Ang geometric na kahulugan ng kaugalian ng isang function ng 2 variable. Label: mga function ng ilang variable. Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Tangent plane at surface normal.

padaplis na eroplano

Hayaang ang N at N 0 ay mga punto ng ibinigay na ibabaw. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya NN 0 . Ang eroplano na dumadaan sa puntong N 0 ay tinatawag padaplis na eroplano sa ibabaw kung ang anggulo sa pagitan ng secant NN 0 at ang eroplanong ito ay may posibilidad na zero kapag ang distansya NN 0 ay may posibilidad na zero.

Kahulugan. normal sa ibabaw sa puntong N 0 ay tinatawag na isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong N 0 patayo sa tangent na eroplano sa ibabaw na ito.

Sa ilang mga punto, ang ibabaw ay may alinman sa isang tangent na eroplano, o wala ito sa lahat.

Kung ang ibabaw ay ibinigay ng equation z \u003d f (x, y), kung saan ang f (x, y) ay isang function na naiba-iba sa punto M 0 (x 0, y 0), ang tangent plane sa punto N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) ay umiiral at may equation:

Ang equation para sa normal sa ibabaw sa puntong ito ay:

geometric na kahulugan ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable na f (x, y) sa punto (x 0, y 0) ay ang pagtaas ng applicate (z-coordinate) ng tangent plane patungo sa ibabaw sa panahon ng paglipat mula sa punto (x 0, y 0) hanggang sa punto (x 0 +x , y 0 +y).

Tulad ng nakikita mo, ang geometric na kahulugan ng kabuuang kaugalian ng isang function ng dalawang variable ay isang spatial na analogue ng geometric na kahulugan ng kaugalian ng isang function ng isang variable.

Halimbawa. Hanapin ang mga equation ng tangent plane at normal sa ibabaw

sa puntong M(1, 1, 1).

Tangent plane equation:

Normal na Equation:

20.4. Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang kabuuang pagkakaiba.

Hayaang maging differentiable ang function na f(x, y) sa puntong (x, y). Hanapin natin ang kabuuang pagtaas ng function na ito:

Kung papalitan natin sa formula na ito ang expression

pagkatapos ay makuha namin ang tinatayang formula:

Halimbawa. Kalkulahin ang tinatayang halaga ng , batay sa halaga ng function sa x = 1, y = 2, z = 1.

Mula sa ibinigay na expression, tinutukoy namin ang x = 1.04 - 1 = 0.04, y = 1.99 - 2 = -0.01,

z \u003d 1.02 - 1 \u003d 0.02.

Hanapin ang halaga ng function na u(x, y, z) =

Nakahanap kami ng mga partial derivatives:

Ang kabuuang pagkakaiba ng function na u ay:

Ang eksaktong halaga ng expression na ito ay 1.049275225687319176.

20.5. Mga partial derivatives ng mas matataas na order.

Kung ang function na f(x, y) ay tinukoy sa ilang domain D, ang mga partial derivatives nito ay tutukuyin din sa parehong domain o bahagi nito.

Tatawagin natin itong mga derivatives mga partial derivatives ng unang order.

Ang mga derivatives ng mga function na ito ay magiging mga partial derivatives ng pangalawang order.

Sa patuloy na pag-iiba ng mga nakuhang pagkakapantay-pantay, nakakakuha kami ng mga partial derivatives ng mas mataas na mga order.

Kahulugan. Mga partial derivatives ng form atbp. tinawag pinaghalong derivatives.

Teorama. Kung ang function na f(x, y) at ang mga partial derivatives nito ay tinukoy at tuloy-tuloy sa puntong M(x, y) at ang kapitbahayan nito, kung gayon ang kaugnayan ay totoo:

Yung. Ang mga partial derivatives ng mas matataas na order ay hindi nakadepende sa pagkakasunud-sunod ng differentiation.

Ang mga pagkakaiba sa mas mataas na pagkakasunud-sunod ay tinukoy nang katulad.

