Piramidin tabanı denilen şey. Düzgün dörtgen piramidin formülleri ve özellikleri. Kesik piramit. Dört temel doğrusal parametre

Bu eğitim videosu, kullanıcıların Piramit teması hakkında fikir edinmelerine yardımcı olacaktır. Doğru piramit. Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız, tanımını vereceğiz. Normal bir piramidin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu düşünün. Sonra teoremi düzgün bir piramidin yan yüzeyinde ispatlıyoruz.

Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız, tanımını vereceğiz.

Bir çokgen düşünün bir 1 bir 2...Birα düzleminde yer alan ve bir nokta Pα düzleminde yer almayan (Şekil 1). noktayı birleştirelim P zirveleri olan A 1, A 2, A 3, … Bir. Almak nüçgenler: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R vb.

Tanım. çokyüzlü RA 1 A 2 ... Bir n, ondan yapılmış n-gon bir 1 bir 2...Bir ve nüçgenler RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, denir n- kömür piramidi. Pirinç. 1.

Pirinç. 1

Dörtgen bir piramit düşünün PABCD(İncir. 2).

R- piramidin tepesi.

ABCD- piramidin tabanı.

RA- yan kaburga.

AB- taban kenarı.

bir noktadan R dikeyi bırak RN yer düzleminde ABCD. Çizilen dik, piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 2

Piramidin toplam yüzeyi, yan yüzeyden, yani tüm yan yüzlerin alanından ve taban alanından oluşur:

S dolu \u003d S tarafı + S ana

Aşağıdaki durumlarda bir piramit doğru olarak adlandırılır:

tabanı düzenli bir çokgendir;
piramidin tepesini tabanın merkezine bağlayan bölüm yüksekliğidir.

Düzenli bir dörtgen piramit örneği hakkında açıklama

Düzenli bir dörtgen piramit düşünün PABCD(Şekil 3).

R- piramidin tepesi. piramidin tabanı ABCD- normal bir dörtgen, yani bir kare. Nokta Ö, köşegenlerin kesişme noktası karenin merkezidir. Anlamına geliyor, RO piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 3

Açıklama: sağda n-gon, yazılı dairenin merkezi ve çevrelenmiş dairenin merkezi çakışıyor. Bu merkeze çokgenin merkezi denir. Bazen tepenin merkeze yansıtıldığını söylüyorlar.

Düzgün bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliğine denir. özlü söz ve belirtilen bir.

1. düzgün bir piramidin tüm yan kenarları eşittir;

2. yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Bu özellikleri düzgün bir dörtgen piramit örneği kullanarak ispatlayalım.

verilen: RABSD- düzenli dörtgen piramit,

ABCD- Meydan,

RO piramidin yüksekliğidir.

İspat et:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Bkz. 4.

Pirinç. 4

Kanıt.

RO piramidin yüksekliğidir. yani, düz RO düzleme dik ABC ve dolayısıyla doğrudan AO, VO, SO ve YAPMAK içinde yatıyor. yani üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK- dikdörtgen.

Bir kare düşünün ABCD. Bir karenin özelliklerinden şu sonucu çıkarır: AO = BO = CO = YAPMAK.

Daha sonra dik üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK bacak RO- genel ve bacaklar AO, VO, SO ve YAPMAK eşittir, yani bu üçgenler iki ayakta eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden, bölümlerin eşitliğini takip eder, RA = PB = PC = PD. 1. madde kanıtlanmıştır.

Segmentler AB ve güneş eşittirler çünkü aynı karenin kenarlarıdır, RA = RV = bilgisayar. yani üçgenler AVR ve video - ikizkenar ve üç tarafta eşittir.

Benzer şekilde, üçgenleri elde ederiz. ABP, BCP, CDP, DAP 2. maddede ispatlanması gereken ikizkenar ve eşittir.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ve özdeyişin çarpımının yarısına eşittir:

Kanıt için düzgün bir üçgen piramit seçiyoruz.

verilen: RAVS- doğru Üçgen piramit.

AB = BC = AC.

RO- yükseklik.

İspat et: . Bkz. 5.

Pirinç. 5

Kanıt.

RAVS düzenli bir üçgen piramittir. yani AB= AC = M.Ö.. İzin vermek Ö- üçgenin merkezi ABC, o zamanlar RO piramidin yüksekliğidir. Piramidin tabanı bir eşkenar üçgendir. ABC. dikkat, ki .

üçgenler RAV, RVS, RSA- eşit ikizkenar üçgenler (özelliğe göre). Üçgen piramidin üç yan yüzü vardır: RAV, RVS, RSA. Böylece, piramidin yan yüzeyinin alanı:

S tarafı = 3S RAB

Teorem kanıtlanmıştır.

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapı 3 m, piramidin yüksekliği 4 m'dir Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

verilen: düzenli dörtgen piramit ABCD,

ABCD- Meydan,

r= 3 m,

RO- piramidin yüksekliği,

RO= 4 m.

Bulmak: S tarafı. Bkz. 6.

Pirinç. 6

Karar.

Kanıtlanmış teoreme göre, .

Önce tabanın kenarını bulun AB. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanında yazılı bir dairenin yarıçapının 3 m olduğunu biliyoruz.

Sonra, m.

karenin çevresini bulun ABCD 6 m'lik bir kenar ile:

Bir üçgen düşünün BCD. İzin vermek M- orta taraf DC. Gibi Ö- orta BD, o zamanlar (m).

Üçgen DPC- ikizkenar. M- orta DC. yani, RM- medyan ve dolayısıyla üçgendeki yükseklik DPC. Sonra RM- piramidin özü.

RO piramidin yüksekliğidir. Sonra, düz RO düzleme dik ABC ve dolayısıyla doğrudan OM içinde yatıyor. Hadi bir özdeyiş bulalım RM bir dik üçgenden ROM.

Şimdi piramidin yan yüzeyini bulabiliriz:

Cevap: 60 m2.

Düzenli bir üçgen piramidin tabanının yakınında çevrelenen bir dairenin yarıçapı m, yan yüzey alanı 18 m2'dir. Apothemin uzunluğunu bulun.

verilen: ABCP- düzenli üçgen piramit,

AB = BC = SA,

R= m,

G tarafı = 18 m 2.

Bulmak: . Bkz. 7.

Pirinç. 7

Karar.

bir dik üçgende ABCçevrelenmiş dairenin yarıçapı verilir. bir taraf bulalım AB sinüs teoremini kullanarak bu üçgeni.

Düzgün bir üçgenin (m) kenarını bilerek çevresini buluruz.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanındaki teoreme göre, nerede bir- piramidin özü. Sonra:

Cevap: 4 m.

Böylece piramidin ne olduğunu, düzgün piramidin ne olduğunu inceledik, teoremi düzgün piramidin yan yüzeyinde ispatladık. Bir sonraki derste, kesilmiş piramit ile tanışacağız.

bibliyografya

Geometri. 10-11. Sınıf: eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı (temel ve profil seviyeleri) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5. baskı, Rev. ve ek - E.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
Geometri. 10-11. Sınıf: Genel eğitim için ders kitabı Eğitim Kurumları/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: hasta.
Geometri. 10. Sınıf: Derinlemesine ve matematik profil çalışmasına sahip genel eğitim kurumları için ders kitabı / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6. baskı, klişe. - E.: Bustard, 008. - 233 s.: hasta.

