Mga hanay ng mga ugnayan sa pagitan ng mga hanay ng Euler Venn diagram. Paano lutasin ang mga problema gamit ang Euler-Venn diagram. Magdagdag ng mga larawan, ilustrasyon, o graphics sa iyong diagram

Mga Seksyon: Informatics

1. Panimula

Sa kurso ng Informatics at ICT ng elementarya at mataas na paaralan, ang mga mahahalagang paksa tulad ng "Mga Pundamental ng lohika" at "Paghahanap ng impormasyon sa Internet" ay sakop. Kapag nilulutas ang isang tiyak na uri ng problema, maginhawang gumamit ng mga lupon ng Euler (mga diagram ng Euler-Venn).

Tulong sa matematika. Ang mga diagram ng Euler-Venn ay pangunahing ginagamit sa set theory bilang isang eskematiko na representasyon ng lahat ng posibleng intersection ng ilang set. Sa pangkalahatan, inilalarawan nila ang lahat ng 2n kumbinasyon ng n katangian. Halimbawa, para sa n=3, ang Euler-Venn diagram ay karaniwang inilalarawan bilang tatlong bilog na nakasentro sa vertices ng isang equilateral triangle at may parehong radius, humigit-kumulang katumbas ng haba ng gilid ng triangle.

2. Pagtatanghal ng mga lohikal na connective sa mga query sa paghahanap

Kapag pinag-aaralan ang paksang "Paghahanap ng impormasyon sa Internet", ang mga halimbawa ng mga query sa paghahanap gamit ang mga lohikal na koneksyon, na katulad ng kahulugan sa mga unyon na "at", "o" ng wikang Ruso, ay isinasaalang-alang. Ang kahulugan ng mga lohikal na connective ay nagiging mas malinaw kung ilarawan natin ang mga ito sa tulong ng isang graphic scheme - Euler circles (Euler-Venn diagrams).

3. Koneksyon ng mga lohikal na operasyon sa set theory

Sa tulong ng mga diagram ng Euler-Venn, maisasalarawan ng isa ang koneksyon sa pagitan ng mga lohikal na operasyon at set theory. Maaari mong gamitin ang mga slide upang ipakita Appendix 1.

Ang mga lohikal na operasyon ay tinukoy ng kanilang sariling mga talahanayan ng katotohanan. AT Appendix 2 Ang mga graphical na paglalarawan ng mga lohikal na operasyon ay isinasaalang-alang nang detalyado kasama ng kanilang mga talahanayan ng katotohanan. Ipaliwanag natin ang prinsipyo ng pagbuo ng diagram sa pangkalahatang kaso. Sa diagram, ang lugar ng bilog na may pangalang A ay nagpapakita ng katotohanan ng pahayag A (sa set theory, ang bilog A ay ang pagtatalaga ng lahat ng elemento na kasama sa set na ito). Alinsunod dito, ang lugar sa labas ng bilog ay nagpapakita ng halaga ng "false" ng kaukulang pahayag. Upang maunawaan kung aling lugar ng diagram ang magiging isang pagpapakita ng isang lohikal na operasyon, kinakailangan na lilim lamang ang mga lugar kung saan ang mga halaga ng lohikal na operasyon sa set A at B ay katumbas ng "totoo".

Halimbawa, ang halaga ng implikasyon ay "totoo" sa tatlong kaso (00, 01 at 11). Pag-shading nang sunud-sunod: 1) ang lugar sa labas ng dalawang intersecting na bilog, na tumutugma sa mga halaga A=0, B=0; 2) ang lugar na nauugnay lamang sa bilog B (crescent), na tumutugma sa mga halaga A=0, B=1; 3) ang lugar na nauugnay sa parehong bilog A at bilog B (intersection) - tumutugma sa mga halaga A=1, B=1. Ang pagsasama ng tatlong lugar na ito ay magiging isang graphical na representasyon ng lohikal na implikasyon na operasyon.

4. Ang paggamit ng mga lupon ng Euler sa patunay ng mga lohikal na pagkakapantay-pantay (mga batas)

Upang mapatunayan ang mga lohikal na pagkakapantay-pantay, maaaring gamitin ang pamamaraan ng Euler-Venn diagram. Patunayan natin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ¬(AvB) = ¬A&¬B (batas ni Morgan).

Para sa isang visual na representasyon ng kaliwang bahagi ng equation, gagawin namin ito nang sunud-sunod: liliman namin ang parehong mga bilog (ilapat ang disjunction) ng kulay abo, pagkatapos, upang ipakita ang inversion, liliman namin ng itim ang lugar sa labas ng mga bilog:

Fig.3 Fig.4

Para sa isang visual na representasyon ng kanang bahagi ng equation, nagsasagawa kami ng sunud-sunod: nililiman namin ang lugar para sa pagpapakita ng inversion (¬A) sa kulay abo at, katulad din, ang lugar na ¬B ay nasa kulay abo din; pagkatapos, upang ipakita ang conjunction, kailangan mong kunin ang intersection ng mga kulay abong lugar na ito (ang resulta ng overlay ay ipinapakita sa itim):

Fig.5 Fig.6 Fig.7

Nakikita namin na ang mga lugar para sa pagpapakita ng kaliwa at kanang bahagi ay pantay. Q.E.D.

5. Mga gawain sa format ng GIA at USE sa paksa: "Paghahanap ng impormasyon sa Internet"

Problema No. 18 mula sa demo na bersyon ng GIA 2013.

Ipinapakita ng talahanayan ang mga query sa server ng paghahanap. Para sa bawat kahilingan, ipinahiwatig ang code nito - ang kaukulang titik mula A hanggang D. Ayusin ang mga request code mula kaliwa hanggang kanan sa pagkakasunud-sunod bumababa ang bilang ng mga pahina na mahahanap ng search engine para sa bawat query.

Ang code	Hiling
PERO	(Lumipad at Pera) \| Samovar
B	Lumipad at Pera at Bazaar at Samovar
AT	Lumipad \| Pera \| Samovar
G	Lumipad at Pera at Samovar

Para sa bawat query, bumuo tayo ng Euler-Venn diagram:

Kahilingan A

Kahilingan B

Kahilingan D

Sagot: VAGB.

Gawain B12 mula sa demo na bersyon ng USE-2013.

Ipinapakita ng talahanayan ang mga query at ang bilang ng mga pahinang nahanap nila para sa isang partikular na segment ng Internet.

