Teğet düzlem ve yüzey normal.
teğet düzlem
N ve N 0 verilen yüzeyin noktaları olsun. Düz bir çizgi çizelim NN 0 . N 0 noktasından geçen düzleme denir. teğet düzlem NN 0 mesafesi sıfır olma eğilimindeyken, NN 0 sekantı ile bu düzlem arasındaki açı sıfır olma eğilimindeyse yüzeye.
Tanım. normal N 0 noktasındaki yüzeye bu yüzeye teğet düzleme dik N 0 noktasından geçen doğru denir.
Bir noktada, yüzeyin ya yalnızca bir teğet düzlemi vardır ya da hiç yoktur.
Yüzey, z \u003d f (x, y) denklemi ile verilirse, burada f (x, y) M 0 (x 0, y 0) noktasında türevlenebilen bir fonksiyondur, N 0 noktasındaki teğet düzlem (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) vardır ve şu denkleme sahiptir:
Bu noktada yüzeyin normalinin denklemi:
geometrik anlamda f (x, y) iki değişkenli bir fonksiyonun (x 0, y 0) noktasındaki toplam diferansiyeli, noktadan geçiş sırasında teğet düzlemin yüzeye uygulamasının (z-koordinatı) artışıdır. (x 0, y 0) noktasına (x 0 +x , y 0 +y).
Gördüğünüz gibi, iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin geometrik anlamı, bir değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelinin geometrik anlamının uzaysal bir benzeridir.
Misal. Yüzeye dik ve teğet düzlemin denklemlerini bulun
M(1, 1, 1) noktasında.
Teğet düzlem denklemi:
Normal Denklem:
20.4. Toplam diferansiyel kullanılarak yaklaşık hesaplamalar.
f(x, y) fonksiyonu (x, y) noktasında türevlenebilir olsun. Bu fonksiyonun toplam artışını bulalım:
Bu formülde yerine koyarsak ifade
sonra yaklaşık formülü elde ederiz:
Misal. x = 1, y = 2, z = 1'deki fonksiyonun değerine göre yaklaşık olarak değerini hesaplayın.
Verilen ifadeden x = 1.04 - 1 = 0.04, y = 1.99 - 2 = -0.01'i belirleriz,
z \u003d 1.02 - 1 \u003d 0.02.
u(x, y, z) = fonksiyonunun değerini bulun
Kısmi türevleri buluyoruz:
u fonksiyonunun toplam diferansiyeli:
Bu ifadenin tam değeri 1.049275225687319176'dır.
20.5. Daha yüksek siparişlerin kısmi türevleri.
f(x, y) fonksiyonu bir D bölgesinde tanımlanmışsa, kısmi türevleri de aynı alanda veya onun bir kısmında tanımlanacaktır.
Bu türevleri arayacağız birinci dereceden kısmi türevler.
Bu fonksiyonların türevleri ikinci dereceden kısmi türevler.
Elde edilen eşitlikleri türevlendirmeye devam ederek, daha yüksek dereceli kısmi türevler elde ederiz.
Tanım.
Formun kısmi türevleri 
vb. isminde karışık türevler.
Teorem. f(x, y) fonksiyonu ve kısmi türevleri M(x, y) noktasında ve komşuluğunda tanımlanmış ve sürekli ise, o zaman ilişki doğrudur:
Onlar. daha yüksek mertebelerin kısmi türevleri, farklılaşma mertebesine bağlı değildir.
Daha yüksek mertebeden diferansiyeller benzer şekilde tanımlanır.
…………………
Burada n, parantez içindeki ifade kendisine yükseltildikten sonra gerçek güçle değiştirilen türevin sembolik gücüdür.
$E \altküme \mathbb(R)^(n)$. $f$ olduğu söyleniyor yerel maksimum$x_(0) \in E$ noktasında, $x_(0)$ noktasının bir $U$ komşuluğu varsa, öyle ki tüm $x \in U$ için $f\left(x\right) eşitsizliği \leqslant f \left(x_(0)\sağ)$.
