Ve köklerini Latince "sebep" anlamına gelen "ratio" kelimesinden aldılar. Kelimenin tam anlamıyla tercümesine dayanarak:
- Bir rasyonel sayı "makul bir sayı" dır.
- İrrasyonel bir sayı sırasıyla “mantıksız bir sayıdır”.
Bir rasyonel sayının genel kavramı
Bir rasyonel sayı şu şekilde yazılabilen bir sayıdır:
- Adi pozitif kesir.
- Olumsuz ortak kesir.
- Sayı olarak sıfır (0).
Başka bir deyişle, aşağıdaki tanımlar bir rasyonel sayıya uyacaktır:
- Herhangi bir doğal sayı, sıradan bir kesir olarak temsil edilebildiğinden, doğal olarak rasyoneldir.
- Herhangi bir tam sayı, sıfır sayısı da dahil olmak üzere, çünkü herhangi bir tam sayı hem pozitif adi kesir, hem negatif adi kesir hem de sıfır sayısı olarak yazılabilir.
- Herhangi bir adi kesir ve burada pozitif ya da negatif olması önemli değil, aynı zamanda doğrudan bir rasyonel sayının tanımına da yaklaşır.
- Ayrıca tanımda yer alan karışık numara, sonlu bir ondalık kesir veya sonsuz bir periyodik kesir.
Rasyonel Sayı Örnekleri
Rasyonel sayıların örneklerini düşünün:
- Doğal sayılar - "4", "202", "200".
- Tamsayılar - "-36", "0", "42".
- Sıradan kesirler.
Yukarıdaki örneklerden açıkça görülmektedir ki, rasyonel sayılar hem pozitif hem de negatif olabilir. Doğal olarak, aynı zamanda bir rasyonel sayı olan 0 (sıfır) sayısı, aynı zamanda pozitif veya negatif bir sayı kategorisine ait değildir.
Bu nedenle hatırlatmak isterim genel eğitim programı aşağıdaki tanımı kullanarak: "Rasyonel sayılar", x'in (pay) bir tam sayı ve y'nin (payda) bir doğal sayı olduğu, x / y kesri olarak yazılabilen sayılardır.
İrrasyonel sayının genel kavramı ve tanımı
"Rasyonel sayılara" ek olarak, sözde " irrasyonel sayılar". Bu sayıları kısaca tanımlamaya çalışalım.
Kenarları boyunca bir karenin köşegenini hesaplamak isteyen eski matematikçiler bile irrasyonel bir sayının varlığını öğrendiler.
Rasyonel sayıların tanımına dayanarak mantıksal bir zincir oluşturabilir ve irrasyonel bir sayı tanımlayabilirsiniz.
Yani, aslında, rasyonel olmayan bu gerçek sayılar, temel olarak irrasyonel sayılardır.
İrrasyonel sayıları ifade eden ondalık kesirler periyodik ve sonsuz değildir. 
İrrasyonel sayı örnekleri
Açıklık için küçük bir irrasyonel sayı örneğini düşünün. Daha önce anladığımız gibi, sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirlere irrasyonel denir, örneğin:
- "-5.020020002 ... sayısı (ikilerin bir, iki, üç vb. sıfırlardan oluşan bir diziyle ayrıldığı açıkça görülmektedir)
- "7.040044000444 ..." sayısı (burada dörtlü sayısının ve sıfır sayısının bir zincirde her seferinde bir arttığı açıktır).
- Pi sayısını herkes bilir (3.1415 ...). Evet, evet - aynı zamanda mantıksız.
Genel olarak, tüm gerçek sayılar hem rasyonel hem de irrasyoneldir. konuşmak basit terimlerle, irrasyonel bir sayı normal bir x / y kesri olarak temsil edilemez.
Genel sonuç ve sayılar arasında kısa bir karşılaştırma
Her sayıyı ayrı ayrı ele aldık, rasyonel sayı ile irrasyonel sayı arasındaki fark kalır:
- Bir karekök çıkarırken, bir daireyi bir çapa bölerken ve benzeri durumlarda irrasyonel bir sayı oluşur.
- Rasyonel bir sayı, sıradan bir kesri temsil eder.
Yazımızı birkaç tanımla sonlandırıyoruz:
- Bir rasyonel sayı üzerinde yapılan aritmetik bir işlem, 0'a (sıfır) bölmenin yanı sıra, nihai sonuçta bir rasyonel sayıya da yol açacaktır.
- İrrasyonel bir sayı üzerinde aritmetik bir işlem gerçekleştirirken elde edilen sonuç, hem rasyonel hem de irrasyonel bir değere yol açabilir.
- Her iki sayı da aritmetik işlemde yer alıyorsa (sıfırla bölme veya çarpma hariç), sonuç bize irrasyonel bir sayı verecektir.
