Pangunahing pagkakasunud-sunod pagkakumpleto ng hanay ng mga tunay na numero. Mga Axiom ng totoong numero. Kahulugan ng mga nested na segment

Axiom ng pagpapatuloy (pagkakumpleto). $Isang\; \backslash subset\; \backslash mathbb(R)$ at $B\; \backslash subset\; \backslash mathbb(R)$ $a\backslash sa\; A$ at $b\; \backslash sa\; B$ ang hindi pagkakapantay-pantay $isang\; \backslash leqslant\; b$, may totoong numero $\backslash xi$ na para sa lahat $a\backslash sa\; A$ at $b\; \backslash sa\; B$ may relasyon

$isang\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$

Sa geometriko, kung ituturing natin ang mga tunay na numero bilang mga punto sa isang linya, ang pahayag na ito ay tila halata. Kung dalawang set $A$ at $B$ ay tulad na sa linya ng numero ang lahat ng mga elemento ng isa sa mga ito ay nasa kaliwa ng lahat ng mga elemento ng pangalawa, pagkatapos ay mayroong isang numero $\backslash xi$, naghihiwalay ang dalawang set na ito, iyon ay, nakahiga sa kanan ng lahat ng elemento $A$(maliban marahil sa $\backslash xi$) at sa kaliwa ng lahat ng elemento $B$(parehong sugnay).

Dapat pansinin dito na sa kabila ng "obviousness" ng ari-arian na ito, para sa mga makatwirang numero ay hindi ito palaging nasisiyahan. Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang set:

A = \(x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2\)

Madaling makita iyon para sa anumang elemento $a\backslash sa\; A$ at $b\; \backslash sa\; B$ ang hindi pagkakapantay-pantay . Gayunpaman makatwiran numero $\backslash xi$, na naghihiwalay sa dalawang set na ito, ay wala. Sa katunayan, ang numerong ito ay maaari lamang $\backslash sqrt(2)$, ngunit hindi ito makatwiran.

Ang papel na ginagampanan ng axiom ng pagpapatuloy sa pagbuo ng mathematical analysis

Ang kahulugan ng axiom ng pagpapatuloy ay tulad na kung wala ito ay imposible ang isang mahigpit na konstruksyon. pagsusuri sa matematika. Upang ilarawan, ipinakita namin ang ilang pangunahing mga pahayag ng pagsusuri, ang patunay nito ay batay sa pagpapatuloy ng mga tunay na numero:

• (Weierstrass theorem). Ang bawat bounded na monotonically increase na sequence ay nagtatagpo
• (Bolzano-Cauchy theorem). Isang function na tuloy-tuloy sa isang segment na kumukuha ng mga halaga sa mga dulo nito magkaibang tanda, naglalaho sa ilang panloob na punto ng segment
• (Pagkakaroon ng kapangyarihan, exponential, logarithmic at lahat ng trigonometric function sa buong "natural" na domain ng kahulugan). Halimbawa, ito ay pinatunayan na para sa bawat $a\; >\; 0$ at buo $n\; \backslash geqslant\; 1$ umiral $\backslash sqrt[n](a)$, iyon ay, ang solusyon ng equation $x^n=a,\; x>0$. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang halaga ng expression $a^x$ para sa lahat ng makatwiran $x$:

$a^(m/n)\; =\; \backslash kaliwa(\backslash sqrt[n](a)\backslash kanan)^m$

Sa wakas, muli dahil sa pagpapatuloy ng linya ng numero, matutukoy ng isa ang halaga ng expression $a^x$ na para sa arbitraryo $x\; \backslash in\; \backslash R$. Katulad nito, gamit ang continuity property, pinapatunayan namin ang pagkakaroon ng numero $\backslash log\_(a)(b)$ para sa anumang $a,b\; >0\; ,\; a\backslash neq\; 1$.

Para sa isang mahabang makasaysayang yugto ng panahon, pinatunayan ng mga mathematician ang mga teorema mula sa pagsusuri, sa "mga manipis na lugar" na tumutukoy sa geometric na pagbibigay-katwiran, at mas madalas na nilalaktawan ang mga ito nang buo, dahil ito ay halata. Ang mahahalagang konsepto ng pagpapatuloy ay ginamit nang walang anumang malinaw na kahulugan. Sa huling ikatlong bahagi lamang ng ika-19 na siglo ginawa ng German mathematician na si Karl Weierstrass ang arithmetization ng pagsusuri, na binuo ang unang mahigpit na teorya ng mga tunay na numero bilang walang katapusang decimal fraction. Iminungkahi niya klasikong kahulugan limitasyon sa dila $\backslash varepsilon\; -\; \backslash delta$, pinatunayan ang isang bilang ng mga pahayag na itinuturing na "halata" bago niya, at sa gayon ay natapos ang pagtatayo ng pundasyon ng pagsusuri sa matematika.

Nang maglaon, iminungkahi ang iba pang mga diskarte sa kahulugan ng isang tunay na numero. Sa axiomatic approach, ang pagpapatuloy ng mga tunay na numero ay tahasang ibinukod bilang isang hiwalay na axiom. Sa mga constructive approach sa real number theory, tulad ng kapag gumagawa ng real numbers gamit ang Dedekind sections, ang continuity property (sa isang formulation o iba pa) ay pinatunayan bilang isang theorem.

Iba pang mga Pahayag ng Continuity Property at Katumbas na Proposisyon

Mayroong ilang iba't ibang mga pahayag na nagpapahayag ng continuity property ng mga tunay na numero. Ang bawat isa sa mga prinsipyong ito ay maaaring kunin bilang batayan para sa pagbuo ng teorya ng tunay na bilang bilang isang aksiom ng pagpapatuloy, at ang lahat ng iba ay maaaring makuha mula dito. Ang isyung ito ay tinalakay nang mas detalyado sa susunod na seksyon.

Pagpapatuloy ayon kay Dedekind

Ang tanong ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero ay isinasaalang-alang ni Dedekind sa kanyang gawain na " Pagpapatuloy at hindi makatwiran na mga numero". Sa loob nito ay inihambing niya ang mga rational na numero sa mga punto ng isang tuwid na linya. Tulad ng nalalaman, sa pagitan ng mga makatwirang numero at mga punto ng isang linya, ang isa ay maaaring magtatag ng isang sulat kapag nasa linya ang pipiliin panimulang punto at ang yunit ng sukat para sa mga segment. Sa tulong ng huli, para sa bawat makatwirang numero $a$ buuin ang kaukulang segment, at itabi ito sa kanan o sa kaliwa, depende kung mayroon $a$ positibo o negatibong numero, makakuha ng punto $p$, naaayon sa bilang $a$. Kaya bawat rational number $a$ tumutugma sa isa at isang punto lamang $p$ sa isang tuwid na linya.

Lumalabas na mayroong walang katapusang maraming mga punto sa linya na hindi tumutugma sa anumang makatwirang numero. Halimbawa, ang isang punto na nakuha sa pamamagitan ng paglalagay ng haba ng dayagonal ng isang parisukat na binuo sa isang segment ng yunit. Kaya ang lugar mga rational na numero wala niyan pagkakumpleto, o pagpapatuloy, na likas sa isang tuwid na linya.

Upang malaman kung ano ang binubuo ng pagpapatuloy na ito, ginawa ni Dedekind ang sumusunod na komento. Kung ang $p$ ay isang tiyak na punto ng linya, pagkatapos ang lahat ng mga punto ng linya ay nahahati sa dalawang klase: mga puntong matatagpuan sa kaliwa $p$, at tumuturo sa kanan $p$. Ang pinaka punto $p$ maaaring arbitraryong italaga sa alinman sa mas mababa o mas mataas na uri. Nakikita ni Dedekind ang kakanyahan ng pagpapatuloy sa baligtad na prinsipyo:

Sa geometriko, ang prinsipyong ito ay tila halata, ngunit wala tayo sa posisyon upang patunayan ito. Binibigyang-diin ni Dedekind na, sa esensya, ang prinsipyong ito ay isang postulate, na nagpapahayag ng kakanyahan ng ari-arian na iyon na iniuugnay sa direktang linya, na tinatawag nating pagpapatuloy.

Ang panukalang ito ay katumbas din ng prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind. Bukod dito, maipapakita na ang pahayag ng infimum theorem ay direktang sumusunod mula sa assertion ng supremum theorem, at kabaliktaran (tingnan sa ibaba).

May hangganang cover lemma (prinsipyo ng Heine-Borel)

May hangganang Cover Lemma (Heine - Borel). Sa anumang sistema ng mga agwat na sumasaklaw sa isang segment, mayroong isang may hangganang subsystem na sumasaklaw sa segment na ito.

Limitahan ang point lemma (prinsipyo ng Bolzano-Weierstrass)

Limitahan ang Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Ang bawat infinite bounded number set ay may kahit isang limit point.

Pagtutumbas ng mga pangungusap na nagpapahayag ng pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero

Gumawa tayo ng ilang paunang pangungusap. Ayon sa axiomatic na kahulugan ng isang tunay na numero, ang koleksyon ng mga tunay na numero ay nakakatugon sa tatlong grupo ng mga axiom. Ang unang pangkat ay ang field axioms. Ang pangalawang grupo ay nagpapahayag ng katotohanan na ang hanay ng mga tunay na numero ay isang linearly ordered set, at ang pagkakasunod-sunod ay pare-pareho sa mga pangunahing operasyon ng field. Kaya, ang una at pangalawang grupo ng mga axiom ay nangangahulugan na ang hanay ng mga tunay na numero ay isang ordered field. Ang ikatlong pangkat ng mga axiom ay binubuo ng isang axiom - ang axiom ng pagpapatuloy (o pagkakumpleto).

Upang ipakita ang pagkakapantay-pantay ng iba't ibang pormulasyon ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero, dapat patunayan ng isa na kung ang isa sa mga proposisyong ito ay humahawak para sa isang nakaayos na larangan, kung gayon ang lahat ng iba ay totoo.

Teorama. Hayaan $\backslash mathsf(R)$- isang arbitrary na linearly ordered set . Ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:

1. Anuman ang mga set na hindi walang laman $Isang\; \backslash subset\; \backslash mathsf(R)$ at $B\; \backslash subset\; \backslash mathsf(R)$, para sa alinmang dalawang elemento $a\backslash sa\; A$ at $b\; \backslash sa\; B$ ang hindi pagkakapantay-pantay $isang\; \backslash leqslant\; b$, may ganoong elemento $\backslash xi\; \backslash in\; \backslash mathsf(R)$ na para sa lahat $a\backslash sa\; A$ at $b\; \backslash sa\; B$ may ratio $isang\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$
2. Para sa anumang seksyon sa $\backslash mathsf(R)$ mayroong isang elemento na gumagawa ng seksyong ito
3. Ang bawat hindi-bakanteng hanay ay nakatali sa itaas $Isang\; \backslash subset\; \backslash mathsf(R)$ may supremum
4. Bawat di-bakanteng hanay ay may hangganan sa ibaba $Isang\; \backslash subset\; \backslash mathsf(R)$ may infimum

Tulad ng makikita mula sa teorama na ito, ang apat na pangungusap na ito ay gumagamit lamang ng kung ano ang nasa $\backslash mathsf(R)$ ipinakilala ang isang linear na ugnayan ng pagkakasunud-sunod, at huwag gamitin ang istraktura ng field. Kaya, ang bawat isa sa kanila ay nagpapahayag ng ari-arian $\backslash mathsf(R)$ bilang isang linearly ordered set. Ang pag-aari na ito (ng isang arbitrary na linearly ordered set, hindi kinakailangan ang set ng mga totoong numero) ay tinatawag na pagpapatuloy, o pagkakumpleto, ayon kay Dedekind.

Ang pagpapatunay ng pagkakapantay-pantay ng iba pang mga pangungusap ay nangangailangan na ng patlang na istraktura.

Teorama. Hayaan $\backslash mathsf(R)$- isang arbitrary na nakaayos na field. Ang mga sumusunod na pangungusap ay katumbas:

1. $\backslash mathsf(R)$(bilang isang linearly ordered set) ay kumpleto na ang Dedekind
2. Para sa $\backslash mathsf(R)$ natupad ang prinsipyo ni Archimedes at prinsipyo ng mga nested segment
3. Para sa $\backslash mathsf(R)$ ang prinsipyo ng Heine-Borel ay natupad
4. Para sa $\backslash mathsf(R)$ ang prinsipyo ng Bolzano-Weierstrass ay natupad

Magkomento. Tulad ng makikita mula sa teorama, ang prinsipyo ng mga nested segment sa sarili nito ay hindi katumbas Ang prinsipyo ng pagpapatuloy ni Dedekind. Ang prinsipyo ng mga nested segment ay sumusunod sa prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind, ngunit para sa kabaligtaran ay kinakailangan na dagdagan na hilingin na ang iniutos na field $\backslash mathsf(R)$ nasiyahan ang axiom ni Archimedes

Ang patunay ng mga teorema sa itaas ay matatagpuan sa mga aklat mula sa bibliograpiyang ibinigay sa ibaba.

Sumulat ng pagsusuri sa artikulong "Pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero"

Mga Tala

Panitikan

• Kudryavtsev, L. D. Kurso ng pagsusuri sa matematika. - 5th ed. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.
• Fikhtengolts, G. M. Mga Batayan ng pagsusuri sa matematika. - ika-7 ed. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.
• Dedekind, R.= Stetigkeit und irrationale Zahlen. - Ika-4 na binagong edisyon. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.
• Zorich, V. A. Pagsusuri sa matematika. Bahagi I. - Ed. Ika-4, naitama .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.
• Pagpapatuloy ng mga function at numerical na domain: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3rd ed. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.

Isang sipi na nagpapakilala sa Pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero

- Kaya't iyon ang aking naaawa - dignidad ng tao, kapayapaan ng isip, kadalisayan, at hindi ang kanilang likod at noo, na kahit anong hampas mo, kahit anong pag-ahit mo, ang lahat ay mananatili sa parehong likod at noo.
"Hindi, hindi, at isang libong beses hindi, hindi ako sasang-ayon sa iyo," sabi ni Pierre.

