Belirli bir düzleme ait doğrular ve noktalar. Genel konumda bir düzleme ait bir nokta ve bir doğrunun izdüşümleri. İki düzlemin karşılıklı konumu

Düz bir uçağa ait:

2) bir doğru, belirli bir düzleme ait bir noktadan geçiyorsa ve bu düzlemin bir doğrusuna paralelse, bir düzleme aittir.

Düz bir düzleme ait olmanın bu iki işaretinden aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

1) düzlem izlerle verilmişse, çizginin izleri aynı adı taşıyan düzlemin izleri üzerinde bulunuyorsa çizgi düzleme aittir;

2) Bir doğru, düzlemin bir izi ile ortak bir noktasına sahipse ve başka bir izle paralelse bir düzleme aittir.

Q düzlemini düşünün, genel pozisyon, izlerle verilmektedir (Şekil 17). NM çizgisi bu düzleme aittir, çünkü izleri aynı adı taşıyan düzlemlerin izleri üzerindedir.

Şekil 18, kesişen çizgiler t ve n tarafından tanımlanan bir düzlemi göstermektedir. Bu düzlemde uzanan bir çizgi oluşturmak için, projeksiyonlardan birini, örneğin yatay c1'i keyfi olarak çizmek ve sonra bu çizginin kesişme noktalarını düzlemin çizgileriyle ön düzleme yansıtmak yeterlidir. c2 hattının önden izdüşümü elde edilen noktalardan geçecektir.

Şekil 17 Şekil 18

Şekil 19'daki ikinci konuma göre, P düzlemine ait bir h düz çizgisi oluşturulmuştur - P düzlemi ile ortak bir N (N1, N2) noktasına sahiptir ve düzlemde uzanan düz çizgiye paraleldir - yatay iz P1.

Şekil 19 Şekil 20

Belirli bir konumun düzlemlerini ele alalım. Düz bir çizgi veya bir şekil, yatay olarak çıkıntı yapan bir düzleme aitse (Şekil 20), bu geometrik elemanların yatay izdüşümleri, düzlemin yatay izi ile çakışır.

Düz veya düz bir şekil, önden çıkıntı yapan bir düzleme aitse, bu geometrik elemanların önden izdüşümleri, düzlemin ön izi ile çakışır.

Düzlem noktası ait:

Bir nokta, o düzlemde bulunan bir doğruya aitse, o düzleme aittir.

Örnek: Verilen bir P düzlemi (a || b). P düzlemine ait olan B noktasının yatay izdüşümü biliniyor B noktasının ön izdüşümünü bulun (Şekil 21).

Şekil 22, 23, 24 bu soruna kısmi bir çözüm göstermektedir:

1) B1'den (B noktasının bilinen izdüşümü) herhangi bir düz çizgi çizin,

P düzleminde uzanıyor, - bunun için çizginin düzlemle ortak iki noktası olmalıdır. Onları çizimde işaretliyoruz - M1 ve K1;

2) noktaların doğrulara, yani a doğrusunda M2, b doğrusunda K2'ye ait olup olmadığına göre bu noktaların önden izdüşümlerini oluşturun. Noktaların önden izdüşümlerinden düz çizginin ön izdüşümünü çizelim;

Şekil 21 Şekil 22

Düzey çizgilerinin kullanıldığı problemlerden biri, bir düzleme ait bir noktanın izdüşümlerini oluşturma problemidir. k X l izleri ile verilen düzleme ait bir D noktasının önden izdüşümü D 2 olsun (Şek. 111, a). D noktasının D1 yatay izdüşümünü bulmak gerekir.

Bir nokta, düzleme ait bir doğruya aitse, bir düzleme aittir. Problemi k X l düzleminin yatay h'sini kullanarak çözüyoruz. D 2 noktasından, bildiğiniz gibi, x ekseni 12'ye paralel olması gereken bu yatayın h 2 ön projeksiyonunu çiziyoruz (Şekil 111 b). Ön iz k'nin ön izdüşümünü k 2 N 2 noktasına kesecektir; dikey bir iletişim hattı çizdikten sonra, x 12 projeksiyon ekseninde, yatayın ön izinin N yatay izdüşümünü buluyoruz (bkz. Şekil 108).

TBegin-->TEnd-->

Yatayın yatay izdüşümü h 1, l 1'e paralel olmalıdır, üzerinde D noktasının yatay izdüşümünü D 1 bulacağız. yatay izdüşüm h 1 D noktasından geçen dikey çizgi ile kesişme noktasında yatay.

Bu sorun da cephe yardımı ile çözülebilir. Bu durumda, D 2 noktasından f 2 ||k 2 önden bir izdüşüm çizmek gerekli olacaktır. Öğrencileri kendi başlarına inşa etmeye teşvik ediyoruz. Sonuç, ilk yapı ile aynı olmalıdır.