İnternet portalı "Yaklass" ()
İnternet portalı "Festival pedagojik fikirler"İlk Eylül" ()
İnternet portalı "Slideshare.net" ()

Ödev

Düzgün bir çokgen, düzensiz bir piramidin tabanı olabilir mi?
Düzgün bir piramidin kesişmeyen kenarlarının dik olduğunu kanıtlayın.
Piramidin özü tabanının kenarına eşitse, düzgün bir dörtgen piramidin tabanının yanındaki dihedral açının değerini bulun.
RAVS düzenli bir üçgen piramittir. İnşa etmek doğrusal açı piramidin tabanındaki dihedral açı.

Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız, tanımını vereceğiz.

Tanım. çokyüzlü RA 1 A 2 ... Bir n, ondan yapılmış n-gon bir 1 bir 2...Bir ve nüçgenler RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, denir n- kömür piramidi. Pirinç. 1.

Pirinç. 1

Dörtgen bir piramit düşünün PABCD(İncir. 2).

R- piramidin tepesi.

ABCD- piramidin tabanı.

RA- yan kaburga.

AB- taban kenarı.

bir noktadan R dikeyi bırak RN yer düzleminde ABCD. Çizilen dik, piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 2

Piramidin toplam yüzeyi, yan yüzeyden, yani tüm yan yüzlerin alanından ve taban alanından oluşur:

S dolu \u003d S tarafı + S ana

Aşağıdaki durumlarda bir piramit doğru olarak adlandırılır:

tabanı düzenli bir çokgendir;
piramidin tepesini tabanın merkezine bağlayan bölüm yüksekliğidir.

Düzenli bir dörtgen piramit örneği hakkında açıklama

Düzenli bir dörtgen piramit düşünün PABCD(Şekil 3).

R- piramidin tepesi. piramidin tabanı ABCD- normal bir dörtgen, yani bir kare. Nokta Ö, köşegenlerin kesişme noktası karenin merkezidir. Anlamına geliyor, RO piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 3

Açıklama: sağda n-gon, yazılı dairenin merkezi ve çevrelenmiş dairenin merkezi çakışıyor. Bu merkeze çokgenin merkezi denir. Bazen tepenin merkeze yansıtıldığını söylüyorlar.

Düzgün bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliğine denir. özlü söz ve belirtilen bir.

1. düzgün bir piramidin tüm yan kenarları eşittir;

2. yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Bu özellikleri düzgün bir dörtgen piramit örneği kullanarak ispatlayalım.

verilen: RABSD- düzenli dörtgen piramit,

ABCD- Meydan,

RO piramidin yüksekliğidir.

İspat et:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Bkz. 4.

Pirinç. 4

Kanıt.

RO piramidin yüksekliğidir. yani, düz RO düzleme dik ABC ve dolayısıyla doğrudan AO, VO, SO ve YAPMAK içinde yatıyor. yani üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK- dikdörtgen.

Bir kare düşünün ABCD. Bir karenin özelliklerinden şu sonucu çıkarır: AO = BO = CO = YAPMAK.

Segmentler AB ve güneş eşittirler çünkü aynı karenin kenarlarıdır, RA = RV = bilgisayar. yani üçgenler AVR ve video - ikizkenar ve üç tarafta eşittir.

Benzer şekilde, üçgenleri elde ederiz. ABP, BCP, CDP, DAP 2. maddede ispatlanması gereken ikizkenar ve eşittir.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ve özdeyişin çarpımının yarısına eşittir:

Kanıt için düzgün bir üçgen piramit seçiyoruz.

verilen: RAVS düzenli bir üçgen piramittir.

AB = BC = AC.

RO- yükseklik.

İspat et: . Bkz. 5.

Pirinç. 5

Kanıt.

üçgenler RAV, RVS, RSA- eşit ikizkenar üçgenler (özelliğe göre). Üçgen piramidin üç yan yüzü vardır: RAV, RVS, RSA. Böylece, piramidin yan yüzeyinin alanı:

S tarafı = 3S RAB

Teorem kanıtlanmıştır.

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapı 3 m, piramidin yüksekliği 4 m'dir Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

verilen: düzenli dörtgen piramit ABCD,

ABCD- Meydan,

r= 3 m,

RO- piramidin yüksekliği,

RO= 4 m.

Bulmak: S tarafı. Bkz. 6.

Pirinç. 6

Karar.

Kanıtlanmış teoreme göre, .

Önce tabanın kenarını bulun AB. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanında yazılı bir dairenin yarıçapının 3 m olduğunu biliyoruz.

Sonra, m.

karenin çevresini bulun ABCD 6 m'lik bir kenar ile:

Bir üçgen düşünün BCD. İzin vermek M- orta taraf DC. Gibi Ö- orta BD, o zamanlar (m).

Üçgen DPC- ikizkenar. M- orta DC. yani, RM- medyan ve dolayısıyla üçgendeki yükseklik DPC. Sonra RM- piramidin özü.

RO piramidin yüksekliğidir. Sonra, düz RO düzleme dik ABC ve dolayısıyla doğrudan OM içinde yatıyor. Hadi bir özdeyiş bulalım RM bir dik üçgenden ROM.

Şimdi piramidin yan yüzeyini bulabiliriz:

Cevap: 60 m2.

Düzenli bir üçgen piramidin tabanının yakınında çevrelenen bir dairenin yarıçapı m, yan yüzey alanı 18 m2'dir. Apothemin uzunluğunu bulun.

verilen: ABCP- düzenli üçgen piramit,

AB = BC = SA,

R= m,

G tarafı = 18 m 2.

Bulmak: . Bkz. 7.

Pirinç. 7

Karar.

bir dik üçgende ABCçevrelenmiş dairenin yarıçapı verilir. bir taraf bulalım AB sinüs teoremini kullanarak bu üçgeni.

Düzgün bir üçgenin (m) kenarını bilerek çevresini buluruz.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanındaki teoreme göre, nerede bir- piramidin özü. Sonra:

Cevap: 4 m.

Böylece piramidin ne olduğunu, düzgün piramidin ne olduğunu inceledik, teoremi düzgün piramidin yan yüzeyinde ispatladık. Bir sonraki derste, kesilmiş piramit ile tanışacağız.

bibliyografya

Geometri. 10-11. Sınıf: eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı (temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, Rev. ve ek - E.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
Geometri. 10-11. Sınıf: Genel eğitim kurumları için bir ders kitabı / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: hasta.
Geometri. 10. Sınıf: Derinlemesine ve matematik profil çalışmasına sahip genel eğitim kurumları için ders kitabı / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6. baskı, klişe. - E.: Bustard, 008. - 233 s.: hasta.

İnternet portalı "Yaklass" ()
İnternet portalı "Pedagojik Fikirler Festivali "İlk Eylül" ()
İnternet portalı "Slideshare.net" ()

Ödev

Düzgün bir çokgen, düzensiz bir piramidin tabanı olabilir mi?
Düzgün bir piramidin kesişmeyen kenarlarının dik olduğunu kanıtlayın.
Piramidin özü tabanının kenarına eşitse, düzgün bir dörtgen piramidin tabanının yanındaki dihedral açının değerini bulun.
RAVS düzenli bir üçgen piramittir. Piramidin tabanındaki dihedral açının doğrusal açısını oluşturun.

