Pagsusuri sa matematika. Mathematical analysis ng kasaysayan Kasaysayan ng pag-unlad ng mathematical analysis sa madaling sabi

slide 2

Ang pagsusuri sa matematika ay isang hanay ng mga sangay ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga function at ang kanilang mga generalization gamit ang mga pamamaraan ng differential at integral calculus.

slide 3

paraan ng pagkaubos

Isang sinaunang pamamaraan para sa pag-aaral ng lugar o dami ng mga curvilinear figure.

slide 4

Ang pamamaraan ay ang mga sumusunod: upang mahanap ang lugar (o dami) ng isang tiyak na pigura, isang monotonous na pagkakasunud-sunod ng iba pang mga figure ay nakasulat sa figure na ito at ito ay pinatunayan na ang kanilang mga lugar (volume) ay lumalapit sa lugar (volume) ng ninanais. pigura.

slide 5

Noong 1696, isinulat ng L'Hopital ang unang aklat-aralin, na naglalahad ng bagong pamamaraan bilang inilapat sa teorya ng mga kurba ng eroplano. Tinawag niya itong pagsusuri ng mga infinitesimal, kaya nagbibigay ng isa sa mga pangalan sa bagong sangay ng matematika. Sa panimula, binabalangkas ni Lopital ang kasaysayan ng paglitaw ng isang bagong pagsusuri, na naninirahan sa mga gawa ni Descartes, Huygens, Leibniz, at nagpapahayag din ng kanyang pasasalamat sa huli at sa magkapatid na Bernoulli.

slide 6

Ang terminong "function" ay unang lumitaw lamang noong 1692 ni Leibniz, ngunit si Euler ang naglagay nito sa mga unang tungkulin. Ang unang interpretasyon ng konsepto ng isang function ay ang isang function ay isang expression para sa pagbibilang o isang analytic expression.

Slide 7

"The Theory of Analytic Functions" ("Th.orie des fonctions analytiques", 1797). Sa Theory of Analytic Functions, itinakda ni Lagrange ang kanyang sikat na interpolation formula, na nagbigay inspirasyon kay Cauchy na bumuo ng isang mahigpit na pundasyon para sa pagsusuri.

Slide 8

Ang mahalagang lemma ni Fermat ay matatagpuan sa mga aklat-aralin sa calculus. Bumalangkas din siya ng pangkalahatang batas ng pagkita ng kaibahan ng mga fractional powers.

Si Pierre de Fermat (Agosto 17, 1601 - Enero 12, 1665) ay isang Pranses na matematiko, isa sa mga tagapagtatag ng analytic geometry, mathematical analysis, probability theory at number theory. Si Fermat, halos ayon sa mga modernong tuntunin, ay nakahanap ng mga tangent sa algebraic curves.

Slide 9

Rene Descartes (Marso 31, 1596 - Pebrero 11, 1650) - Pranses na matematiko, pilosopo, physicist at physiologist, tagalikha ng analytic geometry at modernong simbolismong algebraic. Noong 1637, nai-publish ang pangunahing gawaing matematika ni Descartes, "Discourse on the method." Ang aklat na ito ay nakabalangkas sa analytical geometry, at sa mga aplikasyon - maraming resulta sa algebra, geometry, optika at marami pang iba. Ang partikular na tala ay ang binagong simbolismo ng matematika ni Vieta: ipinakilala niya ngayon ang karaniwang tinatanggap na mga palatandaan para sa mga variable at naghahanap ng mga halaga (x, y, z, ...) at para sa mga literal na coefficient. (a, b, c, ...)

Slide 10

François Viet (1540-1603) - Pranses na matematiko, tagapagtatag ng simbolikong algebra. Sa pamamagitan ng edukasyon at pangunahing propesyon - isang abogado. Noong 1591, ipinakilala niya ang mga pagtatalaga ng titik hindi lamang para sa hindi kilalang mga dami, kundi pati na rin para sa mga coefficient ng mga equation. Nagtatag siya ng isang pare-parehong paraan para sa paglutas ng mga equation ng ika-2, ika-3, at ika-4 na digri. Kabilang sa mga natuklasan, lalo na pinahahalagahan mismo ni Viet ang pagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng mga equation.

slide 11

Galileo Galilei (Pebrero 15, 1564, Pisa - Enero 8, 1642) - Ang Italyano na pisiko, mekaniko, astronomo, pilosopo at matematiko, na may malaking epekto sa agham ng kanyang panahon, ay bumalangkas ng "Galileo paradox": mayroong kasing dami natural na mga numero bilang kanilang mga parisukat, bagaman karamihan sa mga numero ay hindi mga parisukat . Nag-udyok ito ng karagdagang pananaliksik sa likas na katangian ng mga walang katapusang set at ang kanilang pag-uuri; natapos ang proseso sa paglikha ng set theory.

slide 12

"Bagong stereometry ng mga bariles ng alak"

Nang bumibili si Kepler ng alak, namangha siya kung paano natukoy ng mangangalakal ang kapasidad ng bariles. Kinuha ng nagbebenta ang stickus sa mga dibisyon, at sa tulong nito ay natukoy ang distansya mula sa butas ng pagpuno hanggang sa pinakamalayong punto ng bariles. Nang magawa ito, agad niyang sinabi kung gaano karaming litro ng alak sa isang naibigay na bariles. Kaya't ang siyentipiko ang unang nagbigay-pansin sa klase ng mga problema, ang pag-aaral kung saan humantong sa paglikha ng integral calculus.

slide 13

Kaya, halimbawa, upang mahanap ang formula para sa dami ng torus, hinati ito ni Kepler sa pamamagitan ng mga meridional na seksyon sa isang walang katapusang bilang ng mga bilog, ang kapal nito sa labas ay medyo mas malaki kaysa sa loob. Ang dami ng naturang bilog ay katumbas ng dami ng isang silindro na may base na katumbas ng cross section ng torus at isang taas na katumbas ng kapal ng bilog sa gitnang bahagi nito. Mula dito agad na lumabas na ang dami ng torus ay katumbas ng dami ng silindro, kung saan ang base area ay katumbas ng lugar ng seksyon ng torus, at ang taas ay katumbas ng haba ng bilog, na inilarawan ng punto F - ang gitna ng seksyon ng torus.

Slide 14

Paraan ng hindi mahahati

Ang theoretical substantiation ng isang bagong paraan para sa paghahanap ng mga lugar at volume ay iminungkahi noong 1635 ni Cavalieri. Iniharap niya ang sumusunod na thesis: Ang mga figure ay magkakaugnay sa isa't isa, tulad ng lahat ng kanilang mga linya, na dinadala sa anumang regular [base ng mga parallels], at mga katawan - tulad ng lahat ng kanilang mga eroplano, na kinuha kasama ng anumang regular.

slide 15

Halimbawa, kalkulahin natin ang lugar ng isang bilog. Ang formula para sa circumference ng isang bilog ay ipinapalagay na kilala. Hatiin natin ang bilog (sa kaliwa sa Fig. 1) sa walang katapusang maliliit na singsing. Isaalang-alang din ang isang tatsulok (sa kanan sa Fig. 1) na may haba ng base L at taas R, na hinahati din namin sa mga seksyon na kahanay sa base. Ang bawat singsing ng radius R at haba ay maaaring iugnay sa isa sa mga seksyon ng isang tatsulok na may parehong haba. Pagkatapos, ayon sa prinsipyo ni Cavalieri, ang kanilang mga lugar ay pantay. Ang paghahanap ng lugar ng isang tatsulok ay madali:

slide 16

Nagtrabaho sa pagtatanghal:

Zharkov Alexander Kiseleva Marina Ryasov Mikhail Cherednichenko Alina

Tingnan ang lahat ng mga slide

Ang pilosopiya ay itinuturing na sentro ng lahat ng mga agham, dahil ito ay kasama ang mga unang shoots ng panitikan, astronomiya, panitikan, natural na agham, matematika at iba pang mga lugar. Sa paglipas ng panahon, ang bawat lugar ay binuo nang nakapag-iisa, ang matematika ay walang pagbubukod. Ang unang "pahiwatig" sa pagsusuri ay itinuturing na teorya ng agnas sa mga infinitesimal na dami, na sinubukang lapitan ng maraming isip, ngunit ito ay malabo at walang batayan. Ito ay dahil sa kalakip sa lumang paaralan ng agham, na mahigpit sa mga pormulasyon nito. Napakalapit ni Isaac Newton sa pagbuo ng mga pundasyon, ngunit huli na siya. Bilang isang resulta, ang pagsusuri sa matematika ay may utang sa hitsura nito bilang isang hiwalay na sistema sa pilosopo na si Gottfried Leibniz. Siya ang sa kanyang mga gawa na ipinakita sa mundong pang-agham ang mga konsepto bilang minimum at maximum, mga inflection point at convexity ng graph ng isang function, ay bumalangkas ng mga pundasyon ng differential calculus. Simula noon, opisyal na hinati ang matematika sa elementarya at mas mataas.

Pagsusuri sa matematika. Ang ating mga araw

Anumang espesyalidad, teknikal man o humanitarian, ay may kasamang pagsusuri sa kurso ng pag-aaral. Ang lalim ng pag-aaral ay nag-iiba, ngunit ang kakanyahan ay nananatiling pareho. Sa kabila ng lahat ng "abstractness", ito ay isa sa mga haligi kung saan nakabatay ang natural na agham sa modernong kahulugan nito. Sa kanyang tulong, ang pisika at ekonomiya ay binuo, nagagawa niyang ilarawan at mahulaan ang mga aktibidad ng stock exchange, tumulong sa pagbuo ng isang pinakamainam na portfolio ng stock. Ang panimula sa mathematical analysis ay batay sa elementarya na mga konsepto:

• set;
• pangunahing mga operasyon sa mga hanay;
• mga katangian ng mga operasyon sa mga hanay;
• mga pag-andar (kung hindi man - mga pagmamapa);
• mga uri ng pag-andar;
• mga pagkakasunud-sunod;
• mga linya ng numero;
• limitasyon ng pagkakasunud-sunod;
• limitahan ang mga katangian;
• pagpapatuloy ng function.

Ito ay nagkakahalaga ng pag-highlight nang hiwalay sa mga konsepto tulad ng set, point, line, plane. Ang lahat ng mga ito ay walang mga kahulugan, dahil sila ang mga pangunahing konsepto kung saan ang lahat ng matematika ay binuo. Ang lahat ng maaaring gawin sa kurso ng trabaho ay upang ipaliwanag kung ano ang eksaktong ibig sabihin ng mga ito sa mga indibidwal na kaso.

Limitahan bilang pagpapatuloy

Ang limitasyon ay isa sa mga batayan ng mathematical analysis. Sa pagsasagawa, kinakatawan nito ang halaga kung saan ang pagkakasunud-sunod o pag-andar, ay malapit sa gusto mo, ngunit hindi ito maabot. Ito ay tinutukoy bilang lim, isaalang-alang espesyal na kaso limitasyon ng function: lim (x-1)= 0 para sa x→1. Mula sa pinakasimpleng halimbawang ito, makikita na kapag x→1, ang buong function ay may posibilidad na 0, dahil kung papalitan natin ang limitasyon sa mismong function, makakakuha tayo ng (1-1)=0. Sa mas detalyado, mula elementarya hanggang sa kumplikadong mga espesyal na kaso, ang impormasyon ay ipinakita sa isang uri ng "Bibliya" ng pagsusuri - ang mga gawa ng Fikhtengol'ts. Doon, ang mathematical analysis, mga limitasyon, ang kanilang derivation at karagdagang aplikasyon ay isinasaalang-alang sa konteksto. Halimbawa, ang derivation ng numerong e (Euler's constant) ay magiging imposible nang walang theory of limits. Sa kabila ng dinamikong abstractness ng teorya, ang mga limitasyon ay aktibong ginagamit sa pagsasanay sa parehong ekonomiya at sosyolohiya. Halimbawa, hindi sila maaaring ibigay kapag kinakalkula ang interes sa isang deposito sa bangko.

