I. Rasyonel denklemler.
1) Doğrusal denklemler.
2) Sistemler lineer denklemler.
3) İkinci dereceden denklemler ve bunlara indirgenen denklemler.
4) Denklemleri döndürür.
5) Daha yüksek dereceli polinomlar için Vieta formülü.
6) İkinci dereceden denklem sistemleri.
7) Denklemlerin ve denklem sistemlerinin çözümünde yeni bilinmeyenleri tanıtma yöntemi.
8) Homojen denklemler.
9) Simetrik denklem sistemlerinin çözümü.
10) Parametreli denklemler ve denklem sistemleri.
11) Doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem.
12) Modülün işaretini içeren denklemler.
13) Rasyonel denklemleri çözmek için temel yöntemler
II. Rasyonel eşitsizlikler.
1) Eşdeğer eşitsizliklerin özellikleri.
2) Cebirsel eşitsizlikler.
3) Aralık yöntemi.
4) Kesirli-rasyonel eşitsizlikler.
5) Mutlak değerin işareti altında bilinmeyeni içeren eşitsizlikler.
6) Parametreli eşitsizlikler.
7) Rasyonel eşitsizlik sistemleri.
8) Grafik çözüm eşitsizlikler
III. Doğrulama testi.
Rasyonel Denklemler
görüntüleme işlevi
P(x) \u003d bir 0 x n + bir 1 x n - 1 + bir 2 x n - 2 + ... + bir n - 1 x + bir n,
n doğal olduğunda, a 0 , a 1 ,…, a n bazılarıdır gerçek sayılar, tam rasyonel fonksiyon olarak adlandırılır.
P(x) = 0 biçimindeki bir denklem, burada P(x) tam bir rasyonel fonksiyondur, tam rasyonel denklem olarak adlandırılır.
Tip denklemi
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,
burada P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) tam sayılardır rasyonel fonksiyonlar, rasyonel denklem olarak adlandırılır.
P(x) ve Q(x) polinomları (Q(x) ¹ 0) olmak üzere P(x) / Q(x) = 0 rasyonel denklemini çözmek, P(x) = 0 denklemini çözmeye ve kontrol etmeye indirgenir köklerin Q (x) ¹ 0 koşulunu sağlayıp sağlamadığı.
Doğrusal denklemler.
a ve b'nin bazı sabitler olduğu ax+b=0 biçimindeki bir denkleme doğrusal denklem denir.
Eğer a¹0 ise, lineer denklemin tek bir kökü vardır: x = -b /a.
a=0 ise; b¹0, bu durumda lineer denklemin çözümü yoktur.
a=0 ise; b=0, o zaman, orijinal denklemi ax = -b biçiminde yeniden yazarsak, herhangi bir x'in lineer bir denklemin çözümü olduğunu görmek kolaydır.
Düz çizgi denklemi şu şekildedir: y = ax + b.
Doğru, X 0 ve Y 0 koordinatlarına sahip bir noktadan geçiyorsa, bu koordinatlar doğrunun denklemini sağlar, yani Y 0 = aX 0 + b.
Örnek 1.1. denklemi çözün
2x - 3 + 4(x - 1) = 5.
Karar. Parantezleri birer birer genişletelim, benzer terimleri verelim ve x'i bulalım: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Örnek 1.2. denklemi çözün
2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.
Karar. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Örnek 1.3. Denklemi çözün.
2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.
Karar. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 - 9,
Cevap: Herhangi bir sayı.
Lineer denklem sistemleri.
Tip denklemi
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + bir n x n = b,
a 1 , b 1 , … ,a n , b bazı sabitler olduğunda, n bilinmeyenli x 1 , x 2 , …, x n olan doğrusal bir denklem olarak adlandırılır.
Sistemdeki tüm denklemler doğrusal ise, bir denklem sistemine doğrusal denir. Sistem n bilinmeyenden oluşuyorsa, aşağıdaki üç durum mümkündür:
1) sistemin çözümü yok;
2) sistemin tam olarak bir çözümü vardır;
3) sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Örnek 2.4. denklem sistemini çöz
2x + 3y = 8Karar. Bir lineer denklem sistemi, bir bilinmeyenin sistemin herhangi bir denkleminin diğer bilinmeyenleri cinsinden ifade edilmesini ve ardından bu bilinmeyenin değerinin denklemlerin geri kalanıyla değiştirilmesini içeren ikame yöntemiyle çözülebilir.