Problemin şartlarını biraz değiştirelim. E noktasının E 1 yatay izdüşümü ve üçgenin izdüşümleriyle tanımlanan ABC düzlemi (Şekil 112, a) verilsin.Bu problemde, önden izdüşüm olmadığı için düzlemin yatayı kullanılamaz. E noktasının ön f'sini uygularız; E 1 noktasından yatay bir izdüşüm çiziyoruz (önden x, ön izdüşümünü l2 ve üzerinde E 1 noktasını buluyoruz.

Düzlemde bir nokta, sadece yatay ve ön yardımıyla değil, aynı zamanda genel konumda düz bir çizgi yardımıyla da oluşturulabilir. Bazı durumlarda, daha da uygundur.

Başlangıç-->
Eğilim-->

Bir düzleme ait genel konumda bir çizginin genel konumunda oluşturulması, düzleme ait kontur çizgilerinin ve alınların oluşturulmasından temel olarak farklı değildir. Yapı, geometriden bilinen bir konuma dayanmaktadır: bir doğru, bu düzlemle iki ortak noktası varsa, bir düzleme aittir. Böylece, düzlemin izdüşümlerinden birini rastgele bir çizgiyle kesersek ve çizginin ikinci izdüşümünü oluşturmak için bu çizginin iki kesişim noktasını düzleme ait çizgilerle kullanırsak, sorunu çözebiliriz. Örneğin, önceki problemi genel konumda düz bir çizgi kullanarak çözeceğiz (Şekil 112, b). E 1 noktasından herhangi bir eğimin D 1 F 1 düz çizgisini çiziyoruz; D 1 ve F 1 kesişim noktalarını kullanarak DF çizgisinin D 2 F 2 ön izdüşümünü bulun . Önden projeksiyon D 2 F 2'nin dikey bir iletişim hattıyla kesiştiği noktada, E noktasının E 1 ön projeksiyonunu buluyoruz.

bugünün programı : Animal Planet, Bloomberg, Channel 3, CNN, Acara TV, Klasik Spor, İnanılmaz Yaşam, AB Moteurs Luxe HD, Jetix, Jetix Play, Mezzo, HD Sinema, Discovery Channel, MCM, MGM, HD Life, Discovery Science.

Tanım. Ortak noktaları yoksa (ve || ) bir doğru ve bir düzlem paralel olarak adlandırılır.

Düz bir çizgi ve bir düzlemin paralellik işareti.

Teorem. Belirli bir düzlemde yer almayan bir doğru, bu düzlemde bulunan bir doğruya paralel ise, o zaman düzlemin kendisine paraleldir.

Bulgular.

Düz bir çizgi ve bir düzlemin karşılıklı düzenlenmesi durumları:

A) çizgi bir düzlemde uzanır;
b) bir doğru ve bir düzlemin yalnızca bir ortak noktası vardır;
c) doğru ve düzlemin tek bir ortak noktası yoktur.

Uçakların karşılıklı düzenlenmesi durumları:

Paralel düzlemlerin özellikleri:

"Konu 3" konulu görevler ve testler "Düz bir çizgi ve bir düzlemin paralelliği; paralel düzlemler.

  • Düzlem paralellik

    Dersler: 1 Ödevler: 8 Testler: 1

  • Doğru, doğru ve düzlemin paralelliği - Düz çizgilerin ve düzlemlerin paralelliği 10. sınıf
  • İki çizginin paralellik belirtileri. Paralel doğruların aksiyomu - Paralel çizgiler 7. Sınıf

    Dersler: 2 Ödevler: 11 Testler: 1

  • Uzayda çizgilerin karşılıklı düzenlenmesi. çizgiler arasındaki açı - Düz çizgilerin ve düzlemlerin paralelliği 10. sınıf

    Dersler: 1 Ödevler: 9 Testler: 1

  • Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği - Doğruların ve düzlemlerin dikliği 10. sınıf

    Dersler: 1 Ödev: 10 Kısa Sınav: 1

"Stereometri aksiyomları" teması oynuyor önemli rol mekansal temsillerin geliştirilmesinde, daha fazla model (karton ve örgü şişleri), çizimler dahil etmeye çalışın.

"Uzayda paralellik" konusu, uzayda doğru ve düzlemlerin paralelliği hakkında bilgi sağlar. AT bu materyal Doğruların paralelliği hakkında planimetriden bilinen bilgiler genelleştirilir. Belirli bir çizgiye paralel bir çizginin varlığı ve benzersizliği üzerine teorem örneğini kullanarak, bu durumlarda planimetriden bilinen gerçekleri yeniden kanıtlama ihtiyacı hakkında bir fikir edinirsiniz. Konuşuyoruz belirli bir düzlem hakkında değil, uzayın noktaları ve çizgileri hakkında.