…………………

Dito n ay ang simbolikong kapangyarihan ng derivative, na pinapalitan ng tunay na kapangyarihan pagkatapos na itaas ang nakakulong na expression dito.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sinasabing mayroon si $f$ lokal na maximum sa puntong $x_(0) \sa E$ kung mayroong isang kapitbahayan $U$ ng puntong $x_(0)$ para sa lahat ng $x \in U$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f\kaliwa(x\kanan) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Ang lokal na maximum ay tinatawag mahigpit , kung ang kapitbahayan na $U$ ay mapipili sa paraang para sa lahat ng $x \in U$ ay iba sa $x_(0)$ mayroong $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Kahulugan
Hayaang maging tunay na function ang $f$ sa isang bukas na hanay na $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sinasabing mayroon si $f$ lokal na minimum sa puntong $x_(0) \sa E$ kung mayroong isang kapitbahayan $U$ ng puntong $x_(0)$ para sa lahat ng $x \in U$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f\kaliwa(x\kanan) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Sinasabing mahigpit ang lokal na minimum kung mapipili ang kapitbahayan na $U$ para sa lahat ng $x \in U$ ay iba sa $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\kanan)$.

Pinagsasama ng lokal na extremum ang mga konsepto ng lokal na minimum at lokal na maximum.

Teorama ( kinakailangang kondisyon extremum ng isang differentiable function)
Hayaang maging tunay na function ang $f$ sa isang bukas na hanay na $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kung sa puntong $x_(0) \sa E$ ang function na $f$ ay may lokal na extremum din sa puntong ito, pagkatapos ay $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Ang pagkakapantay-pantay sa zero differential ay katumbas ng katotohanan na ang lahat ay katumbas ng zero, i.e. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Sa one-dimensional na kaso, ito ay . Ipahiwatig ang $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kung saan ang $h$ ay isang arbitraryong vector. Ang function na $\phi$ ay tinukoy para sa sapat na maliit na mga halaga ng modulo na $t$. Bukod dito, may kinalaman sa , ito ay naiba-iba, at $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Hayaan ang $f$ na magkaroon ng lokal na maximum sa x $0$. Kaya, ang function na $\phi$ sa $t = 0$ ay may lokal na maximum at, sa pamamagitan ng Fermat's theorem, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Kaya, nakuha namin na $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. function na $f$ sa puntong $x_(0)$ sero sa anumang vector $h$.

Kahulugan
Ang mga punto kung saan ang pagkakaiba ay katumbas ng zero, i.e. ang mga kung saan ang lahat ng mga partial derivatives ay katumbas ng zero ay tinatawag na nakatigil. kritikal na mga punto ang mga function na $f$ ay ang mga punto kung saan ang $f$ ay hindi naiba-iba, o katumbas ito ng zero. Kung ang punto ay nakatigil, hindi pa ito sumusunod na ang function ay may isang extremum sa puntong ito.

Halimbawa 1
Hayaan ang $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Pagkatapos ay $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, upang ang $\left(0,0\right)$ ay nakatigil na punto, ngunit sa puntong ito ang function ay walang extremum. Sa katunayan, $f \left(0,0\right) = 0$, ngunit madaling makita na sa anumang kapitbahayan ng puntong $\left(0,0\right)$ ang function ay tumatagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga.

Halimbawa 2
Ang function na $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ay may pinanggalingan ng mga coordinate bilang isang nakatigil na punto, ngunit malinaw na walang extremum sa puntong ito.

Teorama ( sapat na kondisyon extremum).
Hayaang ang isang function na $f$ ay dalawang beses na patuloy na naiba-iba sa isang bukas na set $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hayaang ang $x_(0) \sa E$ ay isang nakatigil na punto at $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Pagkatapos

kung $Q_(x_(0))$ – , ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay may lokal na extremum, ibig sabihin, ang minimum kung positive-definite ang form at ang maximum kung ang form ay negatibo-tiyak;
kung ang quadratic form na $Q_(x_(0))$ ay hindi tiyak, ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay walang extremum.

