Tablonun ilk formülünü türetirken, bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımından yola çıkacağız. hadi nereye gidelim x- herhangi bir gerçek sayı, yani, x– fonksiyon tanımlama alanından herhangi bir sayı. Fonksiyon artışının argüman artışına oranının sınırını şuraya yazalım: 
Limit işareti altında, payın sonsuz küçük bir değer değil, tam olarak sıfır içerdiğinden, sıfırın belirsizliğinin sıfıra bölünmesi olmayan bir ifadenin elde edildiğine dikkat edilmelidir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.
Böylece, sabit bir fonksiyonun türevitüm tanım alanında sıfıra eşittir.
Bir güç fonksiyonunun türevi.
türev formülü güç fonksiyonu forma sahip 
, nerede üs p herhangi bir gerçek sayıdır.
Önce doğal üs için formülü kanıtlayalım, yani p = 1, 2, 3, ...
Türev tanımını kullanacağız. Güç fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının sınırını yazalım: 
Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un binom formülüne dönüyoruz: 
Sonuç olarak, 
Bu, doğal bir üs için bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kanıtlar.
Üstel fonksiyonun türevi.
Tanıma dayalı olarak türev formülünü türetiyoruz:
Belirsizliğe geldi. Bunu genişletmek için yeni bir değişken , ve for . O zamanlar . Son geçişte, logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullandık.
Orijinal limitte bir değişiklik yapalım: 
İkinci dikkate değer limiti hatırlarsak, üstel fonksiyonun türevi formülüne geliriz: 
Logaritmik bir fonksiyonun türevi.
Logaritmik fonksiyonun türevi formülünü herkes için ispatlayalım. x kapsamdan ve tüm geçerli temel değerlerden a logaritma. Türevin tanımı gereği, elimizde: 
Fark ettiğiniz gibi, ispatta dönüşümler logaritmanın özellikleri kullanılarak yapıldı. eşitlik 
dikkat çeken ikinci sınır nedeniyle geçerlidir.
Trigonometrik fonksiyonların türevleri.
Trigonometrik fonksiyonların türevleri için formüller türetmek için, bazı trigonometri formüllerini ve ilk dikkate değer limiti hatırlamamız gerekecek.
Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımına göre, 
.
Sinüs farkı için formülü kullanıyoruz: 
İlk dikkate değer sınıra dönmek için kalır: 
Yani fonksiyonun türevi günah x var çünkü x.
Kosinüs türevinin formülü de aynı şekilde ispatlanmıştır. 
Bu nedenle, fonksiyonun türevi çünkü x var -günah x.
Tanjant ve kotanjant türevleri tablosu için formüllerin türetilmesi, kanıtlanmış farklılaşma kuralları (bir kesrin türevi) kullanılarak gerçekleştirilecektir. 
Hiperbolik fonksiyonların türevleri.
Türev tablosundan üstel fonksiyonun türevi için türev formülü ve türev kuralları, hiperbolik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant türevleri için formüller türetmemize izin verir. 
Ters fonksiyonun türevi.
Sunumda bir karışıklık olmaması için, alt indekste türevin yapıldığı fonksiyonun argümanını gösterelim, yani fonksiyonun türevidir. f(x)üzerinde x.
şimdi formüle ediyoruz ters fonksiyonun türevini bulma kuralı.
fonksiyonlar olsun y = f(x) ve x = g(y) karşılıklı olarak ters, aralıklarla ve sırasıyla tanımlanır. Bir noktada fonksiyonun sonlu sıfırdan farklı türevi varsa f(x), o zaman noktada ters fonksiyonun sonlu bir türevi vardır g(y), ve 
. başka bir girişte 
.
Bu kural herhangi bir durum için yeniden formüle edilebilir. x aralıktan, o zaman alırız 
.
Bu formüllerin geçerliliğini kontrol edelim.
Doğal logaritma için ters fonksiyonu bulalım 
(burada y bir fonksiyondur ve x- argüman). Bu denklemi çözmek için x, alırız (burada x bir fonksiyondur ve y onun argümanı). Yani, 
ve karşılıklı ters fonksiyonlar.
Türev tablosundan görüyoruz ki 
ve 
.
Ters fonksiyonun türevlerini bulma formüllerinin bizi aynı sonuçlara götürdüğünden emin olalım: 
Gördüğünüz gibi, türev tablosundakiyle aynı sonuçları elde ettik.
Artık ters türevler için formülleri kanıtlama bilgisine sahibiz. trigonometrik fonksiyonlar.
Arksinüsün türeviyle başlayalım.
. Ardından, ters fonksiyonun türevi formülü ile elde ederiz.
Dönüşümü gerçekleştirmek için kalır.
Arksin aralığı aralık olduğundan 
, sonra 
(temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri ile ilgili bölüme bakın). Bu nedenle dikkate almıyoruz.
