Ang isang ibabaw ay tinukoy bilang isang hanay ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa isang tiyak na uri ng equation:
F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))Kung ang function F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) ay tuluy-tuloy sa ilang mga punto at may tuluy-tuloy na mga partial derivatives dito, hindi bababa sa isa sa mga ito ay hindi naglalaho, pagkatapos sa paligid ng puntong ito ang ibabaw na ibinigay ng equation (1) ay magiging tamang ibabaw.
Bilang karagdagan sa itaas implicit na paraan ng pagtatakda, maaaring tukuyin ang ibabaw malinaw, kung ang isa sa mga variable, halimbawa, z, ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba:
z = f (x , y) (1′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))Mas mahigpit, patag na ibabaw ay ang imahe ng isang homeomorphic mapping (iyon ay, isang one-to-one at mutually continuous mapping) ng interior ng unit square. Ang depinisyon na ito ay maaaring bigyan ng analytical expression.
Hayaang maibigay ang isang parisukat sa isang eroplano na may isang parihabang sistema ng coordinate u at v , ang mga coordinate ng mga panloob na punto na kung saan ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").
Isang halimbawa simpleng ibabaw ay isang hemisphere. Ang buong lugar ay hindi patag na ibabaw. Nangangailangan ito ng karagdagang paglalahat ng konsepto ng isang ibabaw.
Isang subset ng espasyo kung saan ang bawat punto ay may kapitbahayan na patag na ibabaw, ay tinatawag na tamang ibabaw .
Ibabaw sa differential geometry
Helicoid
catenoid
Ang sukatan ay hindi natatanging tinutukoy ang hugis ng ibabaw. Halimbawa, ang mga sukatan ng isang helicoid at isang catenoid , na na-parameter sa isang naaangkop na paraan, ay nag-tutugma, iyon ay, mayroong isang sulat sa pagitan ng kanilang mga rehiyon na nagpapanatili ng lahat ng haba (isometry). Ang mga ari-arian na napanatili sa ilalim ng mga pagbabagong isometric ay tinatawag panloob na geometry ibabaw. Ang panloob na geometry ay hindi nakasalalay sa posisyon ng ibabaw sa espasyo at hindi nagbabago kapag ito ay nakatungo nang walang pag-igting at compression (halimbawa, kapag ang isang silindro ay nakatungo sa isang kono).
Mga sukatan na koepisyent E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) matukoy hindi lamang ang mga haba ng lahat ng mga kurba, ngunit sa pangkalahatan ang mga resulta ng lahat ng mga sukat sa loob ng ibabaw (anggulo, lugar, kurbada, atbp.). Samakatuwid, ang lahat na nakasalalay lamang sa sukatan ay tumutukoy sa panloob na geometry.
Normal at normal na seksyon
Mga normal na vector sa mga surface point
Ang isa sa mga pangunahing katangian ng isang ibabaw ay ang normal- unit vector patayo sa tangent plane sa isang naibigay na punto:
m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u))) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).Ang tanda ng normal ay depende sa pagpili ng mga coordinate.
Ang seksyon ng ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplanong naglalaman ng normal ng ibabaw sa isang naibigay na punto ay bumubuo ng isang tiyak na kurba, na tinatawag na normal na seksyon ibabaw. Ang pangunahing normal para sa isang normal na seksyon ay tumutugma sa normal sa ibabaw (hanggang sa isang palatandaan).
Kung ang kurba sa ibabaw ay hindi isang normal na seksyon, ang pangunahing normal nito ay bumubuo ng isang anggulo na may normal na ibabaw θ (\displaystyle \theta ). Tapos yung curvature k (\displaystyle k) ang kurba ay may kaugnayan sa kurbada k n (\displaystyle k_(n)) normal na seksyon (na may parehong tangent) Meunier's formula:
k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )Normal na vector coordinates para sa iba't ibang paraan Ang mga takdang-aralin sa ibabaw ay ibinibigay sa talahanayan:
| Mga normal na coordinate sa isang surface point | |
|---|---|
| implicit assignment | (∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(((() \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\kanan) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\kanan)^(2))))) |
| tahasang pagtatalaga | (− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ bahagyang x))\kanan)^(2)+\kaliwa((\frac (\partial f)(\partial y))\kanan)^(2)+1)))) |
| parametric na gawain | (D (y , z) D (u , v); D (z , x) D (u , v); D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\kanan))(\sqrt (\kaliwa((\frac (D(y,z)))(D(u,v)))\kanan)^(2 )+\kaliwa((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\kanan)^(2)+\kaliwa((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\kanan)^(2))))) |
Dito D (y , z) D (u , v) = | y u y v z u z v | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).
