Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function mga konsepto pagsusuri sa matematika. Ang halaga na kinuha ng isang function sa ilang punto ng set kung saan tinukoy ang function na ito ay tinatawag na pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga sa set na ito kung ang function ay walang mas malaki (mas maliit) na halaga sa anumang iba pang punto sa set. N. at n. h. f. sa paghahambing sa mga halaga nito sa lahat ng sapat na malapit na mga punto ay tinatawag na extrema (ayon sa pagkakabanggit, maxima at minima) ng function. N. at n. h. f., na ibinigay sa isang segment, ay maaaring makamit alinman sa mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero, o sa mga punto kung saan wala ito, o sa mga dulo ng segment. Ang tuluy-tuloy na function na ibinigay sa isang segment ay kinakailangang maabot ang maximum at minimum na mga halaga nito; kung ang isang tuluy-tuloy na pag-andar ay isinasaalang-alang sa isang agwat (iyon ay, isang segment na may hindi kasama na mga dulo), kung gayon sa mga halaga nito sa agwat na ito ay maaaring walang maximum o minimum. Halimbawa, ang function sa = x, na ibinigay sa pagitan , umabot sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga, ayon sa pagkakabanggit, sa x= 1 at x= 0 (ibig sabihin, sa mga dulo ng segment); kung isasaalang-alang natin ang function na ito sa pagitan (0; 1), kung gayon sa mga halaga nito sa pagitan na ito ay walang pinakamalaki o pinakamaliit, dahil para sa bawat isa. x0 palaging may punto ng agwat na ito na nasa kanan (sa kaliwa) x0, at ang halaga ng function sa puntong ito ay magiging mas malaki (ayon sa pagkakabanggit, mas mababa) kaysa sa punto x0. Ang mga katulad na pahayag ay wasto para sa mga function ng ilang mga variable. Tingnan din ang Extreme.
Malaki ensiklopedya ng sobyet. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. 1969-1978 .
Tingnan kung ano ang "Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function" ay nasa iba pang mga diksyunaryo:
Malaki encyclopedic Dictionary
Mga konsepto ng pagsusuri sa matematika. Ang halaga na kinuha ng function sa ilang punto ng set kung saan ibinigay ang function na ito ay tinatawag na pinakamalaki (pinakamaliit) sa set na ito, kung sa walang ibang punto ang function ay may mas malaki (mas maliit) ... ... encyclopedic Dictionary
Ang mga konsepto ng matematika. pagsusuri. Ang halaga na kinuha ng function sa isang partikular na punto ng set, pa rum function na ito ay ibinigay, tinatawag. pinakamalaki (pinakamaliit) sa set na ito, kung wala sa ibang punto na ang function ay may mas malaki (mas maliit) na halaga ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary
MAXIMUM AT MINIMUM FUNCTION- ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function kumpara sa mga halaga nito sa lahat ng sapat na malapit na mga punto. Ang mataas at mababang mga punto ay tinatawag na mga matinding punto... Mahusay na Polytechnic Encyclopedia
Ang pinakamalaki at, nang naaayon, ang pinakamaliit na halaga ng isang function na kumukuha ng mga tunay na halaga. Ang punto ng domain ng kahulugan ng function na pinag-uusapan, kung saan ito ay tumatagal ng maximum o minimum, ay tinatawag. ayon sa pagkakabanggit ang pinakamataas na punto o ang pinakamababang punto ... ... Mathematical Encyclopedia
Ang isang ternary function sa teorya ng functional system at ternary logic ay isang function ng uri, kung saan ay isang ternary set, at ito ay isang non-negative integer, na tinatawag na arity o lokalidad ng function. Ang mga elemento ng set ay digital ... ... Wikipedia
Representasyon ng mga function ng Boolean sa pamamagitan ng mga normal na anyo (tingnan ang mga Normal na anyo ng mga function ng Boolean). ang pinakasimpleng may kinalaman sa ilang sukat ng pagiging kumplikado. Karaniwan, ang pagiging kumplikado ng isang normal na anyo ay nauunawaan bilang ang bilang ng mga titik sa loob nito. Sa kasong ito, ang pinakasimpleng anyo ay tinatawag na ... ... Mathematical Encyclopedia
Isang function na tumatanggap ng infinitesimal increments bilang argument increments infinitessimally. Ang isang single-valued function na f (x) ay tinatawag na tuloy-tuloy para sa value ng argument x0, kung para sa lahat ng value ng argument x na medyo maliit ang pagkakaiba sa x0 ... Great Soviet Encyclopedia
- (Latin maximum at minimum, literal ang pinakamalaking at pinakamaliit) (Math.), Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function kumpara sa mga halaga nito sa mga sapat na malapit na puntos. Sa figure, ang function na y \u003d f (x) ay may maximum sa mga puntos na x1 at x3, at sa puntong x2 ... ... encyclopedic Dictionary
- (mula sa Latin na maximum at minimum, ang pinakamalaki at pinakamaliit) (matematika), ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function kumpara sa mga halaga nito sa mga sapat na malapit na puntos. Ang mataas at mababang mga punto ay tinatawag na mga matinding punto... Modern Encyclopedia
At upang malutas ito, kailangan mo ng kaunting kaalaman sa paksa. Ang susunod Taong panuruan, gusto ng lahat na magbakasyon, at para mailapit ang sandaling ito, agad akong bumaba sa negosyo:
Magsimula tayo sa lugar. Ang lugar na tinutukoy sa kondisyon ay limitado sarado hanay ng mga punto sa eroplano. Halimbawa, isang hanay ng mga puntos na nililimitahan ng isang tatsulok, kasama ang BUONG tatsulok (kung galing mga hangganan"Poke out" kahit isang punto, pagkatapos ay hindi na isasara ang lugar). Sa pagsasagawa, mayroon ding mga lugar ng hugis-parihaba, bilog at bahagyang mas kumplikadong mga hugis. Dapat pansinin na sa teorya ng pagsusuri sa matematika, ang mga mahigpit na kahulugan ay ibinigay mga limitasyon, paghihiwalay, mga hangganan, atbp., ngunit sa palagay ko ay alam ng lahat ang mga konseptong ito sa isang intuitive na antas, at higit pa ang hindi kailangan ngayon.