Sa kasaysayan ng matematika, dalawang pangunahing panahon ang maaaring kumbensiyonal na makilala: elementarya at modernong matematika. Ang milestone, kung saan kaugalian na bilangin ang panahon ng bagong (kung minsan ay sinasabi nila - mas mataas) na matematika, ay ang ika-17 siglo - ang siglo ng paglitaw ng pagsusuri sa matematika. Sa pagtatapos ng siglo XVII. I. Newton, G. Leibniz at ang kanilang mga nauna ay lumikha ng apparatus ng isang bagong differential calculus at integral calculus, na bumubuo ng batayan ng mathematical analysis at maging, marahil, ang mathematical na batayan ng lahat ng modernong natural na agham.

Ang pagsusuri sa matematika ay isang malawak na lugar ng matematika na may isang katangian na bagay ng pag-aaral (isang variable), isang kakaibang pamamaraan ng pananaliksik (pagsusuri sa pamamagitan ng mga infinitesimal o sa pamamagitan ng pagpasa sa limitasyon), isang tiyak na sistema ng mga pangunahing konsepto (function, limitasyon, derivative, differential, integral, series) at patuloy na pagpapabuti at pagbuo ng apparatus, na batay sa differential at integral calculus.

Subukan nating magbigay ng ideya kung anong uri ng rebolusyon sa matematika ang naganap noong ika-17 siglo, kung ano ang nagpapakilala sa paglipat mula sa elementarya na matematika na nauugnay sa pagsilang ng pagsusuri sa matematika hanggang sa paksa ng pananaliksik sa pagsusuri sa matematika, at ano ang nagpapaliwanag sa pangunahing papel nito sa buong modernong sistema ng teoretikal at inilapat na kaalaman. .

Isipin na nasa harap mo ang isang magandang larawang may kulay ng isang mabagyong alon ng karagatan na tumatakbo sa dalampasigan: isang malakas na nakayukong likod, isang matarik ngunit bahagyang lumubog na dibdib, nakatagilid na pasulong at handang bumagsak ang ulo na may kulay abong mane na pinunit ng hangin. Huminto ka sa sandaling ito, nagawa mong mahuli ang alon, at ngayon ay maingat mong pag-aralan ito sa lahat ng mga detalye nito nang walang pagmamadali. Ang isang alon ay maaaring masukat, at gamit ang mga paraan ng elementarya na matematika, makakagawa ka ng maraming mahahalagang konklusyon tungkol sa alon na ito, at samakatuwid ang lahat ng mga kapatid sa karagatan nito. Ngunit sa pamamagitan ng pagtigil sa alon, pinagkaitan mo ito ng paggalaw at buhay. Ang pinagmulan nito, pag-unlad, pagtakbo, ang puwersa kung saan ito nahuhulog sa baybayin - ang lahat ng ito ay lumabas na wala sa iyong larangan ng pangitain, dahil wala ka pang wika o isang mathematical apparatus na angkop para sa paglalarawan at pag-aaral na hindi static , ngunit umuunlad, pabago-bagong mga proseso, mga variable at kanilang mga ugnayan.

"Ang pagsusuri sa matematika ay hindi gaanong komprehensibo kaysa sa kalikasan mismo: tinutukoy nito ang lahat ng nasasalat na relasyon, sumusukat sa mga oras, espasyo, puwersa, temperatura." J. Fourier

Ang paggalaw, mga variable at ang kanilang mga relasyon ay nasa paligid natin. Ang iba't ibang uri ng paggalaw at ang kanilang mga regularidad ay bumubuo sa pangunahing layunin ng pag-aaral ng mga partikular na agham: pisika, heolohiya, biology, sosyolohiya, atbp. Samakatuwid, ang eksaktong wika at naaangkop na mga pamamaraan sa matematika para sa paglalarawan at pag-aaral ng mga variable ay naging kinakailangan sa lahat ng mga lugar ng kaalaman na humigit-kumulang sa parehong lawak ng mga numero at aritmetika ay kinakailangan sa paglalarawan ng dami ng mga relasyon. Kaya, ang pagsusuri sa matematika ay ang batayan ng wika at mga pamamaraan ng matematika para sa paglalarawan ng mga variable at ang kanilang mga relasyon. Ngayon, nang walang pagsusuri sa matematika, imposibleng hindi lamang kalkulahin ang mga trajectory sa espasyo, ang pagpapatakbo ng mga nuclear reactor, ang pagpapatakbo ng alon ng karagatan at ang mga pattern ng pag-unlad ng bagyo, kundi pati na rin ang matipid na pamahalaan ang produksyon, pamamahagi ng mapagkukunan, organisasyon ng mga teknolohikal na proseso, hulaan ang takbo ng mga reaksiyong kemikal o pagbabago sa bilang ng iba't ibang uri ng hayop na magkakaugnay sa kalikasan.hayop at halaman, dahil ang lahat ng ito ay mga dinamikong proseso.

Ang elementarya na matematika ay karaniwang matematika ng mga constants, pangunahing pinag-aralan nito ang mga ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng geometric figure, ang arithmetic properties ng mga numero, at algebraic equation. Sa ilang sukat, ang kanyang saloobin sa katotohanan ay maihahambing sa isang matulungin, kahit na masinsinan at kumpletong pag-aaral ng bawat nakapirming frame ng isang pelikula na kumukuha ng nagbabago, umuunlad na buhay na mundo sa paggalaw nito, na, gayunpaman, ay hindi nakikita sa isang hiwalay na frame at kung saan ay makikita lamang sa pamamagitan ng pagtingin sa tape sa kabuuan. Ngunit kung paanong ang sinehan ay hindi maiisip kung walang litrato, gayundin ang modernong matematika ay imposible kung wala ang bahaging iyon, na may kondisyong tinatawag nating elementarya, nang walang mga ideya at tagumpay ng maraming natatanging siyentipiko, kung minsan ay pinaghihiwalay ng sampu-sampung siglo.

Ang matematika ay isa, at ang "mas mataas" na bahagi nito ay konektado sa "elementarya" sa halos parehong paraan kung paano ang susunod na palapag ng isang bahay na itinatayo ay konektado sa nauna, at ang lapad ng mga abot-tanaw na nagbubukas sa matematika tayo sa mundong nakapaligid sa atin ay nakasalalay sa kung aling palapag ng gusaling ito ang ating narating.tumaas. Ipinanganak noong ika-17 siglo Ang mathematical analysis ay nagbukas ng mga posibilidad para sa siyentipikong paglalarawan, quantitative at qualitative na pag-aaral ng mga variable at paggalaw sa pinakamalawak na kahulugan ng salita.

Ano ang mga kinakailangan para sa paglitaw ng mathematical analysis?

Sa pagtatapos ng siglo XVII. ang sumusunod na sitwasyon ay lumitaw. Una, sa loob ng balangkas ng matematika mismo, mahabang taon ilang mahahalagang klase ng mga problema ng parehong uri ang naipon (halimbawa, mga problema sa pagsukat ng mga lugar at dami ng mga hindi pamantayang numero, mga problema sa pagguhit ng mga tangent sa mga kurba) at mga pamamaraan ay lumitaw para sa paglutas ng mga ito sa iba't ibang mga espesyal na kaso. Pangalawa, lumabas na ang mga problemang ito ay malapit na nauugnay sa mga problema ng paglalarawan ng isang di-makatwirang (hindi kinakailangang pare-pareho) mekanikal na paggalaw, at lalo na sa pagkalkula ng mga agarang katangian nito (bilis, acceleration sa anumang oras), pati na rin sa paghahanap. ang distansya na nilakbay para sa paggalaw sa isang naibigay na variable na bilis. Ang solusyon sa mga problemang ito ay kinakailangan para sa pag-unlad ng pisika, astronomiya, at teknolohiya.

Sa wakas, pangatlo, sa kalagitnaan ng siglo XVII. ang mga gawa nina R. Descartes at P. Fermat ay naglatag ng mga pundasyon ng analytical na pamamaraan ng mga coordinate (ang tinatawag na analytical geometry), na naging posible upang mabuo ang mga geometriko at pisikal na problema ng heterogenous na pinagmulan sa pangkalahatang (analytical) na wika ng mga numero. at numerical dependences, o, gaya ng sinasabi natin ngayon, numerical functions.

NIKOLAI NIKOLAEVICH LUZIN (1883-1950) N. N. Luzin - Sobyet na matematiko, tagapagtatag ng teorya ng pag-andar ng Sobyet, akademiko (1929). Si Luzin ay ipinanganak sa Tomsk, nag-aral sa Tomsk gymnasium. Ang pormalismo ng kursong gymnasium mathematics ay nagpahiwalay sa talentadong binata, at tanging isang may kakayahang tutor ang makapagpapakita sa kanya ng kagandahan at kadakilaan ng agham matematika. Noong 1901, pumasok si Luzin sa departamento ng matematika ng Faculty of Physics at Mathematics ng Moscow University. Mula sa mga unang taon ng pag-aaral, ang mga tanong na may kaugnayan sa infinity ay nahulog sa bilog ng kanyang mga interes. AT huli XIX sa. ang Aleman na siyentipiko na si G. Kantor ay lumikha ng pangkalahatang teorya ng walang katapusang mga hanay, na nakatanggap ng maraming aplikasyon sa pag-aaral ng mga di-tuloy na pag-andar. Sinimulan ni Luzin na pag-aralan ang teoryang ito, ngunit ang kanyang pag-aaral ay naantala noong 1905. Ang estudyante, na nakibahagi sa mga rebolusyonaryong aktibidad, ay kailangang umalis sa France saglit. Doon siya nakinig sa mga lektura ng mga pinakakilalang Pranses na mathematician noong panahong iyon. Sa kanyang pagbabalik sa Russia, nagtapos si Luzin sa unibersidad at naiwan upang maghanda para sa isang propesor. Di-nagtagal, muli siyang nagpunta sa Paris, at pagkatapos ay sa Göttingen, kung saan siya ay naging malapit sa maraming mga siyentipiko at isinulat ang kanyang unang mga siyentipikong papel. Ang pangunahing problema na interesado sa siyentipiko ay ang tanong kung maaaring mayroong mga set na naglalaman ng higit pang mga elemento kaysa sa hanay ng mga natural na numero, ngunit mas mababa kaysa sa hanay ng mga punto ng segment (ang continuum na problema). Para sa anumang walang katapusang set na maaaring makuha mula sa mga segment gamit ang mga operasyon ng unyon at intersection ng mabibilang na mga koleksyon ng mga set, ang hypothesis na ito ay totoo, at upang malutas ang problema, kinakailangan upang malaman kung ano ang iba pang mga paraan ng pagbuo ng mga set. Kasabay nito, pinag-aralan ni Luzin ang tanong kung posible bang kumatawan sa anumang pana-panahong pag-andar, kahit na mayroon itong walang katapusang maraming mga discontinuity point, bilang kabuuan ng isang serye ng trigonometriko, i.e. kabuuan ng isang walang katapusang hanay ng mga harmonic oscillations. Nakakuha si Luzin ng isang bilang ng mga makabuluhang resulta sa mga isyung ito at noong 1915 ipinagtanggol niya ang kanyang disertasyon na "The Integral and the Trigonometric Series", kung saan siya ay agad na ginawaran ng degree ng Doctor of Pure Mathematics, na lumampas sa intermediate master's degree na umiiral noong panahong iyon. . Noong 1917 si Luzin ay naging propesor sa Moscow University. Isang mahuhusay na guro, naakit niya ang mga may kakayahang mag-aaral at mga batang mathematician. Naabot ng paaralan ni Luzin ang kasaganaan nito sa mga unang taon pagkatapos ng rebolusyonaryo. Ang mga estudyante ni Luzin ay bumuo ng isang creative team, na pabirong tinatawag na "Luzitania". Marami sa kanila ang nakatanggap ng first-class na mga resultang siyentipiko sa panahon ng kanilang mga araw ng pag-aaral. Halimbawa, natuklasan ni P. S. Aleksandrov at M. Ya. Suslin (1894-1919) ang isang bagong paraan para sa pagtatayo ng mga set, na nagpasimula ng pagbuo ng isang bagong direksyon - descriptive set theory. Ang pananaliksik sa lugar na ito, na isinagawa ni Luzin at ng kanyang mga mag-aaral, ay nagpakita na ang karaniwang mga pamamaraan ng set theory ay hindi sapat upang malutas ang marami sa mga problema na lumitaw dito. Ang mga pang-agham na hula ni Luzin ay ganap na nakumpirma noong 1960s. ika-20 siglo Maraming mga mag-aaral ng N. N. Luzin sa kalaunan ay naging mga akademiko at kaukulang mga miyembro ng Academy of Sciences ng USSR. Kabilang sa mga ito P. S. Aleksandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentiev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov. L. G. Shnirelman at iba pa. Ang mga modernong Sobyet at dayuhang matematiko sa kanilang mga gawa ay bumuo ng mga ideya ni N. N. Luzin.

