En basit uzaysal figürlerden biri çokyüzlü açılardır.
Dihedral açı, onları sınırlayan ortak bir düz çizgiye sahip iki yarım düzlemin oluşturduğu bir şekildir. Yarım düzlemlere açının yüzleri denir ve ortak düz çizgiye açının kenarı denir. Bir dihedral açının dereceleri, karşılık gelen lineer açının ölçüsüdür.
Bir dihedral açının lineer açısı, dihedral açının kenarına dik olan düzlemin verilen dihedral açıyı kestiği iki yarım çizginin oluşturduğu açıdır. Dihedral açının ölçüsü, lineer açı seçimine bağlı değildir.
Üçgen açı, üç düz açıdan oluşan bir şekildir.
Üçyüzlü açının yüzleri düz açılardır, kenarlar düz açıların kenarlarıdır, üçyüzlü açının tepe noktası düz açıların ortak tepe noktasıdır.
Üçyüzlü açının yüzlerinin oluşturduğu dihedral açılara, üçyüzlü açının dihedral açıları denir.
Üç yüzlü bir açının her bir düz açısı, diğer iki düz açısının toplamından küçüktür.
Çokyüzlü, yüzeyi sınırlı sayıda düzlem çokgenden oluşan bir gövdedir.
Bir polihedronun yüzü, her düz çokgenin yüzeyidir.
Çokyüzlülerin kenarları yüzlerin kenarları, çokyüzlülerin köşeleri yüzlerin köşeleridir.
Bir polihedronun bir kenarındaki dihedral açı, verilen kenarın bulunduğu yüzleri tarafından belirlenir.
Bir dışbükey çokyüzlü, yüzeyindeki düz çokgenlerin her birinin düzleminin bir tarafında yer alan bir polihedrondur.
Dışbükey bir polihedronun her yüzü bir dışbükey çokgendir. Bir dışbükey polihedronun bir iç noktasından geçen bir düzlem onu keser ve kesit olarak bir dışbükey çokgen oluşturur.
Bu ilginç. Geometrinin bölümlerinden biri, topoloji adı verilen ayrı bir bilim oluşturdu. Figürlerin topolojik özelliklerini, yani şekillerin "kırılma ve yapıştırma olmadan" sürekli deformasyonları sırasında korunanları inceler.
Büyük matematikçi, fizikçi ve astronom Euler'in teoremi, çokyüzlülerin topolojik özelliğini formüle eder: herhangi bir dışbükey çokyüzlü için, köşelerinin sayısının ve kenarlarının sayısı hariç yüzlerinin sayısının toplamı, şuna eşittir: 2 numara.
Dihedral açı kavramı
Dihedral açı kavramını tanıtmak için önce stereometri aksiyomlarından birini hatırlayalım.
Herhangi bir düzlem, bu düzlemde yer alan $a$ doğrusunun iki yarım düzlemine bölünebilir. Bu durumda, aynı yarım düzlemde bulunan noktalar $a$ düz çizgisinin aynı tarafındadır ve farklı yarım düzlemlerde bulunan noktalar $a$ düz çizgisinin zıt taraflarındadır (Şekil 1 ).
Resim 1.
Bir dihedral açı oluşturma ilkesi bu aksiyoma dayanmaktadır.
tanım 1
rakam denir Dihedral açı bir doğru ve bu doğrunun aynı düzleme ait olmayan iki yarım düzleminden oluşuyorsa.
Bu durumda dihedral açının yarım düzlemlerine denir. yüzler, ve yarım düzlemleri ayıran düz çizgi - dihedral kenar(Şek. 1).
Şekil 2. Dihedral açı
Dihedral açının derece ölçüsü
tanım 2
Kenarda rastgele bir $A$ noktası seçiyoruz. Farklı yarım düzlemlerde uzanan, kenara dik olan ve $A$ noktasında kesişen iki doğru arasındaki açıya denir. doğrusal açı dihedral açı(Şekil 3).
Figür 3
Açıktır ki, her dihedral açının sonsuz sayıda lineer açısı vardır.
teorem 1
Bir dihedral açının tüm lineer açıları birbirine eşittir.
Kanıt.
$AOB$ ve $A_1(OB)_1$ olmak üzere iki doğrusal açıyı ele alalım (Şekil 4).