Sa gabi, sina Prince Andrei at Pierre ay sumakay sa isang karwahe at nagmaneho sa Bald Mountains. Si Prinsipe Andrei, na nakatingin kay Pierre, paminsan-minsan ay nagambala sa katahimikan sa mga talumpati na nagpapatunay na siya ay nasa mabuting kalagayan.
Sinabi niya sa kanya, na itinuro ang mga patlang, tungkol sa kanyang mga pagpapabuti sa ekonomiya.
Si Pierre ay madilim na tahimik, sumasagot sa monosyllables, at tila nalubog sa kanyang sariling mga iniisip.
Naisip ni Pierre na si Prinsipe Andrei ay hindi nasisiyahan, na siya ay nagkakamali, na hindi niya alam ang tunay na liwanag, at na dapat siyang tulungan ni Pierre, paliwanagan at palakihin siya. Ngunit sa sandaling nalaman ni Pierre kung paano at kung ano ang kanyang sasabihin, nagkaroon siya ng premonisyon na ibababa ni Prinsipe Andrei ang lahat sa kanyang mga turo sa isang salita, sa isang argumento, at natatakot siyang magsimula, natatakot siyang ilantad ang kanyang minamahal na dambana. sa posibilidad ng pangungutya.
"Hindi, bakit sa tingin mo," biglang nagsimula si Pierre, ibinaba ang kanyang ulo at nag-anyong isang butting bull, bakit sa palagay mo? Hindi ka dapat nag-iisip ng ganyan.
- Ano ang iniisip ko? Takang tanong ni Prince Andrew.
- Tungkol sa buhay, tungkol sa layunin ng isang tao. Hindi pwede. Iyon ang naisip ko, at nagligtas sa akin, alam mo ba? freemasonry. Hindi, hindi ka ngumingiti. Ang Freemasonry ay hindi isang relihiyoso, hindi isang ritwal na sekta, tulad ng naisip ko, ngunit ang Freemasonry ay ang pinakamahusay, ang tanging pagpapahayag ng pinakamahusay, walang hanggang mga aspeto ng sangkatauhan. - At nagsimula siyang magpaliwanag kay Prinsipe Andrei Freemasonry, tulad ng naintindihan niya.
Sinabi niya na ang Freemasonry ay ang pagtuturo ng Kristiyanismo, pinalaya mula sa mga tanikala ng estado at relihiyon; ang doktrina ng pagkakapantay-pantay, kapatiran at pag-ibig.
– Tanging ang ating banal na kapatiran lamang ang may tunay na kahulugan sa buhay; lahat ng iba ay isang panaginip, "sabi ni Pierre. - Naiintindihan mo, aking kaibigan, na sa labas ng unyon na ito ang lahat ay puno ng kasinungalingan at kasinungalingan, at sumasang-ayon ako sa iyo na walang natitira para sa isang matalino at mabait na tao, sa sandaling, tulad mo, upang mabuhay ang kanyang buhay, sinusubukan para lang hindi makialam sa iba. Ngunit pagsamahin ang aming mga pangunahing paniniwala, sumali sa aming kapatiran, ibigay ang iyong sarili sa amin, hayaan ang iyong sarili na pangunahan, at ngayon ay madarama mo, tulad ng naramdaman ko, isang bahagi ng napakalaking, hindi nakikitang tanikala, kung saan ang simula ay nakatago sa langit, - sabi Pierre.
Si Prince Andrei, tahimik, nakatingin sa harap niya, nakinig sa pagsasalita ni Pierre. Ilang beses, nang hindi naririnig ang ingay ng karwahe, tinanong niya si Pierre ng mga hindi naririnig na salita. Mula sa espesyal na kinang na lumiwanag sa mga mata ni Prinsipe Andrei, at mula sa kanyang katahimikan, nakita ni Pierre na ang kanyang mga salita ay hindi walang kabuluhan, na si Prinsipe Andrei ay hindi makagambala sa kanya at hindi tatawa sa kanyang mga salita.
Nagmaneho sila hanggang sa isang baha na ilog, kung saan kailangan nilang tumawid sa pamamagitan ng lantsa. Habang inilalagay ang karwahe at mga kabayo, pumunta sila sa lantsa.
Si Prinsipe Andrei, na nakasandal sa rehas, ay tahimik na tumingin sa baha na nagniningning mula sa lumulubog na araw.
- Well, ano sa tingin mo tungkol dito? - tanong ni Pierre, - bakit ka tahimik?
- Ano sa tingin ko? nakinig ako sayo. Ang lahat ng ito ay gayon, - sabi ni Prinsipe Andrei. - Ngunit sinasabi mo: sumali sa aming kapatiran, at ipapakita namin sa iyo ang layunin ng buhay at layunin ng tao, at ang mga batas na namamahala sa mundo. Ngunit sino tayong mga tao? Bakit alam mo lahat? Bakit ako lang ang hindi nakikita ang nakikita mo? Nakikita mo ang kaharian ng kabutihan at katotohanan sa lupa, ngunit hindi ko ito nakikita.
Pinutol siya ni Pierre. Naniniwala ka ba sa hinaharap na buhay? - tanong niya.
- Sa kabilang buhay? - paulit-ulit na Prinsipe Andrei, ngunit hindi siya binigyan ni Pierre ng oras upang sumagot at kinuha ang pag-uulit na ito para sa isang pagtanggi, lalo na dahil alam niya ang dating ateistikong paniniwala ni Prinsipe Andrei.
– Sinasabi mo na hindi mo makikita ang kaharian ng kabutihan at katotohanan sa lupa. At hindi ko siya nakita, at hindi mo siya makikita kung titingnan mo ang ating buhay bilang katapusan ng lahat. Sa lupa, tiyak sa mundong ito (itinuro ni Pierre ang bukid), walang katotohanan - lahat ay kasinungalingan at kasamaan; ngunit sa mundo, sa buong mundo, mayroong isang kaharian ng katotohanan, at tayo ngayon ay mga anak ng mundo, at magpakailanman ang mga anak ng buong mundo. Hindi ko ba nararamdaman sa aking kaluluwa na ako ay bahagi ng malawak, magkatugmang kabuuan na ito. Hindi ko ba naramdaman na ako ay nasa napakalawak, hindi mabilang na bilang ng mga nilalang kung saan ang Banal ay ipinakita - ang pinakamataas na kapangyarihan, ayon sa gusto mo - na ako ay isang link, isang hakbang mula sa mas mababang mga nilalang tungo sa mas mataas. Kung nakikita ko, malinaw kong nakikita ang hagdan na ito na humahantong mula sa halaman patungo sa tao, kung gayon bakit ko ipagpalagay na ang hagdan na ito ay nagambala sa akin, at hindi humahantong nang higit pa. Pakiramdam ko, hindi lang ako pwedeng mawala, tulad ng wala sa mundong nawawala, kundi ako ay palaging magiging at noon pa man. Pakiramdam ko, bukod sa akin, ang mga espiritu ay nabubuhay sa itaas ko at may katotohanan sa mundong ito.
"Oo, ito ang turo ni Herder," sabi ni Prinsipe Andrei, "ngunit hindi iyon, ang aking kaluluwa, ang magkukumbinsi sa akin, ngunit ang buhay at kamatayan, iyon ang nakakumbinsi. Nakumbinsi nito na nakakita ka ng isang nilalang na mahal sa iyo, na konektado sa iyo, kung saan ikaw ay nagkasala at umaasa na bigyang-katwiran ang iyong sarili (si Prinsipe Andrei ay nanginginig sa kanyang tinig at tumalikod) at ang nilalang na ito ay biglang naghihirap, naghihirap at tumigil na . .. Bakit? Hindi pwedeng walang sagot! At naniniwala akong siya ay... Iyan ang nakakakumbinsi, iyon ang nakakumbinsi sa akin, - sabi ni Prinsipe Andrei.
“Aba, oo, oo,” sabi ni Pierre, “hindi ba iyon din ang sinasabi ko!”
- Hindi. Sinasabi ko lamang na hindi mga argumento ang kumukumbinsi sa iyo ng pangangailangan para sa isang hinaharap na buhay, ngunit kapag lumakad ka sa buhay na magkahawak-kamay sa isang tao, at biglang nawala ang taong ito sa kung saan, at ikaw mismo ay huminto sa harap ng kalaliman na ito at tingnan mo ito. At tumingin ako...
- Aba, ano! Alam mo ba kung ano ang mayroon at kung ano ang isang tao? May hinaharap na buhay. May Diyos.
Hindi sumagot si Prinsipe Andrew. Ang karwahe at mga kabayo ay matagal nang dinala sa kabilang panig at inilatag na, at ang araw ay nawala na sa kalahati, at ang lamig ng gabi ay natakpan ang mga puddle malapit sa lantsa na may mga bituin, at sina Pierre at Andrei, sa sorpresa. ng mga alipores, kutsero at tagadala, ay nakatayo pa rin sa lantsa at nag-uusap.
- Kung mayroong Diyos at may hinaharap na buhay, kung gayon mayroong katotohanan, mayroong kabutihan; at ang pinakamataas na kaligayahan ng tao ay ang pagsisikap na makamit ang mga ito. Dapat tayong mabuhay, dapat tayong magmahal, dapat tayong maniwala, - sabi ni Pierre, - na hindi tayo nabubuhay ngayon lamang sa bahaging ito ng lupa, ngunit tayo ay nabuhay at mabubuhay magpakailanman doon sa lahat ng bagay (itinuro niya ang langit). Tumayo si Prinsipe Andrei na nakasandal sa rehas ng lantsa at, nakikinig kay Pierre, nang hindi inaalis ang kanyang mga mata, ay tumingin sa pulang pagmuni-muni ng araw sa ibabaw ng asul na baha. Natahimik si Pierre. Ito ay ganap na tahimik. Matagal nang lumapag ang lantsa, at ang mga alon lamang ng agos na may mahinang tunog ang tumama sa ilalim ng lantsa. Tila kay Prinsipe Andrei na ang pagbabanlaw na ito ng mga alon ay nagsasabi sa mga salita ni Pierre: "Totoo, paniwalaan mo ito."
Bumuntong-hininga si Prinsipe Andrei, at sa isang maningning, parang bata, magiliw na tingin ay tumingin sa namumula, masigasig, ngunit mahiyain pa rin ni Pierre sa harap ng kanyang nakatataas na kaibigan.
"Oo, kung ganoon nga!" - sinabi niya. "Gayunpaman, umupo tayo," dagdag ni Prinsipe Andrei, at umalis sa lantsa, tumingin siya sa langit, na itinuro sa kanya ni Pierre, at sa unang pagkakataon, pagkatapos ng Austerlitz, nakita niya ang mataas, walang hanggang kalangitan, na kung saan siya. nakakita ng nakahiga sa bukid ng Austerlitz, at isang bagay na matagal na natutulog, isang bagay na pinakamaganda sa kanya, biglang nagising na masaya at kabataan sa kanyang kaluluwa. Ang pakiramdam na ito ay nawala sa sandaling si Prinsipe Andrei ay pumasok muli sa nakagawiang mga kondisyon ng buhay, ngunit alam niya na ang pakiramdam na ito, na hindi niya alam kung paano bumuo, ay nanirahan sa kanya. Ang isang pagpupulong kay Pierre ay para kay Prince Andrei isang panahon kung saan, kahit na sa hitsura ito ay pareho, ngunit sa panloob na mundo ang kanyang bagong buhay.