Sonuç olarak, 
. Arksin türevinin tanım alanı aralıktır. (-1;
1)
.
Arkozin için her şey tam olarak aynı şekilde yapılır: 
Ark tanjantının türevini bulun.
Ters fonksiyon için 
.
Ortaya çıkan ifadeyi basitleştirmek için ark tanjantını ark kosinüsü aracılığıyla ifade ederiz.
İzin vermek arktanx = z, sonra 
Sonuç olarak, 
Benzer şekilde, ters tanjantın türevi de bulunur: 
Bu video ile türevler üzerine uzun bir ders serisine başlıyorum. Bu ders birkaç bölümden oluşmaktadır.
Öncelikle size genel olarak türevlerin ne olduğunu ve nasıl hesaplanacağını anlatacağım, ancak sofistike bir akademik dilde değil, kendim anladığım şekilde ve öğrencilerime nasıl açıkladığımı anlatacağım. İkinci olarak, toplamların türevlerini, bir farkın türevlerini ve bir güç fonksiyonunun türevlerini arayacağımız problemleri çözmek için en basit kuralı ele alacağız.
Özellikle kökleri ve hatta kesirleri içeren benzer problemlerin bir kuvvet fonksiyonunun türevi formülü kullanılarak çözülebileceğini öğreneceğiniz daha karmaşık birleşik örneklere bakacağız. Ek olarak, elbette, çeşitli karmaşıklık seviyelerinde birçok görev ve çözüm örneği olacaktır.
Genel olarak, başlangıçta 5 dakikalık kısa bir video kaydedecektim, ancak bunun ne olduğunu kendiniz görebilirsiniz. Şarkı sözleri bu kadar yeter - hadi işe başlayalım.
türev nedir?
Öyleyse uzaktan başlayalım. Yıllar önce, ağaçlar daha yeşil ve hayat daha eğlenceliyken, matematikçiler şunu düşündüler: Grafiği tarafından verilen basit bir fonksiyon düşünelim, buna $y=f\left(x \right)$ diyelim. Tabii ki, grafik kendi başına mevcut değil, bu yüzden $x$ ekseninin yanı sıra $y$ eksenini de çizmeniz gerekiyor. Şimdi bu grafikte herhangi bir noktayı seçelim, kesinlikle herhangi bir nokta. Apsise $((x)_(1))$ diyelim, ordinat tahmin edebileceğiniz gibi $f\left(((x)_(1)) \right)$ olacaktır.
Aynı grafikte başka bir nokta düşünün. Hangisi olduğu önemli değil, asıl şey orijinalinden farklı olmasıdır. Yine bir apsisi var, buna $((x)_(2))$ ve ordinat - $f\left(((x)_(2)) \sağ)$ diyelim.
Yani iki noktamız var: farklı apsisleri var ve bu nedenle, Farklı anlamlar işlevleri, ikincisi isteğe bağlı olmasına rağmen. Ama asıl önemli olan, planimetri rotasından iki noktadan, üstelik sadece bir noktadan düz bir çizgi çizilebileceğini bilmemizdir. İşte, çalıştıralım.
Şimdi bunların ilkinden x eksenine paralel bir doğru çizelim. Bir dik üçgen elde ederiz. Buna $ABC$, dik açı $C$ diyelim. Bu üçgenin çok ilginç bir özelliği vardır: Gerçek şu ki, $\alpha $ açısı, aslında, $AB$ düz çizgisinin apsis ekseninin devamı ile kesiştiği açıya eşittir. Kendiniz için yargıç:
- $AC$ çizgisi, yapım gereği $Ox$ eksenine paraleldir,
- $AB$ satırı, $\alpha $ altında $AC$ ile kesişir,
- dolayısıyla $AB$, aynı $\alpha $ altında $Ox$ ile kesişir.
$\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ hakkında ne söyleyebiliriz? $ABC$ üçgeninde, $BC$ ayağının $AC$ ayağına oranının bu açının tanjantına eşit olması dışında somut bir şey yok. Öyleyse yazalım:
Tabii ki, $AC$ bu durum kolayca düşünülür:
Benzer şekilde $BC$ için:
Başka bir deyişle, aşağıdakileri yazabiliriz:
\[\operatöradı(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \sağ)-f\left( ((x)_(1)) \sağ))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Şimdi tüm bunları aradan çıkardığımıza göre, grafiğimize geri dönelim ve yeni $B$ noktasına bakalım. Eski değerleri silin ve $B$'ı $((x)_(1))$'a daha yakın bir yere alın ve alın. Yine apsisini $((x)_(2))$ ve ordinatını $f\left(((x)_(2)) \sağ)$ olarak gösterelim.
