Kesirlerin nasıl bölüneceğini anlamak için kuralı inceleyelim ve nasıl uygulanacağına dair örneklere bakalım.
Adi kesirleri bölme kuralı
İki kesri bölmek için ilk sayıyı ikinciyle çarpmanız gerekir (yani, ilk kesri ters çevrilmiş saniyeyle çarparız).
Sıradan kesirlerin bölünmesine örnekler:
Bu kesirleri bölmek için ilk kesri yeniden yazarız ve ikincinin tersini yaparız (temettü bölenin tersi ile çarparız). Burada hiçbir şey kısaltılamaz.
Bu kesirleri bölmek için, ilk sayıyı değişmeden yeniden yazarız ve ikincinin tersi ile çarparız.6 ve 9, 3, 20 ve 25 ile 5'tir. Ortaya çıkan 8/15 kesri düzgün ve indirgenemez. Yani bu son cevap.
İlk kesri değişmeden bırakıp ikinci kesrin tersiyle çarpıyoruz. 45 ve 36'yı 9, 65 ve 52'yi 13'e indiriyoruz. Sonuç olarak, uygun olmayan bir kesir elde ettik.
ikiye bölünürken eşit sayılar Bir birim elde ederiz, böylece cevabı hemen yazabiliriz.
Kesirleri bölmek için birinciyi ikincinin tersiyle çarpın. 23 ve 23'ü 23, 14 ve 7'yi 7'ye indiriyoruz. Payda bir olduğu için cevap bir tamsayıdır.
Bir dahaki sefere bir tamsayıyı kesre nasıl böleceğimize bakacağız.
Sıradan kesirli sayılar ilk olarak 5. sınıfta okul çocukları ile tanışır ve yaşamları boyunca onlara eşlik eder, çünkü günlük yaşamda genellikle bir nesneyi tamamen değil, ayrı parçalar halinde düşünmek veya kullanmak gerekir. Bu konunun çalışmasının başlangıcı - paylaşın. Paylar eşit parçalardır bir nesnenin bölündüğü yer. Ne de olsa, örneğin bir ürünün uzunluğunu veya fiyatını bir tamsayı olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir; herhangi bir ölçüde parçalar veya paylar dikkate alınmalıdır. "Ezmek" fiilinden oluşan - parçalara bölmek ve Arapça köklere sahip olmak, VIII.Yüzyılda "kesir" kelimesinin kendisi Rusça olarak ortaya çıktı.
Temas halinde
Kesirli ifadeler uzun zamandır matematiğin en zor bölümü olarak kabul ediliyor. 17. yüzyılda, matematikte ilk ders kitaplarının ortaya çıktığı zaman, insanların anlamasında gösterilmesi çok zor olan "kırık sayılar" olarak adlandırıldılar.
Parçaları tam olarak yatay bir çizgiyle ayrılmış olan basit kesirli artıkların modern biçimi, ilk olarak Fibonacci - Pisa Leonardo'su tarafından desteklendi. Yazıları 1202 tarihlidir. Ancak bu makalenin amacı, farklı paydalarla karışık kesirlerin çarpımının nasıl gerçekleştiğini okuyucuya basit ve net bir şekilde açıklamaktır.
Farklı paydalarla kesirleri çarpma
Başlangıçta, belirlemek gerekir kesir çeşitleri:
- doğru;
- yanlış;
- karışık.
Ardından, aynı paydalara sahip kesirli sayıların nasıl çarpıldığını hatırlamanız gerekir. Bu sürecin kuralını bağımsız olarak formüle etmek kolaydır: basit kesirleri aynı paydalarla çarpmanın sonucu, payı payların çarpımı olan kesirli bir ifadedir ve payda bu kesirlerin paydalarının ürünüdür. . Yani aslında yeni payda başlangıçta var olanlardan birinin karesidir.
çarparken farklı paydalara sahip basit kesirler iki veya daha fazla faktör için kural değişmez:
a/b * c/d = AC / b*d.
Tek fark, kesirli çizginin altında oluşan sayının farklı sayıların ve elbette birin karesinin çarpımı olmasıdır. sayısal ifade adını vermek mümkün değil.
