Upang maunawaan kung paano hatiin ang mga fraction, pag-aralan natin ang panuntunan at tingnan ang mga halimbawa kung paano ito ilalapat.
Ang panuntunan para sa paghahati ng mga ordinaryong fraction
Upang hatiin ang dalawang praksyon, kailangan mong i-multiply ang unang numero sa pangalawa (iyon ay, pinarami namin ang unang bahagi ng baligtad na segundo).
Mga halimbawa ng paghahati ng mga ordinaryong fraction:
Upang hatiin ang mga fraction na ito, muling isusulat namin ang unang fraction at , kabaligtaran sa pangalawa (multiply ang dibidendo sa pamamagitan ng kapalit ng divisor). Walang maiikli dito.
Upang hatiin ang mga fraction na ito, isinusulat namin muli ang unang numero nang walang pagbabago at i-multiply sa kapalit ng pangalawa. 6 at 9 sa 3, 20 at 25 sa 5. Ang resultang fraction na 8/15 ay regular at hindi mababawasan. Kaya ito ang huling sagot.
Iniiwan namin ang unang fraction na hindi nagbabago at i-multiply sa kapalit ng pangalawang fraction. Binabawasan namin ang 45 at 36 ng 9, 65 at 52 ng 13. Bilang resulta, nakakuha kami ng hindi tamang fraction, kung saan .
Kapag hinati ang dalawa pantay na mga numero nakakakuha kami ng unit, para maisulat agad namin ang sagot.
Upang hatiin ang mga fraction, i-multiply ang una sa katumbas ng pangalawa. Binabawasan namin ang 23 at 23 ng 23, 14 at 7 ng 7. Dahil ang denominator ay isa, ang sagot ay isang integer.
Sa susunod na titingnan natin kung paano hatiin ang isang integer sa isang fraction.
Ang mga ordinaryong fractional na numero ay unang nakakatugon sa mga mag-aaral sa ika-5 baitang at sinasamahan sila sa buong buhay nila, dahil sa pang-araw-araw na buhay madalas na kinakailangang isaalang-alang o gamitin ang ilang bagay na hindi buo, ngunit sa magkahiwalay na mga piraso. Ang simula ng pag-aaral ng paksang ito - ibahagi. Ang mga pagbabahagi ay pantay na bahagi kung saan nahahati ang isang bagay. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na ipahayag, halimbawa, ang haba o presyo ng isang produkto bilang isang integer; dapat isaalang-alang ng isa ang mga bahagi o bahagi ng anumang sukat. Nabuo mula sa pandiwa na "durog" - upang hatiin sa mga bahagi, at pagkakaroon ng mga ugat ng Arabe, noong siglo VIII ang salitang "fraction" mismo ay lumitaw sa Russian.
Sa pakikipag-ugnayan sa
Ang mga fractional expression ay matagal nang itinuturing na pinakamahirap na seksyon ng matematika. Noong ika-17 siglo, nang lumitaw ang mga unang aklat-aralin sa matematika, tinawag itong "mga sirang numero", na napakahirap ipakita sa pang-unawa ng mga tao.
Ang modernong anyo ng mga simpleng fractional residues, ang mga bahagi nito ay tiyak na pinaghihiwalay ng isang pahalang na linya, ay unang na-promote ni Fibonacci - Leonardo ng Pisa. Ang kanyang mga isinulat ay may petsang 1202. Ngunit ang layunin ng artikulong ito ay simple at malinaw na ipaliwanag sa mambabasa kung paano nangyayari ang pagpaparami ng mga pinaghalong fraction na may iba't ibang denominador.
Pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominator
Sa una, ito ay kinakailangan upang matukoy mga uri ng mga fraction:
- tama;
- mali;
- magkakahalo.
Susunod, kailangan mong tandaan kung paano pinarami ang mga fractional na numero na may parehong denominator. Ang mismong tuntunin ng prosesong ito ay madaling bumalangkas nang nakapag-iisa: ang resulta ng pagpaparami ng mga simpleng fraction na may parehong denominador ay isang fractional expression, ang numerator nito ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominator ng mga fraction na ito. . Iyon ay, sa katunayan, ang bagong denominator ay ang parisukat ng isa sa mga umiiral na sa simula.
