Pi'deki tanjant 1 özel bir durumdur. Trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler. İki ana çözüm yöntemi

Konuyla ilgili ders ve sunum: "En basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ilave malzemeler
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

1C'den 10. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometrideki problemleri çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel yapıcı 6.1"

Ne öğreneceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantı zaten inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler - değişkenin trigonometrik fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemler.

En basit trigonometrik denklemleri çözme şeklini tekrarlıyoruz:

1) |а|≤ 1 ise, o zaman cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |а|≤ 1 ise, sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

3) Eğer |a| > 1, o zaman sin(x) = a ve cos(x) = a denkleminin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tamsayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: Т(kx+m)=a, T- herhangi bir trigonometrik fonksiyon.

Misal.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Karar:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazacağız:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Değer tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize geri dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Sonra x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n - eksi bir üzeri n.

Daha fazla trigonometrik denklem örneği.

Denklemleri çözün: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Karar:

A) Bu sefer doğrudan denklemin köklerinin hesaplanmasına gideceğiz:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) 3x- π/3=arctg(√3)+ πk şeklinde yazıyoruz. Bunu biliyoruz: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3, burada k bir tamsayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Karar:

içinde karar vereceğiz Genel görünüm denklemimiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k için k=0, x= π/16 için verilen segment içindeyiz.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vururlar.
k=2 için x= π/16+ π=17π/16, ama burada çarpmadık, yani büyük k için de vurmayacağız.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

En basit trigonometrik denklemleri düşündük, ancak daha karmaşık olanları var. Bunları çözmek için yeni bir değişken tanıtma yöntemi ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. Örneklere bakalım.

Denklemi çözelim:

Karar:
Denklemimizi çözmek için, t=tg(x) ile gösterilen yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanıyoruz.

Değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulun: t=-1 ve t=1/3

Sonra tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3, en basit trigonometrik denklemi elde ettik, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Karar:

Kimliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şöyle olur: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) ikamesini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

Sonra cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

Tanım: a sin(x)+b cos(x) biçimindeki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler denir.

formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e böleriz: Eğer kosinüs ile bölemezsiniz sıfır, şu olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değil, bir çelişki elde ettik, böylece güvenle bölebiliriz sıfır tarafından.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + günah(x) cos(x) = 0

Karar:

Ortak çarpanı çıkarın: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk için Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün, denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. Bakın ne katsayısına eşittir ve eğer a = 0 ise, denklemimiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) biçimini alacaktır, bunun çözümü bir önceki slayttadır.

2. Eğer a≠0 ise, denklemin her iki kısmını da kare kosinüs ile bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirirsek şu denklemi elde ederiz:

Örnek #:3'ü çözün

Denklemi çözün:
Karar:

Denklemin her iki tarafını kosinüs karesine bölün:

t=tg(x) değişkeninde değişiklik yapıyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulun: t=-3 ve t=1

O halde: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk

Çöz Örnek #:4

Denklemi çözün:

Karar:
İfademizi dönüştürelim:

Şu denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Çöz Örnek #:5

Denklemi çözün:

Karar:
İfademizi dönüştürelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değiştirmeyi tanıtıyoruz

İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökleri olacaktır: t=-2 ve t=1/2

Sonra şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yaytg(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız çözüm için görevler.

1) Denklemi çözün

A) günah(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; π].

3) Denklemi çözün: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Temel trigonometri formülleri hakkında bilgi gerektirir - sinüs ve kosinüsün karelerinin toplamı, teğetin sinüs ve kosinüs yoluyla ifadesi ve diğerleri. Unutanlar veya tanımayanlar için "" makalesini okumanızı öneririz.
Yani ana trigonometrik formüller Onları uygulamaya koymanın zamanının geldiğini biliyoruz. trigonometrik denklemleri çözme Doğru yaklaşımla, örneğin bir Rubik küpünü çözmek gibi oldukça heyecan verici bir aktivitedir.

Adından yola çıkarak, bir trigonometrik denklemin, bilinmeyenin bir trigonometrik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklem olduğu açıktır.
Sözde basit trigonometrik denklemler vardır. Şuna benziyorlar: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Düşünmek, böyle trigonometrik denklemler nasıl çözülür, netlik için zaten tanıdık trigonometrik daireyi kullanacağız.

günah = bir

çünkü x = bir

tan x = bir

karyola x = bir

Herhangi bir trigonometrik denklem iki aşamada çözülür: denklemi en basit forma getiriyoruz ve sonra onu en basit trigonometrik denklem olarak çözüyoruz.
Trigonometrik denklemlerin çözüldüğü 7 ana yöntem vardır.