Ang kumbinasyon ng mga pangyayaring ito ay humantong sa huli XVII sa. dalawang siyentipiko - I. Newton at G. Leibniz - nakapag-iisa na nakagawa ng isang mathematical apparatus para sa paglutas ng mga problemang ito, pagbubuod at pag-generalize ng mga indibidwal na resulta ng kanilang mga nauna, kabilang ang sinaunang siyentipiko na si Archimedes at mga kontemporaryo nina Newton at Leibniz - B. Cavalieri, B Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Ang apparatus na ito ay naging batayan ng mathematical analysis - isang bagong sangay ng matematika na nag-aaral ng iba't ibang proseso ng pagbuo, i.e. interrelasyon ng mga variable, na sa matematika ay tinatawag na functional dependencies o, sa madaling salita, mga function. Sa pamamagitan ng paraan, ang terminong "pag-andar" mismo ay kinakailangan at natural na lumitaw nang tumpak sa ika-17 siglo, at sa ngayon ay nakuha nito hindi lamang ang isang pangkalahatang matematika, kundi pati na rin ang isang pangkalahatang pang-agham na kahulugan.

Ang paunang impormasyon tungkol sa mga pangunahing konsepto at ang mathematical apparatus ng pagsusuri ay ibinibigay sa mga artikulong "Differential Calculus" at "Integral Calculus".

Sa konklusyon, nais kong manatili sa isang prinsipyo lamang ng abstraction ng matematika na karaniwan sa lahat ng matematika at katangian ng pagsusuri, at sa koneksyon na ito upang ipaliwanag sa kung anong anyo ang pag-aaral ng matematikal na pagsusuri ng mga variable at kung ano ang sikreto ng naturang universality ng mga pamamaraan nito. para sa pag-aaral ng lahat ng uri ng mga tiyak na proseso ng pagbuo at ang kanilang mga ugnayan. .

Tingnan natin ang ilang mga paliwanag na halimbawa at pagkakatulad.

Minsan hindi na natin napagtanto na, halimbawa, ang isang mathematical ratio, na isinulat hindi para sa mga mansanas, upuan o elepante, ngunit sa isang abstract na anyo na nakuha mula sa mga partikular na bagay, ay isang natitirang siyentipikong tagumpay. Isa itong batas sa matematika na ipinakita ng karanasan na naaangkop sa iba't ibang kongkretong bagay. Kaya, nag-aaral sa matematika pangkaraniwang katangian abstract, abstract na mga numero, sa gayon ay pinag-aaralan namin ang dami ng mga relasyon ng totoong mundo.

Halimbawa, alam mula sa isang kurso sa matematika ng paaralan na, samakatuwid, sa isang partikular na sitwasyon, maaari mong sabihin: "Kung ang dalawang anim na toneladang dump truck ay hindi inilaan sa akin para sa pagdadala ng 12 toneladang lupa, maaari kang humiling tatlong apat na toneladang dump truck at gagawin ang trabaho, at kung magbibigay lamang sila ng isang apat na toneladang dump truck, kailangan niyang gumawa ng tatlong flight. Kaya ngayon pamilyar sa amin ang mga abstract na numero at numerical pattern ay nauugnay sa kanilang mga partikular na pagpapakita at aplikasyon.

Humigit-kumulang sa parehong paraan, ang mga batas ng pagbabago ng mga kongkretong variable na dami at pagbuo ng mga proseso ng kalikasan ay konektado sa abstract, abstract form-function kung saan lumilitaw ang mga ito at pinag-aaralan sa mathematical analysis.

Halimbawa, ang abstract ratio ay maaaring isang salamin ng pagtitiwala ng box office sa sinehan sa bilang ng mga tiket na nabili, kung 20 ay 20 kopecks - ang presyo ng isang tiket. Ngunit kung kami ay nagbibisikleta sa isang highway sa 20 km bawat oras, kung gayon ang parehong ratio ay maaaring bigyang-kahulugan bilang ang relasyon ng oras (oras) ng aming biyahe sa bisikleta at ang distansya na sakop sa panahong ito (kilometro), maaari mong palaging magtaltalan na , halimbawa, ang pagbabago ng ilang beses ay humahantong sa isang proporsyonal (i.e., sa parehong bilang ng beses) na pagbabago sa halaga ng , at kung , kung gayon ang kabaligtaran na konklusyon ay totoo din. Kaya, sa partikular, para doblehin ang kita sa takilya ng isang sinehan, kailangan mong makaakit ng dobleng dami ng mga manonood, at para sumakay ng bisikleta sa parehong bilis nang dalawang beses kaysa malayo, kailangan mong sumakay ng dalawang beses ang haba.

Pinag-aaralan ng matematika ang parehong pinakasimpleng dependence at iba pa, mas kumplikadong dependences sa abstract, general, abstract form na nakuha mula sa pribadong interpretasyon. Ang mga katangian ng isang function na natukoy sa naturang pag-aaral o mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga katangiang ito ay magiging likas sa mga pangkalahatang matematikal na pamamaraan, konklusyon, batas at konklusyon na naaangkop sa bawat partikular na phenomenon kung saan ang function na pinag-aralan sa abstract form ay nangyayari, anuman ang larangan ng kaalaman nabibilang ang hindi pangkaraniwang bagay na ito. .

Kaya, ang pagsusuri sa matematika bilang isang sangay ng matematika ay nabuo sa pagtatapos ng ika-17 siglo. Ang paksa ng pag-aaral sa mathematical analysis (tulad ng lumilitaw mula sa mga modernong posisyon) ay mga function, o, sa madaling salita, dependencies sa pagitan ng mga variable.

Sa pagdating ng mathematical analysis, naging posible para sa matematika na pag-aralan at ipakita ang pagbuo ng mga proseso ng totoong mundo; mga variable at motion ang pumasok sa matematika.

Ang nilalaman ng artikulo

KASAYSAYAN NG MATHEMATICS. Ang pinakasinaunang aktibidad sa matematika ay pagbibilang. Ang account ay kinakailangan upang masubaybayan ang mga hayop at kalakalan. Binilang ng ilang primitive na tribo ang bilang ng mga bagay, na iniuugnay ang mga ito sa iba't ibang bahagi ng katawan, pangunahin sa mga daliri at paa. Ang pagguhit ng bato, na napanatili sa ating panahon mula sa Panahon ng Bato, ay naglalarawan ng numero 35 sa anyo ng isang serye ng 35 na mga stick ng daliri na nakahanay sa isang hilera. Ang unang makabuluhang pagsulong sa aritmetika ay ang pagkonsepto ng numero at ang pag-imbento ng apat na pangunahing operasyon: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Ang mga unang tagumpay ng geometry ay nauugnay sa mga simpleng konsepto bilang isang tuwid na linya at isang bilog. Ang karagdagang pag-unlad ng matematika ay nagsimula noong 3000 BC. salamat sa mga Babylonians at Egyptian.

BABYLONIA AT EGYPT

Babylonia.

Ang pinagmumulan ng ating kaalaman tungkol sa sibilisasyong Babylonian ay mahusay na napanatili na mga tapyas na luwad na natatakpan ng tinatawag na. mga tekstong cuneiform na nagmula noong 2000 BC. at hanggang 300 AD Ang matematika sa mga cuneiform na tablet ay pangunahing nauugnay sa housekeeping. Ginamit ang aritmetika at simpleng algebra sa pagpapalitan ng pera at pakikipag-ayos para sa mga kalakal, pagkalkula ng simple at tambalang interes, buwis, at bahagi ng ani na ipinasa sa estado, templo o may-ari ng lupa. Maraming mga problema sa aritmetika at geometriko ang lumitaw na may kaugnayan sa pagtatayo ng mga kanal, kamalig at iba pang mga pampublikong gawain. Ang isang napakahalagang gawain ng matematika ay ang pagkalkula ng kalendaryo, dahil ginamit ang kalendaryo upang matukoy ang oras ng gawaing pang-agrikultura at mga pista opisyal sa relihiyon. Ang paghahati ng bilog sa 360, at ang mga digri at minuto sa 60 bahagi ay nagmula sa astronomiya ng Babylonian.

Ang mga Babylonians ay lumikha din ng isang sistema ng numero na gumamit ng base 10 para sa mga numero mula 1 hanggang 59. Ang simbolo para sa isa ay inulit ang kinakailangang bilang ng beses para sa mga numero mula 1 hanggang 9. Para sa mga numero mula 11 hanggang 59, ang mga Babylonians ay gumamit ng kumbinasyon ng mga simbolo para sa numero 10 at simbolo para sa isa. Upang tukuyin ang mga numero na nagsisimula sa 60 at higit pa, ipinakilala ng mga Babylonians ang isang positional number system na may base 60. Ang isang makabuluhang pagsulong ay ang positional na prinsipyo, ayon sa kung saan ang parehong numerical sign (simbolo) ay may iba't ibang kahulugan depende sa lugar kung saan ito matatagpuan. Ang isang halimbawa ay ang mga halaga ng anim sa (modernong) notasyon ng numerong 606. Gayunpaman, walang zero sa sistema ng numero ng mga sinaunang Babylonians, dahil kung saan ang parehong hanay ng mga character ay maaaring mangahulugan ng parehong numero 65 (60 + 5) at ang bilang 3605 (60 2 + 0 + 5). Nagkaroon din ng mga kalabuan sa interpretasyon ng mga fraction. Halimbawa, ang parehong mga simbolo ay maaaring mangahulugan ng parehong bilang 21 at ang fraction na 21/60 at (20/60 + 1/60 2). Ang kalabuan ay nalutas depende sa partikular na konteksto.

Ang mga Babylonians ay nagtipon ng mga talahanayan ng mga katumbasan (na ginagamit kapag gumagawa ng paghahati), mga talahanayan ng mga parisukat, at parisukat na ugat, pati na rin ang mga talahanayan ng mga cube at cube roots. Alam nila ang isang magandang approximation ng numero. Ang mga tekstong cuneiform na nakatuon sa solusyon ng algebraic at geometric na mga problema ay nagpapahiwatig na ginamit nila ang quadratic formula upang malutas ang mga quadratic equation at maaaring malutas ang ilang mga espesyal na uri mga problema na kinabibilangan ng hanggang sampung equation na may sampung hindi alam, pati na rin ang mga indibidwal na uri ng cubic equation at equation ng ika-apat na degree. Ang mga gawain lamang at ang mga pangunahing hakbang ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay inilalarawan sa mga clay tablet. Dahil ginamit ang geometric na terminolohiya upang magtalaga ng hindi kilalang mga dami, ang mga pamamaraan ng solusyon ay pangunahing binubuo sa mga geometric na operasyon na may mga linya at lugar. Tulad ng para sa mga problema sa algebraic, ang mga ito ay binuo at nalutas sa pandiwang notasyon.

Mga 700 BC Ang mga Babylonians ay nagsimulang gumamit ng matematika upang pag-aralan ang mga paggalaw ng buwan at mga planeta. Ito ay nagpapahintulot sa kanila na mahulaan ang mga posisyon ng mga planeta, na mahalaga para sa parehong astrolohiya at astronomiya.

Sa geometry, alam ng mga Babylonians ang tungkol sa gayong mga relasyon, halimbawa, bilang proporsyonalidad ng mga kaukulang panig ng magkatulad na tatsulok. Alam nila ang Pythagorean theorem at ang katotohanan na ang anggulo na nakasulat sa kalahating bilog ay tama. Mayroon din silang mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga lugar ng mga simpleng flat figure, kabilang ang mga regular na polygon, at ang mga volume ng mga simpleng katawan. Numero p Itinuring ito ng mga Babylonians na katumbas ng 3.

Ehipto.