Ang lahat ng mga derivatives ay kinuha sa punto (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).
Curvature
Para sa iba't ibang direksyon sa isang naibigay na punto sa ibabaw, ang ibang curvature ng normal na seksyon ay nakuha, na tinatawag na normal na kurbada; ito ay nakatalaga ng plus sign kung ang pangunahing normal ng curve ay napupunta sa parehong direksyon tulad ng normal sa ibabaw, o isang minus sign kung ang mga direksyon ng mga normal ay kabaligtaran.
Sa pangkalahatan, sa bawat punto sa ibabaw mayroong dalawang patayong direksyon e 1 (\displaystyle e_(1)) at e 2 (\displaystyle e_(2)), kung saan ang normal na curvature ay tumatagal ng pinakamababa at pinakamataas na halaga; ang mga direksyong ito ay tinatawag pangunahing. Ang isang pagbubukod ay ang kaso kapag ang normal na curvature ay pareho sa lahat ng direksyon (halimbawa, malapit sa isang globo o sa dulo ng isang ellipsoid ng rebolusyon), at ang lahat ng mga direksyon sa isang punto ay punong-guro.
Mga ibabaw na may negatibong (kaliwa), zero (gitna), at positibo (kanan) na curvature.
Ang mga normal na curvature sa mga pangunahing direksyon ay tinatawag pangunahing mga kurbada; tukuyin natin sila κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) at κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Sukat:
K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))I-download mula sa Depositfiles
4. TEORYA NG MGA SURFACES.
4.1 EQUATIONS NG MGA SURFACES.
Ang isang ibabaw sa 3D space ay maaaring tukuyin:
1) nang tahasan: F ( x , y , z ) =0 (4.1)
2) tahasang: z = f ( x , y ) (4.2)
3) parametric: (4.3)
o: 
(4.3’)
nasaan ang mga scalar arguments 
minsan tinatawag na curvilinear coordinates. Halimbawa, isang globo 
ito ay maginhawa upang itakda sa spherical coordinate: 
.
4.2 TANGENT NA EROPLO AT NORMAL SA SURFACE.
Kung ang linya ay nasa ibabaw (4.1), kung gayon ang mga coordinate ng mga punto nito ay nakakatugon sa surface equation:
Ang pagkakaiba sa pagkakakilanlan na ito, nakukuha natin:
(4.4)
o 
(4.4
’
)
sa bawat punto sa kurba sa ibabaw. Kaya, ang gradient vector sa mga di-iisang punto ng ibabaw (kung saan ang function (4.5) ay naiba at 
) ay patayo sa mga tangent na vector sa anumang linya sa ibabaw, ibig sabihin ay maaaring gamitin bilang isang normal na vector upang bumalangkas ng equation ng tangent plane sa punto M 0
(x
0
,
y
0
,
z
0
) ibabaw
(4.6)
at bilang vector ng direksyon sa normal na equation:
(4.7)
Sa kaso ng isang tahasang (4.2) pagtatalaga ng ibabaw, ang mga equation ng tangent plane at ang normal, ayon sa pagkakabanggit, ay nasa anyo:
(4.8)
at 
(4.9)
Sa parametric na representasyon ng ibabaw (4.3), ang mga vectors 
nakahiga sa tangent plane at ang equation ng tangent plane ay maaaring isulat bilang:
(4.10)
at ang kanilang produkto ng vector ay maaaring kunin bilang nagdidirekta ng normal na vector:
at ang normal na equation ay maaaring isulat bilang:
(4.11)
saan 
- mga halaga ng parameter na tumutugma sa punto M 0
.
Sa mga sumusunod, kinukulong namin ang aming sarili sa pagsasaalang-alang lamang sa mga punto ng ibabaw kung saan ang mga vectors
ay hindi katumbas ng zero at hindi parallel.
Halimbawa 4.1 Buuin ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa puntong M 0
(1,1,2) sa ibabaw ng paraboloid ng rebolusyon 
.
