Ano ang formula ng lugar. Pagkalkula ng mga lugar ng mga figure na nakatali sa mga ibinigay na linya. Hakbang-hakbang na mga tagubilin para sa pagtukoy ng kabuuan

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure?

Ang pag-alam at kakayahang kalkulahin ang mga lugar ng iba't ibang mga figure ay kinakailangan hindi lamang para sa paglutas ng mga simpleng geometric na problema. Hindi mo magagawa nang walang kaalaman na ito kapag gumuhit o sumusuri ng mga pagtatantya para sa pag-aayos ng mga lugar, pagkalkula ng halaga ng mga kinakailangang consumable. Samakatuwid, alamin natin kung paano hanapin ang mga lugar ng iba't ibang mga hugis.

Ang bahagi ng eroplano na nakapaloob sa loob ng saradong tabas ay tinatawag na lugar ng eroplanong ito. Ang lugar ay ipinahayag sa pamamagitan ng bilang ng mga parisukat na yunit na nakapaloob dito.

Upang makalkula ang lugar ng mga pangunahing geometric na hugis, dapat mong gamitin ang tamang formula.

Lugar ng isang tatsulok

Mga pagtatalaga:

Kung ang h, a ay kilala, kung gayon ang lugar ng nais na tatsulok ay tinutukoy bilang produkto ng mga haba ng gilid at ang taas ng tatsulok na ibinaba sa panig na ito, na hinati sa kalahati: S = (a h) / 2
Kung ang a, b, c ay kilala, pagkatapos ay ang nais na lugar ay kinakalkula gamit ang Heron formula: ang square root na kinuha mula sa produkto ng kalahati ng perimeter ng tatsulok at tatlong pagkakaiba ng kalahati ng perimeter at bawat panig ng tatsulok: S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
Kung ang a, b, γ ay kilala, kung gayon ang lugar ng tatsulok ay tinutukoy bilang kalahati ng produkto ng 2 panig, na pinarami ng halaga ng sine ng anggulo sa pagitan ng mga panig na ito: S=(a b sin γ)/2
Kung ang a, b, c, R ay kilala, kung gayon ang kinakailangang lugar ay tinukoy bilang paghahati ng produkto ng mga haba ng lahat ng panig ng tatsulok sa apat na radii ng circumscribed na bilog: S=(a b c)/4R
Kung ang p, r ay kilala, kung gayon ang nais na lugar ng tatsulok ay natutukoy sa pamamagitan ng pagpaparami ng kalahati ng perimeter sa pamamagitan ng radius ng bilog na nakasulat dito: S = p r

parisukat na lugar

Mga pagtatalaga:

Kung ang panig ay kilala, kung gayon ang lugar ng figure na ito ay tinutukoy bilang parisukat ng haba ng gilid nito: S=a 2
Kung d ay kilala, kung gayon ang parisukat na lugar ay tinukoy bilang kalahati ng parisukat ng haba ng dayagonal nito: S=d 2/2

Parihaba na lugar

Mga pagtatalaga:

S - tinutukoy na lugar,
a, b ay ang mga haba ng mga gilid ng parihaba.

Kung ang a, b ay kilala, kung gayon ang lugar ng isang ibinigay na parihaba ay tinutukoy ng produkto ng mga haba ng dalawang panig nito: S=a b
Kung ang mga haba ng mga gilid ay hindi alam, kung gayon ang lugar ng rektanggulo ay dapat nahahati sa mga tatsulok. Sa kasong ito, ang lugar ng isang parihaba ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga lugar ng mga nasasakupang tatsulok nito.

Lugar ng paralelogram

Mga pagtatalaga:

S - nais na lugar,
a, b - haba ng gilid,
h- haba ng taas ibinigay na paralelogram.
d1, d2 - haba ng dalawang dayagonal,
α - ang anggulo sa pagitan ng mga gilid,
Ang γ ay ang anggulo sa pagitan ng mga dayagonal.