Ang ating kaalaman sa sinaunang Egyptian mathematics ay pangunahing nakabatay sa dalawang papyri na nagmula noong mga 1700 BC. Ang impormasyong pangmatematika na ipinakita sa mga papiro na ito ay nagmula sa mas naunang panahon - c. 3500 BC Ginamit ng mga Egyptian ang matematika upang kalkulahin ang bigat ng mga katawan, ang lugar sa ilalim ng mga pananim at ang dami ng mga kamalig, ang halaga ng mga buwis at ang bilang ng mga bato na kinakailangan para sa pagtatayo ng ilang mga istraktura. Sa papyri, maaari ding makahanap ng mga problema na may kaugnayan sa pagtukoy ng dami ng butil na kailangan upang maghanda ng isang naibigay na bilang ng mga tarong ng serbesa, pati na rin ang mas kumplikadong mga problema na may kaugnayan sa pagkakaiba sa mga grado ng butil; para sa mga kasong ito, kinakalkula ang mga salik ng conversion.

Ngunit ang pangunahing lugar ng aplikasyon ng matematika ay astronomiya, mas tiyak, mga kalkulasyon na nauugnay sa kalendaryo. Ginamit ang kalendaryo upang matukoy ang mga petsa ng mga pista opisyal sa relihiyon at hulaan ang taunang pagbaha ng Nile. Gayunpaman, ang antas ng pag-unlad ng astronomiya sa Sinaunang Ehipto ay mas mababa kaysa sa antas ng pag-unlad nito sa Babylon.

Ang pagsulat ng sinaunang Egyptian ay batay sa mga hieroglyph. Ang sistema ng numero ng panahong iyon ay mas mababa rin sa Babylonian. Gumamit ang mga Egyptian ng isang non-positional decimal system, kung saan ang mga numero mula 1 hanggang 9 ay tinutukoy ng kaukulang bilang ng mga patayong linya, at ang mga indibidwal na simbolo ay ipinakilala para sa sunud-sunod na kapangyarihan ng 10. Sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagsasama-sama ng mga simbolo na ito, posible na isulat ang anumang numero. Sa pagdating ng papyrus, lumitaw ang tinatawag na hieratic cursive writing, na, naman, ay nag-ambag sa paglitaw ng isang bagong sistema ng numero. Para sa bawat isa sa mga numero mula 1 hanggang 9 at para sa bawat isa sa unang siyam na multiple ng 10, 100, atbp. gumamit ng espesyal na simbolo ng pagkakakilanlan. Ang mga praksiyon ay isinulat bilang kabuuan ng mga praksiyon na may numerator na katumbas ng isa. Sa gayong mga fraction, ginawa ng mga Ehipsiyo ang lahat ng apat mga operasyon sa aritmetika, ngunit ang pamamaraan para sa naturang mga kalkulasyon ay nanatiling napakahirap.

Ang geometry ng mga Egyptian ay nabawasan sa pagkalkula ng mga lugar ng mga parihaba, tatsulok, trapezoid, bilog, pati na rin ang mga formula para sa pagkalkula ng mga volume ng ilang mga katawan. Dapat kong sabihin na ang matematika na ginamit ng mga Egyptian sa pagtatayo ng mga pyramids ay simple at primitive.

Ang mga gawain at solusyon na ibinigay sa papyri ay nabuo lamang sa pamamagitan ng reseta, nang walang anumang paliwanag. Ang mga Egyptian ay nakipag-ugnayan lamang sa mga pinakasimpleng uri ng quadratic equation at arithmetic at geometric progressions, at samakatuwid ang mga pangkalahatang tuntunin na kanilang napaghihinuhaan ay sa pinakasimpleng uri din. Ni Babylonian o Egyptian mathematician ay walang pangkalahatang pamamaraan; ang buong katawan ng kaalaman sa matematika ay isang koleksyon ng mga empirical na pormula at panuntunan.

Kahit na ang Maya na nanirahan sa Central America ay hindi nakaimpluwensya sa pag-unlad ng matematika, ang kanilang mga nagawa, na itinayo noong mga ika-4 na siglo, ay nararapat na bigyang pansin. Ang Maya ay tila ang unang gumamit ng isang espesyal na karakter upang kumatawan sa zero sa kanilang base 20 system. Mayroon silang dalawang sistema ng numero: sa isa, ginamit ang mga hieroglyph, at sa isa pa, mas karaniwan, ang tuldok ay nagsasaad ng isa, ang pahalang na linya ay nagsasaad ng numero 5, at ang simbolo ay nagsasaad ng zero. Ang mga posisyong pagtatalaga ay nagsimula sa numerong 20, at ang mga numero ay isinulat nang patayo mula sa itaas hanggang sa ibaba.

GREEK MATHEMATICS

Klasikong Greece.

Mula sa pananaw ng ika-20 siglo ang mga nagtatag ng matematika ay ang mga Griyego ng klasikal na panahon (ika-6-4 na siglo BC). Ang matematika, na umiral sa naunang panahon, ay isang hanay ng mga konklusyong empirikal. Sa kabaligtaran, sa deduktibong pangangatwiran, ang isang bagong pahayag ay hinihinuha mula sa tinatanggap na lugar sa paraang hindi kasama ang posibilidad ng pagtanggi nito.

Ang paggigiit ng mga Greek sa deductive proof ay isang hindi pangkaraniwang hakbang. Walang ibang sibilisasyon ang nakaisip ng ideya ng pagguhit ng mga konklusyon batay lamang sa deduktibong pangangatwiran mula sa tahasang ipinahayag na mga axiom. Isa sa mga paliwanag para sa pagsunod ng mga Griyego sa mga pamamaraan ng pagbabawas ay makikita natin sa istruktura ng lipunang Griyego ng klasikal na panahon. Ang mga matematiko at pilosopo (kadalasan ay pareho silang tao) ay kabilang sa pinakamataas na strata ng lipunan, kung saan ang anumang praktikal na aktibidad ay itinuturing na isang hindi karapat-dapat na trabaho. Mas gusto ng mga mathematician ang abstract na pangangatwiran tungkol sa mga numero at spatial na relasyon kaysa sa solusyon ng mga praktikal na problema. Ang matematika ay nahahati sa arithmetic - ang teoretikal na aspeto at logistik - ang computational na aspeto. Ang logistik ay ipinaubaya sa mga freeborn ng mga mababang uri at alipin.

Ang deductive character ng Greek mathematics ay ganap na nabuo sa panahon nina Plato at Aristotle. Ang pag-imbento ng deductive mathematics ay kadalasang iniuugnay kay Thales of Miletus (c. 640–546 BC), na, tulad ng maraming sinaunang Greek mathematician ng klasikal na panahon, ay isa ring pilosopo. Iminungkahi na gumamit si Thales ng deduction upang patunayan ang ilang resulta sa geometry, bagama't ito ay nagdududa.

Ang isa pang mahusay na Griyego, na ang pangalan ay nauugnay sa pag-unlad ng matematika, ay si Pythagoras (c. 585-500 BC). Ito ay pinaniniwalaan na siya ay maaaring maging pamilyar sa Babylonian at Egyptian matematika sa panahon ng kanyang mahabang wanderings. Itinatag ni Pythagoras ang isang kilusan na umunlad noong panahon ca. 550–300 BC Ang mga Pythagorean ay lumikha ng purong matematika sa anyo ng teorya ng numero at geometry. Kinakatawan nila ang mga integer sa anyo ng mga pagsasaayos ng mga tuldok o pebbles, pag-uuri ng mga numerong ito alinsunod sa hugis ng mga umuusbong na numero ("mga kulot na numero"). Ang salitang "kalkulasyon" (pagkalkula, pagkalkula) ay nagmula sa salitang Griyego na nangangahulugang "pebble". Mga Numero 3, 6, 10, atbp. Tinawag ito ng mga Pythagorean na tatsulok, dahil kaukulang numero Ang mga pebbles ay maaaring ayusin sa anyo ng isang tatsulok, ang mga numero 4, 9, 16, atbp. - parisukat, dahil ang kaukulang bilang ng mga pebbles ay maaaring ayusin sa anyo ng isang parisukat, atbp.

Ang ilang mga katangian ng mga integer ay lumitaw mula sa mga simpleng geometric na pagsasaayos. Halimbawa, natuklasan ng mga Pythagorean na ang kabuuan ng dalawang magkasunod na triangular na numero ay palaging katumbas ng ilang parisukat na numero. Natuklasan nila na kung (sa modernong notasyon) n Ang 2 ay isang parisukat na numero, kung gayon n 2 + 2n +1 = (n+ 1) 2 . Ang isang numero na katumbas ng kabuuan ng lahat ng sarili nitong divisors, maliban sa numerong ito mismo, ay tinawag na perpekto ng mga Pythagorean. Ang mga halimbawa ng mga perpektong numero ay mga integer tulad ng 6, 28 at 496. Tinatawag ng mga Pythagorean ang dalawang numero na friendly kung ang bawat numero ay katumbas ng kabuuan ng mga divisors ng isa pa; halimbawa, ang 220 at 284 ay mga friendly na numero (at dito ang numero mismo ay hindi kasama sa sarili nitong mga divisors).

Para sa mga Pythagorean, ang anumang numero ay kumakatawan sa isang bagay na higit pa sa isang quantitative na halaga. Halimbawa, ang bilang 2, ayon sa kanilang pananaw, ay nangangahulugang pagkakaiba at samakatuwid ay kinilala sa opinyon. Apat ang kumakatawan sa hustisya, dahil ito ang unang numero na katumbas ng produkto ng dalawang magkaparehong salik.

Natuklasan din ng mga Pythagorean na ang kabuuan ng ilang mga pares ng mga parisukat na numero ay muling isang parisukat na numero. Halimbawa, ang kabuuan ng 9 at 16 ay 25, at ang kabuuan ng 25 at 144 ay 169. Ang mga triplet ng mga numero tulad ng 3, 4, at 5 o 5, 12, at 13 ay tinatawag na mga numerong Pythagorean. Mayroon silang geometric na interpretasyon, kung ang dalawang numero mula sa triple ay katumbas sa haba ng mga binti kanang tatsulok, kung gayon ang pangatlong numero ay magiging katumbas ng haba ng hypotenuse nito. Ang interpretasyong ito ay tila humantong sa mga Pythagorean na matanto ang isang mas pangkalahatang katotohanan, na kilala ngayon bilang Pythagorean theorem, ayon sa kung saan, sa alinmang right triangle, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba. ng mga binti.

Isinasaalang-alang ang isang kanang tatsulok na may mga unit na binti, natuklasan ng mga Pythagorean na ang haba ng hypotenuse nito ay katumbas ng , at ito ay nagdulot sa kanila ng kalituhan, dahil sinubukan nilang kumatawan sa numero bilang isang ratio ng dalawang buong numero, na napakahalaga para sa kanilang pilosopiya. Ang mga halaga na hindi maaaring katawanin bilang isang ratio ng mga integer ay tinawag na hindi matutumbasan ng mga Pythagorean; ang modernong termino ay "hindi makatwiran na mga numero". Mga 300 BC Pinatunayan ni Euclid na ang bilang ay hindi matutumbasan. Ang mga Pythagorean ay humarap sa mga hindi makatwirang numero, na kumakatawan sa lahat ng dami sa mga geometric na imahe. Kung 1 at itinuturing na mga haba ng ilang mga segment, kung gayon ang pagkakaiba sa pagitan ng mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero ay mapapawi. Ang produkto ng mga numero ay ang lugar ng isang parihaba na may mga gilid ng haba at . Kahit na ngayon ay pinag-uusapan natin kung minsan ang numero 25 bilang parisukat ng 5, at ang numero 27 bilang kubo ng 3.

Nilutas ng mga sinaunang Griyego ang mga equation na may mga hindi alam sa pamamagitan ng mga geometric na konstruksyon. Ang mga espesyal na konstruksyon ay binuo para sa pagsasagawa ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga segment, pagkuha ng mga square root mula sa mga haba ng mga segment; ngayon ang pamamaraang ito ay tinatawag na geometric algebra.

Ang pagbabawas ng mga problema sa isang geometric na anyo ay nagkaroon ng ilang mahahalagang kahihinatnan. Sa partikular, ang mga numero ay nagsimulang isaalang-alang nang hiwalay mula sa geometry, dahil posible na magtrabaho kasama ang hindi masusukat na mga relasyon lamang sa tulong ng mga geometric na pamamaraan. Ang geometry ay naging batayan ng halos lahat ng mahigpit na matematika hanggang sa hindi bababa sa 1600. At kahit noong ika-18 siglo, kapag ang algebra at mathematical analysis ay sapat nang nabuo, ang mahigpit na matematika ay itinuring bilang geometry, at ang salitang "geometr" ay katumbas ng salitang " matematiko".

