Gerçek sayılar kümesinin temel dizileri eksiksizliği. Gerçek sayıların aksiyomları. İç içe geçmiş segmentlerin tanımı

Süreklilik aksiyomu (tamlık). $Bir \subset \mathbb(R)$ ve $B \subset \mathbb(R)$ $bir\in A$ ve $b \B'de$ eşitsizlik $a \leqslant b$ , gerçek bir sayı var $\xi$ bu herkes için $bir\in A$ ve $b \B'de$ bir oran var

$a \leqslant \xi \leqslant b$

Geometrik olarak, gerçek sayıları bir çizgi üzerindeki noktalar olarak ele alırsak, bu ifade açık görünür. eğer iki set $A$ ve $B$ sayı doğrusunda, birinin tüm elemanları, ikincinin tüm elemanlarının solunda yer alır, o zaman bir sayı vardır. $\xi$ , ayırma bu iki küme, yani tüm elemanların sağında yer alır. $A$ (belki hariç $\xi$ ) ve tüm öğelerin solunda $B$ (aynı madde).

Burada, bu özelliğin "açıklığına" rağmen, rasyonel sayılar için her zaman tatmin edilmediğine dikkat edilmelidir. Örneğin, iki küme düşünün:

A = $x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2$

Bunu herhangi bir element için görmek kolaydır. $bir\in A$ ve $b \B'de$ eşitsizlik $a< b$ . Yine de akılcı sayılar $\xi$ , bu iki kümeyi ayıran mevcut değil. Aslında bu sayı sadece $\sqrt(2)$ , ama rasyonel değil .

Matematiksel analizin inşasında süreklilik aksiyomunun rolü

Süreklilik aksiyomunun değeri öyledir ki, onsuz titiz bir inşa imkansızdır. matematiksel analiz. Örneklemek için, kanıtı gerçek sayıların sürekliliğine dayanan birkaç temel analiz ifadesi sunuyoruz:

(Weierstrass teoremi). Her sınırlı monoton artan dizi yakınsar
(Bolzano-Cauchy teoremi). Uçlarında değerler alan bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyon farklı işaret, segmentin bazı iç noktalarında kaybolur
(Tüm "doğal" tanım alanı üzerinde gücün, üstel, logaritmik ve tüm trigonometrik fonksiyonların varlığı).Örneğin, her biri için kanıtlanmıştır. $bir > 0$ ve bütün $n \geqslant 1$ mevcut $\sqrt[n](a)$ yani denklemin çözümü $x^n=a, x>0$ . Bu, ifadenin değerini belirlemenizi sağlar. $a^x$ tüm mantıklı $x$ :

$a^(m/n) = \left(\sqrt[n](a)\sağ)^m$

Son olarak, yine sayı doğrusundaki süreklilik nedeniyle, ifadenin değeri belirlenebilir. $a^x$ zaten keyfi için $x \in \R$ . Benzer şekilde, süreklilik özelliğini kullanarak sayının varlığını kanıtlıyoruz. $\log_(a)(b)$ herhangi $a,b >0 , a\neq 1$ .

Uzun bir tarihsel dönem boyunca, matematikçiler analizden teoremleri, geometrik doğrulamaya atıfta bulunan “ince yerlerde” kanıtladılar ve daha sık olarak, açık olduğu için onları tamamen atladılar. Temel süreklilik kavramı, net bir tanım yapılmadan kullanıldı. Alman matematikçi Karl Weierstrass, ancak 19. yüzyılın son üçte birinde, sonsuz ondalık kesirler olarak gerçek sayıların ilk titiz teorisini kurarak, analizin aritmetikleştirilmesini üretti. O önerdi klasik tanım dilde sınır $\varepsilon - \delta$ , kendisinden önce “açık” kabul edilen bir dizi ifadeyi kanıtladı ve böylece matematiksel analizin temelinin inşasını tamamladı.

Daha sonra, gerçek bir sayının tanımına başka yaklaşımlar önerildi. Aksiyomatik yaklaşımda, gerçek sayıların sürekliliği ayrı bir aksiyom olarak açıkça seçilir. Gerçek sayılar teorisine yapıcı yaklaşımlarda, örneğin Dedekind bölümleri kullanılarak gerçek sayılar oluşturulurken, süreklilik özelliği (bir formülasyonda veya diğerinde) bir teorem olarak kanıtlanır.

Süreklilik Özelliğine İlişkin Diğer İfadeler ve Eşdeğer Önermeler

Gerçek sayıların süreklilik özelliğini ifade eden birkaç farklı ifade vardır. Bu ilkelerin her biri, gerçek sayı teorisini bir süreklilik aksiyomu olarak inşa etmenin temeli olarak alınabilir ve diğerlerinin tümü ondan türetilebilir. Bu konu bir sonraki bölümde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Dedekind'e göre süreklilik

Reel sayıların sürekliliği sorununu Dedekind, "Süreklilik ve irrasyonel sayılar" adlı eserinde ele alır. İçinde rasyonel sayıları düz bir çizginin noktalarıyla karşılaştırır. Bilindiği gibi, rasyonel sayılar ve bir doğrunun noktaları arasında, doğru üzerinde seçildiğinde bir yazışma kurulabilir. başlangıç noktası ve segmentler için ölçü birimi. İkincisinin yardımıyla, her rasyonel sayı için $a$ karşılık gelen parçayı oluşturun ve bulunup bulunmadığına bağlı olarak onu sağa veya sola doğru bir kenara koyun. $a$ pozitif veya negatif sayı, puan al $p$ , numaraya karşılık gelen $a$ . Yani her rasyonel sayı $a$ bir ve yalnızca bir noktayla eşleşir $p$ düz bir çizgide.

Doğru üzerinde herhangi bir rasyonel sayıya karşılık gelmeyen sonsuz sayıda nokta olduğu ortaya çıktı. Örneğin, birim doğru parçası üzerine kurulmuş bir karenin köşegen uzunluğunu çizerek elde edilen bir nokta. Yani alan rasyonel sayılar buna sahip değil tamlık, veya süreklilik, ki bu düz bir çizginin doğasında vardır.

Dedekind, bu sürekliliğin ne olduğunu anlamak için şu açıklamayı yapıyor. Eğer bir $p$ çizginin belirli bir noktasıysa, çizginin tüm noktaları iki sınıfa ayrılır: solda bulunan noktalar $p$ , ve sağa işaret eder $p$ . en önemli nokta $p$ keyfi olarak alt veya üst sınıfa atanabilir. Dedekind, sürekliliğin özünü ters prensipte görür:

Geometrik olarak, bu ilke açık görünüyor, ancak bunu kanıtlayacak durumda değiliz. Dedekind, özünde bu ilkenin, süreklilik dediğimiz doğrudan doğruya atfedilen o özelliğin özünü ifade eden bir postüla olduğunu vurgular.

Bu önerme aynı zamanda Dedekind'in süreklilik ilkesiyle de eşdeğerdir. Ayrıca, infimum teoreminin ifadesinin doğrudan supremum teoreminin iddiasından çıktığı ve bunun tersi olduğu gösterilebilir (aşağıya bakınız).

Sonlu örtü lemması (Heine-Borel ilkesi)

Sonlu Kapak Lemması (Heine - Borel). Bir segmenti kapsayan herhangi bir aralık sisteminde, bu segmenti kapsayan sonlu bir alt sistem vardır.

Limit noktası lemması (Bolzano-Weierstrass ilkesi)

Limit Noktası Lemması (Bolzano - Weierstrass). Her sonsuz sınırlı sayı kümesinin en az bir limit noktası vardır.

Gerçek sayılar kümesinin sürekliliğini ifade eden cümlelerin denkliği

Bazı ön açıklamalar yapalım. Gerçek sayının aksiyomatik tanımına göre, gerçek sayıların toplanması üç aksiyom grubunu karşılar. İlk grup alan aksiyomlarıdır. İkinci grup, reel sayılar kümesinin lineer sıralı bir küme olduğunu ve mertebe ilişkisinin alanın temel işlemleriyle tutarlı olduğunu ifade eder. Böylece, aksiyomların birinci ve ikinci grupları, gerçek sayılar kümesinin sıralı bir alan olduğu anlamına gelir. Üçüncü aksiyom grubu, bir aksiyomdan oluşur - süreklilik (veya tamlık) aksiyomu.

Gerçek sayıların sürekliliğinin farklı formülasyonlarının denkliğini göstermek için, bu önermelerden biri düzenli bir alan için geçerliyse, diğerlerinin doğru olduğunu kanıtlamak gerekir.

Teorem. İzin vermek $\matematik(R)$ - keyfi doğrusal olarak sıralanmış bir küme. Aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

Boş olmayan kümeler ne olursa olsun $A \subset \mathsf(R)$ ve $B \subset \mathsf(R)$ , öyle ki herhangi iki eleman için $bir\in A$ ve $b \B'de$ eşitsizlik $a \leqslant b$ öyle bir unsur var ki $\xi \in \mathsf(R)$ bu herkes için $bir\in A$ ve $b \B'de$ bir oran var $a \leqslant \xi \leqslant b$
Herhangi bir bölüm için $\matematik(R)$ bu bölümü üreten bir eleman var
Yukarıda sınırlı her boş olmayan küme $A \subset \mathsf(R)$ bir üstünlüğü var
Aşağıda sınırlı her boş olmayan küme $A \subset \mathsf(R)$ bir infimum var

Bu teoremden de anlaşılacağı gibi, bu dört cümle sadece $\matematik(R)$ doğrusal bir sıra ilişkisi getirdi ve alan yapısını kullanmadı. Böylece, her biri özelliği ifade eder $\matematik(R)$ lineer sıralı bir küme olarak Bu özelliğe (gerçek sayılar kümesi olması gerekmez, rastgele doğrusal olarak sıralanmış bir kümenin) adı verilir. Dedekind'e göre süreklilik veya tamlık.

Diğer cümlelerin denkliğini kanıtlamak zaten bir alan yapısını gerektirir.

Teorem. İzin vermek $\matematik(R)$ - keyfi sıralı bir alan. Aşağıdaki cümleler eşdeğerdir:

$\matematik(R)$ (doğrusal sıralı bir küme olarak) Dedekind tamamlandı
İçin $\matematik(R)$ Arşimet ilkesini yerine getirdi ve iç içe bölümler ilkesi
İçin $\matematik(R)$ Heine-Borel ilkesi yerine getirildi
İçin $\matematik(R)$ Bolzano-Weierstrass ilkesi yerine getirildi

Yorum. Teoremden de anlaşılacağı üzere iç içe dilimler ilkesi kendi içinde eşdeğer değil Dedekind'in süreklilik ilkesi. İç içe parçalar ilkesi Dedekind süreklilik ilkesinden çıkar, ancak tersi için ayrıca sıralı alanın $\matematik(R)$ Arşimet aksiyomunu tatmin etti

Yukarıdaki teoremlerin ispatı aşağıda verilen bibliyografya kitaplarında bulunabilir.

"Gerçek sayılar kümesinin sürekliliği" makalesi hakkında bir inceleme yazın

notlar

Edebiyat

Kudryavtsev, L.D. Matematiksel analiz kursu. - 5. baskı. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1.
Fikhtengolts, G.M. Matematiksel analizin temelleri. - 7. baskı. - M.: "FİZMATLİT", 2002. - T. 1. - 416 s. - ISBN 5-9221-0196-X.
Dedekind, R.= Stetigkeit ve mantıksız Zahlen. - 4. gözden geçirilmiş baskı. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.
Zorich, V.A. Matematiksel analiz. Bölüm I. - Ed. 4., düzeltildi .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 s. - ISBN 5-94057-056-9.
Fonksiyonların sürekliliği ve sayısal alanlar: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3. baskı. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 s.

Gerçek sayılar kümesinin Sürekliliğini karakterize eden bir alıntı

- Demek üzüldüğüm kişi bu - insan onuru, gönül rahatlığı, saflık ve onların sırtları ve alınları değil, ne kadar kırbaçlasan, nasıl tıraş olursan ol, her şey aynı kalacak sırtları ve alınları.
Hayır, hayır ve bin kere hayır, seninle asla aynı fikirde olmayacağım, dedi Pierre.