İçinde $ABC$ ve $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ adlı küçük üçgenimizi tekrar düşünün. Bunun tamamen farklı bir açı olacağı oldukça açıktır, tanjant da farklı olacaktır çünkü $AC$ ve $BC$ segmentlerinin uzunlukları önemli ölçüde değişmiştir ve açının tanjantı formülü hiç değişmemiştir. - bu hala işlevi değiştirme ile argümanı değiştirme arasındaki orandır.
Son olarak, $B$'ı başlangıç noktası olan $A$'a daha da yaklaştırmaya devam ederiz, sonuç olarak üçgen daha da azalacaktır ve $AB$ segmentini içeren doğru giderek daha fazla teğet gibi görünecektir. fonksiyonun grafiği.
Sonuç olarak, noktalara yaklaşmaya devam edersek, yani mesafeyi sıfıra indirirsek, $AB$ doğrusu bu noktada grafiğe teğet olur ve $\text( )\!\!\ alpha\!\ !\text( )$ normal bir üçgen öğesinden grafiğin teğeti ile $Ox$ ekseninin pozitif yönü arasındaki açıya değişecektir.
Ve burada sorunsuzca $f$ tanımına geçiyoruz, yani fonksiyonun $((x)_(1))$ noktasındaki türevi, teğet ile teğet arasındaki $\alpha $ açısının tanjantıdır. $((x)_( 1))$ noktasındaki grafik ve $Ox$ ekseninin pozitif yönü:
\[(f)"\left(((x)_(1)) \sağ)=\operatöradı(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]
Grafiğimize dönersek, $((x)_(1))$ olarak grafikte herhangi bir noktayı seçebileceğinizi belirtmek gerekir. Örneğin aynı başarı ile şekilde gösterilen noktadaki darbeyi kaldırabiliriz.
$\beta $ ekseninin teğeti ile pozitif yönü arasındaki açıya diyelim. Buna göre, $(x)_(2))$'daki $f$, bu $\beta $ açısının tanjantına eşit olacaktır.
\[(f)"\left(((x)_(2)) \sağ)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]
Grafiğin her noktasının kendi tanjantı ve dolayısıyla fonksiyonun kendi değeri olacaktır. Bu durumların her birinde, bir farkın veya toplamın türevini veya bir güç fonksiyonunun türevini aradığımız noktaya ek olarak, ondan biraz uzakta bulunan başka bir noktayı almak gerekir ve sonra bu noktayı orijinal noktaya yönlendirin ve elbette, süreç içinde böyle bir hareketin eğim açısının tanjantını nasıl değiştireceğini öğrenin.
Güç fonksiyonu türevi
Ne yazık ki bu tanım bize hiç uymuyor. Bütün bu formüller, resimler, açılar bize gerçek problemlerde gerçek türevi nasıl hesaplayacağımız konusunda en ufak bir fikir vermez. Bu nedenle, resmi tanımdan biraz uzaklaşalım ve gerçek sorunları çözebileceğiniz daha etkili formüller ve teknikler düşünelim.
En basit yapılarla başlayalım, yani $y=((x)^(n))$ biçimindeki fonksiyonlar, yani. güç fonksiyonları. Bu durumda şunu yazabiliriz: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Başka bir deyişle, üsteki derece, öndeki çarpanda gösterilir. , ve üssün kendisi bir birim azaltılır, örneğin:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(hiza) \]
Ve işte başka bir seçenek:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x) )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]
Bunları kullanmak Basit kurallar, aşağıdaki örneklerin konturunu kaldırmaya çalışalım:
Böylece şunu elde ederiz:
\[((\left(((x)^(6)) \sağ))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Şimdi ikinci ifadeyi çözelim:
\[\begin(align)& f\left(x \sağ)=((x)^(100)) \\& ((\sol(((x)^(100)) \sağ))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(hizalama)\]
tabi bunlar çok oldu basit görevler. Ancak, gerçek problemler daha karmaşıktır ve bir fonksiyonun yetkileriyle sınırlı değildir.