Gamitin natin ang pagpapalawak ayon sa pormula ng Taylor (12.7 p. 292) . Isinasaalang-alang na ang unang pagkakasunud-sunod ng mga partial derivatives sa puntong $x_(0)$ ay katumbas ng zero, nakukuha namin ang $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ bahagyang x_(j)) \kaliwa(x_(0)+\theta h\kanan)h^(i)h^(j),$$ kung saan $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, at $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ para sa $h \rightarrow 0$, pagkatapos ay ang kanang bahagi ay positibo para sa anumang vector na $h$ na may sapat na maliit na haba.
Kaya, kami ay dumating sa konklusyon na sa ilang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang hindi pagkakapantay-pantay na $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ay nasisiyahan kung $ lamang x \neq x_ (0)$ (inilalagay namin ang $x=x_(0)+h$\kanan). Nangangahulugan ito na sa puntong $x_(0)$ ang function ay may mahigpit na lokal na minimum, at sa gayon ang unang bahagi ng aming theorem ay napatunayan.
Ipagpalagay ngayon na ang $Q_(x_(0))$ ay hindi tiyak na anyo. Pagkatapos ay mayroong mga vector na $h_(1)$, $h_(2)$ na $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Para sa sapat na maliit na $t>0$, ang kanang bahagi ay positibo. Nangangahulugan ito na sa alinmang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay tumatagal ng mga halaga $f \left(x\right)$ mas malaki kaysa sa $f \left(x_(0)\right)$.
Katulad nito, nakuha namin na sa alinmang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay kumukuha ng mga halagang mas mababa sa $f \left(x_(0)\right)$. Ito, kasama ng nauna, ay nangangahulugan na ang function na $f$ ay walang extremum sa puntong $x_(0)$.

Isipin mo espesyal na kaso ng theorem na ito para sa isang function na $f \left(x,y\right)$ ng dalawang variable na tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong $\left(x_(0),y_(0)\right)$ at pagkakaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng una at pangalawang order. Hayaan ang $\left(x_(0),y_(0)\right)$ maging isang nakatigil na punto at hayaan ang $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Pagkatapos ang nakaraang teorama ay tumatagal ng sumusunod na anyo.

Teorama
Hayaan ang $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pagkatapos:

kung $\Delta>0$, ang function na $f$ ay may lokal na extremum sa puntong $\left(x_(0),y_(0)\right)$, ibig sabihin, isang minimum kung $a_(11)> 0$ , at maximum kung $a_(11)<0$;
kung $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Algorithm para sa paghahanap ng extremum ng isang function ng maraming variable:

Nakahanap kami ng mga nakatigil na puntos;
Nahanap namin ang pagkakaiba ng ika-2 order sa lahat ng mga nakatigil na punto
Gamit ang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function ng ilang variable, isinasaalang-alang namin ang second-order differential sa bawat stationary point

Siyasatin ang function sa extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
Desisyon
Maghanap ng mga partial derivatives ng 1st order: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Bumuo at lutasin ang system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Mula sa 2nd equation, ipinapahayag namin ang $x=4 \cdot y^(2)$ — palitan sa 1st equation: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Bilang resulta, 2 nakatigil na puntos ang nakuha:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \kaliwa(\frac(1)(2), 1\kanan)$
Suriin natin ang katuparan ng sapat na extremum na kondisyon:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) Para sa puntong $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Para sa puntong $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, kaya mayroong extremum sa puntong $M_(2)$, at dahil $A_(2)>0 $, kung gayon ito ang pinakamababa.
Sagot: Ang puntong $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ ay ang pinakamababang punto ng function na $f$.
Siyasatin ang function para sa extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
Desisyon
Maghanap ng mga nakatigil na puntos: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Bumuo at lutasin ang system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
Ang $M_(0) \left(-1, 2\right)$ ay isang nakatigil na punto.
Suriin natin ang katuparan ng sapat na extremum na kondisyon: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Sagot: walang extrema.