Kapag nagpaparami mga simpleng fraction na may iba't ibang denominator para sa dalawa o higit pang mga salik, hindi nagbabago ang panuntunan:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Ang pagkakaiba lang ay ang nabuong numero sa ilalim ng fractional line ay magiging produkto ng iba't ibang numero at, siyempre, ang parisukat ng isa. numeric na expression imposibleng pangalanan ito.
Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominator gamit ang mga halimbawa:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Gumagamit ang mga halimbawa ng mga paraan upang bawasan ang mga fractional na expression. Maaari mong bawasan lamang ang mga numero ng numerator na may mga numero ng denominator; ang mga katabing kadahilanan sa itaas o ibaba ng fractional bar ay hindi maaaring bawasan.
Kasama ng mga simpleng fractional number, mayroong konsepto ng mixed fractions. Ang isang pinaghalong numero ay binubuo ng isang integer at isang fractional na bahagi, iyon ay, ito ay ang kabuuan ng mga numerong ito:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Paano gumagana ang multiplikasyon?
Maraming mga halimbawa ang ibinigay para sa pagsasaalang-alang.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Ang halimbawa ay gumagamit ng multiplikasyon ng isang numero sa pamamagitan ng ordinaryong fractional na bahagi, maaari mong isulat ang panuntunan para sa pagkilos na ito sa pamamagitan ng formula:
isang * b/c = a*b /c.
Sa katunayan, ang naturang produkto ay ang kabuuan ng magkaparehong fractional remainder, at ang bilang ng mga termino ay nagpapahiwatig ng natural na numerong ito. Espesyal na kaso:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
May isa pang opsyon para sa paglutas ng multiplikasyon ng isang numero sa isang fractional na natitira. Kailangan mo lamang na hatiin ang denominator sa numerong ito:
d* e/f = e/f: d.
Kapaki-pakinabang na gamitin ang diskarteng ito kapag ang denominator ay nahahati sa isang natural na numero na walang natitira o, gaya ng sinasabi nila, ganap.
I-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi tamang fraction at kunin ang produkto sa naunang inilarawan na paraan:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ang halimbawang ito ay nagsasangkot ng isang paraan upang kumatawan sa isang halo-halong fraction bilang isang hindi tamang fraction, maaari rin itong katawanin bilang isang pangkalahatang formula:
a bc = a*b+ c / c, kung saan ang denominator ng bagong fraction ay nabuo sa pamamagitan ng pagpaparami ng integer na bahagi sa denominator at pagdaragdag nito sa numerator ng orihinal na fractional na natitira, at ang denominator ay nananatiling pareho.
Gumagana rin ang prosesong ito sa kabaligtaran. Upang ihiwalay ang integer na bahagi at ang fractional na natitira, kailangan mong hatiin ang numerator ng isang hindi tamang fraction sa denominator nito na may "sulok".
Pagpaparami ng mga hindi wastong fraction ginawa sa karaniwang paraan. Kapag ang entry ay napupunta sa ilalim ng isang solong fractional line, kung kinakailangan, kailangan mong bawasan ang mga fraction upang mabawasan ang mga numero gamit ang paraang ito at mas madaling kalkulahin ang resulta.
Mayroong maraming mga katulong sa Internet upang malutas kahit na kumplikadong mga problema. mga problema sa matematika sa iba't ibang programa. Ang isang sapat na bilang ng mga naturang serbisyo ay nag-aalok ng kanilang tulong sa pagkalkula ng multiplikasyon ng mga fraction na may iba't ibang mga numero sa mga denominator - ang tinatawag na mga online na calculator para sa pagkalkula ng mga fraction. Nagagawa nilang hindi lamang dumami, kundi pati na rin upang makabuo ng lahat ng iba pang pinakasimpleng mga operasyon sa aritmetika may mga karaniwang fraction at magkahalong numero. Madaling magtrabaho kasama nito, ang kaukulang mga patlang ay napunan sa pahina ng site, napili ang sign aksyong matematikal at i-click ang "kalkulahin". Awtomatikong binibilang ang programa.
Ang paksa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika na may mga fractional na numero ay may kaugnayan sa buong edukasyon ng mga nasa gitna at senior na mga mag-aaral. Sa mataas na paaralan, hindi na nila isinasaalang-alang ang pinakasimpleng species, ngunit integer fractional expression, ngunit ang kaalaman sa mga patakaran para sa pagbabago at mga kalkulasyon, na nakuha nang mas maaga, ay inilapat sa orihinal nitong anyo. Ang mahusay na natutunan na pangunahing kaalaman ay nagbibigay ng buong kumpiyansa sa matagumpay na solusyon ng mga pinaka kumplikadong gawain.