Ang patag na lugar ay karaniwang tinutukoy ng titik , at, bilang panuntunan, ay binibigyan ng analytical - sa pamamagitan ng ilang mga equation (hindi kinakailangang linear); mas madalas na hindi pagkakapantay-pantay. Isang tipikal na verbal turnover: "closed arealimited by lines".
Ang isang mahalagang bahagi ng gawain na isinasaalang-alang ay ang pagtatayo ng lugar sa pagguhit. Paano ito gagawin? Kinakailangang iguhit ang lahat ng mga linyang nakalista (sa kasong ito 3 tuwid) at pag-aralan kung ano ang nangyari. Ang nais na lugar ay karaniwang bahagyang napipisa, at ang hangganan nito ay naka-highlight na may naka-bold na linya: 
Ang parehong lugar ay maaaring itakda mga linear na hindi pagkakapantay-pantay: , na para sa ilang kadahilanan ay mas madalas na nakasulat bilang isang listahan ng enumeration, at hindi sistema.
Dahil ang hangganan ay kabilang sa rehiyon, kung gayon ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay, siyempre, hindi mahigpit.
At ngayon ang pinakabuod ng bagay. Isipin na ang axis ay dumiretso sa iyo mula sa pinanggalingan ng mga coordinate. Isaalang-alang ang isang function na tuloy-tuloy sa bawat punto ng lugar. Ang graph ng function na ito ay ibabaw, at ang maliit na kaligayahan ay na upang malutas ang problema ngayon, hindi natin kailangang malaman kung ano ang hitsura ng ibabaw na ito. Maaari itong matatagpuan sa itaas, sa ibaba, tumawid sa eroplano - lahat ng ito ay hindi mahalaga. At ang mga sumusunod ay mahalaga: ayon sa Weierstrass theorems, tuloy-tuloy sa limitadong sarado lugar, ang function ay umabot sa maximum nito (sa "pinakamataas") at least (sa "pinakamababa") mga halagang mahahanap. Ang mga halagang ito ay nakamit o sa nakatigil na mga punto, kabilang sa rehiyonD , o sa mga puntong nasa hangganan ng rehiyong ito. Mula sa kung saan sumusunod ang isang simple at transparent na algorithm ng solusyon:
Halimbawa 1
Sa isang limitadong nakapaloob na lugar
Desisyon: Una sa lahat, kailangan mong ilarawan ang lugar sa pagguhit. Sa kasamaang palad, ito ay teknikal na mahirap para sa akin na gumawa ng isang interactive na modelo ng problema, at samakatuwid ay ibibigay ko kaagad ang pangwakas na paglalarawan, na nagpapakita ng lahat ng "kahina-hinalang" mga punto na natagpuan sa panahon ng pag-aaral. Kadalasan sila ay ibinaba nang isa-isa habang sila ay natagpuan: 
Batay sa preamble, ang desisyon ay maginhawang mahahati sa dalawang punto:
I) Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos. Ito ay isang karaniwang aksyon na paulit-ulit nating isinagawa sa aralin. tungkol sa extrema ng ilang variable:
Nakahanap ng nakatigil na punto nabibilang mga lugar: (markahan ito sa drawing), na nangangahulugan na dapat nating kalkulahin ang halaga ng function sa isang naibigay na punto:
- tulad ng sa artikulo Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment, iha-highlight ko ang mahahalagang resulta nang naka-bold. Sa isang kuwaderno, ito ay maginhawa upang bilugan ang mga ito gamit ang isang lapis.
Bigyang-pansin ang aming pangalawang kaligayahan - walang saysay na suriin sapat na kondisyon para sa isang extremum. Bakit? Kahit na sa puntong umabot ang function, halimbawa, lokal na minimum, kung gayon ay HINDI ito nangangahulugang ang magreresultang halaga ay magiging minimal sa buong rehiyon (tingnan ang simula ng aralin tungkol sa mga walang kundisyong sukdulan) .
Paano kung ang nakatigil na punto ay HINDI kabilang sa lugar? Halos wala! Dapat pansinin iyon at pumunta sa susunod na talata.
II) Sinisiyasat namin ang hangganan ng rehiyon.
Dahil ang hangganan ay binubuo ng mga gilid ng isang tatsulok, ito ay maginhawa upang hatiin ang pag-aaral sa 3 subparagraphs. Ngunit ito ay mas mahusay na gawin ito kahit papaano. Mula sa aking pananaw, sa una ay mas kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang mga segment na kahanay sa mga coordinate axes, at una sa lahat, ang mga nakahiga sa mga axes mismo. Upang mahuli ang buong pagkakasunud-sunod at lohika ng mga aksyon, subukang pag-aralan ang pagtatapos "sa isang hininga":
1) Ating harapin ang ibabang bahagi ng tatsulok. Upang gawin ito, pinapalitan namin nang direkta ang function:
Bilang kahalili, maaari mong gawin ito tulad nito: 
Geometrically, ito ay nangangahulugan na coordinate na eroplano (na ibinigay din ng equation)"cut out" mula sa ibabaw"spatial" na parabola, na ang tuktok nito ay agad na nahuhulog sa ilalim ng hinala. Alamin Natin Nasaan siya:
- ang nagresultang halaga ay "hit" sa lugar, at maaaring ito ay sa puntong iyon (markahan sa drawing) ang function ay umabot sa pinakamalaki o pinakamaliit na halaga sa buong lugar. Anyway, gawin natin ang mga kalkulasyon:
Ang iba pang mga "kandidato" ay, siyempre, ang mga dulo ng segment. Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga punto 
(markahan sa drawing):
Dito, sa pamamagitan ng paraan, maaari kang magsagawa ng oral mini-check sa bersyon na "nahubaran": 
2) Upang pag-aralan ang kanang bahagi ng tatsulok, pinapalitan namin ito sa function at "ilagay ang mga bagay sa pagkakasunud-sunod doon":
Dito agad kaming nagsasagawa ng magaspang na pagsusuri, "nagri-ring" sa naprosesong dulo ng segment:
, perpekto.
