I. Rational equation.
1) Mga linear na equation.
2) Mga sistema linear na equation.
3) Quadratic equation at equation na bumababa sa kanila.
4) Ibalik ang mga equation.
5) Ang formula ng Vieta para sa mga polynomial na mas mataas ang antas.
6) Mga sistema ng mga equation ng ikalawang antas.
7) Ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong hindi alam sa paglutas ng mga equation at sistema ng mga equation.
8) Mga homogenous na equation.
9) Solusyon ng mga simetriko na sistema ng mga equation.
10) Mga equation at sistema ng mga equation na may mga parameter.
11) Graphical na paraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear equation.
12) Mga equation na naglalaman ng sign ng modulus.
13) Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation
II. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
1) Mga katangian ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay.
2) Algebraic inequalities.
3) Paraan ng mga pagitan.
4) Fractional-rational inequalities.
5) Mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng ganap na halaga.
6) Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter.
7) Mga sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
8) Graphic na solusyon hindi pagkakapantay-pantay.
III. Pagsusulit sa pagpapatunay.
Rational Equation
tingnan ang function
P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,
kung saan ang n ay natural, a 0 , a 1 ,…, a n ay ilan tunay na mga numero, ay tinatawag na isang buong rational function.
Ang isang equation ng form na P(x) = 0, kung saan ang P(x) ay isang buong rational function, ay tinatawag na isang buong rational equation.
Uri ng equation
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,
kung saan ang P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) ay mga integer makatwirang pag-andar, ay tinatawag na rational equation.
Ang paglutas ng rational equation na P(x) / Q(x) = 0, kung saan ang P(x) at Q(x) ay polynomials (Q(x) ¹ 0), binabawasan ang paglutas ng equation na P(x) = 0 at pagsuri kung natutugunan ng mga ugat ang kundisyon Q (x) ¹ 0.
Linear na equation.
Ang isang equation ng form na ax+b=0, kung saan ang a at b ay ilang mga constant, ay tinatawag na linear equation.
Kung a¹0, ang linear equation ay may iisang ugat: x = -b /a.
Kung a=0; b¹0, kung gayon ang linear equation ay walang mga solusyon.
Kung a=0; b=0, pagkatapos, muling isulat ang orihinal na equation sa anyong ax = -b, madaling makita na ang anumang x ay isang solusyon sa isang linear na equation.
Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: y = ax + b.
Kung ang linya ay dumaan sa isang punto na may mga coordinate X 0 at Y 0, kung gayon ang mga coordinate na ito ay nakakatugon sa equation ng linya, ibig sabihin, Y 0 = aX 0 + b.
Halimbawa 1.1. lutasin ang equation
2x - 3 + 4(x - 1) = 5.
Desisyon. Palawakin natin ang mga bracket nang paisa-isa, magbigay ng mga like terms at hanapin ang x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Halimbawa 1.2. lutasin ang equation
2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.
Desisyon. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Halimbawa 1.3. Lutasin ang equation.
2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.
Desisyon. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 - 9,
Sagot: Kahit anong numero.
Mga sistema ng linear equation.
Uri ng equation
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,
kung saan ang a 1 , b 1 , … ,a n , b ay ilang constants, ay tinatawag na linear equation na may n unknowns x 1 , x 2 , …, x n .
Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na linear kung ang lahat ng mga equation sa sistema ay linear. Kung ang sistema ay binubuo ng n hindi alam, posible ang sumusunod na tatlong kaso:
1) ang sistema ay walang mga solusyon;
2) ang sistema ay may eksaktong isang solusyon;
3) ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.
Halimbawa 2.4. lutasin ang sistema ng mga equation
2x + 3y = 8Desisyon. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit, na binubuo sa pagpapahayag ng isang hindi alam sa mga tuntunin ng iba pang mga hindi alam ng anumang equation ng system, at pagkatapos ay pagpapalit ng halaga ng hindi alam na ito sa iba pang mga equation.