Ito ay sa mga Pythagorean na marami tayong utang na loob sa matematika na noon ay sistematikong ipinakita at napatunayan sa Mga simula Euclid. May dahilan upang maniwala na sila ang nakatuklas ng tinatawag na ngayon bilang theorems tungkol sa mga triangles, parallel lines, polygons, circles, spheres at regular polyhedra.

Isa sa mga pinakakilalang Pythagorean ay si Plato (c. 427–347 BC). Si Plato ay kumbinsido na ang pisikal na mundo ay mauunawaan lamang sa pamamagitan ng matematika. Ito ay pinaniniwalaan na siya ay kredito sa pag-imbento ng analytical method of proof. ( Paraan ng analitikal nagsisimula sa pahayag na patunayan, at pagkatapos ay ang mga kahihinatnan ay sunud-sunod na hinuhusgahan mula rito hanggang sa maabot ang ilang nalalamang katotohanan; ang patunay ay nakuha sa pamamagitan ng isang kabaligtaran na pamamaraan.) Karaniwang tinatanggap na ang mga tagasunod ni Plato ay nag-imbento ng isang paraan ng patunay, na tinatawag na "patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon." Ang isang kilalang lugar sa kasaysayan ng matematika ay inookupahan ni Aristotle, isang estudyante ni Plato. Inilatag ni Aristotle ang mga pundasyon ng agham ng lohika at nagpahayag ng isang bilang ng mga ideya tungkol sa mga kahulugan, axioms, infinity at ang posibilidad ng geometric constructions.

Ang pinakadakila sa mga Greek mathematician ng klasikal na panahon, pangalawa sa kahalagahan lamang kay Archimedes, ay si Eudoxus (c. 408–355 BC). Siya ang nagpakilala ng konsepto ng magnitude para sa mga bagay tulad ng mga segment ng linya at anggulo. Sa pagkakaroon ng konsepto ng magnitude, lohikal na binibigyang-katwiran ni Eudoxus ang paraan ng Pythagorean sa pagharap sa mga hindi makatwirang numero.

Ang mga gawa ng Eudoxus ay naging posible upang maitatag ang deduktibong istruktura ng matematika sa batayan ng mga tahasang nabuong axiom. Siya rin ang nagmamay-ari ng unang hakbang sa paglikha ng mathematical analysis, dahil siya ang nag-imbento ng paraan ng pagkalkula ng mga lugar at volume, na tinawag na "paraan ng pagkaubos". Ang pamamaraang ito ay binubuo sa pagbuo ng mga nakasulat at inilarawan na mga flat figure o spatial body na pumupuno sa (“exhaust”) sa lugar o volume ng figure o body na pinag-aaralan. Eudoxus din ang nagmamay-ari ng unang astronomical theory na nagpapaliwanag sa naobserbahang paggalaw ng mga planeta. Ang teoryang iminungkahi ni Eudoxus ay puro matematika; ipinakita niya kung paano maaaring ipaliwanag ng mga kumbinasyon ng umiikot na mga sphere na may iba't ibang radii at mga palakol ng pag-ikot ang tila hindi regular na paggalaw ng araw, buwan, at mga planeta.

Mga 300 BC ang mga resulta ng maraming Greek mathematician ay pinagsama-sama ni Euclid, na sumulat ng isang mathematical masterpiece Mga simula. Mula sa ilang matalas na napiling mga axiom, nakuha ni Euclid ang humigit-kumulang 500 theorems, na sumasaklaw sa lahat ng pinakamahalagang resulta ng klasikal na panahon. Sinimulan ni Euclid ang kanyang gawain sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga terminong gaya ng linya, anggulo, at bilog. Pagkatapos ay bumalangkas siya ng sampung maliwanag na katotohanan, tulad ng "ang kabuuan ay mas malaki kaysa alinman sa mga bahagi." At mula sa sampung axiom na ito, nakuha ni Euclid ang lahat ng theorems. Para sa mga mathematician text Nagsimula Nagsilbi si Euclid bilang isang modelo ng kahigpitan sa mahabang panahon, hanggang sa ika-19 na siglo. hindi ito nakitang may mga seryosong depekto, tulad ng walang malay na paggamit ng mga pagpapalagay na hindi tahasang sinabi.

Si Apollonius (c. 262–200 BC) ay nabuhay noong panahon ng Alexandrian, ngunit ang kanyang pangunahing gawain ay naaayon sa mga klasikal na tradisyon. Ang kanyang pagsusuri sa mga conic section - ang bilog, ellipse, parabola at hyperbola - ay ang paghantong ng pag-unlad ng Greek geometry. Si Apollonius ay naging tagapagtatag din ng quantitative mathematical astronomy.

Panahon ng Alexandrian.

Sa panahong ito, na nagsimula sa paligid ng 300 BC, nagbago ang kalikasan ng Greek mathematics. Ang Alexandrian mathematics ay bumangon mula sa pagsasanib ng klasikal na Greek mathematics sa matematika ng Babylonia at Egypt. Sa pangkalahatan, ang mga mathematician ng panahon ng Alexandrian ay mas hilig sa paglutas ng puro teknikal na problema kaysa sa pilosopiya. Ang mga dakilang Alexandrian mathematician - sina Eratosthenes, Archimedes, Hipparchus, Ptolemy, Diophantus, at Pappus - ay nagpakita ng kapangyarihan ng Griyegong henyo sa teoretikal na abstraction, ngunit parehong handang gamitin ang kanilang talento sa paglutas ng mga praktikal na problema at puro quantitative na problema.

Nakakita si Eratosthenes (c. 275-194 BC) ng isang simpleng paraan para sa tumpak na pagkalkula ng circumference ng Earth, nagmamay-ari din siya ng isang kalendaryo kung saan bawat ikaapat na taon ay may isang araw na higit sa iba. Ang astronomer na si Aristarchus (c. 310–230 BC) ay nagsulat ng isang sanaysay Tungkol sa mga sukat at distansya ng Araw at Buwan, na naglalaman ng isa sa mga unang pagtatangka upang matukoy ang mga sukat at distansya na ito; sa karakter, geometriko ang gawa ni Aristarchus.

Ang pinakadakilang matematiko noong unang panahon ay si Archimedes (c. 287–212 BC). Siya ang nagmamay-ari ng mga formulations ng maraming theorems sa mga lugar at volume ng mga kumplikadong figure at katawan, medyo mahigpit na pinatunayan niya sa pamamagitan ng paraan ng pagkahapo. Palaging hinahangad ni Archimedes na makakuha ng eksaktong mga solusyon at nakahanap ng upper at lower bounds para sa ir mga rational na numero. Halimbawa, nagtatrabaho sa isang regular na 96-gon, walang kapintasang pinatunayan niya na ang eksaktong halaga ng numero p ay nasa pagitan ng 3 1/7 at 3 10/71. Pinatunayan din ni Archimedes ang ilang theorems na naglalaman ng mga bagong resulta sa geometric algebra. Siya ang nagmamay-ari ng pagbabalangkas ng problema ng pag-dissect ng bola sa pamamagitan ng isang eroplano upang ang mga volume ng mga segment ay nasa isang ibinigay na ratio sa bawat isa. Nalutas ni Archimedes ang problemang ito sa pamamagitan ng paghahanap ng intersection ng isang parabola at isang isosceles hyperbola.

Si Archimedes ang pinakadakilang mathematical physicist noong unang panahon. Upang patunayan ang theorems ng mechanics, ginamit niya ang mga geometric na pagsasaalang-alang. Ang kanyang sanaysay Tungkol sa mga lumulutang na katawan inilatag ang mga pundasyon ng hydrostatics. Ayon sa alamat, natuklasan ni Archimedes ang batas na nagtataglay ng kanyang pangalan, ayon sa kung saan ang isang buoyant force na katumbas ng bigat ng likidong inilipat niya ay kumikilos sa isang katawan na nalubog sa tubig. papunta sa kalye na sumisigaw ng "Eureka!" ("Binuksan!")

Sa panahon ni Archimedes, hindi na sila limitado mga geometric na konstruksyon, magagawa lamang gamit ang isang compass at straightedge. Gumamit si Archimedes ng spiral sa kanyang mga konstruksyon, at nilutas ni Diocles (katapusan ng ika-2 siglo BC) ang problema ng pagdodoble ng kubo sa tulong ng isang kurba na kanyang ipinakilala, na tinatawag na cissoid.

Sa panahon ng Alexandrian, ang arithmetic at algebra ay itinuturing na malaya sa geometry. Ang mga Griyego ng klasikal na panahon ay may lohikal na nakabatay sa teorya ng mga integer, ngunit ang mga Alexandrian na Griyego, na nagpatibay ng Babylonian at Egyptian na aritmetika at algebra, ay higit na nawala ang kanilang nabuo nang mga ideya tungkol sa higpit ng matematika. Nabuhay sa pagitan ng 100 BC at 100 AD Binago ng Bayani ng Alexandria ang karamihan sa geometric algebra ng mga Griyego sa tuwirang maluwag na mga pamamaraan sa pagtutuos. Gayunpaman, sa pagpapatunay ng mga bagong teorema ng Euclidean geometry, ginagabayan pa rin siya ng mga pamantayan ng lohikal na higpit ng klasikal na panahon.

Ang unang medyo makapal na libro kung saan ang aritmetika ay ipinakita nang malaya sa geometry ay Panimula sa Arithmetic Nicomachus (c. 100 AD). Sa kasaysayan ng aritmetika, ang papel nito ay maihahambing sa Nagsimula Euclid sa kasaysayan ng geometry. Sa loob ng mahigit 1,000 taon, ito ay nagsilbing pamantayang aklat-aralin dahil malinaw, maigsi, at komprehensibong ipinapaliwanag nito ang doktrina ng buong mga numero (prime, composite, coprime, at gayundin ang mga proporsyon). Ang pag-uulit ng maraming Pythagorean na pahayag, Panimula Si Nicomachus, gayunpaman, ay nagpatuloy, dahil si Nicomachus ay nakakita rin ng mas pangkalahatang mga relasyon, bagaman binanggit niya ang mga ito nang walang patunay.

Isang makabuluhang milestone sa algebra ng Alexandrian Greeks ang gawain ni Diophantus (c. 250). Ang isa sa kanyang mga pangunahing tagumpay ay konektado sa pagpapakilala ng mga prinsipyo ng simbolismo sa algebra. Sa kanyang mga gawa, hindi nag-aalok si Diophantus ng mga pangkalahatang pamamaraan, nakipag-usap siya sa mga tiyak na positibong rational na numero, at hindi sa kanilang mga pagtatalaga ng titik. Inilatag niya ang mga pundasyon para sa tinatawag na. pagsusuri ng diophantine - pag-aaral ng mga hindi tiyak na equation.

Ang pinakamataas na tagumpay ng Alexandrian mathematicians ay ang paglikha ng quantitative astronomy. Hipparchus (c. 161-126 BC) utang natin ang pag-imbento ng trigonometry. Ang kanyang pamamaraan ay batay sa isang teorama na nagsasaad na sa magkatulad na mga tatsulok ang ratio ng mga haba ng alinmang dalawang panig ng isa sa mga ito ay katumbas ng ratio ng mga haba ng dalawang kaukulang panig ng isa pa. Sa partikular, ang ratio ng haba ng binti sa tapat ng matinding anggulo PERO sa isang right triangle, ang haba ng hypotenuse ay dapat na pareho para sa lahat ng right triangle na may parehong acute angle PERO. Ang ratio na ito ay kilala bilang sine ng anggulo PERO. Ang ratio ng mga haba ng iba pang panig ng isang right triangle ay tinatawag na cosine at tangent ng anggulo PERO. Inimbento ni Hipparchus ang isang paraan para sa pagkalkula ng mga ratios at pinagsama ang kanilang mga talahanayan. Sa mga talahanayang ito at madaling masusukat na mga distansya sa ibabaw ng Earth, nagawa niyang kalkulahin ang haba ng malaking circumference nito at ang distansya sa buwan. Ayon sa kanyang mga kalkulasyon, ang radius ng buwan ay isang ikatlong bahagi ng radius ng mundo; Ayon sa modernong data, ang ratio ng radii ng Buwan at ng Earth ay 27/1000. Tinukoy ni Hipparchus ang haba ng solar year na may error na 6 1/2 minuto lamang; pinaniniwalaan na siya ang nagpakilala ng latitude at longitudes.

