Alan formülü nedir? Verilen çizgilerle sınırlandırılmış şekillerin alanlarının hesaplanması. Toplamı belirlemek için adım adım talimatlar

Bir figürün alanı nasıl bulunur?

Çeşitli şekillerin alanlarını bilmek ve hesaplayabilmek sadece basit geometrik problemlerin çözümü için gerekli değildir. Tesislerin onarımı için tahminler hazırlarken veya kontrol ederken, gerekli sarf malzemelerinin miktarını hesaplarken bu bilgi olmadan yapamazsınız. Bu nedenle, farklı şekillerdeki alanları nasıl bulacağımızı bulalım.

Düzlemin kapalı bir kontur içinde kalan kısmına bu düzlemin alanı denir. Alan, içindeki kare birimlerin sayısı ile ifade edilir.

Temel geometrik şekillerin alanını hesaplamak için doğru formülü kullanmanız gerekir.

Bir üçgenin alanı

Tanımlamalar:

h, a biliniyorsa, istenen üçgenin alanı, kenar uzunlukları ile bu tarafa indirilen üçgenin yüksekliğinin çarpımı olarak belirlenir, ikiye bölünür: S = (a h) / 2
Eğer a, b, c biliniyorsa, istenen alan Heron formülü kullanılarak hesaplanır: üçgenin çevresinin yarısının ürününden alınan karekök ve çevrenin yarısının ve üçgenin her bir kenarının üç farkının çarpımı: S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
a, b, γ biliniyorsa, o zaman üçgenin alanı, 2 kenarın çarpımının yarısı, bu kenarlar arasındaki açının sinüs değeri ile çarpılarak belirlenir: S=(a b sin γ)/2
a, b, c, R biliniyorsa, gerekli alan, üçgenin tüm kenarlarının uzunluklarının çarpımının çevrelenmiş dairenin dört yarıçapına bölünmesi olarak tanımlanır: S=(a b c)/4R
p, r biliniyorsa, üçgenin istenen alanı, çevrenin yarısının içinde yazılı dairenin yarıçapı ile çarpılmasıyla belirlenir: S = p r

kare alan

Tanımlamalar:

Kenar biliniyorsa, bu şeklin alanı, kenar uzunluğunun karesi olarak belirlenir: S=a 2
d biliniyorsa, kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısı olarak tanımlanır: S=d 2 /2

dikdörtgen alan

Tanımlamalar:

S - belirlenen alan,
a, b dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır.

a, b biliniyorsa, belirli bir dikdörtgenin alanı, iki kenarının uzunluklarının çarpımı ile belirlenir: S=a b
Kenar uzunlukları bilinmiyorsa, dikdörtgenin alanı üçgenlere bölünmelidir. Bu durumda, bir dikdörtgenin alanı, onu oluşturan üçgenlerin alanlarının toplamı olarak tanımlanır.

paralelkenar alanı

Tanımlamalar:

S - istenen alan,
a, b - kenar uzunlukları,
h- yükseklik uzunluk verilen paralelkenar
d1, d2 - iki köşegenin uzunlukları,
α - taraflar arasındaki açı,
γ köşegenler arasındaki açıdır.

a, h biliniyorsa, kenar uzunlukları ile bu kenara indirilen yükseklik çarpılarak istenen alan belirlenir: S = a h
a, b, α biliniyorsa, paralelkenarın kenarlarının uzunlukları ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün değeri çarpılarak paralelkenarın alanı belirlenir: S=a b sin α
d 1 , d 2 , γ biliniyorsa, paralelkenarın alanı, köşegenlerin uzunluklarının çarpımının yarısı ve bu köşegenler arasındaki açının sinüsünün değeri olarak tanımlanır: S=(d 1 d 2 siny)/2

eşkenar dörtgen alanı

Tanımlamalar:

S - istenen alan,
a - yan uzunluk,
h - yükseklik uzunluğu,
α iki taraf arasındaki daha küçük açıdır,
d1, d2 iki köşegenin uzunluklarıdır.

a, h biliniyorsa, o zaman eşkenar dörtgen alanı, kenar uzunluğunun bu tarafa indirilen yüksekliğin uzunluğu ile çarpılmasıyla belirlenir: S = a h
a, α biliniyorsa, o zaman eşkenar dörtgen alanı, kenar uzunluğunun karesi, kenarlar arasındaki açının sinüsü ile çarpılarak belirlenir: S=a 2 sin α
d 1 ve d 2 biliniyorsa, istenen alan eşkenar dörtgen köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısı olarak belirlenir: S \u003d (d 1 d 2) / 2

yamuk alanı

Tanımlamalar:

a, b, c, d biliniyorsa, gerekli alan şu formülle belirlenir: S= (a+b) /2 *√ .
Bilinen a, b, h ile istenen alan, tabanlar toplamının yarısı ile yamuğun yüksekliğinin çarpımı olarak belirlenir: S=(a+b)/2 h