Dumidilim na nang magmaneho sina Prinsipe Andrei at Pierre hanggang sa pangunahing pasukan ng bahay ng Lysogorsky. Habang sila ay nagmamaneho, si Prinsipe Andrei na nakangiti ay nakakuha ng atensyon ni Pierre sa kaguluhan na naganap sa likod na balkonahe. Isang nakayukong matandang babae na may knapsack sa kanyang likod, at isang maiksing lalaki sa isang itim na damit at may mahabang buhok, na nakakita ng isang karwahe na nagmamaneho, nagmamadaling tumakbo pabalik sa gate. Dalawang babae ang humabol sa kanila, at silang apat, na nakatingin sa likod ng karwahe, ay tumakbo na takot na takot sa likod na balkonahe.
"Ito ang mga Makina ng Diyos," sabi ni Prinsipe Andrei. Kinuha nila kami para sa kanilang ama. At ito ang tanging bagay kung saan hindi siya sumunod sa kanya: inutusan niyang itaboy ang mga gumagala na ito, at tinanggap niya sila.
- Ano ang mga tao ng Diyos? tanong ni Pierre.
Walang oras si Prinsipe Andrei para sagutin siya. Ang mga tagapaglingkod ay lumabas upang salubungin siya, at tinanong niya kung nasaan ang matandang prinsipe at kung gaano katagal sila naghihintay para sa kanya.
Ang matandang prinsipe ay nasa lungsod pa rin, at naghihintay sila sa kanya bawat minuto.
Pinangunahan ni Prinsipe Andrei si Pierre sa kanyang silid, na palaging naghihintay sa kanya sa perpektong pagkakasunud-sunod sa bahay ng kanyang ama, at siya mismo ay pumunta sa nursery.
"Pumunta tayo sa aking kapatid na babae," sabi ni Prinsipe Andrei, na bumalik kay Pierre; - Hindi ko pa siya nakikita, siya ngayon ay nagtatago at nakaupo kasama ang kanyang mga Diyos na tao. Paglingkuran mo siya ng tama, mapapahiya siya, at makikita mo ang bayan ng Diyos. C "est curieux, ma parole. [Nakaka-curious ito, sa totoo lang.]
- Qu "est ce que c" est que [Ano ang] bayan ng Diyos? tanong ni Pierre.
- Ngunit makikita mo.
Nahihiya talaga si Prinsesa Mary at namumula sa mga batik na pagpasok nila sa kanya. Sa kanyang maaliwalas na silid na may mga lampara sa harap ng mga kaso ng icon, sa sofa, sa samovar, umupo sa tabi niya ang isang batang lalaki na may mahabang ilong at mahabang buhok, at sa isang monastic cassock.
Sa isang silyon, sa tabi niya, nakaupo ang isang kulubot, payat na matandang babae na may maamong ekspresyon ng mukha ng isang bata.
- Andre, pourquoi ne pas m "avoir prevenu? [Andrey, bakit hindi nila ako binalaan?] - sabi niya nang may mahinang panunuya, nakatayo sa harap ng kanyang mga gumagala, tulad ng isang inahing manok sa harap ng mga manok.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Natutuwa akong makita ka. I am so pleased to see you,] sabi niya kay Pierre, habang hinahalikan nito ang kamay niya. Kilala niya siya bilang isang bata, at ngayon ang kanyang pagkakaibigan kay Andrei, ang kanyang kasawian sa kanyang asawa, at higit sa lahat, ang kanyang mabait, simpleng mukha, ay nagpamahal sa kanya. Tumingin siya sa kanya gamit ang kanyang maganda, nagniningning na mga mata at tila nagsabi: "Mahal na mahal kita, ngunit mangyaring huwag pagtawanan ang akin." Pagkatapos nilang magpalitan ng mga unang parirala ng pagbati, umupo sila.
"Ah, at narito si Ivanushka," sabi ni Prinsipe Andrei, habang nakangiting itinuro ang batang lagalag.
– Andrew! nakikiusap na sabi ni Prinsesa Mary.
- Il faut que vous sachiez que c "est une femme, [Alamin na babae ito] - sabi ni Andrei kay Pierre.
Andre, au nom de Dieu! [Andrey, alang-alang sa Diyos!] - ulit ni Prinsesa Marya.
Ito ay maliwanag na ang mapanuksong saloobin ni Prinsipe Andrei sa mga gumagala at ang walang silbi na pamamagitan ni Prinsesa Mary para sa kanila ay nakagawian, itinatag ang mga relasyon sa pagitan nila.
- Mais, ma bonne amie, - sabi ni Prinsipe Andrei, - vous devriez au contraire m "etre reconaissante de ce que j" explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme ... [Ngunit, aking kaibigan, dapat kang magpasalamat sa akin na ipaliwanag ko kay Pierre ang pagiging malapit mo sa binatang ito.]
– Vrayment? [Talaga?] - Mausisa at seryosong sabi ni Pierre (kung saan pinasasalamatan siya ni Prinsesa Mary), na sumilip sa mukha ni Ivanushka sa pamamagitan ng mga salamin, na, napagtanto na ito ay tungkol sa kanya, ay tumingin sa paligid sa lahat na may tusong mga mata.
Si Prinsesa Marya ay medyo hindi kinakailangang napahiya para sa kanyang sariling mga tao. Hindi sila nagdalawang-isip. Ang matandang babae, na ibinababa ang kanyang mga mata, ngunit pasulyap-sulyap sa mga bagong dating, itinutok ang kanyang tasa sa isang platito at naglalagay ng isang makagat na piraso ng asukal sa tabi niya, mahinahon at walang galaw na umupo sa kanyang upuan, naghihintay na mag-alok ng karagdagang tsaa. Si Ivanushka, umiinom mula sa isang platito, ay tumingin sa mga kabataan na may palihim, pambabaeng mga mata mula sa ilalim ng kanyang mga kilay.
- Saan, sa Kyiv ay? tanong ni Prinsipe Andrei sa matandang babae.
- Meron, ama, - ang matandang babae ay sumagot ng madaldal, - sa Pasko mismo, siya ay pinarangalan ng mga santo, makalangit na mga lihim mula sa mga santo. At ngayon mula kay Kolyazin, ama, nabuksan ang dakilang biyaya ...
- Well, kasama mo ba si Ivanushka?
"Naglalakad ako nang mag-isa, breadwinner," sabi ni Ivanushka, sinusubukang magsalita sa boses ng bass. - Sa Yukhnov lamang sila sumang-ayon kay Pelageyushka ...
Pinutol ni Pelageyushka ang kanyang kasama; Parang gusto niyang sabihin ang nakita niya.
- Sa Kolyazin, ama, nabuksan ang dakilang biyaya.
- Well, bagong mga labi? tanong ni Prinsipe Andrew.
"Tama na, Andrei," sabi ni Prinsesa Mary. - Huwag mong sabihin sa akin, Pelageushka.
- Hindi ... ano ka, ina, bakit hindi sabihin? Mahal ko siya. Mabait siya, hinihingi ng Diyos, binigyan niya ako, isang benefactor, rubles, naaalala ko. Habang ako ay nasa Kyiv, sinabi sa akin ni Kiryusha ang banal na tanga - tunay na isang tao ng Diyos, naglalakad siya ng walang sapin sa taglamig at tag-araw. Bakit ka naglalakad, sabi niya, sa labas ng iyong lugar, pumunta sa Kolyazin, mayroong isang mapaghimalang icon, binuksan ni Inang Birheng Maria. Sa mga salitang iyon, nagpaalam ako sa mga banal at pumunta ...
Natahimik ang lahat, nagsalita ang isang gumagala sa sinusukat na boses, gumuhit sa hangin.
- Aking ama, ang mga tao ay lumapit sa akin at sinabi nila: ang dakilang biyaya ay nabuksan, sa Inang Mahal na Birheng Maria ay bumaba mula sa kanyang pisngi ...
"Well, well, well, sasabihin mo sa akin mamaya," sabi ni Prinsesa Marya, namumula.
"Tanungin ko siya," sabi ni Pierre. - Nakita mo ba ito sa iyong sarili? - tanong niya.
- Paano, ama, siya mismo ay pinarangalan. Ang ningning sa kanyang mukha ay parang liwanag ng langit, at mula sa pisngi ng ina ito ay tumutulo at tumutulo ...
"Ngunit ito ay isang panlilinlang," walang muwang na sabi ni Pierre, nakikinig nang mabuti sa gumagala.
"Ah, ama, ano ang sinasabi mo!" - Sabi ni Pelageyushka na may katakutan, bumaling kay Prinsesa Marya para sa proteksyon.
"Niloloko nila ang mga tao," inulit niya.
- Panginoong Hesukristo! – crossed na sabi ng estranghero. "Naku, huwag kang magsalita, ama. Kaya ang isang anaral ay hindi naniniwala, ang nagsabi: "ang mga monghe ay nanlilinlang", ngunit tulad ng sinabi niya, siya ay nabulag. At pinangarap niya na si Mother Pecherskaya ay dumating sa kanya at sinabi: "Magtiwala ka sa akin, pagagalingin kita." Kaya nagsimula siyang magtanong: kunin mo ako at dalhin ako sa kanya. Sinasabi ko sa iyo ang totoo, ako mismo ang nakakita nito. Dinala nila siyang bulag mismo, umakyat, nahulog, sinabi: "pagalingin! Ibibigay ko ito sa iyo, sabi niya, sa inireklamo ng hari. Nakita ko mismo, ama, ang bituin ay naka-embed dito tulad nito. Ayun, nagising na! Maling sabihin yan. Paparusahan ng Diyos, "tinuro niya si Pierre nang may pagtuturo.
- Paano natagpuan ng bituin ang sarili sa larawan? tanong ni Pierre.
- Ginawa mo bang heneral ang iyong ina? - nakangiting sabi ni Prinsipe Andrei.
Biglang namutla si Pelageushka at pinagsalikop ang kanyang mga kamay.
"Ama, ama, magkasala sa iyo, mayroon kang isang anak na lalaki!" wika niya, biglang naging maliwanag ang kulay mula sa pamumutla.
- Ama, ano ang sinabi mo, patawarin ka ng Diyos. - Siya ay tumawid sa sarili. “Diyos ko, patawarin mo siya. Ina, ano ito? ... - lumingon siya kay Prinsesa Marya. Bumangon siya at halos umiiyak na nagsimulang kunin ang kanyang pitaka. Halatang pareho siyang natatakot at nahihiya na tinatamasa niya ang mga pagpapala sa bahay kung saan masasabi nila ito, at nakakalungkot na kailangan niyang pagkaitan ngayon ng mga pagpapala ng bahay na ito.
- Well, ano ang hinahanap mo? - sabi ni Prinsesa Mary. Bakit mo ako pinuntahan?...
"Hindi, nagbibiro ako, Pelageushka," sabi ni Pierre. - Princesse, ma parole, je n "ai pas voulu l" offerr, [Princess, I really didn't want to offend her,] Ginawa ko lang. Huwag mong isipin, nagbibiro ako, - sabi niya, nakangiting nahihiya at gustong makabawi sa kanyang pagkakasala. - Ako naman, at nagbibiro lang siya.
Si Pelageyushka ay huminto nang hindi makapaniwala, ngunit may katapatan ng pagsisisi sa mukha ni Pierre, at si Prinsipe Andrei ay tumingin nang napakaamo kay Pelageyushka at pagkatapos ay kay Pierre na unti-unting huminahon.

Ang gumagala ay huminahon at, bumalik sa pag-uusap, pagkatapos ay nagsalita ng mahabang panahon tungkol kay Padre Amphilochius, na isang banal na buhay na ang kanyang kamay ay naamoy ng kanyang kamay, at kung paano ang mga monghe na kilala niya sa kanyang huling paglalakbay sa Kyiv ay nagbigay sa kanya ng susi sa mga kuweba, at kung paano siya, na nagdadala ng mga crackers kasama niya, ay gumugol ng dalawang araw sa mga kuweba kasama ang mga santo. “I will pray to one, I will read, I will go to another. Pine, pupunta ako at hahalikan muli; at ganoon, ina, katahimikan, gayong biyaya na kahit na ayaw mong lumabas sa liwanag ng Diyos.
Si Pierre ay nakinig sa kanya nang masinsinan at seryoso. Lumabas ng silid si Prinsipe Andrei. At pagkatapos niya, iniwan ang mga tao ng Diyos upang tapusin ang kanilang tsaa, pinangunahan ni Prinsesa Mary si Pierre sa sala.
“Napakabait mo,” sabi nito sa kanya.
"Ah, hindi ko talaga inisip na masaktan siya, dahil naiintindihan ko at lubos kong pinahahalagahan ang mga damdaming ito!
Tahimik na tumingin sa kanya si Prinsesa Mary at ngumiti ng malambing. "Kung tutuusin, matagal na kitang kilala at mahal na mahal kita bilang isang kapatid," sabi niya. Paano mo nahanap si Andrew? nagmamadaling tanong niya, hindi siya binibigyan ng oras na magsabi ng anuman bilang tugon sa kanyang magiliw na mga salita. “Sobrang nag-aalala siya sa akin. Ang kanyang kalusugan ay mas mahusay sa taglamig, ngunit noong nakaraang tagsibol ay nagbukas ang sugat, at sinabi ng doktor na dapat siyang magpagamot. And morally, takot na takot ako sa kanya. Hindi siya isang karakter na tulad nating mga babae para magdusa at umiyak ng kanyang kalungkutan. Dinadala niya ito sa loob ng kanyang sarili. Ngayon siya ay masayahin at masigla; nguni't ang pagdating mo ang nagkaroon ng ganyang epekto sa kanya: bihira siyang ganyan. Kung pwede mo siyang akitin na mangibang bansa! Kailangan niya ng aktibidad, at ang maayos at tahimik na buhay na ito ay sumisira sa kanya. Hindi napapansin ng iba, pero nakikita ko.
Pagsapit ng alas-10 ay nagmadaling pumunta ang mga waiter sa balkonahe, narinig ang papalapit na mga kampana ng karwahe ng matandang prinsipe. Lumabas din sina Prince Andrei at Pierre sa balkonahe.
- Sino ito? tanong ng matandang prinsipe, bumaba sa karwahe at hinulaan si Pierre.
– Tuwang-tuwa si AI! halik, - aniya, nang malaman kung sino ang hindi pamilyar na binata.
Ang matandang prinsipe ay nasa mabuting espiritu at mabait na tinatrato si Pierre.
Bago ang hapunan, si Prinsipe Andrei, na bumalik sa pag-aaral ng kanyang ama, ay natagpuan ang matandang prinsipe sa isang mainit na pagtatalo kay Pierre.
Nagtalo si Pierre na darating ang panahon na wala higit na digmaan. Ang matandang prinsipe, nang-aasar, ngunit hindi galit, ay hinamon siya.
- Hayaang lumabas ang dugo sa mga ugat, ibuhos ang tubig, pagkatapos ay walang digmaan. Kalokohan ng babae, kalokohan ng babae, "sabi niya, ngunit magiliw pa ring tinapik si Pierre sa balikat, at umakyat sa mesa, kung saan si Prinsipe Andrei, na tila ayaw pumasok sa isang pag-uusap, ay nag-aayos ng mga papel na dinala ng prinsipe mula sa. ang siyudad. Nilapitan siya ng matandang prinsipe at nagsimulang magkwento tungkol sa negosyo.
- Ang pinuno, si Count Rostov, ay hindi naghatid ng kalahati ng mga tao. Dumating siya sa lungsod, nagpasya na tumawag para sa hapunan, - Tinanong ko siya ng ganoong hapunan ... Ngunit tingnan mo ang isang ito ... Buweno, kapatid, - Lumingon si Prinsipe Nikolai Andreevich sa kanyang anak, pumalakpak sa balikat ni Pierre, - buti na lang kaibigan mo, nainlove ako sa kanya! Pinapainit ako. Ang isa pa ay nagsasalita ng matatalinong salita, ngunit ayaw kong makinig, ngunit siya ay nagsisinungaling at nag-aapoy sa akin, matandang lalaki. Well, go, go, - sabi niya, - baka sasama ako, uupo ako sa iyong hapunan. Tataya na naman ako. Mahalin mo ang aking tanga, Prinsesa Mary, "sigaw niya kay Pierre mula sa pintuan.
Si Pierre ngayon lamang, sa kanyang pagbisita sa Bald Mountains, ay pinahahalagahan ang buong lakas at kagandahan ng kanyang pakikipagkaibigan kay Prinsipe Andrei. Ang kagandahang ito ay ipinahayag hindi gaanong sa kanyang mga relasyon sa kanyang sarili, ngunit sa mga relasyon sa lahat ng mga kamag-anak at sambahayan. Si Pierre, kasama ang matanda, mabagsik na prinsipe at kasama ang maamo at mahiyain na si Prinsesa Mary, sa kabila ng katotohanan na halos hindi niya sila kilala, ay agad na naramdaman na isang matandang kaibigan. Lahat sila ay minahal na siya. Hindi lamang si Prinsesa Mary, na sinuhulan ng kanyang maamong pag-uugali sa mga gumagala, ay tumingin sa kanya nang may pinakamaliwanag na mga mata; ngunit ang maliit, isang taong gulang na Prinsipe Nikolai, tulad ng tawag sa kanya ng kanyang lolo, ay ngumiti kay Pierre at yumakap sa kanya. Si Mikhail Ivanovich, m lle Bourienne ay tumingin sa kanya na may masayang ngiti nang makipag-usap siya sa matandang prinsipe.

Depinisyon 2. Ang isang set ay sinasabing bounded mula sa itaas (mula sa ibaba) kung mayroong isang bilang na c (ayon sa pagkakabanggit, ) para sa alinmang .

Ang numerong c sa kasong ito ay tinatawag na itaas (ayon sa pagkakabanggit, ibaba) na hangganan ng set X o din ang mayorant (minorant) ng set X.

Depinisyon 3. Ang isang set na may hangganan sa itaas at ibaba ay tinatawag na bounded.

Depinisyon 4. Ang isang elemento a ay tinatawag na pinakamalaki o pinakamataas (pinakababa o pinakamababa) na elemento ng set kung (ayon sa pagkakabanggit, ) para sa anumang elemento .

Ipinakilala namin ang notasyon at sa parehong oras ay nagbibigay ng isang pormal na notasyon para sa kahulugan ng maximum at minimum na mga elemento, ayon sa pagkakabanggit:

Kasama ang mga pagtatalaga (ito ay nagbabasa ng "maximum (ito ay nagbabasa" na minimum sa parehong kahulugan, ang mga simbolo ay ginagamit, ayon sa pagkakabanggit)

Mula sa axiom ng 1st order ay agad itong sumusunod na kung mayroong isang maximum (minimum) na elemento sa isang numerical set, kung gayon ito ay isa lamang.

Gayunpaman, hindi lahat ng set, kahit na isang limitado, ay may maximum (minimum) na elemento.

Halimbawa, ang isang set ay may pinakamababang elemento, ngunit, bilang madaling suriin, wala itong pinakamataas na elemento.

Depinisyon 5. Ang pinakamaliit sa mga numerong nagbigkis sa set mula sa itaas ay tinatawag na upper bound (o ang eksaktong upper bound) ng set X at may denotasyon (basahin ang "supremum o

Ito ang pangunahing kahulugan ng talatang ito. Kaya,

Sa unang panaklong, sa kanan ng konseptong tinutukoy, nakasulat na nililimitahan nito ang X mula sa itaas; ang pangalawang bracket ay nagsasabi na iyon ang pinakamababa sa mga numerong may ganitong katangian. Mas tiyak, ang pangalawang panaklong ay nagsasaad na ang anumang bilang na mas mababa kaysa ay hindi na ang itaas na hangganan ng X.