Sa konklusyon, makatuwirang sipiin ang mga salita ni Leo Tolstoy, na sumulat: “Ang tao ay isang fraction. Wala sa kapangyarihan ng tao na dagdagan ang kanyang numerator - ang kanyang sariling mga merito, ngunit kahit sino ay maaaring bawasan ang kanyang denominator - ang kanyang opinyon sa kanyang sarili, at sa pamamagitan ng pagbaba na ito ay mas malapit sa kanyang pagiging perpekto.
) at ang denominator ng denominator (nakukuha natin ang denominator ng produkto).
Fraction multiplication formula:
Halimbawa:
Bago magpatuloy sa pagpaparami ng mga numerator at denominator, kinakailangang suriin ang posibilidad ng pagbawas ng fraction. Kung pinamamahalaan mong bawasan ang fraction, magiging mas madali para sa iyo na magpatuloy sa paggawa ng mga kalkulasyon.
Dibisyon ng isang ordinaryong fraction sa isang fraction.
Dibisyon ng mga fraction na kinasasangkutan ng isang natural na numero.
Hindi ito nakakatakot gaya ng tila. Tulad ng sa kaso ng karagdagan, kino-convert namin ang isang integer sa isang fraction na may isang yunit sa denominator. Halimbawa:
Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction.
Mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction (halo-halong):
- i-convert ang mga mixed fraction sa hindi wasto;
- i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction;
- binabawasan namin ang fraction;
- kung makakakuha tayo ng hindi tamang fraction, iko-convert natin ang improper fraction sa isang mixed.
Tandaan! Upang i-multiply ang isang mixed fraction sa isa pang mixed fraction, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa anyo ng mga hindi tamang fraction, at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.
Ang pangalawang paraan upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero.
Ito ay mas maginhawang gamitin ang pangalawang paraan ng pagpaparami ng isang ordinaryong fraction sa isang numero.
Tandaan! Upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero, kinakailangan na hatiin ang denominator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang numerator na hindi nagbabago.
Mula sa halimbawa sa itaas, malinaw na ang pagpipiliang ito ay mas maginhawang gamitin kapag ang denominator ng isang fraction ay hinati nang walang nalalabi sa isang natural na numero.
Mga multilevel na fraction.
Sa mataas na paaralan, madalas na matatagpuan ang tatlong-kuwento (o higit pa) na mga praksyon. Halimbawa:
Upang dalhin ang isang bahagi sa karaniwang anyo nito, ang paghahati sa 2 puntos ay ginagamit:
Tandaan! Kapag naghahati ng mga fraction, ang pagkakasunud-sunod ng paghahati ay napakahalaga. Mag-ingat, madaling malito dito.
Tandaan, Halimbawa:
Kapag hinahati ang isa sa anumang fraction, ang resulta ay magiging parehong fraction, baligtad lamang:
Mga praktikal na tip para sa pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
1. Ang pinakamahalagang bagay sa pagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso. Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang maingat at tumpak, puro at malinaw. Mas mainam na isulat ang ilang dagdag na linya sa isang draft kaysa malito sa mga kalkulasyon sa iyong ulo.
2. Sa mga gawaing may iba't ibang uri ng fraction - pumunta sa uri ng ordinaryong fraction.
3. Binabawasan natin ang lahat ng fraction hanggang sa hindi na posible na bawasan.
4. Dinadala namin ang mga multi-level na fractional expression sa mga ordinaryong, gamit ang paghahati sa 2 puntos.
5. Hinahati natin ang yunit sa isang fraction sa ating isipan, sa pamamagitan lamang ng pag-ikot ng fraction.
Ang fraction ay isa o higit pang bahagi ng isang kabuuan, na karaniwang kinukuha bilang isang yunit (1). Tulad ng mga natural na numero, maaari mong isagawa ang lahat ng mga pangunahing operasyon ng aritmetika na may mga fraction (pagdaragdag, pagbabawas, paghahati, pagpaparami), para dito kailangan mong malaman ang mga tampok ng pagtatrabaho sa mga fraction at makilala sa pagitan ng kanilang mga uri. Mayroong ilang mga uri ng mga fraction: decimal at ordinaryo, o simple. Ang bawat uri ng mga fraction ay may sariling mga detalye, ngunit sa sandaling lubusan mong naisip kung paano haharapin ang mga ito nang isang beses, magagawa mong lutasin ang anumang mga halimbawa na may mga fraction, dahil malalaman mo ang mga pangunahing prinsipyo para sa pagsasagawa ng mga kalkulasyon ng aritmetika na may mga fraction. Tingnan natin ang mga halimbawa kung paano hatiin ang isang fraction sa isang integer gamit iba't ibang uri mga fraction.