İlk denklemden şunu ifade ederiz: x = (8 - 3y) / 2. Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyarız ve bir denklem sistemi elde ederiz.
Karar. Sistemin iki denklemi aynı anda sağlanamayacağından sistemin çözümü yoktur (birinci denklemden x + y = 3 ve ikinci x + y = 3.5 denkleminden).
Cevap: Çözüm yok.
Örnek 2.6. denklem sistemini çöz
Karar. Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü ikinci denklem birinciden 2 ile çarpılarak elde edilir (yani aslında iki bilinmeyenli sadece bir denklem vardır).
Cevap: Sonsuz sayıda çözüm.
Örnek 2.7. denklem sistemini çöz
x + y - z = 2,2x – y + 4z = 1,
– x + 6y + z = 5.
Karar. Lineer denklem sistemlerini çözerken, sistemi üçgen bir forma dönüştürmekten oluşan Gauss yöntemini kullanmak uygundur.
Sistemin ilk denklemini - 2 ile çarpıyoruz ve ikinci denklemle elde edilen sonucu ekleyerek - 3y + 6z \u003d - 3 elde ediyoruz. Bu denklem y - 2z \u003d 1 olarak yeniden yazılabilir. üçüncüsü ile 7y \u003d 7 veya y = 1 elde ederiz.
Böylece sistem üçgen bir forma kavuştu.
x + y - z = 2,
y = 1'i ikinci denklemde yerine koyarsak, z = 0 buluruz. y =1 ve z = 0'ı birinci denklemde yerine koyarsak, x = 1 buluruz.
Cevap: (1; 1; 0).
Örnek 2.8. parametrenin hangi değerleri için bir denklem sistemi
2x + ay = bir + 2,(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
sonsuz sayıda çözümü var mı?
Karar. İlk denklemden x'i ifade ederiz:
x = - (a / 2)y + a / 2 +1.
Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyarsak,
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Son denklemi analiz ederek, a = 3 için 0y = 0 formuna sahip olduğuna dikkat çekiyoruz, yani. y'nin herhangi bir değeri için sağlanır.
İkinci dereceden denklemler ve bunlara indirgenen denklemler.
a, b ve c'nin bazı sayılar olduğu (a¹0) ax 2 + bx + c = 0 biçiminde bir denklem;
x, ikinci dereceden denklem adı verilen bir değişkendir.
İkinci dereceden bir denklemi çözme formülü.
İlk olarak, ax 2 + bx + c = 0 denkleminin her iki tarafını da a'ya böleriz - bu onun köklerini değiştirmez. Ortaya çıkan denklemi çözmek için
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0
sol tarafta tam bir kare seçin
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).
Kısa olması için (b 2 - 4ac) ifadesini D ile gösteririz. Daha sonra ortaya çıkan özdeşlik şu şekli alır:
Üç durum mümkündür:
1) D sayısı pozitifse (D > 0) bu durumda D'den çıkarabiliriz Kare kök ve D'yi D = (ÖD) 2 olarak yazın. Sonra
D / (4a 2) = (ÖD) 2 / (2a) 2 = (ÖD / 2a) 2 , böylece özdeşlik
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (ÖD / 2a) 2 .
Kareler farkı formülüne göre, buradan şunu elde ederiz:
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =
= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a))).
teorem : kimlik tutarsa
balta 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),
o zamanlar ikinci dereceden denklem ax 2 + bx + c = 0 X 1 ¹ X 2 için iki kök X 1 ve X 2 , X 1 = X 2 için sadece bir X 1 kökü vardır .
Bu teorem sayesinde, yukarıda türetilen özdeşlikten, denklemin
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
ve böylece ax 2 + bx + c = 0 denkleminin iki kökü vardır:
X 1 \u003d (-b + Ö D) / 2a; X 2 \u003d (-b - Ö D) / 2a.
Böylece x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).
Genellikle bu kökler bir formülde yazılır:
nerede b 2 - 4ac \u003d D.
2) D sayısı sıfıra eşitse (D = 0), o zaman özdeşlik
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 şeklini alır.
D = 0 için, ax 2 + bx + c = 0 denkleminin bir çokluk 2 kökü vardır: X 1 = - b / 2a
3) D sayısı negatif ise (D< 0), то – D >0 ve dolayısıyla ifade
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
biri negatif diğeri pozitif olan iki terimin toplamıdır. Böyle bir toplam sıfıra eşit olamaz, bu nedenle denklem
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0
gerçek kökleri yoktur. ax 2 + bx + c = 0 denklemi de değildir.