Örnekler kullanarak farklı paydalara sahip kesirlerin çarpımını düşünmeye değer:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Örnekler, kesirli ifadeleri azaltmanın yollarını kullanır. Yalnızca payın sayılarını payda sayılarıyla azaltabilirsiniz; kesir çubuğunun üstündeki veya altındaki bitişik faktörler azaltılamaz.
Basit kesirli sayılarla birlikte, karışık kesirler kavramı vardır. Karışık bir sayı, bir tamsayı ve bir kesirli kısımdan oluşur, yani bu sayıların toplamıdır:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Çarpma nasıl çalışır?
Dikkate alınması için birkaç örnek verilmiştir.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Örnek, bir sayının çarpımını kullanır sıradan kesirli kısım, bu eylemin kuralını aşağıdaki formüle göre yazabilirsiniz:
a* b/c = a*b /c.
Aslında böyle bir çarpım özdeş kesirli kalanların toplamıdır ve terimlerin sayısı bu doğal sayıyı gösterir. Özel durum:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Bir sayının kesirli kalanla çarpımını çözmek için başka bir seçenek daha vardır. Paydayı bu sayıya bölmeniz yeterlidir:
d* e/f = e/f: d.
Payda doğal bir sayıya kalansız veya dedikleri gibi tamamen bölündüğünde bu tekniği kullanmak yararlıdır.
Karışık sayıları uygun olmayan kesirlere dönüştürün ve ürünü daha önce açıklanan şekilde elde edin:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Bu örnek, karışık bir kesri uygunsuz bir kesir olarak göstermenin bir yolunu içerir, ayrıca genel bir formül olarak da gösterilebilir:
a bc = a*b+ c / c, burada tamsayı kısmı payda ile çarpılıp orijinal kesirli kalanının payına eklenerek yeni kesrin paydası oluşturulur ve payda aynı kalır.
Bu süreç aynı zamanda tersine de çalışır. Tamsayı kısmı ve kesirli kalanı seçmek için, yanlış bir kesrin payını paydasına "köşe" ile bölmeniz gerekir.
Uygun olmayan kesirlerin çarpımı olağan şekilde üretilmiştir. Giriş tek bir kesirli çizginin altına girdiğinde, bu yöntemi kullanarak sayıları azaltmak için kesirleri gerektiği gibi azaltmanız gerekir ve sonucu hesaplamak daha kolaydır.
İnternette karmaşık sorunları bile çözmek için birçok yardımcı var. Matematik problemleriçeşitli programlarda. Yeterli sayıda bu tür hizmetler, paydalarda farklı sayılarla kesirlerin çarpımını hesaplamada yardım sunar - kesirleri hesaplamak için çevrimiçi hesaplayıcılar olarak adlandırılır. Sadece çoğalmayı değil, aynı zamanda diğer tüm basitleri de üretebilirler. Aritmetik işlemler ortak kesirler ve karışık sayılar. Onunla çalışmak kolaydır, site sayfasında ilgili alanlar doldurulur, işaret seçilir matematiksel eylem ve "hesapla" yı tıklayın. Program otomatik olarak sayar.
Kesirli sayılarla aritmetik işlemler konusu, orta ve lise öğrencilerinin eğitimi boyunca geçerlidir. Lisede, artık en basit türü düşünmüyorlar, ama tamsayı kesirli ifadeler, ancak daha önce elde edilen dönüşüm ve hesaplama kuralları bilgisi orijinal haliyle uygulanır. İyi öğrenilmiş temel bilgiler, en karmaşık görevlerin başarılı çözümüne tam güven verir.
Sonuç olarak, yazan Leo Tolstoy'un sözlerini alıntılamak mantıklıdır: “İnsan bir kesirdir. Payını - kendi faziletini - artırmak insanın elinde değildir, ancak herkes paydasını - kendi hakkındaki görüşünü azaltabilir ve bu azalma ile mükemmelliğine yaklaşır.
) ve payda ile payda (ürünün paydasını alırız).
Kesir çarpma formülü:
Örneğin:
Pay ve paydaların çarpımına geçmeden önce, kesir azaltma olasılığını kontrol etmek gerekir. Kesriyi azaltmayı başarırsanız, hesaplamalara devam etmeniz daha kolay olacaktır.
Sıradan bir kesrin bir kesre bölünmesi.
Bir doğal sayı içeren kesirlerin bölümü.
Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama durumunda olduğu gibi, bir tamsayıyı paydası bir birim olan bir kesre dönüştürürüz. Örneğin:
Karışık kesirlerin çarpımı.