Paano hatiin ang isang fraction sa isang natural na numero?Ang mga ordinaryong o simpleng fraction ay tinatawag, nakasulat sa anyo ng tulad ng isang ratio ng mga numero, kung saan ang dibidendo (numerator) ay ipinahiwatig sa tuktok ng fraction, at ang divisor (denominator) ng fraction ay ipinahiwatig sa ibaba. Paano hatiin ang naturang fraction sa isang integer? Tingnan natin ang isang halimbawa! Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 8/12 sa 2.
Upang gawin ito, dapat tayong magsagawa ng isang serye ng mga aksyon:
Kaya, kung nahaharap tayo sa gawain ng paghahati ng isang fraction sa isang integer, ang scheme ng solusyon ay magiging ganito: 
Katulad nito, maaari mong hatiin ang anumang ordinaryong (simple) na bahagi ng isang integer.
Paano hatiin ang isang decimal sa isang integer?
Ang decimal fraction ay isang fraction na nakukuha sa pamamagitan ng paghahati ng unit sa sampu, isang libo, at iba pa. Ang mga pagpapatakbo ng aritmetika na may mga decimal fraction ay medyo simple.
Isaalang-alang ang isang halimbawa kung paano hatiin ang isang fraction sa isang integer. Sabihin nating kailangan nating hatiin ang decimal fraction na 0.925 sa natural na numero 5.
Summing up, tumuon tayo sa dalawang pangunahing punto na mahalaga kapag nagsasagawa ng operasyon ng paghahati ng mga decimal fraction sa isang integer: - upang hatiin ang isang decimal fraction sa isang natural na numero, ang paghahati sa isang column ay ginagamit;
- ang isang kuwit ay inilalagay sa pribado kapag ang paghahati ng integer na bahagi ng dibidendo ay nakumpleto.
Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator
Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may dalawang uri:
- Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator;
- Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator.
Una, pag-aaralan natin ang pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.
Halimbawa, magdagdag tayo ng mga fraction at . Idinaragdag namin ang mga numerator, at iiwan ang denominator na hindi nagbabago:
Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa apat na bahagi. Kung magdagdag ka ng pizza sa pizza, makakakuha ka ng pizza:
Halimbawa 2 Magdagdag ng mga fraction at .
Ang sagot pala hindi wastong bahagi. Kung ang katapusan ng gawain ay dumating, pagkatapos ay kaugalian na mapupuksa ang mga hindi wastong fraction. Upang mapupuksa ang isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi dito. Sa aming kaso, ang buong bahagi ay madaling namumukod - dalawang hinati ng dalawa ay magiging isa:
Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa dalawang bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang mga pizza sa pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza:
Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction at .
Muli, idagdag ang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:
Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa tatlong bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang mga pizza sa pizza, makakakuha ka ng mga pizza:
Halimbawa 4 Hanapin ang halaga ng isang expression 
Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Ang mga numerator ay dapat idagdag at ang denominator ay iwanang hindi nagbabago:
Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa pizza at magdagdag ng higit pang mga pizza, makakakuha ka ng 1 buo at higit pang mga pizza.
Tulad ng nakikita mo, ang pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator ay hindi mahirap. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:
- Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;
Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator
Ngayon ay matututunan natin kung paano magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Kapag nagdadagdag ng mga fraction, ang mga denominator ng mga fraction na iyon ay dapat na pareho. Ngunit hindi sila palaging pareho.
Halimbawa, ang mga fraction ay maaaring idagdag dahil mayroon silang parehong denominator.
Ngunit ang mga praksiyon ay hindi maaaring maidagdag kaagad, dahil ang mga praksiyon na ito ay mayroon iba't ibang denominador. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.