Katulad nito, ang konsepto ng lower bound (eksaktong lower bound) ng set X ay ipinakilala bilang pinakamalaki sa lower bounds ng set X.

Kahulugan 6.

Kasama ang pagtatalaga (ito ay nagbabasa ng "infimum para sa ibabang mukha ng X), ang pagtatalaga ay ginagamit din

Kaya, ang mga sumusunod na kahulugan ay ibinigay:

Ngunit sa itaas sinabi namin na hindi lahat ng set ay may minimum o maximum na elemento, kaya ang mga tinatanggap na kahulugan ng upper at lower bounds ng isang numerical set ay nangangailangan ng argumentasyon, na inihahatid ng mga sumusunod

Lemma (upper bound principle). Ang bawat hindi-bakanteng subset ng hanay ng mga tunay na numero na naka-bound mula sa itaas ay may, bukod pa rito, isang natatanging upper bound.

Dahil alam na natin ang pagiging natatangi ng minimal na elemento ng isang set ng numero, kailangan lang i-verify ang pagkakaroon ng upper bound.

Hayaang ang ibinigay na subset ay ang set ng upper bounds ng X. Sa pamamagitan ng pag-aakalang, Pagkatapos, sa bisa ng axiom of completeness, mayroong isang numero na ang Number c ay kaya majorant ng X at isang minorant. Bilang majorant ng X, ang numero c ay isang elemento ng Y, ngunit bilang isang menor de edad ng Y, ang bilang c ay ang minimal na elemento ng set Y. Kaya,

Siyempre, ang pagkakaroon at pagiging natatangi ng lower bound ng isang numerical set bounded mula sa ibaba ay maaaring patunayan nang katulad, ibig sabihin, mayroon tayong

AT kurso sa paaralan mathematician, ang mga tunay na numero ay tinutukoy sa isang nakabubuo na paraan, batay sa pangangailangang gumawa ng mga sukat. Ang ganitong kahulugan ay hindi mahigpit at madalas na humantong sa mga mananaliksik sa isang dead end. Halimbawa, ang tanong ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero, iyon ay, kung may mga voids sa set na ito. Samakatuwid, kapag isinasagawa pananaliksik sa matematika kinakailangang magkaroon ng mahigpit na kahulugan ng mga konseptong pinag-aaralan, kahit man lang sa loob ng balangkas ng ilang intuitive na pagpapalagay (axioms) na naaayon sa kasanayan.

Kahulugan. Set ng mga elemento x, y, z, …, na binubuo ng higit sa isang elemento, ay tinatawag na set R tunay na mga numero, kung ang mga sumusunod na operasyon at relasyon ay itinatag para sa mga bagay na ito:

I pangkat ng mga axioms ay ang mga axiom ng operasyon ng karagdagan.

sa karamihan R ang pagpapatakbo ng karagdagan ay ipinakilala, iyon ay, para sa anumang pares ng mga elemento a at b sum at ipinapahiwatig a + b
ako 1. a+b=b+a, a, b R .

ako 2. a+(b+c)=(a+b)+c,a, b, c R .

I 3. May ganoong elemento na tinatawag sero at tinutukoy ng 0, na para sa alinman a R ang kundisyon a+0=a.

ako 4 . Para sa anumang elemento a R may elementong tinatawag siya kabaligtaran at tinutukoy - a, para sa a+(-a)=0. Elemento a+(-b), a, b R , ay tinatawag na pagkakaiba mga elemento a at b at ipinapahiwatig a - b.

II - pangkat ng mga axiom - axioms ng pagpapatakbo ng multiplikasyon. sa karamihan R pumasok ang operasyon pagpaparami, iyon ay, para sa anumang pares ng mga elemento a at b ang isang elemento ay tinukoy, na tinatawag na mga ito trabaho at ipinapahiwatig a b, upang matugunan ang mga sumusunod na kundisyon:
II 1 . ab=ba, a, b R .

II 2 a(bc)=(ab)c, a, b, c R .

II 3 . May tinatawag na elemento yunit at tinutukoy ng 1, na para sa alinman a R ang kundisyon a 1=a.

II 4 . Para kahit kanino a 0 may elementong tinatawag siya reverse at tinutukoy ng o 1/ a, para sa a=1. Elemento a , b 0, tinawag pribado mula sa dibisyon a sa b at ipinapahiwatig a:b o o a/b.

II 5 . Relasyon sa pagitan ng mga pagpapatakbo ng pagdaragdag at pagpaparami: para sa anuman a, b, c R natugunan ang kondisyon ( ac+b)c=ac+bc.

Ang isang hanay ng mga bagay na nakakatugon sa mga axiom ng mga pangkat I at II ay tinatawag na numerical field o simpleng field. At ang mga kaukulang axiom ay tinatawag na field axioms.

III - ang ikatlong pangkat ng mga axiom - mga axiom ng pagkakasunud-sunod. Para sa mga elemento R natukoy ang pagkakaugnay ng pagkakasunud-sunod. Binubuo ito ng mga sumusunod. Para sa alinmang dalawang magkaibang elemento a at b isa sa dalawang relasyon ay nagtataglay: alinman a b(basahin" a mas mababa o katumbas b"), o a b(basahin" a higit pa o katumbas b"). Ipinapalagay nito na ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

III 1. a a para sa lahat a. Mula sa a b, b dapat a=b.

III 2 . Transitivity. Kung ang a b at b c, pagkatapos a c.

III 3 . Kung ang a b, pagkatapos ay para sa anumang elemento c nagaganap a+c b+c.

III 4 . Kung ang a 0,b 0, pagkatapos ab 0 .

Ang IV na pangkat ng mga axiom ay binubuo ng isang axiom - ang axiom ng pagpapatuloy. Para sa anumang mga set na hindi walang laman X at Y mula sa R tulad na para sa bawat pares ng mga elemento x X at y Y ang hindi pagkakapantay-pantay x < y, may elemento a R, nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon

kanin. 2

x < a < y, x X, y Y(Larawan 2). Ang mga enumerated na katangian ay ganap na tumutukoy sa hanay ng mga tunay na numero sa kahulugan na ang lahat ng iba pang mga katangian nito ay sumusunod mula sa mga katangiang ito. Ang kahulugang ito natatanging tumutukoy sa hanay ng mga tunay na numero hanggang sa tiyak na katangian ng mga elemento nito. Ang caveat na ang isang set ay naglalaman ng higit sa isang elemento ay kinakailangan dahil ang isang set na binubuo ng zero lamang ay nakakatugon sa lahat ng mga axiom sa isang malinaw na paraan. Sa mga sumusunod, ang mga elemento ng set R ay tatawaging mga numero.

Tukuyin natin ngayon ang mga pamilyar na konsepto ng natural, rational at irrational na mga numero. Ang mga numerong 1, 2 1+1, 3 2+1, ... ay tinatawag natural na mga numero, at ang kanilang hanay ay tinutukoy N . Mula sa kahulugan ng hanay ng mga natural na numero, sumusunod na mayroon itong sumusunod na katangiang katangian: kung

1) A N ,

3) para sa bawat elemento x A ang pagsasama x+ 1 A, pagkatapos ay A=N .

Sa katunayan, ayon sa kondisyon 2) mayroon kaming 1 A, samakatuwid, sa pamamagitan ng ari-arian 3) at 2 A, at pagkatapos, ayon sa parehong ari-arian, nakakakuha tayo ng 3 A. Dahil anumang natural na numero n ay nakuha mula sa 1 sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagdaragdag ng parehong 1 dito, pagkatapos n A, ibig sabihin. N A, at dahil ang kundisyon 1 ay nakakatugon sa pagsasama A N , pagkatapos A=N .

Ang prinsipyo ng patunay ay batay sa katangiang ito ng mga natural na numero. sa pamamagitan ng mathematical induction. Kung mayroong maraming mga pahayag, ang bawat isa ay itinalaga ng isang natural na numero (numero nito) n=1, 2, ..., at kung mapatunayan na:

1) ang pahayag na may numero 1 ay totoo;

2) mula sa bisa ng pahayag na may anumang numero n N sumusunod sa bisa ng pahayag na may bilang n+1;

pagkatapos ay ang bisa ng lahat ng mga pahayag ay pinatunayan, ibig sabihin, anumang pahayag na may di-makatwirang numero n N .

Mga numero 0, + 1, + 2, ... tinawag buong numero, ang kanilang hanay ay nakatukoy Z .

I-type ang mga numero m/n, saan m at n buo, at n 0 ang tinatawag mga rational na numero. Ang hanay ng lahat ng mga rational na numero ay tinutukoy Q .

Ang mga totoong numero na hindi makatwiran ay tinatawag hindi makatwiran, ang kanilang hanay ay nakatukoy ako .

Ang tanong ay lumitaw na marahil ang mga rational na numero ay nauubos ang lahat ng mga elemento ng set R? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng aksiom ng pagpapatuloy. Sa katunayan, ang axiom na ito ay hindi humahawak para sa mga makatwirang numero. Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang set:

Madaling makita na para sa anumang mga elemento at ang hindi pagkakapantay-pantay ay natutupad. Gayunpaman makatwiran walang numerong naghihiwalay sa dalawang set na ito. Sa katunayan, ang numerong ito ay maaari lamang , ngunit hindi ito makatwiran. Ang katotohanang ito ay nagpapahiwatig na mayroong hindi nakapangangatwiran numero sa karamihan R.

Bilang karagdagan sa apat na pagpapatakbo ng arithmetic sa mga numero, maaari kang magsagawa ng exponentiation at root extraction. Para sa anumang numero a R at natural n degree isang n tinukoy bilang isang produkto n mga kadahilanan na katumbas ng a:

A-prioryo a 0 1, a>0, a-n 1/ a n a 0, n- natural na numero.

Halimbawa. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli: ( 1+x)n> 1+nx Patunayan sa pamamagitan ng induction.

Hayaan a>0, n- natural na numero. Numero b tinawag ugat n ika degree mula sa gitna a, kung b n =a. Sa kasong ito, ito ay nakasulat Ang pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang positibong ugat ng anumang antas n mula sa anumang positibong numero ay mapapatunayan sa ibaba sa § 7.3.
Kahit ugat, a Ang 0 ay may dalawang kahulugan: kung b = , k N , pagkatapos at -b= . Sa katunayan, mula sa b 2k = a sinusundan iyon

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Ang isang hindi-negatibong halaga ay tinatawag nito halaga ng aritmetika .
Kung ang r = p/q, saan p at q buo, q 0, ibig sabihin. r ay isang rational na numero, kung gayon a > 0

(2.1)

Kaya ang degree isang r tinukoy para sa anumang rational na numero r. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan nito na para sa anumang makatwiran r may pagkakapantay-pantay

a -r = 1/isang r.

Degree isang x(numero x tinawag exponent) para sa anumang tunay na numero x ay nakuha sa pamamagitan ng patuloy na pagpapalawak ng degree na may rational exponent (tingnan ang Seksyon 8.2 para sa higit pa tungkol dito). Para sa anumang numero a R di-negatibong numero

tumawag sa kanya ganap na halaga o modyul. Para sa mga ganap na halaga ng mga numero, ang mga hindi pagkakapantay-pantay

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Ang mga ito ay napatunayan gamit ang mga katangian I-IV ng mga tunay na numero.

Ang papel na ginagampanan ng axiom ng pagpapatuloy sa pagbuo ng mathematical analysis

Ang kahalagahan ng axiom of continuity ay tulad na kung wala ito ay imposible ang isang mahigpit na pagtatayo ng mathematical analysis. [ hindi natukoy na pinagmulan 1351 araw] Upang ilarawan, nagpapakita kami ng ilang pangunahing mga pahayag ng pagsusuri, ang patunay nito ay batay sa pagpapatuloy ng mga tunay na numero:

· (Weierstrass theorem). Ang bawat bounded na monotonically increase na sequence ay nagtatagpo

· (Bolzano-Cauchy theorem). Ang isang tuluy-tuloy na pag-andar sa isang segment na kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo nito ay nawawala sa ilang panloob na punto ng segment

· (Ang pagkakaroon ng kapangyarihan, exponential, logarithmic at lahat trigonometriko function sa buong "natural" na domain ng kahulugan). Halimbawa, napatunayan na para sa bawat integer ay mayroong , iyon ay, isang solusyon sa equation . Pinapayagan ka nitong matukoy ang halaga ng expression para sa lahat ng makatwiran :

Sa wakas, muli, dahil sa pagpapatuloy ng linya ng numero, posibleng matukoy ang halaga ng expression na para sa isang arbitrary . Katulad nito, gamit ang continuity property, pinapatunayan namin ang pagkakaroon ng isang numero para sa alinmang .

Para sa isang mahabang makasaysayang yugto ng panahon, pinatunayan ng mga mathematician ang mga teorema mula sa pagsusuri, sa "mga manipis na lugar" na tumutukoy sa geometric na pagbibigay-katwiran, at mas madalas na nilalaktawan ang mga ito nang buo dahil ito ay halata. Ang mahahalagang konsepto ng pagpapatuloy ay ginamit nang walang anumang malinaw na kahulugan. Sa huling ikatlong bahagi lamang ng ika-19 na siglo ginawa ng German mathematician na si Karl Weierstrass ang arithmetization ng pagsusuri, na binuo ang unang mahigpit na teorya ng mga tunay na numero bilang walang katapusang decimal fraction. Iminungkahi niya ang isang klasikal na kahulugan ng limitasyon sa wika, pinatunayan ang isang bilang ng mga pahayag na itinuturing na "halata" bago niya, at sa gayon ay natapos ang pundasyon ng mathematical analysis.

Nang maglaon, iminungkahi ang iba pang mga diskarte sa kahulugan ng isang tunay na numero. Sa axiomatic approach, ang pagpapatuloy ng mga tunay na numero ay tahasang ibinukod bilang isang hiwalay na axiom. Sa mga nakabubuo na diskarte sa teorya ng tunay na mga numero, halimbawa, kapag gumagawa ng mga tunay na numero gamit ang mga seksyon ng Dedekind, ang continuity property (sa isang formulation o iba pa) ay pinatunayan bilang isang theorem.

Iba pang mga pormulasyon ng continuity property at katumbas na mga pangungusap[baguhin | i-edit ang wiki text]

Mayroong ilang iba't ibang mga pahayag na nagpapahayag ng continuity property ng mga tunay na numero. Ang bawat isa sa mga prinsipyong ito ay maaaring kunin bilang batayan para sa pagbuo ng teorya ng tunay na bilang bilang isang aksiom ng pagpapatuloy, at ang lahat ng iba ay maaaring makuha mula dito. Ang isyung ito ay tinalakay nang mas detalyado sa susunod na seksyon.