Şekil 4
$OA$ ve $(OA)_1$ ışınları aynı $\alpha $ yarı düzleminde yer aldığından ve tek bir doğruya dik olduğundan, bunlar eş yönlüdür. $OB$ ve $(OB)_1$ ışınları aynı $\beta $ yarım düzleminde yer aldığından ve tek bir doğruya dik olduğundan, bunlar eş yönlüdür. Buradan
\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]
Doğrusal açı seçiminin keyfi olması nedeniyle. Bir dihedral açının tüm lineer açıları birbirine eşittir.
Teorem kanıtlanmıştır.
tanım 3
Dihedral açının derece ölçüsü, dihedral açının lineer açısının derece ölçüsüdür.
Görev örnekleri
örnek 1
Bize $m$ doğrusu boyunca kesişen iki dik olmayan $\alpha $ ve $\beta $ düzlemi verilsin. $A$ noktası, $\beta $ düzlemine aittir. $AB$, $m$ doğrusuna diktir. $AC$, $\alpha $ düzlemine diktir ($C$ noktası $\alpha $'a aittir). $ABC$ açısının dihedral açının lineer açısı olduğunu kanıtlayın.
Kanıt.
Problemin durumuna göre bir resim çizelim (Şekil 5).
Şekil 5
Bunu kanıtlamak için aşağıdaki teoremi hatırlayalım.
Teorem 2: Eğik olanın tabanından geçen, kendisine dik olan düz bir çizgi, izdüşümüne diktir.
$AC$, $\alpha $ düzlemine bir dik olduğundan, $C$ noktası $A$ noktasının $\alpha $ düzlemine izdüşümüdür. Dolayısıyla $BC$, eğik $AB$'ın izdüşümüdür. Teorem 2'ye göre, $BC$ bir dihedral açının kenarına diktir.
Ardından, $ABC$ açısı, bir dihedral açının doğrusal açısını tanımlamak için tüm gereksinimleri karşılar.
Örnek 2
Dihedral açı $30^\circ$'dır. Yüzlerden birinde, diğer yüzden 4$ cm uzaklıkta olan $A$ noktası bulunur.$A$ noktasından dihedral açının kenarına kadar olan mesafeyi bulun.
Karar.
Şekil 5'e bakalım.
Varsayım olarak, $AC=4\ cm$'a sahibiz.
A-manastırı derece ölçüsü dihedral açı, $ABC$ açısının $30^\circ$'a eşit olduğuna sahibiz.
$ABC$ üçgeni bir dik üçgendir. Dar açının sinüsünün tanımıyla
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
\(\blacktriangleright\) Dihedral açı, iki yarım düzlemin ve bunların ortak sınırı olan düz çizginin \(a\) oluşturduğu açıdır.
\(\blacktriangleright\) \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemleri arasındaki açıyı bulmak için doğrusal açıyı bulmanız gerekir baharatlı veya Düz\(\xi\) ve \(\pi\) düzlemleri tarafından oluşturulan dihedral açının ) :
Adım 1: \(\xi\cap\pi=a\) (düzlemlerin kesişme çizgisi) olsun. \(\xi\) düzleminde rastgele bir \(F\) noktası işaretliyoruz ve \(FA\perp a\) çiziyoruz;
2. Adım: \(FG\perp \pi\) çizin;
Adım 3: TTP'ye göre (\(FG\) - dik, \(FA\) - eğik, \(AG\) - projeksiyon) elimizde: \(AG\perp a\) ;
Adım 4: \(\angle FAG\) açısına, \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemleri tarafından oluşturulan dihedral açının doğrusal açısı denir.
\(AG\) üçgeninin bir dik üçgen olduğuna dikkat edin.
Ayrıca bu şekilde oluşturulan \(AFG\) düzleminin hem \(\xi\) hem de \(\pi\) düzlemlerine dik olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, başka bir şekilde söylenebilir: düzlemler arasındaki açı\(\xi\) ve \(\pi\) kesişen iki \(c\in \xi\) ve \(b\in\pi\) arasındaki açıdır ve \(\xi\'ye dik bir düzlem oluşturur ) ve \(\pi\) .
Görev 1 #2875
Görev seviyesi: Sınavdan daha zor
Dana dörtgen piramit, tüm kenarları eşit ve tabanı bir kare. \(6\cos \alpha\) öğesini bulun, burada \(\alpha\) bitişik yan yüzleri arasındaki açıdır.
\(SABCD\), kenarları \(a\)'ya eşit olan belirli bir piramit (\(S\) bir tepe noktasıdır) olsun. Bu nedenle, tüm yan yüzler eşit eşkenar üçgenlerdir. \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki açıyı bulun.
