Kapag hinango ang pinakaunang formula ng talahanayan, magpapatuloy tayo mula sa kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto. Dalhin natin kung saan x- anumang tunay na numero, iyon ay, x– anumang numero mula sa lugar ng kahulugan ng function . Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento sa : 
Dapat pansinin na sa ilalim ng tanda ng limitasyon, ang isang expression ay nakuha, na hindi ang kawalan ng katiyakan ng zero na hinati ng zero, dahil ang numerator ay naglalaman ng hindi isang infinitesimal na halaga, ngunit tiyak na zero. Sa madaling salita, ang pagtaas ng isang pare-parehong pag-andar ay palaging zero.
kaya, derivative ng isang pare-parehong functionay katumbas ng zero sa buong domain ng kahulugan.
Derivative ng isang power function.
Derivative na Formula function ng kapangyarihan may porma 
, kung saan ang exponent p ay anumang tunay na numero.
Patunayan muna natin ang formula para sa natural na exponent, iyon ay, para sa p = 1, 2, 3, ...
Gagamitin namin ang kahulugan ng isang derivative. Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function ng kapangyarihan sa pagtaas ng argumento: 
Upang gawing simple ang expression sa numerator, bumaling tayo sa binomial formula ng Newton: 
Kaya naman, 
Pinatutunayan nito ang formula para sa derivative ng isang power function para sa isang natural na exponent.
Derivative ng exponential function.
Nakukuha namin ang derivative formula batay sa kahulugan:
Dumating sa kawalan ng katiyakan. Upang palawakin ito, ipinakilala namin ang isang bagong variable , at para sa . Tapos . Sa huling paglipat, ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm.
Magsagawa tayo ng pagpapalit sa orihinal na limitasyon: 
Kung naaalala natin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, pagkatapos ay dumating tayo sa formula para sa derivative ng exponential function: 
Derivative ng isang logarithmic function.
Patunayan natin ang formula para sa derivative ng logarithmic function para sa lahat x mula sa saklaw at lahat ng wastong base value a logarithm. Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative, mayroon kaming: 
Tulad ng napansin mo, sa patunay, ang mga pagbabago ay isinagawa gamit ang mga katangian ng logarithm. Pagkakapantay-pantay 
ay may bisa dahil sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon.
Mga derivative ng trigonometriko function.
Upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng trigonometriko function, kailangan nating alalahanin ang ilang mga formula ng trigonometry, gayundin ang unang kapansin-pansin na limitasyon.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative para sa sine function, mayroon kami 
.
Ginagamit namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga sine: 
Ito ay nananatiling lumiko sa unang kapansin-pansing limitasyon: 
Kaya ang derivative ng function kasalanan x meron kasi x.
Ang formula para sa cosine derivative ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan. 
Samakatuwid, ang derivative ng function kasi x meron – kasalanan x.
Ang derivation ng mga formula para sa table ng derivatives para sa tangent at cotangent ay isasagawa gamit ang mga napatunayang tuntunin ng differentiation (derivative ng isang fraction). 
Mga derivative ng hyperbolic function.
Ang mga alituntunin ng pagkita ng kaibhan at ang formula para sa derivative ng exponential function mula sa talahanayan ng mga derivatives ay nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng hyperbolic sine, cosine, tangent at cotangent. 
Derivative ng inverse function.
Upang walang kalituhan sa pagtatanghal, tukuyin natin sa mas mababang index ang argumento ng function kung saan ginaganap ang pagkita ng kaibhan, iyon ay, ito ay ang derivative ng function. f(x) sa x.
Ngayon nag-formulate kami panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng inverse function.
Hayaan ang mga function y = f(x) at x = g(y) magkabaligtaran, tinukoy sa mga pagitan at ayon sa pagkakabanggit. Kung sa isang punto ay mayroong isang finite non-zero derivative ng function f(x), pagkatapos ay sa puntong mayroong isang finite derivative ng inverse function g(y), at 
. Sa ibang entry 
.
Maaaring baguhin ang panuntunang ito para sa alinman x mula sa pagitan , pagkatapos ay makuha namin 
.
Suriin natin ang bisa ng mga formula na ito.
Hanapin natin ang inverse function para sa natural logarithm 
(dito y ay isang function, at x- argumento). Paglutas ng equation na ito para sa x, nakukuha natin (dito x ay isang function, at y kanyang argumento). I.e, 
at magkabaligtaran na mga pag-andar.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives, makikita natin iyon 
at 
.
Siguraduhin natin na ang mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives ng inverse function ay magdadala sa atin sa parehong mga resulta: 
Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang parehong mga resulta tulad ng sa talahanayan ng mga derivatives.