Mayroong ilang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa parehong denominator. Ngayon ay isasaalang-alang lamang natin ang isa sa mga ito, dahil ang natitirang mga pamamaraan ay maaaring mukhang kumplikado para sa isang baguhan.
Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang (LCM) denominator ng parehong mga fraction ay unang hinanap. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha. Ganoon din ang ginagawa nila sa pangalawang fraction - ang NOC ay hinati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik.
Pagkatapos ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay pinarami ng kanilang karagdagang mga kadahilanan. Bilang resulta ng mga pagkilos na ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction.
Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction at
Una sa lahat, nakita namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga denominator ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 2. Ang hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito ay 6
LCM (2 at 3) = 6
Ngayon bumalik sa fractions at . Una, hinahati natin ang LCM sa denominator ng unang fraction at makuha ang unang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 6 sa 3, makakakuha tayo ng 2.
Ang resultang numero 2 ay ang unang karagdagang kadahilanan. Isinulat namin ito hanggang sa unang bahagi. Upang gawin ito, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa itaas ng fraction at isulat ang natagpuang karagdagang kadahilanan sa itaas nito:
Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction at makuha ang pangalawang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 2. Hatiin ang 6 sa 2, makakakuha tayo ng 3.
Ang resultang numero 3 ay ang pangalawang karagdagang kadahilanan. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi. Muli, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa itaas ng pangalawang bahagi at isulat ang natagpuang karagdagang kadahilanan sa itaas nito:
Ngayon ay handa na tayong magdagdag. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa pamamagitan ng kanilang mga karagdagang kadahilanan:
Tingnan mong mabuti kung ano ang aming narating. Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction. Kumpletuhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:
Kaya nagtatapos ang halimbawa. Upang idagdag ito ay lumalabas.
Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa isang pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza at isa pang ikaanim ng isang pizza:
Ang pagbabawas ng mga fraction sa parehong (karaniwang) denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Dinadala ang mga fraction at sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin ang mga fraction at . Ang dalawang fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza. Ang pagkakaiba lamang ay ang oras na ito ay mahahati sila sa pantay na bahagi (binawasan sa parehong denominator).
Ang unang drawing ay nagpapakita ng fraction (apat na piraso sa anim) at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng fraction (tatlong piraso sa anim). Ang pagsasama-sama ng mga pirasong ito ay makukuha natin (pitong piraso sa anim). Mali ang fraction na ito, kaya na-highlight namin ang bahaging integer dito. Ang resulta ay (isang buong pizza at isa pang ikaanim na pizza).
Tandaan na ipininta namin ang halimbawang ito nang masyadong detalyado. AT institusyong pang-edukasyon hindi kaugalian na magsulat sa ganoong detalye. Kailangan mong mabilis na mahanap ang LCM ng parehong mga denominator at karagdagang mga kadahilanan sa kanila, pati na rin mabilis na i-multiply ang mga karagdagang kadahilanan na makikita ng iyong mga numerator at denominator. Habang nasa paaralan, kailangan nating isulat ang halimbawang ito tulad ng sumusunod:
Pero meron din likurang bahagi mga medalya. Kung ang mga detalyadong tala ay hindi ginawa sa mga unang yugto ng pag-aaral ng matematika, pagkatapos ay mga tanong ng uri "Saan nagmula ang numerong iyon?", "Bakit ang mga fraction ay biglang nagiging ganap na magkakaibang mga fraction? «.
Upang gawing mas madaling magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, maaari mong gamitin ang sumusunod na sunud-sunod na mga tagubilin:
- Hanapin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction;
- Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang multiplier para sa bawat fraction;
- I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa kanilang mga karagdagang salik;
- Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator;
- Kung ang sagot ay naging isang hindi wastong bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi nito;
Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression 
.
Gamitin natin ang mga tagubilin sa itaas.