Eserin metni, resim ve formüller olmadan yerleştirilmiştir.
Tam versiyonçalışma, PDF formatında "İş dosyaları" sekmesinde mevcuttur

Tanıtım

"Piramit" kelimesiyle karşılaştığımızda, çağrışımsal hafıza bizi Mısır'a götürür. Mimarlığın ilk anıtlarından bahsedersek, sayılarının en az birkaç yüz olduğu söylenebilir. 13. yüzyılda yaşamış bir Arap yazar şöyle demiştir: "Dünyadaki her şey zamandan korkar ve zaman piramitlerden korkar." Piramitler, zamanımıza, bilgisayar teknolojisi çağına kadar hayatta kalan dünyanın yedi harikasının tek mucizesidir. Ancak, araştırmacılar henüz tüm gizemlerine dair ipuçlarını bulabilmiş değiller. Piramitleri ne kadar çok öğrenirsek, o kadar çok sorumuz olur. Piramitler tarihçiler, fizikçiler, biyologlar, doktorlar, filozoflar vb. için ilgi çekicidir. Büyük ilgi görürler ve hem matematiksel hem de diğer bakış açılarından (tarihsel, coğrafi, vb.) özelliklerinin daha derin bir incelemesini teşvik ederler.

Böyle amaçÇalışmamız, piramidin özelliklerinin farklı açılardan incelenmesiydi. Ara hedefler olarak belirledik: piramidin özelliklerinin matematik açısından değerlendirilmesi, piramidin sırlarının ve gizemlerinin varlığına ilişkin hipotezlerin incelenmesi ve uygulama olanakları.

nesne Bu makaledeki çalışma bir piramittir.

Şey araştırma: piramidin özellikleri ve özellikleri.

Görevler Araştırma:

Araştırma konusuyla ilgili bilimsel - popüler literatürü incelemek.

Piramidi geometrik bir cisim olarak düşünün.

Piramidin özelliklerini ve özelliklerini belirleyin.

Piramidin özelliklerinin çeşitli bilim ve teknoloji alanlarında uygulanmasını doğrulayan materyal bulun.

yöntemler araştırma: analiz, sentez, analoji, zihinsel modelleme.

Çalışmanın beklenen sonucu piramit, özellikleri ve uygulamaları hakkında yapılandırılmış bilgiler olmalıdır.

Proje hazırlama aşamaları:

Projenin teması, amaç ve hedeflerinin belirlenmesi.

Çalışmak ve materyal toplamak.

Bir proje planı hazırlamak.

Yeni materyalin asimilasyonu, söz konusu aktivitede bilgi, beceri ve yeteneklerin oluşumu dahil olmak üzere projedeki faaliyetin beklenen sonucunun formüle edilmesi.

Araştırma sonuçlarının formülasyonu.

Refleks

Geometrik bir cisim olarak piramit

Sözcüğün ve terimin kökenlerini düşünün " piramit". Hemen "piramit" veya " piramit"(İngilizce), " piramit"(Fransızca, İspanyolca ve Slav dilleri), piramit(Almanca), kökenleri eski Yunanistan'a dayanan Batılı bir terimdir. eski Yunancada πύραμίς ("P iramis"Ve bircok digerleri. h. Πύραμίδες « piramitler"") birkaç anlamı vardır. Eski Yunanlılar aradı piramit» Mısır yapılarının şeklini andıran bir buğday keki. Daha sonra, kelime "tabanı kare alanlı, üstte eğimli kenarları birleşen anıtsal bir yapı" anlamına gelir. etimolojik sözlük Yunan "piramitlerinin" Mısırlılardan geldiğini gösterir " pimer". Kelimenin ilk yazılı yorumu "piramit" 1555'te Avrupa'da bulundu ve "kralların eski bina türlerinden biri" anlamına geliyor. Meksika'da piramitlerin keşfinden ve 18. yüzyılda bilimin gelişmesiyle, piramit sadece eski bir mimari anıt değil, aynı zamanda dört simetrik kenarı olan düzenli bir geometrik figür haline geldi (1716). Piramidin geometrisinin başlangıcı eski Mısır ve Babil'de atıldı, ancak aktif olarak geliştirildi. Antik Yunan. Piramidin hacminin neye eşit olduğunu belirleyen ilk kişi Demokritos'tu ve Knidoslu Eudoxus bunu kanıtladı.

İlk tanım, bize ulaşan matematik üzerine teorik incelemelerin yazarı olan antik Yunan matematikçisine aittir, Öklid. "Başlangıçlar"ın XII. cildinde, piramidi, bir düzlemden (taban) bir noktada (üstte) birleşen düzlemlerle sınırlanan bedensel bir figür olarak tanımlar. Ancak bu tanım antik çağda zaten eleştirilmiştir. Bu nedenle Heron, bir piramidin aşağıdaki tanımını önerdi: "Bu, bir noktada birleşen ve tabanı bir çokgen olan üçgenlerle sınırlanmış bir şekildir."

Fransız matematikçi Adrien Marie Legendre'nin 1794'te "Geometrinin Elemanları" adlı çalışmasında piramidi şöyle tanımlayan bir tanımı vardır: düz taban.”

Modern sözlükler "piramit" terimini şu şekilde yorumlar:

	Tabanı bir çokgen ve diğer yüzleri ortak bir köşeye sahip üçgenler olan bir çokyüzlü	Rus dilinin açıklayıcı sözlüğü, ed. D.N. Ushakova
	Bir noktada köşelerden oluşan ve tabanları ile bir kare oluşturan eşit üçgenlerle sınırlanmış bir cisim	V.I.Dal'in Açıklayıcı Sözlüğü
	Tabanı bir çokgen olan ve kalan yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olan bir çokyüzlü	Açıklayıcı Sözlük, ed. S. I. Ozhegova ve N. Yu. Shvedova
	Tabanı bir çokgen olan ve yan yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olan bir çokyüzlü	T.F. Efremov. Rus dilinin yeni açıklayıcı ve türetme sözlüğü.
	Bir yüzü çokgen, diğer yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olan çokyüzlü	yabancı kelimeler sözlüğü
	Tabanı çokgen olan ve kenarları tabanı kadar üçgen olan geometrik cisim, köşeleri bir noktada birleşen kenarlara sahiptir.	Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü
	Bir yüzü bir tür düz çokgen olan ve diğer tüm yüzleri üçgen olan, tabanları çokyüzlü tabanının kenarları olan ve köşeleri bir noktada birleşen bir çokyüzlü	F. Brockhaus, I.A. Efron. ansiklopedik sözlük
	Tabanı bir çokgen olan ve kalan yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olan bir çokyüzlü	Modern sözlük
	Yüzlerinden biri çokgen, diğer yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgen olan bir çokyüzlü	Matematiksel ansiklopedik sözlük

Piramidin tanımlarını analiz ederek, tüm kaynakların benzer formülasyonlara sahip olduğu sonucuna varabiliriz:

Bir piramit, tabanı bir çokgen olan bir çokyüzlüdür ve kalan yüzler, ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir. Tabanın köşe sayısına göre piramitler üçgen, dörtgen vb.