Ngayon ay mayroon na tayong kaalaman upang patunayan ang mga formula para sa mga inverse derivatives trigonometriko function.
Magsimula tayo sa derivative ng arcsine.
. Pagkatapos, sa pamamagitan ng formula para sa derivative ng inverse function, nakukuha namin
Ito ay nananatiling isakatuparan ang pagbabago.
Dahil ang hanay ng arcsine ay ang pagitan 
, pagkatapos 
(tingnan ang seksyon sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ang kanilang mga katangian at mga graph). Samakatuwid, hindi namin isinasaalang-alang.
Kaya naman, 
. Ang domain ng kahulugan ng derivative ng arcsine ay ang interval (-1;
1)
.
Para sa arccosine, ang lahat ay ginagawa sa eksaktong parehong paraan: 
Hanapin ang derivative ng arc tangent.
Para sa inverse function ay 
.
Ipinapahayag namin ang arc tangent sa pamamagitan ng arc cosine upang gawing simple ang resultang expression.
Hayaan arctanx = z, pagkatapos 
Kaya naman, 
Katulad nito, ang derivative ng inverse tangent ay matatagpuan: 
Sa video na ito, nagsisimula ako ng mahabang serye ng mga aralin sa mga derivatives. Ang araling ito ay may ilang bahagi.
Una sa lahat, sasabihin ko sa iyo kung ano ang mga derivative sa pangkalahatan at kung paano kalkulahin ang mga ito, ngunit hindi sa isang sopistikadong akademikong wika, ngunit sa paraan na naiintindihan ko ito mismo at kung paano ko ito ipinapaliwanag sa aking mga mag-aaral. Pangalawa, isasaalang-alang natin ang pinakasimpleng tuntunin para sa paglutas ng mga problema kung saan hahanapin natin ang mga derivatives ng sums, derivatives ng pagkakaiba, at derivatives ng power function.
Titingnan natin ang mas kumplikadong pinagsamang mga halimbawa, kung saan matututunan mo, sa partikular, na ang mga katulad na problema na kinasasangkutan ng mga ugat at kahit na mga fraction ay maaaring malutas gamit ang formula para sa derivative ng isang power function. Bilang karagdagan, siyempre, magkakaroon ng maraming mga gawain at mga halimbawa ng mga solusyon ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado.
Sa pangkalahatan, sa una ay magre-record ako ng maikling 5 minutong video, ngunit makikita mo mismo kung ano ang nangyari dito. Kaya't sapat na ang mga liriko - tayo ay bumaba sa negosyo.
Ano ang derivative?
Kaya, magsimula tayo sa malayo. Maraming taon na ang nakalilipas, nang ang mga puno ay mas luntian at ang buhay ay mas masaya, naisip ito ng mga mathematician: isaalang-alang ang isang simpleng function na ibinigay ng graph nito, tawagin natin itong $y=f\left(x \right)$. Siyempre, ang graph ay hindi umiiral sa sarili nitong, kaya kailangan mong iguhit ang $x$ axis, pati na rin ang $y$ axis. At ngayon pumili tayo ng anumang punto sa graph na ito, ganap na anuman. Tawagan natin ang abscissa $((x)_(1))$, ang ordinate, gaya ng maaari mong hulaan, ay magiging $f\left(((x)_(1)) \right)$.
Isaalang-alang ang isa pang punto sa parehong graph. Hindi mahalaga kung alin, ang pangunahing bagay ay naiiba ito sa orihinal. Ito, muli, ay may abscissa, tawagin natin itong $((x)_(2))$, pati na rin ang isang ordinate - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Kaya, nakakuha kami ng dalawang puntos: mayroon silang iba't ibang abscissas at, samakatuwid, iba't ibang kahulugan function, kahit na ang huli ay opsyonal. Ngunit ang talagang mahalaga ay alam natin mula sa kursong planimetry na ang isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos at, bukod dito, isa lamang. Dito, patakbuhin natin ito.
At ngayon, gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa pinakauna sa kanila, parallel sa x-axis. Nakakuha kami ng tamang tatsulok. Tawagin natin itong $ABC$, right angle na $C$. Ang tatsulok na ito ay may isang napaka-kagiliw-giliw na katangian: ang katotohanan ay ang anggulo na $\alpha $, sa katunayan, ay katumbas ng anggulo kung saan ang tuwid na linya na $AB$ ay nagsalubong sa pagpapatuloy ng abscissa axis. Maghusga para sa iyong sarili:
- line $AC$ ay parallel sa axis $Ox$ sa pamamagitan ng construction,
- ang linyang $AB$ ay bumabagtas sa $AC$ sa ilalim ng $\alpha $,
- kaya't ang $AB$ ay nag-intersect sa $Ox$ sa ilalim ng parehong $\alpha $.