Akşam, Prens Andrei ve Pierre bir arabaya bindiler ve Kel Dağlara gittiler. Prens Andrei, Pierre'e bakarak, ara sıra iyi bir ruh halinde olduğunu kanıtlayan konuşmalarla sessizliği bozdu.
Tarlaları göstererek ekonomik gelişmelerinden bahsetti.
Pierre kasvetli bir şekilde sessizdi, tek heceli yanıtlar veriyordu ve kendi düşüncelerine dalmış görünüyordu.
Pierre, Prens Andrei'nin mutsuz olduğunu, yanıldığını, gerçek ışığı bilmediğini ve Pierre'in yardımına gelmesi, onu aydınlatması ve yükseltmesi gerektiğini düşündü. Ama Pierre nasıl ve ne söyleyeceğini anladığı anda, Prens Andrei'nin öğretilerindeki her şeyi tek bir kelimeyle, tek bir argümanla bırakacağına dair bir önsezi vardı ve başlamaktan korkuyordu, sevgili türbesini ifşa etmekten korkuyordu. alay etme olasılığı.
"Hayır, neden düşünüyorsun," Pierre aniden başladı, başını indirdi ve bir boğa şeklini aldı, neden böyle düşünüyorsun? Böyle düşünmemelisin.
- Ne hakkında düşünüyorum? Prens Andrew şaşkınlıkla sordu.
- Hayat hakkında, bir kişinin amacı hakkında. Bu olamaz. Ben de öyle düşündüm ve bu beni kurtardı, biliyor musun? masonluk. Hayır, gülmüyorsun. Masonluk, düşündüğüm gibi bir dini, ritüel bir mezhep değil, ama Masonluk en iyisidir, insanlığın en iyi, ebedi yönlerinin tek ifadesidir. - Ve Prens Andrei Masonluğa anladığı gibi açıklamaya başladı.
Masonluğun, devlet ve din engellerinden arınmış, Hıristiyanlığın öğretisi olduğunu söyledi; eşitlik, kardeşlik ve sevgi doktrini.
– Sadece kutsal kardeşliğimizin hayatta gerçek bir anlamı vardır; geri kalan her şey bir rüya," dedi Pierre. - Anlıyorsun, dostum, bu birliğin dışında her şeyin yalan ve gerçeklerle dolu olduğunu ve senin gibi akıllı ve kibar bir insan için hayatını yaşamak, denemek, denemek için hiçbir şey kalmadığı konusunda seninle aynı fikirdeyim. sadece başkalarına karışmamak için. Ama temel inançlarımızı özümseyin, kardeşliğimize katılın, kendinizi bize verin, yönlendirilmenize izin verin ve şimdi, benim hissettiğim gibi, başlangıcı cennette gizli olan bu büyük, görünmez zincirin bir parçası olduğunu hissedeceksiniz, - dedi. Pierre.
Prens Andrei sessizce önüne bakarak Pierre'in konuşmasını dinledi. Birkaç kez, arabanın gürültüsünü duymadan Pierre'den duyulmamış sözler istedi. Prens Andrei'nin gözlerinde parlayan özel parlaklıktan ve sessizliğinden Pierre, sözlerinin boşuna olmadığını, Prens Andrei'nin sözünü kesmediğini ve sözlerine gülmediğini gördü.
Feribotla geçmek zorunda oldukları taşmış bir nehre kadar sürdüler. Araba ve atlar kurulurken vapura gittiler.
Korkuluklara yaslanan Prens Andrei, batan güneşten parlayan sel boyunca sessizce baktı.
- Bu konuda ne düşünüyorsun? - sordu Pierre, - neden sessizsin?
- Ne düşünüyorum? seni dinledim Bütün bunlar böyle, - dedi Prens Andrei. - Ama sen diyorsun ki kardeşliğimize katıl, sana hayatın amacını, insanın amacını ve dünyayı yöneten kanunları gösterelim. Ama biz kimiz insanlar? Neden her şeyi biliyorsun? Neden senin gördüklerini görmeyen tek kişi benim? Sen yeryüzünde iyilik ve hakikat krallığını görüyorsun, ama ben onu görmüyorum.
Pierre onun sözünü kesti. Gelecekteki bir hayata inanıyor musun? - O sordu.
- Bir sonraki hayata mı? - Prens Andrei'yi tekrarladı, ancak Pierre ona cevap vermesi için zaman vermedi ve özellikle Prens Andrei'nin eski ateist inançlarını bildiği için bu tekrarı bir inkar olarak aldı.
– Yeryüzünde iyilik ve hakikat alemini göremediğinizi söylüyorsunuz. Ve ben onu görmedim ve sen de bizim hayatımıza her şeyin sonu olarak bakarsan onu göremezsin. Yeryüzünde, tam olarak bu dünyada (Pierre tarlayı işaret etti), gerçek yok - her şey yalan ve kötü; ama dünyada, tüm dünyada bir hakikat krallığı var ve biz şimdi dünyanın çocuklarıyız ve sonsuza dek tüm dünyanın çocuklarıyız. Bu uçsuz bucaksız, uyumlu bütünün bir parçası olduğumu ruhumda hissetmiyor muyum? İlahi olanın tezahür ettiği - en yüksek güç, istediğiniz gibi - bu muazzam, sayısız sayıda varlığın içinde olduğumu hissetmiyor muyum, tek bir halkayım, alt varlıklardan daha yüksek varlıklara bir adım. Bitkiden insana uzanan bu merdiveni görürsem, açıkça görüyorum, öyleyse neden bu merdivenin benimle kesintiye uğradığını ve daha ileri gitmediğini varsayayım. Dünyadaki hiçbir şeyin kaybolmadığı gibi, sadece ortadan kaybolamayacağımı değil, her zaman var olacağımı ve her zaman var olacağımı hissediyorum. Benden başka, ruhların üzerimde yaşadığını ve bu dünyada gerçek olduğunu hissediyorum.
"Evet, bu Herder'in öğretisi," dedi Prens Andrei, "ama bu değil, ruhum beni ikna edecek, ama yaşam ve ölüm, ikna eden bu. Sizinle bağlantılı olan, önünde suçlu olduğunuz ve kendinizi haklı çıkarmayı umduğunuz (Prens Andrei sesinde titredi ve arkasını döndü) size sevgili bir yaratık gördüğünüze ikna ediyor ve aniden bu yaratık acı çekiyor, acı çekiyor ve yok oluyor. .. Niye ya? Cevap olmaması mümkün değil! Ve inanıyorum ki o... Beni ikna eden de bu, dedi Prens Andrei.
"Şey, evet, evet," dedi Pierre, "benim de söylediğim bu değil mi!"
- Değil. Sadece, sizi gelecekteki bir yaşamın gerekliliğine ikna edenin argümanlar olmadığını söylüyorum, ancak hayatta bir insanla el ele yürüdüğünüzde ve aniden bu kişi hiçbir yere kaybolduğunda ve siz kendiniz bu uçurumun önünde durursunuz ve içine bak. Ve baktım...
- Ne olmuş yani! Orada ne olduğunu ve birinin ne olduğunu biliyor musun? Gelecekteki bir yaşam var. Birisi Tanrı'dır.
Prens Andrew cevap vermedi. Araba ve atlar uzun zaman önce diğer tarafa getirilmişti ve çoktan yatırılmıştı ve güneş çoktan yarıya kaybolmuştu ve akşam donu vapurun yakınındaki su birikintilerini yıldızlarla kapladı ve Pierre ve Andrei, sürprizle Uşakların, arabacıların ve taşıyıcıların çoğu hala vapurda duruyor ve konuşuyorlardı.
- Tanrı varsa ve gelecek yaşam varsa, o zaman hakikat vardır, erdem vardır; ve insanın en yüksek mutluluğu, onlara ulaşmak için çabalamaktır. Yaşamalıyız, sevmeliyiz, inanmalıyız, dedi Pierre, şimdi sadece bu toprak parçasında yaşamıyoruz, orada her şeyde sonsuza kadar yaşadık ve yaşayacağız (gökyüzünü işaret etti). Prens Andrei vapurun korkuluklarına yaslandı ve Pierre'i dinleyerek, gözlerini ayırmadan, güneşin mavi sel üzerindeki kırmızı yansımasına baktı. Pierre sessizdir. Tamamen sessizdi. Vapur uzun zaman önce inmişti ve sadece hafif bir sesle akıntının dalgaları vapurun dibine çarptı. Prens Andrei'ye, dalgaların bu durulanması Pierre'in sözlerini söylüyor gibiydi: "Doğru, buna inan."
Prens Andrei içini çekti ve parlak, çocuksu, şefkatli bir bakışla Pierre'in kızarık, coşkulu ama yine de üstün arkadaşının önünde çekingenliğine baktı.
"Evet, öyle olsaydı!" - dedi. “Ancak, hadi oturalım,” diye ekledi Prens Andrei ve vapurdan inerek, Pierre'in kendisine gösterdiği gökyüzüne baktı ve Austerlitz'den sonra ilk kez, o yüksek, sonsuz gökyüzünü gördü. Austerlitz tarlasında yattığını gördü ve uzun zamandır uykuda olan bir şey, içindeki en iyi şey, ruhunda aniden neşeyle ve genç bir şekilde uyandı. Prens Andrei tekrar alışılmış yaşam koşullarına girer girmez bu duygu ortadan kayboldu, ancak nasıl geliştireceğini bilmediği bu duygunun içinde yaşadığını biliyordu. Pierre ile bir toplantı, Prens Andrei için, görünüşte aynı olmasına rağmen, ancak iç dünya onun yeni hayatı.