Kesirleri çarpma kuralları (karma):
- karışık kesirleri uygunsuzlara dönüştürmek;
- kesirlerin pay ve paydalarını çarpın;
- kesri azaltıyoruz;
- uygun olmayan bir kesir elde edersek, uygun olmayan kesri karışık bir kesre dönüştürürüz.
Not! Karışık bir kesri başka bir karışık kesir ile çarpmak için, önce onları uygun olmayan kesirler biçimine getirmeniz ve ardından adi kesirleri çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.
Bir kesri doğal bir sayı ile çarpmanın ikinci yolu.
Sıradan bir kesri bir sayı ile çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygundur.
Not! Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak için, kesrin paydasını bu sayıya bölmek ve payını değiştirmeden bırakmak gerekir.
Yukarıdaki örnekten, bu seçeneğin, bir kesrin paydası bir doğal sayı ile kalansız bölündüğünde kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.
Çok seviyeli kesirler.
Lisede, genellikle üç katlı (veya daha fazla) kesir bulunur. Örnek:
Böyle bir kesri normal biçimine getirmek için 2 noktaya bölme kullanılır:
Not! Kesirleri bölerken, bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanız karışmak kolaydır.
Not, örneğin:
Birini herhangi bir kesre bölerken sonuç aynı kesir olur, sadece ters çevrilir:
Kesirleri çarpma ve bölme için pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Kafanızdaki hesaplamalarda kafanız karışmaktansa, bir taslakta birkaç satır daha yazmak daha iyidir.
2. Farklı kesir türlerine sahip görevlerde - sıradan kesir türüne gidin.
3. Artık azaltmak mümkün olmayana kadar tüm kesirleri azaltıyoruz.
4. Çok seviyeli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme kullanarak sıradan ifadelere getiriyoruz.
5. Kesri ters çevirerek birimi zihnimizde bir kesire böleriz.
Kesir, genellikle bir birim olarak alınan bir bütünün bir veya daha fazla parçasıdır (1). Doğal sayılarda olduğu gibi, tüm temel aritmetik işlemleri kesirlerle (toplama, çıkarma, bölme, çarpma) yapabilirsiniz, bunun için kesirlerle çalışmanın özelliklerini bilmeniz ve türlerini ayırt etmeniz gerekir. Birkaç tür kesir vardır: ondalık ve sıradan veya basit. Her kesir türünün kendine has özellikleri vardır, ancak onlarla nasıl başa çıkacağınızı bir kez iyice anladığınızda, kesirlerle aritmetik hesaplamalar yapmanın temel ilkelerini bileceğiniz için herhangi bir örneği kesirlerle çözebileceksiniz. Kullanarak bir kesrin tamsayıya nasıl bölüneceğine ilişkin örneklere bakalım. farklı şekiller kesirler.
Bir kesir doğal sayıya nasıl bölünür?Sıradan veya basit kesirler denir, böyle bir sayı oranı şeklinde yazılır, burada temettü (pay) fraksiyonun üstünde belirtilir ve fraksiyonun böleni (payda) aşağıda belirtilir. Böyle bir kesir bir tamsayıya nasıl bölünür? Bir örneğe bakalım! Diyelim ki 8/12'yi 2'ye bölmemiz gerekiyor.
Bunu yapmak için bir dizi eylem gerçekleştirmeliyiz:
Bu nedenle, bir kesri bir tamsayıya bölme göreviyle karşı karşıya kalırsak, çözüm şeması şöyle görünecektir: 
Benzer şekilde, herhangi bir sıradan (basit) kesri bir tamsayıya bölebilirsiniz.
Bir ondalık sayı bir tam sayıya nasıl bölünür?
Ondalık kesir, bir birimin on, bin vb. parçalara bölünmesiyle elde edilen kesirdir. Ondalık kesirli aritmetik işlemler oldukça basittir.
Bir kesrin tamsayıya nasıl bölüneceğine dair bir örnek düşünün. Diyelim ki 0.925 ondalık kesri doğal sayı 5'e bölmemiz gerekiyor.
Özetle, ondalık kesirleri bir tamsayıya bölme işlemini gerçekleştirirken önemli olan iki ana noktaya odaklanalım: - bir ondalık kesri doğal bir sayıya bölmek için bir sütuna bölme kullanılır;
- temettü tamsayı kısmının bölünmesi tamamlandığında özel bölüme virgül konur.