Ang geometric na sitwasyon ay nauugnay sa nakaraang punto:
- ang nagresultang halaga ay "pumasok din sa saklaw ng aming mga interes", na nangangahulugang kailangan naming kalkulahin kung ano ang katumbas ng function sa puntong lumitaw:
Suriin natin ang pangalawang dulo ng segment:
Gamit ang function 
, suriin natin: 
3) Malamang na alam ng lahat kung paano galugarin ang natitirang bahagi. Pinapalitan namin ang function at nagsasagawa ng mga pagpapasimple:
Natapos ang linya 
naimbestigahan na, ngunit sa draft ay sinusuri pa rin namin kung nahanap namin nang tama ang function 
:
– kasabay ng resulta ng 1st subparagraph;
– kasabay ng resulta ng 2nd subparagraph.
Ito ay nananatiling alamin kung mayroong isang bagay na kawili-wili sa loob ng segment :
- meron! Ang pagpapalit ng isang tuwid na linya sa equation, nakuha namin ang ordinate ng "kawili-wili" na ito:
Minarkahan namin ang isang punto sa pagguhit at hanapin ang kaukulang halaga ng function:
Kontrolin natin ang mga kalkulasyon ayon sa bersyon ng "badyet". 
:
, order.
At ang huling hakbang: MABUTI na tingnan ang lahat ng "taba" na mga numero, inirerekumenda ko kahit na ang mga nagsisimula upang bumuo iisang listahan:
kung saan pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga. Sagot sumulat sa istilo ng problema sa paghahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan:
Magko-comment ulit ako kung sakali. geometric na kahulugan resulta:
- eto ang pinaka mataas na punto ibabaw sa lugar;
- narito ang pinakamababang punto ng ibabaw sa lugar.
Sa nasuri na problema, nakakita kami ng 7 "kahina-hinalang" puntos, ngunit ang kanilang bilang ay nag-iiba-iba sa bawat gawain. Para sa isang triangular na rehiyon, ang minimum na "exploration set" ay binubuo ng tatlong puntos. Nangyayari ito kapag ang function, halimbawa, ay nagtakda eroplano- medyo malinaw na walang mga nakatigil na puntos, at ang pag-andar ay maaaring maabot ang maximum / minimum na mga halaga lamang sa mga vertices ng tatsulok. Ngunit walang ganoong mga halimbawa isang beses, dalawang beses - kadalasan kailangan mong harapin ang ilang uri ng ibabaw ng 2nd order.
Kung malutas mo ang mga naturang gawain nang kaunti, kung gayon ang mga tatsulok ay maaaring magpaikot ng iyong ulo, at samakatuwid ay naghanda ako ng mga hindi pangkaraniwang halimbawa para sa iyo upang gawin itong parisukat :))
Halimbawa 2
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function 
sa isang saradong lugar may hangganan ng mga linya
Halimbawa 3
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa isang bounded closed area.
Espesyal na atensyon bigyang-pansin ang nakapangangatwiran na pagkakasunud-sunod at pamamaraan ng pag-aaral sa hangganan ng lugar, pati na rin ang kadena ng mga intermediate na pagsusuri, na halos ganap na maiiwasan ang mga pagkakamali sa pagkalkula. Sa pangkalahatan, maaari mo itong lutasin ayon sa gusto mo, ngunit sa ilang mga problema, halimbawa, sa parehong Halimbawa 2, mayroong bawat pagkakataon na makabuluhang gawing kumplikado ang iyong buhay. Isang tinatayang halimbawa ng pagtatapos ng mga takdang-aralin sa pagtatapos ng aralin.
Isinasaayos namin ang algorithm ng solusyon, kung hindi, sa aking kasipagan ng isang gagamba, kahit papaano ay nawala ito sa isang mahabang thread ng mga komento ng unang halimbawa:
- Sa unang hakbang, bumuo kami ng isang lugar, ito ay kanais-nais na lilim ito, at i-highlight ang hangganan na may isang naka-bold na linya. Sa panahon ng solusyon, lilitaw ang mga puntos na kailangang ilagay sa pagguhit.
- Maghanap ng mga nakatigil na puntos at kalkulahin ang mga halaga ng function lamang sa mga, na nabibilang sa lugar . Ang nakuha na mga halaga ay naka-highlight sa teksto (halimbawa, bilugan ng lapis). Kung ang nakatigil na punto ay HINDI kabilang sa lugar, pagkatapos ay markahan namin ang katotohanang ito ng isang icon o pasalita. Kung walang mga nakatigil na punto sa lahat, pagkatapos ay gumuhit kami ng isang nakasulat na konklusyon na wala sila. Sa anumang kaso, hindi maaaring laktawan ang item na ito!
– Paggalugad sa lugar ng hangganan. Una, kapaki-pakinabang na makitungo sa mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes (kung meron man). Ang mga halaga ng pag-andar na kinakalkula sa "kahina-hinalang" mga punto ay naka-highlight din. Marami na ang nasabi tungkol sa pamamaraan ng solusyon sa itaas at iba pa ang sasabihin sa ibaba - basahin, muling basahin, pag-aralan!
- Mula sa mga napiling numero, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga at magbigay ng sagot. Minsan nangyayari na ang pag-andar ay umabot sa mga naturang halaga sa ilang mga punto nang sabay-sabay - sa kasong ito, ang lahat ng mga puntong ito ay dapat na maipakita sa sagot. Hayaan, halimbawa, 
at ito pala ang pinakamaliit na halaga. Pagkatapos ay sinusulat namin iyon
Ang mga huling halimbawa ay nakatuon sa iba pang mga kapaki-pakinabang na ideya na magiging kapaki-pakinabang sa pagsasanay:
Halimbawa 4
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong lugar 
.