Mula sa unang equation ay ipinapahayag natin ang: x = (8 - 3y) / 2. Pinapalitan natin ang expression na ito sa pangalawang equation at kumuha ng sistema ng mga equation
Desisyon. Ang sistema ay walang mga solusyon, dahil ang dalawang equation ng system ay hindi maaaring masiyahan nang sabay-sabay (mula sa unang equation x + y = 3, at mula sa pangalawang x + y = 3.5).
Sagot: Walang solusyon.
Halimbawa 2.6. lutasin ang sistema ng mga equation
Desisyon. Ang sistema ay may walang katapusang maraming mga solusyon, dahil ang pangalawang equation ay nakuha mula sa una sa pamamagitan ng pagpaparami ng 2 (ibig sabihin, sa katunayan, mayroon lamang isang equation na may dalawang hindi alam).
Sagot: Walang katapusang maraming solusyon.
Halimbawa 2.7. lutasin ang sistema ng mga equation
x + y - z = 2,2x – y + 4z = 1,
– x + 6y + z = 5.
Desisyon. Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation, maginhawang gamitin ang paraan ng Gauss, na binubuo sa pagbabago ng system sa isang triangular na anyo.
Pina-multiply namin ang unang equation ng system sa pamamagitan ng - 2 at, pagdaragdag ng resulta na nakuha sa pangalawang equation, nakukuha namin - 3y + 6z \u003d - 3. Ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang y - 2z \u003d 1. Pagdaragdag ng unang equation kasama ang pangatlo, nakakakuha tayo ng 7y \u003d 7, o y = 1.
Kaya, ang sistema ay nakakuha ng isang tatsulok na anyo
x + y - z = 2,
Ang pagpapalit ng y = 1 sa pangalawang equation, makikita natin ang z = 0. Ang pagpapalit ng y =1 at z = 0 sa unang equation, nakita natin ang x = 1.
Sagot: (1; 1; 0).
Halimbawa 2.8. para sa kung anong mga halaga ng parameter ang sistema ng mga equation
2x + ay = a + 2,(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
may walang katapusang maraming solusyon?
Desisyon. Mula sa unang equation ipinapahayag namin ang x:
x = - (a / 2)y + a / 2 +1.
Ang pagpapalit ng expression na ito sa pangalawang equation, nakukuha natin
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Pag-aaral sa huling equation, tandaan namin na para sa a = 3 mayroon itong anyo na 0y = 0, i.e. ito ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng y.
Quadratic equation at equation na nagpapababa sa kanila.
Isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang a, b at c ay ilang mga numero (a¹0);
Ang x ay isang variable, na tinatawag na isang quadratic equation.
Ang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation.
Una, hinahati natin ang magkabilang panig ng equation ax 2 + bx + c = 0 sa a - hindi nito babaguhin ang mga ugat nito. Upang malutas ang nagresultang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
pumili ng isang buong parisukat sa kaliwang bahagi
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).
Para sa kaiklian, tinutukoy namin ang expression (b 2 - 4ac) ng D. Pagkatapos ay ang nagresultang pagkakakilanlan ay nasa anyo
Tatlong kaso ang posible:
1) kung ang numero D ay positibo (D > 0), kung gayon sa kasong ito maaari nating kunin mula sa D Kuwadrado na ugat at isulat ang D bilang D = (ÖD) 2 . Pagkatapos
D / (4a 2) = (ÖD) 2 / (2a) 2 = (ÖD / 2a) 2 , kaya ang pagkakakilanlan ay nagiging
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (ÖD / 2a) 2 .
Ayon sa pormula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin mula dito:
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =
= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).
Teorama : Kung hawak ang pagkakakilanlan
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),
pagkatapos quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 para sa X 1 ¹ X 2 ay may dalawang ugat X 1 at X 2 , habang para sa X 1 = X 2 mayroon lamang itong isang ugat X 1 .
Sa bisa ng teorama na ito, sumusunod ito mula sa pagkakakilanlan na nakuha sa itaas na ang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
at sa gayon ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may dalawang ugat:
X 1 \u003d (-b + Ö D) / 2a; X 2 \u003d (-b - Ö D) / 2a.
Kaya x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).
Karaniwan ang mga ugat na ito ay nakasulat sa isang formula:
kung saan b 2 - 4ac \u003d D.