Hiling	Mga pahinang natagpuan (sa libo-libo)
Frigate \| Maninira	3400
Frigate at Destroyer	900
Frigate	2100

Ilang pahina (sa libu-libo) ang makikita para sa query Maninira?

Ito ay pinaniniwalaan na ang lahat ng mga kahilingan ay naisakatuparan nang halos sabay-sabay, upang ang hanay ng mga pahina na naglalaman ng lahat ng mga hinanap na salita ay hindi nagbago sa panahon ng pagpapatupad ng mga kahilingan.

F - ang bilang ng mga pahina (sa libu-libo) kapag hiniling Frigate;

E - ang bilang ng mga pahina (sa libu-libo) kapag hiniling Maninira;

Ang X ay ang bilang ng mga pahina (sa libo-libo) para sa query na nagbabanggit Frigate at hindi nabanggit Maninira;

Ang Y ay ang bilang ng mga pahina (sa libo-libo) para sa query na nagbabanggit Maninira at hindi nabanggit Frigate.

Bumuo tayo ng Euler-Venn diagram para sa bawat kahilingan:

Hiling	Euler-Venn diagram	Bilang ng mga pahina
Frigate \| Maninira	Fig.12	3400
Frigate at Destroyer	Fig.13	900
Frigate	Fig.14	2100
Maninira	Fig.15	?

Ayon sa mga diagram na mayroon kami:

X + 900 + Y \u003d F + Y \u003d 2100 + Y \u003d 3400. Mula dito makikita namin ang Y \u003d 3400-2100 \u003d 1300.
E \u003d 900 + U \u003d 900 + 1300 \u003d 2200.

Sagot: 2200.

6. Paglutas ng mga lohikal na makabuluhang problema gamit ang pamamaraan ng Euler-Venn diagram

Mayroong 36 na tao sa klase. Ang mga mag-aaral ng klase na ito ay dumalo sa mathematical, physical at chemical circle, at 18 tao ang pumapasok sa mathematical circle, 14 tao ang pumapasok sa physical, at 10 tao ang dumalo sa chemical. ang mga tao ay pumapasok sa parehong matematika at matematika at kemikal, 3 - parehong pisikal at kemikal.

Ilang estudyante sa klase ang hindi pumapasok sa anumang club?

Upang malutas ang problemang ito, napaka-maginhawa at malinaw na gumamit ng mga lupon ng Euler.

Ang pinakamalaking bilog ay ang hanay ng lahat ng mag-aaral sa klase. Sa loob ng bilog mayroong tatlong intersecting set: mga miyembro ng mathematical ( M), pisikal ( F), kemikal ( X) mga bilog.

Hayaan MFH- maraming mga lalaki, bawat isa ay dumadalo sa lahat ng tatlong mga lupon. MF-H- maraming mga lalaki, bawat isa ay dumadalo sa matematika at pisikal na mga bilog at hindi bumisita sa kemikal ¬M¬PH- maraming lalaki, bawat isa ay pumapasok sa isang chemistry circle at hindi pumapasok sa physics at mathematics circles.

Ipinakilala namin ang mga set sa katulad na paraan: ¬MFH, M¬PH, M¬F-H, ¬MF-H, ¬M-F-H.

Ito ay kilala na ang lahat ng tatlong mga bilog ay dinaluhan ng 2 tao, samakatuwid, sa rehiyon MFH isulat ang numero 2. 8 tao ang pumapasok sa parehong mathematical at physical circle, at sa kanila ay mayroon nang 2 tao na pumapasok sa lahat ng tatlong circle, pagkatapos ay sa rehiyon MF-H sumulat ng 6 na tao (8-2). Katulad nito, tinutukoy namin ang bilang ng mga mag-aaral sa natitirang mga hanay:

Ibuod natin ang bilang ng mga tao sa lahat ng rehiyon: 7+6+3+2+4+1+5=28. Samakatuwid, 28 tao mula sa klase ang dumalo sa mga lupon.

Kaya 36-28 = 8 mag-aaral ang hindi pumapasok sa mga lupon.

Pagkatapos mga bakasyon sa taglamig tinanong ng guro ng klase kung sino sa mga lalaki ang pumunta sa teatro, sinehan o sirko. Lumabas na sa 36 na estudyante sa klase, dalawa ang hindi pa nakakapanood ng sine. hindi sa teatro, hindi sa sirko. 25 tao ang bumisita sa sinehan, 11 tao ang bumisita sa teatro, 17 tao ang bumisita sa sirko; pareho sa sinehan at sa teatro - 6; at sa sinehan at sa sirko - 10; pareho sa teatro at sa sirko - 4.

Ilang tao na ang bumisita sa sinehan, teatro, at sirko?

Hayaang x ang bilang ng mga bata na nakapunta na sa sinehan, teatro, at sirko.

Pagkatapos ay maaari mong buuin ang sumusunod na diagram at bilangin ang bilang ng mga lalaki sa bawat lugar:

6 na tao ang bumisita sa sinehan at teatro, ibig sabihin 6 na tao lamang ang bumisita sa sinehan at teatro.

Katulad nito, tanging sa sinehan at sa sirko (ika-10) tao.

Tanging sa teatro at sirko (4) pers.

25 tao ang pumunta sa sinehan, ibig sabihin, 25 lang sa kanila ang pumunta sa sinehan - (ika-10) - (ika-6) - x = (9 + x).

Katulad nito, sa teatro lamang mayroong (1 + x) tao.

Sa circus lang may (3 + x) tao.

Wala sa teatro, sinehan at sirko - 2 tao.

Kaya 36-2=34 na tao. dumalo sa mga kaganapan.

Sa kabilang banda, maaari nating ibuod ang bilang ng mga tao na nasa teatro, sinehan at sirko:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34

Kasunod nito na isang tao lamang ang dumalo sa lahat ng tatlong mga kaganapan.

Kaya, ang mga Euler circle (Euler-Venn diagram) ay nakahanap ng praktikal na aplikasyon sa paglutas ng mga problema sa USE at GIA na format at sa paglutas ng mga makabuluhang lohikal na problema.