Prens Andrei ve Pierre, Lysogorsky evinin ana girişine gittiklerinde hava çoktan kararmıştı. Onlar yukarı çıkarken, Prens Andrei bir gülümsemeyle Pierre'in dikkatini arka verandada meydana gelen kargaşaya çekti. Sırtında bir sırt çantası olan, eğilmiş yaşlı bir kadın ve siyah bir cüppeli ve uzun saçlı kısa bir adam, bir arabanın içeri girdiğini görünce kapıdan geri koşmak için koştu. İki kadın peşlerinden koştu ve dördü de arkaya dönüp arabaya bakarak korku içinde arka verandaya koştular.
Prens Andrei, "Bunlar Tanrı'nın Makineleri" dedi. Bizi babalarına aldılar. Ve ona itaat etmediği tek şey bu: bu gezginleri sürmeyi emrediyor ve onları kabul ediyor.
- Tanrı'nın halkı nelerdir? diye sordu.
Prens Andrei'nin ona cevap verecek zamanı yoktu. Hizmetçiler onu karşılamak için dışarı çıktılar ve yaşlı prensin nerede olduğunu ve ne kadar sürede onu beklediklerini sordu.
Yaşlı prens hala şehirdeydi ve her dakika onu bekliyorlardı.
Prens Andrei, Pierre'i babasının evinde her zaman mükemmel bir düzende bekleyen odasına götürdü ve kendisi kreşe gitti.
"Hadi kız kardeşime gidelim" dedi Prens Andrei, Pierre'e dönerek; - Onu henüz görmedim, şimdi saklanıyor ve Tanrı halkıyla oturuyor. Hakkını helal et, mahcup olacak ve Allah'ın kullarını göreceksin. C "est curieux, ma parole. [Bu gerçekten merak uyandırıcı.]
- Qu "est ce que c" est que Tanrı'nın halkı [Nedir]? diye sordu.
- Ama göreceksin.
Prenses Mary, içeri girdiklerinde gerçekten utandı ve yer yer kızardı. İkon kasalarının önünde lambaları olan rahat odasında, kanepede, semaverde, yanında uzun burunlu, uzun saçlı ve manastır cüppesi olan genç bir çocuk oturuyordu.
Yanındaki bir koltukta, bir çocuk yüzünün uysal bir ifadesine sahip, kırışık, zayıf yaşlı bir kadın oturuyordu.
- Andre, pourquoi ne pas m "avoir prevenu? [Andrey, neden beni uyarmadılar?] - dedi uysal bir sitemle, gezginlerinin önünde, tavukların önünde bir tavuk gibi dururken.
- Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Seni gördüğüme çok sevindim. Seni gördüğüme çok sevindim," dedi Pierre, elini öperken. Onu bir çocuk olarak tanıyordu ve şimdi Andrei ile olan dostluğu, karısıyla olan talihsizliği ve en önemlisi nazik, basit yüzü onu ona sevdirdi. Güzel, ışıltılı gözleriyle ona baktı ve "Seni çok seviyorum ama lütfen benimkilere gülme" der gibiydi. İlk selamlama cümlelerini değiş tokuş ettikten sonra oturdular.
"Ah, ve Ivanushka burada," dedi Prens Andrei, genç gezgiye bir gülümsemeyle işaret ederek.
-Andrew! dedi Prenses Mary yalvarırcasına.
- Il faut que vous sachiez que c "est une femme, [Bunun bir kadın olduğunu bilin] - dedi Andrei, Pierre'e.
Andre, başka bir deyişle Dieu! [Andrey, Tanrı aşkına!] - tekrarlanan Prenses Marya.
Prens Andrei'nin gezginlere karşı alaycı tutumu ve Prenses Marya'nın onlar için yararsız şefaatinin alışkanlık olduğu, aralarında ilişkiler kurduğu açıktı.
- Mais, ma bonne amie, - dedi Prens Andrey, - vous devriez au contraire m "etre reconaissante de ce que j" explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme... [Ama dostum, bana minnettar olmalısın. Pierre'e bu genç adama olan yakınlığınızı açıklıyorum.]
– Vrayment? [Gerçekten mi?] - Pierre merakla ve ciddiyetle (ki bunun için Prenses Mary özellikle ona minnettardı), gözlüklerin içinden Ivanushka'nın yüzüne bakarak, onun hakkında olduğunu fark eden herkese kurnaz gözlerle baktı.
Prenses Marya, kendi halkı adına gereksiz yere utanıyordu. Hiç tereddüt etmediler. Yaşlı kadın gözlerini indirdi, ama yeni gelenlere ters ters baktı, fincanını bir tabağa ters çevirdi ve yanına ısırılmış bir şeker parçası koydu, sakince ve hareketsizce sandalyesine oturdu ve daha fazla çay ikram edilmesini bekledi. Bir fincan tabağından içen Ivanushka, genç insanlara kaşlarının altından kurnaz, kadınsı gözlerle baktı.
- Kiev neredeydi? Prens Andrei yaşlı kadına sordu.
- Oldu, baba, - yaşlı kadın geveze bir şekilde cevap verdi, - Noel'in kendisinde, azizlerle, azizlerin göksel sırlarıyla onurlandırıldı. Ve şimdi Kolyazin'den baba, büyük lütuf açtı ...
- Ivanushka seninle mi?
İvanuşka, bas sesiyle konuşmaya çalışarak, "Tek başıma yürüyorum, evin geçimini sağlayan kişi," dedi. - Sadece Yukhnov'da Pelageyushka ile anlaştılar ...
Pelageyushka yoldaşının sözünü kesti; Gördüklerini anlatmak ister gibiydi.
- Kolyazin'de baba büyük lütuf açıldı.
- Yeni kalıntılar mı? diye sordu Prens Andrew.
"Yeter Andrey," dedi Prenses Mary. - Bana söyleme Pelageushka.
- Hayır ... sen nesin anne, neden söylemiyorsun? Onu seviyorum. Nazik, Tanrı tarafından talep edildi, bana bir hayırsever, ruble verdi, hatırlıyorum. Ben Kiev'deyken, kutsal budala Kiryusha bana diyor ki - gerçekten bir Tanrı adamı, kış ve yaz aylarında çıplak ayakla yürüyor. Niçin yürüyorsun, diyor, yerinden Kolyazin'e git, mucizevi bir ikon var, Meryem Ana açmış. Bu sözlerden azizlere veda ettim ve gittim ...
Herkes sessizdi, bir gezgin havada çizerek ölçülü bir sesle konuştu.
- Babam, insanlar bana geldiler ve dediler ki: Büyük lütuf açıldı, Meryem Ana'nın yanağından damlar ...
Prenses Marya kızararak, "Pekala, peki, bana sonra anlatırsın," dedi.
"Ona sorayım," dedi Pierre. - Kendin gördün mü? - O sordu.
- Nasıl baba, kendisi onurlandırıldı. Yüzündeki ışıltı cennetin nuru gibi, annenin yanağından damlıyor, damlıyor...
"Ama bu bir aldatmaca," dedi Pierre safça, gezgini dikkatle dinleyerek.
“Ah, baba, neden bahsediyorsun!” - Pelageyushka korkuyla, koruma için Prenses Marya'ya döndü.
"Halkı aldatıyorlar," diye tekrarladı.
- Rab İsa Mesih! - dedi yabancı. "Ah, konuşma baba. Yani bir anaral inanmadı, “keşişler aldatıyor” dedi, ama dediği gibi kör oldu. Ve Anne Pecherskaya'nın ona geldiğini ve "Güven bana, seni iyileştireceğim" dediğini hayal etti. Bu yüzden sormaya başladı: beni al ve ona götür. Sana doğruyu söylüyorum, kendim gördüm. Onu kör olarak yanına getirdiler, geldiler, düştüler, dediler ki: “İyileş! Onu sana vereceğim, diyor, kralın şikayet ettiği şeye göre. Ben kendim gördüm baba, yıldız da öyle gömülü. Şafak söktü! Bunu söylemek yanlış. Tanrı cezalandıracak, ”dedi Pierre'e öğretici bir şekilde.
- Yıldız kendini görüntüde nasıl buldu? diye sordu.
- Anneni general mi yaptın? - dedi Prens Andrei gülümseyerek.
Pelageushka aniden sarardı ve ellerini kenetledi.
“Baba, baba, günah sana, bir oğlun var!” aniden solgunluktan parlak bir renge dönüşerek konuştu.
- Baba ne dedin Allah affetsin. - Kendini aştı. "Tanrım, onu bağışla. Anne, bu nedir? ... - Prenses Marya'ya döndü. Ayağa kalktı ve neredeyse ağlayarak çantasını toplamaya başladı. Belli ki, bunu söyleyebilecekleri evdeki nimetlerin tadını çıkardığı için hem korkmuş hem de utanmıştı ve şimdi bu evin nimetlerinden mahrum kalmak zorunda kalması üzücüydü.
- Ne arıyorsun? - dedi Prenses Mary. Neden bana geldin?...
Hayır, şaka yapıyorum Pelageushka, dedi Pierre. - Princesse, ma parole, je n "ai pas voulu l" teklif veren, [Prenses, gerçekten onu gücendirmek istemedim,] Az önce yaptım. Şaka yaptığımı sanmayın, dedi çekinerek gülümseyerek ve suçunu telafi etmek isteyerek. - Sonuçta benim ve o sadece şaka yapıyordu.
Pelageyushka inanamayarak durdu, ama Pierre'in yüzünde o kadar içten bir tövbe vardı ve Prens Andrei Pelageyushka'ya ve sonra Pierre'e o kadar uysal baktı ki, yavaş yavaş sakinleşti.

Gezgin sakinleşti ve sohbete geri döndü, sonra uzun bir süre kutsal bir yaşam olan Peder Amphilochius'tan, eli elinin koktuğundan ve Kiev'e son yolculuğunda tanıdığı keşişlerin ona nasıl verdiğinden bahsetti. mağaraların anahtarları ve yanına kraker alarak nasıl azizlerle mağaralarda iki gün geçirdiğini. “Birine dua edeceğim, okuyacağım, diğerine gideceğim. Çam, gidip tekrar öpeyim; ve öyle anne, suskunluk, öyle bir lütuf ki, Tanrı'nın ışığına çıkmak bile istemezsiniz.
Pierre onu dikkatle ve ciddiyetle dinledi. Prens Andrey odadan çıktı. Ve ondan sonra, Tanrı'nın halkını çaylarını bitirmesi için terk eden Prenses Mary, Pierre'i oturma odasına götürdü.
"Çok naziksin," dedi ona.
“Ah, bu duyguları anladığım ve çok takdir ettiğim için gerçekten onu gücendirmeyi düşünmedim!
Prenses Mary ona sessizce baktı ve şefkatle gülümsedi. "Ne de olsa seni uzun zamandır tanıyorum ve seni bir erkek kardeş gibi seviyorum" dedi. Andrew'u nasıl buldun? diye sordu, nazik sözlerine karşılık bir şey söylemesi için ona zaman vermeden. "Beni çok endişelendiriyor. Sağlığı kışın daha iyi, ancak geçen bahar yarası açıldı ve doktor tedaviye gitmesi gerektiğini söyledi. Ve ahlaki olarak, onun için çok korkuyorum. Biz kadınlar gibi acı çekecek, acısını haykıracak bir karakter değil. Onu kendi içinde taşır. Bugün neşeli ve hayat dolu; ama onun üzerinde bu kadar etkili olan senin gelişindi: o nadiren böyledir. Onu yurtdışına gitmeye ikna edebilirsen! Aktiviteye ihtiyacı var ve bu pürüzsüz, sessiz hayat onu mahvediyor. Diğerleri fark etmiyor ama ben görüyorum.
Garsonlar saat 10'da yaşlı prensin arabasının zillerinin yaklaştığını duyunca verandaya koştular. Prens Andrei ve Pierre de verandaya çıktı.
- Bu kim? diye sordu yaşlı prens, arabadan inip Pierre'i tahmin ederek.
– AI çok mutlu! öpücük, - dedi, tanıdık olmayan genç adamın kim olduğunu öğrendikten sonra.
Yaşlı prens iyi bir ruh halindeydi ve Pierre'e iyi davrandı.
Akşam yemeğinden önce, babasının çalışma odasına geri dönen Prens Andrei, eski prensi Pierre ile ateşli bir tartışmada buldu.
Pierre, hiçbir şeyin olmayacağı zamanın geleceğini savundu. daha fazla savaş. Yaşlı prens alay ediyor, ama kızgın değil, ona meydan okudu.
- Damarlardaki kanı boşaltın, su dökün, o zaman savaş olmaz. Kadının saçmalığı, kadının saçmalığı ”dedi, ama yine de sevgiyle Pierre'in omzunu okşadı ve görünüşe göre bir konuşmaya girmek istemeyen Prens Andrei'nin prens tarafından getirilen kağıtları sıraladığı masaya gitti. şehir. Yaşlı prens ona yaklaştı ve iş hakkında konuşmaya başladı.
- Lider Kont Rostov, halkın yarısını teslim etmedi. Şehre geldi, akşam yemeği için aramaya karar verdi, - Ona böyle bir akşam yemeği istedim ... Ama şuna bak ... Pekala, kardeşim, - Prens Nikolai Andreevich oğluna döndü, Pierre'i omzundan alkışladı, - aferin arkadaşın, ona aşık oldum! Beni ateşler. Diğeri akıllı sözler söylüyor ama dinlemek istemiyorum ama yalan söylüyor ve beni kızdırıyor ihtiyar. Peki, git, - dedi, - belki gelirim, yemeğine otururum. Tekrar bahse girerim. Aptalımı sev Prenses Mary, ”diye kapıdan Pierre'e bağırdı.
Pierre, şimdi sadece Kel Dağlara yaptığı ziyarette, Prens Andrei ile olan dostluğunun tüm gücünü ve çekiciliğini takdir etti. Bu çekicilik, kendisiyle olan ilişkilerinde değil, tüm akrabaları ve hane halkı ile olan ilişkilerinde ifade edildi. Pierre, yaşlı, sert prens ve uysal ve çekingen Prenses Mary ile, onları neredeyse hiç tanımamasına rağmen, hemen eski bir arkadaş gibi hissetti. Hepsi onu zaten seviyordu. Sadece gezginlere karşı uysal tavrıyla rüşvet alan Prenses Mary, ona en parlak gözlerle bakmadı; ama büyükbabasının dediği gibi küçük, bir yaşındaki Prens Nikolai, Pierre'e gülümsedi ve kollarına girdi. Mihail İvanoviç, m lle Bourienne, yaşlı prensle konuşurken ona neşeli gülümsemelerle baktı.

Tanım 2. Herhangi biri için c (sırasıyla, ) olacak şekilde bir sayı varsa, bir kümenin yukarıdan (aşağıdan) sınırlı olduğu söylenir.

Bu durumda c sayısı, X kümesinin üst (sırasıyla, alt) sınırı veya ayrıca X kümesinin majör (minorant) olarak adlandırılır.

Tanım 3. Hem yukarıdan hem de aşağıdan sınırlı bir kümeye sınırlı denir.

Tanım 4. Bir eleman a, herhangi bir eleman için if (sırasıyla, ) kümesinin en büyük veya en büyük (en küçük veya en küçük) elemanı olarak adlandırılır.

Notasyonu tanıtıyoruz ve aynı zamanda sırasıyla maksimum ve minimum öğelerin tanımı için resmi bir notasyon veriyoruz:

Tanımlamalarla birlikte (“maksimum” okur (aynı anlamda minimum okur, sırasıyla semboller kullanılır)

1. mertebenin aksiyomundan, sayısal bir kümede bir maksimum (minimum) eleman varsa, o zaman sadece bir tane olduğu hemen çıkar.

Ancak, her küme, hatta sınırlı bir kümenin bir maksimum (minimum) öğesi yoktur.

Örneğin, bir kümenin minimum öğesi vardır, ancak kontrol edilmesi kolay olduğu gibi maksimum öğesi yoktur.