\(CH\perp SD\) çizelim. Gibi \(\üçgen SAD=\üçgen SCD\), o zaman \(AH\) ayrıca \(\triangle SAD\) yüksekliğinde olacaktır. Bu nedenle, tanımı gereği, \(\angle AHC=\alpha\), \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki doğrusal iki yüzlü açıdır.
Taban bir kare olduğundan, o zaman \(AC=a\sqrt2\) . Ayrıca, \(CH=AH\)'nin bir kenarı \(a\) olan bir eşkenar üçgenin yüksekliği olduğuna dikkat edin, dolayısıyla \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Ardından \(\triangle AHC\) 'den gelen kosinüs teoremi ile: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Cevap: -2
Görev 2 #2876
Görev seviyesi: Sınavdan daha zor
\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, kosinüsü \(0,2\)'ye eşit olan bir açıyla kesişir. \(\pi_2\) ve \(\pi_3\) düzlemleri dik bir açıyla kesişir ve \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinin kesişme çizgisi, kesişme çizgisine paraleldir. \(\pi_2\) ve \(\ pi_3\) düzlemleri . \(\pi_1\) ve \(\pi_3\) düzlemleri arasındaki açının sinüsünü bulun.
\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) kesişim doğrusu \(a\) doğru, \(\pi_2\) ve \(\pi_3\) \(\pi_3\) doğrusu olsun \ (b\) , ve kesişme çizgisi \(\pi_3\) ve \(\pi_1\) düz çizgidir \(c\) . \(a\parallel b\) olduğundan, o zaman \(c\parallel a\parallel b\) (kuramsal referans “Uzayda geometri” \(\rightarrow\) bölümündeki teoreme göre) “Sterometriye giriş, paralellik”).
\(A\in a, B\in b\) noktalarını \(AB\perp a, AB\perp b\) olacak şekilde işaretleyin (bu mümkündür çünkü \(a\parallel b\) ). \(C\in c\) not edin, böylece \(BC\perp c\) , dolayısıyla \(BC\perp b\) . Ardından \(AC\perp c\) ve \(AC\perp a\) .
Gerçekten de, \(AB\perp b, BC\perp b\) olduğundan, o zaman \(b\) \(ABC\) düzlemine diktir. \(c\parallel a\parallel b\) olduğundan, \(a\) ve \(c\) çizgileri de \(ABC\) düzlemine diktir ve dolayısıyla bu düzlemden herhangi bir çizgi, özellikle, \ (AC\) satırı .
Bu nedenle şu şekildedir: \(\angle BAC=\açı (\pi_1, \pi_2)\), \(\açı ABC=\açı (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\açı (\pi_3, \pi_1)\). \(\üçgen ABC\)'nin dikdörtgen olduğu ortaya çıktı, yani \[\sin \açı BCA=\cos \açı BAC=0,2.\]
Cevap: 0.2
Görev 3 #2877
Görev seviyesi: Sınavdan daha zor
Bir noktada kesişen \(a, b, c\) doğruları ve bunların herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\)'ye eşittir. \(\cos^(-1)\alpha\) öğesini bulun, burada \(\alpha\), \(a\) ve \(c\) doğrularının oluşturduğu düzlem ile doğruların oluşturduğu düzlem arasındaki açıdır. \(b\ ) ve \(c\) . Cevabınızı derece cinsinden verin.
Doğrular \(O\) noktasında kesişsin. Herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\) değerine eşit olduğundan, üç çizginin tümü aynı düzlemde olamaz. \(a\) doğrusu üzerinde bir \(A\) noktası işaretleyelim ve \(AB\perp b\) ve \(AC\perp c\) çizelim. Sonra \(\üçgen AOB=\üçgen AOC\) hipotenüs ve dar açıda dikdörtgen şeklindedir. Dolayısıyla \(OB=OC\) ve \(AB=AC\) .
\(AH\perp (BOC)\) yapalım. Sonra üç dik teoremi \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) ile. \(AB=AC\) olduğundan, o zaman \(\üçgen AHB=\üçgen AHC\) hipotenüs ve bacak boyunca dikdörtgen olarak. Bu nedenle, \(HB=HC\) . Dolayısıyla, \(OH\) \(BOC\) açısının açıortayıdır (çünkü \(H\) noktası açının kenarlarından eşit uzaklıktadır).