Yerel maksimum denir sıkı , $U$ mahallesi, $x_(0)$'dan farklı tüm $x \in U$ için $f\left(x\right) olacak şekilde seçilebilirse< f\left(x_{0}\right)$.
Tanım
$f$ bir açık küme $E \subset \mathbb(R)^(n)$ üzerinde gerçek bir fonksiyon olsun. $f$ olduğu söyleniyor yerel minimum$x_(0) \in E$ noktasında, $x_(0)$ noktasının bir $U$ komşuluğu varsa, öyle ki tüm $x \in U$ için $f\left(x\right) eşitsizliği \geqslant f \left(x_(0)\sağ)$.
Tüm $x \in U$ için $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_) olacak şekilde $U$ mahallesi seçilebiliyorsa, yerel bir minimumun katı olduğu söylenir. ( 0)\sağ)$.
Yerel bir ekstremum, yerel minimum ve yerel maksimum kavramlarını birleştirir.
teorem ( gerekli kondisyon türevlenebilir bir fonksiyonun ekstremumu)
$f$ bir açık küme $E \subset \mathbb(R)^(n)$ üzerinde gerçek bir fonksiyon olsun. $x_(0) \in E$ noktasında, $f$ fonksiyonunun bu noktada da bir yerel ekstremime sahip olması durumunda, o zaman $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Sıfır diferansiyeline eşitlik, hepsinin sıfıra eşit olduğu gerçeğine eşdeğerdir, yani. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\sağ)=0.$$
Tek boyutlu durumda, bu . $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$'ı belirtin, burada $h$ isteğe bağlı bir vektördür. $\phi$ işlevi, yeterince küçük modülo değerleri olan $t$ için tanımlanır. Ayrıca, ile ilgili olarak, türevlenebilir ve $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
$f$'ın x $0$'da bir yerel maksimumu olsun. Bu nedenle, $t = 0$'daki $\phi$ fonksiyonunun yerel bir maksimumu vardır ve Fermat'ın teoremine göre $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Böylece, $df \left(x_(0)\right) = 0$ elde ettik, yani. $x_(0)$ noktasında $f$ fonksiyonları sıfır herhangi bir vektörde $h$.
Tanım
Diferansiyelin sıfıra eşit olduğu noktalar, yani. tüm kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu türevlere durağan denir. kritik noktalar$f$ fonksiyonları, $f$'ın türevlenebilir olmadığı veya sıfıra eşit olduğu noktalardır. Nokta durağan ise, fonksiyonun bu noktada bir ekstremumu olduğu sonucu çıkmaz.
örnek 1
$f \sol(x,y\sağ)=x^(3)+y^(3)$ olsun. Sonra $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, böylece $\left(0,0\right)$ sabit nokta, ancak bu noktada fonksiyonun ekstremumu yoktur. Gerçekten de $f \left(0,0\right) = 0$, ancak $\left(0,0\right)$ noktasının herhangi bir komşuluğunda fonksiyonun hem pozitif hem de negatif değerler aldığını görmek kolaydır.
Örnek 2
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ işlevi, durağan bir nokta olarak koordinatların kökenine sahiptir, ancak bu noktada bir ekstremum olmadığı açıktır.
teorem ( yeterli koşul ekstremum).
Bir $f$ fonksiyonunun bir açık küme $E \subset \mathbb(R)^(n)$ üzerinde sürekli olarak iki kez türevlenebilir olmasına izin verin. $x_(0) \in E$ durağan bir nokta ve $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) olsun ) ^n \frac(\kısmi^(2) f)(\kısmi x_(i) \kısmi x_(j)) \left(x_(0)\sağ)h^(i)h^(j).$ $ O zaman
- $Q_(x_(0))$ – ise, o zaman $x_(0)$ noktasındaki $f$ fonksiyonunun yerel bir ekstremumu vardır, yani form pozitif tanımlıysa minimum ve form pozitif tanımlıysa maksimum negatif tanımlı;
- İkinci dereceden $Q_(x_(0))$ formu belirsizse, $x_(0)$ noktasındaki $f$ fonksiyonunun ekstremumu yoktur.