Yani, kural 1 - fonksiyon diğer ikisi olarak temsil edilirse, bu toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir:
\[((\sol(f+g \sağ))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
Benzer şekilde, iki fonksiyonun farkının türevi, türevlerin farkına eşittir:
\[((\sol(f-g \sağ))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\sol(((x)^(2))+x \sağ))^(\prime ))=((\sol(((x)^(2)) \sağ))^(\ asal ))+((\sol(x \sağ))^(\prime ))=2x+1\]
Ek olarak, başka bir önemli kural daha vardır: Bazı $f$'lardan önce bu fonksiyonun çarpıldığı sabit bir $c$ geliyorsa, bu durumda tüm yapının $f$'ı aşağıdaki gibi kabul edilir:
\[((\sol(c\cdot f \sağ))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\left(3((x)^(3)) \sağ))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \sağ))^(\ asal ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Son olarak, çok önemli bir kural daha: problemler genellikle $x$ içermeyen ayrı bir terim içerir. Örneğin bunu bugünkü ifadelerimizde gözlemleyebiliriz. Bir sabitin, yani hiçbir şekilde $x$'a bağlı olmayan bir sayının türevi her zaman sıfıra eşittir ve $c$ sabitinin neye eşit olduğu hiç önemli değildir:
\[((\sol(c \sağ))^(\prime ))=0\]
Çözüm örneği:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \sağ))^(\prime ))=0\]
Bir kez daha önemli noktalar:
- İki fonksiyonun toplamının türevi her zaman türevlerin toplamına eşittir: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- Benzer nedenlerle, iki fonksiyonun farkının türevi, iki türevin farkına eşittir: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Fonksiyonun sabit bir çarpanı varsa, bu sabit türev işaretinden alınabilir: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
- Tüm fonksiyon bir sabitse, türevi her zaman sıfırdır: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Gerçek örneklerle her şeyin nasıl çalıştığını görelim. Yani:
Yazıyoruz:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \sağ))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \sağ))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \sağ))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\sol(((x)^(2)) \sağ))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(hizalama)\]
Bu örnekte, hem toplamın türevini hem de farkın türevini görüyoruz. Yani türev $5((x)^(4))-6x$'dır.
Gelelim ikinci fonksiyona:
Çözümü yazın:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \sağ))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \sağ))^(\prime ))-((\sol(2x \sağ))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\sol(((x))) ^(2)) \sağ))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(hizalama)\]
İşte cevabı bulduk.
Üçüncü fonksiyona geçelim - bu zaten daha ciddi:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \sağ)) ^(\prime ))=((\sol(2((x)^(3)) \sağ))^(\prime ))-(((\left(3((x)^(2))) \sağ ))^(\prime ))+((\sol(\frac(1)(2)x \sağ))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \sağ))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \sağ))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(hizalama)\]
Cevabı bulduk.
Son ifadeye geçelim - en karmaşık ve en uzun:
Yani, şunu düşünüyoruz:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \sağ))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \sağ))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \sağ))^(\prime )) +((\left(4x \sağ))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(hizalama)\]
Ancak çözüm burada bitmiyor, çünkü bizden yalnızca konturu kaldırmamız değil, belirli bir noktadaki değerini de hesaplamamız isteniyor, bu nedenle ifadeye $x$ yerine -1 koyuyoruz:
\[(y)"\left(-1 \sağ)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Daha da ileri gidiyoruz ve daha da karmaşık ve ilginç örneklere geçiyoruz. Buradaki nokta, $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) güç türevini çözme formülüdür. )$ yaygın olarak inanıldığından daha geniş bir kapsama sahiptir. Onun yardımıyla kesirler, kökler vb. ile örnekler çözebilirsiniz. Şimdi yapacağımız şey bu.
Başlamak için, kuvvet fonksiyonunun türevini bulmamıza yardımcı olacak formülü bir kez daha yazalım:
Ve şimdi dikkat: Şimdiye kadar sadece doğal sayıları $n$ olarak kabul ettik, fakat hiçbir şey bizi kesirleri ve hatta negatif sayıları düşünmekten alıkoyamaz. Örneğin, aşağıdakileri yazabiliriz:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\ asal ))=((\sol(((x)^(\frac(1)(2))) \sağ))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(hiza)\]
Karmaşık bir şey yok, şimdi bu formülün daha karmaşık sorunları çözmemize nasıl yardımcı olacağını görelim. Yani bir örnek:
Çözümü yazın:
\[\begin(hizalama)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \sağ)=((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime )) \\& ((\ sol(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \sağ))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \sağ))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \sağ))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(hizalama)\]
Örneğimize geri dönelim ve şunu yazalım:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Bu çok zor bir karar.
İkinci örneğe geçelim - sadece iki terim var, ancak her biri hem klasik bir derece hem de kök içeriyor.
Şimdi ayrıca bir kök içeren bir güç fonksiyonunun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))=((\sol(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \sağ))^(\prime )) =((\sol(((x)^(3)))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \sağ))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \sağ))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3)) ))) \sağ))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\sol(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \sağ))^(\prime ))=((\sol(((x)^(7)) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \sağ))^(\prime ))=((\sol(((x)^(7\frac(1)(3)) ))) \sağ))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(hizalama)\]
Her iki terim de hesaplanır, son cevabı yazmak kalır:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Cevabı bulduk.
Bir kuvvet fonksiyonu cinsinden bir kesrin türevi
Ancak, bir kuvvet fonksiyonunun türevini çözmek için formülün olasılıkları burada bitmiyor. Gerçek şu ki, yardımı ile sadece kökleri olan örnekleri değil, aynı zamanda kesirleri de sayabilirsiniz. Bu, bu tür örneklerin çözümünü büyük ölçüde basitleştiren, ancak yalnızca öğrenciler tarafından değil, öğretmenler tarafından da genellikle göz ardı edilen nadir bir fırsattır.