Ano ang masasabi natin tungkol sa $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Walang konkreto, maliban na sa tatsulok na $ABC$ ang ratio ng binti $BC$ sa binti $AC$ ay katumbas ng tangent ng mismong anggulong ito. Kaya't magsulat tayo:
Siyempre, $AC$ in kasong ito madaling isaalang-alang:
Katulad para sa $BC$:
Sa madaling salita, maaari nating isulat ang sumusunod:
\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \kanan))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Ngayong nakuha na natin ang lahat ng iyon, bumalik tayo sa ating graph at tingnan ang bagong $B$ na punto. Burahin ang mga lumang halaga at kunin at dalhin ang $B$ sa isang lugar na mas malapit sa $((x)_(1))$. Muli nating tukuyin ang abscissa nito bilang $((x)_(2))$, at ang ordinate nito bilang $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Isaalang-alang muli ang aming maliit na tatsulok na $ABC$ at $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ sa loob nito. Halatang halata na ito ay magiging isang ganap na magkakaibang anggulo, ang tangent ay magkakaiba din dahil ang mga haba ng mga segment na $AC$ at $BC$ ay nagbago nang malaki, at ang formula para sa tangent ng anggulo ay hindi nagbago sa lahat. - ito pa rin ang ratio sa pagitan ng pagbabago ng function at pagbabago ng argumento .
Sa wakas, patuloy naming inililipat ang $B$ palapit nang palapit sa paunang puntong $A$, bilang resulta, ang tatsulok ay bababa pa, at ang linyang naglalaman ng segment na $AB$ ay magiging parang tangent sa graph ng function.
Bilang resulta, kung patuloy tayong lalapit sa mga punto, ibig sabihin, bawasan ang distansya sa zero, kung gayon ang tuwid na linya na $AB$ ay talagang magiging tangent sa graph sa puntong ito, at $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ ay magbabago mula sa isang regular na elemento ng tatsulok patungo sa isang anggulo sa pagitan ng tangent hanggang sa graph at ang positibong direksyon ng $Ox$ axis.
At dito tayo ay maayos na lumipat sa kahulugan ng $f$, ibig sabihin, ang derivative ng function sa puntong $((x)_(1))$ ay ang tangent ng anggulo $\alpha $ sa pagitan ng tangent sa graph sa puntong $((x)_( 1))$ at ang positibong direksyon ng $Ox$ axis:
\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]
Pagbabalik sa aming graph, dapat tandaan na bilang $((x)_(1))$, maaari kang pumili ng anumang punto sa graph. Halimbawa, sa parehong tagumpay, maaari naming alisin ang stroke sa puntong ipinapakita sa figure.
Tawagan natin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis na $\beta $. Alinsunod dito, ang $f$ sa $((x)_(2))$ ay magiging katumbas ng tangent ng anggulong ito na $\beta $.
\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]
Ang bawat punto ng graph ay magkakaroon ng sarili nitong tangent, at, dahil dito, ang sarili nitong halaga ng function. Sa bawat isa sa mga kasong ito, bilang karagdagan sa punto kung saan hinahanap natin ang derivative ng isang pagkakaiba o isang kabuuan, o isang derivative ng isang power function, kinakailangan na kumuha ng isa pang punto na matatagpuan sa ilang distansya mula dito, at pagkatapos idirekta ang puntong ito sa orihinal at, siyempre, alamin kung paano sa proseso ang naturang paggalaw ay magbabago sa tangent ng anggulo ng pagkahilig.
Power function derivative
Sa kasamaang palad, ang kahulugan na ito ay hindi angkop sa amin. Ang lahat ng mga formula, larawan, mga anggulo na ito ay hindi nagbibigay sa amin ng kaunting ideya kung paano kalkulahin ang tunay na hinalaw sa mga totoong problema. Samakatuwid, lumihis tayo ng kaunti mula sa pormal na kahulugan at isaalang-alang ang mas epektibong mga formula at pamamaraan kung saan maaari mo nang malutas ang mga tunay na problema.
Magsimula tayo sa pinakasimpleng mga konstruksyon, ibig sabihin, mga function ng form na $y=((x)^(n))$, i.e. mga function ng kapangyarihan. Sa kasong ito, maaari nating isulat ang sumusunod: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Sa madaling salita, ang degree na nasa exponent ay ipinapakita sa multiplier sa harap , at ang exponent mismo ay binabawasan ng unit, halimbawa:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
At narito ang isa pang pagpipilian:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]
Gamit ang mga ito simpleng tuntunin, subukan nating alisin ang stroke ng mga sumusunod na halimbawa:
Kaya nakuha namin:
\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Ngayon lutasin natin ang pangalawang expression:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Siyempre, ang mga ito ay napaka mga simpleng gawain. Gayunpaman, ang mga tunay na problema ay mas kumplikado at hindi ito limitado sa mga kapangyarihan ng isang function.