Tanım 5. Kümeyi yukarıdan bağlayan sayıların en küçüğüne X kümesinin üst sınırı (veya tam üst sınırı) denir ve gösterilir ("süpremum veya

Bu, bu paragrafın ana tanımıdır. Böyle,

Birinci parantezde tanımlanmakta olan kavramın sağında X'i yukarıdan sınırladığı; ikinci parantez, bu özelliğe sahip sayıların minimumu olduğunu söylüyor. Daha kesin olarak, ikinci parantez, bundan daha küçük herhangi bir sayının artık X'in üst sınırı olmadığını belirtir.

Benzer şekilde, X kümesinin alt sınırı (tam alt sınır) kavramı, X kümesinin alt sınırlarının en büyüğü olarak tanıtılır.

Tanım 6.

Tanımlama ile birlikte ("X'in alt yüzü için infimum" okur), atama da kullanılır

Böylece, aşağıdaki tanımlar verilmiştir:

Ancak yukarıda, her kümenin bir minimum veya maksimum elemanı olmadığını söyledik, bu nedenle sayısal bir kümenin üst ve alt sınırlarının kabul edilen tanımları, aşağıdakiler tarafından sağlanan argümantasyona ihtiyaç duyar.

Lemma (üst sınır ilkesi). Yukarıdan sınırlanan reel sayılar kümesinin boş olmayan her alt kümesinin ayrıca benzersiz bir üst sınırı vardır.

Bir sayı kümesinin minimal öğesinin benzersizliğini zaten bildiğimiz için, yalnızca üst sınırın varlığını doğrulamamız gerekir.

Verilen alt küme, X'in üst sınırları kümesi olsun. Varsayımla, O halde, tamlık aksiyomuna göre, öyle bir sayı vardır ki, böylece c Sayısı X'in bir majör ve bir minör olandır. c sayısı Y'nin bir öğesidir, ancak Y'nin bir minör olarak, c sayısı Y kümesinin en küçük öğesidir.

Elbette, aşağıdan sınırlı bir sayısal kümenin alt sınırının varlığı ve tekliği de benzer şekilde kanıtlanabilir, yani

AT okul kursu matematikçiler, gerçek sayıları yapıcı bir şekilde, ölçüm yapma ihtiyacına göre belirlediler. Böyle bir tanım katı değildi ve çoğu zaman araştırmacıları çıkmaza soktu. Örneğin reel sayıların sürekliliği yani bu kümede boşluk olup olmadığı sorusu. Bu nedenle, yürütülürken matematiksel araştırma En azından pratikle tutarlı bazı sezgisel varsayımlar (aksiyomlar) çerçevesinde, incelenen kavramların katı bir tanımına sahip olmak gerekir.

Tanım Öğe kümesi x, y, z, …, birden fazla elemandan oluşan, küme denir R gerçek sayılar, bu nesneler için aşağıdaki işlemler ve ilişkiler kurulursa:

aksiyom grubu toplama işleminin aksiyomlarıdır.

çokluk içinde R ekleme işlemi, yani herhangi bir eleman çifti için tanıtıldı a ve b toplam ve belirtilen a + b
ben 1. a+b=b+a, bir, b R .

ben 2. a+(b+c)=(a+b)+c,a, b, c R .

I 3. Böyle bir unsur var sıfır ve 0 ile gösterilir, herhangi biri için a R kondisyon a+0=a.

ben 4. herhangi bir eleman için a R onun adında bir element var zıt ve belirtilen - a, hangisi için a+(-a)=0. eleman a+(-b), a, b R , denir fark elementler a ve b ve belirtilen a - b.

II - aksiyomlar grubu - çarpma işleminin aksiyomları. çokluk içinde R operasyon girildi çarpma işlemi, yani, herhangi bir eleman çifti için a ve b tek bir eleman tanımlanır, bunlara denir İş ve belirtilen bir b, böylece aşağıdaki koşullar yerine getirilir:
II 1. ab=ba, bir, b R .

II 2 a(M.Ö)=(ab)c, a, b, c R .

II 3. denilen bir eleman var. birim ve herhangi biri için 1 ile gösterilir a R kondisyon a 1=a.

II 4. Herkes için a 0 adında bir element var tersi ve veya 1/ ile gösterilir a, hangisi için a=1. eleman a , b 0, aradı özel bölümden aüzerinde b ve belirtilen a:b yada yada a/b.

II 5 . Toplama ve çarpma işlemleri arasındaki ilişki: herhangi biri için a, b, c R koşul karşılandı ( ac+b)c=ac+bc.

Grup I ve II'nin aksiyomlarını karşılayan bir dizi nesneye sayısal alan veya basitçe alan denir. Ve karşılık gelen aksiyomlara alan aksiyomları denir.

III - üçüncü aksiyom grubu - düzen aksiyomları.Öğeler için R sıra ilişkisi tanımlanır. Aşağıdakilerden oluşur. Herhangi iki farklı eleman için a ve b iki ilişkiden biri tutar: ya a b(okuman " a daha az veya eşit b"), veya a b(okuman " a daha fazla veya eşit b"). Bu, aşağıdaki koşulların karşılandığını varsayar:

1. a a herkes için a.İtibaren a b, b meli a=b.

III 2. geçişlilik. Eğer bir a b ve b c, o zamanlar a c.

III 3. Eğer bir a b, sonra herhangi bir eleman için c yer alır a+c b+c.

III 4. Eğer bir a 0,b 0, o zamanlar ab 0 .

IV aksiyom grubu bir aksiyomdan oluşur - süreklilik aksiyomu. Boş olmayan kümeler için X ve Y itibaren Röyle ki her eleman çifti için x X ve y Y eşitsizlik x < y, bir unsur var a R, koşulu sağlayan

Pirinç. 2

x < a < y, x X, y Y(İncir. 2). Numaralandırılmış özellikler, diğer tüm özelliklerinin bu özelliklerden çıktığı anlamında gerçek sayılar kümesini tamamen tanımlar. Bu tanımöğelerinin özel doğasına kadar gerçek sayılar kümesini benzersiz bir şekilde tanımlar. Bir kümenin birden fazla eleman içerdiği uyarısı gereklidir, çünkü tek başına sıfırdan oluşan bir küme tüm aksiyomları açık bir şekilde karşılar. Bundan sonra, R kümesinin elemanları sayı olarak adlandırılacaktır.

Şimdi doğal, rasyonel ve irrasyonel sayıların bilinen kavramlarını tanımlayalım. 1, 2 1+1, 3 2+1, ... sayılarına denir. doğal sayılar, ve kümeleri gösterilir N . Doğal sayılar kümesinin tanımından, aşağıdaki karakteristik özelliğe sahip olduğu anlaşılmaktadır: Eğer

1) A N ,

3) her eleman için x A dahil x+ 1 A, sonra bir=N .

Gerçekten de, koşul 2)'ye göre elimizde 1 var. A, bu nedenle, özellik 3) ve 2'ye göre A ve sonra aynı özelliğe göre 3 elde ederiz. A. Herhangi bir doğal sayı olduğundan n 1'e art arda aynı 1 eklenerek 1'den elde edilir, ardından n A, yani N A, ve koşul 1 içermeyi karşıladığı için A N , o zamanlar A=N .

İspat ilkesi, doğal sayıların bu özelliğine dayanır. matematiksel tümevarımla. Her birine bir doğal sayı (sayı) atanmış çok sayıda ifade varsa n=1, 2, ..., ve eğer kanıtlanırsa:

1) 1 numaralı ifade doğrudur;

2) herhangi bir sayı ile ifadenin geçerliliğinden n N sayı ile ifadenin geçerliliğini takip eder n+1;

o zaman tüm ifadelerin geçerliliği kanıtlanır, yani, keyfi bir sayı ile herhangi bir ifade n N .

sayılar 0, + 1, + 2, ... denir tüm sayılar, onların kümesi belirtilir Z .

Numaraları yazın ay/n, nerede m ve n bütün ve n 0 denir rasyonel sayılar. Tüm rasyonel sayıların kümesi gösterilir Q .

Rasyonel olmayan gerçek sayılara denir mantıksız, onların kümesi belirtilir İ .

Soru, belki de rasyonel sayıların kümenin tüm öğelerini tükettiği sorusu ortaya çıkar. R? Bu sorunun cevabı süreklilik aksiyomu tarafından verilir. Aslında bu aksiyom rasyonel sayılar için geçerli değildir. Örneğin, iki küme düşünün:

Herhangi bir öğe ve eşitsizliğin yerine getirildiğini görmek kolaydır. Yine de akılcı bu iki kümeyi ayıran bir sayı yoktur. Aslında bu sayı sadece olabilir, ancak rasyonel değildir. Bu gerçek, var olduğunu gösterir irrasyonel sayılarçokluk içinde R.

Sayılarla ilgili dört aritmetik işlemin yanı sıra üs alma ve kök çıkarma işlemleri de yapabilirsiniz. herhangi bir sayı için a R ve doğal n derece birürün olarak tanımlanan n faktörlere eşit a:

A-manastırı a 0 1, a>0, a-n 1/ a n a 0, n- doğal sayı.

Misal. Bernoulli eşitsizliği: ( 1+x)n> 1+nx Tümevarımla kanıtlayın.

İzin vermek a>0, n- doğal sayı. Sayı b isminde kök n arasından inci derece a, Eğer bn = bir. Bu durumda yazılır Herhangi bir derecede pozitif kökün varlığı ve benzersizliği n herhangi bir pozitif sayıdan aşağıdaki § 7.3'te kanıtlanacaktır.
Hatta kök, a 0'ın iki anlamı vardır: eğer b = , k N , sonra ve -b= . Gerçekten de, b2k = a bunu takip eder

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b2)k = b2k

Negatif olmayan bir değere denir aritmetik değer .
Eğer bir r = p/q, nerede p ve q tüm, q 0, yani r bir rasyonel sayıdır, o zaman a > 0

(2.1)

yani derece bir r herhangi bir rasyonel sayı için tanımlanmış r. Tanımından, herhangi bir rasyonel için r eşitlik var

bir -r = 1/bir r.

Derece bir x(sayı x isminde üs) herhangi bir gerçek sayı için x derece sürekli olarak rasyonel bir üsle genişletilerek elde edilir (bununla ilgili daha fazla bilgi için Bölüm 8.2'ye bakın). herhangi bir sayı için a R negatif olmayan sayı

onu aradım mutlak değer veya modül. Sayıların mutlak değerleri için eşitsizlikler

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Gerçek sayıların I-IV özelliklerini kullanarak ispatlanırlar.

Matematiksel analizin inşasında süreklilik aksiyomunun rolü

Süreklilik aksiyomunun önemi o kadar fazladır ki, onsuz matematiksel analizin katı bir şekilde inşa edilmesi imkansızdır. [ kaynak belirtilmemiş 1351 gün] Örneklemek için, kanıtı gerçek sayıların sürekliliğine dayanan birkaç temel analiz ifadesi sunuyoruz:

· (Weierstrass teoremi). Her sınırlı monoton artan dizi yakınsar

· (Bolzano-Cauchy teoremi). Uçlarında farklı işaretlerin değerlerini alan bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyon, segmentin bazı iç noktalarında kaybolur.

· (Kuvvetin varlığı, üstel, logaritmik ve tüm trigonometrik fonksiyonlar tüm "doğal" tanım alanı üzerinde).Örneğin, her tamsayı için denklemin bir çözümünün olduğu kanıtlanmıştır. Bu, tüm rasyonel için ifadenin değerini belirlemenizi sağlar:

Son olarak, yine sayı satırının sürekliliği nedeniyle, zaten bir keyfi için ifadenin değerini belirlemek mümkündür. Benzer şekilde, süreklilik özelliğini kullanarak, herhangi biri için bir sayının varlığını kanıtlıyoruz.

Uzun bir tarihsel dönem boyunca, matematikçiler analizden teoremleri, geometrik doğrulamaya atıfta bulunan “ince yerlerde” kanıtladılar ve daha sık olarak, açık olduğu için onları tamamen atladılar. Temel süreklilik kavramı, net bir tanım yapılmadan kullanıldı. Alman matematikçi Karl Weierstrass, ancak 19. yüzyılın son üçte birinde, sonsuz ondalık kesirler olarak gerçek sayıların ilk titiz teorisini kurarak, analizin aritmetikleştirilmesini üretti. Dilde limitin klasik bir tanımını önerdi, kendisinden önce "açık" kabul edilen bir dizi ifadeyi kanıtladı ve böylece matematiksel analizin temelini tamamladı.