Bu nedenle, ikinci dereceden denklemi çözmek için diskriminantı hesaplamak gerekir.
D \u003d b 2 - 4ac.
D = 0 ise, ikinci dereceden denklemin benzersiz bir çözümü vardır:
D > 0 ise, ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır:
X 1 \u003d (-b + ÖD) / (2a); X 2 \u003d (-b - ÖD) / (2a).
eğer D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
b veya c katsayılarından biri ise sıfır, o zaman ikinci dereceden denklem diskriminant hesaplanmadan çözülebilir:
1) b = 0; c ¹ 0; CA<0; X1,2 = ±Ö(-c / a)
2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b/a.
Genel bir ikinci dereceden denklemin kökleri ax 2 + bx + c = 0 formülüyle bulunur.
Matematik dersinin özeti
konuyla ilgili:
« İki değişkenli rasyonel denklemler.
Temel konseptler».
Tarafından hazırlandı:
matematik öğretmeni
MBOU orta okulu №2
Borschova E. S.
Pavlovski Posad
ders türü: yeni materyal öğrenmek.
ders konusu: iki değişkenli rasyonel denklemler. Temel konseptler.
Hedefler:
konunun temel kavram ve terimlerini tanıtmak;
Öğrencilerin matematiksel konuşmasını ve düşünmesini geliştirmek.
ekipman: tahta kayıtlar, projektör, ekran, sunum için.
Organizasyon zamanı. (2 - 3 dk.)
(1 slayt)
Merhaba arkadaşlar, oturun! Bugün, gelecekteki materyalin başarılı bir şekilde asimilasyonunun anahtarı olacak yeni, oldukça ilginç bir konuyu ele alacağız. Çalışma kitaplarını açıyoruz, sayıyı yazıyoruz, bugün 16 Ekim, sınıf çalışması ve dersin konusu: “İki değişkenli rasyonel denklemler. Temel konseptler. (öğretmen tahtaya aynı şeyi yazar)
II . Bilgi güncellemesi. (5 dakika.)
(2 slayt)
Yeni bir konuyu incelemeye başlamak için, zaten bildiğiniz bazı materyalleri hatırlamamız gerekiyor. Öyleyse, temel fonksiyonları ve grafiklerini hatırlayalım:
1. Doğrusal fonksiyon grafiği
2. Parabol. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği 
, (a ≠ 0)
Kanonik durumu düşünün:
3. kübik parabol
Kübik parabol fonksiyon tarafından verilir
4. hiperbol grafiği
Yine, önemsiz abartmayı hatırla
Çok iyi!
III . Yeni materyal öğrenme (bir sunum eşliğinde). (35 dk.)
(3 slayt)
Önceki derslerde tek değişkenli rasyonel denklemin tanımını öğrenmiştiniz ve şimdi bunun iki değişkenli rasyonel denklem tanımına çok benzediğini söylüyoruz:
Yazmanıza gerek yok, ders kitaplarınızda var, evde tekrar okuyun ve öğrenin!
Örnekleri defterinize yazın:
Ayrıca, h(x; y) = g(x; y) biçimindeki rasyonel bir denklemin her zaman p(x; y) = 0 biçimine dönüştürülebileceğini söyleyebiliriz, burada p(x; y) = 0 rasyonel bir ifadedir. Bunu yapmak için ifadeyi şu şekilde yeniden yazmanız gerekir: h (x; y) - g (x; y) \u003d 0, yani p (x; y) \u003d 0. Son iki eşitliği defterinize yazın!
(4 slayt)
Aşağıdaki tanımı dikkatle dinliyoruz ve hatırlıyoruz, yazmanıza gerek yok!
Ve defterinize sadece örnekleri yazın:
(5 slayt)
Aşağıdaki denklemi çözelim (öğrenciler çözümü bir deftere yazarlar, öğretmen çözümün her adımını yorumlar, aynı anda çocukların sorularını yanıtlar):
(6 slayt)
Sonraki tanım, iki denklemin denkliğinin tanımıdır, bunu önceki paragraflardan da zaten biliyorsunuz, bu yüzden sadece izleyin ve dinleyin:
Şimdi hangi eşdeğer dönüşümleri bildiğinizi hatırlayalım:
Denklemin terimlerini zıt işaretlerle bir kısımdan diğerine aktarma (tahtadaki örnekler, onları yazamazsınız, kim isterse - yazın);
Bir denklemin her iki tarafını sıfır olmayan aynı sayıyla veya (biz de biliyoruz) her yerde sıfır olmayan bir ifadeyle çarpma veya bölme (buna dikkat edin!); (kime yazmanız gereken örnekler).