Şimdi iki formülü aynı anda birleştirmeye çalışacağız. Bir yandan, bir güç fonksiyonunun klasik türevi
\[((\left(((x)^(n)) \sağ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Öte yandan, $\frac(1)(((x)^(n)))$ biçimindeki bir ifadenin $((x)^(-n))$ olarak temsil edilebileceğini biliyoruz. Sonuç olarak,
\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \sağ)"=((\left(((x)^(-n)) \sağ))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\sol(\frac(1)(x) \sağ))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \sağ)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
yani türevler basit kesirler payın bir sabit ve paydanın bir derece olduğu durumlarda da klasik formül kullanılarak hesaplanır. Pratikte nasıl çalıştığını görelim.
Yani ilk fonksiyon:
\[((\sol(\frac(1)((x)^(2))) \sağ))^(\prime ))=((\sol(((x)^(-2)) \ sağ))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
İlk örnek çözüldü, ikinciye geçelim:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \sağ))^(\prime ))= \ \& =((\sol(\frac(7)(4((x)^(4))) \sağ))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \sağ))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \sağ))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \sağ))^(\prime )) \\& ((\sol(\frac(7)(4((x)^(4))) \sağ))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \sağ))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\sol(((x)^(-4)) \sağ))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \sağ) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\sol(\frac(2)(3((x)^)) (3))) \sağ))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\sol(\frac(1)(((x)^(3))) \sağ) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \sağ))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \sol(-3 \sağ)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\sol( \frac(5)(2)((x)^(2)) \sağ))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\sol(2) ((x)^(3)) \sağ))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ sol(3((x)^(4)) \sağ))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(hizalama)\]...
Şimdi tüm bu terimleri tek bir formülde topluyoruz:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Bir yanıt aldık.
Ancak, devam etmeden önce, orijinal ifadelerin kendilerinin yazılma şekline dikkatinizi çekmek istiyorum: ilk ifadede $f\left(x \right)=...$ yazdık, ikincide: $y =...$ Birçok öğrenci, farklı gösterim biçimleri gördüklerinde kaybolur. $f\left(x \right)$ ve $y$ arasındaki fark nedir? Aslında hiçbir şey. Onlar sadece aynı anlama sahip farklı girdilerdir. Tam olarak $f\left(x \right)$ dediğimizde Konuşuyoruz, her şeyden önce, fonksiyon hakkında ve $y$ söz konusu olduğunda, çoğu zaman fonksiyonun grafiği kastedilmektedir. Aksi takdirde, aynıdır, yani türev her iki durumda da aynı kabul edilir.
Türevlerle ilgili karmaşık problemler
Sonuç olarak, bugün düşündüğümüz her şeyi aynı anda kullanan birkaç karmaşık birleşik problemi ele almak istiyorum. Onlarda kökleri, kesirleri ve toplamları bekliyoruz. Bununla birlikte, bu örnekler yalnızca bugünün video eğitimi çerçevesinde karmaşık olacaktır, çünkü gerçekten karmaşık türev işlevleri sizi ileride bekleyecektir.
Yani, son kısım bugünün video eğitimi, iki birleşik görevden oluşuyor. İlkiyle başlayalım:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \sağ))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \sağ))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3))) )) \sağ))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \sağ) \\& ((\left(((x)^(3)) \sağ))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \sağ))^(\prime ))=((\ sol(((x)^(-3)) \sağ))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \sağ))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(hizalama)\]
Fonksiyonun türevi:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^) (2))))\]
İlk örnek çözüldü. İkinci sorunu düşünün:
İkinci örnekte, benzer şekilde hareket ediyoruz:
\[((\sol(-\frac(2)((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \sağ))^(\prime ))=((\sol(-\frac(2)(((x)^(4))) \sağ))^(\prime ))+((\sol (\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \sağ))^ (\önemli))\]
Her terimi ayrı ayrı hesaplayalım:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \sağ))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \sağ))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \sağ)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac()) 1)(4))) \sağ))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ sol(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \sağ))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \sağ))^(\prime ))=((\sol(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \sağ))^(\prime ))=4\cdot ((\sol(((x)^(-1\frac(3)(4))) \sağ))^( \prime ))= \\& =4\cdot \sol(-1\frac(3)(4) \sağ)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \sol(-\frac(7)(4) \sağ)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(hizalama)\]
Tüm terimler sayılır. Şimdi orijinal formüle dönüyoruz ve üç terimi de bir araya getiriyoruz. Son cevabın şöyle olacağını anlıyoruz:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
Ve hepsi bu. Bu bizim ilk dersimizdi. Sonraki derslerde daha fazla karmaşık yapılar ve ayrıca türevlere neden ihtiyaç duyulduğunu da öğrenin.
Üstel bir işlev, bir güç işlevi biçimine sahip bir işlevdir.y = u v ,
tabanı u ve üs v, x değişkeninin bazı işlevleri olan:
sen = sen (x); v=v (x).