İspat problemleri birçok durumda ispat teoremlerine benzetilerek çözülür. Parça uzunluklarını hesaplama problemlerini çözmek için, planimetri sürecini tekrarlamak gerekir: üçgenlerin eşitliği ve benzerliği, bir dikdörtgenin tanımları, özellikleri ve işaretleri, paralelkenar, eşkenar dörtgen, kare, yamuk.

Uçağın uzaydaki konumu şu şekilde belirlenir:

  • bir düz çizgi üzerinde olmayan üç nokta;
  • düz bir çizgi ve düz çizginin dışında alınan bir nokta;
  • kesişen iki çizgi;
  • iki paralel çizgi;
  • düz şekil.

Buna göre, düzlem şemada ayarlanabilir:

  • bir düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktanın izdüşümleri (Şekil 3.1, a);
  • bir noktanın ve bir doğrunun izdüşümleri (Şekil 3.1, b);
  • kesişen iki çizginin izdüşümleri (Şekil 3.1, c);
  • iki paralel çizginin izdüşümleri (Şekil 3.1, d);
  • düz bir şekil (Şekil 3.1, e);
  • uçak izleri;
  • düzlemin en büyük eğiminin çizgisi.

Şekil 3.1 - Düzlem belirleme yöntemleri

Genel pozisyonda uçak projeksiyon düzlemlerinden herhangi birine ne paralel ne de dik olan bir düzlemdir.

uçağı takip etmek verilen bir düzlemin izdüşüm düzlemlerinden biriyle kesişmesi sonucu elde edilen düz çizgiye denir.

Genel bir düzlemde üç iz bulunabilir: yatay – απ 1 , önden – απ 2 ve profil – απ 3 bilinen projeksiyon düzlemleriyle kesişirken oluşturduğu: yatay π 1 , ön π 2 ve profil π 3 (Şekil 3.2).

Şekil 3.2 - Genel konumdaki bir düzlemin izleri

3.2. Özel pozisyon uçakları

Özel pozisyon uçağı- projeksiyon düzlemine dik veya paralel bir düzlem.

İzdüşüm düzlemine dik olan düzleme izdüşüm düzlemi denir ve bu düzlem üzerine düz bir çizgi şeklinde izdüşümü yapılır.

Projeksiyon düzlemi özelliği: çıkıntı yapan düzleme ait tüm noktalar, çizgiler, düz şekiller, düzlemin eğik izinde izdüşümlere sahiptir.(Şekil 3.3).

Şekil 3.3 - Ait oldukları önden çıkıntı yapan düzlem: noktalar ANCAK, AT, İle; çizgiler AC, AB, Güneş; üçgen düzlem ABC

Önden projeksiyon düzlemi – önden izdüşüm düzlemine dik düzlem(Şekil 3.4, a).

Yatay projeksiyon düzlemi – yatay izdüşüm düzlemine dik düzlem(Şekil 3.4, b).

Profil yansıtma düzlemi – çıkıntıların profil düzlemine dik düzlem.

İzdüşüm düzlemlerine paralel düzlemlere denir. seviye uçakları veya iki kat çıkıntı yapan uçaklar.

Ön seviye düzlemi – önden projeksiyon düzlemine paralel düzlem(Şekil 3.4, c).

yatay seviye düzlemi – yatay izdüşüm düzlemine paralel düzlem(Şekil 3.4, d).

Düzey profil düzlemi – profil projeksiyon düzlemine paralel düzlem(Şekil 3.4, e).

Şekil 3.4 - Belirli konumdaki düzlemlerin çizimleri

3.3. Düzlemde nokta ve çizgi. Bir noktaya ve düz bir düzleme ait olma

Bir nokta, o düzlemde bulunan herhangi bir doğruya aitse, o düzleme aittir.(Şekil 3.5).

Bir doğru, düzlemle en az iki ortak noktası varsa düzleme aittir.(Şekil 3.6).

Şekil 3.5 - Düzlemdeki bir noktaya ait olma

α = m // n

D∈ n⇒ D∈ α

Şekil 3.6 - Düz bir düzleme ait olma

Bir egzersiz

Bir dörtgen tarafından tanımlanan bir düzlem verildi (Şekil 3.7, a). Köşenin yatay izdüşümünü tamamlamak gerekir İle.
a b

Şekil 3.7 - Sorunun çözümü

Karar :

  1. ABCD bir düzlemi tanımlayan düz bir dörtgendir.
  2. İçine köşegenler çizelim AC ve BD(Şekil 3.7, b) kesişen ve aynı düzlemi tanımlayan doğrulardır.
  3. Kesişen çizgiler kriterine göre, bu çizgilerin kesişme noktasının yatay bir izdüşümünü oluşturuyoruz - K bilinen ön projeksiyonuna göre: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
  4. Hattı geri yükleyelim projeksiyon bağlantısıçizginin yatay izdüşümü ile kesişme noktasına BD: diyagonal izdüşümde B 1 D 1 bina İle 1 .
  5. Vasıtasıyla ANCAK 1 İle 1 köşegenin projeksiyonunu gerçekleştiriyoruz ANCAK 1 İle 1 .
  6. nokta İle 1, uzatılmış diyagonalin yatay izdüşümü ile kesişene kadar izdüşüm bağlantı hattını elde ederiz. ANCAK 1 İle 1 .