Daha sonra, gerçek bir sayının tanımına başka yaklaşımlar önerildi. Aksiyomatik yaklaşımda, gerçek sayıların sürekliliği ayrı bir aksiyom olarak açıkça seçilir. Gerçek sayılar teorisine yapıcı yaklaşımlarda, örneğin, Dedekind bölümleri kullanılarak gerçek sayılar oluşturulurken, süreklilik özelliği (bir formülasyonda veya diğerinde) bir teorem olarak kanıtlanır.

Süreklilik özelliğinin diğer formülasyonları ve eşdeğer cümleler[değiştir | wiki metnini düzenle]

Dedekind'e göre süreklilik[düzenle | wiki metnini düzenle]

Ana makale:Rasyonel sayılar bölgesinde bölüm teorisi

Reel sayıların sürekliliği sorunu Dedekind'in Continuity and Irrational Numbers adlı eserinde ele alınmaktadır. İçinde rasyonel sayıları düz bir çizginin noktalarıyla karşılaştırır. Bildiğiniz gibi, düz bir çizginin rasyonel sayıları ile noktaları arasında, düz çizgi üzerindeki bölümlerin başlangıç noktasını ve ölçü birimini seçtiğinizde bir yazışma kurabilirsiniz. İkincisinin yardımıyla, her rasyonel sayı için karşılık gelen segmenti oluşturmak ve pozitif veya negatif bir sayı olmasına bağlı olarak sağa veya sola bir kenara koyarak sayıya karşılık gelen bir puan almak mümkündür. . Böylece, her rasyonel sayı, doğru üzerinde bir ve sadece bir noktaya karşılık gelir.

Doğru üzerinde herhangi bir rasyonel sayıya karşılık gelmeyen sonsuz sayıda nokta olduğu ortaya çıktı. Örneğin, birim doğru parçası üzerine kurulmuş bir karenin köşegen uzunluğunu çizerek elde edilen bir nokta. Dolayısıyla rasyonel sayılar aleminde bu yoktur. tamlık, veya süreklilik, ki bu düz bir çizginin doğasında vardır.

Dedekind, bu sürekliliğin ne olduğunu anlamak için şu açıklamayı yapıyor. Çizginin belirli bir noktası varsa, çizginin tüm noktaları iki sınıfa ayrılır: solda bulunan noktalar ve sağda bulunan noktalar. Noktanın kendisi keyfi olarak alt veya üst sınıfa atanabilir. Dedekind, sürekliliğin özünü ters prensipte görür:

Dedekind anlamında sayı doğrusu sürekliliğinin özünü daha iyi anlamak için, gerçek sayılar kümesinin keyfi bir bölümünü, yani tüm gerçek sayıların boş olmayan iki sınıfa bölünmesini düşünün. bir sınıf, saniyenin tüm sayılarının solundaki sayı doğrusunda bulunur. Bu sınıflar sırasıyla adlandırılır daha düşük ve üst tabaka bölümler. Teorik olarak 4 olasılık vardır:

1. Alt sınıfta maksimum eleman, üst sınıfta minimum yoktur

2. Alt sınıfta maksimum eleman yoktur, üst sınıfta minimum eleman vardır.

3. Alt sınıf maksimuma sahiptir ve üst sınıf minimum unsurlara sahiptir

4. Alt sınıfta maksimum öğe yoktur ve üst sınıfta minimum öğe yoktur

Birinci ve ikinci durumlarda, sırasıyla alttaki maksimum eleman veya üstteki minimum eleman bu bölümü üretir. Üçüncü durumda elimizde zıplamak, ve dördüncü Uzay. Bu nedenle, sayı doğrusu sürekliliği, gerçek sayılar kümesinde hiçbir sıçrama veya boşluk olmadığı anlamına gelir, yani mecazi olarak konuşursak, boşluk yoktur.

Reel sayılar kümesinin bir bölümü kavramını tanıtırsak, Dedekind süreklilik ilkesi aşağıdaki gibi formüle edilebilir.

Dedekind'in süreklilik (bütünlük) ilkesi. Gerçek sayılar kümesinin her bölümü için bu bölümü üreten bir sayı vardır.

Yorum. İki kümeyi ayıran bir noktanın varlığına ilişkin Süreklilik Aksiyomu'nun formülasyonu, Dedekind'in süreklilik ilkesinin formülasyonunu çok andırır. Aslında, bu ifadeler eşdeğerdir ve özünde aynı şeyin farklı formülasyonlarıdır. Bu nedenle, bu ifadelerin her ikisi de denir Dedekind'e göre reel sayıların sürekliliği ilkesi.

İç içe segmentlerde Lemma (Cauchy-Cantor ilkesi)[düzenle | wiki metnini düzenle]

Ana makale:İç içe segmentlerde Lemma

İç içe segmentlerde Lemma (Cauchy - Kantor). Herhangi bir iç içe segment sistemi

boş olmayan bir kesişimi vardır, yani verilen sistemin tüm bölümlerine ait en az bir sayı vardır.

Ek olarak, verilen sistemin bölümlerinin uzunluğu sıfıra eğilimliyse, yani,

daha sonra bu sistemin bölümlerinin kesişimi bir noktadan oluşur.

Bu özellik denir Cantor anlamında gerçek sayılar kümesinin sürekliliği. Arşimet sıralı alanlar için Cantor sürekliliğinin Dedekind sürekliliğine eşdeğer olduğu aşağıda gösterilecektir.

üstünlük ilkesi[düzenle | wiki metnini düzenle]

Üstünlük ilkesi. Yukarıda sınırlanan her boş olmayan gerçek sayı kümesinin bir üstünlüğü vardır.

Matematik derslerinde, bu önerme genellikle bir teoremdir ve ispatı, şu ya da bu biçimde gerçek sayılar kümesinin sürekliliğini önemli ölçüde kullanır. Aynı zamanda, tam tersine, yukarıdan sınırlandırılmış boş olmayan herhangi bir küme için bir üstünlüğün varlığını varsaymak ve buna dayanarak, örneğin Dedekind süreklilik ilkesini kanıtlamak mümkündür. Böylece, supremum teoremi biridir eşdeğer ifade reel sayıların süreklilik özellikleri.

Yorum. Supremum yerine, ikili infimum kavramı kullanılabilir.

Infimum ilkesi. Aşağıda sınırlandırılan her boş olmayan reel sayı kümesinin bir infimumu vardır.

Sonlu örtü lemması (Heine-Borel ilkesi)[düzenle | wiki metnini düzenle]

Ana makale:Heine-Borel Lemma

Sonlu Kapak Lemması (Heine - Borel). Bir segmenti kapsayan herhangi bir aralık sisteminde, bu segmenti kapsayan sonlu bir alt sistem vardır.

Limit noktası lemması (Bolzano-Weierstrass ilkesi)[düzenle | wiki metnini düzenle]

Ana makale:Bolzano-Weierstrass teoremi

Limit Noktası Lemması (Bolzano - Weierstrass). Her sonsuz sınırlı sayı kümesinin en az bir limit noktası vardır.

Gerçek sayılar kümesinin sürekliliğini ifade eden cümlelerin denkliği[değiştir | wiki metnini düzenle]

Bazı ön açıklamalar yapalım. Gerçek sayının aksiyomatik tanımına göre, gerçek sayılar kümesi üç aksiyom grubunu karşılar. İlk grup alan aksiyomlarıdır. İkinci grup, reel sayıların toplanmasının lineer sıralı bir küme olduğunu ve mertebe ilişkisinin alanın temel işlemleri ile tutarlı olduğunu ifade eder. Böylece, aksiyomların birinci ve ikinci grupları, gerçek sayılar kümesinin sıralı bir alan olduğu anlamına gelir. Üçüncü aksiyom grubu, bir aksiyomdan oluşur - süreklilik (veya tamlık) aksiyomu.

Teorem. İsteğe bağlı lineer sıralı bir küme olsun. Aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

1. Boş olmayan kümeler ne olursa olsun ve herhangi iki eleman için ve öyle ise, tüm ve için bağıntının geçerli olduğu bir eleman vardır.

2. Herhangi bir bölüm için bu bölümü üreten bir eleman vardır.

3. Yukarıda sınırlandırılan her boş olmayan kümenin bir üstünlüğü vardır.

4. Aşağıda sınırlandırılan her boş olmayan kümenin bir infimum değeri vardır.

Bu teoremden de anlaşılacağı gibi, bu dört önerme sadece lineer mertebe bağıntısının getirdiğini kullanır ve alan yapısını kullanmaz. Böylece, her biri bir özelliği lineer olarak sıralanmış bir küme olarak ifade eder. Bu özelliğe (gerçek sayılar kümesi olması gerekmez, rastgele doğrusal olarak sıralanmış bir kümenin) adı verilir. Dedekind'e göre süreklilik veya tamlık.

Diğer cümlelerin denkliğini kanıtlamak zaten bir alan yapısını gerektirir.

Teorem. İsteğe bağlı sıralı bir alan olsun. Aşağıdaki cümleler eşdeğerdir:

1. (doğrusal sıralı bir küme olarak) Dedekind tamamlandı

2. Arşimet ilkesini yerine getirmek için ve iç içe bölümler ilkesi

3. Heine-Borel ilkesi yerine getirildiği için

4. Bolzano-Weierstrass ilkesi yerine getirildiği için

Yorum. Teoremden de anlaşılacağı üzere iç içe dilimler ilkesi kendi içinde eşdeğer değil Dedekind'in süreklilik ilkesi. İç içe parçalar ilkesi Dedekind süreklilik ilkesinden çıkar, ancak tersi için ek olarak sıralı alanın Arşimet aksiyomunu karşılamasını gerektirmesi gerekir.

Yukarıdaki teoremlerin ispatı aşağıda verilen bibliyografya kitaplarında bulunabilir.

· Kudryavtsev, L.D. Matematiksel analiz kursu. - 5. baskı. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fikhtengolts, G.M. Matematiksel analizin temelleri. - 7. baskı. - M.: "FİZMATLİT", 2002. - T. 1. - 416 s. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Süreklilik ve irrasyonel sayılar = Stetigkeit ve irrasyonel Zahlen. - 4. gözden geçirilmiş baskı. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

· Zorich, V.A. Matematiksel analiz. Bölüm I. - Ed. 4., düzeltildi .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 s. - ISBN 5-94057-056-9.

· Fonksiyonların sürekliliği ve sayısal alanlar: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3. baskı. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 s.

4.5. süreklilik aksiyomu

A ve boş olmayan iki reel sayı kümesi ne olursa olsun

B , bunun için, herhangi bir a ∈ A ve b ∈ B elemanı için eşitsizlik

a ≤ b , öyle bir λ sayısı vardır ki tüm a ∈ A , b ∈ B için

eşitlik a ≤ λ ≤ b .

Gerçek sayıların süreklilik özelliği, gerçek sayılarda olduğu anlamına gelir.

damar çizgisinde “boşluk” yoktur, yani sayıları temsil eden noktalar doldurulur

tüm gerçek eksen.

Süreklilik aksiyomunun başka bir formülasyonunu verelim. Bunun için tanıtıyoruz

Tanım 1.4.5. A ve B kümeleri bölüm olarak adlandırılacaktır.

gerçek sayı kümeleri, eğer

1) A ve B kümeleri boş değildir;

2) A ve B kümelerinin birleşimi tüm reel kümelerin kümesini oluşturur.

sayılar;

3) A kümesinin her sayısı B kümesinin sayısından küçüktür.

Yani bir bölümü oluşturan her küme en az bir

eleman, bu kümeler içermez Ortak öğeler ve eğer a ∈ A ve b ∈ B ise, o zaman

A kümesi alt sınıf, B kümesi üst sınıf olarak adlandırılacaktır.

bölüm sınıfı. Bölümü A B olarak belirleyeceğiz.

en çok basit örnekler bölümler aşağıdaki gibi elde edilen bölümlerdir

üfleme yolu. Bir sayı α alın ve ayarlayın

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

kesişir ve eğer a ∈ A ve b ∈ B ise, o zaman a< b , поэтому множества A и B образуют

bölüm. Benzer şekilde, kümelerle bir bölüm oluşturulabilir.

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

Bu tür bölümler, α sayısı tarafından oluşturulan bölümler olarak adlandırılacaktır veya

α sayısının bu bölümü ürettiğini söyleyeceğiz. Bu şu şekilde yazılabilir

Herhangi bir sayı tarafından oluşturulan bölümlerin iki ilginç özelliği vardır.

özellikleri:

Özellik 1. Ya üst sınıf en küçük sayıyı içerir ve alt sınıf

sınıf en büyük sayıya sahip değil veya alt sınıf en büyük sayıyı içeriyor

lo ve üst sınıf en küçük değil.