Aynı paydalara sahip kesirler ekleme
Kesirlerin eklenmesi iki türdür:
- Aynı paydalara sahip kesirler ekleme;
- Farklı paydalara sahip kesirler ekleme.
İlk olarak, paydaları aynı olan kesirlerin toplanmasını inceleyeceğiz. Burada her şey basit. Aynı paydalara sahip kesirler eklemek için, paylarını eklemeniz ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
Örneğin, kesirleri ekleyelim ve . Payları ekleriz ve paydayı değiştirmeden bırakırız:
Dört parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzaya pizza eklerseniz, pizza elde edersiniz:
Örnek 2 Kesirleri ekleyin ve .
cevap çıktı uygun olmayan kesir. Görevin sonu gelirse, uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Uygun olmayan bir kesirden kurtulmak için içindeki tüm parçayı seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda, tüm kısım kolayca göze çarpıyor - ikiye bölünen ikiye bir olacak:
İki parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz, bir bütün pizza elde edersiniz:
Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .
Yine, payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Üç parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz, pizza elde edersiniz:
Örnek 4 Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek, öncekilerle tamamen aynı şekilde çözülmüştür. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:
Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz ve daha fazla pizza eklerseniz, 1 bütün pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.
Gördüğünüz gibi, aynı paydalara sahip kesirler eklemek zor değil. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Aynı paydalara sahip kesirler eklemek için, paylarını eklemeniz ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
Farklı paydalara sahip kesirler ekleme
Şimdi farklı paydalara sahip kesirlerin nasıl ekleneceğini öğreneceğiz. Kesirleri eklerken, bu kesirlerin paydaları aynı olmalıdır. Ama her zaman aynı değiller.
Örneğin, paydaları aynı olduğu için kesirler eklenebilir.
Ancak kesirler hemen eklenemez, çünkü bu kesirler farklı paydalar. Bu gibi durumlarda, kesirler aynı (ortak) paydaya indirgenmelidir.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Bugün bunlardan sadece birini ele alacağız, çünkü yöntemlerin geri kalanı yeni başlayanlar için karmaşık görünebilir.
Bu yöntemin özü, her iki kesrin paydalarının ilkinin (LCM) aranması gerçeğinde yatmaktadır. Daha sonra LCM, birinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ilk ek faktör elde edilir. Aynı şeyi ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek çarpanlarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirleri nasıl ekleyeceğimizi zaten biliyoruz.
örnek 1. kesirler ekleyin ve
Her şeyden önce, her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası 2'dir. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.
LCM (2 ve 3) = 6
Şimdi kesirlere dönelim ve . İlk olarak, LCM'yi birinci kesrin paydasına böleriz ve ilk ek faktörü alırız. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.
Ortaya çıkan sayı 2, ilk ek faktördür. İlk kısma yazıyoruz. Bunu yapmak için, kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çizeriz ve bulunan ek faktörü onun üzerine yazarız:
Aynı şeyi ikinci kesir ile yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına böleriz ve ikinci ek faktörü alırız. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.
Ortaya çıkan sayı 3, ikinci ek faktördür. İkinci kısma yazıyoruz. Yine ikinci fraksiyonun üzerine küçük bir eğik çizgi çizeriz ve bulunan ek çarpanı onun üstüne yazarız:
Şimdi hepimiz eklemek için hazırız. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Geldiğimiz noktaya yakından bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirleri nasıl ekleyeceğimizi zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar tamamlayalım:
Böylece örnek sona erer. Eklemek için çıkıyor.
Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir bütün pizza ve altıda bir pizza elde edersiniz:
Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi de bir resim kullanılarak gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya getirerek ve kesirlerini elde ederiz. Bu iki kesir aynı pizza dilimleri ile temsil edilecektir. Tek fark, bu sefer eşit paylara (aynı paydaya indirgenmiş) bölünmeleri olacaktır.
İlk çizim bir kesri (altıda dört parça) ve ikinci resim bir kesri (altıda üç parça) göstermektedir. Bu parçaları bir araya getirerek elde ederiz (altıda yedi parça). Bu kesir yanlıştır, bu yüzden tamsayı kısmını vurguladık. Sonuç (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza).