3.4. Uçağın ana hatları

Düzlemde sonsuz sayıda çizgi oluşturulabilir, ancak düzlemde uzanan özel çizgiler vardır. uçağın ana hatları (Şekil 3.8 - 3.11).

Düz seviye veya düzlem paralel belirli bir düzlemde uzanan ve izdüşüm düzlemlerinden birine paralel olan düz bir çizgiye denir.

yatay veya yatay seviye çizgisi h(ilk paralel) belirli bir düzlemde uzanan ve yatay projeksiyon düzlemine paralel olan düz bir çizgidir (π 1)(Şekil 3.8, a; 3.9).

önden veya ön düz seviye f(ikinci paralel), belirli bir düzlemde uzanan ve ön projeksiyon düzlemine paralel olan düz bir çizgidir (π 2)(Şekil 3.8, b; 3.10).

Seviye profil çizgisi p(üçüncü paralel), belirli bir düzlemde uzanan ve çıkıntıların profil düzlemine paralel olan düz bir çizgidir (π 3)(Şekil 3.8, c; 3.11).

Şekil 3.8 a - Üçgenin verdiği düzlemdeki seviyenin yatay düz çizgisi


Şekil 3.8 b - Üçgenin verdiği düzlemde seviyenin ön çizgisi


Şekil 3.8 c - Üçgen tarafından belirtilen düzlemde seviye profil çizgisi


Şekil 3.9 - İzlerle belirtilen düzlemdeki seviyenin yatay düz çizgisi

Şekil 3.10 - İzlerle belirtilen düzlemde ön seviye çizgisi

Şekil 3.11 - İzlerle belirtilen düzlemde seviye profil çizgisi

3.5. Düz bir çizginin ve bir düzlemin karşılıklı konumu

Belirli bir düzleme göre düz bir çizgi paralel olabilir ve onunla ortak bir noktaya sahip olabilir, yani kesişebilir.

3.5.1. Düz bir düzlemin paralelliği

Düz bir düzlemin paralellik işareti: bir doğru, o düzlemdeki herhangi bir doğruya paralel ise, o düzleme paraleldir.(Şekil 3.12).


Şekil 3.12 - Düz bir düzlemin paralelliği

3.5.2. Bir doğrunun bir düzlemle kesişimi

Düz bir çizginin genel konum düzlemi ile kesişme noktasını oluşturmak için (Şekil 3.13) aşağıdakiler gereklidir:

  1. Düz bir çizgiyi sonlandır a yardımcı düzleme β (yardımcı bir düzlem olarak, kısmi konumlu düzlemler seçilmelidir);
  2. Verilen α düzlemi ile β yardımcı düzleminin kesişim doğrusunu bulun;
  3. Belirli bir doğrunun kesişme noktasını bulun a düzlemlerin kesiştiği bir çizgi ile MN.

Şekil 3.13 - Düz bir çizginin bir düzlemle buluşma noktasının oluşturulması

Bir egzersiz

Verilen: doğrudan AB genel konumda, düzlem σ⊥π 1 . (Şekil 3.14). Bir çizginin kesişme noktası oluşturun ABσ düzlemi ile.

Karar :

  1. σ düzlemi yatay olarak çıkıntı yapmaktadır, bu nedenle, σ düzleminin yatay izdüşümü, σ1 düz çizgisidir (düzlemin yatay izi);
  2. Nokta İleçizgiye ait olmalı AB ⇒ İle 1 ∈ANCAK 1 AT 1 ve verilen bir düzlem σ ⇒ İle 1 ∈σ 1, bu nedenle, İle 1, projeksiyonların kesişme noktasında ANCAK 1 AT 1 ve σ 1 ;
  3. Önden projeksiyon noktası İle projeksiyon bağlantı hattı aracılığıyla buluyoruz: İle 2 ∈ANCAK 2 AT 2 .

Şekil 3.14 - Genel konumdaki bir doğrunun belirli konumdaki bir düzlemle kesişimi

Bir egzersiz

Verilen: düzlem σ = Δ ABC– genel konum, düz EF(Şekil 3.15).