Panitikan

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitin. Logic sa computer science. M.: Informatics and Education, 2006. 155 p.
L.L. Bosova. Arithmetic at lohikal na pundasyon ng mga computer. M.: Informatics at edukasyon, 2000. 207 p.
L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Teksbuk. Informatics at ICT para sa grade 8: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 220 p.
L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Teksbuk. Informatics at ICT para sa grade 9: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 244 p.
Website ng FIPI: http://www.fipi.ru/

Ang ilang mga problema ay maaaring maginhawa at biswal na malutas gamit ang Euler-Venn diagram. Halimbawa, ang mga gawain sa mga set. Kung hindi mo alam kung ano ang mga diagram ng Euler-Venn at kung paano buuin ang mga ito, basahin muna.

Ngayon ay pag-aralan natin karaniwang mga gawain at tungkol sa mga set.

Gawain 1.

Isang survey ang isinagawa sa 100 mag-aaral sa isang paaralan na may malalim na pag-aaral ng mga wikang banyaga. Tinanong ang mga mag-aaral ng tanong: Ano wikang banyaga nag-aaral ka ba?". Lumabas na 48 na estudyante ang nag-aaral ng English, 26 - French, 28 - German. 8 students ang nag-aaral ng English at German, 8 - English at French, 13 - French at German. 24 na estudyante ang hindi nag-aaral ng English o French, o German Gaano karaming mga mag-aaral sa survey ang nag-aaral ng tatlong wika sa parehong oras: English, French at German?

Sagot: 3.

Desisyon:

maraming mga mag-aaral na nag-aaral ng Ingles ("A");
maraming mga mag-aaral na nag-aaral ng Pranses ("F");
maraming mga mag-aaral na nag-aaral ng Aleman ("N").

Ilarawan natin sa tulong ng Euler-Venn diagram kung ano ang ibinigay sa atin ayon sa kondisyon.

Tukuyin natin ang gustong lugar A=1, F=1, H=1 bilang "x" (sa talahanayan sa ibaba, lugar No. 7). Ipinapahayag namin ang natitirang bahagi ng mga rehiyon sa mga tuntunin ng x.

0) Rehiyon A=0, F=0, H=0: 24 na mag-aaral - ibinigay ayon sa kondisyon ng problema.

1) Rehiyon A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x na mga mag-aaral.

2) Rehiyon A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x na mga mag-aaral.

3) Rehiyon A=0, F=1, H=1: 13 mag-aaral.

4) Rehiyon A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x mag-aaral.

5) Rehiyon A=1, F=0, H=1: 8 mag-aaral.

6) Rehiyon A=1, F=1, H=0: 8 mag-aaral.

№ mga lugar	PERO	F	H	Dami mga mag-aaral
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	ika-13
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8's
6	1	1	0	8's
7	1	1	1	X

Tukuyin natin ang x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Lumabas na 3 mag-aaral ang nag-aaral ng tatlong wika nang sabay-sabay: Ingles, Pranses at Aleman.

Ganito ang magiging hitsura ng Euler-Venn diagram sa kilalang x:

Gawain 2.

Sa Mathematics Olympiad, hiniling sa mga mag-aaral na lutasin ang tatlong problema: isa sa algebra, isa sa geometry, at isa sa trigonometry. 1000 mga mag-aaral ang lumahok sa Olympiad. Ang mga resulta ng Olympiad ay ang mga sumusunod: 800 kalahok ang nakalutas ng problema sa algebra, 700 sa geometry, 600 sa trigonometry. 300 tao ang nakalutas ng mga problema sa algebra, geometry at trigonometry. Ilang estudyante ang hindi nakalutas ng anumang problema?

Sagot: 100.

Desisyon:

Una, tinutukoy namin ang mga hanay at ipinakilala ang notasyon. May tatlo sa kanila:

isang hanay ng mga problema sa algebra ("A");
isang hanay ng mga problema sa geometry ("G");
hanay ng mga problema sa trigonometrya ("T").

Ilarawan natin kung ano ang kailangan nating hanapin:

Tukuyin natin ang bilang ng mga mag-aaral para sa lahat ng posibleng lugar.

Tukuyin natin ang gustong lugar A=0, G=0, T=0 bilang "x" (sa talahanayan sa ibaba, lugar No. 0).

Hanapin natin ang iba pang lugar:

1) Rehiyon A=0, D=0, T=1: walang mga mag-aaral.

2) Rehiyon A=0, D=1, T=0: walang mga mag-aaral.

3) Rehiyon A=0, D=1, T=1: 100 mag-aaral.

4) Rehiyon A=1, D=0, T=0: walang mga mag-aaral.

5) Rehiyon A=1, D=0, T=1: 200 mag-aaral.

6) Rehiyon A=1, D=1, T=0: 300 mag-aaral.

7) Rehiyon A=1, D=1, T=1: 300 mag-aaral.

Isulat natin ang mga halaga ng mga lugar sa talahanayan:

№ mga lugar	PERO	G	T	Dami mga mag-aaral
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

I-plot natin ang mga halaga para sa lahat ng mga lugar gamit ang isang tsart:

Tukuyin natin ang x:

x=U-(A V G V T), kung saan ang U ang uniberso.

A V G V T \u003d 0 + 0 + 0 + 300 + 300 + 200 + 100 \u003d 900.

Nakuha namin na ang 100 mga mag-aaral ay hindi nakalutas ng isang problema.

Gawain 3.

Sa Physics Olympiad, hiniling sa mga mag-aaral na lutasin ang tatlong problema: isa sa kinematics, isa sa thermodynamics, at isa sa optika. Ang mga resulta ng Olympiad ay ang mga sumusunod: 400 kalahok ang nalutas ang problema sa kinematics, 350 sa thermodynamics, 300 sa optics. Nalutas ng 100 tao ang mga problema sa kinematics, thermodynamics at optika. Ilang estudyante ang nakalutas ng dalawang problema?

Sagot: 350.

Desisyon:

Una, tinutukoy namin ang mga hanay at ipinakilala ang notasyon. May tatlo sa kanila:

isang hanay ng mga gawain sa kinematics ("K");
isang hanay ng mga problema sa thermodynamics ("T");
hanay ng mga problema sa optika ("O").

Ilarawan natin gamit ang Euler-Venn diagram kung ano ang ibinigay sa atin ayon sa kundisyon:

Ilarawan natin kung ano ang kailangan nating hanapin:

Tukuyin natin ang bilang ng mga mag-aaral para sa lahat ng posibleng lugar:

0) Lugar K=0, T=0, O=0 : hindi tinukoy.

1) Rehiyon K=0, T=0, O=1: 50 mag-aaral.

2) Rehiyon K=0, T=1, O=0: walang mga mag-aaral.