Bu fonksiyon da denir üstel güç veya .
Üstel işlevin üstel biçimde gösterilebileceğini unutmayın:
.
Bu nedenle, aynı zamanda denir karmaşık üstel fonksiyon.
üstel fonksiyonun türevi
Logaritmik türevi kullanarak hesaplama
üstellerin türevini bulalım üstel fonksiyon
(2)
,
nerede ve değişkenin işlevleridir.
Bunu yapmak için, logaritmanın özelliğini kullanarak denklem (2)'nin logaritmasını alıyoruz:
.
x'e göre türevini al:
(3)
.
Uygulamak bileşik bir fonksiyonun türevini alma kuralları ve çalışır:
;
.
(3)'te değiştirin:
.
Buradan
.
Böylece üstel fonksiyonun türevini bulduk:
(1)
.
Üs sabit ise, o zaman . O zaman türev, bileşik güç fonksiyonunun türevine eşittir:
.
Derecenin tabanı sabit ise, o zaman . O zaman türev, bileşik üstel fonksiyonun türevine eşittir:
.
x'in fonksiyonları olduğunda ve olduklarında, üstel fonksiyonun türevi, bileşik kuvvet ve üstel fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir.
Karmaşık bir üstel fonksiyona indirgeme yoluyla türevin hesaplanması
Şimdi üstel fonksiyonun türevini buluyoruz
(2)
,
karmaşık bir üstel fonksiyon olarak temsil etmek:
(4)
.
Ürünü ayırt edelim:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için kuralı uygularız:
.
Ve yine formül (1) elde ettik.
örnek 1
Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:
.
Logaritmik türevi kullanarak hesaplıyoruz. Orijinal fonksiyonun logaritmasını alıyoruz:
(P1.1) .
Türev tablosundan şunu buluruz:
;
.
Bir ürünün türevi formülüne göre, elimizde:
.
Farklılaştırıyoruz (A1.1):
.
Çünkü
,
sonra
.
Konuyu incelerken kolaylık ve netlik için bir özet tablo burada.
|
Devamlıy=C Güç fonksiyonu y = x p (x p)" = p x p - 1 |
üstel fonksiyony = x (a x)" = bir x ln a Özellikle, ne zamanbir = esahibiz y = e x (e x)" = e x |
|
logaritmik fonksiyon (log a x) " = 1 x ln a Özellikle, ne zamanbir = esahibiz y = günlük x (ln x)" = 1 x |
Trigonometrik fonksiyonlar (sin x) "= cos x (cos x)" = - günah x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 günah 2 x |
|
Ters trigonometrik fonksiyonlar (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 |
hiperbolik fonksiyonlar (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x |
Belirtilen tablonun formüllerinin nasıl elde edildiğini analiz edelim veya başka bir deyişle, her bir fonksiyon türü için türev formüllerinin türetilmesini kanıtlayacağız.
Bir sabitin türevi
Kanıt 1Bu formülü elde etmek için, bir fonksiyonun bir noktada türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada x herhangi bir gerçek sayının değerini alır veya başka bir deyişle, x f (x) = C fonksiyonunun tanım kümesinden herhangi bir sayıdır. Fonksiyon artışının argümanın artışına oranının limitini ∆ x → 0 olarak yazalım:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Lütfen 0 ∆ x ifadesinin limit işaretinin altına düştüğüne dikkat edin. Pay, sonsuz küçük bir değer değil, sıfır içerdiğinden, “sıfırın sıfıra bölünmesi” belirsizliği değildir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.
Böylece, f (x) = C sabit fonksiyonunun türevi, tüm tanım alanı üzerinde sıfıra eşittir.
örnek 1
Verilen sabit fonksiyonlar:
f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Çözüm
Verilen koşulları açıklayalım. İlk fonksiyonda doğal sayı 3'ün türevini görüyoruz. Aşağıdaki örnekte, türevini almanız gerekir. a, nerede a- herhangi bir gerçek sayı. Üçüncü örnek bize türevi verir irrasyonel sayı dört 13 7 22 , dördüncü - sıfırın türevi (sıfır bir tamsayıdır). Son olarak, beşinci durumda, rasyonel kesrin - 8 7 türevine sahibiz.
Cevap: türevler fonksiyonları ayarla herhangi bir gerçek için sıfırdır x(tanım alanının tamamı üzerinde)
f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0
Güç fonksiyonu türevi
Güç işlevine ve türevinin formülüne dönüyoruz: (x p) " = p x p - 1, burada üs p herhangi biri gerçek Numara.
Kanıt 2
Üs bir doğal sayı olduğunda formülün kanıtı: p = 1 , 2 , 3 , …
Yine, bir türev tanımına güveniyoruz. Güç fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının sınırını yazalım:
(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x
Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un binom formülünü kullanırız:
(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p
Böylece:
(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p!1! (p - 1)!x p - 1 = p x p - 1
Böylece, üs bir doğal sayı olduğunda bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kanıtladık.