Bir çizginin kesişme noktası oluşturmak için gereklidir EFσ düzlemi ile.
a b

Şekil 3.15 - Düz bir doğrunun bir düzlemle kesişimi

  1. Düz bir çizgi bitirelim EF yatay olarak çıkıntı yapan α düzlemini kullanacağımız yardımcı düzleme (Şekil 3.15, a);
  2. α⊥π 1 ise, o zaman π 1 projeksiyonları düzlemi üzerine α düzlemi düz bir çizgiye (απ 1 veya α 1 düzleminin yatay izi) denk gelir. E 1 F 1 ;
  3. Çıkıntı yapan α düzleminin σ düzlemi ile kesişim çizgisini (1-2) bulalım (böyle bir problemin çözümü ele alınacaktır);
  4. Hat (1-2) ve verilen hat EF aynı α düzleminde uzanır ve bir noktada kesişir K.

Problemi çözmek için algoritma (Şekil 3.15, b):

Vasıtasıyla EF bir yardımcı düzlem α çizin:

3.6. Rakip noktalar yöntemiyle görünürlüğün belirlenmesi

Bu düz çizginin konumunu değerlendirirken, - izdüşüm düzlemine bakarken, düz çizginin hangi bölümünün gözlemciler olarak bize daha yakın (daha fazla) yerleştirildiğini belirlemek gerekir π 1 veya π 2 .

Farklı nesnelere ait olan ve izdüşüm düzlemlerinden birinde onların izdüşümlerinin çakıştığı noktalara (yani, iki nokta bire yansıtılır), bu izdüşüm düzleminde rekabet denir..

Görünürlüğü her bir projeksiyon düzleminde ayrı ayrı tanımlamak gerekir.

π 2'de görünürlük (Şekil 3.15)

π 2 - puan 3 ve 4 üzerinde rekabet eden noktaları seçiyoruz. Nokta 3∈ olsun. BC∈σ, nokta 4∈ EF.

π 2 izdüşüm düzlemi üzerindeki noktaların görünürlüğünü belirlemek için, π 2'ye bakıldığında bu noktaların yatay izdüşüm düzlemi üzerindeki konumlarını belirlemek gerekir.

π 2'ye bakma yönü bir okla gösterilmiştir.

3 ve 4 noktalarının yatay izdüşümlerinden, π 2'ye bakıldığında, 4 1 noktasının gözlemciye 3 1'den daha yakın olduğu görülebilir.

4 1 ∈E 1 F 1 ⇒ 4∈EF⇒ 4. nokta, çizgi üzerinde uzanan π 2 üzerinde görünür olacaktır. EF, dolayısıyla düz çizgi EF kabul edilen rakip noktaların sitesinde, σ düzleminin önünde bulunur ve noktaya kadar görünür olacaktır. K

π 1'de görünürlük

Görünürlüğü belirlemek için π 1 - puan 2 ve 5 üzerinde rekabet eden noktaları seçiyoruz.

π 1 izdüşüm düzlemi üzerindeki noktaların görünürlüğünü belirlemek için, π 1'e bakıldığında bu noktaların ön izdüşüm düzlemi üzerindeki yerlerini belirlemek gerekir.

π 1'e bakma yönü bir okla gösterilmiştir.

2 ve 5 noktalarının önden izdüşümlerinden π 1'e bakıldığında, 2 2 noktasının gözlemciye 5 2'den daha yakın olduğu görülebilir.

2 1 ∈ANCAK 2 AT 2 ⇒ 2∈AB⇒ 2. nokta, π 1 üzerinde, çizginin üzerinde görünecek AB, dolayısıyla düz çizgi EF kabul edilen rekabet noktalarının bölümünde σ düzleminin altında bulunur ve noktaya kadar görünmez olacaktır. K düz çizginin σ düzlemi ile kesişme noktalarıdır.

Rakip iki noktanın görüneni, daha büyük "Z" veya (ve) "Y" koordinatına sahip olan olacaktır.

3.7. Düz bir düzlemin dikliği

Düz bir düzlemin dikliğinin işareti: Bir doğru, verilen düzlemde bulunan kesişen iki doğruya dik ise, bir düzleme diktir.
a b

Şekil 3.16 - Düz bir çizgi belirleme, düzleme dik

Teorem. Düz çizgi düzleme dik ise, o zaman şemada: düz çizginin yatay izdüşümü, düzlemin yatay izdüşümüne diktir ve düz çizginin ön izdüşümü, ön cephenin ön izdüşümüne diktir. (Şekil 3.16, b)

Teorem, izdüşüm teoremi ile kanıtlanmıştır. dik açıözel bir durumda.

Düzlem izlerle verilmişse, düzleme dik olan düz bir çizginin izdüşümleri düzlemin karşılık gelen izlerine diktir (Şekil 3.16, a).

çizgiye izin ver p düzleme dik σ=Δ ABC ve noktadan geçer K.