2) kung ang numero D ay katumbas ng zero (D = 0), kung gayon ang pagkakakilanlan
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
kumukuha ng anyong x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .
Kasunod nito na para sa D = 0, ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may isang ugat ng multiplicity 2: X 1 = - b / 2a
3) Kung ang numero D ay negatibo (D< 0), то – D >0, at samakatuwid ang expression
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
ay ang kabuuan ng dalawang termino, ang isa ay hindi negatibo at ang isa ay positibo. Ang nasabing kabuuan ay hindi maaaring katumbas ng zero, kaya ang equation
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
walang tunay na ugat. Ni ang equation na ax 2 + bx + c = 0.
Kaya, upang malutas ang quadratic equation, dapat kalkulahin ng isa ang discriminant
D \u003d b 2 - 4ac.
Kung D = 0, kung gayon ang quadratic equation ay may natatanging solusyon:
Kung D > 0, ang quadratic equation ay may dalawang ugat:
X 1 \u003d (-b + ÖD) / (2a); X 2 \u003d (-b - ÖD) / (2a).
Kung si D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Kung ang isa sa mga coefficient b o c sero, pagkatapos ay malulutas ang quadratic equation nang hindi kinakalkula ang discriminant:
1) b = 0; c ¹ 0; c/a<0; X1,2 = ±Ö(-c / a)
2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Ang mga ugat ng isang pangkalahatang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
Buod ng aralin sa matematika
Naaayon sa paksa:
« Rational equation na may dalawang variable.
Pangunahing konsepto».
Inihanda ni:
Guro sa matematika
sekondaryang paaralan ng MBOU №2
Borschova E. S.
Pavlovsky Posad
Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.
Paksa ng aralin: rational equation sa dalawang variable. Pangunahing konsepto.
Mga layunin:
ipakilala ang mga pangunahing konsepto at termino ng paksa;
bumuo ng mathematical speech at pag-iisip ng mga mag-aaral.
Kagamitan: board para sa mga tala, projector, screen, pagtatanghal.
Oras ng pag-aayos. (2 - 3 min.)
(1 slide)
Hello guys, umupo na kayo! Ngayon ay isasaalang-alang natin ang isang bago, medyo kawili-wiling paksa, na magiging susi sa matagumpay na asimilasyon ng materyal sa hinaharap. Binubuksan namin ang mga workbook, isulat ang numero, ngayon ay Oktubre 16, gawain sa klase at ang paksa ng aralin: "Mga rational equation na may dalawang variable. Pangunahing konsepto. (Isinulat ng guro ang parehong bagay sa pisara)
II . Pag-update ng kaalaman. (5 minuto.)
(2 slide)
Upang magsimulang mag-aral ng bagong paksa, kailangan nating alalahanin ang ilang materyal na alam mo na. Kaya, alalahanin natin ang mga elementary function at ang kanilang mga graph:
1. Linear function na graph
2. Parabola. Graph ng isang quadratic function 
, (a ≠ 0)
Isaalang-alang ang canonical case:
3. Kubiko parabola
Ang cubic parabola ay ibinibigay ng function
4. Hyperbola graph
Muli, tandaan ang walang kuwentang hyperbole
Napakahusay!
III . Pag-aaral ng bagong materyal (sinamahan ng isang presentasyon). (35 min.)
(3 slide)
Sa nakaraang mga aralin, natutunan mo ang kahulugan ng isang rational equation na may isang variable, at ngayon ay sinasabi namin na ito ay halos kapareho sa kahulugan ng isang rational equation na may dalawang variable:
Hindi mo kailangang isulat ito, ito ay nasa iyong mga aklat-aralin, basahin itong muli sa bahay at pag-aralan ito!
Sumulat ng mga halimbawa sa iyong kuwaderno:
Dagdag pa, maaari nating sabihin na ang isang rational equation ng anyong h(x; y) = g(x; y) ay maaaring palaging mabago sa anyong p(x; y) = 0, kung saan ang p(x; y) = 0 ay isang makatwirang pagpapahayag. Upang gawin ito, kailangan mong muling isulat ang expression na tulad nito: h (x; y) - g (x; y) \u003d 0, i.e. p (x; y) \u003d 0. Isulat ang huling dalawang pagkakapantay-pantay sa iyong kuwaderno!