Dışbükey bir dörtgen alanı

Tanımlamalar:

d 1 , d 2 , α biliniyorsa, o zaman bir dışbükey dörtgenin alanı, dörtgenin köşegenlerinin çarpımının yarısı ile bu köşegenler arasındaki açının sinüsünün çarpımı olarak tanımlanır: S=(d 1 d 2 günah α)/2
Bilinen p, r ile, bir dışbükey dörtgenin alanı, dörtgenin yarı çevresi ile bu dörtgende yazılı dairenin yarıçapının çarpımı olarak tanımlanır: S=p r
a, b, c, d, θ biliniyorsa, dışbükey bir dörtgenin alanı, yarım çevre farkının ürünlerinin karekökü ile her bir kenarın uzunluğunun eksi uzunluklarının ürünü olarak belirlenir. tüm kenarlar ve iki zıt açının toplamının yarısının kosinüsünün karesi: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+β) (2)

Bir dairenin alanı

Tanımlamalar:

r biliniyorsa, istenen alan π sayısı ile yarıçapın karesinin çarpımı olarak belirlenir: S=π r 2

Eğer d biliniyorsa, dairenin alanı, π sayısının çapın karesinin çarpımının dörde bölünmesiyle belirlenir: S=(π d 2)/4

Karmaşık bir figürün alanı

Kompleks basit geometrik şekillere bölünebilir. Karmaşık bir şeklin alanı, bileşen alanlarının toplamı veya farkı olarak tanımlanır. Örneğin bir yüzük düşünün.

atama:

S, halkanın alanıdır,
R, r sırasıyla dış dairenin ve iç dairenin yarıçaplarıdır,
D, d sırasıyla dış çemberin ve iç çemberin çaplarıdır.

Halkanın alanını bulmak için alanı daha büyük dairenin alanından çıkarın. daha küçük daire. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Böylece, eğer R ve r biliniyorsa, o zaman halkanın alanı, dış ve iç dairelerin yarıçaplarının kareleri arasındaki fark, pi sayısı ile çarpılarak belirlenir: S=π(R 2 -r 2 ).

D ve d biliniyorsa, halka alanı, pi sayısı ile çarpılan dış ve iç dairelerin çaplarının karelerindeki farkın dörtte biri olarak belirlenir: S \u003d (1/4) (D 2 - d 2) π.

Yama alanı

Bir karenin (A) içinde başka bir (B) (daha küçük) olduğunu ve "A" ve "B" şekilleri arasında doldurulmuş bir boşluk bulmamız gerektiğini varsayalım. "Çerçeve" diyelim küçük kare. Bunun için:

"A" şeklinin alanını bulun (bir karenin alanını bulmak için formülle hesaplanır).
Benzer şekilde, "B" şeklinin alanını buluyoruz.
"A" alanından "B" alanından çıkarın. Ve böylece gölgeli şeklin alanını elde ederiz.

Artık farklı şekillerdeki alanları nasıl bulacağınızı biliyorsunuz.

Dünyanın nasıl ölçüleceği bilgisi antik çağda ortaya çıktı ve yavaş yavaş geometri biliminde şekillendi. İTİBAREN Yunan Bu kelime "arazi araştırması" olarak çevrilmiştir.

Dünyanın düz bir alanının uzunluk ve genişlik olarak uzunluğunun ölçüsü alandır. Matematikte, genellikle Latin harfi S (İngilizce "kare" - "alan", "kare" den) veya Yunanca σ (sigma) harfi ile gösterilir. S, bir düzlemdeki bir figürün alanını veya bir cismin yüzey alanını belirtir ve σ, alandır enine kesit fizikte teller. Bunlar ana sembollerdir, ancak örneğin malzemelerin mukavemeti alanında başkaları olabilir, A profilin kesit alanıdır.

Temas halinde

Hesaplama formülleri

Basit şekillerin alanlarını bilerek, daha karmaşık olanların parametrelerini bulabilirsiniz.. Eski matematikçiler, kolayca hesaplanabilecekleri formüller geliştirdiler. Bu rakamlar bir üçgen, bir dörtgen, bir çokgen, bir dairedir.