Limitasyon sa oras: 0

Navigation (mga numero ng trabaho lamang)

0 sa 4 na gawain ang natapos

Impormasyon

Sagutan ang pagsusulit na ito upang subukan ang iyong kaalaman sa paksang kababasa mo lang, Local Extrema of Functions of Many Variables.

Nakapag-test ka na dati. Hindi mo na ito maaaring patakbuhin muli.

Naglo-load ang pagsubok...

Dapat kang mag-login o magparehistro upang simulan ang pagsubok.

Dapat mong kumpletuhin ang mga sumusunod na pagsusulit upang simulan ang isang ito:

resulta

Mga tamang sagot: 0 sa 4

Oras mo:

Tapos na ang oras

Nakakuha ka ng 0 sa 0 puntos (0 )

Ang iyong marka ay naitala sa leaderboard

Na may sagot
Naka-check out

Gawain 1 ng 4

1 .

Bilang ng mga puntos: 1

Siyasatin ang function na $f$ para sa extrema: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Tama

Hindi tama

Gawain 2 ng 4

2 .
Bilang ng mga puntos: 1
Ang function ba ay $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

Tama

Para sa isang function ng isang variable y = f(x) sa punto x 0 ang geometric na kahulugan ng differential ay nangangahulugan ng pagtaas ng ordinate ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa puntong may abscissa x 0 kapag lumilipat sa isang punto x 0 +  x. At ang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable sa bagay na ito ay isang pagtaas appliques padaplis eroplano iginuhit sa ibabaw na ibinigay ng equation z = f(x, y) , sa punto M 0 (x 0 , y 0 ) kapag lumilipat sa isang punto M(x 0 +  x, y 0 +  y). Ibinibigay namin ang kahulugan ng isang tangent plane sa ilang ibabaw:

Df . Eroplanong dumadaan sa isang punto R 0 ibabaw S, ay tinatawag na padaplis na eroplano sa isang naibigay na punto, kung ang anggulo sa pagitan ng eroplanong ito at isang secant ay dumadaan sa dalawang punto R 0 at R(anumang punto sa ibabaw S) , ay nagiging zero kapag ang punto R dumadaloy sa ibabaw na ito hanggang sa isang punto R 0 .

Hayaan ang ibabaw S ibinigay ng equation z = f(x, y). Pagkatapos ay maipapakita na ang ibabaw na ito ay nasa isang punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) tangent plane kung at kung ang function z = f(x, y) ay differentiable sa puntong ito. Sa kasong ito, ang tangent plane ay ibinibigay ng equation:

z – z 0 = +
(6).

§5. Directional derivative, function gradient.

Mga partial derivative function y= f(x 1 , x 2 .. x n ) sa pamamagitan ng mga variable x 1 , x 2 . . . x n ipahayag ang rate ng pagbabago ng function sa direksyon ng coordinate axes. Halimbawa, ay ang rate ng pagbabago ng function X 1 - iyon ay, ipinapalagay na ang puntong kabilang sa domain ng kahulugan ng function ay gumagalaw lamang parallel sa axis OH 1 , at lahat ng iba pang coordinate ay nananatiling hindi nagbabago. Gayunpaman, maaaring ipagpalagay na ang function ay maaaring magbago sa ibang direksyon, na hindi tumutugma sa direksyon ng alinman sa mga axes.

Isaalang-alang ang isang function ng tatlong variable: u= f(x, y, z).

Ayusin ang isang punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) at ilang nakadirekta na tuwid na linya (axis) l dumaan sa puntong ito. Hayaan M(x, y, z) - isang arbitrary na punto ng linyang ito at  M 0 M - layo mula sa M 0 dati M.

u = f (x, y, z) – f(x 0 , y 0 , z 0 ) – pagtaas ng function sa isang punto M 0 .