Iningatan ko ang pormulasyon ng may-akda, kung saan ang lugar ay ibinigay bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Ang kundisyong ito ay maaaring isulat sa isang katumbas na sistema o sa isang mas tradisyonal na anyo para sa problemang ito: 
Paalala ko sa iyo na may hindi linear nakatagpo kami ng mga hindi pagkakapantay-pantay noong , at kung hindi mo naiintindihan ang geometric na kahulugan ng entry, mangyaring huwag antalahin at linawin ang sitwasyon ngayon ;-)
Desisyon, gaya ng dati, ay nagsisimula sa pagtatayo ng lugar, na isang uri ng "sole": 
Hmm, kung minsan kailangan mong ngangain hindi lamang ang granite ng agham ....
I) Maghanap ng mga nakatigil na puntos: 
Sistema ng pangarap ng tanga :) 
Ang nakatigil na punto ay kabilang sa rehiyon, ibig sabihin, nasa hangganan nito.
At kaya, wala ito ... masaya na aral - iyon ang ibig sabihin ng pag-inom ng tamang tsaa =)
II) Sinisiyasat namin ang hangganan ng rehiyon. Nang walang karagdagang ado, magsimula tayo sa x-axis:
1) Kung , kung gayon
Hanapin kung nasaan ang tuktok ng parabola:
- Pahalagahan ang gayong mga sandali - "hit" hanggang sa punto, kung saan malinaw na ang lahat. Ngunit huwag kalimutang suriin: 
Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment: 
2) C ibaba Alamin natin ang "soles" "sa isang upuan" - nang walang anumang mga kumplikadong pinapalitan natin sa pag-andar, bukod dito, magiging interesado lamang tayo sa segment:
Ang kontrol:
Ngayon ay nagdadala na ito ng kaunting pagbabago sa monotonous na biyahe sa isang knurled track. Hanapin natin ang mga kritikal na punto:
Kami ang magdedesisyon quadratic equation naaalala mo ba ang isang ito? ... Gayunpaman, tandaan, siyempre, kung hindi, hindi mo nabasa ang mga linyang ito =) Kung sa dalawang nakaraang mga halimbawa ang mga kalkulasyon sa mga decimal fraction ay maginhawa (na kung saan, sa pamamagitan ng paraan, ay bihira), pagkatapos ay narito kami ay naghihintay para sa karaniwan mga karaniwang fraction. Nahanap namin ang mga ugat ng "x" at, gamit ang equation, tinutukoy ang kaukulang mga coordinate ng "laro" ng mga punto ng "kandidato": 
Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga nahanap na punto: 
Suriin ang function sa iyong sarili.
Ngayon ay maingat naming pinag-aaralan ang mga napanalunang tropeo at isulat sagot:
Narito ang mga "kandidato", kaya ang mga "kandidato"!
Para sa isang nakapag-iisang solusyon:
Halimbawa 5
Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function 
sa isang saradong lugar 
Ang isang entry na may mga kulot na braces ay ganito ang mababasa: "isang set ng mga puntos na ganyan".
Minsan sa mga ganitong halimbawa ginagamit nila Paraan ng Lagrange multiplier, ngunit ang tunay na pangangailangan na gamitin ito ay malamang na hindi lumabas. Kaya, halimbawa, kung ang isang function na may parehong lugar na "de" ay ibinigay, pagkatapos ay pagkatapos ng pagpapalit dito - na may isang hinalaw na walang mga paghihirap; Bukod dito, ang lahat ay iginuhit sa isang "isang linya" (na may mga palatandaan) nang hindi kinakailangang isaalang-alang ang itaas at mas mababang kalahating bilog nang hiwalay. Ngunit, siyempre, may mga mas kumplikadong mga kaso, kung saan walang Lagrange function (kung saan ang , halimbawa, ay ang parehong equation ng bilog) mahirap makayanan - gaano kahirap makayanan nang walang magandang pahinga!
All the best na makapasa sa session at magkita-kita tayo sa susunod na season!
Mga solusyon at sagot:
Halimbawa 2: Desisyon: iguhit ang lugar sa drawing:
Sa artikulong ito ay pag-uusapan ko algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga function, minimum at maximum na mga puntos.
Mula sa teorya, tiyak na kakailanganin natin derivative table at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Lahat ng ito ay nasa board na ito:
Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.
Mas madali kong ipaliwanag nang may konkretong halimbawa. Isaalang-alang:
Halimbawa: Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function na y=x^5+20x^3–65x sa segment [–4;0].
Hakbang 1. Kinukuha namin ang derivative.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Hakbang 2 Paghahanap ng mga extremum point.
matinding punto pinangalanan namin ang mga naturang punto kung saan naabot ng function ang maximum o minimum na halaga nito.
Upang mahanap ang mga extremum point, kinakailangan na ipantay ang derivative ng function sa zero (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Ngayon lutasin natin ito quadratic equation at ang nahanap na mga ugat ay ang aming mga extremum point.
Nilulutas ko ang mga naturang equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = x^2, pagkatapos ay 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Bawasan ang equation ng 5, makuha natin ang: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Ginagawa namin ang reverse substitution x^2 = t:
X_(1 at 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 at 4) = ±sqrt(-13) (ibinubukod namin, hindi maaaring magkaroon ng mga negatibong numero sa ilalim ng ugat, maliban kung siyempre pinag-uusapan natin ang mga kumplikadong numero)
Kabuuan: x_(1) = 1 at x_(2) = -1 - ito ang aming mga extremum point.
Hakbang 3 Tukuyin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.
Pamamaraan ng pagpapalit.
Sa kondisyon, binigyan kami ng segment [b][–4;0]. Ang puntong x=1 ay hindi kasama sa segment na ito. Kaya hindi namin ito isinasaalang-alang. Ngunit bilang karagdagan sa puntong x=-1, kailangan din nating isaalang-alang ang kaliwa at kanang mga hangganan ng ating segment, iyon ay, ang mga punto -4 at 0. Upang gawin ito, pinapalitan natin ang lahat ng tatlong puntong ito sa orihinal na pag-andar. Pansinin na ang orihinal ay ang ibinigay sa kundisyon (y=x^5+20x^3–65x), ang ilan ay nagsisimulang palitan sa derivative...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Nangangahulugan ito na ang pinakamataas na halaga ng function ay [b]44 at naabot ito sa mga puntong [b]-1, na tinatawag na pinakamataas na punto ng function sa segment [-4; 0].