Karmaşık bir düz şeklin alanını bulmak için üçgen, yamuk veya dikdörtgen gibi birçok basit şekle ayrılır. O zamanlar matematiksel yöntemler Bu şeklin alanı için bir formül türetiniz. Benzer bir yöntem sadece geometride değil, aynı zamanda matematiksel analiz eğrilerle sınırlanan şekillerin alanlarını hesaplamak için.

Üçgen

En basit şekille başlayalım - bir üçgen. Dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenardırlar. herhangi birini alalım üçgen ABC AB=a, BC=b ve AC=c kenarları olan (∆ ABC). Alanı bulmak için iyi bilinenleri hatırlıyoruz. okul kursu sinüs ve kosinüs matematik teoremleri. Tüm hesaplamaları bir kenara bırakarak, aşağıdaki formüllere ulaşırız:

S=√ - Herkes tarafından bilinen Heron formülü, burada p=(a+b+c)/2 - bir üçgenin yarım çevresi;
S=a h/2, burada h, a tarafına alçaltılmış yüksekliktir;
S=a b (sin γ)/2, burada y, a ve b kenarları arasındaki açıdır;
S=a b/2, eğer ∆ ABC dikdörtgen ise (burada a ve b bacaklardır);
S=b² (sin (2 β))/2 ise ∆ ABC ikizkenardır (burada b “kalçalardan” biridir, β üçgenin “kalçaları” arasındaki açıdır);
S=a² √¾ eğer ∆ ABC eşkenarsa (burada a üçgenin kenarıdır).

dörtgen

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d olan bir ABCD dörtgeni olsun. Rastgele bir 4-genin S alanını bulmak için, onu bir köşegenle, alanları S1 ve S2 genellikle eşit olmayan iki üçgene bölmek gerekir.

Ardından formülleri kullanarak bunları hesaplayın ve toplayın, yani S=S1+S2. Bununla birlikte, dörtlü belirli bir sınıfa aitse, alanı daha önce bilinen formüller kullanılarak bulunabilir:

S=(a+c) h/2=e h, eğer dörtlü bir yamuk ise (burada a ve c tabandır, e ise orta hat yamuk, h - yamuğun tabanlarından birine indirilen yükseklik;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, eğer ABCD bir paralelkenarsa (burada φ, a ve b kenarları arasındaki açıdır, h, a kenarına indirilen yüksekliktir, d1 ve d2 köşegenlerdir);
S=a b=d²/2 eğer ABCD bir dikdörtgen ise (d bir köşegendir);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 eğer ABCD bir eşkenar dörtgen ise (a eşkenar dörtgenin kenarıdır, φ köşelerinden biridir, P çevredir);
ABCD bir kare ise S=a²=P²/16=d²/2.

Çokgen

Bir n-gonun alanını bulmak için matematikçiler onu en basit şekline ayırırlar. eşit rakamlar-üçgenler, her birinin alanını bulun ve ardından ekleyin. Ancak çokgen normal olanlar sınıfına aitse, formül kullanılır:

S \u003d bir n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, burada n, çokgenin köşe (veya kenar) sayısıdır, a, n-genin tarafıdır, P, çevresidir, h özlüdür , yani çokgenin merkezinden kenarlarından birine 90°'lik bir açıyla çizilen doğru parçası.

Bir daire

Bir daire, sonsuz sayıda kenarı olan mükemmel bir çokgendir.. Çokgen alan formülünde sağdaki ifadenin limitini sonsuzluğa meyleden kenar sayısı n ile hesaplamamız gerekiyor. Bu durumda çokgenin çevresi, dairemizin sınırı olacak olan R yarıçaplı bir dairenin uzunluğuna dönüşecek ve P=2 π R'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi yukarıdaki formülle değiştirin. Şunları alacağız:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n))).

Bu ifadenin limitini n→∞ olarak bulalım. Bunu yapmak için, n→∞ için lim (cos (180°/n))'nin cos 0°=1'e (lim sınırın işaretidir) eşit olduğunu ve n→∞ için lim = lim'in 1/π'ye eşit (çevirdik derece ölçüsüπ rad=180° oranını kullanarak radyana dönüştürün ve x→∞'de birinci dikkat çekici limit lim (sin x)/x=1'i uygulayın. Elde edilen değerleri S için son ifadeye koyarak, iyi bilinen formüle ulaşıyoruz:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Birimler

Sistem ve sistem dışı ölçü birimleri uygulanır. Sistem birimlerine SI (Sistem Uluslararası) denir. Bu bir metrekaredir (metrekare, m²) ve ondan türetilen birimler: mm², cm², km².