3) Rehiyon K=0, T=1, O=1: 50 mag-aaral.

4) Rehiyon K=1, T=0, O=0: walang mga mag-aaral.

5) Rehiyon K=1, T=0, O=1: 100 mag-aaral.

6) Rehiyon K=1, T=1, O=0: 200 mag-aaral.

7) Rehiyon K=1, T=1, O=1: 100 mag-aaral.

Isulat natin ang mga halaga ng mga lugar sa talahanayan:

№ mga lugar	Upang	T	O	Dami mga mag-aaral
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

I-plot natin ang mga halaga para sa lahat ng mga lugar gamit ang isang tsart:

Tukuyin natin ang x.

x=200+100+50=350.

Natanggap, 350 mag-aaral ang nalutas ang dalawang problema.

Gawain 4.

Sa mga dumaraan ay nagsagawa ng survey. Ang tanong ay tinanong: "Anong uri ng alagang hayop ang mayroon ka?". Ayon sa resulta ng survey, lumabas na 150 ang may pusa, 130 ang may aso, at 50 ang may ibon. 60 tao ang may pusa at aso, 20 may pusa at ibon, 30 may aso at ibon. 70 tao ang walang alagang hayop. 10 tao ang may pusa, aso, at ibon. Ilang dumaan ang nakibahagi sa survey?

Sagot: 300.

Desisyon:

Una, tinutukoy namin ang mga hanay at ipinakilala ang notasyon. May tatlo sa kanila:

maraming tao na may pusa ("K");
maraming tao na may aso ("C");
maraming tao na may ibon ("P").

Ilarawan natin gamit ang Euler-Venn diagram kung ano ang ibinigay sa atin ayon sa kundisyon:

Ilarawan natin kung ano ang kailangan nating hanapin:

Tukuyin natin ang bilang ng mga tao para sa lahat ng posibleng lugar:

0) Lugar K=0, S=0, P=0: 70 tao.

1) Lugar K=0, S=0, P=1: 10 tao.

2) Lugar K=0, S=1, P=0: 50 tao.

3) Lugar K=0, S=1, P=1: 20 tao.

4) Lugar K=1, S=0, P=0: 80 tao.

5) Lugar K=1, T=0, O=1: 10 tao.

6) Rehiyon K=1, T=1, O=0: 50 tao.

7) Rehiyon K=1, T=1, O=1: 10 tao.

Isulat natin ang mga halaga ng mga lugar sa talahanayan:

№ mga lugar	Upang	C	P	Dami Tao
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

I-plot natin ang mga halaga para sa lahat ng mga lugar gamit ang isang tsart:

Tukuyin natin ang x:

x=U (uniberso)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Natanggap na 300 katao ang nakibahagi sa survey.

Gawain 5.

120 tao ang pumasok sa isang espesyalidad sa isa sa mga unibersidad. Ang mga aplikante ay kumuha ng tatlong pagsusulit: sa matematika, sa computer science at sa wikang Ruso. Ang matematika ay pumasa sa 60 tao, computer science - 40. 30 aplikante ang pumasa sa matematika at computer science, 30 - matematika at Russian, 25 - computer science at Russian. 20 katao ang pumasa sa lahat ng tatlong pagsusulit, at 50 katao ang bumagsak. Gaano karaming mga aplikante ang nakapasa sa wikang Ruso?

Euler-Venn diagram - visual aid upang gumana sa mga set. Inilalarawan ng mga diagram na ito ang lahat ng posibleng opsyon para sa intersection ng mga set. Ang bilang ng mga intersection (lugar) n ay tinutukoy ng formula:

n=2 N ,

kung saan ang N ay ang bilang ng mga set.

Kaya, kung dalawang set ang ginamit sa problema, kung gayon n=2 2 =4, kung tatlong set, kung gayon n=2 3 =8, kung apat na set, kung gayon n=2 4 =16. Samakatuwid, ang mga diagram ng Euler-Venn ay pangunahing ginagamit para sa dalawa o tatlong set.

Ang mga set ay inilalarawan bilang mga bilog (kung 2-3 set ang ginamit) at mga ellipse (kung 4 na set ang ginamit) na inilagay sa isang parihaba (uniberso).

Universal set (uniberso) U (sa konteksto ng gawain) - isang set na naglalaman ng lahat ng mga elemento ng gawain na isinasaalang-alang: mga elemento ng lahat ng mga hanay ng gawain at mga elemento na hindi kasama sa kanila.

Walang laman na hanay Ø(sa konteksto ng problema) - isang set na hindi naglalaman ng anumang elemento ng problemang isinasaalang-alang.

Ang mga intersecting set ay itinayo sa diagram, sila ay nakapaloob sa isang uniberso. Maglaan ng mga lugar, ang bilang nito ay katumbas ng bilang ng mga intersection.

Ginagamit din ang mga diagram ng Euler-Venn upang biswal na kumatawan sa mga lohikal na operasyon.

Suriin natin ang mga halimbawa ng paggawa ng Euler-Venn diagram para sa dalawa at tatlong set.

Halimbawa 1

Universe U=(0,1,2,3,4,5,6)

Euler-Venn diagram para sa dalawang set A at B:

Halimbawa 2

Hayaang magkaroon ng mga sumusunod na hanay ng mga numero:

Universe U=(0,1,2,3,4,5,6,7)

Euler-Venn diagram para sa tatlong set A, B, C:

Tukuyin natin ang mga lugar at ang mga numero na kabilang sa kanila:

PERO	B	C	Pagtatalaga mga lugar	Numero
0	0	0	0)	0
0	0	1	1)	7
0	1	0	2)	5
0	1	1	3)	6
1	0	0	4)	2
1	0	1	5)	1
1	1	0	6)	4
1	1	1	7)	3

Halimbawa 3

Hayaang magkaroon ng mga sumusunod na hanay ng mga numero:

A=(0,1,2,3,4,5,6,7)

B=(3,4,5,7,8,9,10,13)

C=(0,2,3,7,8,10,11,12)

D=(0,3,4,6,9,10,11,14)

Universe U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

Euler-Venn diagram para sa apat na set A, B, C, D:

Tukuyin natin ang mga lugar at ang mga numero na kabilang sa kanila:

PERO	B	C	D	Pagtatalaga mga lugar	Numero
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	10
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6
1	0	1	0	10)	2
1	0	1	1	11)	0
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4
1	1	1	0	14)	7
1	1	1	1	15)	3

Kung nais mong malutas ang mga karaniwang problema sa mga set, pagkatapos ay pumunta sa artikulo.