Nagpasya kami at nakakuha ng sagot, mahusay kami, maaari kang magpahinga. Ngunit huminto! Hindi mo ba iniisip na ang pagbibilang ng y(-4) ay masyadong kumplikado? Sa mga kondisyon ng limitadong oras, mas mahusay na gumamit ng isa pang pamamaraan, tinawag ko itong ganito:
Sa pamamagitan ng mga pagitan ng katatagan.
Ang mga gaps na ito ay matatagpuan para sa derivative ng function, iyon ay, para sa aming biquadratic equation.
Ginagawa ko ito sa sumusunod na paraan. Gumuhit ako ng direksyong linya. Itinakda ko ang mga puntos: -4, -1, 0, 1. Sa kabila ng katotohanan na ang 1 ay hindi kasama sa ibinigay na segment, dapat pa rin itong tandaan upang matukoy nang tama ang mga pagitan ng katatagan. Kunin natin ang ilang numero nang maraming beses na mas malaki kaysa sa 1, sabihin nating 100, palitan ito ng isip sa ating biquadratic equation 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Kahit na walang pagbibilang ng kahit ano, nagiging malinaw na sa puntong 100 ang function ay may plus sign. Nangangahulugan ito na para sa mga pagitan mula 1 hanggang 100 mayroon itong plus sign. Kapag dumadaan sa 1 (pumupunta kami mula kanan pakaliwa), ang function ay magbabago ng sign sa minus. Kapag dumadaan sa punto 0, ang function ay mananatili sa kanyang tanda, dahil ito lamang ang hangganan ng segment, at hindi ang ugat ng equation. Kapag dumadaan sa -1, muling babaguhin ng function ang sign sa plus.
Mula sa teorya, alam natin kung nasaan ang derivative ng function (at iginuhit namin ito para dito) nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (punto -1 sa aming kaso) umabot ang function lokal na maximum nito (y(-1)=44 gaya ng kinakalkula kanina) sa segment na ito (ito ay lohikal na napakalinaw, ang pag-andar ay tumigil sa pagtaas, dahil naabot nito ang pinakamataas at nagsimulang bumaba).
Alinsunod dito, kung saan ang derivative ng function nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, nakamit lokal na minimum ng isang function. Oo, oo, natagpuan din namin ang lokal na minimum na punto, na 1, at y(1) ang pinakamababang halaga ng function sa pagitan, sabihin natin mula -1 hanggang +∞. Pakitandaan na isa lang itong LOCAL MINIMUM, ibig sabihin, minimum sa isang partikular na segment. Dahil ang aktwal na (global) na minimum na function ay maaabot sa isang lugar doon, sa -∞.
Sa palagay ko, ang unang pamamaraan ay mas simple ayon sa teorya, at ang pangalawa ay mas simple sa mga tuntunin ng mga operasyon sa aritmetika, ngunit mas mahirap sa mga tuntunin ng teorya. Pagkatapos ng lahat, kung minsan may mga kaso kapag ang pag-andar ay hindi nagbabago ng sign kapag dumadaan sa ugat ng equation, at sa katunayan maaari kang malito sa mga lokal, pandaigdigang maxima at minima, kahit na kailangan mong makabisado ito nang mabuti kung nagpaplano ka. para pumasok teknikal na unibersidad(at bakit kung hindi ay ibigay pagsusulit sa profile at lutasin ang problemang ito). Ngunit ang pagsasanay at pagsasanay lamang ang magtuturo sa iyo kung paano lutasin ang gayong mga problema minsan at para sa lahat. At maaari kang magsanay sa aming website. Dito .
Kung mayroon kang anumang mga katanungan, o isang bagay na hindi malinaw, siguraduhing magtanong. Ikalulugod kong sagutin ka, at gumawa ng mga pagbabago, mga karagdagan sa artikulo. Tandaan na sama-sama nating ginagawa ang site na ito!
Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakakawili-wili ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado nito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy ng pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay, kailangang lutasin ng isa ang problema ng pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa ilang interval X , na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain. Ang interval X mismo ay maaaring isang line segment, isang open interval 
, isang walang katapusang pagitan.
Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tahasang ibinigay na function ng isang variable y=f(x) .
Pag-navigate sa pahina.
Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.
Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.
Ang pinakamalaking halaga ng function 
, na para sa alinman 
ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.
Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga 
, na para sa alinman ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.
Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na tinatanggap sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.
Mga nakatigil na puntos ay ang mga halaga ng argumento kung saan nawawala ang derivative ng function.
Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag naghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ito na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang maximum (pinakamaliit) na halaga nito sa interval X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa interval na ito.
Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring kumuha ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.
Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga function sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal ng parehong walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan - at marami ang magiging malinaw.
Sa segment
Sa unang figure, kinukuha ng function ang pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) values sa mga nakatigil na punto sa loob ng segment [-6;6] .
Isaalang-alang ang kaso na ipinakita sa pangalawang figure. Baguhin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking - sa isang punto na may abscissa na tumutugma sa tamang hangganan ng pagitan.
Sa figure No. 3, ang mga boundary point ng segment [-3; 2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Sa bukas na hanay
Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) na mga halaga sa mga nakatigil na punto sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).
Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.
Sa infinity
Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y ) sa isang nakatigil na punto na may abscissa x=1 , at ang pinakamaliit na halaga (min y ) ay naabot sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 .
Sa pagitan, hindi naaabot ng function ang alinman sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Dahil ang x=2 ay nasa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang tuwid na linya na x=2 ay isang vertical asymptote), at dahil ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 . Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.
Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa segment.
Nagsusulat kami ng algorithm na nagbibigay-daan sa amin na mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.
- Hinahanap namin ang domain ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
- Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (karaniwang ang mga naturang punto ay nangyayari sa mga function na may argumento sa ilalim ng module sign at sa mga function ng kapangyarihan na may fractional rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay pumunta sa susunod na punto.
- Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nahuhulog sa segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at piliin ang naaangkop na mga ugat. Kung walang nakatigil na mga punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay pumunta sa susunod na hakbang.
- Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral (kung mayroon man), at gayundin sa x=a at x=b .