Bu örneği çok ayrıntılı olarak çizdiğimizi unutmayın. AT Eğitim Kurumları bu kadar ayrıntılı bir şekilde yazmak alışılmış değildir. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulabilmeniz ve ayrıca paylarınız ve paydalarınız tarafından bulunan ek faktörleri hızla çarpabilmeniz gerekir. Okuldayken, bu örneği aşağıdaki gibi yazmamız gerekir:
Ama ayrıca var arka taraf madalyalar. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında ayrıntılı notlar alınmazsa, o zaman bu tür sorular “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden birdenbire tamamen farklı kesirlere dönüşüyor? «.
Farklı paydalara sahip kesirler eklemeyi kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:
- Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
- LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir çarpan alın;
- Kesirlerin pay ve paydalarını ek çarpanlarıyla çarpın;
- Paydaları aynı olan kesirler ekleyin;
- Cevabın yanlış bir kesir olduğu ortaya çıktıysa, o zaman bütün kısmını seçin;
Örnek 2 Bir ifadenin değerini bulun 
.
Yukarıdaki talimatları kullanalım.
Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun
Her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır.
Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir çarpan alın
LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek çarpanı 6 elde ederiz. İlk kesrin üzerine yazarız:
Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e böleriz, 4 elde ederiz. İkinci ek çarpanı 4 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine yazarız:
Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü fraksiyonun paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek çarpanı elde ederiz 3'ü üçüncü fraksiyonun üzerine yazarız:
Adım 3. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek çarpanlarınızla çarpın
Payları ve paydaları ek çarpanlarımızla çarpıyoruz:
Adım 4. Aynı paydalara sahip kesirler ekleyin
Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı (ortak) olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Bu kesirleri eklemek için kalır. Ekle:
Ekleme bir satıra sığmadı, bu yüzden kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Matematikte buna izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) koymak gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.
Adım 5. Cevabın yanlış bir kesir olduğu ortaya çıktıysa, içindeki tüm kısmı seçin
Cevabımız uygunsuz bir kesirdir. Parçanın tamamını ayırmamız gerekiyor. Vurgularız:
bir cevap aldım
Paydaları aynı olan kesirlerin çıkarılması
İki tür kesir çıkarma vardır:
- Paydaları aynı olan kesirlerin çıkarılması
- Farklı paydalara sahip kesirlerin çıkarılması
İlk olarak, paydaları aynı olan kesirlerin nasıl çıkarılacağını öğrenelim.
Bir kesirden diğerini çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
Örneğin, ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmak ve paydayı değiştirmeden bırakmak gerekir. Bunu yapalım:
Dört parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Bir pizzadan pizza keserseniz, pizza elde edersiniz:
Örnek 2 ifadesinin değerini bulunuz.
Yine, birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Üç parçaya bölünmüş bir pizza düşünürsek bu örnek kolayca anlaşılabilir. Bir pizzadan pizza keserseniz, pizza elde edersiniz:
Örnek 3 Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek, öncekilerle tamamen aynı şekilde çözülmüştür. İlk kesrin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:
Gördüğünüz gibi, aynı paydalara sahip kesirleri çıkarmada karmaşık bir şey yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Bir kesirden bir başkasını çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
- Cevabın yanlış bir kesir olduğu ortaya çıktıysa, içindeki tüm kısmı seçmeniz gerekir.
Farklı paydalara sahip kesirlerin çıkarılması
Örneğin, bu kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesir bir kesirden çıkarılabilir. Ancak bu kesirlerin paydaları farklı olduğu için bir kesir bir kesirden çıkarılamaz. Bu gibi durumlarda, kesirler aynı (ortak) paydaya indirgenmelidir.
Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibe göre bulunur. Her şeyden önce, her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, birinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ilk fraksiyonun üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde, LCM ikinci fraksiyonun paydasına bölünür ve ikinci fraksiyonun üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.
Kesirler daha sonra ek faktörleri ile çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz.
örnek 1 Bir ifadenin değerini bulun:
Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu yüzden onları aynı (ortak) paydaya getirmeniz gerekir.
İlk olarak, her iki kesrin paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası 4'tür. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.