Mga Seksyon: Informatics

1. Panimula

2. Pagtatanghal ng mga lohikal na connective sa mga query sa paghahanap

lohikal na link	Humiling ng halimbawa	Paliwanag	Mga bilog ni Euler
& - "AT"	Paris & unibersidad	Ang lahat ng mga pahina kung saan binanggit ang parehong mga salita ay pipiliin: Paris at unibersidad	Fig.1
\| - "O"	Paris \| unibersidad	Ang lahat ng mga pahina na naglalaman ng mga salitang Paris at/o unibersidad ay pipiliin	Fig.2

3. Koneksyon ng mga lohikal na operasyon sa set theory

Sa tulong ng mga diagram ng Euler-Venn, maisasalarawan ng isa ang koneksyon sa pagitan ng mga lohikal na operasyon at set theory. Maaari mong gamitin ang mga slide upang ipakita Appendix 1.

4. Ang paggamit ng mga lupon ng Euler sa patunay ng mga lohikal na pagkakapantay-pantay (mga batas)

Fig.3 Fig.4

Fig.5 Fig.6 Fig.7

Nakikita namin na ang mga lugar para sa pagpapakita ng kaliwa at kanang bahagi ay pantay. Q.E.D.

5. Mga gawain sa format ng GIA at USE sa paksa: "Paghahanap ng impormasyon sa Internet"

Problema No. 18 mula sa demo na bersyon ng GIA 2013.

Ang code	Hiling
PERO	(Lumipad at Pera) \| Samovar
B	Lumipad at Pera at Bazaar at Samovar
AT	Lumipad \| Pera \| Samovar
G	Lumipad at Pera at Samovar

Para sa bawat query, bumuo tayo ng Euler-Venn diagram:

Kahilingan A

Kahilingan B

Kahilingan D

Sagot: VAGB.

Gawain B12 mula sa demo na bersyon ng USE-2013.

Ipinapakita ng talahanayan ang mga query at ang bilang ng mga pahinang nahanap nila para sa isang partikular na segment ng Internet.

Hiling	Mga pahinang natagpuan (sa libo-libo)
Frigate \| Maninira	3400
Frigate at Destroyer	900
Frigate	2100

Ilang pahina (sa libu-libo) ang makikita para sa query Maninira?

F - ang bilang ng mga pahina (sa libu-libo) kapag hiniling Frigate;

E - ang bilang ng mga pahina (sa libu-libo) kapag hiniling Maninira;

Ang X ay ang bilang ng mga pahina (sa libo-libo) para sa query na nagbabanggit Frigate at hindi nabanggit Maninira;

Ang Y ay ang bilang ng mga pahina (sa libo-libo) para sa query na nagbabanggit Maninira at hindi nabanggit Frigate.

Bumuo tayo ng Euler-Venn diagram para sa bawat kahilingan:

Hiling	Euler-Venn diagram	Bilang ng mga pahina
Frigate \| Maninira	Fig.12	3400
Frigate at Destroyer	Fig.13	900
Frigate	Fig.14	2100
Maninira	Fig.15	?

Ayon sa mga diagram na mayroon kami:

X + 900 + Y \u003d F + Y \u003d 2100 + Y \u003d 3400. Mula dito makikita namin ang Y \u003d 3400-2100 \u003d 1300.
E \u003d 900 + U \u003d 900 + 1300 \u003d 2200.

Sagot: 2200.

6. Paglutas ng mga lohikal na makabuluhang problema gamit ang pamamaraan ng Euler-Venn diagram

Ilang estudyante sa klase ang hindi pumapasok sa anumang club?

Upang malutas ang problemang ito, napaka-maginhawa at malinaw na gumamit ng mga lupon ng Euler.

Ang pinakamalaking bilog ay ang hanay ng lahat ng mag-aaral sa klase. Sa loob ng bilog mayroong tatlong intersecting set: mga miyembro ng mathematical ( M), pisikal ( F), kemikal ( X) mga bilog.

Ipinakilala namin ang mga set sa katulad na paraan: ¬MFH, M¬PH, M¬F-H, ¬MF-H, ¬M-F-H.

Ibuod natin ang bilang ng mga tao sa lahat ng rehiyon: 7+6+3+2+4+1+5=28. Samakatuwid, 28 tao mula sa klase ang dumalo sa mga lupon.

Kaya 36-28 = 8 mag-aaral ang hindi pumapasok sa mga lupon.

Matapos ang mga pista opisyal sa taglamig, tinanong ng guro ng klase kung alin sa mga lalaki ang pumunta sa teatro, sinehan o sirko. Lumabas na sa 36 na estudyante sa klase, dalawa ang hindi pa nakakapanood ng sine. hindi sa teatro, hindi sa sirko. 25 tao ang bumisita sa sinehan, 11 tao ang bumisita sa teatro, 17 tao ang bumisita sa sirko; pareho sa sinehan at sa teatro - 6; at sa sinehan at sa sirko - 10; pareho sa teatro at sa sirko - 4.

Ilang tao na ang bumisita sa sinehan, teatro, at sirko?

Hayaang x ang bilang ng mga bata na nakapunta na sa sinehan, teatro, at sirko.

Pagkatapos ay maaari mong buuin ang sumusunod na diagram at bilangin ang bilang ng mga lalaki sa bawat lugar:

6 na tao ang bumisita sa sinehan at teatro, ibig sabihin 6 na tao lamang ang bumisita sa sinehan at teatro.

Katulad nito, tanging sa sinehan at sa sirko (ika-10) tao.

Tanging sa teatro at sirko (4) pers.

25 tao ang pumunta sa sinehan, ibig sabihin, 25 lang sa kanila ang pumunta sa sinehan - (ika-10) - (ika-6) - x = (9 + x).

Katulad nito, sa teatro lamang mayroong (1 + x) tao.

Sa circus lang may (3 + x) tao.

Wala sa teatro, sinehan at sirko - 2 tao.

Kaya 36-2=34 na tao. dumalo sa mga kaganapan.

Sa kabilang banda, maaari nating ibuod ang bilang ng mga tao na nasa teatro, sinehan at sirko:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34

Kasunod nito na isang tao lamang ang dumalo sa lahat ng tatlong mga kaganapan.