Ne tür eşit olmayan dönüşümler biliyorsunuz?
1) değişken içeren paydalardan muafiyet;
2) denklemin her iki tarafının karesini almak.
Kusursuzca!
(7 slayt)
Bugün ele alacağımız bir sonraki kavramı yazıyoruz - iki nokta arasındaki mesafenin formülünü.
Yazmak:
(öğrenciler her iki teoremi de defterlerine yazarlar)
Bu çizimi defterlerde yeniden çiziyoruz, koordinat eksenlerini, dairenin merkezini imzalıyoruz, yarıçapı işaretliyoruz.
Sormak istediğiniz bir şey var mı? (soru yoksa çalışmaya devam ediyoruz)
(8 slayt)
Örnekleri düşünün, yazın:
(şekilden P1'e) 
(şek. P2'ye kadar)
Çocuklar yavaş yavaş, yukarıda kaydedilen teoremlerinden yola çıkarak, öğretmenin sorularını yanıtlayarak kendi başlarına karar verirler, çözümü bir deftere yazarlar ve çizimleri yeniden çizerler.
Aferin! Ve şimdi kendinize böyle bir tablo çizin, gelecekte problem çözerken iyi bir yardımcı olacaktır.
(9 slayt)
Öğrenciler her biri defterine dikkatlice bu tabloyu çizer ve içine verileri girer.
v.Ödev (2 - 3 dak.).
(10 slayt)
Dersin bitmesine 2 dakika kaldı, günlükleri açın, ödevleri yazın:
1) Bölüm 2, §5;
2) s.71 kendi kendine muayene için soru;
3) No 5.1; 5.3 (a, b); 5.7.
iç gözlem.
Dersin başlangıcı oldukça samimi, samimi, açık ve düzenliydi. Sınıf ders için hazırlandı. Çocuklar ders boyunca iyi bir performans sergilediler.
Derhal dersin amaçlarını belirttim. Çocuklara ders için önerilen hedefler, programın gereksinimlerine ve materyalin içeriğine karşılık geldi.
Dersin başında, bilişsel aktivitenin bir aktivasyonu olarak, çocuklardan daha önce çalışılan materyallerden herhangi bir zorluk çekmeden başa çıktıkları bazı materyalleri hatırlamaları istendi.
Dersin içeriği eğitim standardının gereksinimlerini karşıladı.
Dersin yapısı yukarıda önerilmiştir. Bence, dersin amaçlarına ve türüne karşılık geliyor. Dersin aşamaları mantıksal olarak birbirine bağlıydı, birinden diğerine sorunsuz bir şekilde geçiş yaptı. Her aşamada sonuçlar özetlendi. Zaman, hangisinin ana olduğuna bağlı olarak farklı şekillerde ayrı aşamalara ayrıldı. Bence rasyonel olarak dağıtıldı. Dersin başı ve sonu düzenlendi. Dersin hızı mükemmeldi.
Bilgiyi güncellemenin ilk aşamasından sonra, dersin ana aşaması geldi - yeni materyalin açıklaması. Bu aşama ana aşamaydı, bu yüzden çoğu zaman ona ayrıldı.
Yeni materyalin sunumu mantıklı, yetkin, yüksek teorik ve aynı zamanda çocuklar için erişilebilir bir seviyedeydi. Konuyla ilgili ana düşünceler her zaman benim tarafımdan vurgulandı ve öğrenciler tarafından çalışma kitaplarına yazıldı.
Yeni materyal çalışması, materyalin en hızlı ve doğru özümsenmesi için temel pratik görevlerin uygulanmasıyla kısa bir ders şeklinde gerçekleştirildi.
PowerPoint'te bir sunum yaptım. Sunumun esas olarak yardımcı bir işlevi vardı.
Ders boyunca bilginin özümsenmesini kontrol etmek için öğrenciler, sonuçlara göre teorik materyalin her bir çocuk tarafından özümsenme derecesini değerlendirebileceğim problemleri çözdüler. Bilginin kontrolünden sonra öğretmen düzeltme çalışması yaptı. Öğrenciler arasında en büyük zorluğa neden olan sorular tekrar ele alındı.