Kung ang a, h ay kilala, kung gayon ang nais na lugar ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga haba ng gilid at ang taas na ibinaba sa panig na ito: S = a h
Kung ang a, b, α ay kilala, kung gayon ang lugar ng parallelogram ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga haba ng mga gilid ng parallelogram at ang halaga ng sine ng anggulo sa pagitan ng mga panig na ito: S=a b sin α
Kung ang d 1 , d 2 , γ ay kilala, kung gayon ang lugar ng parallelogram ay tinukoy bilang kalahati ng produkto ng mga haba ng mga diagonal at ang halaga ng sine ng anggulo sa pagitan ng mga diagonal na ito: S=(d 1 d 2 sinγ)/2

Lugar ng rhombus

Mga pagtatalaga:

S - nais na lugar,
a - haba ng gilid,
h - haba ng taas,
Ang α ay ang mas maliit na anggulo sa pagitan ng dalawang panig,
Ang d1, d2 ay ang mga haba ng dalawang dayagonal.

Kung kilala ang a, h, ang lugar ng rhombus ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagpaparami ng haba ng gilid sa haba ng taas na ibinaba sa panig na ito: S = a h
Kung kilala ang a, α, ang lugar ng rhombus ay natutukoy sa pamamagitan ng pagpaparami ng parisukat ng haba ng gilid sa sine ng anggulo sa pagitan ng mga gilid: S=a 2 sin α
Kung kilala ang d 1 at d 2, kung gayon ang nais na lugar ay tinutukoy bilang kalahati ng produkto ng mga haba ng mga diagonal ng rhombus: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Lugar ng trapezium

Mga pagtatalaga:

Kung ang a, b, c, d ay kilala, ang kinakailangang lugar ay tinutukoy ng formula: S= (a+b) /2 *√ .
Sa kilalang a, b, h, ang gustong lugar ay tinutukoy bilang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas ng trapezoid: S=(a+b)/2 h

Lugar ng isang convex quadrilateral

Mga pagtatalaga:

Kung kilala ang d 1 , d 2 , α, kung gayon ang lugar ng isang matambok na may apat na gilid ay tinukoy bilang kalahati ng produkto ng mga diagonal ng quadrilateral na pinarami ng sine ng anggulo sa pagitan ng mga diagonal na ito: S=(d 1 d 2 kasalanan α)/2
Sa kilalang p, r, ang lugar ng isang matambok na quadrilateral ay tinukoy bilang ang produkto ng semiperimeter ng quadrilateral at ang radius ng bilog na nakasulat sa quadrilateral na ito: S=p r
Kung ang a, b, c, d, θ ay kilala, kung gayon ang lugar ng isang matambok na quadrilateral ay tinutukoy bilang square root ng mga produkto ng pagkakaiba ng semiperimeter at ang haba ng bawat panig na binawasan ang produkto ng mga haba ng lahat ng panig at ang parisukat ng cosine ng kalahati ng kabuuan ng dalawang magkasalungat na anggulo: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+β) /2)

Lugar ng isang bilog

Mga pagtatalaga:

Kung kilala ang r, kung gayon ang nais na lugar ay tinutukoy bilang produkto ng numerong π at ang radius squared: S=π r 2

Kung kilala ang d, kung gayon ang lugar ng bilog ay tinutukoy bilang produkto ng bilang na π beses sa parisukat ng diameter, na hinati sa apat: S=(π d 2)/4

Ang lugar ng isang kumplikadong pigura

Ang complex ay maaaring hatiin sa mga simpleng geometric na hugis. Ang lugar ng isang kumplikadong pigura ay tinukoy bilang ang kabuuan o pagkakaiba ng mga bahaging bahagi. Isaalang-alang, halimbawa, ang isang singsing.

pagtatalaga:

S ay ang lugar ng singsing,
Ang R, r ay ang radii ng panlabas na bilog at ang panloob, ayon sa pagkakabanggit,
Ang D, d ay ang mga diameter ng panlabas na bilog at ang panloob, ayon sa pagkakabanggit.

Upang mahanap ang lugar ng singsing, ibawas ang lugar mula sa lugar ng mas malaking bilog. mas maliit na bilog. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Kaya, kung ang R at r ay kilala, kung gayon ang lugar ng singsing ay tinutukoy bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng radii ng panlabas at panloob na mga bilog, na pinarami ng bilang na pi: S=π(R 2 -r 2 ).

Kung kilala ang D at d, kung gayon ang lugar ng singsing ay tinutukoy bilang isang quarter ng pagkakaiba sa mga parisukat ng mga diameter ng panlabas at panloob na mga bilog, na pinarami ng bilang na pi: S \u003d (1/4) (D 2 - d 2) π.