Hanapin ang ratio ng pagtaas ng function sa haba ng vector
:

Df . Derivative function u = f (x, y, z) patungo sa l sa punto M 0 ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa haba ng vector  M 0 Mkapag ang huli ay may posibilidad na 0 (o, ano ang parehong bagay, na may walang limitasyong pagtatantya M sa M 0 ):

(1)

Ang derivative na ito ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng function sa punto M 0 sa direksyon l.

Hayaan ang axis l (vector M 0 M) mga form na may mga palakol OX, OY, oz mga sulok
ayon sa pagkakabanggit.

Ipahiwatig ang x-x 0 =
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Tapos yung vector M 0 M = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 )=
at ang direksyon nito ay cosines:

;

(4).

(4) ay isang pormula para sa pagkalkula ng direksyong hinalaw.

Isaalang-alang ang isang vector na ang mga coordinate ay ang mga partial derivatives ng function u= f(x, y, z) sa punto M 0 :

grad u - gradient ng function u= f(x, y, z) sa punto M(x, y, z)

Mga katangian ng gradient:

Konklusyon: haba ng gradient ng function u= f(x, y, z) - ay ang pinakamataas na posibleng halaga sa puntong ito M(x, y, z) , at ang direksyon ng vector grad u tumutugma sa direksyon ng vector na lumalabas sa punto M, kung saan pinakamabilis na nagbabago ang function. Iyon ay, ang direksyon ng gradient ng function grad u ay ang direksyon ng pinakamabilis na pagtaas ng function.

Ang geometric na kahulugan ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable na f (x, y) sa punto (x 0, y 0) ay ang pagtaas ng applicate (z-coordinate) ng tangent plane sa ibabaw sa panahon ng paglipat mula sa punto (x 0, y 0) hanggang sa punto (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Mga partial derivatives ng mas matataas na order. : Kung ang function na f(x, y) ay tinukoy sa ilang domain D, ang mga partial derivatives nito at tutukuyin din sa parehong domain o bahagi nito. Tatawagin natin ang mga derivatives na ito na partial derivatives ng unang order.

Ang mga derivatives ng mga function na ito ay magiging mga partial derivatives ng pangalawang order.

Sa patuloy na pag-iiba ng mga nakuhang pagkakapantay-pantay, nakakakuha kami ng mga partial derivatives ng mas mataas na mga order. Kahulugan. Mga partial derivatives ng form atbp. ay tinatawag na mixed derivatives. Teorama ng Schwartz:

Kung ang mga partial derivatives ng mas matataas na order f.m.s. ay tuluy-tuloy, pagkatapos ay halo-halong mga derivatives ng parehong pagkakasunud-sunod, naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng pagkita ng kaibhan = sa kanilang mga sarili.

Dito n ay ang simbolikong kapangyarihan ng derivative, na pinapalitan ng tunay na kapangyarihan pagkatapos na itaas ang nakakulong na expression dito.

14. Ang equation ng tangent plane at normal sa ibabaw!

Kahulugan. normal sa ibabaw sa puntong N 0 ay tinatawag na isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong N 0 patayo sa tangent plane sa ibabaw na ito.

Sa ilang mga punto, ang ibabaw ay may alinman sa isang tangent na eroplano, o wala ito sa lahat.