(4 na slide)
Maingat kaming nakikinig at naaalala ang sumusunod na kahulugan, hindi mo na kailangang isulat ito!
At sa iyong kuwaderno, isulat lamang ang mga halimbawa:
(5 slide)
Lutasin natin ang sumusunod na equation (isulat ng mga mag-aaral ang solusyon sa isang kuwaderno, komento ng guro sa bawat hakbang ng solusyon, sabay-sabay na sinasagot ang mga tanong ng mga bata):
(6 slide)
Ang susunod na kahulugan ay ang kahulugan ng equivalence ng dalawang equation, alam mo na rin ito mula sa mga nakaraang talata, kaya panoorin at pakinggan lamang:
Ngayon tandaan natin kung anong mga katumbas na pagbabagong alam mo:
Ang paglilipat ng mga tuntunin ng equation mula sa isang bahagi patungo sa isa pa na may kabaligtaran na mga palatandaan (mga halimbawa sa pisara, hindi mo maaaring isulat ang mga ito, sinuman ang gustong - isulat ang mga ito);
Pag-multiply o paghahati sa magkabilang panig ng isang equation sa parehong di-zero na numero o (alam din natin) sa isang expression na hindi-zero sa lahat ng dako (pansinin ito!); (mga halimbawa kung kanino kailangan mong isulat).
Anong uri ng hindi pantay na pagbabago ang alam mo?
1) exemption mula sa mga denominador na naglalaman ng mga variable;
2) pag-squaring sa magkabilang panig ng equation.
Perpekto!
(7 slide)
Ang susunod na konsepto na isasaalang-alang natin ngayon, isinulat namin - ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos.
Sumulat:
(isusulat ng mga mag-aaral ang parehong teorema sa kanilang mga kuwaderno)
I-redraw namin ang pagguhit na ito sa mga notebook, nilagdaan ang mga coordinate axes, ang gitna ng bilog, markahan ang radius.
May tanong ka ba? (kung walang mga katanungan, patuloy kaming nagtatrabaho)
(8 slide)
Isaalang-alang ang mga halimbawa, isulat:
(fig. hanggang P1) 
(fig. hanggang P2)
Ang mga bata ay unti-unting, nagpapatuloy mula sa kanilang nakasulat sa itaas na teorama, sinasagot ang mga tanong ng guro, magpasya sa kanilang sarili, isulat ang solusyon sa isang kuwaderno, muling iguhit ang mga guhit.
Magaling! At ngayon, muling iguhit ang iyong sarili sa gayong talahanayan, ito ay magiging isang mahusay na katulong sa hinaharap kapag nilutas ang mga problema.
(9 slide)
Maingat na iginuhit ng mga mag-aaral ang talahanayang ito sa kanilang mga kuwaderno at inilalagay ang data dito.
v. Takdang-Aralin (2 - 3 min.).
(10 slide)
May 2 minuto pa bago matapos ang aralin, buksan ang mga talaarawan, isulat ang takdang-aralin:
1) Kabanata 2, §5;
2) p. 71 mga tanong para sa pagsusuri sa sarili;
3) Hindi. 5.1; No. 5.3 (a, b); No. 5.7.
Introspection.
Ang simula ng aralin ay medyo palakaibigan, taos-puso, bukas at organisado. Inihanda ang klase para sa aralin. Ang mga bata ay nagpakita ng mahusay na pagganap sa buong aralin.
Agad kong sinabi ang mga layunin ng aralin. Ang mga layunin na inaalok sa mga bata para sa aralin ay tumutugma sa mga kinakailangan ng programa at nilalaman ng materyal.
Sa simula ng aralin, bilang isang pag-activate ng aktibidad na nagbibigay-malay, ang mga bata ay hiniling na alalahanin ang ilang materyal sa naunang pinag-aralan na materyal, na kanilang kinaya nang walang anumang partikular na kahirapan.