Taylor formülüne göre açılımı kullanalım (12.7 p. 292) . $x_(0)$ noktasındaki birinci mertebeden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu dikkate alındığında, $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) elde ederiz. )\sağ) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\kısmi^(2) f)(\kısmi x_(i) \ kısmi x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\sağ)h^(i)h^(j),$$ burada $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ ve $h \rightarrow 0$ için $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$, o zaman yeterince küçük uzunluktaki herhangi bir $h$ vektörü için sağ taraf pozitiftir.
Böylece, $x_(0)$ noktasının bir komşuluğunda, $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ eşitsizliğinin yalnızca $ olması durumunda sağlanacağı sonucuna vardık. x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\sağ koyarız). Bu, $x_(0)$ noktasında fonksiyonun katı bir yerel minimuma sahip olduğu ve dolayısıyla teoremimizin ilk bölümünün kanıtlandığı anlamına gelir.
Diyelim ki $Q_(x_(0))$ belirsiz biçim. Sonra $h_(1)$, $h_(2)$ vektörleri vardır, öyle ki $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \sol(h_(2)\sağ)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Sonra $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) elde ederiz \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\sağ) \sağ] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Yeterince küçük $t>0$ için, sağ taraf pozitif. Bu, $x_(0)$ noktasının herhangi bir komşuluğunda $f$ fonksiyonunun $f \left(x\right)$ değerinden $f \left(x_(0)\right)$ değerinden büyük değerler aldığı anlamına gelir.
Benzer şekilde, $x_(0)$ noktasının herhangi bir komşuluğunda $f$ fonksiyonunun $f \left(x_(0)\right)$ değerinden daha küçük değerler aldığını elde ederiz. Bu, öncekiyle birlikte, $f$ fonksiyonunun $x_(0)$ noktasında bir ekstremumu olmadığı anlamına gelir.
Düşünmek özel durum$f \left(x,y\right)$ $\left(x_(0),y_(0)\right)$ noktasının bir komşuluğunda tanımlanan ve sürekli kısmi türevleri olan iki değişkenli $f \left(x,y\right)$ fonksiyonu için bu teoremin birinci ve ikinci siparişlerden. $\left(x_(0),y_(0)\right)$ durağan bir nokta olsun ve $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\sağ), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \kısmi y) \left(x_( 0) , y_(0)\sağ), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ O zaman önceki teorem aşağıdaki formu alır.
teorem
$\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$ olsun. Sonra:
- $\Delta>0$ ise, o zaman $f$ fonksiyonunun $\left(x_(0),y_(0)\right)$ noktasında yerel bir ekstremumu vardır, yani $a_(11)> ise minimum 0$ ve maksimum ise $a_(11)<0$;
- eğer $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Problem çözme örnekleri
Birçok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritma:
- Durağan noktalar buluyoruz;
- 2. mertebenin diferansiyelini tüm durağan noktalarda buluyoruz
- Birkaç değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşulu kullanarak, her durağan noktada ikinci mertebeden diferansiyeli ele alıyoruz.
- Fonksiyonu $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ uç noktasına kadar araştırın.
Karar1. mertebenin kısmi türevlerini bulun: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sistemi oluşturun ve çözün: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(durumlar) \Rightarrow \begin(durumlar)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(durumlar) \Rightarrow \begin(durumlar)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ 2. denklemden, $x=4 \cdot y^(2)$ ifadesini ifade ediyoruz — 1. denklemde yerine koyun: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ sağ )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Sonuç olarak, 2 durağan nokta elde edilir:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \sol(0, 0\sağ)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \sol(\frac(1)(2), 1\sağ)$
Yeterli ekstremum koşulunun yerine getirildiğini kontrol edelim:
$$\displaystyle \frac(\kısmi^(2) f)(\kısmi x^(2))=6 \cdot x; \frac(\kısmi^(2) f)(\kısmi x \kısmi y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\kısmi y^(2))=48 \cdot y$$
1) $M_(1)= \left(0,0\right)$ noktası için:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\sağ)=0; B_(1)=\frac(\kısmi^(2) f)(\kısmi x \kısmi y) \sol(0,0\sağ)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\sağ)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) $M_(2)$ noktası için:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\sağ)=6; B_(2)=\frac(\kısmi^(2) f)(\kısmi x \kısmi y) \sol(1,\frac(1)(2)\sağ)=-6; C_(2)=\frac(\kısmi^(2) f)(\kısmi y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\sağ)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, yani $M_(2)$ noktasında bir ekstremum var ve $A_(2)>0'dan beri $, o zaman bu minimumdur.