Pagpapatuloy ayon kay Dedekind[baguhin | i-edit ang wiki text]

Pangunahing artikulo:Teorya ng seksyon sa rehiyon ng mga rational na numero

Ang tanong ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero ay isinasaalang-alang ni Dedekind sa kanyang akdang Continuity at Irrational Numbers. Sa loob nito, inihambing niya ang mga rational na numero sa mga punto ng isang tuwid na linya. Tulad ng alam mo, sa pagitan ng mga makatwirang numero at mga punto ng isang tuwid na linya, maaari kang magtatag ng isang sulat kapag pinili mo ang panimulang punto at ang yunit ng pagsukat ng mga segment sa tuwid na linya. Sa tulong ng huli, posible na bumuo ng kaukulang segment para sa bawat rational na numero, at ilagay ito sa tabi sa kanan o kaliwa, depende sa kung mayroong positibo o negatibong numero, makakuha ng isang punto na tumutugma sa numero. . Kaya, ang bawat rational na numero ay tumutugma sa isa at isang punto lamang sa linya.

Lumalabas na mayroong walang katapusang maraming mga punto sa linya na hindi tumutugma sa anumang makatwirang numero. Halimbawa, ang isang punto na nakuha sa pamamagitan ng paglalagay ng haba ng dayagonal ng isang parisukat na binuo sa isang segment ng yunit. Kaya, ang kaharian ng mga rational na numero ay walang ganoon pagkakumpleto, o pagpapatuloy, na likas sa isang tuwid na linya.

Upang malaman kung ano ang binubuo ng pagpapatuloy na ito, ginawa ni Dedekind ang sumusunod na komento. Kung mayroong isang tiyak na punto ng linya, ang lahat ng mga punto ng linya ay mahuhulog sa dalawang klase: mga puntong matatagpuan sa kaliwa, at mga puntong matatagpuan sa kanan. Ang punto mismo ay maaaring arbitraryong italaga alinman sa mas mababa o sa mataas na uri. Nakikita ni Dedekind ang kakanyahan ng pagpapatuloy sa baligtad na prinsipyo:

Sa geometriko, ang prinsipyong ito ay tila halata, ngunit wala tayo sa posisyon upang patunayan ito. Binibigyang-diin ni Dedekind na, sa esensya, ang prinsipyong ito ay isang postulate, na nagpapahayag ng kakanyahan ng ari-arian na iyon na iniuugnay sa direktang linya, na tinatawag nating pagpapatuloy.

Upang mas maunawaan ang kakanyahan ng pagpapatuloy ng linya ng numero sa kahulugan ng Dedekind, isaalang-alang ang isang arbitrary na seksyon ng hanay ng mga tunay na numero, iyon ay, ang paghahati ng lahat ng tunay na numero sa dalawang hindi walang laman na klase, upang ang lahat ng mga numero ng ang isang klase ay nasa linya ng numero sa kaliwa ng lahat ng mga numero ng pangalawa. Ang mga klase na ito ay pinangalanan ayon sa pagkakabanggit mas mababa at matataas na uri mga seksyon. Sa teorya, mayroong 4 na posibilidad:

1. Sa mababang uri ay mayroon maximum na elemento, sa upper class walang minimum

2. Walang pinakamataas na elemento sa mababang uri, habang mayroong pinakamababang elemento sa itaas na uri

3. Ang pinakamababang klase ay may pinakamataas at ang pinakamataas na klase ay may pinakamababang elemento

4. Walang pinakamataas na elemento sa mababang uri, at walang minimum na elemento sa itaas na uri

Sa una at pangalawang kaso, ang pinakamataas na elemento ng mas mababa o ang pinakamababang elemento ng itaas, ayon sa pagkakabanggit, ay gumagawa ng seksyong ito. Sa ikatlong kaso mayroon kami tumalon, at sa ikaapat space. Kaya, ang pagpapatuloy ng linya ng numero ay nangangahulugan na walang mga jump o gaps sa hanay ng mga tunay na numero, iyon ay, sa makasagisag na pagsasalita, walang mga voids.

Kung ipinakilala natin ang konsepto ng isang seksyon ng hanay ng mga tunay na numero, kung gayon ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind ay maaaring mabuo bilang mga sumusunod.

Ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind (pagkakumpleto). Para sa bawat seksyon ng hanay ng mga tunay na numero, mayroong isang numero na gumagawa ng seksyong ito.

Magkomento. Ang pormulasyon ng Axiom of Continuity tungkol sa pagkakaroon ng isang puntong naghihiwalay sa dalawang set ay lubos na nakapagpapaalaala sa pagbabalangkas ng prinsipyo ng pagpapatuloy ni Dedekind. Sa katunayan, ang mga pahayag na ito ay katumbas, at, sa esensya, ay magkakaibang mga pormulasyon ng parehong bagay. Samakatuwid, ang parehong mga pahayag na ito ay tinatawag ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero ayon kay Dedekind.

Lemma sa mga nested na segment (prinsipyo ng Cauchy-Cantor)[baguhin | i-edit ang wiki text]

Pangunahing artikulo:Lemma sa mga nested segment

Lemma sa mga nested segment (Cauchy - Kantor). Anumang sistema ng mga nested na segment

ay may hindi walang laman na intersection, ibig sabihin, mayroong kahit isang numero na kabilang sa lahat ng mga segment ng ibinigay na system.

Kung, bilang karagdagan, ang haba ng mga segment ng ibinigay na sistema ay may posibilidad na zero, iyon ay,

pagkatapos ay ang intersection ng mga segment ng sistemang ito ay binubuo ng isang punto.

Ang ari-arian na ito ay tinatawag na pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero sa kahulugan ng Cantor. Ipapakita sa ibaba na para sa Archimedean ordered fields, ang Cantor continuity ay katumbas ng Dedekind continuity.

Ang pinakamataas na prinsipyo[baguhin | i-edit ang wiki text]

Ang prinsipyo ng supremacy. Ang bawat hindi-bakanteng hanay ng mga tunay na numero na nakatali sa itaas ay may pinakamataas.

Sa mga kursong calculus, ang proposisyong ito ay karaniwang isang teorama, at ang patunay nito ay gumagawa ng makabuluhang paggamit ng pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero sa isang anyo o iba pa. Kasabay nito, sa kabaligtaran, posibleng i-postulate ang pagkakaroon ng supremum para sa anumang di-bakanteng hanay na nakatali mula sa itaas, at umaasa dito upang patunayan, halimbawa, ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind. Kaya, ang supremum theorem ay isa sa katumbas na salita mga katangian ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero.

Magkomento. Sa halip na supremum, maaaring gamitin ng isa ang dalawahang konsepto ng infimum.

Ang infimum na prinsipyo. Ang bawat hindi-bakanteng hanay ng mga tunay na numero na nakatali sa ibaba ay may infimum.

Ang panukalang ito ay katumbas din ng prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind. Bukod dito, maipapakita na ang pahayag ng infimum theorem ay direktang sumusunod mula sa assertion ng supremum theorem, at kabaliktaran (tingnan sa ibaba).

May hangganang cover lemma (prinsipyo ng Heine-Borel)[baguhin | i-edit ang wiki text]

Pangunahing artikulo:Heine-Borel Lemma

May hangganang Cover Lemma (Heine - Borel). Sa anumang sistema ng mga agwat na sumasaklaw sa isang segment, mayroong isang may hangganang subsystem na sumasaklaw sa segment na ito.

Limitahan ang point lemma (prinsipyo ng Bolzano-Weierstrass)[baguhin | i-edit ang wiki text]

Pangunahing artikulo:Bolzano-Weierstrass theorem

Limitahan ang Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Ang bawat infinite bounded number set ay may kahit isang limit point.

Pagtutumbas ng mga pangungusap na nagsasaad ng pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero[baguhin | i-edit ang wiki text]

Gumawa tayo ng ilang paunang pangungusap. Alinsunod sa kahulugan ng axiomatic ng isang tunay na numero, ang hanay ng mga tunay na numero ay nakakatugon sa tatlong grupo ng mga axiom. Ang unang pangkat ay ang field axioms. Ang pangalawang grupo ay nagpapahayag ng katotohanan na ang koleksyon ng mga tunay na numero ay isang linearly ordered set, at ang pagkakasunod-sunod ay pare-pareho sa mga pangunahing operasyon ng field. Kaya, ang una at pangalawang grupo ng mga axiom ay nangangahulugan na ang hanay ng mga tunay na numero ay isang ordered field. Ang ikatlong pangkat ng mga axiom ay binubuo ng isang axiom - ang axiom ng pagpapatuloy (o pagkakumpleto).

Upang ipakita ang pagkakapantay-pantay ng iba't ibang pormulasyon ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero, dapat patunayan ng isa na kung ang isa sa mga proposisyong ito ay humahawak para sa isang nakaayos na larangan, kung gayon ang lahat ng iba ay totoo.

Teorama. Hayaan ang isang arbitrary linearly ordered set. Ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:

1. Anuman ang hindi walang laman na mga set at ay tulad na para sa alinmang dalawang elemento at , mayroong isang elemento na para sa lahat at , ang kaugnayan ay nagtataglay

2. Para sa anumang seksyon sa mayroong isang elemento na gumagawa ng seksyong ito

3. Ang bawat hindi-bakanteng hanay na nakatali sa itaas ay may supremum

4. Ang bawat hindi-bakanteng hanay na nakatali sa ibaba ay may infimum

Tulad ng makikita mula sa teorama na ito, ginagamit lamang ng apat na proposisyong ito ang ipinakilala ng linear order relation at hindi ginagamit ang field structure. Kaya, ang bawat isa sa kanila ay nagpapahayag ng isang ari-arian bilang isang linearly ordered set. Ang pag-aari na ito (ng isang arbitrary na linearly ordered set, hindi kinakailangan ang set ng mga totoong numero) ay tinatawag na pagpapatuloy, o pagkakumpleto, ayon kay Dedekind.

Ang pagpapatunay ng pagkakapantay-pantay ng iba pang mga pangungusap ay nangangailangan na ng patlang na istraktura.

Teorama. Hayaang maging isang arbitrary ordered field. Ang mga sumusunod na pangungusap ay katumbas:

1. (bilang isang linearly ordered set) ay kumpleto na ang Dedekind

2. Upang matupad ang prinsipyo ni Archimedes at prinsipyo ng mga nested segment

3. Para sa prinsipyo ng Heine-Borel ay natupad

4. Para sa prinsipyo ng Bolzano-Weierstrass ay natupad

Magkomento. Tulad ng makikita mula sa teorama, ang prinsipyo ng mga nested segment sa sarili nito ay hindi katumbas Ang prinsipyo ng pagpapatuloy ni Dedekind. Ang prinsipyo ng nested segment ay sumusunod mula sa Dedekind continuity principle, ngunit para sa kabaligtaran ay kinakailangan din na dagdagan na ang ordered field ay nakakatugon sa Archimedes axiom.

Ang patunay ng mga teorema sa itaas ay matatagpuan sa mga aklat mula sa bibliograpiyang ibinigay sa ibaba.

· Kudryavtsev, L. D. Kurso ng pagsusuri sa matematika. - 5th ed. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fikhtengolts, G. M. Mga Batayan ng pagsusuri sa matematika. - ika-7 ed. - M.: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Pagpapatuloy at hindi makatwirang mga numero = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - Ika-4 na binagong edisyon. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

· Zorich, V. A. Pagsusuri sa matematika. Bahagi I. - Ed. Ika-4, naitama .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.

· Pagpapatuloy ng mga function at numerical na domain: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3rd ed. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.

4.5. Axiom ng pagpapatuloy

Anuman ang dalawang di-bakanteng hanay ng mga tunay na numerong A at

B , kung saan, para sa anumang elemento a ∈ A at b ∈ B, ang hindi pagkakapantay-pantay

a ≤ b , mayroong isang numerong λ na para sa lahat ng a ∈ A , b ∈ B

pagkakapantay-pantay a ≤ λ ≤ b .

Ang continuity property ng real numbers ay nangangahulugan na sa real

walang "mga voids" sa linya ng ugat, iyon ay, mga puntos na kumakatawan sa mga numero punan

ang buong tunay na axis.

Magbigay tayo ng isa pang pagbabalangkas ng aksiom ng pagpapatuloy. Para dito ipinakilala namin

Kahulugan 1.4.5. Dalawang set A at B ang tatawaging isang seksyon

set ng mga totoong numero, kung

1) ang mga set A at B ay hindi walang laman;

2) ang unyon ng set A at B ay bumubuo sa set ng lahat ng real

numero;

3) ang bawat bilang ng set A ay mas mababa sa bilang ng set B .

Iyon ay, ang bawat set na bumubuo ng isang seksyon ay naglalaman ng hindi bababa sa isa

elemento, hindi naglalaman ang mga set na ito karaniwang mga elemento at, kung a ∈ A at b ∈ B , kung gayon

Ang set A ay tatawaging lower class, at ang set B ay tatawaging upper class.

klase ng seksyon. Itatalaga namin ang seksyon bilang A B .

ng karamihan mga simpleng halimbawa Ang mga seksyon ay ang mga seksyon na nakuha bilang mga sumusunod

umihip na paraan. Kumuha ng ilang numero α at itakda

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

bumalandra at kung a ∈ A at b ∈ B , pagkatapos ay a< b , поэтому множества A и B образуют

seksyon. Katulad nito, ang isa ay maaaring bumuo ng isang seksyon, sa pamamagitan ng mga hanay

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

Ang mga nasabing seksyon ay tatawaging mga seksyon na nabuo sa pamamagitan ng numerong α o

sasabihin natin na ang bilang na α ay gumagawa ng seksyong ito. Ito ay maaaring isulat bilang

Ang mga seksyon na nabuo ng anumang numero ay may dalawang kawili-wili

ari-arian:

Property 1. Ang alinman sa itaas na klase ay naglalaman ng pinakamaliit na numero, at sa mas mababa

ang klase ay walang pinakamalaking bilang, o ang mas mababang klase ay naglalaman ng pinakamalaking bilang

narito, at ang nangungunang klase ay hindi ang pinakamaliit.

Property 2. Ang bilang na bumubuo sa ibinigay na seksyon ay natatangi.

Lumalabas na ang continuity axiom na nabuo sa itaas ay katumbas ng

ay naaayon sa pahayag na tinatawag na prinsipyo ni Dedekind:

Dedekind na prinsipyo. Para sa bawat seksyon, mayroong pagbuo ng numero

ito ay isang seksyon.

Patunayan natin ang pagkakapareho ng mga pahayag na ito.

Hayaang maging wasto ang axiom of continuity, at ilang se-

halaga A B . Pagkatapos, dahil ang mga klase A at B ay nakakatugon sa mga kondisyon, ang mga formula

axiom, mayroong isang numerong λ na ang a ≤ λ ≤ b para sa anumang mga numero

a ∈ A at b ∈ B . Ngunit ang bilang λ ay dapat na kabilang sa isa at isa lamang sa

mga klase A o B , kaya isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay a ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

o ang pinakamaliit sa itaas na klase at bumubuo ng ibinigay na seksyon.