Özellik 2. Verilen bölümü oluşturan sayı benzersizdir.

Yukarıda formüle edilen süreklilik aksiyomunun şuna eşdeğer olduğu ortaya çıktı:

Dedekind ilkesi olarak adlandırılan ifadeyle tutarlıdır:

Dedekind prensibi. Her bölüm için bir sayı üreten var

bu bir bölüm.

Bu ifadelerin denkliğini ispatlayalım.

Süreklilik aksiyomu geçerli olsun ve bazı se-

A B değeri. Ardından, A ve B sınıfları koşulları sağladığından, formüller

aksiyom, herhangi bir sayı için a ≤ λ ≤ b olacak şekilde bir λ sayısı vardır

a ∈ A ve b ∈ B . Ancak λ sayısı aşağıdakilerden sadece birine ait olmalıdır.

A veya B sınıfları, yani eşitsizliklerden biri a ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

veya üst sınıftaki en küçüğü ve verilen bölümü oluşturur.

Tersine, Dedekind ilkesinin yerine getirilmesine ve iki boş olmamasına izin verin.

tüm a ∈ A ve b ∈ B için eşitsizlik olacak şekilde A ve B kümeleri

a ≤ b . Herhangi biri için a ≤ b olacak şekilde b sayı kümesini B ile gösteriniz.

b ∈ B ve tümü a ∈ A . O zaman B ⊂ B . A kümesi için tüm sayıların kümesini alıyoruz

B'ye dahil olmayan köyler

A ve B kümelerinin bir bölüm oluşturduğunu ispatlayalım.

Gerçekten de, B kümesinin boş olmadığı açıktır, çünkü

boş olmayan küme B . A kümesi de boş değildir, çünkü bir a ∈ A sayısı ise,

o zaman a − 1∉ B sayısı, çünkü B'ye dahil edilen herhangi bir sayı en az olmalıdır

sayılar a , dolayısıyla a − 1∈ A .

kümelerin seçimi sayesinde tüm reel sayıların kümesi.

Ve son olarak, eğer a ∈ A ve b ∈ B ise, o zaman a ≤ b . Nitekim varsa

c sayısı c > b eşitsizliğini sağlar, burada b ∈ B , ardından yanlış

c > a (a, A kümesinin keyfi bir öğesidir) ve c ∈ B eşitliği.

Böylece A ve B bir bölüm oluşturur ve Dedekind ilkesi gereği bir sayı vardır.

lo λ , bu bölümü oluşturan, yani sınıfın en büyüğü olan

Bu sayının A sınıfına ait olamayacağını ispatlayalım. Geçerli-

ama eğer λ ∈ A ise, o zaman λ olacak şekilde bir a* ∈ A sayısı vardır.< a* . Тогда существует

a′ sayısı λ ve a* sayıları arasında yer alır. a' eşitsizliğinden< a* следует, что

a′ ∈ A , sonra λ eşitsizliğinden< a′ следует, что λ не является наибольшим в

Dedekind ilkesiyle çelişen A sınıfı. Bu nedenle, λ sayısı

B sınıfının en küçüğüdür ve tüm a ∈ A ve eşitsizliği için

a ≤ λ ≤ b , gerektiği gibi.◄

Böylece, aksiyomda formüle edilen özellik ve özellik,

Dedekind ilkesinde formüle edilenler eşdeğerdir. Gelecekte, bunlar

süreklilik diyeceğimiz reel sayılar kümesinin özellikleri

Dedekind'e göre.

Dedekind'e göre reel sayılar kümesinin sürekliliği,

iki önemli teorem

Teorem 1.4.3. (Arşimet ilkesi) Gerçek sayı ne olursa olsun

a, öyle bir doğal sayı vardır ki, a< n .

Teoremin ifadesinin yanlış olduğunu varsayalım, yani böyle bir şey var.

n ≤ b0 eşitsizliğinin tüm doğal sayılar için geçerli olduğu bir b0 sayısı

n. Gerçek sayılar kümesini iki sınıfa ayıralım: atadığımız B sınıfında

herhangi bir doğal n için n ≤ b eşitsizliğini sağlayan tüm b sayıları.

Bu sınıf, b0 sayısı ona ait olduğu için boş değildir. Her şeyi A sınıfına atadık

kalan sayılar. Herhangi bir doğal sayı olduğu için bu sınıf da boş değildir.

A'ya dahildir. A ve B sınıfları kesişmez ve sendikaları

tüm reel sayıların kümesi.

a ∈ A ve b ∈ B rasgele sayılarını alırsak, o zaman doğal bir

n0 sayısı öyle bir< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A ve B, Dedekind ilkesini sağlar ve bir α sayısı vardır.

bir A B bölümü oluşturur, yani α, A sınıfının en büyüğüdür veya

bo B sınıfının en küçüğü. α'nın A sınıfına ait olduğunu varsayarsak, o zaman

α eşitsizliğine sahip bir doğal sayı n1 bulunabilir.< n1 .

n1 de A'ya dahil olduğundan, α sayısı bu sınıftaki en büyük sayı olmayacaktır,

bu nedenle, varsayımımız yanlıştır ve α en küçüğüdür.

B sınıfı

Öte yandan, A sınıfına ait α − 1 sayısını alın. Takip etmek-

Bu nedenle, α − 1 olacak şekilde bir n2 doğal sayısı vardır.< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

α ∈ A olduğunu takip eder. Ortaya çıkan çelişki teoremi kanıtlıyor.

Sonuç. a ve b sayıları ne olursa olsun, 0< a < b , существует

na > b eşitsizliğinin geçerli olduğu bir n doğal sayısı.

Bunu kanıtlamak için Arşimet ilkesini sayıya uygulamak yeterlidir.

ve eşitsizliklerin özelliğini kullanın.

Sonuç basit geometrik anlam: İkisi ne olursa olsun

segment, daha büyükse, uçlarından birinden art arda

daha küçük bir tane koyun, sonra sınırlı sayıda adımda ötesine geçmek mümkündür

daha büyük kesim.

Örnek 1. Negatif olmayan her sayı için a olduğunu kanıtlayın

negatif olmayan tek gerçek sayı t öyle ki

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Bu varlık teoremi aritmetik kök n. derece

okul cebir dersinde negatif olmayan bir sayıdan kanıtsız kabul edilir

rehin.

☺Eğer a = 0 ise, x = 0 ise, aritmetiğin varlığının kanıtı

a'nın kökü yalnızca a > 0 için gereklidir.

a > 0 olduğunu varsayalım ve tüm reel sayılar kümesini bölelim

iki sınıf için. karşılayan tüm pozitif x sayılarını B sınıfına atarız.

x n > a eşitsizliğini A sınıfına oluşturun, geri kalan her şey.

Arşimet aksiyomuna göre k ve m doğal sayıları vardır.

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a ve 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A pozitif sayılar içerir.

Açıkça, A ∪ B = ve eğer x1 ∈ A ve x2 ∈ B ise, o zaman x1< x2 .

Böylece A ve B sınıfları bir bölüm oluşturur. Bunu oluşturan sayı

t ile gösterilen bölüm. O zaman t ya sınıftaki en büyük sayıdır

tüm A veya B sınıfındaki en küçüğü.

t ∈ A ve t n olduğunu varsayalım< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) - t n

Sonra elde ederiz (t + h)< a . Это означает,

Dolayısıyla, h alırsak<

t + h ∈ A , bu da t'nin A sınıfındaki en büyük öğe olduğu gerçeğiyle çelişir.

Benzer şekilde, t'nin B sınıfının en küçük öğesi olduğunu varsayarsak,

sonra, 0 eşitsizliklerini sağlayan bir h sayısı alınır.< h < 1 и h < ,

elde ederiz (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Bu, t − h ∈ B ve t'nin en küçük eleman olamayacağı anlamına gelir.

B sınıfı Bu nedenle, t n = a .

Teklik, eğer t1 ise< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Örnek 2. Şunu kanıtlayın:< b , то всегда найдется рациональное число r

öyle ki bir< r < b .

☺ a ve b sayıları rasyonel ise, o zaman sayı rasyoneldir ve

gerekli koşulları karşılamaktadır. a veya b sayılarından en az birinin

irrasyonel, örneğin, b sayısının irrasyonel olduğunu varsayalım. varsayılan

ayrıca a ≥ 0 , ardından b > 0 olduğuna basarız. a ve b sayılarının gösterimlerini formda yazıyoruz

ondalık kesirler: a = α 0 ,α1α 2α 3.... ve b = β 0 , β1β 2 β3... , burada ikinci kesir sonsuzdur

sonlu ve periyodik olmayan. a sayısının temsiline gelince, o zaman sayacağız

a sayısı rasyonel ise, gösterimi ya sonludur ya da

Periyodu 9'a eşit olmayan riyonik kesir.

b > a olduğundan, o zaman β 0 ≥ a 0; β 0 = a 0 ise, o zaman β1 ≥ a1; β1 = α1 ise β 2 ≥ α 2

vb. ve böyle bir değer var i ilk defa olacak

βi > α i katı eşitsizliğini sağlayın. O zaman β 0 , β1β 2 ...βi sayısı rasyonel olacaktır.

real ve a ve b sayıları arasında yer alacaktır.

Eğer bir< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, burada n, n ≥ a olacak şekilde bir doğal sayıdır. Böyle bir sayının varlığı

Arşimet aksiyomundan çıkar. ☻

Tanım 1.4.6. Gerçek eksenin bir dizi segmenti verilsin

([ bir ; bn ]), bir< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

aralıklar, eğer herhangi bir n eşitsizlik için an ≤ an+1 tutarsa ve

Böyle bir sistem için, inklüzyonlar

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ ... ⊃ [ bir ; bn] ⊃ ... ,

yani, sonraki her segment bir öncekinde bulunur.

Teorem 1.4.4. Herhangi bir iç içe segment sistemi için

bu bölümlerin her birine dahil olan en az bir nokta.

A = (an ) ve B = (bn ) olmak üzere iki küme alalım. Boş değiller ve herhangi biri için

n ve m, eşitsizlik an< bm . Докажем это.

n ≥ m ise, o zaman bir< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Böylece A ve B sınıfları süreklilik aksiyomunu karşılar ve,

bu nedenle, herhangi bir n için an ≤ λ ≤ bn olacak şekilde bir λ sayısı vardır, yani. Bu

numara herhangi bir segmente aittir [ bir ; bn] .◄

Takip eden kısımda (Teorem 2.1.8), bu teoremi iyileştiriyoruz.

Teorem 1.4.4'te formüle edilen ifadeye ilke denir

Cantor ve bu koşulu sağlayan kümeye denir.

Cantor'a göre süreksizdir.

Sıralı bir kümenin Dede-sürekli olduğunu ispatladık.

kindu, o zaman Arşimet ilkesi onda yerine getirilir ve Cantor'a göre süreklidir.

İlkelerin olduğu sıralı bir kümenin olduğu kanıtlanabilir.

Arşimet ve Cantor ilkeleri Dedekind'e göre sürekli olacaktır. Kanıt

bu gerçek, örneğin, içinde bulunur.

Arşimet ilkesi, düz bir çizginin her bir parçasının karşılaştırılmasına izin verir.

koşulları sağlayan tek pozitif sayı budur:

1. eşit segmentler karşılık gelir eşit sayılar;

2. AC doğru parçası ile AB ve BC doğru parçasının noktası a ve sayılarına karşılık geliyorsa

b, o zaman AC segmenti a + b sayısına karşılık gelir;

3. belirli bir segment 1 numaraya karşılık gelir.

Her segmente karşılık gelen ve 1-3 arasındaki koşulları sağlayan sayı.

bu parçanın uzunluğu denir.

Cantor ilkesi, bunu her pozitif için kanıtlamamıza izin verir.

numara, uzunluğu bu sayıya eşit olan bir parça bulabilirsiniz. Böylece,

pozitif reel sayılar kümesi ile segmentler kümesi arasında

belirli bir taraftaki düz çizginin bir noktasından çıkarılan kov

bu noktadan sonra bire bir yazışma kurulabilir.

Bu, sayısal ekseni tanımlamamıza ve bunlar arasında bir yazışma sunmamıza izin verir.

çizgi üzerinde gerçek sayıları ve noktaları bekliyorum. Bunu yapmak için, biraz alalım

Bir çizgi çiziyorum ve üzerinde bu çizgiyi ikiye bölen bir O noktası seçiyorum.