Kung ang ibabaw ay ibinigay ng equation z \u003d f (x, y), kung saan ang f (x, y) ay isang function na naiba sa puntong M 0 (x 0, y 0), padaplis na eroplano sa puntong N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) ay umiiral at may equation:

Ang equation ng normal sa ibabaw sa puntong ito:

16. Scalar field at mga katangian nito. Level lines, derivatives sa direksyon, scalar field gradient.

Kung ang bawat punto sa espasyo ay itinalaga ng isang scalar na dami , pagkatapos ay isang scalar field ang lumitaw (halimbawa, isang field ng temperatura, isang electric potential field). Kung ang mga coordinate ng Cartesian ay ipinasok, pagkatapos ay tukuyin din ang o Maaaring flat ang field kung central (spherical) kung cylindrical, kung

Mga antas ng ibabaw at linya: Ang mga katangian ng mga scalar na patlang ay maaaring makita gamit ang mga antas ng ibabaw. Ang mga ito ay mga ibabaw sa espasyo kung saan ito ay tumatagal sa isang palaging halaga. Ang kanilang equation ay: . Sa isang patag na scalar field, ang mga linya ng antas ay mga kurba kung saan ang field ay tumatagal sa isang pare-parehong halaga: Sa ilang mga kaso, ang mga linya ng antas ay maaaring bumagsak sa mga punto, at mga antas ng ibabaw sa mga punto at kurba.

Directional derivative at gradient ng scalar field:

Hayaang maging scalar field ang unit vector na may mga coordinate. Tinutukoy ng directional derivative ang pagbabago sa field sa isang partikular na direksyon at kinakalkula ng formula Ang directional derivative ay ang scalar product ng isang vector at isang vector na may mga coordinate , na tinatawag na gradient ng function at tinutukoy ng . Since , kung saan ang anggulo sa pagitan ng at , pagkatapos ay ipinapahiwatig ng vector ang direksyon ng pinakamabilis na pagtaas sa field, at ang modulus nito ay katumbas ng derivative sa direksyong ito. Dahil ang mga bahagi ng gradient ay bahagyang derivatives, madaling makuha ang mga sumusunod na katangian ng gradient:

17. FMP extrema Lokal na extremum ng fmp, kinakailangan at sapat na kondisyon para sa pagkakaroon nito. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na f.m.s. sa limitado saradong lugar.

Hayaang tukuyin ang function na z = ƒ(x;y) sa ilang domain D, ang puntong N(x0;y0)

Ang isang punto (x0; y0) ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na z=ƒ(x; y) kung mayroong tulad na d-kapitbahayan ng punto (x0; y0) na para sa bawat punto (x; y) maliban sa (xo; yo), natutugunan ng kapitbahayan na ito ang hindi pagkakapantay-pantay ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;y0). Ang halaga ng function sa punto ng maximum (minimum) ay tinatawag na maximum (minimum) ng function. Ang maximum at minimum ng isang function ay tinatawag na extrema nito. Tandaan na, sa bisa ng kahulugan, ang extremum point ng function ay nasa loob ng domain ng function; ang maximum at minimum ay may lokal (lokal) na karakter: ang halaga ng function sa punto (x0; y0) ay inihambing sa mga halaga nito sa mga puntong sapat na malapit sa (x0; y0). Sa rehiyon D, ang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema o wala.

Kinakailangan(1) at sapat(2) mga kondisyon para sa pagkakaroon:

(1) Kung sa puntong N (x0; y0) ang differentiable function z \u003d ƒ (x; y) ay may extremum, kung gayon ang mga partial derivatives nito sa puntong ito ay katumbas ng zero: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y (x0; y0 )=0. Magkomento. Ang isang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum sa mga punto kung saan hindi bababa sa isa sa mga partial derivatives ay hindi umiiral. Ang punto kung saan ang unang pagkakasunud-sunod ng mga partial derivatives ng function na z ≈ ƒ(x; y) ay katumbas ng zero, i.e. f "x=0, f" y=0, ay tinatawag na stationary point ng function na z.

Ang mga nakatigil na punto at mga punto kung saan ang hindi bababa sa isang bahagyang derivative ay hindi umiiral ay tinatawag na mga kritikal na punto.