Kaya, ang mga Euler circle (Euler-Venn diagram) ay nakahanap ng praktikal na aplikasyon sa paglutas ng mga problema sa USE at GIA na format at sa paglutas ng mga makabuluhang lohikal na problema.

Panitikan

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitin. Logic sa computer science. M.: Informatics and Education, 2006. 155 p.
L.L. Bosova. Arithmetic at lohikal na pundasyon ng mga computer. M.: Informatics at edukasyon, 2000. 207 p.
L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Teksbuk. Informatics at ICT para sa grade 8: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 220 p.
L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Teksbuk. Informatics at ICT para sa grade 9: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 244 p.
Website ng FIPI: http://www.fipi.ru/

Pederal na Ahensya para sa Edukasyon

Estado institusyong pang-edukasyon mas mataas na propesyonal na edukasyon

Pambansang Pananaliksik

Tomsk Polytechnic University

Institute of Natural Resources

Kagawaran ng VM

SANAYSAY

Paksa : « Euler-Venn diagram»

Tagapagpatupad:

Mag-aaral ng pangkat 2U00

Superbisor:

Panimula…………………………………………………………………………..3

1. Mula sa kasaysayan………………………………………………………………………………..4

2. Euler-Venn diagram………………………………………………………………..4

3. Mga operasyon sa mga hanay ng Euler-Venn diagram……………………….5

a) Pagsasama-sama……………………………………………………………………………………7

b) Intersection, complement……………………………………………………………..7

c) Ang arrow ni Pierce, ang stroke ni Schaeffer at ang pagkakaiba ...……………………………….8

d) Pagkakaiba………………………………………………………………………………8

e) Symmetric difference at equivalence………………………………..9

Konklusyon…………………………………………………………………………10

Mga Sanggunian…………………………………………………………………..11

Panimula

Euler circles - isang geometric na diagram kung saan maaari mong ilarawan ang kaugnayan sa pagitan ng mga subset, para sa visual na representasyon. Ang mga bilog ay naimbento ni Leonhard Euler. Ito ay ginagamit sa matematika, lohika, pamamahala at iba pang inilapat na mga lugar.

Mahalaga espesyal na kaso Mga lupon ng Euler - Euler - Mga diagram ng Venn, na naglalarawan sa lahat ng 2n na kumbinasyon ng n katangian, iyon ay, isang may hangganang Boolean algebra. Para sa n = 3, ang Euler-Venn diagram ay karaniwang inilalarawan sa tatlo mga bilog na may mga sentro sa vertices ng isang equilateral triangle at ang parehong radius, humigit-kumulang katumbas ng haba ng gilid ng triangle.

Sa paglutas ng isang bilang ng mga problema, ginamit ni Leonhard Euler ang ideya ng paglalarawan ng mga set gamit ang mga bilog. Gayunpaman, bago pa man si Euler, ang pamamaraang ito ay ginamit ng namumukod-tanging pilosopo at matematiko ng Aleman (1646-1716). Ginamit sila ni Leibniz para sa geometric na interpretasyon ng mga lohikal na koneksyon sa pagitan ng mga konsepto, ngunit mas pinili pa rin na gumamit ng mga linear na scheme.

Ngunit si L. Euler mismo ay nakabuo ng pamamaraang ito nang lubusan. Ang Euler circle method ay ginamit din ng German mathematician na si Ernst Schroeder (1841-1902) sa kanyang aklat na Algebra of Logic. Ang mga pamamaraan ng graphic ay umabot sa kanilang rurok sa mga akda ng English logician na si John Venn (1843-1923), na nagpaliwanag sa kanila nang detalyado sa aklat na Symbolic Logic, na inilathala sa London noong 1881. Samakatuwid, ang ganitong mga scheme ay tinatawag na mga diagram ng Euler-Venn.

1.Mula sa kasaysayan

Leonhard Euler(1707 - 1783, St. Petersburg, imperyo ng Russia) - mathematician, mekaniko, physicist. Adjunct sa pisyolohiya, propesor ng pisika, propesor ng mas mataas na matematika, na gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pag-unlad ng matematika, pati na rin ang mekanika, pisika, astronomiya at isang bilang ng mga inilapat na agham.

Si Euler ang may-akda ng higit sa 800 mga papel sa pagsusuri sa matematika, differential geometry, number theory, approximate calculations, celestial mechanics, mathematical physics, optics, ballistics, shipbuilding, music theory, atbp.

Ginugol niya ang halos kalahati ng kanyang buhay sa Russia, kung saan gumawa siya ng isang makabuluhang kontribusyon sa pag-unlad ng agham ng Russia. Noong 1726 ay inanyayahan siyang magtrabaho sa St. Petersburg, kung saan lumipat siya pagkaraan ng isang taon. Mula 1711 hanggang 1741, at mula rin noong 1766, siya ay isang akademiko ng St. Petersburg Academy of Sciences (noong 1741-1766 ay nagtrabaho siya sa Berlin, habang nananatiling honorary member ng St. Petersburg Academy). Alam niyang mabuti ang Ruso at inilathala ang bahagi ng kanyang mga gawa (lalo na ang mga aklat-aralin) sa Russian. Ang unang Russian academic mathematician (S.K. Kotelnikov) at mga astronomo (S.Ya. Rumovsky) ay mga estudyante ng Euler. Ang ilan sa kanyang mga inapo ay naninirahan pa rin sa Russia.

John Venn (1, English logician. Nagtrabaho sa larangan ng class logic, kung saan lumikha siya ng isang espesyal na graphic apparatus (ang tinatawag na Venn diagrams), na ginamit sa logico-mathematical theory ng "formal neural networks." Pagmamay-ari ni Venn ang katwiran. baliktad na mga operasyon sa lohikal na calculus ng J. Boole. Ang pangunahing lugar ng interes ni John ay lohika, at naglathala siya ng tatlong mga papel sa paksa. Ito ay ang The Logic of Chance, na nagpapakilala ng interpretasyon ng frequency, o ang frequency theory of probability, noong 1866; "Symbolic Logic" kung saan ipinakilala ang mga diagram ng Venn noong 1881; "Principles of Empirical Logic" noong 1889, na nagbibigay ng katwiran para sa mga baligtad na operasyon sa Boolean logic.