Solusyon: Dahil ang paraboloid equation ay tahasang ibinigay, ayon sa (4.8) at (4.9) kailangan nating hanapin 
sa puntong M 0
:
, at sa puntong M 0 
. Pagkatapos ay ang equation ng tangent plane sa puntong M 0 ay kukuha ng form:
2(x
-1)+2(y
-1)-(z-2)=0 o 2 x
+2
y
-z - 2=0, at ang normal na equation 
.
Halimbawa 4.2 Buuin ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa isang arbitrary point sa helicoid 
, .
Desisyon. dito,
Tangent plane equation:
o
Normal na equation:
.
4.3 ANG UNANG QUADRATIC NA ANYO NG SURFACE.
Kung ang ibabaw ay ibinigay ng equation
tapos yung curve 
sa ito ay maaaring ibigay ng equation 
(4.12)
Radius vector kaugalian 
kasama ang curve na tumutugma sa displacement mula sa punto M 0
sa isang malapit na punto M, ay katumbas ng
(4.13)
Bilang 
ay ang differential ng curve arc na tumutugma sa parehong displacement), pagkatapos
(4.14)
saan .
Ang ekspresyon sa kanang bahagi ng (4.14) ay tinatawag na unang parisukat na anyo ng ibabaw at gumaganap ng malaking papel sa teorya ng mga ibabaw.
Pagsasama ng kaugaliands mula sa t 0 (tumutugma sa punto M 0) hanggang t (tumutugma sa point M), nakuha namin ang haba ng kaukulang segment ng curve
(4.15)
Alam ang unang parisukat na anyo ng ibabaw, mahahanap ng isa hindi lamang ang mga haba, kundi pati na rin ang mga anggulo sa pagitan ng mga kurba.
Kung ang du
,
dv
ay ang mga pagkakaiba ng curvilinear coordinates na tumutugma sa isang infinitesimal na displacement sa isang curve, at 
— sa kabilang banda, kung gayon, isinasaalang-alang ang (4.13):
(4.16)
Gamit ang formula
(4.17)
ginagawang posible ng unang quadratic form na kalkulahin ang lugar ng isang rehiyon 
ibabaw.
Halimbawa 4.3 Sa isang helicoid, hanapin ang haba ng helix 
sa pagitan ng dalawang puntos.
Desisyon. Dahil sa isang helix 
, pagkatapos . Maghanap sa isang punto 
ang unang parisukat na anyo. Pagtukoy atv
=
t
,
makuha namin ang equation ng helix na ito sa anyo. Quadratic na hugis:
= - ang unang parisukat na anyo.
Dito . Sa formula (4.15) sa kasong ito 
at haba ng arko:
=
4.4 IKALAWANG KUADRATIC ANYO NG SURFACE.
Magpakilala 
- unit normal na vector sa ibabaw 
:
(4.18)
.
(4.23)
Ang isang linya sa ibabaw ay tinatawag na linya ng kurbada kung ang direksyon nito sa bawat punto ay ang pangunahing direksyon.
4.6 ANG KONSEPTO NG GEODETIC LINES SA SURFACE.
Kahulugan 4.1 . Ang isang kurba sa ibabaw ay tinatawag na geodesic kung ang pangunahing normal nito ay 
sa bawat punto kung saan ang curvature ay nonzero, coincides sa normal 
sa ibabaw.
Sa bawat punto ng ibabaw sa anumang direksyon ay dumadaan, at isang geodesic lamang. Sa isang globo, halimbawa, ang mga mahusay na bilog ay geodesics.
Ang parametrization ng isang surface ay tinatawag na semi-geodesic kung ang isang pamilya ng coordinate lines ay binubuo ng geodesics at ang isa ay orthogonal dito. Halimbawa, sa sphere meridian (geodesics) at parallels.
Ang geodesic sa isang sapat na maliit na segment ay ang pinakamaikli sa lahat ng mga curve na malapit dito na nagdudugtong sa parehong mga punto.
Hayaan tayong magkaroon ng isang ibabaw na ibinigay ng isang equation ng form
Ipinakilala namin ang sumusunod na kahulugan.
Kahulugan 1. Ang isang tuwid na linya ay tinatawag na isang padaplis sa ibabaw sa isang punto kung ito ay
padaplis sa ilang kurba na nakahiga sa ibabaw at dumadaan sa punto.