Natugunan ng nilalaman ng aralin ang mga kinakailangan ng pamantayang pang-edukasyon.
Ang istruktura ng aralin ay iminungkahi sa itaas. Sa aking palagay, ito ay tumutugma sa mga layunin at uri ng aralin. Ang mga yugto ng aralin ay lohikal na konektado, maayos na lumipat mula sa isa tungo sa isa pa. Sa bawat yugto, ang mga resulta ay summed up. Ang oras ay nahahati sa magkakahiwalay na mga yugto sa iba't ibang paraan, depende kung alin sa kanila ang pangunahing. Sa aking opinyon, ito ay ibinahagi nang makatwiran. Naayos ang simula at pagtatapos ng aralin. Ang bilis ng aralin ay perpekto.
Matapos ang unang yugto ng pag-update ng kaalaman, ang pangunahing yugto ng aralin ay ang pagpapaliwanag ng bagong materyal. Ang yugtong ito ay ang pangunahing isa, kaya karamihan ng oras ay nakatuon dito.
Ang pagtatanghal ng bagong materyal ay lohikal, may kakayahan, sa isang mataas na teoretikal at sa parehong oras na naa-access na antas para sa mga bata. Ang mga pangunahing kaisipan sa paksa ay palaging itinatampok ko at isinulat ng mga mag-aaral sa mga workbook.
Ang pag-aaral ng bagong materyal ay isinagawa sa anyo ng isang maikling panayam na may pagpapatupad ng elementarya na praktikal na mga gawain, para sa pinakamabilis at tamang asimilasyon ng materyal.
Gumawa ako ng isang presentasyon sa PowerPoint. Ang pagtatanghal ay may pangunahing pantulong na tungkulin.
Upang makontrol ang asimilasyon ng kaalaman sa buong aralin, nilutas ng mga mag-aaral ang mga problema, ayon sa mga resulta kung saan maaari kong hatulan ang antas ng asimilasyon ng teoretikal na materyal ng bawat isa sa mga bata. Matapos ang kontrol ng kaalaman, ang guro ay nagsagawa ng gawaing pagwawasto. Ang mga tanong na nagdulot ng pinakamalaking kahirapan sa mga mag-aaral ay muling pinag-isipan.
Pagkatapos nito, ang aralin ay buod at ang mga mag-aaral ay inalok ng takdang-aralin. Ang araling-bahay ay nagpapatibay, umuunlad. Sa aking opinyon, ito ay magagawa para sa lahat ng mga bata.
Ang nilalaman ng aralin ay pinakamainam, ang mga pamamaraan ng pagtuturo ay pasalita, biswal at praktikal. Ang anyo ng trabaho ay isang pag-uusap. Gumamit ako ng mga pamamaraan ng pag-activate ng aktibidad ng nagbibigay-malay - ito ang pagbabalangkas ng mga problemang tanong, paglalahat ayon sa mga plano ng isang pangkalahatan na kalikasan.
Ang mga mag-aaral ay aktibo sa panahon ng aralin. Ipinakita nila ang kakayahang magtrabaho nang produktibo, gumawa ng mga konklusyon mula sa kanilang nakita, ang kakayahang pag-aralan at gawing pangkalahatan ang kanilang kaalaman. Gayundin, ipinakita ng mga bata ang pagkakaroon ng mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili, ngunit iilan lamang ang hindi mapakali, at sila ang nakakuha ng higit na atensyon mula sa akin.
Inihanda ang klase para sa aralin.
Naniniwala ako na ang mga layunin na itinakda sa simula ng aralin ay nakamit.
Isaalang-alang ang isang equation na may dalawang variable
Ang isang pares ng mga variable na halaga na nagpapalit ng isang equation na may dalawang variable sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ay tinatawag na isang solusyon sa equation. Kung ang isang equation na may dalawang variable na x at y ay ibinigay, kung gayon kaugalian na ilagay ang halaga ng variable sa unang lugar sa talaan ng solusyon nito, at ang halaga ng y sa pangalawang lugar.
Kaya, ang mga pares ay mga solusyon sa equation, habang ang pares (1; 5) ay hindi isang solusyon sa equation.