Cevap: $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ noktası, $f$ fonksiyonunun minimum noktasıdır. - $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ ekstremumunun fonksiyonunu araştırın.
KararDurağan noktaları bulun: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Sistemi oluşturun ve çözün: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(durumlar)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(durumlar) \Rightarrow \begin(durumlar) y = 2\\y + x = 1\end(durumlar) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ durağan bir noktadır.
Yeterli ekstremum koşulunun yerine getirildiğini kontrol edelim: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\kısmi^(2) f)(\kısmi x \kısmi y) \sol(-1,2\sağ)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\sağ)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Cevap: Ekstrem yoktur.
Zaman sınırı: 0
Gezinme (yalnızca iş numaraları)
0 / 4 görev tamamlandı
Bilgi
Az önce okuduğunuz konuyla ilgili bilginizi test etmek için bu testi yapın, Çok Değişkenli Fonksiyonların Yerel Aşırılığı.
Testi daha önce aldınız. Tekrar çalıştıramazsınız.
Deneme yükleniyor...
Testi başlatmak için giriş yapmalı veya kayıt olmalısınız.
Bunu başlatmak için aşağıdaki testleri tamamlamanız gerekir:
Sonuçlar
Doğru cevaplar: 4 üzerinden 0
Senin zaman:
Zaman bitti
0 üzerinden 0 puan aldınız (0)
Puanınız skor tablosuna kaydedildi
- bir cevapla
- Kontrol edildi
Görev 2/4
2 .
Puan sayısı: 1$f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ işlevi var mı?
Doğru şekilde
Görev 1 / 4
1 .
Puan sayısı: 1Aşırılık için $f$ fonksiyonunu araştırın: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Doğru şekilde
Doğru değil
Tek değişkenli bir fonksiyon için y = f(x) noktada x 0 diferansiyelin geometrik anlamı, fonksiyonun grafiğine apsisli noktada çizilen teğetin ordinatının artması anlamına gelir. x 0 bir noktaya hareket ederken x 0 + x. Ve bu bağlamda iki değişkenli bir fonksiyonun diferansiyeli bir artıştır. aplikler teğet uçak denklem tarafından verilen yüzeye çizilmiş z = f(x, y) , noktada M 0 (x 0 , y 0 ) bir noktaya hareket ederken M(x 0 + x, y 0 + y). Bir yüzeye teğet düzlemin tanımını veriyoruz:
Df . Bir noktadan geçen uçak R 0 yüzeyler S, denir teğet düzlem belirli bir noktada, bu düzlem ile iki noktadan geçen bir kesen arasındaki açı ise R 0 ve R(yüzeydeki herhangi bir nokta S) , nokta olduğunda sıfıra eğilimlidir R bu yüzey boyunca bir noktaya yönelir R 0 .
Yüzeye izin ver S denklem tarafından verilen z = f(x, y). Daha sonra bu yüzeyin bir noktada olduğu gösterilebilir. P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) teğet düzlem ancak ve ancak fonksiyon z = f(x, y) bu noktada türevlenebilir. Bu durumda, teğet düzlemi aşağıdaki denklemle verilir:
z –
z 0
=
+
(6).
§5. Yönlü türev, fonksiyon gradyanı.
Kısmi türev fonksiyonları y=
f(x 1
,
x 2
..
x n )
değişkenlere göre x 1
,
x 2
. . .
x n fonksiyonun koordinat eksenleri doğrultusundaki değişim oranını ifade eder. Örneğin, 
fonksiyonun değişim oranıdır X 1
- yani, fonksiyon tanımının alanına ait olan noktanın sadece eksene paralel hareket ettiği varsayılır. AH 1
, ve diğer tüm koordinatlar değişmeden kalır. Bununla birlikte, fonksiyonun herhangi bir eksenin yönü ile örtüşmeyen başka bir yönde de değişebileceği varsayılabilir.