A 1 A 2 A 3 ... An çokgeni piramidin tabanıdır ve RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PAnA 1 üçgenleri piramidin yan yüzleridir, P en üsttedir. piramidin segmentleri RA 1, RA 2, ..., PAn - yan kaburgalar.

Piramidin tepesinden taban düzlemine çizilen dikme denir. h piramitler.

İsteğe bağlı bir piramidin yanı sıra, tabanında düzenli bir çokgen ve kesik bir piramit bulunan düzenli bir piramit vardır.

alan Bir piramidin toplam yüzeyi, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır. Sfull = S tarafı + S ana, burada S tarafı yan yüzlerin alanlarının toplamıdır.

Ses piramit şu formülle bulunur: V=1/3S ana.h, burada S ana. - taban alanı, h - yükseklik.

İle piramit özellikleri ilgili olmak:

Tüm yan kenarlar aynı boyutta olduğunda, piramidin tabanına yakın bir daireyi tanımlamak kolaydır, piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacaktır; yan nervürler taban düzlemi ile aynı açıları oluşturur; ayrıca, bunun tersi de doğrudur, yani. yan kaburgalar taban düzlemi ile oluştuğunda eşit açılar veya piramidin tabanının yakınında bir daire tanımlanabildiğinde ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacaktır, bu da piramidin tüm yan kenarlarının aynı boyuta sahip olduğu anlamına gelir.

Yan yüzler aynı değerdeki tabanın düzlemine bir eğim açısına sahip olduğunda, piramidin tabanına yakın bir daireyi tanımlamak kolaydır, piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacaktır. ; yan yüzlerin yükseklikleri eşit uzunluktadır; yan yüzeyin alanı, tabanın çevresinin çarpımının yarısına ve yan yüzün yüksekliğine eşittir.

piramit denir doğru, tabanı düzenli bir çokgen ise ve tepe noktası tabanın merkezine yansıtılırsa. Düzenli bir piramidin yan yüzleri eşittir, ikizkenar üçgenlerdir (Şekil 2a). eksen Düzenli bir piramit, yüksekliğini içeren düz bir çizgi olarak adlandırılır. özlü söz - düzenli bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliği.

Kare düzgün bir piramidin yan yüzü şu şekilde ifade edilir: Sside. \u003d 1/2P h, burada P, tabanın çevresidir, h, yan yüzün yüksekliğidir (düzenli bir piramidin özü). Piramit, tabana paralel bir A'B'C'D' düzlemi tarafından kesiliyorsa, yan kenarlar ve yükseklik bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölünür; kesitte, tabana benzer bir çokgen A'B'C'D' elde edilir; kesit ve taban alanları, üstten uzaklıklarının kareleri olarak ilişkilidir.

kesik piramit piramidin üst kısmı tabana paralel bir düzlemle kesilerek elde edilir (Şekil 2b). Kesik piramidin tabanları, ABCD ve A`B`C`D` benzer çokgenlerdir, yan yüzler yamuktur. Kesik bir piramidin yüksekliği, tabanlar arasındaki mesafedir. Kesik bir piramidin hacmi şu formülle bulunur: V=1/3 h (S + + S'), burada S ve S' ABCD ve A'B'C'D' tabanlarının alanlarıdır, h yükseklik.

Düzenli bir kesik n-gonal piramidin tabanları düzgün n-gonlardır. Düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin alanı şu şekilde ifade edilir: Sside. \u003d ½ (P + P ') h, burada P ve P', tabanların çevreleridir, h, yan yüzün yüksekliğidir (düzenli bir kesik piramidin özeti)

Piramidin tepesinden geçen düzlemlerin bölümleri üçgendir. Bir piramidin komşu olmayan iki yan kenarından geçen kesite köşegen kesit denir. Kesit, yan kenar ve tabanın kenarındaki bir noktadan geçerse, bu kenar, piramidin tabanının düzlemindeki izi olacaktır. Piramidin yüzünde uzanan bir noktadan geçen bir bölüm ve taban düzleminde belirli bir iz izi, daha sonra inşaat aşağıdaki gibi yapılmalıdır: verilen yüzün düzleminin kesişme noktasını bulun ve piramidin bölümünün izini sürün ve onu belirleyin; düz bir çizgi oluşturmak verilen nokta ve ortaya çıkan kesişme noktası; Sonraki yüzler için bu adımları tekrarlayın.

Dikdörtgen piramit - yan kenarlardan birinin tabana dik olduğu bir piramittir. Bu durumda bu kenar piramidin yüksekliği olacaktır (Şekil 2c).

Düzenli üçgen piramit- Bu, tabanı düzenli bir üçgen olan ve üst kısmı tabanın merkezine yansıtılan bir piramittir. Düzenli üçgen piramidin özel bir durumu, tetrahedron. (Şekil 2a)

Piramidi diğerlerine bağlayan teoremleri düşünün geometrik cisimler.

küre

Piramidin tabanında, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokgen bulunduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul) piramidin yakınında bir küre tanımlanabilir. Kürenin merkezi, onlara dik olan piramidin kenarlarının orta noktalarından geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır. Bu teoremden, bir kürenin hem herhangi bir üçgen hem de herhangi bir düzenli piramit hakkında tanımlanabileceği sonucu çıkar; Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesiştiğinde (gerekli ve yeterli bir koşul) bir piramide bir küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.

koni

Köşeleri çakışıyorsa ve tabanı piramidin tabanında yazılıysa, bir koniye piramidin içinde yazılı denir. Ayrıca, bir piramidin içine sadece piramidin özlü sözleri birbirine eşit olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul) bir koni yazmak mümkündür; Köşeleri çakıştığında ve tabanı piramidin tabanının yakınında yazılı olduğunda, piramidin yanında yazılı bir koniye denir. Ayrıca, piramidin yanındaki koniyi ancak piramidin tüm yan kenarları birbirine eşit olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul) tanımlamak mümkündür; Bu tür koni ve piramitlerin yükseklikleri birbirine eşittir.

silindir

Tabanlarından biri, tabana paralel bir düzlem tarafından piramidin kesitinde yazılan bir daire ile çakışıyorsa ve diğer taban piramidin tabanına aitse, bir silindire piramit yazılı denir. Piramidin tepesi tabanlarından birine aitse ve diğer tabanı piramidin tabanına yakın yazılıysa, piramidin yanında yazılı bir silindir denir. Ayrıca, piramidin yakınında bir silindiri ancak piramidin tabanında yazılı bir çokgen olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul) tanımlamak mümkündür.

Bilim adamları araştırmalarında çok sık piramidin özelliklerini kullanırlar. Altın Oran orantıları ile. Piramitleri inşa ederken altın kesit oranlarının nasıl kullanıldığını bir sonraki paragrafta ele alacağız ve burada altın bölümün tanımı üzerinde duracağız.

Matematiksel ansiklopedik sözlük aşağıdaki tanımı verir Altın bölüm- bu, AB segmentinin iki parçaya bölünmesidir, öyle ki AC'sinin çoğu, tüm AB segmenti ile daha küçük CB parçası arasındaki ortalama orantılıdır.

AB = a segmentinin Altın bölümünün cebirsel bulgusu, a: x = x: (a-x) denklemini çözmeye indirgenir, burada x yaklaşık olarak 0,62a'ya eşittir. x oranı kesirler olarak ifade edilebilir n/n+1= 0,618, burada n, n ile numaralandırılmış Fibonacci sayısıdır.