LCM (3 ve 4) = 12
Şimdi kesirlere dönelim ve
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için, LCM'yi ilk kesrin paydasına böleriz. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üzerine dördü yazıyoruz:
Aynı şeyi ikinci kesir ile yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına böleriz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölün, 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üçlü yazın:
Şimdi hepimiz çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar tamamlayalım:
bir cevap aldım
Çözümümüzü bir resim kullanarak göstermeye çalışalım. Pizzadan pizza keserseniz, pizza alırsınız.
BT detaylı versiyonçözümler. Okulda olduğumuz için bu örneği daha kısa yoldan çözmemiz gerekecekti. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:
Kesirlerin indirgenmesi ve ortak bir payda da bir resim kullanılarak gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya getirerek ve kesirlerini elde ederiz. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer aynı kesirlere bölünecekler (aynı paydaya indirgenecek):
İlk çizim bir kesri (on iki parçadan sekiz parça) ve ikinci resim bir kesri (on iki parçadan üç parça) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça keserek on iki parçadan beş parça elde ederiz. Kesir bu beş parçayı tanımlar.
Örnek 2 Bir ifadenin değerini bulun 
Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu yüzden önce onları aynı (ortak) paydaya getirmeniz gerekir.
Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun.
Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.
LCM(10, 3, 5) = 30
Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için, LCM'yi her kesrin paydasına böleriz.
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölersek ilk ek faktörü 3 elde ederiz. İlk kesrin üzerine yazarız:
Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci fraksiyonun paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölersek ikinci ek 10 faktörünü elde ederiz. İkinci fraksiyonun üzerine yazarız:
Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü fraksiyonun paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e böleriz, üçüncü ek faktör 6'yı alırız. Üçüncü fraksiyonun üzerine yazarız:
Artık her şey çıkarma işlemi için hazırdır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı (ortak) olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirleri nasıl çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.
Örneğin devamı bir satıra sığmayacağı için devamı bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:
Cevap doğru bir kesir çıktı ve her şey bize uyuyor gibi görünüyor, ancak çok hantal ve çirkin. Bunu kolaylaştırmalıyız. Ne yapılabilir? Bu oranı azaltabilirsiniz.
Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarına (gcd) bölmeniz gerekir.
Böylece, 20 ve 30 sayılarının GCD'sini buluyoruz:
Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan GCD'ye, yani 10'a bölüyoruz.
bir cevap aldım
Bir kesri bir sayı ile çarpma
Bir kesri bir sayı ile çarpmak için, verilen kesrin payını bu sayı ile çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
örnek 1. Kesri 1 sayısı ile çarpın.
Kesirin payını 1 sayısı ile çarpın
Giriş yarım 1 kez almak olarak anlaşılabilir. Örneğin, 1 kez pizza alırsanız, pizza alırsınız.
Çarpma yasalarından, çarpan ve çarpan yer değiştirirse, ürünün değişmeyeceğini biliyoruz. İfade olarak yazılırsa, ürün yine de eşit olacaktır. Yine, bir tamsayı ile bir kesri çarpma kuralı işe yarar:
Bu giriş, birimin yarısını almak olarak anlaşılabilir. Örneğin, 1 bütün pizza varsa ve yarısını alırsak, o zaman pizzamız olur:
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Kesrin payını 4 ile çarpın
Cevap uygunsuz bir kesirdir. Bir kısmını ele alalım:
Bu ifade iki çeyrek 4 kez almak olarak anlaşılabilir. Örneğin, 4 kez pizza alırsanız, iki bütün pizza alırsınız.
Çarpanı ve çarpanı yer yer değiştirirsek, ifadeyi elde ederiz. Ayrıca 2'ye eşit olacaktır. Bu ifade, dört bütün pizzadan iki pizza almak olarak anlaşılabilir:
Bir kesir ile çarpılan bir sayı ve kesrin paydası, ortak bölenleri birden büyükse çözülür.
Örneğin, bir ifade iki şekilde değerlendirilebilir.