Sa matematika, ang mga guhit sa anyo ng mga bilog na kumakatawan sa mga set ay ginamit sa napakatagal na panahon. Ang isa sa mga unang gumamit ng pamamaraang ito ay isang natatanging Aleman na matematiko at pilosopo (1 Ang mga guhit na may ganitong mga bilog ay natagpuan sa kanyang mga draft sketch. Pagkatapos ang pamamaraang ito ay binuo ng lubos ni Leonard Euler. Siya mahabang taon Nagtrabaho sa Petersburg Academy of Sciences. Sa oras na ito ay nabibilang ang kanyang sikat na "Mga Sulat kay Aleman na prinsesa", na isinulat sa panahon mula 1761 hanggang 1768. Sa ilan sa mga "Mga Liham ..." si Euler ay nagsasalita lamang tungkol sa kanyang pamamaraan. Pagkatapos ni Euler, ang parehong pamamaraan ay binuo ng Czech mathematician na si Bernard Bolzano (1Tanging, hindi katulad ni Euler, ginawa niya hindi gumuhit ng pabilog Ang pamamaraang bilog ng Euler ay ginamit din ng matematikong Aleman na si Ernest Schroeder (1 Ang paraang ito ay malawakang ginagamit sa aklat na Algebra of Logic. logic", na inilathala sa London noong 1881. Bilang parangal kay Venn, sa halip na mga lupon ng Euler, ang Ang mga katumbas na figure ay minsan ay tinatawag na Venn diagram; sa ilang mga libro ay tinatawag din silang Euler-Venn diagram (o mga bilog).

2. Euler-Venn diagram

Ang mga konsepto ng set at subset ay ginagamit sa kahulugan ng maraming mga konsepto ng matematika at, sa partikular, sa kahulugan ng isang geometric figure. Tinukoy namin ang isang eroplano bilang isang unibersal na hanay. Pagkatapos ay maaari nating ibigay ang sumusunod na kahulugan ng isang geometric na pigura sa planimetry:

Geometric na pigura anumang hanay ng mga punto sa isang eroplano ay tinatawag. Upang biswal na magpakita ng mga set at relasyon sa pagitan nila, gumuhit mga geometric na numero na nasa ganitong relasyon sa isa't isa. Ang ganitong mga representasyon ng mga set ay tinatawag na Euler-Venn diagram. Ang mga diagram ng Euler-Venn ay gumagawa ng iba't ibang pahayag tungkol sa mga set na nakikita. Inilalarawan nila ang unibersal na hanay bilang isang parihaba, at ang mga subset nito bilang mga bilog. Ito ay ginagamit sa matematika, lohika, pamamahala at iba pang inilapat na mga lugar.

Ang Euler-Venn diagram ay binubuo sa paglalarawan ng isang malaking parihaba na kumakatawan sa unibersal na hanay U, at sa loob nito - mga bilog (o ilang iba pang saradong figure) na kumakatawan sa mga set. Ang mga numero ay dapat mag-intersect sa pinaka-pangkalahatang kaso na kinakailangan sa problema at dapat na may label na naaayon. Ang mga puntong nasa loob ng iba't ibang bahagi ng diagram ay maaaring ituring na mga elemento ng kaukulang set. Gamit ang diagram na binuo, posible na lilim ang ilang mga lugar upang ipahiwatig ang mga bagong nabuong set.

Mga pangunahing operasyon sa mga set:

Intersection Union Pagkakaiba

3. Mga operasyon sa mga set ng Euler-Venn diagram

Isinasaalang-alang ang mga set operation upang makakuha ng mga bagong set mula sa mga umiiral na.

	Kahulugan. Samahan Ang mga set A at B ay tinatawag na isang set na binubuo ng lahat ng mga elementong iyon na kabilang sa hindi bababa sa isa sa mga set A, B (Fig. 1):
	Kahulugan. pagtawid Ang set A at B ay isang set na binubuo ng lahat ng iyon at tanging mga elementong iyon na sabay-sabay na nabibilang sa parehong set A at set B (Fig. 2):
	Kahulugan . pagkakaiba Ang set A at B ay ang set ng lahat ng iyon at ang mga elemento lamang ng A na hindi nakapaloob sa B (Larawan 3):
	Kahulugan. Pagkakaiba ng simetriko Ang set A at B ay ang hanay ng mga elemento ng mga set na ito na nabibilang lamang sa set A, o sa set B lamang (Fig. 4):
	Kahulugan. Isang ganap na pandagdag set A ay ang set ng lahat ng elementong iyon na hindi kabilang sa set A (Fig. 5):

Ngayon sa mas detalyadong mga halimbawa.

Hayaang magbigay ng ilang hanay ng mga bagay, na, pagkatapos ng muling pagkalkula, ay maaaring italaga bilang

A = (1, 2, 4, 6) at B = (2, 3, 4, 8, 9)

bilog at puting bagay. Maaari mong tawagan ang orihinal na hanay pundamental, at ang mga subset na A at B ay simple lang set.

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng apat na klase ng mga elemento:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - ang mga elemento ay walang alinman sa mga pinangalanang katangian,

C 1 = (1, 6) - ang mga elemento ay may ari-arian lamang A (bilog),

C 2 = (3, 8, 9) - ang mga elemento ay may ari-arian lamang B (puti),

C 3 = (2, 4) - ang mga elemento ay may dalawang katangian A at B sa parehong oras.

Sa fig. 1.1. ang mga tinukoy na klase ay inilalarawan sa Euler - Mga diagram ng Venn.

kanin. 1.1

Kadalasan ang mga diagram ay walang ganap na pangkalahatan, halimbawa, ang ipinapakita sa Fig. 1.2. Dito, ang set A ay ganap na kasama sa B. Para sa kasong ito, ginagamit ang isang espesyal na simbolo ng pagsasama (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

Kung ang dalawang kundisyon ay sabay na nasiyahan: A Ì B at B Ì A, pagkatapos ay A = B, sa kasong ito sinasabi namin na ang set A at B ay ganap na katumbas.

kanin. 1.2

Matapos matukoy ang apat na klase ng mga elemento at maibigay ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga diagram ng Euler-Venn, ipinakilala namin ang mga operasyon sa mga set. Isaalang-alang muna natin ang operasyon mga asosasyon.

a) Pagsasama-sama

Samahan set A = (1, 2, 4, 6) at B = (2, 3, 4, 8, 9)

tawagin natin ang set

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

kung saan ang È ay ang simbolo para sa pagsasama ng mga set. Kaya, ang unyon ay sumasaklaw sa tatlong klase ng mga elemento - C 1, C 2 at C 3, na may kulay sa diagram (Larawan 1.3).