Daha sonra ders özetlendi ve öğrencilere ödev verildi. Ödev pekiştiriciydi, gelişiyordu. Bence tüm çocuklar için mümkündü.
Dersin içeriği optimaldi, öğretim yöntemleri sözlü, görsel ve pratikti. Çalışmanın şekli bir konuşmadır. Bilişsel aktiviteyi aktive etme yöntemlerini kullandım - bu, problemli soruların formülasyonu, genelleştirilmiş nitelikteki planlara göre genelleme.
Öğrenciler ders boyunca aktifti. Verimli çalışma, gördüklerinden sonuç çıkarma, bilgilerini analiz etme ve genelleme yeteneği gösterdiler. Ayrıca, çocuklar öz kontrol becerilerinin varlığını gösterdiler, ancak sadece birkaçı huzursuzdu ve en çok ilgiyi benden gördüler.
Sınıf ders için hazırlandı.
Dersin başında belirlenen hedeflere ulaşıldığına inanıyorum.
İki değişkenli bir denklem düşünün
İki değişkenli bir denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren bir çift değişken değeri, denklemin çözümü olarak adlandırılır. X ve y değişkenli bir denklem verilirse, değişkenin değerini çözüm kaydında ilk sıraya ve y değerini ikinci sıraya koymak gelenekseldir.
Yani çiftler denklemin çözümleridir, çift (1; 5) ise denklemin çözümü değildir.
Bu denklemin başka çözümleri de var. Bunları bulmak için, bir değişkeni, örneğin x'den y'ye kadar bir değişkeni başka bir terimle ifade etmek ve denklemi elde etmek uygundur. Rasgele bir y değeri seçerek, karşılık gelen x değerini hesaplıyoruz. Örneğin, eğer o zaman (31; 7) çifti denklemin bir çözümü ise; eğer öyleyse (4; -2) çiftinin de verilen denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir, vb.
İki değişkenli denklemler, aynı çözümlere sahiplerse eşdeğerdir.
İki değişkenli denklemler için, denklemin eşdeğer dönüşümleri hakkında Teorem 5.1 ve 5.2 (bkz. § 135).
Doğrusal Denklem – a x = b biçiminde bir denklem, burada x bir değişkendir, a ve b bazı sayılardır ve a ≠ 0 .
Örnekler:
- 3x=2
- 2 7 x = − 5
Doğrusal denklemlere yalnızca a x \u003d b biçimindeki denklemler değil, aynı zamanda dönüşümler ve basitleştirmeler yardımıyla bu forma indirgenen denklemler de denir.
A x \u003d b formuna indirgenmiş denklemler nasıl çözülür? Denklemin sol ve sağ taraflarını a değerine bölmek yeterlidir. Sonuç olarak, cevabı alırız: x = b a .
Rasgele bir denklemin doğrusal olup olmadığı nasıl anlaşılır? İçinde bulunan değişkene dikkat etmek gerekir. Değişkenin bulunduğu en yüksek güç bire eşitse, böyle bir denklem lineerdir.
Doğrusal denklemi çözmek için , parantezleri (varsa) açmak, "x"i sola, sayıları sağa kaydırmak, benzer terimleri getirmek gerekir. a x \u003d b biçiminde bir denklem elde edilecektir. Bu denklemin çözümü: x = b a .
Örnekler:
- 2x + 1 = 2(x − 3) + 8
Değişken birinci güçte olduğu için bu doğrusal bir denklemdir.
Bunu a x = b formuna dönüştürmeye çalışalım:
Önce parantezleri açalım:
2x + 1 = 4x - 6 + 8
x'li tüm terimler sola, sayılar sağa aktarılır:
2x - 4x = 2 - 1
Şimdi sol ve sağ kısımları (-2) sayısına bölelim:
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Cevap: x \u003d - 0,5
- x 2 − 1 = 0
Bu denklem lineer değildir çünkü x'in en yüksek kuvveti ikidir.
- x (x + 3) - 8 = x - 1
Bu denklem ilk bakışta doğrusal görünüyor, ancak parantezleri açtıktan sonra en yüksek güç ikiye eşit oluyor:
x 2 + 3 x - 8 = x - 1
Bu denklem lineer değildir.