Ang equation na ito ay mayroon ding iba pang mga solusyon. Upang mahanap ang mga ito, ito ay maginhawa upang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, halimbawa, x hanggang y at makuha ang equation . Ang pagpili ng isang arbitrary na halaga ng y, kinakalkula namin ang katumbas na halaga ng x. Halimbawa, kung ang ibig sabihin noon ay ang pares (31; 7) ay isang solusyon sa equation; kung pagkatapos ay nangangahulugan na ang pares (4; -2) ay isa ring solusyon sa ibinigay na equation, at iba pa.
Ang mga equation na may dalawang variable ay sinasabing equivalent kung mayroon silang parehong solusyon.
Para sa mga equation na may dalawang variable, Theorems 5.1 at 5.2 (tingnan ang § 135) sa mga katumbas na pagbabago ng equation hold.
Linear Equation – isang equation ng anyong a x = b , kung saan ang x ay variable, a at b ay ilang numero, at a ≠ 0 .
Mga halimbawa:
- 3x=2
- 2 7 x = − 5
Ang mga linear na equation ay tinatawag na hindi lamang mga equation ng form a x \u003d b, kundi pati na rin ang anumang mga equation na, sa tulong ng mga pagbabagong-anyo at pagpapasimple, ay nabawasan sa form na ito.
Paano malutas ang mga equation na nabawasan sa anyo a x \u003d b? Ito ay sapat na upang hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng halaga a. Bilang resulta, nakuha natin ang sagot: x = b a .
Paano makilala kung ang isang arbitrary na equation ay linear o hindi? Kinakailangang bigyang-pansin ang variable na naroroon dito. Kung ang pinakamataas na kapangyarihan kung saan nakatayo ang variable ay katumbas ng isa, kung gayon ang naturang equation ay linear.
Upang malutas ang linear equation , kinakailangang buksan ang mga bracket (kung mayroon man), ilipat ang "x" sa kaliwang bahagi, ang mga numero sa kanan, magdala ng mga katulad na termino. Makukuha ang isang equation ng form a x \u003d b. Solusyon ng equation na ito: x = b a .
Mga halimbawa:
- 2x + 1 = 2(x − 3) + 8
Ito ay isang linear equation, dahil ang variable ay nasa unang kapangyarihan.
Subukan nating i-convert ito sa anyo na a x = b:
Buksan muna natin ang mga panaklong:
2x + 1 = 4x - 6 + 8
Ang lahat ng mga terminong may x ay inililipat sa kaliwang bahagi, mga numero sa kanan:
2x - 4x = 2 - 1
Ngayon, hatiin natin ang kaliwa at kanang bahagi sa numero (-2):
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0.5
Sagot: x \u003d - 0.5
- x 2 − 1 = 0
Ang equation na ito ay hindi linear dahil ang pinakamataas na kapangyarihan ng x ay dalawa.
- x (x + 3) - 8 = x - 1
Ang equation na ito ay mukhang linear sa unang tingin, ngunit pagkatapos buksan ang mga panaklong, ang pinakamataas na kapangyarihan ay magiging katumbas ng dalawa:
x 2 + 3 x - 8 = x - 1
Ang equation na ito ay hindi linear.
Mga espesyal na kaso(sa gawain 4 ng OGE hindi nila nakilala, ngunit kapaki-pakinabang na makilala sila)
Mga halimbawa:
- 2x - 4 = 2 (x - 2)
2x-4 = 2x-4
2x − 2x = − 4 + 4
At paano maghanap ng x dito kung wala ito? Matapos isagawa ang mga pagbabagong-anyo, nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay (pagkakakilanlan), na hindi nakadepende sa halaga ng variable x . Anuman ang halaga ng x na ihahalili natin sa orihinal na equation, ang resulta ay palaging tamang pagkakapantay-pantay (identity). Kaya ang x ay maaaring maging anumang numero.