Kaya, ang panuntunan bilang 1 - kung ang function ay kinakatawan bilang ang iba pang dalawa, kung gayon ang derivative ng kabuuan na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives:
\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
Katulad nito, ang derivative ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng derivatives:
\[((\kaliwa(f-g \kanan))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\kaliwa(x \right))^(\prime ))=2x+1\]
Bilang karagdagan, may isa pang mahalagang tuntunin: kung ang ilang $f$ ay nauuna sa isang pare-parehong $c$, kung saan ang function na ito ay pinarami, kung gayon ang $f$ ng buong konstruksiyon na ito ay ituturing bilang sumusunod:
\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\kaliwa(3((x)^(3))) \kanan))^(\prime ))=3((\kaliwa(((x)^(3)) \kanan))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Panghuli, isa pang napakahalagang tuntunin: ang mga problema ay kadalasang naglalaman ng hiwalay na termino na hindi naglalaman ng $x$. Halimbawa, mapapansin natin ito sa ating mga pananalita ngayon. Ang derivative ng isang pare-pareho, ibig sabihin, isang numero na hindi nakadepende sa anumang paraan sa $x$, ay palaging katumbas ng zero, at hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng pare-parehong $c$:
\[((\kaliwa(c \kanan))^(\prime ))=0\]
Halimbawa ng solusyon:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Muli ang mga pangunahing punto:
- Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay palaging katumbas ng kabuuan ng mga derivatives: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- Para sa magkatulad na mga kadahilanan, ang derivative ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng dalawang derivatives: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Kung ang function ay may factor constant, ang constant na ito ay maaaring alisin sa sign ng derivative: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
- Kung ang buong function ay pare-pareho, ang derivative nito ay palaging zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Tingnan natin kung paano gumagana ang lahat sa mga totoong halimbawa. Kaya:
Sumulat kami:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \kanan))^(\prime ))-((\kaliwa(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\kaliwa(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]
Sa halimbawang ito, makikita natin ang parehong derivative ng kabuuan at ang derivative ng pagkakaiba. Kaya ang derivative ay $5((x)^(4))-6x$.
Lumipat tayo sa pangalawang function:
Isulat ang solusyon:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \kanan))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]
Dito nahanap namin ang sagot.
Lumipat tayo sa pangatlong function - ito ay mas seryoso:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-(\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-3((\kaliwa(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Nahanap na namin ang sagot.
Lumipat tayo sa huling expression - ang pinaka kumplikado at pinakamahabang:
Kaya, isinasaalang-alang namin:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]
Ngunit ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil hinihiling sa amin hindi lamang tanggalin ang stroke, ngunit kalkulahin ang halaga nito sa isang tiyak na punto, kaya pinapalitan namin ang −1 sa halip na $x$ sa expression:
\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Pumunta kami nang higit pa at lumipat sa mas kumplikado at kawili-wiling mga halimbawa. Ang punto ay ang formula para sa paglutas ng power derivative $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) Ang )$ ay may mas malawak na saklaw kaysa sa karaniwang pinaniniwalaan. Sa tulong nito, maaari mong lutasin ang mga halimbawa na may mga fraction, ugat, atbp. Ito ang gagawin natin ngayon.
Upang magsimula, muli nating isulat ang formula, na tutulong sa atin na mahanap ang derivative ng power function:
At ngayon pansinin: sa ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga natural na numero bilang $n$, ngunit walang pumipigil sa amin na isaalang-alang ang mga fraction at maging ang mga negatibong numero. Halimbawa, maaari nating isulat ang sumusunod:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]
Walang kumplikado, kaya tingnan natin kung paano makakatulong ang formula na ito sa paglutas ng mas kumplikadong mga problema. Kaya isang halimbawa:
Isulat ang solusyon:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(align)\]
Bumalik tayo sa ating halimbawa at isulat:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Ito ay isang mahirap na desisyon.
Lumipat tayo sa pangalawang halimbawa - mayroon lamang dalawang termino, ngunit ang bawat isa sa kanila ay naglalaman ng parehong klasikal na antas at mga ugat.
Ngayon ay matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang power function, na, bilang karagdagan, ay naglalaman ng isang ugat:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \kanan))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \kanan))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
Ang parehong mga termino ay kinakalkula, nananatili itong isulat ang huling sagot:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Nahanap na namin ang sagot.