Hakbang 1. Hanapin ang LCM ng mga denominador ng mga fraction
Hanapin ang LCM ng mga denominator ng parehong fraction. Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 2, 3 at 4
Hakbang 2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang multiplier para sa bawat fraction
Hatiin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 2. Hatiin ang 12 sa 2, makuha namin ang 6. Nakuha namin ang unang karagdagang salik 6. Isinulat namin ito sa unang bahagi:
Ngayon, hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hinahati namin ang 12 sa 3, nakukuha namin ang 4. Nakuha namin ang pangalawang karagdagang kadahilanan 4. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi:
Ngayon hinati namin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Nakuha namin ang ikatlong karagdagang salik 3. Isinulat namin ito sa ikatlong bahagi:
Hakbang 3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa iyong mga karagdagang salik
Pinaparami namin ang mga numerator at denominator sa aming mga karagdagang salik:
Hakbang 4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator
Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. Ito ay nananatiling idagdag ang mga fraction na ito. Magdagdag ng:
Ang karagdagan ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inilipat namin ang natitirang expression sa susunod na linya. Ito ay pinapayagan sa matematika. Kapag ang isang expression ay hindi magkasya sa isang linya, ito ay dinadala sa susunod na linya, at ito ay kinakailangan upang maglagay ng isang pantay na tanda (=) sa dulo ng unang linya at sa simula ng isang bagong linya. Ang equal sign sa pangalawang linya ay nagpapahiwatig na ito ay isang pagpapatuloy ng expression na nasa unang linya.
Hakbang 5. Kung ang sagot ay naging isang hindi tamang bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi dito
Ang aming sagot ay isang improper fraction. Dapat nating isa-isa ang buong bahagi nito. I-highlight namin:
Nakakuha ng sagot
Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator
Mayroong dalawang uri ng pagbabawas ng fraction:
- Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator
- Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator
Una, alamin natin kung paano ibawas ang mga fraction na may parehong denominator.
Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.
Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression . Upang malutas ang halimbawang ito, kinakailangang ibawas ang numerator ng pangalawang bahagi mula sa numerator ng unang bahagi, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Gawin natin ito:
Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa apat na bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:
Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression.
Muli, ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:
Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa tatlong bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:
Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression 
Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Mula sa numerator ng unang fraction, kailangan mong ibawas ang mga numerator ng natitirang mga fraction:
Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:
- Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;
- Kung ang sagot ay naging isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi dito.
Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator
Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring ibawas mula sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may parehong denominator. Ngunit ang isang fraction ay hindi maaaring ibawas sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.
Ang karaniwang denominator ay matatagpuan ayon sa parehong prinsipyo na ginamit namin kapag nagdaragdag ng mga fraction na may magkakaibang denominator. Una sa lahat, hanapin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha, na nakasulat sa unang fraction. Katulad nito, ang LCM ay nahahati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik, na isinusulat sa pangalawang fraction.
Ang mga fraction ay pagkatapos ay pinarami ng kanilang karagdagang mga kadahilanan. Bilang resulta ng mga operasyong ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction.
Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng isang expression:
Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mong dalhin ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.
Una, nakita natin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay 4. Ang hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito ay 12
LCM (3 at 4) = 12
Ngayon bumalik sa fractions at
Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Para magawa ito, hinahati namin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 12 sa 3, makakakuha tayo ng 4. Isinulat namin ang apat sa unang fraction:
Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Sumulat tayo ng triple sa pangalawang fraction:
Ngayon ay handa na kaming lahat para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:
Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Kumpletuhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:
Nakakuha ng sagot
Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza.
Ito ay detalyadong bersyon mga solusyon. Sa pagiging nasa paaralan, kailangan nating lutasin ang halimbawang ito sa mas maikling paraan. Ang ganitong solusyon ay magiging ganito:
Ang pagbabawas ng mga fraction at sa isang karaniwang denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Ang pagdadala ng mga fraction na ito sa isang common denominator, makukuha natin ang mga fraction at . Ang mga fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza, ngunit sa pagkakataong ito ay hahatiin ang mga ito sa parehong mga fraction (babawasan sa parehong denominator):
Ang unang larawan ay nagpapakita ng isang fraction (walong piraso sa labindalawa), at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng isang fraction (tatlong piraso sa labindalawa). Sa pamamagitan ng pagputol ng tatlong piraso mula sa walong piraso, makakakuha tayo ng limang piraso sa labindalawa. Inilalarawan ng fraction ang limang pirasong ito.
Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression 
Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.
Hanapin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction na ito.
Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 10, 3 at 5. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang mga kadahilanan para sa bawat fraction. Para magawa ito, hinahati namin ang LCM sa denominator ng bawat fraction.
Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 10. Hatiin ang 30 sa 10, makuha namin ang unang karagdagang kadahilanan 3. Isinulat namin ito sa unang bahagi:
Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang kadahilanan para sa pangalawang bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 30 sa 3, makuha namin ang pangalawang karagdagang kadahilanan 10. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi:
Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang salik para sa ikatlong bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 5. Hatiin ang 30 sa 5, makuha namin ang ikatlong karagdagang salik 6. Isinulat namin ito sa ikatlong bahagi:
Ngayon ang lahat ay handa na para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:
Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Tapusin natin ang halimbawang ito.
Ang pagpapatuloy ng halimbawa ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inililipat namin ang pagpapatuloy sa susunod na linya. Huwag kalimutan ang tungkol sa equal sign (=) sa bagong linya:
Ang sagot ay naging isang tamang bahagi, at ang lahat ay tila nababagay sa amin, ngunit ito ay masyadong masalimuot at pangit. Dapat nating gawing mas madali. Ano ang maaaring gawin? Maaari mong bawasan ang fraction na ito.
Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa (gcd) sa mga numerong 20 at 30.
Kaya, nakita namin ang GCD ng mga numero 20 at 30:
Ngayon ay bumalik tayo sa ating halimbawa at hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa GCD na natagpuan, iyon ay, sa pamamagitan ng 10
Nakakuha ng sagot
Pagpaparami ng fraction sa isang numero
Upang i-multiply ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator ng ibinigay na fraction sa numerong ito, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.
Halimbawa 1. I-multiply ang fraction sa numero 1.
I-multiply ang numerator ng fraction sa numero 1
Ang entry ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahating 1 beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng pizza ng 1 beses, makakakuha ka ng pizza
Mula sa mga batas ng pagpaparami, alam natin na kung ang multiplicand at ang multiplier ay ipinagpalit, kung gayon ang produkto ay hindi magbabago. Kung ang expression ay nakasulat bilang , kung gayon ang produkto ay magiging katumbas pa rin ng . Muli, gumagana ang panuntunan para sa pagpaparami ng integer at fraction:
Ang entry na ito ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahati ng unit. Halimbawa, kung mayroong 1 buong pizza at kunin namin ang kalahati nito, magkakaroon kami ng pizza:
Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression
I-multiply ang numerator ng fraction sa 4
Ang sagot ay isang improper fraction. Kunin natin ang isang buong bahagi nito:
Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng dalawang quarters 4 na beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng pizza ng 4 na beses, makakakuha ka ng dalawang buong pizza.
At kung ipagpalit natin ang multiplicand at ang multiplier sa mga lugar, makukuha natin ang expression. Katumbas din ito ng 2. Ang ekspresyong ito ay mauunawaan bilang pagkuha ng dalawang pizza mula sa apat na buong pizza:
Ang isang numero na i-multiply sa isang fraction at ang denominator ng fraction ay malulutas kung mayroon silang karaniwang divisor na mas malaki sa isa.
Halimbawa, ang isang expression ay maaaring masuri sa dalawang paraan.
Unang paraan. I-multiply ang numero 4 sa numerator ng fraction, at iwanan ang denominator ng fraction na hindi nagbabago:
Pangalawang paraan. Ang quadruple na pinaparami at ang quadruple sa denominator ng fraction ay maaaring bawasan. Maaari mong bawasan ang apat na ito ng 4, dahil ang pinakamalaking karaniwang divisor para sa dalawang apat ay ang apat mismo:
Ang parehong resulta ay nakuha 3. Pagkatapos ng pagbawas ng apat, ang mga bagong numero ay nabuo sa kanilang lugar: dalawa. Ngunit ang pagpaparami ng isa sa isang triple, at pagkatapos ay paghahati sa isa ay hindi nagbabago ng anuman. Samakatuwid, ang solusyon ay maaaring maisulat nang mas maikli:
Ang pagbawas ay maaaring isagawa kahit na nagpasya kaming gamitin ang unang paraan, ngunit sa yugto ng pagpaparami ng numero 4 at ang numerator 3, nagpasya kaming gamitin ang pagbawas:
Ngunit halimbawa, ang expression ay maaari lamang kalkulahin sa unang paraan - i-multiply ang 7 sa denominator ng fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:
Ito ay dahil sa ang katunayan na ang numero 7 at ang denominator ng fraction ay walang karaniwang divisor na mas malaki kaysa sa isa, at samakatuwid ay hindi bumababa.