Ang trigonometrya ng Greek at ang mga aplikasyon nito sa astronomiya ay umabot sa kanilang rurok Almagest Ang Egyptian na si Claudius Ptolemy (namatay noong 168 AD). AT Almagest ipinakilala ang teorya ng paggalaw mga katawang makalangit, na nangibabaw hanggang sa ika-16 na siglo, nang ito ay pinalitan ng teorya ni Copernicus. Hinangad ni Ptolemy na itayo ang pinakasimple matematikal na modelo, napagtatanto na ang kanyang teorya ay isa lamang maginhawang paglalarawan sa matematika ng astronomical phenomena, na naaayon sa mga obserbasyon. Ang teorya ng Copernican ay tiyak na nanaig dahil, bilang isang modelo, ito ay naging mas simple.

Ang paghina ng Greece.

Matapos ang pananakop ng mga Romano sa Ehipto noong 31 BC. bumagsak ang dakilang sibilisasyong Greek Alexandrian. Ipinagmamalaki ni Cicero na, hindi katulad ng mga Griyego, ang mga Romano ay hindi nangangarap, at samakatuwid ay inilalapat ang kanilang kaalaman sa matematika, na nakakakuha ng mga tunay na benepisyo mula sa kanila. Gayunpaman, ang kontribusyon ng mga Romano sa pag-unlad ng matematika mismo ay hindi gaanong mahalaga. Ang sistema ng numero ng Romano ay batay sa masalimuot na notasyon para sa mga numero. Ang pangunahing tampok nito ay ang additive na prinsipyo. Kahit na ang subtractive na prinsipyo, halimbawa, ang pagsusulat ng numero 9 sa anyo ng IX, ay malawakang ginagamit lamang pagkatapos ng pag-imbento ng mga titik ng pag-type noong ika-15 siglo. Ang mga Romanong pagtatalaga para sa mga numero ay ginamit sa ilang mga paaralan sa Europa hanggang mga 1600, at sa accounting pagkaraan ng isang siglo.

INDIA AT ARAB

Ang mga kahalili ng mga Greek sa kasaysayan ng matematika ay ang mga Indian. Ang mga Indian mathematician ay hindi humarap sa mga patunay, ngunit ipinakilala nila ang mga orihinal na konsepto at isang serye mabisang pamamaraan. Sila ang unang nagpakilala ng zero bilang isang kardinal na numero at bilang isang simbolo ng kawalan ng mga yunit sa kaukulang kategorya. Itinatag ni Mahavira (850 AD) ang mga patakaran para sa mga operasyon na may zero, na naniniwala, gayunpaman, na ang paghahati ng isang numero sa zero ay nag-iiwan ng numero na hindi nagbabago. Ang tamang sagot para sa kaso ng paghahati ng isang numero sa zero ay ibinigay ni Bhaskara (ipinanganak noong 1114), siya rin ang nagmamay-ari ng mga patakaran para sa mga operasyon sa mga hindi makatwirang numero. Ipinakilala ng mga Indian ang konsepto ng mga negatibong numero (upang tukuyin ang mga utang). Natagpuan namin ang pinakamaagang paggamit ng mga ito sa Brahmagupta (c. 630). Si Aryabhata (p. 476) ay higit pa kaysa kay Diophantus sa paggamit ng patuloy na mga praksiyon upang malutas ang mga hindi tiyak na equation.

Ang aming modernong sistema ng numero, batay sa posisyonal na prinsipyo ng pagsulat ng mga numero at sero bilang isang kardinal na numero at paggamit ng pagtatalaga ng isang bit na walang laman, ay tinatawag na Hindu-Arabic. Sa dingding ng templong itinayo sa India c. 250 BC, ilang mga numero ang natagpuan, na nakapagpapaalaala sa ating mga modernong numero sa kanilang mga balangkas.

Humigit-kumulang 800 Indian mathematics ang nakarating sa Baghdad. Ang terminong "algebra" ay nagmula sa simula ng pamagat ng aklat Al-jabr wal-muqabala (Pagkumpleto at pagsalungat), isinulat noong 830 ng astronomer at mathematician na si al-Khwarizmi. Sa kanyang sanaysay, nagbigay siya ng parangal sa mga merito ng Indian mathematics. Ang algebra ni Al-Khwarizmi ay batay sa mga sinulat ni Brahmagupta, ngunit ang mga impluwensyang Babylonian at Griyego ay malinaw na nakikilala dito. Ang isa pang kilalang Arabong matematiko, si Ibn al-Haytham (c. 965–1039), ay nakabuo ng paraan para sa pagkuha ng mga algebraic na solusyon sa quadratic at cubic equation. Ang mga Arab mathematician, kabilang si Omar Khayyam, ay nagawang lutasin ang ilang mga cubic equation gamit ang mga geometric na pamamaraan gamit ang mga conic na seksyon. Ipinakilala ng mga Arab astronomo ang konsepto ng tangent at cotangent sa trigonometry. Nasir al-Din Tusi (1201–1274) c Treatise sa kumpletong may apat na gilid sistematikong nagpapaliwanag ng eroplano at spherical geometries at ang unang nag-isip ng trigonometry nang hiwalay sa astronomy.

Ngunit ang pinakamahalagang kontribusyon ng mga Arabo sa matematika ay ang kanilang mga pagsasalin at komentaryo sa mga dakilang gawa ng mga Griyego. Nakilala ng Europa ang mga akdang ito pagkatapos ng pananakop ng mga Arabo Hilagang Africa at Espanya, at nang maglaon ay isinalin sa Latin ang mga gawa ng mga Griyego.

MIDDLE AGES AT RENAISSANCE

Medieval Europe.

Ang sibilisasyong Romano ay nag-iwan ng kaunting marka sa matematika dahil ito ay masyadong abala sa paglutas ng mga praktikal na problema. Ang sibilisasyong umunlad sa Europa noong unang bahagi ng Middle Ages (c. 400-1100) ay hindi produktibo para sa eksaktong kabaligtaran na dahilan: ang intelektwal na buhay ay nakatuon halos eksklusibo sa teolohiya at sa kabilang buhay. Ang antas ng kaalaman sa matematika ay hindi umangat sa arithmetic at simpleng mga seksyon mula sa Nagsimula Euclid. Ang astrolohiya ay itinuturing na pinakamahalagang sangay ng matematika sa Middle Ages; Ang mga astrologo ay tinawag na mga mathematician. At dahil ang pagsasagawa ng medisina ay pangunahing nakabatay sa astrological indications o contraindications, ang mga manggagamot ay walang pagpipilian kundi maging mga mathematician.

Sa paligid ng 1100, nagsimula ang Western European mathematics ng halos tatlong siglong yugto ng pag-unlad ng pamana na napanatili ng mga Arabo at Byzantine Greeks. sinaunang mundo at Silangan. Dahil ang mga Arabo ang nagmamay-ari ng halos lahat ng mga gawa ng mga sinaunang Griyego, ang Europa ay nakatanggap ng malawak na panitikan sa matematika. Ang pagsasalin ng mga akdang ito sa Latin ay nag-ambag sa pag-usbong ng pananaliksik sa matematika. Inamin ng lahat ng mahusay na siyentipiko noong panahong iyon na nakakuha sila ng inspirasyon mula sa mga akda ng mga Griyego.

Ang unang European mathematician na nagkakahalaga ng pagbanggit ay si Leonardo ng Pisa (Fibonacci). Sa kanyang sanaysay aklat ng abako(1202) ipinakilala niya ang mga Europeo sa Indo-Arabic numeral at mga paraan ng pagkalkula, gayundin sa Arabic algebra. Sa sumunod na ilang siglo, humina ang aktibidad ng matematika sa Europa. Ang katawan ng kaalaman sa matematika noong panahong iyon, na pinagsama-sama ni Luca Pacioli noong 1494, ay hindi naglalaman ng anumang algebraic na inobasyon na wala kay Leonardo.

Renaissance.

Kabilang sa mga pinakamahusay na geometer ng Renaissance ay ang mga artista na bumuo ng ideya ng pananaw, na nangangailangan ng geometry na may nagtatagpo na mga parallel na linya. Ipinakilala ng pintor na si Leon Battista Alberti (1404–1472) ang mga konsepto ng projection at seksyon. Ang mga rectilinear ray ng liwanag mula sa mata ng nagmamasid sa iba't ibang punto ng itinatanghal na eksena ay bumubuo ng isang projection; ang seksyon ay nakuha kapag ang eroplano ay dumaan sa projection. Upang ang pininturahan na larawan ay magmukhang makatotohanan, kailangan itong maging isang seksyon. Ang mga konsepto ng projection at seksyon ay nagbunga ng mga puro matematikal na tanong. Halimbawa, ano ang mga pangkalahatang geometric na katangian ng seksyon at ang orihinal na eksena, ano ang mga katangian ng dalawang magkaibang seksyon ng parehong projection na nabuo ng dalawang magkaibang eroplano na nagsasalubong sa projection sa magkaibang anggulo? Ang projective geometry ay lumitaw mula sa mga naturang katanungan. Ang tagapagtatag nito, si J. Desargues (1593–1662), gamit ang mga patunay batay sa projection at seksyon, pinag-isa ang diskarte sa iba't ibang uri ng conic section, na pinaghiwalay ng mahusay na Greek geoometer na si Apollonius.

ANG SIMULA NG MAKABAGONG MATHEMATICS

Ang opensiba noong ika-16 na siglo sa Kanlurang Europa ay minarkahan ng mahahalagang tagumpay sa algebra at arithmetic. Ang mga desimal na fraction at mga panuntunan para sa mga operasyong aritmetika sa kanila ay inilagay sa sirkulasyon. Ang isang tunay na tagumpay ay ang imbensyon noong 1614 ng logarithms ni J. Napier. Sa pagtatapos ng ika-17 siglo. Ang pag-unawa sa logarithms bilang mga exponent na may anumang positibong numero maliban sa isa bilang base ay sa wakas ay nabuo. Mula sa simula ng ika-16 na siglo Ang mga hindi makatwirang numero ay nagsimulang gamitin nang mas malawak. B. Pascal (1623–1662) at I. Barrow (1630–1677), ang guro ni I. Newton sa Unibersidad ng Cambridge, ay nangatuwiran na ang nasabing bilang ay maaari lamang bigyang kahulugan bilang isang geometric na dami. Gayunpaman, sa parehong mga taon, R. Descartes (1596–1650) at J. Wallis (1616–1703) ay naniniwala na ang mga hindi makatwirang numero ay tinatanggap sa kanilang sarili, nang walang pagtukoy sa geometry. Noong ika-16 na siglo nagpatuloy ang kontrobersya sa legalidad ng pagpapakilala ng mga negatibong numero. Kahit na hindi gaanong katanggap-tanggap ay ang mga kumplikadong numero na lumitaw sa paglutas ng mga parisukat na equation, tulad ng mga tinatawag na "imaginary" ni Descartes. Ang mga bilang na ito ay pinaghihinalaan kahit noong ika-18 siglo, bagaman matagumpay na ginamit ni L. Euler (1707-1783) ang mga ito. Ang mga kumplikadong numero ay sa wakas ay nakilala lamang sa simula ng ika-19 na siglo, nang ang mga mathematician ay naging pamilyar sa kanilang geometric na representasyon.

pagsulong sa algebra.

Noong ika-16 na siglo Ang mga Italian mathematician na sina N. Tartaglia (1499–1577), S. Dal Ferro (1465–1526), ​​L. Ferrari (1522–1565) at D. Cardano (1501–1576) ay nakahanap ng mga pangkalahatang solusyon sa mga equation ng ikatlo at ikaapat degrees. Upang gawing mas tumpak ang algebraic na pangangatwiran at pagsulat, ang iba't ibang mga simbolo ay ipinakilala, kabilang ang +, -, ґ, =, >, at<.>b 2 - 4 ac] quadratic equation, lalo na ang equation palakol 2 + bx + c= 0 ay may pantay na tunay, magkaibang tunay, o kumplikadong conjugate na mga ugat, depende sa kung ang discriminant ay b 2 – 4ac katumbas ng zero, mas malaki sa o mas mababa sa zero. Noong 1799 pinatunayan ni K. Friedrich Gauss (1777-1855) ang tinatawag na. pangunahing teorama ng algebra: bawat polynomial n ang antas ay may eksakto n mga ugat.