Özel durumlar(OGE'nin 4. görevinde karşılaşmadılar, ancak onları bilmek faydalıdır)
Örnekler:
- 2x - 4 = 2 (x - 2)
2x-4 = 2x-4
2x − 2x = − 4 + 4
Ve orada değilse, burada x nasıl aranır? Dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra, x değişkeninin değerine bağlı olmayan doğru eşitliği (özdeşliği) elde ettik. Orijinal denklemde x'in yerine hangi değeri koyarsak koyalım, sonuç her zaman doğru eşitliktir (özdeşlik). Yani x herhangi bir sayı olabilir.
Cevap: x ∈ (− ∞ ; + ∞)
- 2x - 4 = 2 (x - 8)
Bu lineer bir denklemdir. Parantezleri açalım, x'leri sola, sayıları sağa kaydıralım:
2x-4 = 2x-16
2x - 2x = - 16 + 4
Dönüşümler sonucunda x azaltıldı, ancak sonuç olarak yanlış bir eşitlik elde edildi, çünkü. Orijinal denklemde x'in yerine hangi değeri koyarsak koyalım, sonuç her zaman yanlış bir eşitlik olacaktır. Ve bu, eşitliğin gerçekleşeceği böyle bir x değeri olmadığı anlamına gelir.
Bu denklemi basitleştirmek için en küçük ortak payda kullanılır. Bu yöntem, verilen denklemi denklemin her iki tarafına birer rasyonel ifadeyle yazamadığınızda (ve çapraz çarpma yöntemini kullandığınızda) kullanılır. Bu yöntem, size 3 veya daha fazla kesirli rasyonel bir denklem verildiğinde kullanılır (iki kesir olması durumunda çapraz çarpma daha iyidir).
Kesirlerin en küçük ortak paydasını (veya en küçük ortak katını) bulun. NOZ, her payda tarafından eşit olarak bölünebilen en küçük sayıdır.
- Bazen NOZ bariz bir sayıdır. Örneğin, x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6 denklemi verilirse, 3, 2 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 6 olacağı açıktır.
- NOD açık değilse, en büyük paydanın katlarını yazın ve aralarından diğer paydaların da katı olan birini bulun. NOD'u genellikle iki paydayı basitçe çarparak bulabilirsiniz. Örneğin x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 denklemi verilirse NOZ = 8*9 = 72.
- Bir veya daha fazla payda bir değişken içeriyorsa, süreç biraz daha karmaşıktır (ancak imkansız değildir). Bu durumda NOZ, her payda tarafından bölünebilen (bir değişken içeren) bir ifadedir. Örneğin, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) denkleminde, çünkü bu ifade her payda ile bölünebilir: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Her fraksiyonun hem payını hem de paydasını, NOZ'un her fraksiyonun karşılık gelen paydasına bölünmesinin sonucuna eşit bir sayı ile çarpın. Hem payı hem de paydayı aynı sayı ile çarptığınız için, bir kesri etkin bir şekilde 1 ile çarpıyorsunuzdur (örneğin, 2/2 = 1 veya 3/3 = 1).
- Örneğimizde, 2x/6 elde etmek için x/3'ü 2/2 ile çarpın ve 3/6 elde etmek için 1/2'yi 3/3 ile çarpın (3x + 1/6'nın çarpılması gerekmez çünkü payda budur. 6).
- Değişken paydadayken benzer şekilde devam edin. İkinci örneğimizde NOZ = 3x(x-1), yani 5/(x-1) çarpı (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x çarpı 3(x-1)/3(x-1) için 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) ile (x-1)/(x-1) çarparsanız 2(x-1)/3x(x-1) elde edersiniz.
x'i bulun. Artık kesirleri ortak bir paydaya indirgediğinize göre, paydadan kurtulabilirsiniz. Bunu yapmak için, denklemin her tarafını ortak bir payda ile çarpın. Sonra ortaya çıkan denklemi çözün, yani "x" i bulun. Bunu yapmak için, değişkeni denklemin bir tarafında ayırın.
- Örneğimizde: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Aynı paydaya sahip 2 kesir toplayabilirsiniz, bu nedenle denklemi şu şekilde yazın: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Denklemin her iki tarafını 6 ile çarpın ve paydalardan kurtulun: 2x+3 = 3x +1. Çöz ve x = 2 olsun.
- İkinci örneğimizde (paydada bir değişken ile), denklem şuna benzer (ortak bir paydaya indirgedikten sonra): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Denklemin her iki tarafını NOZ ile çarparak, paydadan kurtulursunuz ve şunu elde edersiniz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), veya 15x = 3x - 3 + 2x -2, veya 15x = x - 5 Çözün ve şunu elde edin: x = -5/14.