ışın. Bu ışınlardan birine pozitif, ikincisine negatif diyoruz.

nym. O zaman bu düz çizgi üzerinde yönü seçtiğimizi söyleyeceğiz.

Tanım 1.4.7. Gerçek eksen, üzerinde bulunduğu düz çizgidir.

a) orijin veya orijin olarak adlandırılan O noktası;

b) yön;

c) birim uzunlukta bir segment.

Şimdi, her bir gerçek sayıya, sayı üzerinde bir M noktası ilişkilendiriyoruz.

düz uluma öyle

a) 0 sayısı orijine karşılık gelir;

b) OM = a - başlangıç noktasından M noktasına kadar olan parçanın uzunluğu şuna eşittir:

modül numarası;

c) a pozitifse, nokta pozitif ışın üzerinde alınır ve, es-

Negatif ise negatiftir.

Bu kural, aralarında bire bir yazışma kurar.

gerçek sayılar kümesi ve doğru üzerindeki noktalar kümesi.

Sayı doğrusuna (eksen) gerçek doğru da denilecektir.

Bu aynı zamanda gerçek bir sayının modülünün geometrik anlamını da ima eder.

la: modül numarası mesafeye eşit koordinatların başlangıç noktasından gösterilen noktaya

bu sayının sayı doğrusuna çizilmesi.

Artık 6. ve 7. özelliklere geometrik bir yorum verebiliriz.

gerçek bir sayının modülü. x sayısının pozitif bir C'si ile, tatmin--

özellikler 6 (−C , C) aralığını doldurur ve x sayıları tatmin edicidir

özellik 7 (−∞,C) veya (C , +∞) ışınları üzerinde bulunur.

Gerçek modülün bir başka dikkat çekici geometrik özelliğine dikkat çekiyoruz.

gerçek Numara.

İki sayının farkının modülü, sırasıyla noktalar arasındaki mesafeye eşittir.

gerçek eksende bu sayılara karşılık gelir.

ry standart sayısal kümeler.

Doğal sayılar kümesi;

tamsayılar kümesi;

Rasyonel sayılar kümesi;

Gerçek sayılar kümesi;

Sırasıyla, rasyonel ve gerçek tam sayı kümeleri

gerçek negatif olmayan sayılar;

Karmaşık sayılar kümesi.

Ayrıca reel sayılar kümesi (−∞, +∞) olarak gösterilir.

Bu kümenin alt kümeleri:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - segment;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly veya yarım segmentler;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) veya (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) kapalı ışınlardır.

Son olarak, bazen umursamayacağımız boşluklara ihtiyaç duyacağız.

uçlarının bu aralığa ait olup olmadığı. Böyle bir boşluk olur

a, b'yi belirtin.

§ 5 Sayısal kümelerin sınırlılığı

Tanım 1.5.1. X kümesine sınırlı denir

herhangi bir x elemanı için x ≤ M olacak şekilde bir M sayısı varsa yukarıdan

X'i ayarlar.

Tanım 1.5.2. X kümesine sınırlı denir

herhangi bir x elemanı için x ≥ m olacak şekilde bir m sayısı varsa aşağıdan

X'i ayarlar.

Tanım 1.5.3. X kümesine sınırlı denir,

yukarıdan ve aşağıdan sınırlıysa.

Sembolik gösterimde, bu tanımlar şöyle görünecektir:

∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ise, bir X kümesi yukarıdan sınırlandırılır,

∃m ∀x ∈ X: x ≥ m ise aşağıdan sınırlandırılır ve

∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M ise sınırlıdır.

Teorem 1.5.1. Bir sayı kümesi X sınırlıdır, ancak ve ancak

bu kümedeki tüm x öğeleri için bir C sayısı olduğunda

, eşitsizliği x ≤ C sağlanır.

X kümesi sınırlı olsun. C \u003d max (m, M) koyduk - en çok

m ve M sayılarından büyük olanıdır. Ardından, gerçek modülünün özelliklerini kullanarak

sayılarla, x ≤ M ≤ M ≤ C ve x ≥ m ≥ − m ≥ −C eşitsizliklerini elde ederiz, buradan

x ≤ C değil.

Tersine, eğer x ≤ C ise, o zaman −C ≤ x ≤ C . Bu tre-

M = C ve m = −C olarak ayarlarsak verilir.◄

X kümesini yukarıdan sınırlayan M sayısına üst sayı denir.

sınır belirle. M bir X kümesinin üst sınırı ise, o zaman herhangi bir

M'den büyük olan M' sayısı da bu kümenin üst sınırı olacaktır.

Böylece kümenin üst sınırları kümesinden bahsedebiliriz.

x. Üst sınırlar kümesini M ile belirtin. Ardından, ∀x ∈ X ve ∀M ∈ M

x ≤ M eşitsizliği sağlanacak, bu nedenle aksiyoma göre sürekli olarak

x ≤ M 0 ≤ M olacak şekilde bir M 0 sayısı vardır. Bu numaraya denir

X sayısının üst sınırı veya bunun üst sınırı

set veya X kümesinin en yüksek değeridir ve M 0 = sup X ile gösterilir.

Böylece, boş olmayan her sayısal kümenin,

yukarıda sınırlı her zaman tam bir üst sınıra sahiptir.

Açıkçası, M 0 = sup X eşitliği iki koşula eşdeğerdir:

1) ∀x ∈ X, x ≤ M 0 , yani, M 0 - setin üst sınırı

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X böylece xε > M 0 − ε , yani, bu gra-

nitsa iyileştirilemez (azaltılamaz).

Örnek 1. X = ⎨1 − ⎬ kümesini göz önünde bulundurun. sup X = 1 olduğunu ispatlayalım.

☺Aslında, ilk olarak eşitsizlik 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; ikinci olarak, keyfi bir pozitif sayı ε alırsak, o zaman

Arşimet ilkesine göre, nε > olacak şekilde bir doğal sayı nε bulunabilir. O-

1 − > 1 − ε eşitsizliği sağlandığında, yani, bir xnε elemanı buldu

X'in 1 − ε'den büyük olması, 1'in en küçük üst sınır olduğu anlamına gelir

Benzer şekilde, bir küme aşağıda sınırlıysa, o zaman kanıtlanabilir.

alt sınır olarak da adlandırılan keskin bir alt sınırı vardır.

X kümesinin yenisi veya infimumudur ve inf X ile gösterilir.

m0 = inf X eşitliği şu koşullara eşdeğerdir:

1) ∀x ∈ X eşitsizliği x ≥ m0 tutar;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X, böylece xε eşitsizliği< m0 + ε .

X kümesi en büyük x0 elemanına sahipse, onu arayacağız

X kümesinin maksimum elemanıdır ve x0 = maks X'i ifade eder. Sonra

ek X = x0 . Benzer şekilde, bir kümede en küçük eleman varsa, o zaman

biz buna minimal diyeceğiz, min X'i göstereceğiz ve in-

X kümesinin fimumu.

Örneğin, doğal sayılar kümesi en küçük öğeye sahiptir -

aynı zamanda setin infimumu olan birim. Süper-

Annem bu sete sahip değil, çünkü yukarıdan sınırlı değil.

Kesin üst ve alt sınırların tanımları şu şekilde genişletilebilir:

yukarıdan veya aşağıdan sınırsız kümeler, sup X = +∞ veya sırasıyla,

Buna uygun olarak, inf X = −∞ .

Sonuç olarak, üst ve alt sınırların çeşitli özelliklerini formüle ediyoruz.

Özellik 1. X bir sayısal küme olsun. ile belirtmek

− X kümesi (− x | x ∈ X ) . Sonra sup (− X) = − inf X ve inf (− X) = − sup X .

Özellik 2. X bir sayısal küme λ - gerçek olsun

sayı. (λ x | x ∈ X ) kümesini λ X ile gösteriniz . λ ≥ 0 ise

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X ve eğer λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Özellik 3. X1 ve X 2 sayısal kümeler olsun. ile belirtmek

X1 + X 2 kümesi ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) ve X1 − X 2 aracılığıyla küme

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Sonra sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 ve

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Özellik 4. X1 ve X 2, tüm öğeleri olan sayısal kümeler olsun.

ryh negatif değildir. Sonra

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Örneğin, mülkiyet 3'teki ilk eşitliği kanıtlayalım.

x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 ve x = x1 + x2 olsun. Sonra x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 ve

x ≤ sup X1 + sup X 2 , buradan sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Ters eşitsizliği kanıtlamak için sayıyı alın

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

ne x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2 y'den büyük ve

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Kalan mülklerin ispatları da benzer şekilde yapılır ve

okuyucuya yalan söylemek.

§ 6 Sayılabilen ve sayılamayan kümeler

Tanım 1.6.1. İlk n doğal sayı kümesini düşünün

n = (1,2,..., n) ve bazı A kümesi. Karşılıklı olarak kurmak mümkün ise

A ve n arasında bire bir yazışma varsa, A kümesi çağrılır

nihai.

Tanım 1.6.2. Bir A kümesi verilsin. Müsaadenizle

A kümesi ve A kümesi arasında bire bir yazışma kurmak

doğal sayılar kümesi, daha sonra A kümesine sayım adı verilir.

Tanım 1.6.3. A kümesi sonlu veya sayılabilir ise,

sayılabilirden başka bir şey olmadığını söyler.

Bu nedenle, elemanları sayılabilirse bir küme sayılabilir olacaktır.

sıraya koyun.

Örnek 1. Çift sayılar kümesi sayılabilir, çünkü n ↔ 2n eşlemesi

doğal kümeler arasında bire bir yazışmadır.

sayılar ve çift sayılar kümesi.

Açıkçası, böyle bir yazışma tek şekilde kurulamaz.

zom. Örneğin, bir küme ile bir küme arasında bir yazışma kurabilirsiniz.

(tamsayılar), bu şekilde bir yazışma kurmak

İç içe bölümlerin tanımı. İç içe parçalar üzerinde Cauchy-Cantor lemmasının kanıtı.

İçerik

İç içe geçmiş segmentlerin tanımı

a ve b iki reel sayı () olsun. Bırak gitsin . Eşitsizlikleri sağlayan x sayıları kümesine, uçları a ve b olan bir doğru parçası denir. Segment şu şekilde işaretlenmiştir:

Sayı segmentlerinin sırası

dizi denir iç içe geçmiş bölümler, sonraki her segment bir öncekinde yer alıyorsa:
.
Yani, bölümlerin uçları eşitsizliklerle birbirine bağlıdır:
.

İç içe segmentlerde Lemma (Cauchy-Cantor ilkesi)

Herhangi bir iç içe segment dizisi için, tüm bu segmentlere ait bir nokta vardır.
Segmentlerin uzunlukları sıfır olma eğilimindeyse:
,
o zaman böyle bir nokta var.

Bu lemma da denir iç içe segment teoremi veya Cauchy-Cantor ilkesi.

Kanıt

kanıt için lemmanın ilk kısmı, gerçek sayıların tamlığı aksiyomunu kullanırız.

Gerçek sayıların tamlığı aksiyomuŞöyleki. A ve B kümeleri, herhangi iki eleman ve bu kümeler için eşitsizlik geçerli olacak şekilde reel sayıların iki alt kümesi olsun. O zaman, herkes için ve eşitsizliklerin geçerli olduğu bir gerçek c sayısı vardır:
.

Bu aksiyomu uygulayalım. A kümesi parçaların sol uçlarının kümesi olsun ve B kümesi sağ uçların kümesi olsun. O zaman eşitsizlik bu kümelerin herhangi iki elemanı arasında geçerlidir. O zaman gerçek sayıların tamlığı aksiyomundan öyle bir c sayısı vardır ki, tüm n için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
.
Bu, c noktasının tüm segmentlere ait olduğu anlamına gelir.

kanıtlayalım lemmanın ikinci kısmı.

İzin vermek . Bir dizinin limitinin tanımına göre, bu, herhangi bir pozitif sayı için, tüm doğal sayılar için n > N eşitsizliği olacak şekilde, ε'ye bağlı olan bir N doğal sayısının var olduğu anlamına gelir.
(1) .

Tam tersini varsayalım. İki farklı nokta c olsun 1 ve C 2 , c 1 ≠ c2 tüm kesimlere ait. Bu, aşağıdaki eşitsizliklerin tüm n için geçerli olduğu anlamına gelir:
;
.
Buradan
.
(1) uygulayarak:
.
Bu eşitsizlik, herhangi bir pozitif ε değeri için geçerli olmalıdır. Bu nedenle şu şekildedir:
c 1 = c2.

Lemma kanıtlanmıştır.