Sa kabaligtaran, hayaan ang prinsipyo ng Dedekind na masiyahan at dalawang hindi walang laman

nagtatakda ng A at B na para sa lahat ng a ∈ A at b ∈ B ang hindi pagkakapantay-pantay

a ≤ b . Tukuyin sa pamamagitan ng B ang hanay ng mga numero b na ang a ≤ b para sa alinman

b ∈ B at lahat ng a ∈ A . Pagkatapos B ⊂ B . Para sa set A, kinukuha namin ang hanay ng lahat ng mga numero

mga nayon na hindi kasama sa B .

Patunayan natin na ang set A at B ay bumubuo ng isang seksyon.

Sa katunayan, malinaw na ang set B ay hindi walang laman, dahil naglalaman ito

set na walang laman B . Ang set A ay hindi rin walang laman, dahil kung ang isang numero a ∈ A ,

pagkatapos ay ang numerong a − 1∉ B , dahil ang anumang numero na kasama sa B ay dapat na hindi bababa sa

mga numero a , kaya a − 1∈ A .

ang hanay ng lahat ng tunay na numero, sa pamamagitan ng pagpili ng mga hanay.

At sa wakas, kung a ∈ A at b ∈ B , pagkatapos ay a ≤ b . Sa katunayan, kung mayroon man

ang numero c ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay c > b , kung saan b ∈ B , pagkatapos ay ang mali

ang pagkakapantay-pantay c > a (a ay isang arbitrary na elemento ng set A) at c ∈ B .

Kaya, ang A at B ay bumubuo ng isang seksyon, at sa bisa ng prinsipyo ng Dedekind, mayroong isang numero

lo λ , na bumubuo ng seksyong ito, iyon ay, na alinman ang pinakamalaki sa klase

Patunayan natin na ang numerong ito ay hindi kabilang sa klase A . wasto-

ngunit kung λ ∈ A , kung gayon mayroong isang numero a* ∈ A na ang λ< a* . Тогда существует

ang numerong a′ na nasa pagitan ng mga numerong λ at a* . Mula sa hindi pagkakapantay-pantay a′< a* следует, что

a′ ∈ A , pagkatapos ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

class A , na sumasalungat sa prinsipyo ng Dedekind. Samakatuwid, ang bilang λ ay

ay ang pinakamaliit sa klase B at para sa lahat ng a ∈ A at ang hindi pagkakapantay-pantay

a ≤ λ ≤ b , kung kinakailangan.◄

Kaya, ang ari-arian na nabuo sa axiom at ang ari-arian,

na nabuo sa prinsipyo ng Dedekind ay katumbas. Sa hinaharap, ang mga ito

mga katangian ng hanay ng mga tunay na numero na tatawagin nating continuity

ayon kay Dedekind.

Ang pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero ayon kay Dedekind ay nagpapahiwatig

dalawang mahalagang teorema.

Teorama 1.4.3. (Archimedes principle) Anuman ang tunay na numero

a, mayroong natural na bilang n tulad na a< n .

Ipagpalagay natin na ang pahayag ng theorem ay mali, ibig sabihin, mayroong ganoon

ilang bilang na b0 upang ang hindi pagkakapantay-pantay n ≤ b0 ay taglay para sa lahat ng natural na mga numero

n. Hatiin natin ang hanay ng mga tunay na numero sa dalawang klase: sa klase B na itinalaga natin

lahat ng numero b na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay n ≤ b para sa anumang natural n .

Walang laman ang klase na ito, dahil kabilang dito ang numerong b0. Inaatasan namin ang lahat sa klase A

ang natitirang mga numero. Ang klase na ito ay hindi rin walang laman, dahil anumang natural na numero

ay kasama sa A. Ang mga klase A at B ay hindi nagsasalubong at ang kanilang unyon ay

ang set ng lahat ng totoong numero.

Kung kukuha tayo ng mga arbitrary na numero a ∈ A at b ∈ B , kung gayon mayroong natural

bilang n0 tulad na a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

Natutugunan ng A at B ang prinsipyo ng Dedekind at mayroong numerong α iyon

bumubuo ng isang seksyon A B , iyon ay, ang α ay alinman sa pinakamalaki sa klase A , o

bo ang pinakamaliit sa klase B . Kung ipagpalagay natin na ang α ay kabilang sa klase A , kung gayon

makakahanap ng natural na numero n1 kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay α< n1 .

Dahil ang n1 ay kasama rin sa A , ang bilang na α ay hindi magiging pinakamalaki sa klase na ito,

samakatuwid, mali ang aming palagay at ang α ang pinakamaliit sa

klase B.

Sa kabilang banda, kumuha ng numerong α − 1 na kabilang sa klase A . Sundin-

Samakatuwid, mayroong natural na bilang n2 na ang α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

sumusunod na ang α ∈ A . Ang resultang kontradiksyon ay nagpapatunay sa theorem.◄

Bunga. Anuman ang mga numerong a at b ay 0< a < b , существует

isang natural na numero n kung saan taglay ang hindi pagkakapantay-pantay na > b.

Upang patunayan ito, sapat na upang ilapat ang prinsipyo ng Archimedes sa numero

at gamitin ang pag-aari ng hindi pagkakapantay-pantay.◄

Ang kahihinatnan ay may isang simple geometriko na kahulugan: Kahit ano ang dalawa

segment, kung sa mas malaki sa kanila, mula sa isa sa mga dulo nito nang sunud-sunod

maglagay ng mas maliit, pagkatapos ay sa isang tiyak na bilang ng mga hakbang posible na lumampas

mas malaking hiwa.

Halimbawa 1. Patunayan na para sa bawat di-negatibong numero ay mayroong

ang tanging di-negatibong tunay na numero t tulad na

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Ang pagkakaroon ng teorama na ito ugat ng aritmetika nth degree

mula sa isang hindi negatibong numero sa kurso ng paaralan ng algebra ay tinatanggap nang walang patunay

mga pangako.

☺Kung a = 0 , pagkatapos x = 0 , kaya ang patunay ng pagkakaroon ng arithmetic

Ang ugat ng a ay kinakailangan lamang para sa isang > 0 .

Ipagpalagay na a > 0 at partition ang set ng lahat ng totoong numero

para sa dalawang klase. Itatalaga namin sa klase B ang lahat ng positibong numero x na nagbibigay-kasiyahan

lumikha ng hindi pagkakapantay-pantay x n > a , sa klase A , lahat ng iba pa.

Ayon sa axiom ng Archimedes, may mga natural na numero k at m tulad na

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a at 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

Ang A ay naglalaman ng mga positibong numero.

Malinaw, A ∪ B = at kung x1 ∈ A at x2 ∈ B , kung gayon x1< x2 .

Kaya ang mga klase A at B ay bumubuo ng isang seksyon. Ang bilang na bumubuo nito

seksyon, na tinutukoy ng t . Kung gayon ang t ay alinman sa pinakamalaking bilang sa klase

lahat A , o ang pinakamaliit sa klase B .

Ipagpalagay na ang t ∈ A at t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

Pagkatapos ay nakukuha natin (t + h)< a . Это означает,

Kaya naman, kung kukuha tayo ng h<

na t + h ∈ A , na sumasalungat sa katotohanan na t ang pinakamalaking elemento sa klase A .

Katulad nito, kung ipagpalagay natin na ang t ay ang pinakamaliit na elemento ng klase B,

pagkatapos, kumukuha ng numero h na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay 0< h < 1 и h < ,

nakukuha natin (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Nangangahulugan ito na ang t − h ∈ B at t ay hindi maaaring ang pinakamaliit na elemento

klase B. Samakatuwid, t n = a .

Ang pagiging natatangi ay sumusunod sa katotohanan na kung t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Halimbawa 2. Patunayan na kung a< b , то всегда найдется рациональное число r

tulad na a< r < b .

☺Kung ang mga numerong a at b ay makatwiran, ang bilang ay makatuwiran at

natutugunan ang mga kinakailangang kondisyon. Ipagpalagay na kahit isa sa mga numerong a o b

hindi makatwiran, halimbawa, sabihin natin na ang bilang b ay hindi makatwiran. Ipinagpalagay

pinindot din namin iyon a ≥ 0 , pagkatapos b > 0 . Isinulat namin ang mga representasyon ng mga numero a at b sa form

decimal fraction: a = α 0 ,α1α 2α 3.... at b = β 0 , β1β 2 β3... , kung saan ang pangalawang fraction ay walang katapusan

may hangganan at hindi pana-panahon. Kung tungkol sa representasyon ng numero a, pagkatapos ay bibilangin natin

na kung ang bilang a ay makatwiran, kung gayon ang notasyon nito ay maaaring may hangganan o ito ay

rhyonic fraction na ang panahon ay hindi katumbas ng 9.

Dahil b > a , pagkatapos ay β 0 ≥ α 0 ; kung β 0 = α 0 , pagkatapos ay β1 ≥ α1 ; kung β1 = α1 , pagkatapos ay β 2 ≥ α 2

atbp., at mayroong ganoong halaga i , kung saan ito sa unang pagkakataon

matugunan ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay βi > α i . Kung gayon ang bilang na β 0 , β1β 2 ...βi ay magiging rasyonal

totoo at nasa pagitan ng mga numerong a at b.

Kung ang< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, kung saan ang n ay isang natural na bilang na ang n ≥ a. Ang pagkakaroon ng naturang numero

sumusunod mula sa axiom ni Archimedes. ☻

Kahulugan 1.4.6. Hayaang magbigay ng pagkakasunod-sunod ng mga segment ng totoong axis

([ an ; bn ]), an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

mga pagitan kung para sa anumang n ang mga hindi pagkakapantay-pantay an ≤ an+1 hold at

Para sa gayong sistema, ang mga inklusyon

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3] ⊃ ... ⊃ [ isang ; bn] ⊃ ... ,

ibig sabihin, ang bawat susunod na segment ay nakapaloob sa nauna.

Teorama 1.4.4. Para sa anumang sistema ng mga nested na segment, mayroon

hindi bababa sa isang punto na kasama sa bawat isa sa mga segment na ito.

Kunin natin ang dalawang set A = (an ) at B = (bn ) . Hindi sila walang laman at para sa kahit ano

n at m, ang hindi pagkakapantay-pantay an< bm . Докажем это.

Kung n ≥ m , kung gayon an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Kaya ang mga klase A at B ay nakakatugon sa axiom ng pagpapatuloy at,

samakatuwid, mayroong isang numerong λ na ang isang ≤ λ ≤ bn para sa anumang n, i.e. Ito

ang numero ay nabibilang sa anumang segment [ an ; bn] .◄

Sa mga sumusunod (Theorem 2.1.8), pinipino namin ang theorem na ito.

Ang pahayag na nabuo sa Theorem 1.4.4 ay tinatawag na prinsipyo

Cantor, at ang set na nakakatugon sa kundisyong ito ay tatawagin

discontinuous ayon kay Cantor.

Napatunayan namin na kung ang isang ordered set ay Dede-continuous

kindu, kung gayon ang prinsipyo ni Archimedes ay natutupad dito at ito ay tuloy-tuloy ayon kay Cantor.

Ito ay maaaring patunayan na ang isang ordered set kung saan ang mga prinsipyo

Ang mga prinsipyo ng Archimedes at Cantor ay magiging tuluy-tuloy ayon kay Dedekind. Patunay

ang katotohanang ito ay nakapaloob, halimbawa, sa.

Ang prinsipyo ng Archimedes ay nagbibigay-daan sa bawat segment ng isang tuwid na linya upang ihambing

na ang tanging positibong numero na nakakatugon sa mga kundisyon:

1. katumbas na mga segment pantay na mga numero;

2. Kung ang punto ng segment AC at ang mga segment na AB at BC ay tumutugma sa mga numerong a at

b, pagkatapos ang segment na AC ay tumutugma sa numerong a + b;

3. ang isang partikular na segment ay tumutugma sa numero 1.

Ang bilang na tumutugma sa bawat segment at nakakatugon sa mga kondisyon 1-3 sa-

ay tinatawag na haba ng bahaging ito.

Ang prinsipyo ng Cantor ay nagpapahintulot sa amin na patunayan iyon para sa bawat positibo

numero, makakahanap ka ng segment na ang haba ay katumbas ng numerong ito. kaya,

sa pagitan ng hanay ng mga positibong tunay na numero at ng hanay ng mga segment

kov, na tinanggal mula sa ilang punto ng tuwid na linya sa isang partikular na panig

mula sa puntong ito, maaaring maitatag ang isa-sa-isang sulat.

Nagbibigay-daan ito sa amin na tukuyin ang numerical axis at ipakilala ang isang sulat sa pagitan ng

naghihintay ng totoong mga numero at puntos sa linya. Upang gawin ito, kumuha tayo ng ilan

Gumuhit ako ng isang linya at pumili ng isang punto O dito, na naghahati sa linyang ito sa dalawa

sinag. Tinatawag namin ang isa sa mga sinag na ito na positibo, at ang pangalawang negatibo.

nym. Pagkatapos ay sasabihin natin na pinili natin ang direksyon sa tuwid na linyang ito.

Kahulugan 1.4.7. Ang totoong axis ay ang tuwid na linya kung saan

a) punto O, tinatawag na pinanggalingan o pinanggalingan;

b) direksyon;

c) isang bahagi ng haba ng yunit.

Ngayon, sa bawat tunay na numero a, iniuugnay namin ang isang punto M sa numero

humagulgol ng diretso kaya

a) ang numero 0 ay tumutugma sa pinagmulan;

b) OM = a - ang haba ng segment mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong M ay katumbas ng

numero ng modulo;

c) kung ang a ay positibo, kung gayon ang punto ay kukunin sa positibong sinag at, es-

Kung ito ay negatibo, kung gayon ito ay negatibo.

Ang panuntunang ito ay nagtatatag ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan

ang hanay ng mga tunay na numero at ang hanay ng mga puntos sa linya.

Ang linya ng numero (axis) ay tatawaging tunay na linya

Ito rin ay nagpapahiwatig ng geometric na kahulugan ng modulus ng isang tunay na numero.

la: numero ng module katumbas ng distansya mula sa pinanggalingan ng mga coordinate hanggang sa puntong inilalarawan

paglalagay ng numerong ito sa linya ng numero.

Maaari na tayong magbigay ng geometric na interpretasyon sa mga katangian 6 at 7

modulus ng isang tunay na numero. Sa positibong C ng numerong x, satisfy-

mga katangian 6 punan ang pagitan (−C , C) , at ang mga numerong x ay nagbibigay-kasiyahan

ang ari-arian 7 ay nasa mga sinag (−∞,C) o (C , +∞) .

Napansin namin ang isa pang kapansin-pansing geometric na pag-aari ng tunay na module.

totoong numero.

Ang modulus ng pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga puntos, ayon sa pagkakabanggit

naaayon sa mga numerong ito sa totoong axis.

ry standard numerical sets.