Altın oran genellikle sanat eserlerinde, mimaride kullanılır ve doğada bulunur. Canlı örnekler, Parthenon Apollo Belvedere'nin heykelidir. Parthenon'un inşası sırasında binanın yüksekliğinin uzunluğuna oranı kullanılmış ve bu oran 0.618'dir. Etrafımızdaki nesneler de Altın Oran'ın örneklerini verir, örneğin birçok kitabın ciltlerinin de genişlik/uzunluk oranı 0,618'e yakındır.

Böylece, araştırma sorunuyla ilgili popüler bilimsel literatürü inceledikten sonra, bir piramidin, tabanı bir çokgen olan bir çokyüzlü olduğu ve kalan yüzlerin ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olduğu sonucuna vardık. Piramidin elementlerini ve özelliklerini, çeşitlerini ve Altın Bölüm oranlarıyla olan ilişkisini inceledik.

2. Piramidin özellikleri

Bu yüzden Büyük Ansiklopedik Sözlükte bir piramidin, bir piramidin geometrik şekline (bazen basamaklı veya kule şeklinde) sahip anıtsal bir yapı olduğu yazılmıştır. MÖ 3. - 2. binyılın eski Mısır firavunlarının mezarlarına piramitler deniyordu. e., ayrıca Orta ve Doğu'daki tapınakların kaideleri Güney Amerika kozmolojik kültlerle ilişkilidir. Mısır'ın görkemli piramitleri arasında, Firavun Cheops'un Büyük Piramidi özel bir yere sahiptir. Keops piramidinin şekil ve boyutunun analizine geçmeden önce, Mısırlıların hangi ölçü sistemini kullandıklarını hatırlamalıyız. Mısırlıların üç uzunluk birimi vardı: "arşın" (466 mm), yedi "avuç içi" (66.5 mm), bu da sırayla dört "parmağa" (16,6 mm) eşitti.

Çoğu araştırmacı, piramidin tabanının kenar uzunluğunun, örneğin GF'nin L = 233.16 m olduğu konusunda hemfikirdir.Bu değer, neredeyse tam olarak 500 "arşın" a karşılık gelir. 500 "arşın" ile tam uyum, "arşın" uzunluğunun 0,4663 m'ye eşit olduğu kabul edilirse olacaktır.

Piramidin yüksekliği (H) araştırmacılar tarafından 146.6 ila 148,2 m arasında farklı bir şekilde tahmin edilmektedir ve piramidin kabul edilen yüksekliğine bağlı olarak, geometrik elemanlarının tüm oranları değişmektedir. Piramidin yükseklik tahminindeki farklılıkların nedeni nedir? Gerçek şu ki, Cheops piramidi kesildi. Bugün üst platformu yaklaşık 10x10 m ölçülerinde olup, bundan bir asır önce 6x6 m ölçülerinde olan piramidin tepesinin sökülmüş olduğu ve orijinaline uymadığı açıktır. Piramidin yüksekliğini değerlendirirken, aşağıdakileri dikkate almak gerekir. fiziksel faktör, taslak tasarım olarak. Uzun bir süre boyunca, devasa basıncın etkisi altında (alt yüzeyin 1 m2'si başına 500 tona ulaşan), piramidin yüksekliği orijinal yüksekliğine göre azaldı. Temel geometrik fikri bulursanız, piramidin orijinal yüksekliği yeniden oluşturulabilir.

1837'de İngiliz albay G. Wise, piramidin yüzlerinin eğim açısını ölçtü: a = 51 ° 51 "e eşit olduğu ortaya çıktı. Bu değer bugün hala çoğu araştırmacı tarafından tanınmaktadır. Belirlenmiş değer açı, 1.27306'ya eşit olan tanjanta (tg a) karşılık gelir. Bu değer, AC piramidinin yüksekliğinin CB tabanının yarısına, yani AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L oranına karşılık gelir.

Ve burada araştırmacılar büyük bir sürprizle karşı karşıyaydı! Gerçek şu ki, altın oranın karekökünü alırsak, şu sonucu elde ederiz = 1.272. Bu değeri tg a = 1.27306 değeri ile karşılaştırdığımızda bu değerlerin birbirine çok yakın olduğunu görüyoruz. A \u003d 51 ° 50 "açısını alırsak, yani sadece bir yay dakikası azaltırsak, a değeri 1.272'ye eşit olacak, yani değerle çakışacaktır. Unutulmamalıdır ki 1840'ta G. Wise ölçümlerini tekrarladı ve açının değerinin a \u003d 51 ° 50 "olduğunu açıkladı.

Bu ölçümler araştırmacıları şu ilginç hipoteze yönlendirdi: Cheops piramidinin ASV üçgeni AC / CB = 1.272 oranına dayanıyordu.

Şimdi bir dikdörtgen düşünün üçgen ABC, burada bacakların oranı AC / CB = . Şimdi ABC dikdörtgeninin kenarlarının uzunluklarını x, y, z olarak belirtirsek ve ayrıca y / x \u003d oranını da hesaba katarsak, o zaman Pisagor teoremine göre, z uzunluğu şu şekilde hesaplanabilir: formül:

x = 1, y = kabul edersek, o zaman:

Kenarların t::1 olarak ilişkili olduğu bir dik üçgene "altın" dik üçgen denir.

O zaman, Cheops piramidinin ana "geometrik fikrinin" "altın" olduğu hipotezini temel alırsak sağ üçgen, sonra buradan Cheops piramidinin "tasarım" yüksekliğini kolayca hesaplayabilirsiniz. Şuna eşittir:

H \u003d (L / 2) / \u003d 148.28 m.

Şimdi Cheops piramidi için "altın" hipotezden çıkan başka ilişkiler türetelim. Özellikle piramidin dış alanının taban alanına oranını buluyoruz. Bunu yapmak için, bir birim olarak CB ayağının uzunluğunu alıyoruz, yani: CB = 1. Ancak o zaman piramidin tabanının kenar uzunluğu GF = 2 ve taban alanı EFGH eşit olacaktır. S EFGH = 4.

Şimdi Cheops piramidinin S D yan yüzünün alanını hesaplayalım. AEF üçgeninin AB yüksekliği t'ye eşit olduğundan, yan yüzün alanı S D = t'ye eşit olacaktır. O zaman piramidin dört yan yüzünün toplam alanı 4t'ye eşit olacak ve piramidin toplam dış alanının taban alanına oranı altın orana eşit olacaktır.. Bu, Cheops piramidinin ana geometrik sırrıdır.

Ayrıca, Mısır piramitlerinin inşası sırasında, piramidin yüksekliğinde inşa edilen karenin, yan üçgenlerin her birinin alanına tam olarak eşit olduğu bulundu. Bu, en son ölçümlerle onaylanmıştır.

Bir dairenin çevresi ile çapı arasındaki ilişkinin şu şekilde olduğunu biliyoruz. devamlı, modern matematikçiler, okul çocukları tarafından iyi bilinen, "Pi" = 3.1416 sayısıdır ... Ancak Cheops piramidinin tabanının dört tarafını toplarsak, 931.22 m elde ederiz. piramit (2x148.208), 3 ,1416 ..., yani "Pi" sayısını elde ederiz. Sonuç olarak, Cheops piramidi, "Pi" sayısının maddi düzenlemesi olan türünün tek örneği bir anıttır. önemli rol Matematikte.