Dahil ang isang walang katapusang bilang ng iba't ibang mga kurba na nakahiga sa ibabaw ay dumadaan sa puntong P, magkakaroon, sa pangkalahatan, ang isang walang katapusang hanay ng mga tangent sa ibabaw na dumadaan sa puntong ito.
Ipakilala natin ang konsepto ng isahan at ordinaryong mga punto ng isang ibabaw
Kung sa isang punto ang lahat ng tatlong derivatives ay katumbas ng zero o hindi bababa sa isa sa mga derivatives na ito ay wala, kung gayon ang puntong M ay tinatawag na isang singular na punto ng ibabaw. Kung sa isang punto ang lahat ng tatlong derivatives ay umiiral at tuluy-tuloy, at hindi bababa sa isa sa mga ito ay naiiba mula sa zero, kung gayon ang puntong M ay tinatawag na isang ordinaryong punto ng ibabaw.
Ngayon ay maaari nating bumalangkas ang sumusunod na teorama.
Teorama. Ang lahat ng mga tangent na linya sa isang ibinigay na ibabaw (1) sa ordinaryong puntong P ay nasa parehong eroplano.
Patunay. Isaalang-alang natin ang ilang linyang L sa ibabaw (Larawan 206) na dumadaan ibinigay na punto R ibabaw. Hayaang ibigay ang curve na isinasaalang-alang ng mga parametric equation
Ang padaplis sa kurba ay magiging padaplis sa ibabaw. Ang mga equation ng tangent na ito ay may anyo
Kung ang mga expression (2) ay pinapalitan sa equation (1), ang equation na ito ay magiging isang pagkakakilanlan na may paggalang sa t, dahil ang curve (2) ay nasa ibabaw (1). Differentiating ito na may paggalang sa makuha namin
Ang mga projection ng vector na ito ay nakasalalay sa - ang mga coordinate ng point Р; tandaan na dahil ang punto P ay karaniwan, ang mga pagpapakitang ito sa puntong P ay hindi naglalaho sa parehong oras, at samakatuwid
padaplis sa kurba na dumadaan sa puntong P at nakahiga sa ibabaw. Ang mga projection ng vector na ito ay kinakalkula batay sa mga equation (2) na may halaga ng parameter na t, punto R.
Compute produktong scalar vectors N at kung saan ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga projection ng parehong pangalan:
Batay sa pagkakapantay-pantay (3), ang expression sa kanang bahagi ay katumbas ng zero, samakatuwid,
Ito ay sumusunod mula sa huling pagkakapantay-pantay na ang LG vector at ang tangent vector sa curve (2) sa puntong P ay patayo. Ang pangangatwiran sa itaas ay wasto para sa anumang kurba (2) na dumadaan sa puntong P at nakahiga sa ibabaw. Dahil dito, ang bawat tangent sa ibabaw sa puntong P ay patayo sa parehong vector N, at samakatuwid ang lahat ng mga tangent na ito ay namamalagi sa parehong eroplano na patayo sa vector LG. Ang teorama ay napatunayan.
Depinisyon 2. Ang eroplano kung saan ang lahat ng mga tangent na linya ay matatagpuan sa mga linya sa ibabaw na dumadaan sa ibinigay nitong punto P ay tinatawag na tangent plane sa ibabaw sa puntong P (Fig. 207).
Tandaan na ang tangent na eroplano ay maaaring wala sa mga isahan na punto ng ibabaw. Sa ganitong mga punto, ang mga padaplis na linya sa ibabaw ay maaaring hindi nasa parehong eroplano. Kaya, halimbawa, ang vertex ng isang conical surface ay isang singular na punto.
Ang mga tangent sa conical surface sa puntong ito ay hindi nakahiga sa parehong eroplano (sila mismo ay bumubuo ng conical surface).
Isulat natin ang equation ng tangent plane sa ibabaw (1) sa isang ordinaryong punto. Dahil ang eroplanong ito ay patayo sa vector (4), kung gayon, ang equation nito ay may anyo
Kung ang surface equation ay ibinigay sa anyo o ang tangent plane equation sa kasong ito ay kinuha ang form
Magkomento. Kung sa formula (6) itinakda namin , ang formula na ito ay kukuha ng form
ang kanang bahagi nito ay ang kabuuang pagkakaiba ng function. Kaya naman, . Kaya, ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable sa punto na tumutugma sa mga pagtaas ng mga independiyenteng variable na x at y ay katumbas ng katumbas na pagtaas ng applicate ng tangent plane sa ibabaw, na siyang graph ng function na ito.