Üç değişkenli bir fonksiyon düşünün: sen= f(x, y, z).
Bir noktayı düzelt M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ve bazı yönlendirilmiş düz çizgi (eksen) ben bu noktadan geçiyor. İzin vermek M(x, y, z) - bu çizginin keyfi bir noktası ve M 0 M - uzaklık M 0 önceki M.
sen = f (x, y, z) – f(x 0 , y 0 , z 0 ) – bir noktada fonksiyon artışı M 0 .
Fonksiyonun artışının vektörün uzunluğuna oranını bulun 
:
Df . türev fonksiyonu sen = f (x, y, z) karşı ben noktada M 0 fonksiyonun artışının vektörün uzunluğuna oranının limiti olarak adlandırılır M 0 M ikincisi 0 olma eğiliminde olduğunda (veya aynı şey nedir, sınırsız yaklaşımla M ile M 0 ):
(1)
Bu türev, fonksiyonun noktadaki değişim oranını karakterize eder. M 0 yöne ben.
Eksene izin ver ben
(vektör M 0
M)
eksenli formlar ÖKÜZ,
OY,
oz köşeler 
sırasıyla.
Belirtmek x-x 0 = 
;
y - y 0 = 
;
z - z 0 = 
.
Daha sonra vektör M 0
M = (x
-
x 0
,
y
-
y 0
,
z
-
z 0
)=
ve yönü kosinüsleri:
;
;
.
(4).
(4) yönlü türevi hesaplamak için bir formüldür.
Koordinatları fonksiyonun kısmi türevleri olan bir vektör düşünün. sen= f(x, y, z) noktada M 0 :
mezun sen - fonksiyon gradyanı sen= f(x, y, z) noktada M(x, y, z)
Gradyan özellikleri:
Çözüm: fonksiyon gradyanının uzunluğu sen=
f(x,
y,
z)
- mümkün olan en yüksek değerdir 
Bu noktada M(x,
y,
z)
, ve vektörün yönü mezun
sen noktadan çıkan vektörün yönü ile çakışır M, hangi fonksiyon boyunca en hızlı değişir. Yani, fonksiyon gradyanının yönü
mezun
sen
fonksiyonun en hızlı artış yönüdür.
İki değişkenli f (x, y) bir fonksiyonun (x 0, y 0) noktasındaki toplam diferansiyelinin geometrik anlamı, geçiş sırasında teğet düzlemin yüzeye uygulamasının (z-koordinatı) artışıdır. (x 0, y 0) noktasından (x 0 + Dx, y 0 + Dy) noktasına.
Daha yüksek siparişlerin kısmi türevleri. : f(x, y) fonksiyonu bir D alanında tanımlanmışsa, kısmi türevleri de aynı alanda veya onun bir bölümünde tanımlanacaktır. Bu türevlere birinci dereceden kısmi türevler diyeceğiz.
Bu fonksiyonların türevleri, ikinci dereceden kısmi türevler olacaktır.
Elde edilen eşitlikleri türevlendirmeye devam ederek, daha yüksek dereceli kısmi türevler elde ederiz. Tanım. Formun kısmi türevleri 
vb. karışık türevler denir. Schwartz teoremi:
Daha yüksek dereceli f.m.s'nin kısmi türevleri ise süreklidir, daha sonra aynı dereceden karışık türevlerdir, sadece farklılaşma = kendi aralarında farklılık gösterir.
Burada n, parantez içindeki ifade kendisine yükseltildikten sonra gerçek güçle değiştirilen türevin sembolik gücüdür.
14. Teğet düzlemin denklemi ve yüzeye normal!
N ve N 0 verilen yüzeyin noktaları olsun. Düz bir çizgi çizelim NN 0 . N 0 noktasından geçen düzleme denir. teğet düzlem NN 0 mesafesi sıfır olma eğilimindeyken, NN 0 ve bu düzlem arasındaki açı sıfır olma eğilimindeyse yüzeye.