Böylece altın bölümün piramidinin büyüklüğünde varlığı - piramidin iki katına çıkan tarafının yüksekliğine oranı - π sayısına çok yakın bir sayıdır. Bu da bir özellik tabii. Her ne kadar birçok yazar bu tesadüfün tesadüfi olduğuna inansa da, 14/11 kesri "için iyi bir yaklaşım" olduğu için. kare kök altın bölümün oranından ve içinde yazılı bir kare ve bir dairenin alanlarının oranı için.

Ancak burada sadece Mısır piramitlerinden bahsetmek yanlış olur. Sadece Mısır piramitleri değil, Dünya'da bütün bir piramit ağı var. Ana anıtlar (Mısır ve Meksika piramitleri, Paskalya Adası ve İngiltere'deki Stonehenge kompleksi) ilk bakışta gezegenimizin etrafına rastgele dağılmıştır. Ancak Tibet piramit kompleksi çalışmaya dahil edilirse, o zaman katı bir matematiksel sistem dünya yüzeyindeki konumları. Himalaya sırtının fonunda, piramidal bir oluşum açıkça ayırt edilir - Kailash Dağı. Kailash şehrinin, Mısır ve Meksika piramitlerinin konumu çok ilginç, yani Kailash şehrini Meksika piramitlerine bağlarsanız, onları birbirine bağlayan hat Paskalya Adası'na gider. Kailash şehrini Mısır piramitlerine bağlarsanız, bağlantılarının çizgisi tekrar Paskalya Adası'na gider. tam olarak dörtte biri Dünya. Meksika piramitlerini Mısır piramitleriyle birleştirirsek, iki eşit üçgen görürüz. Alanlarını bulursanız, toplamları dünyanın alanının dörtte birine eşittir.

Tibet piramitleri kompleksi arasında tartışılmaz bir bağlantı ortaya çıktı diğer yapılarla antik çağ - Mısır ve Meksika piramitleri, Paskalya Adası'nın devleri ve İngiltere'deki Stonehenge kompleksi. Tibet'in ana piramidinin yüksekliği - Kailash Dağı - 6714 metre. Kailash ile arasındaki mesafe Kuzey Kutbu eşittir 6714 kilometre, Kailash ile Stonehenge arasındaki mesafe 6714 kilometre. Dünyayı Kuzey Kutbu'ndan bir kenara koyarsanız, bunları 6714 kilometre, sonra kesik bir piramit gibi görünen sözde Şeytan Kulesi'ne gideceğiz. Ve nihayet tam olarak 6714 Stonehenge'den Bermuda Şeytan Üçgeni'ne kilometrelerce.

Bu çalışmalar sonucunda Dünya üzerinde piramidal-coğrafi bir sistemin olduğu sonucuna varılabilir.

Böylece, özellikler piramidin toplam dış alanının taban alanına oranı altın orana eşit olacaktır; altın bölümün piramidinin boyutundaki varlığı - piramidin çift tarafının yüksekliğine oranı - π sayısına çok yakın bir sayıdır, yani. Cheops piramidi, "Pi" sayısının maddi düzenlemesi olan türünün tek örneği bir anıttır; piramidal-coğrafi bir sistemin varlığı.

3. Piramidin diğer özellikleri ve kullanımları.

Bunun pratik uygulamasını düşünün geometrik şekil. Örneğin, hologram.İlk olarak, holografinin ne olduğuna bakalım. Holografi - optik dalga alanlarını doğru bir şekilde kaydetmek, yeniden üretmek ve yeniden şekillendirmek için bir dizi teknoloji Elektromanyetik radyasyonüç boyutlu nesnelerin görüntülerinin kaydedildiği ve daha sonra lazer kullanılarak restore edildiği özel bir fotoğraf yöntemi, en yüksek derece gerçek olanlara benzer. Hologram, üç boyutlu bir nesnenin görüntüsünü yeniden üreten bir lazer tarafından oluşturulan üç boyutlu bir görüntü olan holografinin bir ürünüdür. Normal bir kesik dört yüzlü piramit kullanarak, bir görüntüyü yeniden oluşturabilirsiniz - bir hologram. Yarı saydam bir malzemeden bir fotoğraf dosyası ve düzenli bir kesik dört yüzlü piramit oluşturulur. Y eksenine göre en alttaki pikselden ve ortadaki pikselden küçük bir girinti yapılır. Bu nokta bölümün oluşturduğu karenin kenarının orta noktası olacaktır. Fotoğraf çoğaltılır ve kopyaları diğer üç tarafa göre aynı şekilde yerleştirilir. Kareye, kareye denk gelecek şekilde bir bölümü aşağı gelecek şekilde bir piramit yerleştirilir. monitör üretir ışık dalgası, dört özdeş fotoğrafın her biri, piramidin yüzünün izdüşümü olan düzlemde olmak, yüzün üzerine düşüyor. Sonuç olarak, dört yüzün her birinde aynı görüntülere sahibiz ve piramidin yapıldığı malzeme şeffaflık özelliğine sahip olduğundan, dalgalar merkezde buluşarak kırılıyor gibi görünüyor. Sonuç olarak, aynı girişim desenini elde ederiz. durağan dalga, merkezi eksen veya dönme ekseni düzenli bir kesik piramidin yüksekliğidir. Bu yöntem, çalışma prensibi değişmediği için video görüntüsü ile de çalışır.

Özel durumlar göz önüne alındığında, piramidin yaygın olarak kullanıldığı görülmektedir. Günlük yaşam, hatta ev. Piramidal şekil genellikle doğada bulunur: bitkiler, kristaller, metan molekülü düzenli bir üçgen piramit şeklindedir - bir tetrahedron, bir elmas kristalin birim hücresi de merkezinde ve dört köşesi karbon atomu olan bir tetrahedrondur. Piramitler evde, çocuk oyuncaklarında bulunur. Düğmeler, bilgisayar klavyeleri genellikle dörtgen kesilmiş piramide benzer. Yarı saydam çatı yapıları olarak yapı elemanları veya mimari yapılar şeklinde görülebilirler.

"Piramit" teriminin kullanımına ilişkin birkaç örnek daha düşünün

Ekolojik piramitler- bunlar, her bir trofik seviyede bireylerin sayısını (sayı piramidi), biyokütle miktarını (biyokütle piramidi) veya içerdikleri enerjiyi (enerji piramidi) yansıtan grafik modellerdir (genellikle üçgenler şeklindedir). trofik seviyedeki artışla tüm göstergelerde azalma

Bilgi piramidi. Hiyerarşiyi yansıtır Çeşitli türler bilgi. Bilgi sağlanması, aşağıdaki piramidal şemaya göre oluşturulmuştur: üstte - işletmenin seçilen hedefe yönelik hareketinin hızını net bir şekilde takip edebileceğiniz ana göstergeler. Bir şey yanlışsa, piramidin orta seviyesine gidebilirsiniz - genelleştirilmiş veriler. Resmi her gösterge için ayrı ayrı veya birbirleriyle ilişkili olarak netleştirirler. Bu verilerden, arıza veya sorunun olası yerini belirleyebilirsiniz. Daha eksiksiz bilgi için piramidin tabanına bakmanız gerekir - Detaylı Açıklama tüm süreçlerin sayısal biçimdeki durumları. Bu veriler, sorunun nedenini belirlemeye yardımcı olur, böylece gelecekte düzeltilebilir ve önlenebilir.