1. Değişken ikame ve ikame yöntemi

2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 denklemini çözün

İndirgeme formüllerini kullanarak şunları elde ederiz:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Basitlik için cos(x + /6)'yı y ile değiştirelim ve normal ikinci dereceden denklemi elde edelim:

2y 2 – 3y + 1 + 0

y 1 = 1, y 2 = 1/2 olan kökleri

Şimdi geriye gidelim

Bulunan y değerlerini yerine koyarız ve iki cevap alırız:

2. Trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme

sin x + cos x = 1 denklemi nasıl çözülür?

0 sağda kalacak şekilde her şeyi sola kaydıralım:

günah x + cos x - 1 = 0

Denklemi basitleştirmek için yukarıdaki kimlikleri kullanıyoruz:

günah x - 2 günah 2 (x/2) = 0

Çarpanlara ayırmayı yapalım:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 günah 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

iki denklem elde ederiz

3. Homojen bir denkleme indirgeme

Bir denklem, sinüs ve kosinüs açısından tüm terimleri aynı derecede aynı açıdaysa, sinüs ve kosinüs açısından homojendir. Homojen bir denklemi çözmek için aşağıdakileri yapın:

a) tüm üyelerini sol tarafa aktarın;

b) tüm ortak çarpanları parantez dışında bırakın;

c) tüm faktörleri ve parantezleri 0'a eşitleyin;

d) parantez içinde alındı homojen denklem daha az derecede, sırayla, daha yüksek derecede bir sinüs veya kosinüs'e bölünür;

e) tg için elde edilen denklemi çözün.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 denklemini çözün

sin 2 x + cos 2 x = 1 formülünü kullanalım ve sağdaki açık ikiden kurtulalım:

3sin 2 x + 4 günah x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

günah 2 x + 4 günah x cos x + 3 cos 2 x = 0

cosx'e bölün:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x'i y ile değiştiririz ve ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:

kökleri y 1 =1, y 2 = 3 olan y 2 + 4y +3 = 0

Buradan orijinal denkleme iki çözüm buluyoruz:

x 2 \u003d yay 3 + k

4. Yarım açıya geçiş yoluyla denklemleri çözme

3sin x - 5cos x = 7 denklemini çözün

x/2'ye geçelim:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Her şeyi sola kaydırmak:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ile böl:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Yardımcı açının tanıtılması

Dikkate almak için, şu formun bir denklemini alalım: a günah x + b cos x \u003d c,

burada a, b, c bazı keyfi katsayılardır ve x bir bilinmeyendir.

Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:



Şimdi trigonometrik formüllere göre denklemin katsayıları var günahın özellikleri ve cos, yani: modülleri 1'den fazla değildir ve karelerin toplamı = 1'dir. Bunları sırasıyla cos ve günah olarak gösteririz, burada - bu sözde yardımcı açı. O zaman denklem şu şekli alacaktır:

çünkü * günah x + günah * çünkü x \u003d C

veya günah(x + ) = C

Bu basit trigonometrik denklemin çözümü

x \u003d (-1) k * yaylarC - + k, nerede



Cos ve sin tanımlarının birbirinin yerine kullanılabildiğine dikkat edilmelidir.

sin 3x - cos 3x = 1 denklemini çözün

Bu denklemde katsayılar:

a \u003d, b \u003d -1, bu yüzden her iki parçayı da \u003d 2'ye böleriz

Çoğunu çözerken Matematik problemleri , özellikle 10. sınıftan önce gerçekleşenler, hedefe götürecek eylemlerin sırası açıkça tanımlanmıştır. Bu tür görevler, örneğin, doğrusal ve ikinci dereceden denklemler, doğrusal ve kare eşitsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden denklemlere indirgenen denklemler. Bahsedilen görevlerin her birinin başarılı bir şekilde çözülmesi ilkesi şu şekildedir: ne tür bir görevin çözüldüğünü belirlemek, istenen sonuca götürecek gerekli eylem sırasını hatırlamak, yani. yanıtlayın ve bu adımları izleyin.

Açıkçası, belirli bir sorunu çözmedeki başarı veya başarısızlık, esas olarak çözülmekte olan denklem türünün ne kadar doğru belirlendiğine, çözümünün tüm aşamalarının sırasının ne kadar doğru bir şekilde yeniden üretildiğine bağlıdır. Elbette bu durumda aynı dönüşümleri ve hesaplamaları yapabilecek becerilere sahip olmak gerekir.

ile farklı bir durum ortaya çıkar. trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik olduğunu tespit etmek zor değil. Doğru cevaba götürecek eylemlerin sırasını belirlerken zorluklar ortaya çıkar.

Tarafından görünüm denklemler bazen türünü belirlemek zordur. Ve denklemin türünü bilmeden, birkaç düzine trigonometrik formülden doğru olanı seçmek neredeyse imkansızdır.

