iki gerçek doğru boyunca onu kessin. Bu durumda, noktaya yüzeyin hiperbolik noktası denir.
3. İkinci mertebenin yüzeyine teğet düzlemi bir noktada kesişen iki düz çizgi boyunca kessin. Bu durumda, noktaya yüzeyin parabolik noktası denir.
Teorem 4. ODSC'ye göre ikinci mertebeden yüzey denklem (1) ile verilsin ve bu denklem (1) ikinci mertebeden gerçek bir ayrışmayan yüzeyin denklemi olsun. O zaman eğer ; o zaman yüzeyin tüm noktaları eliptiktir.
Kanıt. Verilen yüzeyin tekil olmayan herhangi bir noktasını koordinatların orijini olarak seçip eksenleri ve düzlemde yüzeye teğet olarak yerleştirerek yeni bir koordinat sistemi tanıtalım. Denklem (1) yeni sistem koordinatlar forma dönüştürülür:
Neresi . Bu denklemin değişmezini hesaplayalım.
Bir ODSC'den diğerine geçiş sırasında işaret değişmediğinden, işaretler ve zıttır, bu nedenle, eğer , o zaman ; ve sınıflandırmadan aşağıdaki gibi (bkz. § 161), bir noktada yüzeye teğet düzlem, yüzeyi iki hayali kesişen çizgi boyunca keser, yani. eliptik bir noktadır.
2) Tek tabakalı bir hiperboloid ve bir hiperbolik paraboloid, hiperbolik noktalardan oluşur.
3) İkinci dereceden gerçek koni (köşe hariç), eliptik (gerçek), hiperbolik ve parabolik silindirler parabolik noktalardan oluşur.
parabolik silindir.
Bir parabolik silindirin yerini belirlemek için şunları bilmek yeterlidir:
1) silindirin jeneratörlerine paralel bir simetri düzlemi;
2) bu simetri düzlemine dik, silindire teğet bir düzlem;
3) bu teğet düzleme dik ve silindirin içbükeyliğine doğru yönlendirilmiş bir vektör.
Eğer genel denklem bir parabolik silindiri tanımlar, şu şekilde yeniden yazılabilir:
hadi seçelim m yani uçak
karşılıklı olarak dik olurdu:
Bu değerle m uçak
silindirin jeneratörlerine paralel bir simetri düzlemi olacaktır.
Uçak
belirtilen simetri düzlemine dik olan silindire teğet düzlem olacak ve vektör
bulunan teğet düzleme dik olacak ve silindirin içbükeyliğine doğru yönlendirilecektir.