Ang pangunahing gawain ng algebra - ang paghahanap para sa isang pangkalahatang solusyon ng mga algebraic equation - ay patuloy na sinakop ang mga mathematician noong unang bahagi ng ika-19 na siglo. Kapag pinag-uusapan ang pangkalahatang solusyon ng isang equation ng pangalawang degree palakol 2 + bx + c= 0, nangangahulugan na ang bawat isa sa dalawang ugat nito ay maaaring ipahayag gamit ang isang may hangganang bilang ng mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagkuha ng mga ugat na isinagawa sa mga coefficient. a, b at kasama. Ang batang Norwegian na matematiko na si N. Abel (1802–1829) ay nagpatunay na imposibleng makuha karaniwang desisyon mga equation ng degree na mas mataas sa 4 gamit ang isang finite number of algebraic operations. Gayunpaman, mayroong maraming mga equation ng isang espesyal na anyo ng degree na mas mataas kaysa sa 4 na umaamin ng naturang solusyon. Sa bisperas ng kanyang kamatayan sa isang tunggalian, ang batang Pranses na matematiko na si E. Galois (1811–1832) ay nagbigay ng mapagpasyang sagot sa tanong kung aling mga equation ang malulutas sa mga radical, i.e. ang mga ugat kung saan ang mga equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng kanilang mga coefficient gamit ang isang may hangganang bilang ng mga algebraic na operasyon. Sa teoryang Galois, ginamit ang mga pagpapalit o permutasyon ng mga ugat at ipinakilala ang konsepto ng isang pangkat, na natagpuan ang malawak na aplikasyon sa maraming larangan ng matematika.

Analytic geometry.

Ang analytic, o coordinate, geometry ay independyenteng nilikha ni P. Fermat (1601–1665) at R. Descartes upang palawakin ang mga posibilidad ng Euclidean geometry sa mga problema sa konstruksyon. Gayunpaman, itinuring ni Fermat ang kanyang trabaho bilang isang reformulation lamang ng gawain ni Apollonius. Tunay na pagtuklas - ang pagsasakatuparan ng lahat ng kapangyarihan algebraic na pamamaraan ay kay Descartes. Ang Euclidean geometric algebra para sa bawat konstruksiyon ay nangangailangan ng pag-imbento ng orihinal nitong pamamaraan at hindi makapag-alok ng dami ng impormasyong kailangan ng agham. Nalutas ni Descartes ang problemang ito: bumalangkas siya ng mga geometric na problema sa algebraically, nalutas ang isang algebraic equation, at pagkatapos lamang ay binuo ang nais na solusyon - isang segment na may naaangkop na haba. Ang wastong analytic geometry ay lumitaw nang si Descartes ay nagsimulang isaalang-alang ang hindi tiyak na mga problema sa pagtatayo, ang mga solusyon na kung saan ay hindi isa, ngunit isang hanay ng mga posibleng haba.

Gumagamit ang analytic geometry ng mga algebraic equation upang kumatawan at mag-aral ng mga curve at surface. Itinuring ni Descartes na katanggap-tanggap ang isang curve na maaaring isulat sa isang solong algebraic equation para sa X at sa. Ang diskarte na ito ay isang mahalagang hakbang pasulong, dahil hindi lamang nito kasama ang mga kurba tulad ng conchoid at cissoid, ngunit makabuluhang pinalawak din ang hanay ng mga kurba. Bilang isang resulta, sa 17-18 siglo. maraming mahahalagang bagong kurba, gaya ng cycloid at catenary, ang pumasok sa siyentipikong paggamit.

Tila, ang unang mathematician na gumamit ng mga equation upang patunayan ang mga katangian ng conic section ay si J. Wallis. Noong 1865, nakuha niya sa algebraically ang lahat ng mga resulta na ipinakita sa Book V Nagsimula Euclid.

Ganap na binaligtad ng analytic geometry ang mga tungkulin ng geometry at algebra. Tulad ng sinabi ng mahusay na Pranses na matematiko na si Lagrange, "Habang ang algebra at geometry ay hiwalay na ang paraan, ang kanilang pag-unlad ay mabagal at ang kanilang mga aplikasyon ay limitado. Ngunit nang ang mga agham na ito ay pinagsama ang kanilang mga pagsisikap, sila ay humiram ng bagong sigla sa isa't isa, at mula noon sila ay patungo sa pagiging perpekto na may mabilis na mga hakbang. Tingnan din ALGEBRAIC GEOMETRY; HEOMETRI; HEOMETRI REVIEW.

Pagsusuri sa matematika.

Ang mga tagapagtatag ng modernong agham - sina Copernicus, Kepler, Galileo at Newton - ay lumapit sa pag-aaral ng kalikasan bilang matematika. Habang nag-aaral ng galaw, ang mga mathematician ay nakabuo ng isang pangunahing konsepto bilang isang function, o isang relasyon sa pagitan ng mga variable, halimbawa. d = kt 2, kung saan d ay ang distansyang nilakbay ng isang malayang bumabagsak na katawan, at t ay ang bilang ng mga segundo na kinaroroonan ng katawan libreng pagkahulog. Ang konsepto ng function ay agad na naging sentro sa kahulugan ng bilis sa sa sandaling ito oras at acceleration ng isang gumagalaw na katawan. Ang kahirapan sa matematika ng problemang ito ay na sa anumang sandali ang katawan ay naglalakbay ng zero na distansya sa zero na oras. Samakatuwid, ang pagtukoy ng halaga ng bilis sa isang sandali ng oras sa pamamagitan ng paghahati ng landas sa oras, darating tayo sa mathematically na walang kahulugan na expression na 0/0.

Ang gawain ng kahulugan at pagkalkula mga instant na bilis ang mga pagbabago sa iba't ibang dami ay nakakuha ng atensyon ng halos lahat ng mathematician noong ika-17 siglo, kabilang ang Barrow, Fermat, Descartes, at Wallis. Ang magkakaibang ideya at pamamaraan na iminungkahi ng mga ito ay pinagsama sa isang sistematiko, pangkalahatang naaangkop na pormal na pamamaraan nina Newton at G. Leibniz (1646–1716), ang mga lumikha ng differential calculus. Nagkaroon ng mainit na debate sa pagitan nila tungkol sa priyoridad sa pagbuo ng calculus na ito, kung saan inaakusahan ni Newton si Leibniz ng plagiarism. Gayunpaman, tulad ng ipinakita ng mga pag-aaral ng mga istoryador ng agham, si Leibniz ay lumikha ng mathematical analysis nang independiyenteng Newton. Bilang resulta ng salungatan, ang pagpapalitan ng mga ideya sa pagitan ng mga matematiko ng kontinental na Europa at Inglatera ay naantala sa loob ng maraming taon, sa kapinsalaan ng panig ng Britanya. Ang mga English mathematician ay nagpatuloy na bumuo ng mga ideya ng pagsusuri sa isang geometric na direksyon, habang ang mga mathematician ng continental Europe, kasama sina I. Bernoulli (1667–1748), Euler at Lagrange, ay nakamit ang walang katulad na mas malaking tagumpay, kasunod ng algebraic, o analytical, approach.

Ang batayan ng lahat ng pagsusuri sa matematika ay ang konsepto ng isang limitasyon. Ang bilis sa isang punto ng oras ay tinukoy bilang ang limitasyon kung saan ang average na bilis d/t kapag ang halaga t lumalapit sa zero. Ang differential calculus ay nagbibigay ng isang maginhawang pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng rate ng pagbabago ng isang function f (x) para sa anumang halaga X. Ang bilis na ito ay tinatawag na derivative. Mula sa pangkalahatan ng talaan f (x) malinaw na ang konsepto ng isang derivative ay naaangkop hindi lamang sa mga problema na may kaugnayan sa pangangailangan upang mahanap ang bilis o acceleration, ngunit din na may kaugnayan sa anumang functional dependence, halimbawa, sa ilang ratio mula sa teoryang pang-ekonomiya. Ang isa sa mga pangunahing aplikasyon ng differential calculus ay ang tinatawag na. mga gawain para sa maximum at minimum; Ang isa pang mahalagang hanay ng mga problema ay ang paghahanap ng tangent sa isang naibigay na kurba.

Ito ay lumabas na sa tulong ng derivative, espesyal na imbento para sa pagtatrabaho sa mga problema ng paggalaw, maaari ring makahanap ng mga lugar at volume na nakatali sa mga kurba at ibabaw, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga pamamaraan ng Euclidean geometry ay walang wastong pangkalahatan at hindi pinapayagan ang pagkuha ng kinakailangang dami ng mga resulta. Sa pamamagitan ng pagsisikap ng mga mathematician noong ika-17 siglo. Maraming mga pribadong pamamaraan ang nilikha na naging posible upang mahanap ang mga lugar ng mga figure na nalilimitahan ng mga kurba ng isang uri o iba pa, at sa ilang mga kaso ang isang koneksyon ay nabanggit sa pagitan ng mga problemang ito at mga problema ng paghahanap ng rate ng pagbabago ng mga function. Ngunit, tulad ng sa kaso ng differential calculus, sina Newton at Leibniz ang natanto ang pangkalahatan ng pamamaraan at sa gayon ay inilatag ang mga pundasyon ng integral calculus.

MODERNANG MATHEMATICS

Ang paglikha ng differential at integral calculus ay minarkahan ang simula ng "higher mathematics". Ang mga pamamaraan ng mathematical analysis, sa kaibahan sa konsepto ng limitasyon na pinagbabatayan nito, ay mukhang malinaw at naiintindihan. Sa loob ng maraming taon, sinubukan ng mga mathematician, kabilang sina Newton at Leibniz, na magbigay ng isang tiyak na kahulugan ng konsepto ng limitasyon. Gayunpaman, sa kabila ng maraming mga pagdududa tungkol sa bisa ng pagsusuri sa matematika, ito ay lalong malawak na ginagamit. Ang differential at integral na calculus ay naging mga pundasyon ng mathematical analysis, na kalaunan ay kasama ang mga paksa tulad ng theory of differential equation, ordinary at partial derivatives, infinite series, calculus of variations, differential geometry at marami pang iba. Ang isang mahigpit na kahulugan ng limitasyon ay nakuha lamang noong ika-19 na siglo.

Non-Euclidean geometry.

Noong 1800, ang matematika ay nakasalalay sa dalawang "pillars" - sa sistema ng numero at Euclidean geometry. Dahil maraming mga katangian ng sistema ng numero ang napatunayang geometrically, ang Euclidean geometry ay ang pinaka-maaasahang bahagi ng pagbuo ng matematika. Gayunpaman, ang axiom ng mga parallel ay naglalaman ng isang pahayag tungkol sa mga linya na umaabot sa kawalang-hanggan, na hindi makumpirma ng karanasan. Kahit na ang sariling bersyon ni Euclid ng axiom na ito ay hindi man lang nagsasaad na ang ilang mga linya ay hindi magsalubong. Sa halip, ito ay bumubuo ng isang kundisyon kung saan sila ay nagsalubong sa isang dulong punto. Sa loob ng maraming siglo, sinubukan ng mga mathematician na makahanap ng angkop na kapalit para sa parallel axiom. Ngunit sa bawat variant ay tiyak na may ilang uri ng puwang. Ang karangalan ng paglikha ng non-Euclidean geometry ay nahulog kay N.I. Lobachevsky (1792–1856) at J. Bolyai (1802–1860), na ang bawat isa ay nakapag-iisa na naglathala ng kanyang sariling orihinal na paglalahad ng non-Euclidean geometry. Sa kanilang mga geometries sa pamamagitan ng ibinigay na punto walang hanggan maraming magkatulad na linya ang maaaring iguhit. Sa geometry ng B. Riemann (1826–1866), walang isang parallel na linya ang maaaring iguhit sa isang punto sa labas ng isang tuwid na linya.

Walang seryosong nag-isip tungkol sa mga pisikal na aplikasyon ng non-Euclidean geometry. Ang paglikha ni A. Einstein (1879–1955) ng pangkalahatang teorya ng relativity noong 1915 ay gumising sa siyentipikong mundo sa pagsasakatuparan ng realidad ng non-Euclidean geometry.

hirap sa matematika.