Patch area

Ipagpalagay na sa loob ng isang parisukat (A) ay may isa pang (B) (mas maliit), at kailangan nating makahanap ng isang punong lukab sa pagitan ng mga figure na "A" at "B". Sabihin nating "frame" maliit na parisukat. Para dito:

Hanapin ang lugar ng figure na "A" (kinakalkula ng formula para sa paghahanap ng lugar ng isang parisukat).
Katulad nito, nakita namin ang lugar ng figure na "B".
Ibawas sa lugar na "A" na lugar na "B". At sa gayon nakuha namin ang lugar ng shaded figure.

Ngayon alam mo na kung paano hanapin ang mga lugar ng iba't ibang mga hugis.

Ang kaalaman sa kung paano sukatin ang Earth ay lumitaw noong unang panahon at unti-unting nabuo sa agham ng geometry. Sa Griyego Ang salitang ito ay isinalin bilang "pagsusuri ng lupa".

Ang sukat ng haba ng isang patag na lugar ng Earth sa haba at lapad ay ang lugar. Sa matematika, ito ay karaniwang tinutukoy ng Latin na titik S (mula sa Ingles na "square" - "area", "square") o ang Greek letter σ (sigma). Ang S ay tumutukoy sa lugar ng isang pigura sa isang eroplano o sa ibabaw na lugar ng isang katawan, at ang σ ay ang lugar cross section mga wire sa pisika. Ito ang mga pangunahing simbolo, kahit na maaaring may iba pa, halimbawa, sa larangan ng lakas ng mga materyales, ang A ay ang cross-sectional area ng profile.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Mga formula ng pagkalkula

Alam ang mga lugar ng mga simpleng figure, maaari mong mahanap ang mga parameter ng mas kumplikadong mga.. Ang mga sinaunang mathematician ay nakabuo ng mga pormula kung saan madali silang makalkula. Ang ganitong mga figure ay isang tatsulok, isang may apat na gilid, isang polygon, isang bilog.

Upang mahanap ang lugar ng isang kumplikadong flat figure, ito ay pinaghiwa-hiwalay sa maraming simpleng mga hugis tulad ng mga tatsulok, trapezoid, o mga parihaba. Pagkatapos mga pamamaraan sa matematika Kumuha ng formula para sa lugar ng figure na ito. Ang isang katulad na pamamaraan ay ginagamit hindi lamang sa geometry, kundi pati na rin sa pagsusuri sa matematika upang kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na nililimitahan ng mga kurba.

Tatsulok

Magsimula tayo sa pinakasimpleng hugis - isang tatsulok. Ang mga ito ay hugis-parihaba, isosceles at equilateral. Kunin natin ang anuman tatsulok ABC na may mga gilid AB=a, BC=b at AC=c (∆ ABC). Upang mahanap ang lugar nito, naaalala natin ang kilalang-kilala kurso sa paaralan matematika theorems ng sines at cosines. Ang pagpapaalam sa lahat ng mga kalkulasyon, dumating kami sa mga sumusunod na formula:

S=√ - Alam ng lahat ang formula ng Heron, kung saan ang p=(a+b+c)/2 - kalahating perimeter ng isang tatsulok;
S=a h/2, kung saan ang h ay ang taas na ibinababa sa gilid a;
S=a b (sin γ)/2, kung saan ang γ ay ang anggulo sa pagitan ng panig a at b;
S=a b/2 kung ang ∆ ABC ay hugis-parihaba (dito ang a at b ay mga binti);
S=b² (sin (2 β))/2 kung ang ∆ ABC ay isosceles (dito ang b ay isa sa mga “hips”, β ay ang anggulo sa pagitan ng “hips” ng triangle);
S=a² √¾ kung ang ∆ ABC ay equilateral (narito ang a ay ang gilid ng tatsulok).

Quadrilateral

Hayaang magkaroon ng quadrilateral ABCD na may AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Upang mahanap ang lugar S ng isang arbitrary na 4-gon, kinakailangan na hatiin ito sa pamamagitan ng isang dayagonal sa dalawang tatsulok na ang mga lugar na S1 at S2 ay karaniwang hindi pantay.