Trigonometrik denklemi çözmek için şunu denemeliyiz:

1. denklemde yer alan tüm fonksiyonları "aynı açılara" getirin;
2. denklemi "aynı işlevlere" getirin;
3. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın, vb.

Düşünmek trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler.

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme

Çözüm şeması

Aşama 1. ifade etmek trigonometrik fonksiyon Bilinen bileşenler aracılığıyla.

Adım 2 Formülleri kullanarak işlev bağımsız değişkenini bulun:

çünkü x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

günah x = a; x \u003d (-1) n arksin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = bir; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Aşama 3 Bilinmeyen bir değişken bulun.

Misal.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Karar.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cevap: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Değişken ikame

Çözüm şeması

Aşama 1. denklemi şuraya getirin: cebirsel form trigonometrik fonksiyonlardan birine göre.

Adım 2 Ortaya çıkan işlevi t değişkeni ile belirtin (gerekirse, t'ye kısıtlamalar getirin).

Aşama 3 Elde edilen cebirsel denklemi yazın ve çözün.

4. Adım Ters bir ikame yapın.

Adım 5 En basit trigonometrik denklemi çözün.

Misal.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Karar.

1) 2(1 - günah 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Günah (x/2) = t olsun, burada |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 veya e = -3/2 |t| koşulunu sağlamaz. ≤ 1.

4) günah (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cevap: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Denklem sırasını azaltma yöntemi

Çözüm şeması

Aşama 1. Güç azaltma formüllerini kullanarak bu denklemi doğrusal bir denklemle değiştirin:

günah 2 x \u003d 1/2 (1 - çünkü 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Adım 2 Elde edilen denklemi I ve II yöntemlerini kullanarak çözün.

Misal.

cos2x + cos2x = 5/4.

Karar.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) çünkü 2x + 1/2 + 1/2 çünkü 2x = 5/4;

3/2 çünkü 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cevap: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. homojen denklemler

Çözüm şeması

Aşama 1. Bu denklemi forma getirin

a) a sin x + b cos x = 0 (birinci dereceden homojen denklem)

ya da görünüme

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci derecenin homojen denklemi).

Adım 2 Denklemin her iki tarafını da

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ve tg x için denklemi alın:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Aşama 3 Denklemi bilinen yöntemleri kullanarak çözün.

Misal.

5sin 2 x + 3sin x çünkü x - 4 = 0.

Karar.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

günah 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / çünkü 2 x ≠ 0.

2) tg 2x + 3tgx - 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 veya t = -4, yani

tg x = 1 veya tg x = -4.

Birinci denklemden x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cevap: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Trigonometrik formüller kullanarak bir denklemi dönüştürme yöntemi

Çözüm şeması

Aşama 1. Her türlü trigonometrik formülü kullanarak bu denklemi I, II, III, IV yöntemleriyle çözülebilecek bir denklem haline getirin.

Adım 2 Bilinen yöntemleri kullanarak elde edilen denklemi çözün.

Misal.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Karar.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x çünkü x + günah 2x = 0.

2) günah 2x (2cos x + 1) = 0;

günah 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

Birinci denklemden 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci denklemden cos x = -1/2.

elimizde x = π/4 + πn/2, n Є Z var; ikinci denklemden x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Sonuç olarak, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cevap: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonometrik denklemleri çözme yeteneği ve becerileri çok önemli, gelişimleri hem öğrenci hem de öğretmen açısından büyük çaba gerektirir.

Stereometri, fizik vb. Birçok problem trigonometrik denklemlerin çözümü ile ilişkilidir.Bu tür problemleri çözme süreci, olduğu gibi, trigonometri elemanlarını incelerken edinilen bilgi ve becerilerin çoğunu içerir.

Trigonometrik denklemler, matematik öğretimi ve genel olarak kişilik gelişimi sürecinde önemli bir yer tutar.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Örnekler:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Trigonometrik denklemler nasıl çözülür:

Herhangi bir trigonometrik denklem aşağıdaki türlerden birine indirgenmelidir:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

burada \(t\) x ile bir ifadedir, \(a\) bir sayıdır. Bu tür trigonometrik denklemlere denir. protozoa. () veya özel formüller kullanarak çözmeleri kolaydır:

Burada basit trigonometrik denklemlerin çözümüne ilişkin bilgi grafiklerine bakın: , ve .

Misal . Trigonometrik denklemi \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) çözün.
Karar:

Cevap: \(\left[ \begin(toplanmış)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(toplanmış)\sağ.\) \(k,n∈Z\)

Trigonometrik denklemlerin kökleri için formülde her sembolün anlamı nedir, bkz.