- Mula sa nakuha na mga halaga ng function, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang nais na maximum at pinakamaliit na halaga ng function, ayon sa pagkakabanggit.
Suriin natin ang algorithm kapag nilulutas ang isang halimbawa para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.
Halimbawa.
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function
- sa segment;
- sa pagitan [-4;-1] .
Desisyon.
Ang domain ng function ay ang buong set tunay na mga numero, maliban sa zero, iyon ay, . Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.
Nahanap namin ang derivative ng function na may paggalang sa: 
Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1] .
Ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2 . Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.
Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa isang nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1 , x=2 at x=4 : 
Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function 
ay naabot sa x=1 , at ang pinakamaliit na halaga 
– sa x=2 .
Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto): 
Desisyon.
Magsimula tayo sa saklaw ng function. Square trinomial ang denominator ng isang fraction ay hindi dapat mawala: 
Madaling suriin na ang lahat ng mga pagitan mula sa kondisyon ng problema ay nabibilang sa domain ng function.
Ibahin natin ang pag-andar: 
Malinaw, ang derivative ay umiiral sa buong domain ng function.
Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos. Ang derivative ay naglalaho sa . Ang nakatigil na puntong ito ay nasa loob ng mga pagitan (-3;1] at (-3;2).
At ngayon maaari mong ihambing ang mga resulta na nakuha sa bawat punto sa graph ng function. Ang mga asul na tuldok na linya ay nagpapahiwatig ng mga asymptotes.
Maaari itong magtapos sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function. Ang mga algorithm na tinalakay sa artikulong ito ay nagbibigay-daan sa iyo na makakuha ng mga resulta na may pinakamababang pagkilos. Gayunpaman, maaari itong maging kapaki-pakinabang upang matukoy muna ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function at pagkatapos lamang na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa anumang pagitan. Nagbibigay ito ng isang mas malinaw na larawan at isang mahigpit na katwiran ng mga resulta.
Hayaang tukuyin at tuluy-tuloy ang function na $z=f(x,y)$ sa ilang bounded closed domain na $D$. Hayaan ang ibinigay na function na magkaroon ng may hangganang partial derivatives ng unang pagkakasunud-sunod sa rehiyong ito (maliban sa isang may hangganang bilang ng mga puntos). Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ng dalawang variable sa isang ibinigay na saradong rehiyon, tatlong hakbang ng isang simpleng algorithm ang kinakailangan.
Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function na $z=f(x,y)$ sa closed domain na $D$.
- Hanapin ang mga kritikal na punto ng function na $z=f(x,y)$ na kabilang sa rehiyong $D$. I-compute ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto.
- Siyasatin ang pag-uugali ng function na $z=f(x,y)$ sa hangganan ng rehiyon na $D$ sa pamamagitan ng paghahanap ng mga punto ng posibleng maximum at minimum na halaga. Kalkulahin ang mga halaga ng function sa nakuha na mga punto.
- Mula sa mga halaga ng function na nakuha sa nakaraang dalawang talata, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.
Ano ang mga kritikal na puntos? Ipakita itago
Sa ilalim kritikal na mga punto nagpapahiwatig ng mga punto kung saan ang parehong first-order na partial derivatives ay katumbas ng zero (i.e. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ at $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o hindi bababa sa isang partial derivative ang hindi umiiral.
Kadalasan ang mga punto kung saan ang mga first-order na partial derivatives ay katumbas ng zero ay tinatawag nakatigil na mga punto. Kaya, ang mga nakatigil na puntos ay isang subset ng mga kritikal na punto.
Halimbawa #1
Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng function na $z=x^2+2xy-y^2-4x$ sa saradong rehiyon na nililimitahan ng mga linyang $x=3$, $y=0$ at $y=x +1$.
Susundin natin ang nasa itaas, ngunit haharapin muna natin ang pagguhit ng isang partikular na lugar, na tutukuyin natin ng titik $D$. Binigyan tayo ng mga equation ng tatlong tuwid na linya, na naglilimita sa lugar na ito. Ang tuwid na linya na $x=3$ ay dumadaan sa puntong $(3;0)$ na kahanay ng y-axis (axis Oy). Ang tuwid na linya $y=0$ ay ang equation ng abscissa axis (Ox axis). Buweno, upang makabuo ng isang tuwid na linya $y=x+1$ hanapin natin ang dalawang punto kung saan iguguhit natin ang tuwid na linyang ito. Maaari mong, siyempre, palitan ang isang pares ng mga arbitrary na halaga sa halip na $x$. Halimbawa, ang pagpapalit ng $x=10$, makakakuha tayo ng: $y=x+1=10+1=11$. Natagpuan namin ang puntong $(10;11)$ na nakahiga sa linyang $y=x+1$. Gayunpaman, mas mainam na hanapin ang mga puntong iyon kung saan ang linyang $y=x+1$ ay nag-intersect sa mga linyang $x=3$ at $y=0$. Bakit mas maganda? Dahil maglalatag tayo ng isang pares ng mga ibon na may isang bato: makakakuha tayo ng dalawang puntos para sa pagbuo ng tuwid na linya $y=x+1$ at sa parehong oras ay alamin kung anong mga punto ang tuwid na linyang ito ay nagsalubong sa iba pang mga linya na nakatali sa ibinigay lugar. Ang linyang $y=x+1$ ay nag-intersect sa linyang $x=3$ sa puntong $(3;4)$, at sa linyang $y=0$ - sa puntong $(-1;0)$. Upang hindi magulo ang kurso ng solusyon sa mga pantulong na paliwanag, ilalagay ko ang tanong sa pagkuha ng dalawang puntong ito sa isang tala.
Paano nakuha ang mga puntos na $(3;4)$ at $(-1;0)$? Ipakita itago
Magsimula tayo sa punto ng intersection ng mga linyang $y=x+1$ at $x=3$. Ang mga coordinate ng nais na punto ay nabibilang sa una at pangalawang linya, kaya upang makahanap ng hindi kilalang mga coordinate, kailangan mong lutasin ang sistema ng mga equation:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
Ang solusyon ng naturang sistema ay walang halaga: ang pagpapalit ng $x=3$ sa unang equation na magkakaroon tayo ng: $y=3+1=4$. Ang puntong $(3;4)$ ay ang gustong intersection point ng mga linyang $y=x+1$ at $x=3$.