(2) Hayaang ang function na ƒ(x; y) ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa pangalawang order kasama sa isang nakatigil na punto (xo; yo) at ilan sa mga kapitbahayan nito. Kalkulahin natin sa punto (x0;y0) ang mga halaga A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Magpakilala Pagkatapos:

1. kung Δ > 0, ang function na ƒ(x; y) sa punto (x0; y0) ay may extremum: maximum kung A< 0; минимум, если А > 0;

2. kung Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. Sa kaso ng Δ = 0, maaaring mayroong o walang extremum sa punto (x0; y0). Higit pang pananaliksik ang kailangan.

DIFFERENTIAL CALCULUS OF FUNCTIONS NG ILANG VARIABLE.

Pangunahing konsepto at kahulugan.

Kapag isinasaalang-alang ang mga function ng ilang mga variable, kinukulong namin ang aming sarili sa isang detalyadong paglalarawan ng mga function ng dalawang variable, dahil lahat ng mga resultang nakuha ay magiging wasto para sa mga function ng isang arbitrary na bilang ng mga variable.

Kung ang bawat pares ng magkaparehong independiyenteng mga numero (x, y) mula sa isang tiyak na hanay, ayon sa ilang panuntunan, ay itinalaga ng isa o higit pang mga halaga ng variable na z, kung gayon ang variable na z ay tinatawag function ng dalawang variable.

Kung ang isang pares ng mga numero (x, y) ay tumutugma sa isang halaga ng z, kung gayon ang function ay tinatawag hindi malabo, at kung higit sa isa, kung gayon - malabo.

Saklaw ng kahulugan ang function na z ay ang set ng mga pares (x, y) kung saan umiiral ang function na z.

Punto ng kapitbahayan Ang M 0 (x 0, y 0) ng radius r ay ang set ng lahat ng puntos (x, y) na nakakatugon sa kundisyon.

Ang numero A ay tinatawag limitasyon function na f(x, y) bilang ang puntong M(x, y) ay patungo sa puntong M 0 (x 0, y 0), kung para sa bawat numero e > 0 mayroong isang bilang na r > 0 na para sa anumang punto M (x, y) kung saan ang kundisyon

totoo rin ang kondisyon .

Isulat:

Hayaang ang puntong M 0 (x 0, y 0) ay kabilang sa domain ng function na f(x, y). Pagkatapos ay tinawag ang function na z = f(x, y). tuloy-tuloy sa puntong M 0 (x 0, y 0), kung

(1)

bukod pa rito, ang puntong M(x, y) ay may posibilidad sa puntong M 0 (x 0, y 0) sa isang arbitraryong paraan.

Kung ang kondisyon (1) ay hindi nasiyahan sa anumang punto, ang puntong ito ay tinatawag sukdulan mga function na f(x, y). Ito ay maaaring sa mga sumusunod na kaso:

1) Ang function na z \u003d f (x, y) ay hindi tinukoy sa puntong M 0 (x 0, y 0).

2) Walang limitasyon.

3) Umiiral ang limitasyong ito, ngunit hindi ito katumbas ng f(x 0 , y 0).

Mga katangian ng mga pag-andar ng ilang mga variable na nauugnay sa kanilang pagpapatuloy.

Ari-arian. Kung ang function na f(x, y, …) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang sarado at may hangganan na domain D, kung gayon mayroong kahit isang punto sa domain na ito

N(x 0 , y 0 , …) na ang hindi pagkakapantay-pantay

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

pati na rin ang isang punto N 1 (x 01 , y 01 , ...), na para sa lahat ng iba pang mga punto ay totoo ang hindi pagkakapantay-pantay

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

pagkatapos f(x 0 , y 0 , …) = M – pinakamataas na halaga function, at f(x 01 , y 01 , ...) = m - pinakamaliit na halaga gumagana ang f(x, y, …) sa domain na D.

Ang tuluy-tuloy na function sa isang sarado at may hangganan na domain D ay umaabot ng kahit isang beses ang pinakamalaking halaga at minsan ang pinakamaliit.

Ari-arian. Kung ang function na f(x, y, ...) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, at ang M at m ay ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function sa domain na ito, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos ay para sa anumang punto m О doon ay isang punto

N 0 (x 0 , y 0 , …) na ang f(x 0 , y 0 , …) = m.