Tanım. normal N 0 noktasındaki yüzeye bu yüzeye teğet düzleme dik N 0 noktasından geçen doğru denir.
Bir noktada, yüzeyin ya yalnızca bir teğet düzlemi vardır ya da hiç yoktur.
Yüzey, z \u003d f (x, y) denklemi ile verilirse, burada f (x, y) M 0 (x 0, y 0) noktasında türevlenebilir bir fonksiyondur, teğet düzlem N noktasında 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) bulunur ve şu denkleme sahiptir:
Bu noktada yüzeyin normalinin denklemi:
geometrik anlamda f (x, y) iki değişkenli bir fonksiyonun (x 0, y 0) noktasındaki toplam diferansiyeli, noktadan geçiş sırasında teğet düzlemin yüzeye uygulamasının (z-koordinatı) artışıdır. (x 0, y 0) noktasına (x 0 + Dx, y 0 + Dy).
Gördüğünüz gibi, iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin geometrik anlamı, bir değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelinin geometrik anlamının uzaysal bir benzeridir.
16. Skaler alan ve özellikleri Düzey çizgileri, yönde türevler, skaler alan gradyanı.
Uzaydaki her noktaya bir skaler büyüklük atanırsa, o zaman bir skaler alan ortaya çıkar (örneğin, bir sıcaklık alanı, bir elektrik potansiyel alanı). Kartezyen koordinatlar girilirse, o zaman şunu da belirtin veya 
Alan merkezi ise düz olabilir 
(küresel) eğer 
silindirik, eğer 
Düz yüzeyler ve çizgiler: Düz yüzeyler kullanılarak skaler alanların özellikleri görselleştirilebilir. Bunlar uzayda sabit bir değer aldığı yüzeylerdir. Onların denklemi: 
. Düz bir skaler alanda, seviye çizgileri, alanın sabit bir değer aldığı eğrilerdir: 
Bazı durumlarda, düz çizgiler noktalara ve düz yüzeyler noktalara ve eğrilere dönüşebilir.
Skaler alanın yönlü türevi ve gradyanı:
Koordinatlı birim vektör bir skaler alan olsun. Yönlü türev, alandaki değişimi belirli bir yönde karakterize eder ve formülle hesaplanır Yönlü türev, bir vektörün skaler ürünüdür ve koordinatları olan bir vektördür. 
fonksiyonun gradyanı olarak adlandırılan ve ile gösterilen . 
, burada ve arasındaki açı, o zaman vektör alandaki en hızlı artışın yönünü gösterir ve modülü bu yöndeki türevine eşittir. Gradyanın bileşenleri kısmi türevler olduğundan, gradyanın aşağıdaki özelliklerini elde etmek kolaydır:
17. FMP ekstremumu fmp'nin yerel ekstremumu, varlığı için gerekli ve yeterli koşullar. En büyük ve en küçük f.m.s. sınırlı kapalı alan.
z = ƒ(x;y) fonksiyonu bir D bölgesinde, N(x0;y0) noktasında tanımlansın.
(x0; y0) noktasının (x0; y0) noktasının d-komşuluğu varsa, z=ƒ(x; y) fonksiyonunun bir (x0; y0) noktasına maksimum noktası denir. (xo; yo), bu komşuluk ƒ(х;у) eşitsizliğini sağlıyor<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;y0). Fonksiyonun maksimum (minimum) noktasındaki değerine, fonksiyonun maksimum (minimum) değeri denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine ekstrema adı verilir. Tanım gereği, fonksiyonun uç noktasının fonksiyonun etki alanı içinde olduğuna dikkat edin; maksimum ve minimum yerel (yerel) bir karaktere sahiptir: (x0; y0) noktasındaki fonksiyonun değeri, (x0; y0)'a yeterince yakın noktalardaki değerleriyle karşılaştırılır. D bölgesinde, fonksiyonun birkaç ekstremi olabilir veya hiç olmayabilir.