Kanıt 3
Dava için kanıt vermek için p- sıfırdan başka herhangi bir gerçek sayı, logaritmik türevi kullanırız (burada türevden farkı anlamalıyız logaritmik fonksiyon). Daha eksiksiz bir anlayışa sahip olmak için, logaritmik fonksiyonun türevini incelemek ve ayrıca örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevi ve karmaşık bir fonksiyonun türevi ile ilgilenmek arzu edilir.
İki durumu düşünün: ne zaman x pozitif ve ne zaman x negatif.
Yani x > 0 . Sonra: xp > 0 . y \u003d x p eşitliğinin logaritmasını e tabanına alıyoruz ve logaritmanın özelliğini uyguluyoruz:
y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x
Bu aşamada örtük olarak tanımlanmış bir fonksiyon elde edilmiştir. Türevini tanımlayalım:
(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1
Şimdi durumu ele alacağız x- negatif bir sayı.
gösterge ise p var çift sayı, o zaman güç fonksiyonu da x için tanımlanır< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
sonra xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Eğer bir p tek bir sayıysa, x için güç fonksiyonu tanımlanır< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1
Son geçiş mümkündür çünkü eğer p tek sayı o zaman p - 1 ya bir çift sayı ya da sıfır (p = 1 için), bu nedenle, negatif için x(- x) p - 1 = x p - 1 eşitliği doğrudur.
Böylece, herhangi bir gerçek p için bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kanıtladık.
Örnek 2
Verilen fonksiyonlar:
f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12
Türevlerini belirleyin.
Çözüm
Verilen fonksiyonların bir kısmını, derecenin özelliklerine dayalı olarak y = x p tablo biçimine dönüştürüyoruz ve sonra formülü kullanıyoruz:
f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x günlük 7 12 = x - günlük 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - günlük 7 12 x - günlük 7 12 - 1 = - günlük 7 12 x - günlük 7 12 - günlük 7 7 = - günlük 7 12 x - günlük 7 84
üstel fonksiyonun türevi
Kanıt 4Tanıma dayalı olarak türev formülünü türetiyoruz:
(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0
Belirsizlik aldık. Genişletmek için yeni bir z = a ∆ x - 1 değişkeni yazıyoruz (z → 0, ∆ x → 0 olarak). Bu durumda a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Son geçiş için, logaritmanın yeni bir tabanına geçiş formülü kullanılır.
Orijinal limitte bir değişiklik yapalım:
(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln bir lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
İkinci harika limiti hatırlayın ve sonra üstel fonksiyonun türevinin formülünü elde ederiz:
(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a
Örnek 3
Üstel fonksiyonlar verilmiştir:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
Türevlerini bulmamız gerekiyor.
Çözüm
Üstel fonksiyonun türevi ve logaritmanın özellikleri için formülü kullanıyoruz:
f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x
Logaritmik bir fonksiyonun türevi
Kanıt 5Herhangi biri için logaritmik fonksiyonun türevi formülünün kanıtını sunuyoruz. x tanım alanında ve herhangi bir izin verilen değerler bir logaritmanın temelleri. Türevin tanımına dayanarak şunu elde ederiz:
(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a
Belirtilen eşitlikler zincirinden, dönüşümlerin logaritma özelliği temelinde inşa edildiği görülebilir. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e eşitliği, ikinci dikkate değer sınıra göre doğrudur.
Örnek 4
Logaritmik fonksiyonlar verilmiştir:
f 1 (x) = günlük günlüğü 3 x , f 2 (x) = günlük x
Türevlerini hesaplamak gerekir.
Çözüm
Elde edilen formülü uygulayalım:
f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x
Yani doğal logaritmanın türevi bir bölü x.
trigonometrik fonksiyonların türevleri
Kanıt 6biraz kullanıyoruz trigonometrik formüller ve bir trigonometrik fonksiyonun türevi formülünü türeten ilk dikkate değer limit.
Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımına göre şunu elde ederiz:
(günah x) " = lim ∆ x → 0 günah (x + ∆ x) - günah x ∆ x
Sinüs farkı formülü, aşağıdaki eylemleri gerçekleştirmemize izin verecektir:
(günah x) " = lim ∆ x → 0 günah (x + ∆ x) - günah x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 günah x + ∆ x - x 2 çünkü x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2
Son olarak, ilk harika limiti kullanıyoruz:
günah "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Yani fonksiyonun türevi günah x olacak çünkü x.
Kosinüs türevinin formülünü de aynı şekilde ispatlayacağız:
çünkü "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 günah x + ∆ x - x 2 günah x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 günah x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - günah x + 0 2 lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2 = - günah x
Şunlar. cos x fonksiyonunun türevi - günah x.