Bu şekilde, \(a\) ve \(c\) çizgileri tarafından oluşturulan düzlem ve \(b\) ve \() tarafından oluşturulan düzlem tarafından oluşturulan dihedral açının lineer açısını da oluşturduğumuza dikkat edin. c\) . Bu açı \(ACH\) .
Bu köşeyi bulalım. \(A\) noktasını keyfi olarak seçtiğimize göre, onu \(OA=2\) olacak şekilde seçelim. Sonra dikdörtgen şeklinde \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]\(OH\) bir açıortay olduğundan, o zaman \(\angle HOC=30^\circ\) , bu nedenle, bir dikdörtgen \(\triangle HOC\) içinde: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Sonra dikdörtgenden \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Cevap: 3
Görev 4 #2910
Görev seviyesi: Sınavdan daha zor
\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, \(M\) ve \(N\) noktalarını içeren \(l\) doğrusu boyunca kesişir. \(MA\) ve \(MB\) segmentleri \(l\) doğrusuna diktir ve sırasıyla \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) ve \(MN = 15) düzlemlerinde bulunur. \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . \(3\cos\alpha\) öğesini bulun, burada \(\alpha\), \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri arasındaki açıdır.
\(AMN\) üçgeni dik açılıdır, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , buradan \ \(BMN\) üçgeni dik açılıdır, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , buradan \(AMB\) üçgeni için kosinüs teoremini yazıyoruz: \ Sonra \ Düzlemler arasındaki \(\alpha\) açısı bir dar açı olduğundan ve \(\angle AMB\) geniş olduğu ortaya çıktığından, o zaman \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Sonra \
Cevap: 1.25
Görev 5 #2911
Görev seviyesi: Sınavdan daha zor
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) paralelyüzdür, \(ABCD\) \(a\) kenarı olan bir karedir, \(M\) noktası \(A_1\) noktasından düzleme bırakılan dikmenin tabanıdır \ ((ABCD)\) , ayrıca \(M\), \(ABCD\) karesinin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. olduğu biliniyor \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Şekilde görüldüğü gibi \(AB\)'ye dik \(MN\) oluşturuyoruz.
\(ABCD\) bir kenarı \(a\) ve \(MN\perp AB\) ve \(BC\perp AB\) olan bir kare olduğundan, o zaman \(MN\parallel BC\) . \(M\) karenin köşegenlerinin kesişme noktası olduğundan, \(M\) \(AC\) 'nin orta noktasıdır, bu nedenle, \(MN\) orta hat ve \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) \(A_1N\)'nin \((ABCD)\) düzlemine izdüşümüdür ve \(MN\) \(AB\)'ye diktir, o zaman, üç dik teoremi ile \( A_1N\) \(AB \)'ye diktir ve \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açı \(\angle A_1NM\) 'dir.
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
Cevap: 60
Görev 6 #1854
Görev seviyesi: Sınavdan daha zor
\(ABCD\) karesinde : \(O\) köşegenlerin kesişme noktasıdır; \(S\) karesinin düzleminde değil, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(ABC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
Sağ üçgenler \(\triangle SAO\) ve \(\triangle SDO\) iki kenarda eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\)) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , çünkü \(O\) karenin köşegenlerinin kesişme noktasıdır, \(SO\) ortak kenardır) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\üçgen ASD\) ikizkenardır. \(K\) noktası \(AD\)'nin orta noktasıdır, o zaman \(SK\) \(\triangle ASD\) üçgenindeki yükseklik ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\) \(ASD\) ve \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) düzlemlerine diktir gerekli dihedral açıya
\(\üçgen SKO\) içinde : \(Tamam = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\üçgen SOK\) ikizkenardır sağ üçgen\(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .
Cevap: 45
Görev 7 #1855
Görev seviyesi: Sınavdan daha zor
\(ABCD\) karesinde : \(O\) köşegenlerin kesişme noktasıdır; \(S\) karesinin düzleminde değil, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(BSC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
\(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ve \(\triangle SOC\) dik üçgenleri iki kenarda eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC) \) \(\Sağ ok\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , çünkü \(O\) karenin köşegenlerinin kesişme noktasıdır, \(SO\) ortak kenardır) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) ve \(\triangle BSC\) ikizkenardır. \(K\) noktası \(AD\)'nin orta noktasıdır, o zaman \(SK\) \(\triangle ASD\) üçgenindeki yükseklik ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) \(SOK\) düzlemi \(ASD\) düzlemine diktir. \(L\) noktası \(BC\)'nin orta noktasıdır, o zaman \(SL\) \(\triangle BSC\) üçgenindeki yükseklik ve \(OL\) üçgendeki yüksekliktir \ (BOC\) \(\ Rightarrow\) \(SOL\) düzlemi (diğer adıyla \(SOK\) düzlemi) \(BSC\) düzlemine diktir. Böylece, \(\angle KSL\)'nin istenen dihedral açıya eşit doğrusal bir açı olduğunu elde ederiz.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilen eşit ikizkenar üçgenlerdeki yükseklikler: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Görülebilir ki \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) bir üçgen için \(\triangle KSL\) ters Pisagor teoremi tutar \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) bir dik üçgendir \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ çevre\) .
Cevap: 90
Öğrencileri matematikte sınava hazırlamak, kural olarak, düzlemler arasındaki açıyı belirlemenize izin verenler de dahil olmak üzere temel formüllerin tekrarı ile başlar. Geometrinin bu bölümünün ayrıntılı bir şekilde ele alınmasına rağmen, Okul müfredatı, birçok mezunun temel materyali tekrar etmesi gerekiyor. Düzlemler arasındaki açıyı nasıl bulacağını anlayan lise öğrencileri, problem çözme sürecinde doğru cevabı hızlı bir şekilde hesaplayabilecek ve birleşik devlet sınavı temelinde iyi puanlar alacağına güvenebilecekler.
Ana nüanslar
Dihedral açının nasıl bulunacağı sorusunun zorluk çekmemesi için, sınavın görevleriyle başa çıkmanıza yardımcı olacak çözüm algoritmasını takip etmenizi öneririz.
İlk önce, uçakların kesiştiği çizgiyi belirlemeniz gerekir.
Sonra bu çizgide bir nokta seçmeniz ve ona iki dik çizmeniz gerekir.
Bir sonraki adım bulmak trigonometrik fonksiyon dik açılardan oluşan dihedral açı. Bunu, köşenin bir parçası olduğu ortaya çıkan üçgenin yardımıyla yapmak en uygunudur.
Cevap, açının değeri veya trigonometrik fonksiyonu olacaktır.
Shkolkovo ile birlikte sınav testine hazırlık, başarınızın anahtarıdır
Bir gün önce ders sırasında sınavı geçmek birçok öğrenci, 2 düzlem arasındaki açıyı hesaplamanıza izin veren tanımları ve formülleri bulma sorunuyla karşı karşıyadır. Bir okul ders kitabı, tam olarak ihtiyaç duyulduğunda her zaman elinizin altında değildir. İnternette uçaklar arasındaki açıyı çevrimiçi bulmak da dahil olmak üzere, doğru uygulamalarının gerekli formüllerini ve örneklerini bulmak için bazen çok zaman harcamanız gerekir.
Matematik portalı "Shkolkovo" teklifleri yeni yaklaşım devlet sınavına hazırlanmak için. Web sitemizdeki dersler, öğrencilerin kendileri için en zor bölümleri belirlemelerine ve bilgi boşluklarını doldurmalarına yardımcı olacaktır.
Hepsini hazırladık ve açıkça belirttik gerekli malzeme. Temel tanımlar ve formüller "Teorik Referans" bölümünde sunulmuştur.
Malzemeyi daha iyi özümsemek için ilgili alıştırmaları da yapmanızı öneririz. Katalog bölümünde, örneğin açık, değişen derecelerde karmaşıklık içeren çok sayıda görev sunulmaktadır. Tüm görevler, doğru cevabı bulmak için ayrıntılı bir algoritma içerir. Sitedeki egzersizlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.
İki düzlem arasındaki açıyı bulmanın gerekli olduğu problemlerin çözümünde pratik yapan öğrenciler, herhangi bir görevi çevrimiçi olarak "Favoriler" e kaydetme şansına sahip olurlar. Bu sayede gerekli sayıda geri dönebilecekler ve kararının gidişatını onlarla tartışabilecekler. okul öğretmeni ya da bir öğretmen.
Sunumların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
ÇİFT AÇI Matematik öğretmeni GOU orta okulu №10 Eremenko M.A.
Dersin ana hedefleri: Dihedral açı kavramını ve doğrusal açısını tanıtmak Bu kavramların uygulanması için görevleri düşünün
Tanım: Dihedral açı, ortak bir sınır çizgisine sahip iki yarım düzlemin oluşturduğu bir şekildir.