  1. σ=Δ düzleminde bir yatay ve bir cephe oluşturalım ABC : A-1∈σ; A-1//π 1 ; C-2∈σ; C-2//π 2 .
  2. Noktadan geri yükle K verilen düzleme dik: p1⊥h1 ve p2⊥f2, veya p1⊥απ 1 ve p2⊥απ 2

3.8. İki düzlemin karşılıklı konumu

3.8.1. Düzlem paralellik

İki düzlem birbirine paralel ve kesişebilir.

İki düzlemin paralellik işareti: Bir düzlemin kesişen iki çizgisi, diğer düzlemin kesişen iki çizgisine sırasıyla paralel ise, iki düzlem karşılıklı olarak paraleldir.

Bir egzersiz

α=Δ genel konumunda bir düzlem verildiğinde ABC ve nokta F∉α (Şekil 3.17).

nokta aracılığıyla F bir β düzlemi çizin, düzleme paralel α.

Şekil 3.17 - Verilen bir düzleme paralel bir düzlemin inşası

Karar :

α düzleminin kesişen çizgileri olarak, örneğin AB ve BC üçgeninin kenarlarını alıyoruz.

  1. nokta aracılığıyla F düz bir çizgi çiz m, paralel, örneğin, AB.
  2. nokta aracılığıyla F veya ait olduğu herhangi bir noktadan m, düz bir çizgi çiz n, paralel, örneğin, Güneş, dahası m∩n=F.
  3. β = m∩n ve tanım gereği β//α.

3.8.2. Düzlem kavşağı

2 düzlemin kesişmesinin sonucu düz bir çizgidir. Bir düzlemdeki veya uzaydaki herhangi bir düz çizgi, iki nokta ile benzersiz bir şekilde tanımlanabilir. Bu nedenle, iki düzlemin kesiştiği bir çizgi oluşturmak için, her iki düzlemde ortak olan iki nokta bulunmalı ve sonra birleştirilmelidir.

Bunları belirtmenin farklı yolları ile iki düzlemin kesişim örneklerini düşünün: izler; bir düz çizgi üzerinde olmayan üç nokta; paralel çizgiler; kesişen çizgiler vb.

Bir egzersiz

İki düzlem α ve β izlerle verilmiştir (Şekil 3.18). Düzlemlerin kesiştiği bir çizgi oluşturun.

Şekil 3.18 - İzlerle verilen genel konumdaki düzlemlerin kesişimi

Düzlemlerin kesişme çizgisi oluşturma prosedürü:

  1. Yatay izlerin kesişme noktasını bulun - nokta budur M(onun projeksiyonları M 1 ve M 2 , iken M 1 =M, çünkü M -π 1) düzlemine ait belirli bir konumdaki nokta.
  2. Ön izlerin kesişme noktasını bulun - bu nokta N(onun projeksiyonları N 1 ve N 2 , iken N 2 = N, çünkü N-π 2) düzlemine ait belirli bir konumdaki nokta.
  3. Elde edilen noktaların izdüşümlerini aynı ada bağlayarak düzlemlerin bir kesişme çizgisi oluşturun: M 1 N 1 ve M 2 N 2 .

MN- uçakların kesişme çizgisi.

Bir egzersiz

Düzlem σ = Δ ABCα düzlemi yatay olarak çıkıntı yapıyor (α⊥π 1) ⇒α 1 düzlemin yatay izidir (Şekil 3.19).

Bu düzlemlerin kesişim çizgisini oluşturun.

Karar :

α düzlemi kenarları kestiği için AB ve ACüçgen ABC, sonra kesişme noktaları K ve Lα düzlemi ile bu kenarların her ikisi de verilen düzlemler için ortaktır, bu da onları bağlayarak gerekli kesişim çizgisini bulmasını sağlar.

Noktalar, çıkıntı yapan bir düzlemle çizgilerin kesişme noktaları olarak bulunabilir: noktaların yatay izdüşümlerini bulun K ve L, yani K 1 ve L 1 , verilen düzlemin α'nın yatay izinin (α 1) kesiştiği noktada, Δ kenarlarının yatay izdüşümleri ile ABC: ANCAK 1 AT 1 ve A 1 C 1 . Ardından, projeksiyon bağlantısının çizgilerini kullanarak bu noktaların önden projeksiyonlarını buluyoruz. K2 ve L 2 düz çizgilerin önden izdüşümlerinde AB ve AC. Aynı isimdeki projeksiyonları birleştirelim: K 1 ve L 1 ; K2 ve L 2. Verilen düzlemlerin kesişme çizgisi oluşturulur.

Problemi çözmek için algoritma:

KL– kesişme çizgisi Δ ABC ve σ (α∩σ = KL).