Bloom'un taksonomisi. Bloom'un taksonomisi, eğitimciler tarafından öğrencilere ve buna bağlı olarak öğrenme hedeflerine göre belirlenen bir piramit şeklinde görevlerin bir sınıflandırmasını önerir. Eğitim hedeflerini üç alana ayırır: bilişsel, duyuşsal ve psikomotor. Her bir bireysel alanda, daha yüksek bir seviyeye geçmek için, bu alanda ayırt edilen önceki seviyelerin deneyimi gereklidir.

mali piramit- belirli bir ekonomik gelişme olgusu. "Piramit" adı, piramidin "en altındaki" insanların küçük bir tepeye para verdiği durumu açıkça göstermektedir. Aynı zamanda, her yeni katılımcı, piramidin tepesine yükselme olasılığını artırmak için ödeme yapar.

İhtiyaçlar Piramidi Maslow, en popüler ve en iyi bilinen motivasyon teorilerinden biri olan hiyerarşi teorisini yansıtır. ihtiyaçlar. Maslow, ihtiyaçları artan düzende dağıtmış ve bu yapıyı bir kişinin ihtiyaçları deneyimleyemeyeceği gerçeğiyle açıklamıştır. yüksek seviye daha ilkel şeylere ihtiyaç duyarken. Daha düşük ihtiyaçlar karşılandıkça, daha yüksek düzeydeki ihtiyaçlar giderek daha acil hale gelir, ancak bu, önceki ihtiyacın yerini yalnızca eski tamamen karşılandığında yenisinin işgal ettiği anlamına gelmez.

"Piramit" teriminin kullanımına bir başka örnek, Besin piramidi - ilkelerin şematik gösterimi sağlıklı beslenme beslenme uzmanları tarafından geliştirilmiştir. Piramidin altındaki yiyecekler mümkün olduğunca sık yenilmeli, piramidin tepesindeki yiyeceklerden kaçınılmalı veya sınırlı miktarlarda yenilmelidir.

Böylece, yukarıdakilerin tümü, piramidin hayatımızdaki kullanım çeşitliliğini göstermektedir. Belki de piramidin çok daha fazlası vardır yüce hedef, ve bunlardan daha fazlası içindir pratik yollarşimdi açık olan kullanımları.

Çözüm

Hayatımızda sürekli piramitlerle tanışıyoruz - bunlar eski Mısır piramitleri ve çocukların oynadığı oyuncaklar; mimari ve tasarım nesneleri, doğal kristaller; Sadece elektron mikroskobu ile görülebilen virüsler. Varlığının binlerce yılı boyunca, piramitler, insanın bilginin zirvesine ulaşma arzusunu kişileştiren bir tür sembol haline geldi.

Çalışma sırasında piramitlerin dünya genelinde oldukça yaygın bir fenomen olduğunu belirledik.

Araştırma konusuyla ilgili popüler bilim literatürünü inceledik, "piramit" teriminin çeşitli yorumlarını inceledik, geometrik anlamda bir piramidin tabanı çokgen olan bir çokyüzlü olduğunu ve kalan yüzlerin üçgenler olduğunu belirledik. ortak köşe. Piramitlerin çeşitlerini (düzenli, kesik, dikdörtgen), elemanlarını (özet, yan yüzler, yan kenarlar, üst, yükseklik, taban, köşegen kesit) ve yan kenarları eşit olan ve yan yüzleri eğikken geometrik piramitlerin özelliklerini inceledik. taban düzlemine bir açıyla. Piramidi diğer geometrik cisimlerle (küre, koni, silindir) bağlayan teoremler dikkate alındı.

Piramidin özellikleri şunlardır:

piramidin toplam dış alanının taban alanına oranı altın orana eşit olacaktır;

altın bölümün piramidinin boyutundaki varlığı - piramidin çift tarafının yüksekliğine oranı - π sayısına çok yakın bir sayıdır, yani. Cheops piramidi, "Pi" sayısının maddi düzenlemesi olan türünün tek örneği bir anıttır;

piramidal-coğrafi bir sistemin varlığı.

çalıştık modern uygulama bu geometrik şekil. Piramidin ve hologramın nasıl bağlantılı olduğunu inceledik, piramidal formun doğada en sık bulunduğuna (bitkiler, kristaller, metan molekülleri, elmas kafesin yapısı vb.) dikkat çektik. Çalışma boyunca, piramidin özelliklerinin bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarında, insanların günlük yaşamında, bilgi analizinde, ekonomide ve daha birçok alanda kullanımını doğrulayan materyallerle karşılaştık. Ve belki de piramitlerin çok daha yüksek bir amacı olduğu ve onlar için şu anda açık olan pratik kullanımlardan daha fazlasını amaçladıkları sonucuna vardılar.

Bibliyografya.

Van der Waerden, Barthel Leendert. Uyanış Bilimi. Matematik Antik Mısır, Babil ve Yunanistan. [Metin] / B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007

Voloshinov A.V. Matematik ve Sanat. [Metin] / A.V. Voloshinov - Moskova: "Aydınlanma" 2000.

Dünya Tarihi(çocuklar için ansiklopedi). [Metin] / - M .: “Avanta +”, 1993.

hologram . [Elektronik kaynak] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - İnternetteki makale

Geometri [Metin]: Proc. 10 - 11 hücre. eğitim kurumları için L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov ve diğerleri - 22. baskı. - M.: Aydınlanma, 2013

Coppens F. Piramitlerin yeni dönemi. [Metin] / F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010

Matematiksel Ansiklopedik Sözlük. [Metin] / A.M. Prokhorov ve diğerleri - M.: Sovyet Ansiklopedisi, 1988.

Muldaşev E.R. dünya sistemi piramitler ve antik çağların anıtları bizi dünyanın sonundan kurtardı, ama ... [Metin] / E. R. Muldashev - M.: "AiF-Print"; M.: "OLMA-BASIN"; Petersburg: Neva Yayınevi; 2003.

Perelman Ya. I. Eğlenceli aritmetik. [Metin] / Ya.I. Perelman- M.: Tsentrpoligraf, 2017

Reichard G. Piramitleri. [Metin] / Hans Reichard - M.: Slovo, 1978

Terra Lexicon. Resimli ansiklopedik sözlük. [Metin] / - M.: TERRA, 1998.

Tompkins P. Büyük Keops Piramidinin Sırları. [Metin]/ Peter Tompkins. - E.: "Tsentropoligraf", 2008

Uvarov V. Piramitlerin büyülü özellikleri. [Metin] / V. Uvarov - Lenizdat, 2006.

Sharygin I.F. Geometri notu 10-11. [Metin] / I.F. Sharygin:. - M: "Aydınlanma", 2000

Yakovenko M. Piramidi anlamanın anahtarı [Elektronik kaynak] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - İnternetteki makale

Bu ders, düzenli bir üçgen piramidin ve onun özel durumu olan bir tetrahedron'un tanımını ve özelliklerini sağlar (aşağıya bakınız). Problem çözme örneklerine bağlantılar dersin sonunda verilmiştir.