Bir dihedral açının değeri, onun lineer açısının değeridir. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB, ACD B dihedral açısının doğrusal açısıdır
Dihedral açının tüm lineer açılarının birbirine eşit olduğunu ispatlayalım. İki doğrusal açıyı AOB ve A 1 OB 1 ele alalım. OA ve OA 1 ışınları aynı yüzde uzanır ve OO 1'e diktir, dolayısıyla birlikte yönlendirilirler. OB ve OB 1 ışınları da birlikte yönlendirilir. Bu nedenle, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (eş yönlü kenarları olan açılar olarak).
Dihedral açılara örnekler:
Tanım: Kesişen iki düzlem arasındaki açı, bu düzlemlerin oluşturduğu dihedral açıların en küçüğüdür.
Görev 1: A ... D 1 küpünde ABC ve CDD 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevap: 90o.
Görev 2: A ... D 1 küpünde ABC ve CDA 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevap: 45o.
Görev 3: A ... D 1 küpünde ABC ve BDD 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevap: 90o.
Görev 4: A ... D 1 küpünde ACC 1 ve BDD 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevap: 90o.
Görev 5: A ... D 1 küpünde BC 1 D ve BA 1 D düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Çözüm: O, B D'nin orta noktası olsun. A 1 OC 1, A 1 B D C 1 dihedral açısının doğrusal açısıdır.
Problem 6: Dört yüzlü DABC'de tüm kenarlar eşittir, M noktası AC kenarının orta noktasıdır. ∠ DMB'nin BACD dihedral açısının lineer açısı olduğunu kanıtlayın.
Karar: ABC üçgenleri ve ADC düzenlidir, dolayısıyla BM ⊥ AC ve DM ⊥ AC ve dolayısıyla ∠ DMB, DACB dihedral açısının lineer açısıdır.
Görev 7: AC tarafı α düzleminde bulunan ABC üçgeninin B köşesinden, bu düzleme dik bir BB 1 çizilir. AB=2, ∠BAC=150 0 ve BACB 1 dihedral açısı 45 0 ise, B noktasından AC doğrusuna ve α düzlemine olan mesafeyi bulun.
Çözüm: ABC, A açısı geniş olan bir geniş üçgendir, dolayısıyla BK yüksekliğinin tabanı AC kenarının uzantısı üzerindedir. VC, B noktasından AC'ye olan mesafedir. BB 1 - B noktasından α düzlemine olan mesafe
2) AS ⊥VK olduğundan, AS⊥KV 1 (teoreme göre, converse teoremi yaklaşık üç dik). Bu nedenle, ∠VKV 1, BACB 1 dihedral açısının lineer açısıdır ve ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK günah 45 0, VV 1 \u003d
stereometri
9. Bölüm
9.8. Dihedral açı ve lineer açısı
Bir düzlem, içinde uzanan düz bir çizgi ile iki yarım düzleme bölünür.
tanım 1
Bir düz çizgiden çıkan iki yarım düzlemin, uzayın bu yarım düzlemlerle sınırlanan kısmıyla oluşturduğu şekle dihedral açı denir. Yarım düzlemlere yüzler denir ve bunların ortak düz çizgisine bir dihedral açının kenarı denir.
Dihedral açının yüzleri, alanı iki bölgeye ayırır: iç alan verilen dihedral açı ve dış bölgesi.
tanım 2
İç bölgeleri aynı hizada olacak şekilde biri diğeriyle birleştirilebiliyorsa, iki dihedral açının eşit olduğu söylenir.
tanım 3
Bir dihedral açının kenarına iki dik açı arasındaki, kenarın bir noktasından kendi yüzlerinde çizilen açıya dihedral açının lineer açısı denir.
1 . Bir dihedral açının, kenarına dik bir düzlemle kesişmesinden kaynaklanan açı (), verilen dihedral açının lineer açısıdır.
2. Doğrusal açının değeri, köşesinin kenardaki konumuna bağlı değildir, yani.
3. Eşit dihedral açıların doğrusal açıları eşittir (Tanımlar 2 ve 3'ten sonra gelir).
tanım 4
İki dihedral açıdan daha büyük (daha küçük) doğrusal açıya sahip olana daha büyük (daha küçük) denir. Dihedral açıların ölçü birimleri için, lineer açıları eşit olan bu tür dihedral açılar alınır.