Sagot: x ∈ (− ∞ ; + ∞)
- 2x - 4 = 2 (x - 8)
Ito ay isang linear equation. Buksan natin ang mga bracket, ilipat ang mga x sa kaliwa, ang mga numero sa kanan:
2x-4 = 2x-16
2x - 2x = - 16 + 4
Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang x ay nabawasan, ngunit bilang isang resulta, isang hindi tamang pagkakapantay-pantay ang nakuha, dahil. Anuman ang halaga ng x na ihahalili natin sa orihinal na equation, ang resulta ay palaging magiging maling pagkakapantay-pantay. At nangangahulugan ito na walang ganoong mga halaga ng x kung saan ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo.
Ang hindi bababa sa karaniwang denominator ay ginagamit upang pasimplehin ang equation na ito. Ginagamit ang paraang ito kapag hindi mo maisulat ang ibinigay na equation na may isang rational expression sa bawat panig ng equation (at gamitin ang cross multiplication method). Ginagamit ang paraang ito kapag binigyan ka ng rational equation na may 3 o higit pang fraction (sa kaso ng dalawang fraction, mas maganda ang cross multiplication).
Hanapin ang least common denominator ng mga fraction (o least common multiple). Ang NOZ ay ang pinakamaliit na numero na pantay na nahahati ng bawat denominator.
- Minsan ang NOZ ay isang halatang numero. Halimbawa, kung ang equation ay ibinigay: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, kung gayon ay malinaw na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 3, 2 at 6 ay magiging 6.
- Kung ang NOD ay hindi halata, isulat ang mga multiple ng pinakamalaking denominator at hanapin sa kanila ang isa na maramihan din ng iba pang denominator. Madalas mong mahahanap ang NOD sa pamamagitan lamang ng pagpaparami ng dalawang denominator nang magkasama. Halimbawa, kung ang equation na x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ay ibinigay, pagkatapos NOZ = 8*9 = 72.
- Kung ang isa o higit pang mga denominator ay naglalaman ng isang variable, kung gayon ang proseso ay medyo mas kumplikado (ngunit hindi imposible). Sa kasong ito, ang NOZ ay isang expression (naglalaman ng variable) na nahahati ng bawat denominator. Halimbawa, sa equation 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), dahil ang expression na ito ay nahahati sa bawat denominator: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
I-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa isang numero na katumbas ng resulta ng paghahati ng NOZ sa katumbas na denominator ng bawat fraction. Dahil pina-multiply mo ang numerator at denominator sa parehong numero, epektibo mong pinaparami ang fraction sa 1 (halimbawa, 2/2 = 1 o 3/3 = 1).
- Kaya sa aming halimbawa, i-multiply ang x/3 sa 2/2 upang makakuha ng 2x/6, at i-multiply ang 1/2 sa 3/3 upang makakuha ng 3/6 (3x + 1/6 ay hindi kailangang i-multiply dahil ito ang denominator ay 6).
- Magpatuloy nang katulad kapag ang variable ay nasa denominator. Sa aming pangalawang halimbawa NOZ = 3x(x-1), kaya 5/(x-1) beses (3x)/(3x) ay 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x beses ng 3(x-1)/3(x-1) para makakuha ng 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) i-multiply sa (x-1)/(x-1) at makakakuha ka ng 2(x-1)/3x(x-1).
Hanapin ang x. Ngayon na binawasan mo na ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, maaari mong alisin ang denominator. Upang gawin ito, i-multiply ang bawat panig ng equation sa pamamagitan ng isang common denominator. Pagkatapos ay lutasin ang nagresultang equation, iyon ay, hanapin ang "x". Upang gawin ito, ihiwalay ang variable sa isang bahagi ng equation.
- Sa aming halimbawa: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Maaari kang magdagdag ng 2 fraction na may parehong denominator, kaya isulat ang equation bilang: (2x+3)/6=(3x+1)/6. I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng 6 at alisin ang mga denominator: 2x+3 = 3x +1. Lutasin at makuha ang x = 2.
- Sa aming pangalawang halimbawa (na may variable sa denominator), ang equation ay parang (pagkatapos ng pagbabawas sa isang karaniwang denominator): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa NOZ, aalisin mo ang denominator at makuha ang: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), o 15x = 3x - 3 + 2x -2, o 15x = x - 5 Lutasin at makuha ang: x = -5/14.