Sa madaling salita, tuluy-tuloy na pag-andar tumatagal sa rehiyon D ang lahat ng mga intermediate na halaga sa pagitan ng M at m. Ang isang kinahinatnan ng ari-arian na ito ay maaaring ang konklusyon na kung ang mga numerong M at m ay may magkakaibang mga palatandaan, pagkatapos ay sa domain D ang function ay naglalaho nang hindi bababa sa isang beses.

Ari-arian. Function f(x, y, …), tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, limitado sa lugar na ito, kung mayroong isang bilang na K na para sa lahat ng mga punto ng lugar ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo .

Ari-arian. Kung ang isang function na f(x, y, …) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang closed bounded domain D, kung gayon ito pare-parehong tuloy-tuloy sa lugar na ito, i.e. para sa anumang positibong numero e, mayroong isang bilang na D > 0 na para sa anumang dalawang puntos (x 1, y 1) at (x 2, y 2) ng lugar na matatagpuan sa layo na mas mababa sa D, ang hindi pagkakapantay-pantay

2. Mga partial derivatives. Mga partial derivatives ng mas matataas na order.

Hayaang maibigay ang isang function na z = f(x, y) sa ilang domain. Kumuha ng arbitrary point M(x, y) at itakda ang increment Dx sa variable x. Kung gayon ang dami D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) ay tinatawag bahagyang pagtaas ng function sa x.

Maaaring isulat

Tapos tinawag partial derivative mga function z = f(x, y) sa x.

pagtatalaga:

Ang partial derivative ng isang function na may kinalaman sa y ay binibigyang-kahulugan nang katulad.

geometric na kahulugan ang partial derivative (sabihin natin) ay ang tangent ng slope ng tangent na iginuhit sa punto N 0 (x 0, y 0, z 0) sa ibabaw na seksyon ng eroplano y \u003d y 0.

Kung ang function na f(x, y) ay tinukoy sa ilang domain D, ang mga partial derivatives nito at tutukuyin din sa parehong domain o bahagi nito.

Tatawagin natin itong mga derivatives mga partial derivatives ng unang order.

Ang mga derivatives ng mga function na ito ay magiging mga partial derivatives ng pangalawang order.

Sa patuloy na pag-iiba ng mga nakuhang pagkakapantay-pantay, nakakakuha kami ng mga partial derivatives ng mas mataas na mga order.

Mga partial derivatives ng form atbp. tinawag pinaghalong derivatives.

Teorama. Kung ang function na f(x, y) at ang mga partial derivatives nito ay tinukoy at tuloy-tuloy sa puntong M(x, y) at ang kapitbahayan nito, kung gayon ang kaugnayan ay totoo:

Yung. Ang mga partial derivatives ng mas matataas na order ay hindi nakadepende sa pagkakasunud-sunod ng differentiation.

Ang mga pagkakaiba sa mas mataas na pagkakasunud-sunod ay tinukoy nang katulad.

…………………

Dito n ay ang simbolikong kapangyarihan ng derivative, na pinapalitan ng tunay na kapangyarihan pagkatapos na itaas ang nakakulong na expression dito.

buong kaugalian. geometric na kahulugan buong kaugalian. Tangent plane at surface normal.

Ang ekspresyon ay tinatawag buong pagtaas function na f(x, y) sa ilang punto (x, y), kung saan ang 1 at 2 ay infinitesimal function bilang Dх ® 0 at Dу ® 0, ayon sa pagkakabanggit.

buong kaugalian ang function na z = f(x, y) ay ang pangunahing linear na bahagi na may paggalang sa Dx at Dy ng pagtaas ng function na Dz sa punto (x, y).

Para sa isang function ng isang arbitrary na bilang ng mga variable:

Halimbawa 3.1. Hanapin ang buong pagkakaiba ng function.