Ang ilang mga mag-aaral ay nagkakamali sa pagdadaglat ng bilang na pinaparami at ang numerator ng fraction. Hindi mo ito magagawa. Halimbawa, ang sumusunod na entry ay hindi tama:
Ang pagbabawas ng fraction ay nagpapahiwatig na at numerator at denominador ay hahatiin sa parehong numero. Sa sitwasyon na may expression, ang paghahati ay ginagawa lamang sa numerator, dahil ang pagsulat nito ay kapareho ng pagsulat . Nakikita natin na ang paghahati ay ginagawa lamang sa numerator, at walang paghahati na nagaganap sa denominator.
Pagpaparami ng mga fraction
Upang i-multiply ang mga fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator. Kung ang sagot ay hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi nito.
Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng expression.
Nakakuha ng sagot. Ito ay kanais-nais na bawasan ang fraction na ito. Ang fraction ay maaaring bawasan ng 2. Pagkatapos ang huling solusyon ay kukuha ng sumusunod na anyo:
Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng isang pizza mula sa kalahati ng isang pizza. Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:
Paano kumuha ng dalawang-katlo mula sa kalahating ito? Una kailangan mong hatiin ang kalahating ito sa tatlong pantay na bahagi:
At kumuha ng dalawa sa tatlong pirasong ito:
Kukuha tayo ng pizza. Tandaan kung ano ang hitsura ng pizza na nahahati sa tatlong bahagi:
Ang isang slice mula sa pizza na ito at ang dalawang hiwa na kinuha namin ay magkakaroon ng parehong sukat:
Sa ibang salita, nag-uusap kami halos kapareho ng laki ng pizza. Samakatuwid, ang halaga ng expression ay
Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression
I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:
Ang sagot ay isang improper fraction. Kunin natin ang isang buong bahagi nito:
Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression
I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:
Tamang fraction pala ang sagot, pero maganda kung babawasan. Upang bawasan ang fraction na ito, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa greatest common divisor (GCD) ng mga numerong 105 at 450.
Kaya, hanapin natin ang GCD ng mga numerong 105 at 450:
Ngayon hinati namin ang numerator at denominator ng aming sagot sa GCD na natagpuan na namin ngayon, iyon ay, sa pamamagitan ng 15
Kinakatawan ang isang integer bilang isang fraction
Anumang buong numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Halimbawa, ang numero 5 ay maaaring katawanin bilang . Mula dito, hindi mababago ng lima ang kahulugan nito, dahil ang expression ay nangangahulugang "ang bilang ng limang hinati ng isa", at ito, tulad ng alam mo, ay katumbas ng lima:
Baliktarin ang mga numero
Ngayon ay makikilala natin ang isang napaka-kagiliw-giliw na paksa sa matematika. Ito ay tinatawag na "reverse number".
Kahulugan. Baliktarin sa numeroa ay ang bilang na, kapag pinarami nga nagbibigay ng unit.
Palitan natin ang kahulugang ito sa halip na isang variable a numero 5 at subukang basahin ang kahulugan:
Baliktarin sa numero 5 ay ang bilang na, kapag pinarami ng 5 nagbibigay ng unit.
Posible bang makahanap ng isang numero na, kapag pinarami ng 5, ay nagbibigay ng isa? Kaya mo pala. Katawanin natin ang lima bilang isang fraction:
Pagkatapos ay i-multiply ang fraction na ito sa sarili nito, palitan lamang ang numerator at denominator. Sa madaling salita, i-multiply natin ang fraction sa sarili nito, baligtad lamang:
Ano ang magiging resulta nito? Kung patuloy nating lutasin ang halimbawang ito, makakakuha tayo ng isa:
Nangangahulugan ito na ang kabaligtaran ng numero 5 ay ang numero, dahil kapag ang 5 ay pinarami ng isa, ang isa ay nakuha.
Ang reciprocal ay maaari ding matagpuan para sa anumang iba pang integer.
Maaari mo ring mahanap ang reciprocal para sa anumang iba pang fraction. Upang gawin ito, sapat na upang ibalik ito.
Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang numero
Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:
Hatiin natin ito ng pantay sa dalawa. Ilang pizza ang makukuha ng bawat isa?
Makikita na pagkatapos hatiin ang kalahati ng pizza, dalawang pantay na hiwa ang nakuha, na bawat isa ay bumubuo ng isang pizza. Kaya lahat ay nakakakuha ng pizza.