Dikkat!\(\sin⁡x=a\) ve \(\cos⁡x=a\) denklemlerinin, eğer \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) ise çözümleri yoktur. Herhangi bir x için sinüs ve kosinüs, \(-1\)'den büyük veya buna eşit ve \(1\'den küçük veya ona eşit olduğundan):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Misal . \(\cos⁡x=-1,1\) denklemini çözün.
Karar: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Cevap : çözüm yok.

Misal . Trigonometrik denklemi tg\(⁡x=1\) çözün.
Karar:

Sayı çemberi kullanarak denklemi çözün. Bunun için: 1) Bir daire oluşturalım) 2) \(x\) ve \(y\) eksenlerini ve teğetlerin eksenini (\((0;1)\ noktasından geçer) \(y\) eksenine paralel) oluşturun. 3) Teğet ekseninde \(1\) noktasını işaretleyin. 4) Bu noktayı ve orijini - düz bir çizgiyi birleştirin. 5) Bu doğrunun ve sayı dairesinin kesişme noktalarını not edin. 6)Şu noktaların değerlerini işaretleyelim: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Bu noktaların tüm değerlerini yazın. Birbirlerinden tam olarak \(π\) ayrı oldukları için tüm değerler tek bir formülle yazılabilir:

Cevap: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Misal . \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) trigonometrik denklemini çözün.
Karar:

Sayı çemberini tekrar kullanalım. 1) Eksenleri \(x\) ve \(y\) olan bir daire oluşturalım. 2) Kosinüs ekseninde (eksen \(x\)) \(0\) işaretleyin. 3) Bu noktadan kosinüs eksenine bir dik çizin. 4) Dik ve dairenin kesişme noktalarını işaretleyin. 5) Şu noktaların değerlerini işaretleyelim: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Bu noktaların tam değerini yazalım ve kosinüsle (kosinüsün içindekiyle) eşitleyelim. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Her zamanki gibi \(x\)'i denklemlerde ifade edeceğiz. Sayıları \(π\) ve \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), vb. ile ele almayı unutmayın. Bunlar diğerleriyle aynı sayılardır. Sayısal ayrım yok! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Cevap: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Trigonometrik denklemleri en basitine indirgemek yaratıcı bir iştir, burada denklemleri çözmek için her ikisini de ve özel yöntemleri kullanmanız gerekir:
- Yöntem (sınavda en popüler).
- Yöntem.
- Yardımcı argümanların yöntemi.

Kare trigonometrik bir denklem çözme örneğini düşünün

Misal . Trigonometrik denklemi \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) çözün
Karar:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	\(t=\cos⁡x\) değişikliğini yapalım.
	Denklemimiz tipik hale geldi. ile çözebilirsiniz.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Yedek yapıyoruz.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	İlk denklemi bir sayı çemberi kullanarak çözüyoruz. İkinci denklemin çözümü yok çünkü \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ve herhangi bir x için ikiye eşit olamaz.
	Bu noktalarda yatan tüm sayıları yazalım.

Cevap: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ çalışmasıyla trigonometrik bir denklem çözme örneği:

Örnek (KULLANIM) . Trigonometrik denklemi \(=0\) çözün

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Bir kesir var ve bir kotanjant var - bu yüzden yazmanız gerekiyor. Kotanjantın aslında bir kesir olduğunu hatırlatmama izin verin: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Bu nedenle, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) için DPV.
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Sayı çemberindeki "çözüm olmayanları" not edin.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Paydayı ctg\(x\) ile çarparak denklemdeki paydadan kurtulalım. Bunu yapabiliriz çünkü yukarıda ctg\(x ≠0\) yazdık.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Sinüs için çift açı formülünü uygulayın: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Elleriniz kosinüs ile bölmek için uzandıysa - onları geri çekin! Kesinlikle sıfıra eşit değilse, değişkenli bir ifadeye bölebilirsiniz (örneğin, \(x^2+1,5^x\) gibi). Bunun yerine, parantezlerden \(\cos⁡x\) alırız.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Denklemi ikiye bölelim.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	İlk denklemi bir sayı çemberi kullanarak çözüyoruz. İkinci denklemi \(2\) ile bölün ve \(\sin⁡x\)'i sağ tarafa taşıyın.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Ortaya çıkan kökler ODZ'ye dahil değildir. Bu nedenle, yanıt olarak onları yazmayacağız. İkinci denklem tipiktir. Onu \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ile bölün çünkü bu durumda \(\cos⁡x=1\) veya \(\cos⁡ x) =-1\)).
	Yine bir daire kullanıyoruz.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Bu kökler ODZ tarafından dışlanmaz, bu nedenle bir yanıt olarak yazılabilirler.

Cevap: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.