Milimetre kare (mm²), örneğin, elektrik mühendisliğindeki tellerin kesit alanını santimetre kare (cm²) - yapısal mekanikte bir kirişin kesiti, metrekare (m²) cinsinden ölçerler. ) - kilometrekare (km²) cinsinden bir apartman veya ev - coğrafyada bir bölge .

Bununla birlikte, bazen sistemik olmayan ölçü birimleri kullanılır, örneğin: dokuma, ar (a), hektar (ha) ve akre (ac). Aşağıdaki oranları veriyoruz:

1 örgü \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
1 ha = 100 a = 100 dönüm = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 olarak;
1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 akre = 0.405 ha.

geometrik alan- bu şeklin boyutunu gösteren bir geometrik şeklin sayısal bir özelliği (bu şeklin kapalı bir konturu ile sınırlanan yüzeyin bir kısmı). Alanın boyutu, içerdiği kare birimlerin sayısı ile ifade edilir.

Üçgen alan formülleri

Kenar ve yükseklik için üçgen alan formülü
Bir üçgenin alanıüçgenin bir kenarının uzunluğu ile bu kenara çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir
Üç kenar verilen bir üçgenin alanı ve çevrelenmiş dairenin yarıçapı için formül
Üç kenar verilen bir üçgenin alanı ve yazılı bir dairenin yarıçapı için formül
Bir üçgenin alanıüçgenin yarım çevresi ile yazılı dairenin yarıçapının çarpımına eşittir.

Kare alan formülleri

Bir kenar uzunluğu verilen karenin alan formülü
kare alan kenar uzunluğunun karesine eşittir.
Köşegenin uzunluğu verilen bir karenin alanı için formül
kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.
S= 1 2
2

Dikdörtgen alan formülü

dikdörtgen alan

Paralelkenar alanı için formüller

Kenar uzunluğu ve yüksekliği için paralelkenar alan formülü
paralelkenar alanı
İki taraf ve aralarındaki açı verilen bir paralelkenarın alanı için formül
paralelkenar alanı kenarlarının uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
bir b sinα

Bir eşkenar dörtgen alanı için formüller

Kenar uzunluğu ve yüksekliği verilen eşkenar dörtgen alan formülü
eşkenar dörtgen alanı kenarının uzunluğu ile bu kenara indirilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımına eşittir.
Kenar uzunluğu ve açı verilen bir eşkenar dörtgen alan formülü
eşkenar dörtgen alanı kenar uzunluğunun karesi ile eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
Köşegenlerinin uzunluklarından bir eşkenar dörtgen alan formülü
eşkenar dörtgen alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

yamuk alan formülleri

Bir yamuk için Heron'un formülü
S, yamuğun alanı olduğunda,
- yamuk tabanlarının uzunluğu,
- yamuğun kenarlarının uzunluğu,

Alan formülüÖklid düzleminde belirli bir şekil sınıfında tanımlanan ve 4 koşulu sağlayan gerçek değerli bir fonksiyon olan bir şeklin alanını belirlemek gereklidir:

Pozitif - Alan sıfırdan küçük olamaz;
Normalleştirme - birlik kenarı olan bir karenin alanı 1'dir;
Uyum - uyumlu rakamlar eşit alana sahiptir;
Toplama - ortak iç noktaları olmayan 2 rakamın birleşme alanı, bu rakamların alanlarının toplamına eşittir.

Geometrik şekillerin alanı için formüller.

geometrik şekil	formül	Resim çizme
Dışbükey bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktaları arasındaki mesafeleri toplamanın sonucu, yarım çevresine eşit olacaktır.
Daire sektörü. Bir dairenin sektörünün alanı, yayının ürününe ve yarıçapın yarısına eşittir.
daire segmenti. ASB segmentinin alanını elde etmek için, AOB üçgeninin alanını AOB sektörünün alanından çıkarmak yeterlidir.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Bir elipsin alanı, elips çarpı pi'nin büyük ve küçük yarım eksenlerinin uzunluklarının ürününe eşittir.
Elips. Bir elipsin alanını hesaplamanın bir başka seçeneği de iki yarıçapıdır.
Üçgen. Taban ve yükseklik sayesinde. Yarıçapı ve çapı cinsinden bir dairenin alanı için formül.
Meydan . Onun tarafından. Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir.
Meydan. onun köşegen aracılığıyla. Bir karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısıdır.
düzgün çokgen. Düzenli bir çokgenin alanını belirlemek için, onu yazılı dairenin merkezinde ortak bir tepe noktasına sahip olacak eşit üçgenlere bölmek gerekir.	S= r p = 1/2 r n bir