Depinisyon 3. Ang isang tuwid na linya na iginuhit sa isang punto ng ibabaw (1) patayo sa tangent na eroplano ay tinatawag na normal sa ibabaw (Larawan 207).
Isulat natin ang mga normal na equation. Dahil ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng vector N, ang mga equation nito ay magkakaroon ng anyo
1°1°. Mga equation ng tangent plane at ang normal para sa kaso ng isang tahasang detalye ng ibabaw.
Isaalang-alang ang isa sa mga geometric na aplikasyon ng mga partial derivatives ng isang function ng dalawang variable. Hayaan ang function z = f(x;y) naiba sa isang punto (x0; sa 0) ilang lugar DÎ R2. Gupitin natin ang ibabaw S , naglalarawan ng function z, mga eroplano x = x 0 at y = y 0(Larawan 11).
Eroplano X = x0 tumatawid sa ibabaw S kasama ang ilang linya z 0 (y ), na ang equation ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa pagpapahayag ng orihinal na function z==f(x;y) sa halip na X numero x 0 . Dot M 0 (x 0 ;y0,f(x 0 ;y 0)) nabibilang sa kurba z 0 (y ). Dahil sa differentiable function z sa punto M 0 function z 0 (y) ay din differentiable sa punto y = y 0 . Samakatuwid, sa puntong ito sa eroplano x = x 0 sa kurba z 0 (y) maaring iguhit ang padaplis l 1 .
Pagsasagawa ng katulad na pangangatwiran para sa seksyon sa = y 0 , bumuo ng isang padaplis l 2 sa kurba z 0 (x) sa punto X = x 0 - Direkta 1 1 at 1 2 tukuyin ang tinatawag na eroplano padaplis na eroplano sa ibabaw S sa punto M 0 .
Gumawa tayo ng equation para dito. Dahil ang eroplano ay dumaan sa punto Mo(x 0 ;y0;z0), kung gayon ang equation nito ay maaaring isulat bilang
A (x - ho) + B (y - yo) + C (z - zo) \u003d 0,
na maaaring muling isulat tulad nito:
z -z 0 \u003d A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)
(paghahati sa equation sa pamamagitan ng -C at denoting 
).
Hanapin natin A 1 at B1.
Tangent Equation 1 1 at 1 2 kamukha
ayon sa pagkakabanggit.
Padaplis l 1 nakahiga sa eroplano a , kaya ang mga coordinate ng lahat ng mga punto l 1 satisfy equation (1). Ang katotohanang ito ay maaaring isulat bilang isang sistema
Ang paglutas sa sistemang ito na may paggalang sa B 1, nakuha natin iyon. Nagsasagawa ng katulad na pangangatwiran para sa tangent l 3, madaling itatag iyon.
Pagpapalit ng mga halaga A 1 at B 1 sa equation (1), makuha natin ang nais na equation ng tangent plane:
Isang linyang dumadaan sa isang punto M 0 at patayo sa tangent plane na itinayo sa puntong ito sa ibabaw ay tinatawag na nito normal.
Gamit ang kondisyon ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano, madaling makuha ang mga canonical equation ng normal:
Magkomento. Ang mga formula para sa tangent plane at ang normal sa ibabaw ay nakuha para sa ordinaryo, ibig sabihin, hindi isahan, mga punto sa ibabaw. Dot M 0 ibabaw ay tinatawag espesyal, kung sa puntong ito lahat ng partial derivatives ay katumbas ng zero o kahit isa sa mga ito ay wala. Hindi namin isinasaalang-alang ang mga ganoong punto.
Halimbawa. Isulat ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa ibabaw sa punto nito M(2; -1; 1).
Desisyon. Hanapin ang mga bahagyang derivatives ng function na ito at ang kanilang mga halaga sa punto M
Samakatuwid, ang paglalapat ng mga formula (2) at (3), magkakaroon tayo ng: z-1=2(x-2)+2(y+1) o 2x+2y-z-1=0- tangent plane equation at 
ay ang mga normal na equation.
2°. Tangent plane at normal na equation para sa kaso ng implicit surface specification.