Pagkatapos, gamit ang mga formula, kalkulahin ang mga ito at idagdag ang mga ito, ibig sabihin, S=S1+S2. Gayunpaman, kung ang quad ay kabilang sa isang tiyak na klase, kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan gamit ang mga dating kilalang formula:

S=(a+c) h/2=e h, kung ang quad ay isang trapezoid (dito ang a at c ay mga base, e ay gitnang linya trapezoid, h - ang taas na ibinaba sa isa sa mga base ng trapezoid;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, kung ang ABCD ay isang paralelogram (narito ang φ ay ang anggulo sa pagitan ng mga gilid a at b, h ay ang taas na ibinababa sa gilid a, d1 at d2 ay mga dayagonal);
S=a b=d²/2 kung ang ABCD ay isang parihaba (d ay isang dayagonal);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 kung ang ABCD ay isang rhombus (a ang gilid ng rhombus, φ ang isa sa mga sulok nito, ang P ay ang perimeter);
S=a²=P²/16=d²/2 kung ang ABCD ay isang parisukat.

Polygon

Upang mahanap ang lugar ng isang n-gon, hinahati ito ng mga mathematician sa pinakasimple nito pantay na mga numero-triangles, hanapin ang lugar ng bawat isa sa kanila at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Ngunit kung ang polygon ay kabilang sa klase ng mga regular, kung gayon ang formula ay ginagamit:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, kung saan ang n ay ang bilang ng mga vertices (o mga gilid) ng polygon, ang a ay ang gilid ng n-gon, ang P ay ang perimeter nito, ang h ay ang apothem , ibig sabihin, ang segment na iginuhit mula sa gitna ng polygon hanggang sa isa sa mga gilid nito sa isang anggulo na 90°.

Isang bilog

Ang bilog ay isang perpektong polygon na may walang katapusang bilang ng mga gilid.. Kailangan nating kalkulahin ang limitasyon ng expression sa kanan sa polygon area formula na may bilang ng mga gilid n na umaabot sa infinity. Sa kasong ito, ang perimeter ng polygon ay magiging haba ng bilog na radius R, na magiging hangganan ng ating bilog, at magiging katumbas ng P=2 π R. Ipalit ang expression na ito sa formula sa itaas. Makakakuha tayo ng:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Hanapin natin ang limitasyon ng expression na ito bilang n→∞. Upang gawin ito, isinasaalang-alang namin na ang lim (cos (180°/n)) para sa n→∞ ay katumbas ng cos 0°=1 (lim ang tanda ng limitasyon), at ang lim = lim para sa n→∞ ay katumbas ng 1/π (namin isinalin sukat ng antas sa radian gamit ang kaugnayan π rad=180°, at inilapat ang unang kahanga-hangang limitasyon lim (sin x)/x=1 sa x→∞). Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa huling expression para sa S, nakarating kami sa kilalang formula:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Mga yunit

Inilapat ang system at non-system units of measurement. Ang mga unit ng system ay tinutukoy bilang SI (System International). Ito ay isang square meter (square meter, m²) at mga yunit na hinango mula dito: mm², cm², km².

Sa square millimeters (mm²), halimbawa, sinusukat nila ang cross-sectional area ng mga wire sa electrical engineering, sa square centimeters (cm²) - ang cross section ng isang beam sa structural mechanics, sa square meters (m²). ) - isang apartment o bahay, sa square kilometers (km²) - isang teritoryo sa heograpiya .

Gayunpaman, minsan ginagamit ang mga non-systemic na unit ng pagsukat, gaya ng: paghabi, ar (a), ektarya (ha) at acre (ac). Ibinibigay namin ang mga sumusunod na ratios:

1 habi \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0.01 ha;
1 ha = 100 a = 100 ektarya = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 bilang;
1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 acres = 0.405 ha.

Geometric na lugar- isang numerical na katangian ng isang geometric na figure na nagpapakita ng laki ng figure na ito (bahagi ng ibabaw na bounded ng isang closed contour ng figure na ito). Ang laki ng lugar ay ipinahayag ng bilang ng mga parisukat na yunit na nakapaloob dito.

Mga formula ng lugar ng tatsulok

Triangle area formula para sa gilid at taas
Lugar ng isang tatsulok katumbas ng kalahati ng produkto ng haba ng isang gilid ng isang tatsulok at ang haba ng altitude na iginuhit sa panig na ito
Ang formula para sa lugar ng isang tatsulok na ibinigay ng tatlong panig at ang radius ng circumscribed na bilog
Ang formula para sa lugar ng isang tatsulok na ibinigay ng tatlong panig at ang radius ng isang nakasulat na bilog
Lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng kalahating perimeter ng tatsulok at ang radius ng inscribed na bilog.