Derivative ng isang fraction sa mga tuntunin ng isang power function
Ngunit ang mga posibilidad ng formula para sa paglutas ng derivative ng isang power function ay hindi nagtatapos doon. Ang katotohanan ay sa tulong nito maaari mong bilangin hindi lamang ang mga halimbawa na may mga ugat, kundi pati na rin sa mga praksyon. Ito ay isang pambihirang pagkakataon na lubos na nagpapadali sa solusyon ng mga naturang halimbawa, ngunit madalas na hindi pinapansin hindi lamang ng mga mag-aaral, kundi pati na rin ng mga guro.
Kaya, ngayon ay susubukan naming pagsamahin ang dalawang formula nang sabay-sabay. Sa isang banda, ang classical derivative ng isang power function
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Sa kabilang banda, alam namin na ang isang expression ng anyong $\frac(1)(((x)^(n)))$ ay maaaring katawanin bilang $((x)^(-n))$. Kaya naman,
\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
Kaya ang mga derivatives mga simpleng fraction, kung saan ang numerator ay isang pare-pareho, at ang denominator ay isang degree, ay kinakalkula din gamit ang klasikal na formula. Tingnan natin kung paano ito gumagana sa pagsasanay.
Kaya ang unang function:
\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ kanan))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
Ang unang halimbawa ay nalutas, lumipat tayo sa pangalawa:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \kanan))^(\prime ))+((\kaliwa(2((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-((\kaliwa( 3((x)^(4)) \kanan))^(\prime )) \\& ((\kaliwa(\frac(7)(4((x)^(4))) \kanan))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\kaliwa(2) ((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ kaliwa(3((x)^(4)) \kanan))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(align)\]...
Ngayon kinokolekta namin ang lahat ng mga terminong ito sa iisang formula:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Nakatanggap kami ng tugon.
Gayunpaman, bago magpatuloy, nais kong iguhit ang iyong pansin sa anyo ng pagsulat ng mga orihinal na expression mismo: sa unang expression isinulat namin ang $f\left(x \right)=...$, sa pangalawa: $y =...$ Maraming estudyante ang nawawala kapag nakakita sila ng iba't ibang anyo ng notasyon. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $f\left(x \right)$ at $y$? Sa totoo lang, wala. Magkaiba lang sila ng mga entry na may parehong kahulugan. Basta kapag sinabi nating $f\left(x \right)$ then nag-uusap kami, una sa lahat, tungkol sa function, at pagdating sa $y$, kadalasan ang graph ng function ang ibig sabihin. Kung hindi, ito ay pareho, ibig sabihin, ang derivative ay itinuturing na pareho sa parehong mga kaso.
Mga kumplikadong problema sa mga derivatives
Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang isang pares ng mga kumplikadong pinagsamang problema na gumagamit ng lahat ng bagay na isinasaalang-alang natin ngayon nang sabay-sabay. Sa kanila, naghihintay kami ng mga ugat, at mga fraction, at mga kabuuan. Gayunpaman, ang mga halimbawang ito ay magiging kumplikado lamang sa loob ng balangkas ng video tutorial ngayon, dahil ang tunay na kumplikadong mga derivative function ay maghihintay sa iyo sa unahan.
Kaya, huling bahagi video tutorial ngayon, na binubuo ng dalawang pinagsamang gawain. Magsimula tayo sa una:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-(\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ kaliwa(((x)^(-3)) \kanan))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Ang derivative ng function ay:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]
Ang unang halimbawa ay nalutas. Isaalang-alang ang pangalawang problema:
Sa pangalawang halimbawa, pareho tayong kumilos:
\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime))\]
Kalkulahin natin ang bawat termino nang hiwalay:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \kanan))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ kaliwa(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Lahat ng termino ay binibilang. Ngayon ay bumalik tayo sa orihinal na formula at pinagsama-sama ang lahat ng tatlong termino. Nakuha namin na ang huling sagot ay:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
At iyon lang. Ito ang aming unang aralin. Sa mga susunod na aralin, higit pa nating titingnan mga kumplikadong istruktura, at alamin din kung bakit kailangan ang mga derivative.
Ang exponential function ay isang function na may anyo ng power functiony = u v ,
na ang base u at exponent v ay ilang function ng variable x :
u = u (x); v=v (x).
Ang function na ito ay tinatawag din exponential-power o kaya .
Tandaan na ang exponential function ay maaaring katawanin sa exponential form:
.
Samakatuwid, ito ay tinatawag din kumplikadong exponential function.
Derivative ng exponential function
Pagkalkula gamit ang logarithmic derivative
Hanapin natin ang derivative ng exponential exponential function
(2)
,
kung saan at ang mga function ng variable .