Varlık için gerekli(1) ve yeterli(2) koşullar:
(1) N (x0; y0) noktasında, türevlenebilir fonksiyon z \u003d ƒ (x; y) bir ekstremum değerine sahipse, bu noktadaki kısmi türevleri sıfıra eşittir: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y (x0; y0 )=0. Yorum. Bir fonksiyon, kısmi türevlerden en az birinin bulunmadığı noktalarda bir ekstremum değerine sahip olabilir. z ≈ ƒ(x; y) fonksiyonunun birinci mertebeden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu noktaya, yani f "x=0, f" y=0, z fonksiyonunun durağan noktası olarak adlandırılır.
Durağan noktalar ve en az bir kısmi türevin bulunmadığı noktalara kritik noktalar denir.
(2)
ƒ(x; y) fonksiyonunun durağan bir noktada (xo; yo) ve bazı komşuluklarında ikinci mertebe de dahil olmak üzere sürekli kısmi türevleri olsun. (x0;y0) noktasında A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) değerlerini hesaplayalım. . belirtmek 
Sonra:
1. Δ > 0 ise, o zaman (x0; y0) noktasındaki ƒ(x; y) fonksiyonunun bir ekstremumu vardır: A ise maksimum< 0; минимум, если А > 0;
2. eğer Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
3. Δ = 0 durumunda, (x0; y0) noktasında bir ekstremum olabilir veya olmayabilir. Daha fazla araştırmaya ihtiyaç var.
BİRÇOK DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARININ DİFERANSİYEL HESABI.
Temel kavramlar ve tanımlar.
Birkaç değişkenli fonksiyonları göz önünde bulundururken, kendimizi iki değişkenli fonksiyonların ayrıntılı bir tanımıyla sınırlıyoruz, çünkü elde edilen tüm sonuçlar, keyfi sayıda değişkenli fonksiyonlar için geçerli olacaktır.
Belirli bir kümeden karşılıklı olarak bağımsız sayıların (x, y) her bir çiftine, bazı kurallara göre, z değişkeninin bir veya daha fazla değeri atanırsa, o zaman z değişkeni denir. iki değişkenli fonksiyon
Bir sayı çifti (x, y) z'nin bir değerine karşılık geliyorsa, fonksiyon çağrılır. açık, ve birden fazlaysa, o zaman - belirsiz.
Tanım kapsamı z işlevi, z işlevinin var olduğu (x, y) çiftlerinin kümesidir.
mahalle noktası M 0 (x 0, y 0) yarıçapı r, koşulu sağlayan tüm noktaların (x, y) kümesidir.
A numarası denir sınır f(x, y) fonksiyonu, M(x, y) noktası M 0 (x 0, y 0) noktasına yöneldiğinden, her e > 0 sayısı için öyle bir r > 0 sayısı varsa, herhangi bir M noktası için (x, y) hangi koşul için
durum da doğrudur 
.
Yaz: 
M 0 (x 0, y 0) noktası f(x, y) fonksiyonunun tanım kümesine ait olsun. Sonra z = f(x, y) işlevi çağrılır sürekli M 0 (x 0, y 0) noktasında, eğer
(1)
dahası, M(x, y) noktası keyfi bir şekilde M 0 (x 0, y 0) noktasına yönelir.
(1) koşulu herhangi bir noktada karşılanmıyorsa, bu noktaya denir. kırılma noktası f(x, y) fonksiyonları. Bu, aşağıdaki durumlarda olabilir:
1) z \u003d f (x, y) işlevi M 0 (x 0, y 0) noktasında tanımlanmamıştır.
2) Sınır yoktur.
3) Bu limit mevcuttur, ancak f(x 0 , y 0)'a eşit değildir.
Çok değişkenli fonksiyonların süreklilikleri ile ilgili özellikleri.
Mülk. f(x, y, …) fonksiyonu kapalı ve sınırlı bir D bölgesinde tanımlı ve sürekli ise, o zaman bu tanım kümesinde en az bir nokta vardır.
N(x 0 , y 0 , …) eşitsizliği
f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)
ve bir N 1 noktası (x 01 , y 01 , ...), öyle ki diğer tüm noktalar için eşitsizlik doğrudur
f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)
o zaman f(x 0 , y 0 , …) = M – en yüksek değer fonksiyonlar ve f(x 01 , y 01 , ...) = m - en küçük değer D alanında f(x, y, …) fonksiyonları.