Ang hanay ng mga natural na numero;

Set ng mga integer;

Ang hanay ng mga rational na numero;

Ang hanay ng mga tunay na numero;

Mga set, ayon sa pagkakabanggit, ng mga integer, rational at real

tunay na di-negatibong mga numero;

Set ng mga kumplikadong numero.

Bilang karagdagan, ang hanay ng mga tunay na numero ay tinutukoy bilang (−∞, +∞) .

Mga subset ng set na ito:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - segment;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly o kalahating-segment;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) o (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) ay mga saradong sinag.

Sa wakas, kung minsan ay mangangailangan tayo ng mga puwang kung saan wala tayong pakialam

kung ang mga dulo nito ay nabibilang sa pagitan na ito o hindi. Ang ganoong gap ay

magpahiwatig ng a, b.

§ 5 Boundedness ng mga numerical set

Kahulugan 1.5.1. Ang numerong itinakda X ay tinatawag na hangganan

mula sa itaas kung mayroong isang numerong M na ang x ≤ M para sa anumang elementong x mula sa

nagtatakda ng X .

Kahulugan 1.5.2. Ang numerong itinakda X ay tinatawag na hangganan

mula sa ibaba kung mayroong isang numerong m tulad ng x ≥ m para sa anumang elemento x mula sa

nagtatakda ng X .

Kahulugan 1.5.3. Ang bilang na itinakda X ay tinatawag na hangganan,

kung ito ay may hangganan mula sa itaas at ibaba.

Sa simbolikong notasyon, ang mga kahulugang ito ay magiging ganito:

ang isang set X ay bounded mula sa itaas kung ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

may hangganan mula sa ibaba kung ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m at

ay may hangganan kung ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Teorama 1.5.1. Ang isang numerong set X ay may hangganan kung at kung lamang

kapag mayroong isang numero C tulad na para sa lahat ng mga elemento x mula sa set na ito

, ang hindi pagkakapantay-pantay x ≤ C ay nasiyahan.

Hayaang ang set X ay may hangganan. Inilalagay namin ang C \u003d max (m, M) - ang pinaka

ang mas malaki sa mga numerong m at M . Pagkatapos, gamit ang mga katangian ng modulus ng real

mga numero, nakukuha namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay x ≤ M ≤ M ≤ C at x ≥ m ≥ − m ≥ −C , kung saan

hindi iyon x ≤ C .

Sa kabaligtaran, kung x ≤ C , pagkatapos ay −C ≤ x ≤ C . Ito ang tre-

ibinigay kung itinakda natin ang M = C at m = −C .◄

Ang numerong M na nagbubuklod sa set X mula sa itaas ay tinatawag na itaas

itakda ang hangganan. Kung ang M ay ang upper bound ng isang set X, kung gayon anuman

ang numerong M ′ , na mas malaki sa M , ang magiging upper bound din ng set na ito.

Kaya, maaari nating pag-usapan ang hanay ng mga itaas na hangganan ng set

x. Tukuyin ang set ng upper bounds ng M . Pagkatapos, ∀x ∈ X at ∀M ∈ M

ang hindi pagkakapantay-pantay x ≤ M ay masisiyahan, samakatuwid, ayon sa axiom, patuloy

Mayroong isang numerong M 0 na ang x ≤ M 0 ≤ M . Ang numerong ito ay tinatawag na

ang upper bound ng number set X o upper bound nito

set o ang supremum ng set X at ipinapahiwatig ng M 0 = sup X .

Kaya, napatunayan namin na ang bawat non-empty numerical set,

ang bounded sa itaas ay palaging may eksaktong upper bound.

Malinaw, ang pagkakapantay-pantay M 0 = sup X ay katumbas ng dalawang kundisyon:

1) ∀x ∈ X, x ≤ M 0 , ibig sabihin, M 0 - ang itaas na limitasyon ng set

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X upang xε > M 0 − ε , ibig sabihin, itong gra-

nitsa ay hindi maaaring mapabuti (nabawasan).

Halimbawa 1. Isaalang-alang ang set X = ⎨1 − ⎬ . Patunayan natin na sup X = 1 .

☺Sa katunayan, una, ang hindi pagkakapantay-pantay 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; pangalawa, kung kukuha tayo ng arbitrary na positibong numero ε, pagkatapos ay sa pamamagitan ng

ang prinsipyo ng Archimedes, ang isa ay makakahanap ng isang natural na bilang nε tulad na nε > . yung-

kapag ang hindi pagkakapantay-pantay 1 − > 1 − ε ay nasiyahan, ibig sabihin, natagpuan ang isang elemento xnε ng

ng X na mas malaki sa 1 − ε , na nangangahulugang 1 ang pinakamaliit na upper bound

Katulad nito, mapapatunayan ng isa na kung ang isang set ay nakatali sa ibaba, kung gayon

mayroon itong matalas na lower bound, na tinatawag ding lower bound.

ang bago o infimum ng set X at tinutukoy ng inf X .

Ang equality m0 = inf X ay katumbas ng mga kondisyon:

1) ∀x ∈ X ang hindi pagkakapantay-pantay x ≥ m0 hawak;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X upang ang hindi pagkakapantay-pantay xε< m0 + ε .

Kung ang set X ay may pinakamalaking elemento x0 , pagkatapos ay tatawagin natin ito

ang pinakamataas na elemento ng set X at tukuyin ang x0 = max X . Pagkatapos

sup X = x0 . Katulad nito, kung mayroong pinakamaliit na elemento sa isang set, kung gayon

tatawagin natin itong minimal, ipahiwatig ang min X at ito ay nasa-

phimum ng set X .

Halimbawa, ang hanay ng mga natural na numero ay may pinakamaliit na elemento -

unit, na siyang infimum din ng set. sobrang-

walang ganitong set si nanay, dahil hindi ito nakatali mula sa itaas.

Ang mga kahulugan ng tumpak na upper at lower bounds ay maaaring palawigin hanggang

nagtatakda ng walang hangganan mula sa itaas o ibaba, nagtatakda ng sup X = +∞ o, ayon sa pagkakabanggit,

Kaugnay nito, inf X = −∞ .

Sa konklusyon, bumubuo kami ng ilang mga katangian ng upper at lower bounds.

Property 1. Hayaang ang X ay ilang set ng numero. Tukuyin ng

− X set (− x | x ∈ X ) . Pagkatapos sup (− X) = − inf X at inf (− X) = − sup X .

Property 2. Hayaang ang X ay ilang numerical set λ - real

numero. Ipahiwatig sa pamamagitan ng λ X ang set (λ x | x ∈ X ) . Pagkatapos kung λ ≥ 0, kung gayon

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X at, kung λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Property 3. Hayaang ang X1 at X 2 ay mga numerical set. Tukuyin ng

X1 + X 2 set ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) at hanggang X1 − X 2 ang set

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Pagkatapos sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 at

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Property 4. Hayaang ang X1 at X 2 ay mga numerical set, lahat ng mga elemento nito

non-negative si ryh. Pagkatapos

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Patunayan natin, halimbawa, ang unang pagkakapantay-pantay sa ari-arian 3.

Hayaan ang x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 at x = x1 + x2 . Pagkatapos x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 at

x ≤ sup X1 + sup X 2 , kung saan sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Upang patunayan ang kabaligtaran na hindi pagkakapantay-pantay, kunin ang numero

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

anong x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2 na mas malaki sa y at

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Ang mga patunay ng natitirang mga katangian ay isinasagawa sa katulad na paraan at

pagsisinungaling sa nagbabasa.

§ 6 Mabibilang at hindi mabilang na mga hanay

Kahulugan 1.6.1. Isaalang-alang ang set ng unang n natural na mga numero

n = (1,2,..., n) at ilang set A . Kung ito ay posible na magtatag ng kapwa

isa-sa-isang sulat sa pagitan ng A at n , pagkatapos ay tatawagin ang set A

pangwakas.

Kahulugan 1.6.2. Hayaang ibigay ang ilang set A. Kung pwede lang

magtatag ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng set A at

set ng mga natural na numero, pagkatapos ang set A ay tatawaging bilang

Kahulugan 1.6.3. Kung ang set A ay may hangganan o mabibilang, gagawin natin

sabihin na ito ay walang iba kundi mabibilang.

Kaya, ang isang set ay mabibilang kung ang mga elemento nito ay mabibilang.

ilagay sa pagkakasunod-sunod.

Halimbawa 1. Ang hanay ng mga even na numero ay mabibilang, dahil ang pagmamapa n ↔ 2n

ay isang isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng set ng natural

mga numero at isang set ng even na mga numero.

Malinaw, ang gayong sulat ay maaaring maitatag hindi sa tanging paraan

zom. Halimbawa, maaari kang magtatag ng isang sulat sa pagitan ng isang set at isang set

(mga integer na numero), na nagtatag ng isang sulat sa ganitong paraan

Kahulugan ng mga nested na segment. Patunay ng Cauchy-Cantor lemma sa mga nested na segment.

Nilalaman

Kahulugan ng mga nested na segment

Hayaang ang a at b ay dalawang tunay na numero (). Bumitaw . Ang hanay ng mga numero x na nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na isang segment na may mga dulo a at b . Ang segment ay minarkahan ng ganito:

Pagkakasunud-sunod ng mga segment ng numero

tinatawag na sequence mga nested na segment, kung ang bawat kasunod na segment ay nakapaloob sa nauna:
.
Iyon ay, ang mga dulo ng mga segment ay konektado sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay:
.

Lemma sa mga nested na segment (prinsipyo ng Cauchy-Cantor)

Para sa anumang pagkakasunud-sunod ng mga naka-nest na segment, mayroong isang punto na kabilang sa lahat ng mga segment na ito.
Kung ang mga haba ng mga segment ay may posibilidad na zero:
,
pagkatapos ay mayroon lamang isang ganoong punto.

Tinatawag din itong lemma nested segment theorem o Prinsipyo ng Cauchy-Cantor.

Patunay

Para sa patunay ang unang bahagi ng lemma, ginagamit namin ang axiom ng pagkakumpleto ng mga tunay na numero.

Axiom ng pagkakumpleto ng mga tunay na numero ay ang mga sumusunod. Hayaang maging dalawang subset ng mga tunay na numero ang set A at B na ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa alinmang dalawang elemento at mga set na ito. Pagkatapos ay mayroong isang tunay na bilang c na para sa lahat at ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
.

Ilapat natin ang axiom na ito. Hayaang ang set A ay ang hanay ng mga kaliwang dulo ng mga segment, at ang set B ay ang hanay ng mga kanang dulo. Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili sa pagitan ng alinmang dalawang elemento ng mga set na ito. Pagkatapos ay sumusunod mula sa axiom ng pagkakumpleto ng mga tunay na numero na mayroong isang numero c na para sa lahat ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
.
Nangangahulugan ito na ang punto c ay kabilang sa lahat ng mga segment.

Patunayan natin ang pangalawang bahagi ng lemma.

Hayaan . Ayon sa kahulugan ng limitasyon ng isang sequence, nangangahulugan ito na para sa anumang positibong numero mayroong isang natural na numero N na nakasalalay sa ε na para sa lahat ng natural na numero n > N ang hindi pagkakapantay-pantay
(1) .

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran. Hayaang magkaroon ng dalawang magkaibang punto c 1 at c 2 , c 1 ≠ c2 nabibilang sa lahat ng mga segment. Nangangahulugan ito na ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nasa lahat ng n:
;
.
Mula rito
.
Ang paglalapat ng (1) mayroon kaming:
.
Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay dapat magkaroon ng anumang positibong halaga ng ε. Kaya naman sinusunod iyon
c 1 = c2.

Ang lemma ay napatunayan.

Magkomento

Ang pagkakaroon ng isang punto na kabilang sa lahat ng mga segment ay sumusunod mula sa axiom ng pagkakumpleto, na wasto para sa mga tunay na numero. Ang axiom na ito ay hindi nalalapat sa mga rational na numero. Samakatuwid, hindi rin nalalapat ang lemma sa mga nested na segment sa hanay ng mga rational na numero.

Halimbawa, maaari tayong pumili ng mga segment upang ang kaliwa at kanang dulo ay magsalubong sa isang hindi makatwirang numero . Kung gayon ang anumang makatwirang numero, na may pagtaas sa n, ay palaging mahuhulog sa sistema ng mga segment. Ang tanging numero na kabilang sa lahat ng segment ay isang hindi makatwirang numero.

Mga sanggunian:
O.V. Mga demonyo. Mga lektura sa pagsusuri sa matematika. Bahagi 1. Moscow, 2004.

Plano:

Panimula

• 1 Axiom ng pagpapatuloy
• 2 Ang papel na ginagampanan ng axiom ng pagpapatuloy sa pagbuo ng mathematical analysis
• 3 Iba pang mga Pahayag ng Continuity Property at Katumbas na Proposisyon
  • 3.1 Pagpapatuloy ayon kay Dedekind
  • 3.2 Lemma sa mga nested na segment (prinsipyo ng Cauchy-Cantor)
  • 3.3 Ang pinakamataas na prinsipyo
  • 3.4 May hangganang cover lemma (prinsipyo ng Heine-Borel)
  • 3.5 Limitahan ang point lemma (prinsipyo ng Bolzano-Weierstrass)
• 4 Pagtutumbas ng mga pangungusap na nagpapahayag ng pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero
Mga Tala
Panitikan

Panimula

Pagpapatuloy ng mga tunay na numero- isang pag-aari ng sistema ng mga tunay na numero, na wala sa hanay ng mga rational na numero. Minsan, imbes na continuity, pinag-uusapan nila pagkakumpleto ng sistema ng mga tunay na numero. Mayroong ilang iba't ibang mga formulation ng continuity property, ang pinakakilala sa mga ito ay: Ang prinsipyo ng Dedekind ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero, prinsipyo ng mga nested segment Cauchy - Cantor, pinakamataas na teorama. Depende sa tinatanggap na kahulugan ng isang tunay na numero, ang continuity property ay maaaring i-postulate bilang isang axiom - sa isang pormulasyon o iba pa, o napatunayan bilang isang theorem.

1. Axiom ng pagpapatuloy

Ang sumusunod na proposisyon ay marahil ang pinakasimple at pinaka-maginhawa para sa mga aplikasyon ng pagbabalangkas ng continuity property ng mga tunay na numero. Sa axiomatic construction ng teorya ng isang tunay na numero, ang pahayag na ito, o katumbas nito, ay tiyak na kabilang sa mga axiom ng isang tunay na numero.

Geometric na paglalarawan ng axiom ng pagpapatuloy

Axiom ng pagpapatuloy (pagkakumpleto). Anuman ang mga set na walang laman at , na para sa alinmang dalawang elemento at ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroon, mayroong isang numerong ξ na para sa lahat at ang kaugnayan ay nagtataglay

Sa geometriko, kung ituturing natin ang mga tunay na numero bilang mga punto sa isang tuwid na linya, ang pahayag na ito ay tila halata. Kung dalawang set A at B ay tulad na sa linya ng numero ang lahat ng mga elemento ng isa sa mga ito ay nasa kaliwa ng lahat ng mga elemento ng pangalawa, pagkatapos ay mayroong isang numero ξ, naghihiwalay ang dalawang set na ito, iyon ay, nakahiga sa kanan ng lahat ng elemento A(maliban, marahil, ξ mismo) at sa kaliwa ng lahat ng elemento B(parehong sugnay).