Hanggang sa mga 1870, ang mga mathematician ay kumbinsido na sila ay kumikilos ayon sa mga plano ng mga sinaunang Griyego, na nag-aaplay ng deduktibong pangangatwiran sa mga mathematical axioms, sa gayon ay nagbibigay ng kanilang mga konklusyon na walang mas kaunting pagiging maaasahan kaysa sa taglay ng mga axiom. Ang non-Euclidean geometry at quaternions (isang algebra kung saan hindi hawak ang property ng commutativity) ay nagpaunawa sa mga mathematician na kung ano ang kinuha nila para sa abstract at lohikal na pare-parehong mga pahayag, sa katotohanan ay nakasalalay sa isang empirical at pragmatic na batayan.

Ang paglikha ng non-Euclidean geometry ay sinamahan din ng pagsasakatuparan ng pagkakaroon ng mga lohikal na gaps sa Euclidean geometry. Isa sa mga pagkukulang ng Euclidean Nagsimula ay ang paggamit ng mga pagpapalagay na hindi tahasang sinabi. Tila, hindi kinuwestiyon ni Euclid ang mga ari-arian na kanya mga geometric na numero, ngunit ang mga katangiang ito ay hindi kasama sa kanyang mga axiom. Bilang karagdagan, na nagpapatunay sa pagkakapareho ng dalawang tatsulok, ginamit ni Euclid ang pagpapataw ng isang tatsulok sa isa pa, na walang pahiwatig na ipinapalagay na ang mga katangian ng mga figure ay hindi nagbabago sa panahon ng paggalaw. Ngunit bukod sa gayong mga lohikal na gaps, sa Mga simula Mayroon ding ilang mga maling patunay.

Ang paglikha ng mga bagong algebra, na nagsimula sa mga quaternion, ay nagbunga ng mga katulad na pagdududa tungkol sa lohikal na bisa ng arithmetic at ang algebra ng karaniwang sistema ng numero. Ang lahat ng mga numero na dating kilala sa mga mathematician ay may pag-aari ng commutativity, i.e. ab = ba. Ang mga Quaternion, na gumawa ng rebolusyon sa mga tradisyonal na ideya tungkol sa mga numero, ay natuklasan noong 1843 ni W. Hamilton (1805–1865). Ang mga ito ay naging kapaki-pakinabang para sa paglutas ng isang bilang ng mga pisikal at geometric na problema, kahit na ang commutativity property ay hindi humawak para sa mga quaternion. Pinilit ng mga quaternion ang mga mathematician na matanto na, bukod sa integer at malayo sa perpektong bahagi ng Euclidean Nagsimula, arithmetic at algebra ay walang sariling axiomatic na batayan. Malayang pinangangasiwaan ng mga mathematician ang negatibo at kumplikadong mga numero at nagsagawa ng mga algebraic na operasyon, na ginagabayan lamang ng katotohanang matagumpay silang gumagana. Ang lohikal na higpit ay nagbigay daan sa pagpapakita ng praktikal na gamit ng pagpapasok ng mga kahina-hinalang konsepto at pamamaraan.

Halos sa simula pa lang ng mathematical analysis, paulit-ulit na ang pagtatangka na bigyan ito ng mahigpit na pundasyon. Ang pagsusuri sa matematika ay nagpakilala ng dalawang bagong kumplikadong konsepto - derivative at tiyak na integral. Ang mga konseptong ito ay ipinaglaban nina Newton at Leibniz, gayundin ng mga mathematician ng mga sumunod na henerasyon, na ginawang mathematical analysis ang differential at integral calculus. Gayunpaman, sa kabila ng lahat ng pagsisikap, marami ang hindi malinaw sa mga konsepto ng limitasyon, pagpapatuloy, at pagkakaiba-iba. Bilang karagdagan, ito ay lumabas na ang mga katangian ng algebraic function ay hindi maaaring ilipat sa lahat ng iba pang mga function. Halos lahat ng mga mathematician noong ika-18 siglo at simula ng ika-19 na siglo. Ang mga pagsisikap ay ginawa upang makahanap ng isang mahigpit na batayan para sa calculus, at lahat sila ay nabigo. Sa wakas, noong 1821, si O. Cauchy (1789-1857), gamit ang konsepto ng numero, ay nagdala ng isang mahigpit na batayan para sa lahat ng pagsusuri sa matematika. Gayunpaman, kalaunan ay natuklasan ng mga mathematician ang mga lohikal na puwang sa Cauchy. Ang nais na kalubhaan ay sa wakas ay nakamit noong 1859 ni K. Weierstrass (1815-1897).

Una nang isinasaalang-alang ng Weierstrass ang mga katangian ng tunay at kumplikadong mga numero maliwanag sa sarili. Nang maglaon, natanto niya, tulad nina G. Kantor (1845–1918) at R. Dedekind (1831–1916), ang pangangailangang bumuo ng isang teorya hindi nakapangangatwiran numero. Nagbigay sila ng tamang kahulugan ng mga irrational na numero at itinatag ang kanilang mga pag-aari, ngunit ang mga katangian ng mga rational na numero ay itinuturing pa rin na maliwanag. Sa wakas, nakuha ng lohikal na istruktura ng teorya ng tunay at kumplikadong mga numero ang pangwakas na anyo nito sa mga gawa nina Dedekind at J. Peano (1858–1932). Ang paglikha ng mga pundasyon ng isang numerical system ay naging posible upang malutas ang mga problema sa pagpapatibay ng algebra.

Ang gawain ng pagpapalakas ng higpit ng mga formulations ng Euclidean geometry ay medyo simple at katumbas ng paglilista ng mga tinukoy na termino, paglilinaw ng mga kahulugan, pagpapakilala ng mga nawawalang axiom, at pagpuno sa mga puwang sa mga patunay. Ang gawaing ito ay natapos noong 1899 ni D. Gilbert (1862–1943). Halos sa parehong oras, ang mga pundasyon ng iba pang mga geometries ay inilatag. Binumula ni Hilbert ang konsepto ng pormal na axiomatics. Ang isa sa mga tampok ng kanyang diskarte ay ang interpretasyon ng mga hindi natukoy na termino: maaari silang mangahulugan ng anumang mga bagay na nagbibigay-kasiyahan sa mga axiom. Ang kinahinatnan ng tampok na ito ay ang pagtaas ng abstractness ng modernong matematika. Ang Euclidean at non-Euclidean geometries ay naglalarawan ng pisikal na espasyo. Ngunit sa topology, na isang generalization ng geometry, ang hindi natukoy na terminong "punto" ay maaaring malaya mula sa mga geometric na asosasyon. Para sa isang topologist, ang isang punto ay maaaring isang function o isang sequence ng mga numero, o anumang bagay. Ang abstract space ay isang hanay ng mga naturang "puntos" ( Tingnan din TOPOLOHIYA).

Ang axiomatic method ni Hilbert ay pumasok sa halos lahat ng sangay ng matematika noong ika-20 siglo. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon naging malinaw na ang pamamaraang ito ay may ilang mga limitasyon. Noong 1880s, sinubukan ni Cantor na sistematikong pag-uri-uriin ang mga infinite set (hal., ang set ng lahat ng rational na numero, ang set tunay na mga numero atbp.) sa pamamagitan ng kanilang comparative quantitative assessment, na iniuugnay sa kanila ang tinatawag na. mga transfinite na numero. Kasabay nito, natuklasan niya ang mga kontradiksyon sa set theory. Kaya, sa simula ng ika-20 siglo. kinailangang harapin ng mga mathematician ang problema ng kanilang solusyon, gayundin ang iba pang problema ng mga pundasyon ng kanilang agham, tulad ng implicit na paggamit ng tinatawag na. axioms ng pagpili. Gayunpaman, walang maihahambing sa mapanirang epekto ng incompleteness theorem ng K. Gödel (1906-1978). Ang theorem na ito ay nagsasaad na ang anumang pare-parehong pormal na sistema ay sapat na mayaman upang maglaman ng teorya ng numero ay kinakailangang naglalaman ng isang hindi mapagpasyang pangungusap, i.e. isang pahayag na hindi maaaring patunayan o pabulaanan sa loob ng balangkas nito. Ngayon ay karaniwang tinatanggap na walang ganap na patunay sa matematika. Kung ano ang ebidensya, magkakaiba ang mga opinyon. Gayunpaman, karamihan sa mga mathematician ay may hilig na maniwala na ang mga problema ng mga pundasyon ng matematika ay pilosopikal. Sa katunayan, walang isang solong teorama ang nagbago bilang isang resulta ng bagong natagpuang lohikal na mahigpit na mga istruktura; ito ay nagpapakita na ang matematika ay hindi batay sa lohika, ngunit sa tunog na intuwisyon.

Kung ang matematika na kilala bago ang 1600 ay maaaring ilarawan bilang elementarya, kung ihahambing sa kung ano ang nilikha sa ibang pagkakataon, ang elementarya na matematika na ito ay infinitesimal. Lumawak ang mga lumang lugar at bago, parehong dalisay at inilapat na mga sangay ng kaalaman sa matematika ay lumitaw. Humigit-kumulang 500 mathematical journal ang nai-publish. Ang isang malaking bilang ng mga nai-publish na mga resulta ay hindi pinapayagan kahit na ang isang espesyalista na maging pamilyar sa lahat ng nangyayari sa larangan kung saan siya nagtatrabaho, hindi banggitin ang katotohanan na maraming mga resulta ay naiintindihan lamang ng isang espesyalista na may makitid na profile. Walang mathematician ngayon ang makakaasa na makakaalam ng higit sa kung ano ang nangyayari sa isang napakaliit na sulok ng agham. Tingnan din mga artikulo tungkol sa mga mathematician.

Panitikan:

Van der Waerden B.L. Agham ng Paggising. Mathematics sinaunang egypt, Babylon at Greece. M., 1959
Yushkevich A.P. Kasaysayan ng matematika sa Middle Ages. M., 1961
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Mga landas at labyrinth. Mga sanaysay sa kasaysayan ng matematika. M., 1986
Klein F. Mga Lektura sa Pag-unlad ng Matematika noong ika-19 na Siglo. M., 1989



Ingles: Ginagawang mas secure ng Wikipedia ang site. Gumagamit ka ng lumang web browser na hindi na makakakonekta sa Wikipedia sa hinaharap. Paki-update ang iyong device o makipag-ugnayan sa iyong IT administrator.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的, 这 在 将来 无法 连接 维基 百科. 更新 您 的 设备 或 您 的 的 管理员. 提供 更 长, 具 技术性 的 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语HI ）.

Espanol: Ang Wikipedia ay isang haciendo el sitio más seguro. Ginagamit ito ng isang navegador web viejo na hindi nakakonekta sa Wikipedia sa hinaharap. Actualice su dispositivo o makipag-ugnayan sa isang administrador informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Ang Wikipedia ay nagdaragdag ng seguridad sa site ng anak. Gumamit ka ng aktuwal na pag-navigate sa web ancien, qui ne pourra plus se connecter sa Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Ang mga pandagdag na impormasyon at mga diskarte at en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を て い ます。 ご 利用 の は バージョン が 古く 、 今後 、 ウィキペディア 接続 でき なく なる 可能 性 が ます を する 、 、 管理 管理 者 ご ください。 面 面 の 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 ご。 技術 面 の 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 ください 技術 面 の の 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 ください。 技術 面 の 更新 更新 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供ししし

Aleman: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Dahil dito, mayroon kang isang Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Maaari mong gamitin ang browser ng web sa hindi sarà sa grado ng koneksyon sa Wikipedia sa hinaharap. Para sa pabor, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato at tecnico sa inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Sweden: Ang Wikipedia ay makikita mo. Nai-post sa isang webbläsare ang iyong kommer att sa Wikipedia at framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Inaalis namin ang suporta para sa mga hindi secure na bersyon ng TLS protocol, partikular ang TLSv1.0 at TLSv1.1, kung saan umaasa ang software ng iyong browser upang kumonekta sa aming mga site. Ito ay kadalasang sanhi ng mga lumang browser, o mas lumang mga Android smartphone. O maaaring ito ay interference mula sa corporate o personal na "Web Security" na software, na talagang nagpapababa sa seguridad ng koneksyon.

Dapat mong i-upgrade ang iyong web browser o kung hindi man ay ayusin ang isyung ito upang ma-access ang aming mga site. Mananatili ang mensaheng ito hanggang Ene 1, 2020. Pagkatapos ng petsang iyon, hindi na makakapagtatag ng koneksyon ang iyong browser sa aming mga server.