Şekil 3.19 - Genel ve özel konumdaki düzlemlerin kesişimi

Bir egzersiz

Verilen düzlemler α = m//n ve düzlem β = Δ ABC(Şekil 3.20).

Verilen düzlemlerin kesişim çizgisini oluşturun.

Karar :

  1. Verilen her iki düzlem için ortak noktaları bulmak ve α ve β düzlemlerinin kesişim çizgisini tanımlamak için, belirli konumdaki yardımcı düzlemleri kullanmak gerekir.
  2. Bu tür düzlemler olarak, belirli bir konuma sahip iki yardımcı düzlem seçiyoruz, örneğin: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
  3. Yeni tanıtılan düzlemler, verilen α ve β düzlemlerinin her biri ile birbirine paralel düz çizgiler boyunca kesişir, çünkü σ // τ:

- α, σ ve τ düzlemlerinin kesişiminin sonucu düz çizgiler (4-5) ve (6-7);

- β, σ ve τ düzlemlerinin kesişiminin sonucu (3-2) ve (1-8) doğrularıdır.

  1. Düz çizgiler (4-5) ve (3-2) σ düzleminde uzanır; kesişme noktası M aynı anda α ve β düzlemlerinde, yani bu düzlemlerin kesişme çizgisinde bulunur;
  2. Benzer şekilde, noktayı buluyoruz N, α ve β düzlemleri için ortaktır.
  3. Noktaları birleştirerek M ve Nα ve β düzlemlerinin kesişim çizgisini oluşturuyoruz.

Şekil 3.20 - Genel konumda iki düzlemin kesişimi (genel durum)

Problemi çözmek için algoritma:

Bir egzersiz

α = Δ düzlemleri ABC ve β = a//b. Verilen düzlemlerin kesişim çizgisini oluşturun (Şekil 3.21).

Şekil 3.21 Düzlemlerin kesişimi için problem çözme

Karar :

Özel konumun yardımcı sekant düzlemlerini kullanalım. Bunları inşaat sayısını azaltacak şekilde tanıtıyoruz. Örneğin, doğruyu çevreleyen σ⊥π 2 düzlemini tanıtalım a yardımcı düzleme σ (σ∈ a). σ düzlemi, α ​​düzlemini düz çizgi (1-2) boyunca keser ve σ∩β= a. Dolayısıyla (1-2)∩ a=K.

Nokta İle hem α hem de β düzlemlerine aittir.

Bu nedenle nokta K, verilen α ve β düzlemlerinin kesişim çizgisinin geçtiği istenen noktalardan biridir.

α ve β'nın kesişme çizgisine ait ikinci noktayı bulmak için çizgiyi sonuçlandırıyoruz. b yardımcı düzleme τ⊥π 2 (τ∈ b).

Noktaları birleştirerek K ve Lα ve β düzlemlerinin kesişim çizgisini elde ederiz.

3.8.3. Karşılıklı dik düzlemler

Düzlemler, eğer biri diğerine bir dik düzlemden geçiyorsa karşılıklı olarak diktir.

Bir egzersiz

Bir σ⊥π 2 düzlemi ve genel konumda bir düz çizgi verildiğinde - DE(Şekil 3.22)

Üzerinden inşa etmek için gerekli DE düzlem τ⊥σ.

Karar .

Bir dik çizelim CD düzleme σ – C 2 D 2 ⊥σ 2 ( 'ye göre).

Şekil 3.22 - Belirli bir düzleme dik bir düzlemin inşası

Dik açı izdüşüm teoremine göre C 1 D 1, projeksiyon eksenine paralel olmalıdır. Kesişen çizgiler CD∩DEτ düzlemini tanımlayın. Yani, τ⊥σ.

Benzer bir akıl yürütme, genel konumdaki bir uçak durumunda.

Bir egzersiz

Düzlem α = Δ ABC ve nokta K düzlemin dışında α.

noktasından geçen bir β⊥α düzlemi oluşturmak gerekir. K.

çözüm algoritması(Şekil 3.23):

  1. yatay bir yapı oluşturalım h ve önden f belirli bir düzlemde α = Δ ABC;
  2. nokta aracılığıyla K bir dik çiz bα düzlemine (göre düzlem teoremine dik: çizgi düzleme dik ise, çıkıntıları düzlemde yatan yatay ve ön cephenin eğik izdüşümlerine diktir:b2⊥f2; b1⊥h1;
  3. β düzlemini herhangi bir şekilde ayarladık, örneğin, β = a∩b, böylece verilen düzleme dik olan düzlem oluşturulur: α⊥β.

Şekil 3.23 - Verilen Δ'ye dik bir düzlemin yapımı ABC

3.9. Bağımsız çözüm için görevler

1. Düzlem α = m//n(Şekil 3.24). olduğu biliniyor K∈α.

Noktanın önden izdüşümünü çizin İle.