Mga formula ng square area

Ang formula para sa lugar ng isang parisukat na ibinigay ang haba ng isang gilid
parisukat na lugar ay katumbas ng parisukat ng haba ng gilid nito.
Ang formula para sa lugar ng isang parisukat na ibinigay ang haba ng dayagonal
parisukat na lugar katumbas ng kalahati ng parisukat ng haba ng dayagonal nito.
S= 1 2
2

Rectangle area formula

Parihaba na lugar

Mga formula para sa lugar ng isang paralelogram

Parallelogram area formula para sa haba at taas ng gilid
Lugar ng paralelogram
Ang formula para sa lugar ng isang paralelogram na ibinigay ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila
Lugar ng paralelogram ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga panig nito na pinarami ng sine ng anggulo sa pagitan nila.
a b sinα

Mga formula para sa lugar ng isang rhombus

Rhombus area formula na binibigyan ng haba at taas ng gilid
Lugar ng rhombus ay katumbas ng produkto ng haba ng gilid nito at ang haba ng taas na ibinaba sa panig na ito.
Ang formula para sa lugar ng isang rhombus na ibinigay ang haba ng gilid at anggulo
Lugar ng rhombus ay katumbas ng produkto ng parisukat ng haba ng gilid nito at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga gilid ng rhombus.
Ang formula para sa lugar ng isang rhombus mula sa mga haba ng mga diagonal nito
Lugar ng rhombus ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga haba ng mga dayagonal nito.

Mga formula ng trapezium area

Ang formula ng Heron para sa isang trapezoid
Kung saan ang S ay ang lugar ng trapezoid,
- ang haba ng mga base ng trapezoid,
- ang haba ng mga gilid ng trapezoid,

Pormula ng lugar ay kinakailangan upang matukoy ang lugar ng isang figure, na isang real-valued function na tinukoy sa isang tiyak na klase ng mga figure sa Euclidean plane at nagbibigay-kasiyahan sa 4 na kondisyon:

Positibo - Ang lugar ay hindi maaaring mas mababa sa zero;
Normalization - isang parisukat na may gilid ng pagkakaisa ay may sukat na 1;
Congruence - ang mga congruent figure ay may pantay na lawak;
Additivity - ang lugar ng unyon ng 2 figure na walang karaniwang panloob na mga puntos ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga figure na ito.

Mga formula para sa lugar ng mga geometric na hugis.

Geometric na pigura	Formula	Pagguhit
Ang resulta ng pagdaragdag ng mga distansya sa pagitan ng mga midpoint ng magkasalungat na gilid ng isang matambok na quadrilateral ay magiging katumbas ng semiperimeter nito.
Sektor ng bilog. Ang lugar ng isang sektor ng isang bilog ay katumbas ng produkto ng arko nito at kalahati ng radius.
segment ng bilog. Upang makuha ang lugar ng segment na ASB, sapat na upang ibawas ang lugar ng tatsulok na AOB mula sa lugar ng sektor AOB.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Ang lugar ng isang ellipse ay katumbas ng produkto ng mga haba ng major at minor semiax ng ellipse times pi.
Ellipse. Ang isa pang pagpipilian kung paano kalkulahin ang lugar ng isang ellipse ay sa pamamagitan ng dalawang radii nito.
Tatsulok. Sa pamamagitan ng base at taas. Ang formula para sa lugar ng isang bilog sa mga tuntunin ng radius at diameter nito.
Square . Sa pamamagitan ng kanyang tagiliran. Ang lugar ng isang parisukat ay katumbas ng parisukat ng haba ng gilid nito.
parisukat. Sa pamamagitan ng dayagonal nito. Ang lugar ng isang parisukat ay kalahati ng parisukat ng haba ng dayagonal nito.
regular na polygon. Upang matukoy ang lugar ng isang regular na polygon, kinakailangan na hatiin ito sa pantay na mga tatsulok na magkakaroon ng isang karaniwang vertex sa gitna ng nakasulat na bilog.	S= r p = 1/2 r n a