Dapat pansinin dito na sa kabila ng "obviousness" ng ari-arian na ito, para sa mga makatwirang numero ay hindi ito palaging nasisiyahan. Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang set:

Ito ay madaling makita na para sa anumang mga elemento at ang hindi pagkakapantay-pantay a < b. Gayunpaman makatwiran walang numerong ξ ang naghihiwalay sa dalawang set na ito. Sa katunayan, ang numerong ito ay maaari lamang , ngunit hindi ito makatwiran.

2. Ang papel na ginagampanan ng axiom ng pagpapatuloy sa pagbuo ng mathematical analysis

Ang kahalagahan ng axiom of continuity ay tulad na kung wala ito ay imposible ang isang mahigpit na pagtatayo ng mathematical analysis. Upang ilarawan, ipinakita namin ang ilang pangunahing mga pahayag ng pagsusuri, ang patunay nito ay batay sa pagpapatuloy ng mga tunay na numero:

Sa wakas, muli dahil sa pagpapatuloy ng linya ng numero, matutukoy ng isa ang halaga ng expression a x na para sa arbitraryo. Katulad nito, gamit ang continuity property, pinapatunayan namin ang pagkakaroon ng number log a b para sa anumang .

Para sa isang mahabang makasaysayang yugto ng panahon, pinatunayan ng mga mathematician ang mga teorema mula sa pagsusuri, sa "mga manipis na lugar" na tumutukoy sa geometric na pagbibigay-katwiran, at mas madalas na nilalaktawan ang mga ito nang buo dahil ito ay halata. Ang mahahalagang konsepto ng pagpapatuloy ay ginamit nang walang anumang malinaw na kahulugan. Sa huling ikatlong bahagi lamang ng ika-19 na siglo ginawa ng German mathematician na si Karl Weierstrass ang arithmetization ng pagsusuri, na binuo ang unang mahigpit na teorya ng mga tunay na numero bilang walang katapusang decimal fraction. Iminungkahi niya ang isang klasikal na kahulugan ng limitasyon sa wika, pinatunayan ang isang bilang ng mga pahayag na itinuturing na "halata" bago niya, at sa gayon ay natapos ang pundasyon ng mathematical analysis.

Nang maglaon, iminungkahi ang iba pang mga diskarte sa kahulugan ng isang tunay na numero. Sa axiomatic approach, ang pagpapatuloy ng mga tunay na numero ay tahasang ibinukod bilang isang hiwalay na axiom. Sa mga nakabubuo na diskarte sa teorya ng tunay na mga numero, halimbawa, kapag gumagawa ng mga tunay na numero gamit ang mga seksyon ng Dedekind, ang continuity property (sa isang formulation o iba pa) ay pinatunayan bilang isang theorem.

3. Iba pang mga pormulasyon ng continuity property at katumbas na mga proposisyon

Mayroong ilang iba't ibang mga pahayag na nagpapahayag ng continuity property ng mga tunay na numero. Ang bawat isa sa mga prinsipyong ito ay maaaring kunin bilang batayan para sa pagbuo ng teorya ng tunay na bilang bilang isang aksiom ng pagpapatuloy, at ang lahat ng iba ay maaaring makuha mula dito. Ang isyung ito ay tinalakay nang mas detalyado sa susunod na seksyon.

3.1. Pagpapatuloy ayon kay Dedekind

Ang tanong ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero ay isinasaalang-alang ni Dedekind sa kanyang akdang Continuity at Irrational Numbers. Sa loob nito, inihambing niya ang mga rational na numero sa mga punto ng isang tuwid na linya. Tulad ng nalalaman, ang isang sulat ay maaaring maitatag sa pagitan ng mga makatwirang numero at mga punto ng isang tuwid na linya kapag ang panimulang punto at ang yunit ng pagsukat ng mga segment ay pinili sa tuwid na linya. Sa tulong ng huli, para sa bawat makatwirang numero a buuin ang kaukulang segment, at itabi ito sa kanan o sa kaliwa, depende kung mayroon a positibo o negatibong numero, makakuha ng punto p naaayon sa bilang a. Kaya bawat rational number a tumutugma sa isa at isang punto lamang p sa isang tuwid na linya.

Lumalabas na mayroong walang katapusang maraming mga punto sa linya na hindi tumutugma sa anumang makatwirang numero. Halimbawa, ang isang punto na nakuha sa pamamagitan ng paglalagay ng haba ng dayagonal ng isang parisukat na binuo sa isang segment ng yunit. Kaya, ang kaharian ng mga rational na numero ay walang ganoon pagkakumpleto, o pagpapatuloy, na likas sa isang tuwid na linya.

Upang malaman kung ano ang binubuo ng pagpapatuloy na ito, ginawa ni Dedekind ang sumusunod na komento. Kung ang p ay isang tiyak na punto ng linya, pagkatapos ang lahat ng mga punto ng linya ay nahahati sa dalawang klase: mga puntong matatagpuan sa kaliwa p, at tumuturo sa kanan p. Ang pinaka punto p maaaring arbitraryong italaga sa alinman sa mas mababa o mas mataas na uri. Nakikita ni Dedekind ang kakanyahan ng pagpapatuloy sa baligtad na prinsipyo:

Sa geometriko, ang prinsipyong ito ay tila halata, ngunit wala tayo sa posisyon upang patunayan ito. Binibigyang-diin ni Dedekind na, sa esensya, ang prinsipyong ito ay isang postulate, na nagpapahayag ng kakanyahan ng ari-arian na iyon na iniuugnay sa direktang linya, na tinatawag nating pagpapatuloy.

Upang mas maunawaan ang kakanyahan ng pagpapatuloy ng linya ng numero sa kahulugan ng Dedekind, isaalang-alang ang isang arbitrary na seksyon ng hanay ng mga tunay na numero, iyon ay, ang paghahati ng lahat ng tunay na numero sa dalawang hindi walang laman na klase, upang ang lahat ng mga numero ng ang isang klase ay nasa linya ng numero sa kaliwa ng lahat ng mga numero ng pangalawa. Ang mga klase na ito ay pinangalanan ayon sa pagkakabanggit mas mababa at matataas na uri mga seksyon. Sa teorya, mayroong 4 na posibilidad:

1. Ang ilalim na klase ay may pinakamataas na elemento, ang nangungunang klase ay walang minimum
2. Ang ilalim na klase ay walang pinakamataas na elemento, habang ang pinakamataas na klase ay may pinakamababa
3. Ang ilalim na klase ay may pinakamataas na elemento at ang nangungunang klase ay may pinakamababang elemento.
4. Ang ilalim na klase ay walang maximum at ang pinakamataas na klase ay walang minimum.

Sa una at pangalawang kaso, ang pinakamataas na elemento ng mas mababa o ang pinakamababang elemento ng itaas, ayon sa pagkakabanggit, ay gumagawa ng seksyong ito. Sa ikatlong kaso mayroon kami tumalon, at sa ikaapat space. Kaya, ang pagpapatuloy ng linya ng numero ay nangangahulugan na walang mga jump o gaps sa hanay ng mga tunay na numero, iyon ay, sa makasagisag na pagsasalita, walang mga voids.

Kung ipinakilala natin ang konsepto ng isang seksyon ng hanay ng mga tunay na numero, kung gayon ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind ay maaaring mabuo bilang mga sumusunod.

Ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind (pagkakumpleto). Para sa bawat seksyon ng hanay ng mga tunay na numero, mayroong isang numero na gumagawa ng seksyong ito.

Magkomento. Ang pormulasyon ng Axiom of Continuity tungkol sa pagkakaroon ng isang puntong naghihiwalay sa dalawang set ay lubos na nakapagpapaalaala sa pagbabalangkas ng prinsipyo ng pagpapatuloy ni Dedekind. Sa katunayan, ang mga pahayag na ito ay katumbas, at, sa esensya, ay magkakaibang mga pormulasyon ng parehong bagay. Samakatuwid, ang parehong mga pahayag na ito ay tinatawag ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero ayon kay Dedekind.

3.2. Lemma sa mga nested na segment (prinsipyo ng Cauchy-Cantor)

Lemma sa mga nested segment (Cauchy - Kantor). Anumang sistema ng mga nested na segment

ay may hindi walang laman na intersection, ibig sabihin, mayroong kahit isang numero na kabilang sa lahat ng mga segment ng ibinigay na system.

Kung, bilang karagdagan, ang haba ng mga segment ng ibinigay na sistema ay may posibilidad na zero, iyon ay,

pagkatapos ay ang intersection ng mga segment ng sistemang ito ay binubuo ng isang punto.

Ang ari-arian na ito ay tinatawag na pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero sa kahulugan ng Cantor. Ipapakita sa ibaba na para sa Archimedean ordered fields ang continuity ayon kay Cantor ay katumbas ng continuity ayon kay Dedekind.

3.3. Ang pinakamataas na prinsipyo

Ang prinsipyo ng supremacy. Ang bawat hindi-bakanteng hanay ng mga tunay na numero na nakatali sa itaas ay may pinakamataas.

Sa mga kursong calculus, ang proposisyong ito ay karaniwang isang teorama, at ang patunay nito ay gumagawa ng makabuluhang paggamit ng pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na numero sa isang anyo o iba pa. Kasabay nito, sa kabaligtaran, posibleng i-postulate ang pagkakaroon ng supremum para sa anumang di-bakanteng hanay na nakatali mula sa itaas, at umaasa dito upang patunayan, halimbawa, ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind. Kaya, ang supremum theorem ay isa sa mga katumbas na formulations ng continuity property ng real numbers.

Magkomento. Sa halip na supremum, maaaring gamitin ng isa ang dalawahang konsepto ng infimum.

Ang infimum na prinsipyo. Ang bawat hindi-bakanteng hanay ng mga tunay na numero na nakatali sa ibaba ay may infimum.

Ang panukalang ito ay katumbas din ng prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind. Bukod dito, maipapakita na ang pahayag ng infimum theorem ay direktang sumusunod mula sa assertion ng supremum theorem, at kabaliktaran (tingnan sa ibaba).

3.4. May hangganang cover lemma (prinsipyo ng Heine-Borel)

May hangganang Cover Lemma (Heine - Borel). Sa anumang sistema ng mga agwat na sumasaklaw sa isang segment, mayroong isang may hangganang subsystem na sumasaklaw sa segment na ito.

3.5. Limitahan ang point lemma (prinsipyo ng Bolzano-Weierstrass)

Limitahan ang Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Ang bawat infinite bounded number set ay may kahit isang limit point.

4. Pagtutumbas ng mga pangungusap na nagpapahayag ng pagpapatuloy ng hanay ng mga tunay na bilang

Gumawa tayo ng ilang paunang pangungusap. Alinsunod sa kahulugan ng axiomatic ng isang tunay na numero, ang hanay ng mga tunay na numero ay nakakatugon sa tatlong grupo ng mga axiom. Ang unang pangkat ay ang field axioms. Ang pangalawang grupo ay nagpapahayag ng katotohanan na ang koleksyon ng mga tunay na numero ay isang linearly ordered set, at ang pagkakasunod-sunod ay pare-pareho sa mga pangunahing operasyon ng field. Kaya, ang una at pangalawang grupo ng mga axiom ay nangangahulugan na ang hanay ng mga tunay na numero ay isang ordered field. Ang ikatlong pangkat ng mga axiom ay binubuo ng isang axiom - ang axiom ng pagpapatuloy (o pagkakumpleto).

Upang ipakita ang pagkakapantay-pantay ng iba't ibang pormulasyon ng pagpapatuloy ng mga tunay na numero, dapat patunayan ng isa na kung ang isa sa mga proposisyong ito ay humahawak para sa isang nakaayos na larangan, kung gayon ang lahat ng iba ay totoo.

Teorama. Hayaan ang isang arbitrary linearly ordered set. Ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:

Tulad ng makikita mula sa teorama na ito, ginagamit lamang ng apat na proposisyong ito ang ipinakilala ng linear order relation at hindi ginagamit ang field structure. Kaya, ang bawat isa sa kanila ay nagpapahayag ng isang ari-arian bilang isang linearly ordered set. Ang pag-aari na ito (ng isang arbitrary na linearly ordered set, hindi kinakailangan ang set ng mga totoong numero) ay tinatawag na pagpapatuloy, o pagkakumpleto, ayon kay Dedekind.

Ang pagpapatunay ng pagkakapantay-pantay ng iba pang mga pangungusap ay nangangailangan na ng patlang na istraktura.

Teorama. Hayaang maging isang arbitrary ordered field. Ang mga sumusunod na pangungusap ay katumbas:

Magkomento. Tulad ng makikita mula sa teorama, ang prinsipyo ng mga nested segment sa sarili nito ay hindi katumbas Ang prinsipyo ng pagpapatuloy ni Dedekind. Ang prinsipyo ng nested segment ay sumusunod mula sa Dedekind continuity principle, ngunit para sa kabaligtaran ay kinakailangan din na dagdagan na ang ordered field ay nakakatugon sa Archimedes axiom.

Ang patunay ng mga teorema sa itaas ay matatagpuan sa mga aklat mula sa bibliograpiyang ibinigay sa ibaba.

Mga Tala

1. Zorich, V. A. Pagsusuri sa matematika. Bahagi I. - Ed. Ika-4, naitama .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 43.
2. Halimbawa, sa kahulugan ng axiomatic ng isang tunay na numero, ang prinsipyo ng pagpapatuloy ng Dedekind ay kasama sa bilang ng mga axiom, at sa nakabubuo na kahulugan ng isang tunay na numero gamit ang mga seksyon ng Dedekind, ang parehong pahayag ay isa nang theorem - tingnan ang halimbawa Fikhtengolts, G. M.
3. Kudryavtsev, L. D. Kurso ng pagsusuri sa matematika. - 5th ed. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
4. Kudryavtsev, L. D. Kurso ng pagsusuri sa matematika. - 5th ed. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
5. Zorich, V. A. Pagsusuri sa matematika. Bahagi I. - Ed. Ika-4, naitama .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 81.
6. Dedekind, R. Continuity at hindi makatwiran na mga numero - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - Ika-4 na binagong edisyon. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Panitikan

• Kudryavtsev, L. D. Kurso ng pagsusuri sa matematika. - 5th ed. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1
• Fikhtengolts, G. M. Mga Batayan ng pagsusuri sa matematika. - ika-7 ed. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X
• Dedekind, R. Continuity at hindi makatwiran na mga numero - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - Ika-4 na binagong edisyon. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p. , Pagkumpleto ng Turing , Itakda ang partition , Itakda ang variation , Itakda ang degree .