Kung ang ibabaw S ibinigay ng equation F(x; y;z)= 0, pagkatapos ay ang mga equation (2) at (3), na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga partial derivatives ay matatagpuan bilang mga derivatives ng isang implicit function.
Kahulugan. Ang isang puntong nakahiga sa pangalawang-order na ibabaw na ibinigay ng pangkalahatang equation (1) na may paggalang sa ODSC ay tinatawag na di-isahan kung kabilang sa tatlong numero: mayroong hindi bababa sa isa na hindi katumbas ng zero.
Kaya, ang isang punto na nakahiga sa isang pangalawang-order na ibabaw ay hindi isahan kung at kung ito lamang ang sentro nito, kung hindi, kapag ang ibabaw ay korteng kono, at ang punto ay ang vertex ng ibabaw na ito.
Kahulugan. Ang padaplis sa isang second-order na ibabaw sa isang partikular na di-isahan na punto dito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito, na nagsasalubong sa pangalawang-order na ibabaw sa isang double point, o pagiging isang rectilinear generatrix ng surface.
Teorama 3. Ang mga tangent na linya sa isang second-order na ibabaw sa isang partikular na hindi-isahan na punto dito ay nasa parehong eroplano, na tinatawag na tangent na eroplano sa ibabaw sa puntong isinasaalang-alang. Ang tangent plane equation ay may
Patunay. Hayaang ang , , ay mga parametric equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang di-isahan na punto ng pangalawang-order na ibabaw na ibinigay ng equation (1). Ang pagpapalit sa equation (1) , , sa halip na , , , makuha natin ang:
Dahil ang punto ay nasa ibabaw (1), makikita rin natin mula sa equation (3) (ang halagang ito ay tumutugma sa punto ). Upang ang punto ng intersection ng linya sa ibabaw (1) ay maging doble, o para ang linya ay ganap na nakahiga sa ibabaw, ito ay kinakailangan at sapat na ang pagkakapantay-pantay ay masiyahan:
Kung sa parehong oras:
Pagkatapos ang punto ng intersection ng tuwid na linya sa ibabaw (1) ay doble. At kung:
Pagkatapos ang linya ay namamalagi nang buo sa ibabaw (1).
Mula sa mga relasyon (4) at , , sumusunod na ang mga coordinate , , ng anumang puntong nakahiga sa anumang padaplis sa ibabaw (1) ay nakakatugon sa equation:
Sa kabaligtaran, kung ang mga coordinate ng ilang mga punto maliban sa matugunan ang equation na ito, kung gayon ang mga coordinate , , ng vector ay nakakatugon sa kaugnayan (4), na nangangahulugan na ang linya ay padaplis sa ibabaw na isinasaalang-alang.
Dahil ang punto ay isang di-iisang punto ng ibabaw (1), kung gayon sa mga numero , , mayroong kahit isa na hindi katumbas ng zero; kaya ang equation (5) ay isang equation ng unang degree na may kinalaman sa . Ito ang equation ng plane tangent sa ibabaw (1) sa isang nonsingular point na ibinigay dito.
Batay canonical equation ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod, madaling bumuo ng mga equation ng tangent plane sa isang ellipsoid, hyperboloid, atbp. sa isang naibigay na punto sa kanila.
isa). Tangent plane sa ellipsoid:
2). Tangent plane sa isa at dalawang-sheet na hyperboloids:
3). Tangent plane sa elliptic at hyperbolic paraboloids:
§ 161. Intersection ng isang tangent plane na may ibabaw ng pangalawang order.
Kinukuha namin ang isang hindi-iisang punto ng second-order surface bilang pinagmulan ng mga coordinate ng ODSC, ang axis, at inilalagay ito sa plane tangent sa surface sa punto . Pagkatapos sa pangkalahatang equation ng ibabaw (1) ang libreng termino sero: , at ang equation ng eroplanong dumampi sa ibabaw sa pinanggalingan ay dapat magmukhang: .
Ngunit ang equation ng eroplanong dumadaan sa pinanggalingan ay may anyo: .
At, dahil ang equation na ito ay dapat na katumbas ng equation , kung gayon , , .