Upang gawin ito, kinukuha namin ang logarithm ng equation (2), gamit ang property ng logarithm:
.
Magkaiba nang may kinalaman sa x :
(3)
.
Mag-apply mga panuntunan para sa pagkakaiba ng isang compound function at gumagana:
;
.
Palitan sa (3):
.
Mula rito
.
Kaya, nakita namin ang derivative ng exponential function:
(1)
.
Kung pare-pareho ang exponent, kung gayon . Kung gayon ang derivative ay katumbas ng derivative ng compound power function:
.
Kung ang batayan ng antas ay pare-pareho, kung gayon . Kung gayon ang derivative ay katumbas ng derivative ng compound exponential function:
.
Kapag at ay mga function ng x, kung gayon ang derivative ng exponential function ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives ng compound power at exponential functions.
Pagkalkula ng derivative sa pamamagitan ng pagbawas sa isang kumplikadong exponential function
Ngayon nakita namin ang derivative ng exponential function
(2)
,
kinakatawan ito bilang isang kumplikadong exponential function:
(4)
.
Ibahin natin ang produkto:
.
Inilapat namin ang panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:
.
At muli naming nakuha ang formula (1).
Halimbawa 1
Hanapin ang derivative ng sumusunod na function:
.
Kinakalkula namin gamit ang logarithmic derivative. Kinukuha namin ang logarithm ng orihinal na function:
(P1.1) .
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
.
Ayon sa formula para sa derivative ng isang produkto, mayroon tayong:
.
Pinag-iiba namin (A1.1):
.
Sa abot ng
,
pagkatapos
.
Narito ang isang talahanayan ng buod para sa kaginhawahan at kalinawan kapag pinag-aaralan ang paksa.
|
pare-parehoy=C Power function y = x p (x p)" = p x p - 1 |
Exponential functiony = x (a x)" = a x ln a Sa partikular, kapaga = emeron kami y = e x (e x)" = e x |
|
logarithmic function (log a x) " = 1 x ln a Sa partikular, kapaga = emeron kami y = log x (ln x)" = 1 x |
Trigonometric function (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x |
|
Inverse trigonometriko function (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 |
Hyperbolic function (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x |
Suriin natin kung paano nakuha ang mga formula ng tinukoy na talahanayan, o, sa madaling salita, patunayan natin ang derivation ng mga formula para sa mga derivatives para sa bawat uri ng function.
Derivative ng isang pare-pareho
Patunay 1Upang makuha ang formula na ito, isinasaalang-alang namin bilang batayan ang kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto. Ginagamit namin ang x 0 = x, kung saan x kinukuha ang halaga ng anumang tunay na numero, o, sa madaling salita, x ay anumang numero mula sa domain ng function na f (x) = C . Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa increment ng argument bilang ∆ x → 0:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Pakitandaan na ang expression na 0 ∆ x ay nasa ilalim ng limit sign. Ito ay hindi ang kawalan ng katiyakan ng "zero na hinati ng zero", dahil ang numerator ay naglalaman ng hindi isang infinitesimal na halaga, ngunit zero. Sa madaling salita, ang pagtaas ng isang pare-parehong pag-andar ay palaging zero.
Kaya, ang derivative ng constant function f (x) = C ay katumbas ng zero sa buong domain ng kahulugan.
Halimbawa 1
Ibinigay ang patuloy na pag-andar:
f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Desisyon
Ilarawan natin ang mga ibinigay na kondisyon. Sa unang function nakita natin ang derivative ng natural na numero 3 . Sa sumusunod na halimbawa, kailangan mong kunin ang derivative ng a, saan a- anumang tunay na numero. Ang pangatlong halimbawa ay nagbibigay sa atin ng derivative hindi makatwirang numero 4 . 13 7 22 , ang pang-apat - ang derivative ng zero (zero ay isang integer). Sa wakas, sa ikalimang kaso, mayroon tayong derivative ng rational fraction - 8 7 .
Sagot: derivatives itakda ang mga function ay zero para sa anumang tunay x(sa buong domain ng kahulugan)
f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0
Power function derivative
Bumaling tayo sa power function at ang formula para sa derivative nito, na may anyo: (x p) " = p x p - 1, kung saan ang exponent p ay anuman totoong numero.
Patunay 2
Narito ang patunay ng formula kapag ang exponent ay isang natural na numero: p = 1 , 2 , 3 , …
Muli, umaasa kami sa kahulugan ng isang derivative. Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function ng kapangyarihan sa pagtaas ng argumento:
(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x
Upang gawing simple ang expression sa numerator, ginagamit namin ang binomial formula ng Newton:
(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p
kaya:
(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1
Kaya, napatunayan namin ang formula para sa derivative ng isang power function kapag ang exponent ay isang natural na numero.