Şekil 3.24

2. Bir segment tarafından verilen düz bir çizginin izlerini oluşturun CB, ve içinden geçtiği kadranları belirleyin (Şekil 3.25).

Şekil 3.25

3. Köşegeni ise α⊥π 2 düzlemine ait bir karenin izdüşümlerini oluşturun MN//π 2 (Şekil 3.26).

Şekil 3.26

4. Bir dikdörtgen oluşturun ABCD daha büyük tarafı ile Güneş düz bir çizgide m, kenarlarının oranının 2 olması şartına göre (Şekil 3.27).

Şekil 3.27

5. Düzlem α= a//b(Şekil 3.28). α düzlemine paralel ve ondan 20 mm uzaklıkta bir β düzlemi oluşturun.

Şekil 3.28

6. Düzlem α=∆ ABC ve nokta D D düzlem β⊥α ve β⊥π 1 .

7. Verilen bir α=∆ düzlemi ABC ve nokta D uçaktan. Bir nokta üzerinden inşa D doğrudan DE//α ve DE//π 1 .

Bir nokta, izdüşümleri bu doğru üzerindeki aynı adlı izdüşümler üzerinde bulunuyorsa bir doğruya aittir (Şek. 21a).

Bir nokta, bu düzlemde uzanan düz bir çizgi üzerinde bulunuyorsa, bir düzleme aittir (Şekil 21b).

Düz bir doğru, bu düzlemde bulunan iki noktadan geçiyorsa, bir düzleme aittir (Şekil 21c).

Bir doğru, o düzlemdeki herhangi bir doğruya paralel ise, o düzleme paraleldir. Şekil 22, Σ: t // b Î Σ (aÇ b) düzlemine ait b düz çizgisine paralel bir t doğrusunu göstermektedir.


Şekil 22

Uzaydaki herhangi bir noktadan, verilen düzleme paralel sonsuz sayıda doğru çizmek mümkündür.

Bu, bir doğrunun ve bir düzlemin ortak noktasını belirleme görevidir. Buluşma noktası da denir. Düz bir çizginin belirli bir konumdaki bir düzlemle kesişimini düşünün.

Σ düzlemi, ABC üçgeni tarafından verilir ve yatay olarak çıkıntı yapan bir düzlemdir. k doğrusu ile Σ düzleminin buluşma noktası yatay izdüşüm tarafından belirlenir. K noktasının önden projeksiyonu bir iletişim hattı kullanılarak tamamlanır. Sembolik gösterim şöyle görünecektir: k Ç Σ (ABC) = K.

Düz bir çizginin bir uçağa göre görünürlüğü, önden rekabet eden 1 ve 2 noktaları kullanılarak belirlenir.


Şekil 23

Genel konumdaki bir düzlem ile bir çizginin kesişimi Şekil 24'te gösterilmektedir. Bu durumda çizgiyi projeksiyon düzlemine dahil etmeniz gerekir.

tО Σ ^ П 2 - düz çizgi t yatay izdüşüm düzlemine dik olan Σ düzlemine aittir. Bu düzlemin bununla kesiştiği doğru (1, 2) doğrusudur. Sonra bu doğrunun düz bir doğru ile kesişme noktasını bulun. t, hattın ve uçağın buluşma noktası olacak. Bir düzleme göre bir çizginin görünürlüğü, rekabet eden noktalar tarafından belirlenir. Yatay olarak rekabet eden 3 ve 4 noktalarını alın. Doğruya ait olan 3 noktası, 4 noktasından daha düşük olduğu için, kesişme noktasının sağındaki yatay düzlemdeki doğru görünmez. Ardından, önden rekabet eden 1 ve 5 noktalarını alıyoruz. Uçağa ait olan 1 numaralı nokta daha yakındır, bu nedenle, çizgi düzlemin arkasındadır ve 1 noktasından K noktasına ön projeksiyonda görünmez.


Şekil 24

Uçağa ait özel çizgiler, yatay, ön ve profil hattını içerir. Bu çizgilerin inşası, tanımlayıcı geometrideki birçok problemin çözümünde kullanılır. Görüntüleri Şekil 25'te verilmiştir. Ayrıca, yatay düzlemde, yatay, ön düzlemde - ön ve profil düzleminde - profil hattında doğal bir boyuta sahiptir.


Şekil 25

1. Bir düzlemin bir noktasına ve bir doğruya ait olma koşullarını formüle edin.

2. Belirli bir düzleme paralel bir doğru nasıl oluşturulur?

3. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişme noktasını belirleme problemini çözme adımlarını hatırlayın.

4. Hangi noktalara rekabet denir?

5. Düzlemde yatay ve önden nasıl çizilir?

6. Başka hangi özel düz uçakları biliyorsunuz?