Yorum

Tüm segmentlere ait bir noktanın varlığı, gerçek sayılar için geçerli olan tamlık aksiyomundan kaynaklanmaktadır. Bu aksiyom rasyonel sayılar için geçerli değildir. Bu nedenle, iç içe parçalar üzerindeki lemma, rasyonel sayılar kümesi için de geçerli değildir.

Örneğin, hem sol hem de sağ uçları irrasyonel bir sayıya yakınsayacak şekilde segmentleri seçebiliriz. O zaman, n'de bir artış olan herhangi bir rasyonel sayı, her zaman segment sisteminden düşecektir. Tüm segmentlere ait olan tek sayı irrasyonel bir sayıdır.

Referanslar:
O.V. iblisler. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004.

Plan:

1 süreklilik aksiyomu
2 Matematiksel analizin inşasında süreklilik aksiyomunun rolü
3 Süreklilik Özelliğine İlişkin Diğer İfadeler ve Eşdeğer Önermeler
- 3.1 Dedekind'e göre süreklilik
- 3.2 İç içe segmentlerde Lemma (Cauchy-Cantor ilkesi)
- 3.3 üstünlük ilkesi
- 3.4 Sonlu örtü lemması (Heine-Borel ilkesi)
- 3.5 Limit noktası lemması (Bolzano-Weierstrass ilkesi)
4 Gerçek sayılar kümesinin sürekliliğini ifade eden cümlelerin denkliği

Tanıtım

Gerçek sayıların sürekliliği- rasyonel sayılar kümesinin sahip olmadığı gerçek sayılar sisteminin bir özelliği. Bazen süreklilik yerine, hakkında konuşurlar. gerçek sayılar sisteminin eksiksizliği. Süreklilik özelliğinin birkaç farklı formülasyonu vardır ve bunlardan en iyi bilinenleri şunlardır: Dedekind'in reel sayıların sürekliliği ilkesi, iç içe segmentler ilkesi Cauchy - Cantor, supremum teoremi. Gerçek sayının kabul edilen tanımına bağlı olarak, süreklilik özelliği ya bir aksiyom olarak varsayılabilir - şu veya bu formülde ya da bir teorem olarak kanıtlanabilir.

1. Süreklilik aksiyomu

Aşağıdaki önerme, gerçek sayıların süreklilik özelliğinin formülasyonu uygulamaları için belki de en basit ve en uygun olanıdır. Gerçek sayı teorisinin aksiyomatik yapısında, bu ifade veya buna eşdeğeri, kesinlikle gerçek bir sayının aksiyomlarının sayısına dahil edilir.

Süreklilik aksiyomunun geometrik gösterimi

Süreklilik aksiyomu (tamlık). Boş olmayan kümeler ne olursa olsun ve herhangi iki eleman için ve eşitsizlik geçerli olacak şekilde, herkes için ve bağıntının geçerli olduğu bir ξ sayısı vardır.

Geometrik olarak, gerçek sayıları düz bir çizgi üzerindeki noktalar olarak ele alırsak, bu ifade açık görünür. eğer iki set A ve B sayı doğrusunda, birinin tüm elemanları, ikincinin tüm elemanlarının solunda yer alır, o zaman bir ξ sayısı vardır, ayırma bu iki küme, yani tüm elemanların sağında yer alır. A(belki de ξ'nin kendisi hariç) ve tüm öğelerin solunda B(aynı madde).

Burada, bu özelliğin "açıklığına" rağmen, rasyonel sayılar için her zaman tatmin edilmediğine dikkat edilmelidir. Örneğin, iki küme düşünün:

Herhangi bir eleman ve eşitsizlik için bunu görmek kolaydır. a < b. Yine de akılcı bu iki kümeyi ayıran ξ sayısı yoktur. Aslında bu sayı sadece olabilir, ancak rasyonel değildir.

2. Matematiksel analizin inşasında süreklilik aksiyomunun rolü

Süreklilik aksiyomunun önemi o kadar fazladır ki, onsuz matematiksel analizin katı bir şekilde inşa edilmesi imkansızdır. Örneklemek için, kanıtı gerçek sayıların sürekliliğine dayanan birkaç temel analiz ifadesi sunuyoruz:

Son olarak, yine sayı doğrusundaki süreklilik nedeniyle, ifadenin değeri belirlenebilir. a x zaten keyfi için. Benzer şekilde, süreklilik özelliğini kullanarak, sayı logunun varlığını kanıtlıyoruz. a b herhangi .

Uzun bir tarihsel dönem boyunca, matematikçiler analizden teoremleri, geometrik doğrulamaya atıfta bulunan “ince yerlerde” kanıtladılar ve daha sık olarak, açık olduğu için onları tamamen atladılar. Temel süreklilik kavramı, net bir tanım yapılmadan kullanıldı. Alman matematikçi Karl Weierstrass, ancak 19. yüzyılın son üçte birinde, sonsuz ondalık kesirler olarak gerçek sayıların ilk titiz teorisini kurarak, analizin aritmetikleştirilmesini üretti. Dilde limitin klasik bir tanımını önerdi, kendisinden önce "açık" kabul edilen bir dizi ifadeyi kanıtladı ve böylece matematiksel analizin temelini tamamladı.

Daha sonra, gerçek bir sayının tanımına başka yaklaşımlar önerildi. Aksiyomatik yaklaşımda, gerçek sayıların sürekliliği ayrı bir aksiyom olarak açıkça seçilir. Gerçek sayılar teorisine yapıcı yaklaşımlarda, örneğin, Dedekind bölümleri kullanılarak gerçek sayılar oluşturulurken, süreklilik özelliği (bir formülasyonda veya diğerinde) bir teorem olarak kanıtlanır.

3. Süreklilik özelliğinin diğer formülasyonları ve eşdeğer önermeler

3.1. Dedekind'e göre süreklilik

Reel sayıların sürekliliği sorunu Dedekind'in Continuity and Irrational Numbers adlı eserinde ele alınmaktadır. İçinde rasyonel sayıları düz bir çizginin noktalarıyla karşılaştırır. Bilindiği gibi, doğru üzerinde başlangıç noktası ve segmentlerin ölçü birimi seçildiğinde rasyonel sayılar ile doğrunun noktaları arasında bir denklik kurulabilmektedir. İkincisinin yardımıyla, her rasyonel sayı için a karşılık gelen parçayı oluşturun ve bulunup bulunmadığına bağlı olarak onu sağa veya sola doğru bir kenara koyun. a pozitif veya negatif sayı, puan al p numaraya karşılık gelen a. Yani her rasyonel sayı a bir ve yalnızca bir noktayla eşleşir p düz bir çizgide.

Doğru üzerinde herhangi bir rasyonel sayıya karşılık gelmeyen sonsuz sayıda nokta olduğu ortaya çıktı. Örneğin, birim doğru parçası üzerine kurulmuş bir karenin köşegen uzunluğunu çizerek elde edilen bir nokta. Dolayısıyla rasyonel sayılar aleminde bu yoktur. tamlık, veya süreklilik, ki bu düz bir çizginin doğasında vardır.

Dedekind, bu sürekliliğin ne olduğunu anlamak için şu açıklamayı yapıyor. Eğer bir pçizginin belirli bir noktasıysa, çizginin tüm noktaları iki sınıfa ayrılır: solda bulunan noktalar p, ve sağa işaret eder p. en önemli nokta p keyfi olarak alt veya üst sınıfa atanabilir. Dedekind, sürekliliğin özünü ters prensipte görür:

Alt sınıfın bir maksimum elemanı vardır, üst sınıfın bir minimumu yoktur.
Alt sınıfın maksimum elemanı yoktur, üst sınıfın minimum elemanı vardır.
Alt sınıfın bir maksimum öğesi ve üst sınıfın bir minimum öğesi vardır.
Alt sınıfın maksimumu yoktur ve üst sınıfın minimumu yoktur.

Reel sayılar kümesinin bir bölümü kavramını tanıtırsak, Dedekind süreklilik ilkesi aşağıdaki gibi formüle edilebilir.

Dedekind'in süreklilik (bütünlük) ilkesi. Gerçek sayılar kümesinin her bölümü için bu bölümü üreten bir sayı vardır.

3.2. İç içe segmentlerde Lemma (Cauchy-Cantor ilkesi)

İç içe segmentlerde Lemma (Cauchy - Kantor). Herhangi bir iç içe segment sistemi

boş olmayan bir kesişimi vardır, yani verilen sistemin tüm bölümlerine ait en az bir sayı vardır.

Ek olarak, verilen sistemin bölümlerinin uzunluğu sıfıra eğilimliyse, yani,

daha sonra bu sistemin bölümlerinin kesişimi bir noktadan oluşur.

Bu özellik denir Cantor anlamında gerçek sayılar kümesinin sürekliliği. Arşimet sıralı alanlar için Cantor'a göre sürekliliğin Dedekind'e göre sürekliliğe eşdeğer olduğu aşağıda gösterilecektir.

3.3. üstünlük ilkesi

Üstünlük ilkesi. Yukarıda sınırlanan her boş olmayan gerçek sayı kümesinin bir üstünlüğü vardır.

Matematik derslerinde, bu önerme genellikle bir teoremdir ve ispatı, şu ya da bu biçimde gerçek sayılar kümesinin sürekliliğini önemli ölçüde kullanır. Aynı zamanda, tam tersine, yukarıdan sınırlandırılmış boş olmayan herhangi bir küme için bir üstünlüğün varlığını varsaymak ve buna dayanarak, örneğin Dedekind süreklilik ilkesini kanıtlamak mümkündür. Bu nedenle, supremum teoremi, gerçek sayıların süreklilik özelliğinin eşdeğer formülasyonlarından biridir.

Yorum. Supremum yerine, ikili infimum kavramı kullanılabilir.

Infimum ilkesi. Aşağıda sınırlandırılan her boş olmayan reel sayı kümesinin bir infimumu vardır.

3.4. Sonlu örtü lemması (Heine-Borel ilkesi)

Sonlu Kapak Lemması (Heine - Borel). Bir segmenti kapsayan herhangi bir aralık sisteminde, bu segmenti kapsayan sonlu bir alt sistem vardır.

3.5. Limit noktası lemması (Bolzano-Weierstrass ilkesi)

Limit Noktası Lemması (Bolzano - Weierstrass). Her sonsuz sınırlı sayı kümesinin en az bir limit noktası vardır.

4. Reel sayılar kümesinin sürekliliğini ifade eden cümlelerin denkliği

Teorem. İsteğe bağlı lineer sıralı bir küme olsun. Aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

Diğer cümlelerin denkliğini kanıtlamak zaten bir alan yapısını gerektirir.

Teorem. İsteğe bağlı sıralı bir alan olsun. Aşağıdaki cümleler eşdeğerdir:

Yorum. Teoremden de anlaşılacağı üzere iç içe dilimler ilkesi kendi içinde eşdeğer değil Dedekind'in süreklilik ilkesi. İç içe parçalar ilkesi Dedekind süreklilik ilkesinden çıkar, ancak tersi için ek olarak sıralı alanın Arşimet aksiyomunu karşılamasını gerektirmesi gerekir.

Yukarıdaki teoremlerin ispatı aşağıda verilen bibliyografya kitaplarında bulunabilir.

notlar

Zorich, V.A. Matematiksel analiz. Bölüm I. - Ed. 4., düzeltildi .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 43.
Örneğin, bir gerçek sayının aksiyomatik tanımında, aksiyomların sayısına Dedekind süreklilik ilkesi dahil edilir ve Dedekind bölümleri kullanılarak bir gerçek sayının yapıcı tanımında aynı ifade zaten bir teoremdir - örneğin bkz. Fikhtengolts, G.M.
Kudryavtsev, L.D. Matematiksel analiz kursu. - 5. baskı. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
Kudryavtsev, L.D. Matematiksel analiz kursu. - 5. baskı. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
Zorich, V.A. Matematiksel analiz. Bölüm I. - Ed. 4., düzeltildi .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 81.
Dedekind, R. Süreklilik ve irrasyonel sayılar - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrasyonale Zahlen. - 4. gözden geçirilmiş baskı. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Edebiyat

Kudryavtsev, L.D. Matematiksel analiz kursu. - 5. baskı. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1
Fikhtengolts, G.M. Matematiksel analizin temelleri. - 7. baskı. - M.: "FİZMATLİT", 2002. - T. 1. - 416 s. - ISBN 5-9221-0196-X
Dedekind, R. Süreklilik ve irrasyonel sayılar - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrasyonale Zahlen. - 4. gözden geçirilmiş baskı. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s. , Turing bütünlüğü , Bölümlemeyi ayarla , Varyasyonu ayarla , Dereceyi ayarla .