Ngayon, hanapin natin ang punto ng intersection ng mga linyang $y=x+1$ at $y=0$. Muli, binubuo at nilulutas namin ang sistema ng mga equation:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
Ang pagpapalit ng $y=0$ sa unang equation, makakakuha tayo ng: $0=x+1$, $x=-1$. Ang puntong $(-1;0)$ ay ang gustong intersection point ng mga linyang $y=x+1$ at $y=0$ (abscissa axis).
Ang lahat ay handa na upang bumuo ng isang pagguhit na magiging ganito:
Ang tanong ng tala ay tila halata, dahil ang lahat ay makikita mula sa pigura. Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagguhit ay hindi maaaring magsilbing ebidensya. Ang figure ay isang paglalarawan lamang para sa kalinawan.
Ang aming lugar ay itinakda gamit ang mga equation ng mga linya na naglilimita dito. Malinaw na ang mga linyang ito ay tumutukoy sa isang tatsulok, hindi ba? O hindi masyadong halata? O marahil ay binibigyan tayo ng ibang lugar, na may hangganan ng parehong mga linya:
Syempre sabi sa kondisyon ay sarado ang lugar kaya mali ang ipinakitang larawan. Ngunit upang maiwasan ang gayong mga kalabuan, mas mahusay na tukuyin ang mga rehiyon sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay. Interesado kami sa bahagi ng eroplano na matatagpuan sa ilalim ng linyang $y=x+1$? Ok, kaya $y ≤ x+1$. Ang aming lugar ay dapat na matatagpuan sa itaas ng linya $y=0$? Mahusay, kaya $y ≥ 0$. Sa pamamagitan ng paraan, ang huling dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay madaling pinagsama sa isa: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay tumutukoy sa domain na $D$, at natatangi itong tinukoy, nang walang anumang mga kalabuan. Ngunit paano ito nakakatulong sa atin sa tanong sa simula ng talababa? Makakatulong din ito :) Kailangan nating suriin kung ang puntong $M_1(1;1)$ ay kabilang sa rehiyong $D$. Ipalit natin ang $x=1$ at $y=1$ sa sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa rehiyong ito. Kung ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, kung gayon ang punto ay nasa loob ng rehiyon. Kung hindi bababa sa isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan, kung gayon ang punto ay hindi nabibilang sa rehiyon. Kaya:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$
Ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Ang puntong $M_1(1;1)$ ay kabilang sa rehiyong $D$.
Ngayon ay ang turn upang siyasatin ang pag-uugali ng function sa hangganan ng domain, i.e. pumunta sa. Magsimula tayo sa tuwid na linya $y=0$.
Nililimitahan ng tuwid na linya na $y=0$ (abscissa axis) ang rehiyong $D$ sa ilalim ng kundisyong $-1 ≤ x ≤ 3$. Palitan ang $y=0$ sa ibinigay na function$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Ang resultang pagpapalit ng function ng isang variable na $x$ ay ituturing bilang $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Ngayon para sa function na $f_1(x)$ kailangan nating hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa pagitan na $-1 ≤ x ≤ 3$. Hanapin ang derivative ng function na ito at i-equate ito sa zero:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Ang value na $x=2$ ay kabilang sa segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, kaya idinaragdag din namin ang $M_2(2;0)$ sa listahan ng mga puntos. Bilang karagdagan, kinakalkula namin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga dulo ng segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. sa mga puntos na $M_3(-1;0)$ at $M_4(3;0)$. Sa pamamagitan ng paraan, kung ang puntong $M_2$ ay hindi kabilang sa segment na isinasaalang-alang, kung gayon, siyempre, hindi na kailangang kalkulahin ang halaga ng function na $z$ sa loob nito.
Kaya, kalkulahin natin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga puntos na $M_2$, $M_3$, $M_4$. Siyempre, maaari mong palitan ang mga coordinate ng mga puntong ito sa orihinal na expression na $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Halimbawa, para sa puntong $M_2$ nakukuha natin:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Gayunpaman, ang mga kalkulasyon ay maaaring gawing simple nang kaunti. Upang gawin ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na sa segment na $M_3M_4$ mayroon kaming $z(x,y)=f_1(x)$. Iisa-isahin ko ito nang detalyado:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(nakahanay)
Siyempre, kadalasan ay hindi na kailangan para sa naturang detalyadong mga entry, at sa hinaharap ay magsisimula kaming isulat ang lahat ng mga kalkulasyon sa mas maikling paraan:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Ngayon lumiko tayo sa tuwid na linya $x=3$. Nililimitahan ng linyang ito ang domain na $D$ sa ilalim ng kundisyong $0 ≤ y ≤ 4$. Palitan ang $x=3$ sa ibinigay na function na $z$. Bilang resulta ng naturang pagpapalit, nakukuha natin ang function na $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Para sa function na $f_2(y)$, kailangan mong hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value sa pagitan na $0 ≤ y ≤ 4$. Hanapin ang derivative ng function na ito at i-equate ito sa zero:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Ang value na $y=3$ ay nabibilang sa segment na $0 ≤ y ≤ 4$, kaya idinagdag namin ang $M_5(3;3)$ sa mga puntos na nakita kanina. Bilang karagdagan, kinakailangang kalkulahin ang halaga ng function na $z$ sa mga punto sa dulo ng segment na $0 ≤ y ≤ 4$, i.e. sa mga puntos na $M_4(3;0)$ at $M_6(3;4)$. Sa puntong $M_4(3;0)$ nakalkula na namin ang halaga ng $z$. Kalkulahin natin ang halaga ng function na $z$ sa mga puntos na $M_5$ at $M_6$. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na sa segment na $M_4M_6$ mayroon tayong $z(x,y)=f_2(y)$, samakatuwid:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(nakahanay)
At, sa wakas, isaalang-alang ang huling hangganan ng $D$, ibig sabihin. linyang $y=x+1$. Nililimitahan ng linyang ito ang rehiyong $D$ sa ilalim ng kondisyong $-1 ≤ x ≤ 3$. Ang pagpapalit ng $y=x+1$ sa function na $z$, magkakaroon tayo ng:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Muli ay mayroon tayong function ng isang variable na $x$. At muli, kailangan mong hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na ito sa segment na $-1 ≤ x ≤ 3$. Hanapin ang derivative ng function na $f_(3)(x)$ at i-equate ito sa zero:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Ang halagang $x=1$ ay kabilang sa pagitan na $-1 ≤ x ≤ 3$. Kung $x=1$, pagkatapos ay $y=x+1=2$. Idagdag natin ang $M_7(1;2)$ sa listahan ng mga puntos at alamin kung ano ang halaga ng function na $z$ sa puntong ito. Ang mga punto sa dulo ng segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, ibig sabihin. ang mga puntos na $M_3(-1;0)$ at $M_6(3;4)$ ay isinaalang-alang nang mas maaga, nahanap na namin ang halaga ng function sa kanila.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Ang ikalawang hakbang ng solusyon ay nakumpleto. Nakakuha kami ng pitong halaga:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Lumiko tayo sa. Ang pagpili ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga mula sa mga bilang na nakuha sa ikatlong talata, magkakaroon tayo ng:
$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$
Ang problema ay nalutas, ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.