Kapalı ve sınırlı bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon en az bir kez ulaşır. en büyük değer ve bir kez en az.
Mülk. f(x, y, …) fonksiyonu kapalı bir sınırlı D alanında tanımlanmış ve sürekli ise ve M ve m, sırasıyla bu alandaki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri ise, o zaman herhangi bir nokta için m О orada bir nokta
N 0 (x 0 , y 0 , …) öyle ki f(x 0 , y 0 , …) = m.
Basit ifadeyle, sürekli fonksiyon D bölgesinde M ve m arasındaki tüm ara değerleri alır. Bu özelliğin bir sonucu, M ve m sayıları farklı işaretlere sahipse, o zaman D alanında fonksiyonun en az bir kez ortadan kalktığı sonucu olabilir.
Mülk. f(x, y, …), kapalı sınırlı bir D bölgesinde sürekli fonksiyon, sınırlı bu alanda, alanın tüm noktaları için eşitsizlik doğru olacak şekilde bir K sayısı varsa 
.
Mülk. Bir f(x, y, …) fonksiyonu kapalı sınırlı bir D bölgesinde tanımlı ve sürekli ise, o zaman düzgün sürekli bu alanda, yani herhangi bir pozitif e sayısı için öyle bir D > 0 sayısı vardır ki, bölgenin D'den daha küçük bir uzaklıkta bulunan herhangi iki noktası (x 1, y 1) ve (x 2, y 2) için eşitsizlik
2. Kısmi türevler. Daha yüksek siparişlerin kısmi türevleri.
Bir tanım kümesinde bir z = f(x, y) fonksiyonu verilsin. Rastgele bir M(x, y) noktası alın ve Dx artışını x değişkenine ayarlayın. Sonra D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) niceliği denir fonksiyonun x cinsinden kısmi artışı.
yazılabilir
.
sonra aradı kısmi türev x'de z = f(x, y) fonksiyonları.
atama: 
Bir fonksiyonun y'ye göre kısmi türevi benzer şekilde tanımlanır.
geometrik anlamda kısmi türev (diyelim), N 0 (x 0, y 0, z 0) noktasında çizilen teğetin eğiminin y \u003d y 0 düzlemiyle yüzey bölümüne tanjantıdır.
f(x, y) fonksiyonu bir D alanında tanımlanmışsa, kısmi türevleri de aynı alanda veya onun bir bölümünde tanımlanacaktır.
Bu türevleri arayacağız birinci dereceden kısmi türevler.
Bu fonksiyonların türevleri ikinci dereceden kısmi türevler.
Elde edilen eşitlikleri türevlendirmeye devam ederek, daha yüksek dereceli kısmi türevler elde ederiz.
Formun kısmi türevleri 
vb. isminde karışık türevler.
Teorem. f(x, y) fonksiyonu ve kısmi türevleri M(x, y) noktasında ve komşuluğunda tanımlanmış ve sürekli ise, o zaman ilişki doğrudur:
Onlar. daha yüksek mertebelerin kısmi türevleri, farklılaşma mertebesine bağlı değildir.
Daha yüksek mertebeden diferansiyeller benzer şekilde tanımlanır.
…………………
Burada n, parantez içindeki ifade kendisine yükseltildikten sonra gerçek güçle değiştirilen türevin sembolik gücüdür.
tam diferansiyel. geometrik anlamda tam diferansiyel. Teğet düzlem ve yüzey normal.
ifade denir tam artış f(x, y) fonksiyonlarının bir (x, y) noktasında, burada a 1 ve a 2, sırasıyla Dх ® 0 ve Dу ® 0 gibi sonsuz küçük fonksiyonlardır.
tam diferansiyel z = f(x, y) fonksiyonu, Dz fonksiyonunun (x, y) noktasındaki artışının Dx ve Dy'ye göre ana lineer kısmıdır.
İsteğe bağlı sayıda değişkenin bir işlevi için:
Örnek 3.1. Fonksiyonun tam diferansiyelini bulun.