Kaya, sa napiling coordinate system, ang surface equation (1) ay dapat magmukhang:
Sa kabaligtaran, kung , kung gayon ang equation (6) ay ang equation ng ibabaw na dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate , at ang eroplano ay ang tangent plane sa ibabaw na ito sa punto . Ang equation ng linya kung saan ang tangent plane sa ibabaw sa isang punto ay nag-intersect sa surface (6) ay may anyo:
Kung ang . Ito ay isang invariant sa invariant na teorya para sa mga second-order na linya. Equation (7)
Ito ang pangalawang linya. Sa pamamagitan ng anyo ng linyang ito, ang invariant ay , samakatuwid:
Para sa , narito ang dalawang imaginary intersecting lines.
Kailan - dalawang totoong intersecting na linya.
Kung ang , ngunit hindi bababa sa isa sa mga coefficient , , ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang linya ng intersection (7) ay dalawang magkatugmang linya.
Sa wakas, kung , pagkatapos ay ang eroplano
ay bahagi ng ibinigay na ibabaw, at ang ibabaw mismo ay nahahati, samakatuwid, sa isang pares ng mga eroplano
§ 162. Elliptic, hyperbolic o parabolic na mga punto ng ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod.
1. Hayaang ang padaplis na eroplano sa ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa isang punto ay magsalubong dito kasama ang dalawang haka-haka na nagsasalubong na mga tuwid na linya. Sa kasong ito, ang punto ay tinatawag na isang elliptical point ng ibabaw.
2. Hayaang magsalubong ang tangent plane sa ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa isang punto sa kahabaan ng dalawang tunay na linya na nagsa-intersect sa punto ng contact. Sa kasong ito, ang punto ay tinatawag na hyperbolic point ng ibabaw.
3. Hayaang ang padaplis na eroplano sa ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa isang punto ay magsalubong dito kasama ang dalawang magkatugmang tuwid na linya. Sa kasong ito, ang punto ay tinatawag na parabolic point ng ibabaw.
Teorama 4. Hayaang ang second-order surface na may paggalang sa ODSC ay ibigay ng equation (1) at ang equation na ito (1) ay ang equation ng isang tunay na non-decomposing surface ng pangalawang order. Pagkatapos kung ; pagkatapos ang lahat ng mga punto ng ibabaw ay elliptic.
Patunay. Ipakilala natin ang isang bagong sistema ng coordinate , na pumipili ng anumang di-iisang punto ng ibinigay na ibabaw bilang pinagmulan ng mga coordinate at paglalagay ng mga axes at sa plane tangent sa ibabaw sa punto . Equation (1) sa bagong sistema Ang mga coordinate ay na-convert sa form:
saan . Kalkulahin natin ang invariant para sa equation na ito.
Dahil ang tanda ay hindi nagbabago sa panahon ng paglipat mula sa isang ODSC patungo sa isa pa, ang mga palatandaan at ay kabaligtaran, samakatuwid, kung , pagkatapos ; at, tulad ng mga sumusunod mula sa pag-uuri (tingnan ang § 161), ang tangent plane sa ibabaw sa isang punto ay nag-intersect sa ibabaw kasama ang dalawang haka-haka na intersecting na linya, i.e. ay isang elliptical point.
2) Ang isang one-sheet na hyperboloid at isang hyperbolic paraboloid ay binubuo ng mga hyperbolic point.
3) Ang tunay na kono ng pangalawang order (ang vertex ay hindi kasama), elliptic (totoo), hyperbolic at parabolic cylinders ay binubuo ng mga parabolic point.
parabolic cylinder.
Upang matukoy ang lokasyon ng isang parabolic cylinder, sapat na malaman:
1) isang eroplano ng simetrya na kahanay sa mga generator ng silindro;
2) isang padaplis na eroplano sa silindro, patayo sa eroplanong ito ng simetrya;
3) isang vector na patayo sa tangent plane na ito at nakadirekta patungo sa concavity ng cylinder.
Kung pangkalahatang equation ay tumutukoy sa isang parabolic cylinder, maaari itong muling isulat bilang:
Pumili tayo m upang ang eroplano
ay magkaparehong patayo:
Sa halagang ito m eroplano
ay magiging isang eroplano ng simetrya parallel sa mga generator ng silindro.
Eroplano
ang magiging tangent plane sa cylinder, patayo sa ipinahiwatig na plane ng symmetry, at ang vector
ay patayo sa natagpuang tangent plane at ididirekta patungo sa concavity ng cylinder.