Sa lohikal na paraan, ang operasyon ng pagsasama-sama ng dalawang hanay ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng mga salita: elemento x nabibilang sa set A o set B. Sa kasong ito, ang link na "o" ay sabay-sabay na nangangahulugang ang link na "at". Ang katotohanan na ang elemento ay kabilang x Ang set A ay tinutukoy bilang xн A. Samakatuwid, ano x ay kay A o/at B, ay ipinahayag ng formula:

xО A И B = ( xÎ A) Ú ( xО B),

kung saan ang Ú ay ang simbolo ng lohikal na connective o, na tinatawag disjunction.

b) Intersection, karagdagan

pagtawid Ang set A at B ay tinatawag na set A Ç B, na naglalaman ng mga elementong iyon mula sa A at B na sabay-sabay na kasama sa parehong set. Para sa ating halimbawa ng numero Magkakaroon:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

Ang diagram ng Euler-Venn para sa intersection ay ipinapakita sa fig. 1.4.

Ano x nabibilang nang sabay-sabay sa dalawang set A at B ay maaaring katawanin ng expression:

xО A З B = ( xн A) u ( xО B),

kung saan ang Ù ay ang simbolo ng lohikal na nag-uugnay na "at", na tinatawag pang-ugnay.

Isipin ang isang operasyon na nagreresulta sa mga lugar na may kulay C 1 at C 3, na bumubuo ng set A (Larawan 1.5). Pagkatapos ng isa pang operasyon na sasaklaw sa iba pang dalawang lugar - C 0 at C 2 na hindi kasama sa A, na tinutukoy bilang A(fig.1.6).

kanin. 1.5

kanin. 1.6

Kung pagsasamahin natin ang mga shaded na lugar sa parehong mga diagram, makukuha natin ang buong shaded set 1; ang intersection ng A at A ay magbibigay ng walang laman na set 0, na hindi naglalaman ng anumang mga elemento:

Isang È A= 1, A З A = 0.

Isang grupo ng A pandagdag itakda ang A sa pangunahing hanay V (o 1); kaya ang pamagat: karagdagang itakda ang A, o karagdagan parang operasyon. Kumpleto sa boolean variable x, ibig sabihin. x (hindi- x) ay madalas na tinatawag negasyon ng x.

Pagkatapos ng pagpapakilala ng intersection at complement operations, lahat ng apat na domain Ci sa Euler-Venn diagram ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

C 0 = A Ç B, C 1 = A B, C 2 = AÇ B, C 3 = A Ç B.

Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga kaugnay na lugar Ci Maaari kang kumatawan sa anumang maraming operasyon, kabilang ang mismong unyon:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

Ang Euler-Venn diagram para sa implikasyon (Fig. 1.10) ay nagpapakita bahagyang ang pagsasama ng set A sa set B, na dapat na makilala mula sa kumpleto mga inklusyon (Larawan 1.2).

Kung nakasaad na "ang mga elemento ng set A ay kasama sa set B", kung gayon ang lugar C 3 ay dapat na may kulay, at ang lugar C 1 na may parehong pangangailangan ay dapat iwanang puti. Tungkol sa mga rehiyon C 0 at C 1 na matatagpuan sa A, tandaan na wala tayong karapatang iwan silang puti, ngunit, obligado pa rin tayo sa mga lugar na nahuhulog sa A, lilim.

E) Symmetric difference at equivalence

Ito ay nananatiling magbigay ng dalawa pang magkasanib na komplementaryong operasyon - simetriko pagkakaiba at katumbas. Ang simetriko na pagkakaiba ng dalawang set A at B ay ang pagsasama ng dalawang pagkakaiba:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Ang pagkakapareho ay tinutukoy ng mga elemento ng set A at B na karaniwan sa kanila. Gayunpaman, ang mga elementong wala sa alinman sa A o B ay itinuturing ding katumbas:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

Sa fig. Ipinapakita ng 1.11 at 1.12 ang pagtatabing ng mga diagram ng Euler-Venn.

kanin. 1.11

kanin. 1.12

Sa konklusyon, tandaan namin na ang simetriko pagkakaiba ay may ilang mga pangalan: mahigpit na disjunction, eksklusibong alternatibo, kabuuan modulo dalawa. Ang operasyong ito ay maaaring maihatid ng mga salitang - "alinman sa A o B", iyon ay, ito ay isang lohikal na nag-uugnay na "o", ngunit walang nag-uugnay na "at" na kasama dito.

Konklusyon

Ang mga diagram ng Euler-Venn ay mga geometric na representasyon ng mga set. Ang simpleng diagramming ay nagbibigay ng visual na representasyon ng unibersal na hanay U, at sa loob nito - mga bilog (o ilang iba pang saradong figure) na kumakatawan sa mga set. Ang mga figure ay bumalandra sa pinaka-pangkalahatang kaso na kinakailangan sa problema at tumutugma sa matalinghagang imahe. Ang mga puntong nasa loob ng iba't ibang bahagi ng diagram ay maaaring ituring na mga elemento ng kaukulang set. Gamit ang diagram na binuo, ang ilang mga lugar ay maaaring kulayan upang ipahiwatig ang mga bagong nabuo na set. Nagbibigay-daan ito sa amin na magkaroon ng pinaka kumpletong larawan ng problema at solusyon nito. Ang pagiging simple ng mga diagram ng Euler-Venn ay ginagawang posible na gamitin ang diskarteng ito sa mga lugar tulad ng matematika, lohika, pamamahala at iba pang mga inilapat na lugar.

Bibliograpiya

1. Diksyunaryo ng lohika. - M.: Tumanit, ed. center VLADOS. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. Venn Diagram sa Wolfram MathWorld.

PERO	B	C	D	Pagtatalaga mga lugar	Numero
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	10
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6
1	0	1	0	10)	2
1	0	1	1	11)	0
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4
1	1	1	0	14)	7
1	1	1	1	15)	3

PERO	B	C	D	Pagtatalaga mga lugar	Numero
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	10
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6
1	0	1	0	10)	2
1	0	1	1	11)	0
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4
1	1	1	0	14)	7
1	1	1	1	15)	3

PERO	B	C	D	Pagtatalaga mga lugar	Numero
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	10
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6
1	0	1	0	10)	2
1	0	1	1	11)	0
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4
1	1	1	0	14)	7
1	1	1	1	15)	3