Patunay 3
Upang magbigay ng patunay para sa kaso kung kailan p- anumang tunay na numero maliban sa zero, ginagamit namin ang logarithmic derivative (dito dapat nating maunawaan ang pagkakaiba mula sa derivative logarithmic function). Upang magkaroon ng mas kumpletong pag-unawa, ito ay kanais-nais na pag-aralan ang derivative ng logarithmic function at bukod pa rito ay makitungo sa derivative ng isang implicitly na ibinigay na function at ang derivative ng isang kumplikadong function.
Isaalang-alang ang dalawang kaso: kung kailan x positibo at kailan x ay negatibo.
Kaya x > 0 . Pagkatapos: x p > 0 . Kinukuha namin ang logarithm ng pagkakapantay-pantay y \u003d x p sa base e at inilapat ang pag-aari ng logarithm:
y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x
Sa yugtong ito, nakuha ang isang implicitly na tinukoy na function. Tukuyin natin ang derivative nito:
(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1
Ngayon ay isinasaalang-alang namin ang kaso kung kailan x- isang negatibong numero.
Kung ang indicator p meron kahit na numero, pagkatapos ay tinukoy din ang power function para sa x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
Tapos xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Kung ang p ay isang kakaibang numero, pagkatapos ay tinukoy ang power function para sa x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1
Ang huling paglipat ay posible dahil kung p ay isang kakaibang numero, kung gayon p - 1 alinman sa kahit na numero o zero (para sa p = 1), samakatuwid, para sa negatibo x ang pagkakapantay-pantay (- x) p - 1 = x p - 1 ay totoo.
Kaya, napatunayan namin ang formula para sa derivative ng isang power function para sa anumang tunay na p.
Halimbawa 2
Mga ibinigay na function:
f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12
Tukuyin ang kanilang mga derivatives.
Desisyon
Binabago namin ang bahagi ng mga ibinigay na function sa isang tabular form y = x p , batay sa mga katangian ng degree, at pagkatapos ay gamitin ang formula:
f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84
Derivative ng exponential function
Patunay 4Kinukuha namin ang formula para sa derivative, batay sa kahulugan:
(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0
Nagkaroon kami ng kawalan ng katiyakan. Upang palawakin ito, sumulat kami ng bagong variable z = a ∆ x - 1 (z → 0 bilang ∆ x → 0). Sa kasong ito a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Para sa huling paglipat, ginagamit ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm.
Magsagawa tayo ng pagpapalit sa orihinal na limitasyon:
(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
Alalahanin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon at pagkatapos ay makuha namin ang formula para sa hinango ng exponential function:
(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a
Halimbawa 3
Ang mga exponential function ay ibinibigay:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
Kailangan nating hanapin ang kanilang mga derivatives.
Desisyon
Ginagamit namin ang formula para sa derivative ng exponential function at ang mga katangian ng logarithm:
f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x
Derivative ng isang logarithmic function
Patunay 5Ipinakita namin ang patunay ng formula para sa derivative ng logarithmic function para sa anuman x sa domain ng kahulugan at anuman pinahihintulutang halaga mga batayan ng logarithm. Batay sa kahulugan ng derivative, nakukuha natin ang:
(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a
Makikita mula sa tinukoy na kadena ng mga pagkakapantay-pantay na ang mga pagbabagong-anyo ay itinayo batay sa ari-arian ng logarithm. Ang equality lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e ay totoo alinsunod sa pangalawang kapansin-pansing limitasyon.
Halimbawa 4
Ang mga logarithmic function ay ibinibigay:
f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x
Ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang kanilang mga derivatives.
Desisyon
Ilapat natin ang nagmula na formula:
f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x
Kaya ang derivative ng natural logarithm ay isa na hinati ng x.
Mga derivative ng trigonometriko function
Patunay 6Gumagamit kami ng ilan mga formula ng trigonometriko at ang unang kapansin-pansing limitasyon upang makuha ang formula para sa derivative ng isang trigonometriko function.
Ayon sa kahulugan ng derivative ng sine function, nakukuha natin:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x
Ang formula para sa pagkakaiba ng mga sine ay magbibigay-daan sa amin upang maisagawa ang mga sumusunod na aksyon:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
Sa wakas, ginagamit namin ang unang kahanga-hangang limitasyon:
kasalanan "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Kaya ang derivative ng function kasalanan x kalooban kasi x.
Patunayan din natin ang formula para sa cosine derivative sa parehong paraan:
cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x
Yung. ang derivative ng function cos x ay magiging – kasalanan x.