Tanım

Düzenli üçgen piramit- Bu, tabanı düzenli bir üçgen olan ve üst kısmı tabanın merkezine yansıtılan bir piramittir.

Şekil şunları gösterir:
ABC- Temel piramitler
İşletim Sistemi - Yükseklik
KS - Özdeyiş
OK - tabanda yazılı dairenin yarıçapı
AO - düzenli bir üçgen piramidin tabanı etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı
SKO - piramidin tabanı ve yüzü arasındaki dihedral açı (düzenli bir piramitte eşittirler)

Önemli. Düzenli bir üçgen piramitte, kenarın uzunluğu (AS, BS, CS şeklinde) tabanın kenarının uzunluğuna eşit olmayabilir (şekil AB, AC, BC'de). Düzenli bir üçgen piramidin kenarının uzunluğu, tabanın kenarının uzunluğuna eşitse, böyle bir piramit tetrahedron olarak adlandırılır (aşağıya bakınız).

Düzenli üçgen piramidin özellikleri:

düzgün piramidin yan kenarları eşittir
düzgün bir piramidin tüm yan yüzleri ikizkenar üçgenlerdir
düzenli bir üçgen piramidin içinde, etrafına bir küreyi hem yazabilir hem de tanımlayabilirsiniz.
Düzenli bir üçgen piramidin etrafına yazılan ve çevrelenen kürelerin merkezleri çakışırsa, piramidin tepesindeki düzlem açılarının toplamı π'ye (180 derece) eşittir ve bunların her biri sırasıyla π /'ye eşittir. 3 (pi bölü 3 veya 60 derece).
düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin çarpımının yarısına ve öze eşittir.
piramidin tepesi, yazılı dairenin merkezi ve medyanların kesişme noktası olan düzenli bir eşkenar üçgenin merkezindeki tabana yansıtılır.

Düzenli üçgen piramit için formüller

Düzenli bir üçgen piramidin hacmi için formül:

V, tabanında düzenli (eşkenar) üçgen bulunan düzgün piramidin hacmidir.
h - piramidin yüksekliği
a - piramidin tabanının kenarının uzunluğu
R - çevrelenmiş dairenin yarıçapı
r - yazılı dairenin yarıçapı

Düzenli bir üçgen piramit, düzenli bir piramidin özel bir durumu olduğundan, düzenli bir piramit için doğru olan formüller, düzenli bir üçgen piramit için de geçerlidir - düzenli bir piramit için formüllere bakın.

Problem çözme örnekleri:

dörtyüzlü

Düzenli üçgen piramidin özel bir durumu, tetrahedron.

dörtyüzlü tüm yüzlerin düzgün üçgenler olduğu düzenli bir çokyüzlüdür (düzenli üçgen piramit).

Tetrahedronda:

Tüm kenarlar eşittir
4 yüz, 4 köşe ve 6 kenar
Kenarlardaki tüm dihedral açılar ve köşelerdeki tüm trihedral açılar eşittir

Bir tetrahedronun medyanı- bu, tepe noktasını karşı yüzün medyanlarının kesişme noktasına bağlayan bir segmenttir (tepenin karşısındaki bir eşkenar üçgenin medyanları)

bimedyan tetrahedron- bu, kesişen kenarların orta noktalarını birleştiren bir segmenttir (bir tetrahedronun yüzlerinden biri olan bir üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirir)

dörtyüzlü yükseklik- bu, tepe noktasını karşı yüzün bir noktasına bağlayan ve bu yüze dik olan bir segmenttir (yani, herhangi bir yüzden çizilen yüksekliktir, ayrıca çevrelenmiş dairenin merkeziyle çakışır).

dörtyüzlü aşağıdakilere sahip özellikleri:

Bir tetrahedronun tüm medyanları ve bimedyanları bir noktada kesişir
Bu nokta, medyanları yukarıdan sayarak 3: 1 oranında böler.
Bu nokta bimedyanları ikiye böler

Video dersi 2: Piramit meydan okuması. Piramit Hacmi

Video dersi 3: Piramit meydan okuması. doğru piramit

Ders: Piramit, tabanı, yan kenarları, yüksekliği, yan yüzey; Üçgen piramit; sağ piramit

Piramit, özellikleri

Piramit- Bu, tabanında bir çokgen bulunan ve tüm yüzleri üçgenlerden oluşan üç boyutlu bir gövdedir.

Piramidin özel bir durumu, tabanında bir daire bulunan bir konidir.

Piramidin ana unsurlarını düşünün:

özlü söz piramidin tepesini yan yüzün alt kenarının ortasına bağlayan bir segmenttir. Başka bir deyişle, bu piramidin yüzünün yüksekliğidir.

Şekilde ADS, ABS, BCS, CDS üçgenlerini görebilirsiniz. İsimlere yakından bakarsanız, her üçgenin adında bir ortak harf olduğunu görebilirsiniz - S. Yani, tüm yan yüzlerin (üçgenlerin) piramidin tepesi olarak adlandırılan bir noktada birleştiği anlamına gelir.

Köşeyi tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına (üçgenler durumunda, yüksekliklerin kesişme noktasında) bağlayan OS segmenti denir. piramit yüksekliği.

Köşegen kesit, piramidin tepesinden ve tabanın köşegenlerinden birinden geçen bir düzlemdir.

Piramidin yan yüzeyi üçgenlerden oluştuğu için yan yüzeyin toplam alanını bulmak için her yüzün alanlarını bulup toplamak gerekir. Yüzlerin sayısı ve şekli, tabanda bulunan çokgenin kenarlarının şekline ve boyutuna bağlıdır.

Piramidin tepe noktası olmayan tek düzleme denir. temel piramitler.

Şekilde, tabanın bir paralelkenar olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir keyfi çokgen olabilir.

Özellikleri:

Aynı uzunlukta kenarları olan bir piramidin ilk durumunu düşünün:

Böyle bir piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabilir. Böyle bir piramidin tepesini yansıtırsanız, çıkıntısı dairenin ortasına yerleştirilecektir.
Piramidin tabanındaki açılar her yüz için aynıdır.
nerede yeterli koşul piramidin tabanının etrafında bir daire tanımlayabileceğiniz ve ayrıca tüm kenarların olduğunu varsayabileceğiniz gerçeğine farklı uzunluklar, yüzlerin her bir kenarı ile taban arasında aynı açıları düşünebiliriz.

Yan yüzler ile taban arasındaki açıların eşit olduğu bir piramit ile karşılaşırsanız, aşağıdaki özellikler doğrudur:

Tepesi tam olarak merkeze yansıtılan piramidin tabanının etrafındaki bir daireyi tanımlayabileceksiniz.
Yüksekliğin her iki yüzünü de tabana çizerseniz, bunlar eşit uzunlukta olacaktır.
Böyle bir piramidin yan yüzey alanını bulmak için tabanın çevresini bulmak ve bunu yüksekliğin yarısı ile çarpmak yeterlidir.
Sbp \u003d 0,5P veya H.
Piramit türleri.
Piramidin tabanında hangi çokgenin bulunduğuna bağlı olarak, bunlar üçgen, dörtgen vb. olabilir. Piramidin tabanında düzenli bir çokgen varsa ( eşit partiler), o zaman böyle bir piramit düzenli olarak adlandırılacaktır.

Düzenli üçgen piramit