Sagot: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.
Halimbawa #2
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function na $z=x^2+y^2-12x+16y$ sa rehiyon na $x^2+y^2 ≤ 25$.
Bumuo muna tayo ng drawing. Ang equation na $x^2+y^2=25$ (ito ang boundary line ng ibinigay na lugar) ay tumutukoy sa isang bilog na may sentro sa pinanggalingan (i.e. sa puntong $(0;0)$) at isang radius ng 5. Ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2 +y^2 ≤ 25$ ay nakakatugon sa lahat ng puntos sa loob at sa nabanggit na bilog.
Aaksyunan namin. Maghanap tayo ng mga partial derivatives at alamin ang mga kritikal na punto.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Walang mga punto kung saan hindi umiiral ang mga nahanap na partial derivatives. Alamin natin kung anong mga punto ang parehong partial derivatives ay magkasabay na katumbas ng zero, i.e. maghanap ng mga nakatigil na puntos.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$
Nakakuha kami nakatigil na punto$(6;-8)$. Gayunpaman, ang nahanap na punto ay hindi kabilang sa rehiyong $D$. Ito ay madaling ipakita nang hindi man lang gumagamit ng pagguhit. Suriin natin kung ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2+y^2 ≤ 25$, na tumutukoy sa aming domain na $D$, ay humahawak. Kung $x=6$, $y=-8$, pagkatapos ay $x^2+y^2=36+64=100$, ibig sabihin. ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2+y^2 ≤ 25$ ay hindi nasiyahan. Konklusyon: ang puntong $(6;-8)$ ay hindi kabilang sa rehiyong $D$.
Kaya, walang mga kritikal na punto sa loob ng $D$. Let's move on, to. Kailangan nating imbestigahan ang pag-uugali ng function sa hangganan ng ibinigay na lugar, i.e. sa bilog na $x^2+y^2=25$. Maaari mong, siyempre, ipahayag ang $y$ sa mga tuntunin ng $x$, at pagkatapos ay palitan ang resultang expression sa aming function na $z$. Mula sa equation ng bilog ay nakukuha natin ang: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Ang pagpapalit, halimbawa, $y=\sqrt(25-x^2)$ sa ibinigay na function, magkakaroon tayo ng:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Ang karagdagang solusyon ay magiging ganap na magkapareho sa pag-aaral ng pag-uugali ng function sa hangganan ng rehiyon sa nakaraang halimbawa No. 1. Gayunpaman, para sa akin ay mas makatwiran sa sitwasyong ito na ilapat ang pamamaraang Lagrange. Kami ay interesado lamang sa unang bahagi ng pamamaraang ito. Pagkatapos ilapat ang unang bahagi ng pamamaraang Lagrange, makakakuha tayo ng mga puntos kung saan at susuriin ang function na $z$ para sa pinakamababa at pinakamataas na halaga.
Binubuo namin ang Lagrange function:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Nahanap namin ang mga partial derivatives ng Lagrange function at binubuo ang kaukulang sistema ng mga equation:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (nakahanay) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aligned) \ kanan. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( nakahanay)\kanan.$$
Upang malutas ang sistemang ito, agad nating ipahiwatig na ang $\lambda\neq -1$. Bakit $\lambda\neq -1$? Subukan nating palitan ang $\lambda=-1$ sa unang equation:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Ang resultang kontradiksyon na $0=6$ ay nagsasabi na ang halagang $\lambda=-1$ ay hindi wasto. Output: $\lambda\neq -1$. Ipahayag natin ang $x$ at $y$ sa mga tuntunin ng $\lambda$:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(nakahanay)
Naniniwala ako na nagiging malinaw dito kung bakit partikular naming itinakda ang kondisyong $\lambda\neq -1$. Ginawa ito upang magkasya ang expression na $1+\lambda$ sa mga denominator nang walang panghihimasok. Iyon ay, upang matiyak na ang denominator ay $1+\lambda\neq 0$.
Ipalit natin ang nakuhang expression para sa $x$ at $y$ sa ikatlong equation ng system, i.e. sa $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Ito ay sumusunod mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay na $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Kaya, mayroon kaming dalawang value ng parameter na $\lambda$, ibig sabihin: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Alinsunod dito, nakakakuha kami ng dalawang pares ng mga halaga $x$ at $y$:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(nakahanay)
Kaya, nakakuha kami ng dalawang puntos ng isang posibleng conditional extremum, i.e. $M_1(3;-4)$ at $M_2(-3;4)$. Hanapin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga puntong $M_1$ at $M_2$:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(nakahanay)
Dapat nating piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga mula sa mga nakuha natin sa una at pangalawang hakbang. Ngunit sa kasong ito, ang pagpipilian ay maliit :) Mayroon kaming:
$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$
Sagot: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.