Nakukuha namin ang mga formula para sa mga derivatives ng tangent at cotangent batay sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan:
t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x
Mga derivative ng inverse trigonometriko function
Seksyon ng Derivative kabaligtaran na mga pag-andar nagbibigay ng komprehensibong impormasyon tungkol sa patunay ng mga formula para sa mga derivatives ng arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent, kaya hindi namin duplicate ang materyal dito.
Mga derivative ng hyperbolic function
Patunay 7Makakakuha tayo ng mga formula para sa mga derivatives ng hyperbolic sine, cosine, tangent at cotangent gamit ang differentiation rule at ang formula para sa derivative ng exponential function:
s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Patunay at derivation ng mga formula para sa derivative ng exponential (e sa kapangyarihan ng x) at exponential function (a sa kapangyarihan ng x). Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative ng e^2x, e^3x at e^nx. Mga formula para sa mga derivatives ng mas matataas na order.
NilalamanTingnan din: Exponential function - mga katangian, formula, graph
Exponent, e sa kapangyarihan ng x - mga katangian, mga formula, graph
Mga pangunahing formula
Ang derivative ng exponent ay katumbas ng exponent mismo (ang derivative ng e sa kapangyarihan ng x ay katumbas ng e sa kapangyarihan ng x):
(1)
(e x )′ = e x.
Ang derivative ng isang exponential function na may base ng degree a ay katumbas ng function mismo, na pinarami ng natural na logarithm ng a:
(2)
.
Ang exponent ay isang exponential function na ang exponent base ay katumbas ng numero e, na siyang sumusunod na limitasyon:
.
Dito maaari itong maging natural o totoong numero. Susunod, nakukuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponent.
Derivation ng formula para sa derivative ng exponent
Isaalang-alang ang exponent, e sa kapangyarihan ng x :
y = e x .
Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat. Hanapin natin ang derivative nito patungkol sa x . Sa pamamagitan ng kahulugan, ang derivative ay ang sumusunod na limitasyon:
(3)
.
Ibahin natin ang expression na ito upang bawasan ito sa mga kilalang katangian at panuntunan sa matematika. Para dito kailangan namin ang mga sumusunod na katotohanan:
PERO) Exponent property:
(4)
;
B) Logarithm property:
(5)
;
AT) Pagpapatuloy ng logarithm at pag-aari ng mga limitasyon para sa tuluy-tuloy na pag-andar:
(6)
.
Narito, ang ilang function na may limitasyon at positibo ang limitasyong ito.
G) Ang kahulugan ng pangalawang kamangha-manghang limitasyon:
(7)
.
Inilapat namin ang mga katotohanang ito sa aming limitasyon (3). Ginagamit namin ang ari-arian (4):
;
.
Gumawa tayo ng substitution. Pagkatapos ; .
Dahil sa pagpapatuloy ng exponent,
.
Samakatuwid, sa , . Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.
Gumawa tayo ng substitution. Tapos . Sa , . At mayroon kaming:
.
Inilapat namin ang pag-aari ng logarithm (5):
. Pagkatapos
.
Ilapat natin ang ari-arian (6). Dahil mayroong positibong limitasyon at ang logarithm ay tuloy-tuloy, kung gayon:
.
Dito rin namin ginamit ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon (7). Pagkatapos
.
Kaya, nakuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponent.
Derivation ng formula para sa derivative ng exponential function
Ngayon ay nakukuha natin ang formula (2) para sa derivative ng exponential function na may base ng degree a. Naniniwala kami na at . Pagkatapos ay ang exponential function
(8)
Tinukoy para sa lahat.
Ibahin natin ang formula (8). Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga katangian ng exponential function at ang logarithm.
;
.
Kaya, binago namin ang formula (8) sa sumusunod na anyo:
.
Mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives ng e sa kapangyarihan ng x
Ngayon, hanapin natin ang mga derivatives ng mas matataas na order. Tingnan muna natin ang exponent:
(14)
.
(1)
.
Nakikita natin na ang derivative ng function (14) ay katumbas ng function (14) mismo. Sa differentiating (1), nakakakuha tayo ng second at third order derivatives:
;
.
Ipinapakita nito na ang nth order derivative ay katumbas din ng orihinal na function:
.
Higher order derivatives ng exponential function
Ngayon isaalang-alang ang isang exponential function na may base ng degree a:
.
Natagpuan namin ang unang order derivative nito:
(15)
.
Sa differentiating (15), nakakakuha tayo ng pangalawa at pangatlong order derivatives:
;
.
Nakikita namin na ang bawat pagkakaiba ay humahantong sa pagpaparami ng orihinal na function sa pamamagitan ng . Samakatuwid, ang nth derivative ay may sumusunod na anyo:
.