Tanjant ve kotanjant türevlerinin formüllerini türev alma kurallarına göre türetiyoruz:
t g "x = günah x cos x" = günah "x cos x - günah x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - günah x (- günah x) cos 2 x = günah 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x günah x" = cos "x günah x - kos x günah "x günah 2 x = = - günah x günah x - kos x kos x günah 2 x = - günah 2 x + çünkü 2 x günah 2 x = - 1 günah 2 x
Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri
türev bölümü ters fonksiyonlar arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantın türevleri için formüllerin ispatı hakkında kapsamlı bilgi verir, bu yüzden burada materyali tekrar etmeyeceğiz.
Hiperbolik fonksiyonların türevleri
Kanıt 7Farklılaşma kuralını ve üstel fonksiyonun türevi formülünü kullanarak hiperbolik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın türevleri için formüller türetebiliriz:
s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Üstel fonksiyonun (e üzeri x'in kuvveti) ve üstel fonksiyonun (a üzeri x'in kuvveti) türevi için formüllerin ispatı ve türetilmesi. e^2x, e^3x ve e^nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Daha yüksek dereceli türevler için formüller.
İçerikAyrıca bakınız: Üstel fonksiyon - özellikler, formüller, grafik
Üs, e üzeri x - özellikler, formüller, grafik
Temel formüller
Üssün türevi, üssün kendisine eşittir (e üzeri x kuvvetinin türevi, e üzeri x kuvvetine eşittir):
(1)
(e x )′ = e x.
Tabanı a olan bir üstel fonksiyonun türevi, fonksiyonun kendisine eşittir, a'nın doğal logaritması ile çarpılır:
(2)
.
Üs, üs tabanı aşağıdaki limit olan e sayısına eşit olan bir üstel fonksiyondur:
.
Burada doğal veya gerçek bir sayı olabilir. Daha sonra, üssün türevi için formül (1) türetiyoruz.
Üsün türevi için formülün türetilmesi
Üssü, e üzeri x'i düşünün:
y = e x .
Bu fonksiyon hepsi için tanımlanmıştır. x'e göre türevini bulalım. Tanım olarak, türev aşağıdaki limittir:
(3)
.
Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgemek için dönüştürelim. Bunun için aşağıdaki gerçeklere ihtiyacımız var:
ANCAK)Üs özelliği:
(4)
;
B) Logaritma özelliği:
(5)
;
AT) Sürekli bir fonksiyon için logaritmanın sürekliliği ve limitlerin özelliği:
(6)
.
Burada, limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
G)İkinci harika sınırın anlamı:
(7)
.
Bu gerçekleri kendi sınırımıza kadar uygularız (3). (4) özelliğini kullanıyoruz:
;
.
Bir ikame yapalım. O zamanlar ; .
Üslün sürekliliği nedeniyle,
.
Bu nedenle, , . Sonuç olarak şunları elde ederiz:
.
Bir ikame yapalım. O zamanlar . , . Ve bizde:
.
Logaritmanın (5) özelliğini uygularız:
. O zamanlar
.
(6) özelliğini uygulayalım. Pozitif bir limit olduğu ve logaritma sürekli olduğu için:
.
Burada da ikinci dikkat çekici limiti (7) kullandık. O zamanlar
.
Böylece, üssün türevi için formül (1) elde ettik.
Üstel fonksiyonun türevi için formülün türetilmesi
Şimdi, a dereceli bir tabanı olan üstel fonksiyonun türevi için formül (2) türetiyoruz. Buna inanıyoruz ve . Daha sonra üstel fonksiyon
(8)
Herkes için tanımlanmış.
Formülü (8) dönüştürelim. Bunu yapmak için üstel fonksiyonun ve logaritmanın özelliklerini kullanırız.
;
.
Böylece formül (8)'i aşağıdaki forma dönüştürdük:
.
e üzeri x kuvvetinin yüksek mertebeden türevleri
Şimdi daha yüksek derecelerin türevlerini bulalım. Önce üsse bakalım:
(14)
.
(1)
.
(14) fonksiyonunun türevinin (14) fonksiyonunun kendisine eşit olduğunu görüyoruz. (1)'in türevini alarak, ikinci ve üçüncü dereceden türevler elde ederiz:
;
.
Bu, n'inci dereceden türevin de orijinal fonksiyona eşit olduğunu gösterir:
.
Üstel fonksiyonun daha yüksek dereceli türevleri
Şimdi tabanı a derecesine sahip bir üstel fonksiyon düşünelim:
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(15)
.
(15), ikinci ve üçüncü dereceden türevleri elde ederiz:
;
.
Her farklılaşmanın orijinal fonksiyonun ile çarpılmasına yol açtığını görüyoruz. Bu nedenle, n'inci türev aşağıdaki forma sahiptir:
.