İlk yol. 4 sayısını kesrin payı ile çarpın ve kesrin paydasını değiştirmeden bırakın:
İkinci yol. Dörtlü çarpılır ve kesrin paydasındaki dörtlü azaltılabilir. İki dördün en büyük ortak böleni dördün kendisi olduğundan, bu dörtleri 4'e indirebilirsin:
Aynı sonucu elde ettik 3. Dörtleri indirdikten sonra, onların yerine yeni sayılar oluşur: iki bir. Ama bir ile üçü çarpıp bire bölmek hiçbir şeyi değiştirmez. Bu nedenle, çözüm daha kısa yazılabilir:
İndirgeme ilk yöntemi kullanmaya karar verdiğimizde bile yapılabilir, ancak 4 sayısı ile 3 payını çarpma aşamasında azaltmayı kullanmaya karar verdik:
Ancak örneğin, ifade yalnızca ilk şekilde hesaplanabilir - kesrin paydasıyla 7'yi çarpın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Bunun nedeni, 7 sayısının ve kesrin paydasının birden büyük ortak böleni olmaması ve dolayısıyla azalmamasıdır.
Bazı öğrenciler çarpılmakta olan sayıyı ve kesrin payını yanlışlıkla kısaltırlar. Bunu yapamazsın. Örneğin, aşağıdaki giriş doğru değil:
Kesirin azaltılması şunu ifade eder: ve pay ve payda aynı sayıya bölünecektir. İfadenin olduğu durumda, bölme sadece payda gerçekleştirilir, çünkü bu yazmak yazmakla aynıdır. Bölmenin sadece payda yapıldığını, paydada bölme yapılmadığını görüyoruz.
kesirlerin çarpımı
Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevap yanlış bir kesir ise, içindeki tüm kısmı seçmeniz gerekir.
örnek 1 ifadesinin değerini bulunuz.
Bir cevap aldım. Bu fraksiyonun azaltılması arzu edilir. Kesir 2 azaltılabilir. Daha sonra nihai çözüm aşağıdaki formu alacaktır:
Bu ifade yarım pizzadan pizza almak olarak anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:
Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? İlk önce bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:
Ve bu üç parçadan ikisini alın:
Pizza alacağız. Üç parçaya bölünmüş bir pizzanın nasıl göründüğünü hatırlayın:
Bu pizzadan bir dilim ve aldığımız iki dilim aynı boyutlara sahip olacak:
Diğer bir deyişle, Konuşuyoruz yaklaşık aynı boyutta pizza. Bu nedenle, ifadenin değeri
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci fraksiyonun payını ikinci fraksiyonun payı ile ve birinci fraksiyonun paydasını ikinci fraksiyonun paydası ile çarpın:
Cevap uygunsuz bir kesirdir. Bir kısmını ele alalım:
Örnek 3 Bir ifadenin değerini bulun
Birinci fraksiyonun payını ikinci fraksiyonun payı ile ve birinci fraksiyonun paydasını ikinci fraksiyonun paydası ile çarpın:
Cevap doğru bir kesir çıktı, ancak azaltılırsa iyi olur. Bu kesri azaltmak için, bu kesrin payını ve paydasını 105 ve 450 sayılarının en büyük ortak bölenine (GCD) bölmeniz gerekir.
Şimdi 105 ve 450 sayılarının OBEB'ini bulalım:
Şimdi bulduğumuz OBEB'e verdiğimiz cevabın pay ve paydasını yani 15'e bölelim.
Bir tamsayıyı kesir olarak temsil etmek
Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin, 5 sayısı olarak gösterilebilir. Bundan beş, anlamını değiştirmeyecektir, çünkü ifade “bire bölünen beş sayısı” anlamına gelir ve bu, bildiğiniz gibi, beşe eşittir:
ters sayılar
Şimdi matematikte çok ilginç bir konu ile tanışacağız. Buna "ters sayılar" denir.
Tanım. Numaraya geri döna ile çarpıldığında elde edilen sayıdır.a birim verir.
Bu tanımda bir değişken yerine yerine koyalım a 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:
Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında elde edilen sayıdır. 5 birim verir.
5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulmak mümkün müdür? Yapabileceğin ortaya çıktı. Beşi bir kesir olarak gösterelim:
Sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Başka bir deyişle, kesri sadece ters çevrilmiş olarak kendisiyle çarpalım:
Bunun sonucu ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek, bir tane elde ederiz:
Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5 bir ile çarpıldığında bir elde edilir.
Karşılıklı, başka herhangi bir tamsayı için de bulunabilir.
Diğer kesirlerin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmek yeterlidir.
Bir kesrin bir sayıya bölünmesi
Diyelim ki yarım pizzamız var:
İkiye eşit olarak bölelim. Her biri kaç pizza alacak?
Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri bir pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülmektedir. Böylece herkes pizza alır.