İrrasyonel bir sayı, sonsuz periyodik olmayan bir kesir olarak temsil edilebilir. İrrasyonel sayılar kümesi $I$ ile gösterilir ve şuna eşittir: $I=R / Q$ .
örneğin. İrrasyonel sayılar:
İrrasyonel sayılarla ilgili işlemler
İrrasyonel sayılar kümesinde dört temel aritmetik işlem tanıtılabilir: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme; ancak listelenen işlemlerin hiçbiri için irrasyonel sayılar kümesi kapatma özelliğine sahip değildir. Örneğin iki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.
örneğin. 0,1010010001 $ \ldots$ ve $0,0101101110 \ldots$ olan iki irrasyonel sayının toplamını bulun. Bu sayıların ilki, sırasıyla bir sıfır, iki sıfır, üç sıfır vb. ile ayrılan bir birler dizisinden, ikincisi - aralarında bir, iki bir, üç bir vb. yerleştirildiler:
$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Böylece, verilen iki irrasyonel sayının toplamı, rasyonel olan $\frac(1)(9)$ sayısıdır.
Misal
Egzersiz yapmak.$\sqrt(3)$ sayısının irrasyonel olduğunu kanıtlayın.
Kanıt.Çelişki ile ispat yöntemini kullanacağız. $\sqrt(3)$'ın bir rasyonel sayı olduğunu, yani $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ kesri olarak temsil edilebileceğini varsayalım, burada $m$ ve $n$ asal doğal sayılar.
Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
3$\cdot n^(2)$ sayısı 3'e bölünebilir. Dolayısıyla $m^(2)$ ve dolayısıyla $m$ 3'e bölünebilir. $m=3 \cdot k$ koyarak, 3 $ \cdot eşitliği n^ (2)=m^(2)$ şu şekilde yazılabilir:
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Son eşitlikten, $n^(2)$ ve $n$'ın 3'e bölünebildiği sonucu çıkar, dolayısıyla $\frac(m)(n)$ kesri 3'e indirgenebilir. Ancak varsayıma göre, $\ kesri frac(m)(n)$ indirgenemez. Ortaya çıkan çelişki, $\sqrt(3)$ sayısının bir $\frac(m)(n)$ kesri olarak gösterilemeyeceğini ve bu nedenle irrasyonel olduğunu kanıtlar.
Q.E.D.
Birim uzunluk parçası ile, eski matematikçiler zaten biliyorlardı: örneğin, sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan köşegenin ve karenin kenarının ölçülemezliğini biliyorlardı.
İrrasyonel:
Mantıksızlık Kanıt Örnekleri
2'nin kökü
Aksini varsayın: rasyoneldir, yani, ve tamsayı olan indirgenemez bir kesir olarak temsil edilir. Sözde eşitliğin karesini alalım:
.Bundan bile, bu nedenle, hatta ve . Bütün nerede olsun. Sonra
Bu nedenle, hatta, bu nedenle, hatta ve . Kesirin indirgenemezliğiyle çelişen bunu elde ettik ve eşittir. Bu nedenle, orijinal varsayım yanlıştı ve irrasyonel bir sayıdır.
3 sayısının ikili logaritması
Aksini varsayın: rasyoneldir, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilir. , ve pozitif alınabilir. Sonra
Ama açık, garip. Bir çelişki elde ederiz.
e
Öykü
İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (MÖ 750 - MÖ 690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemediğini bulduğunda, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi.
İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı bir pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilen tamsayı sayısıdır. Ancak Hippasus, tek bir uzunluk birimi olmadığını, çünkü varlığının varsayımının bir çelişkiye yol açtığını savundu. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü tam sayıda birim parça içeriyorsa, bu sayının aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:
- Hipotenüsün uzunluğunun bir ikizkenar dik üçgenin bacak uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: a:b, nerede a ve b mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
- Pisagor teoremine göre: a² = 2 b².
- Gibi a² hatta, açift olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
- kadarıyla a:b indirgenemez b tuhaf olmalı.
- Gibi a hatta, belirtmek a = 2y.
- Sonra a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², bu nedenle b eşit, o zaman b Bile.
- Ancak kanıtlandı ki b garip. çelişki.
Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdı. alogolar(anlatılamaz), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılmaz olduğu şeklindeki tüm teorinin altında yatan varsayımı yıktı.
Ayrıca bakınız
notlar
| sayısal sistemler | |
|---|---|
| sayma setler |
tamsayılar () |
tamsayılar
Doğal sayıların tanımı pozitif tam sayılardır. Doğal sayılar, nesneleri saymak ve diğer birçok amaç için kullanılır. İşte sayılar:
Bu doğal bir sayı dizisidir.
Sıfır bir doğal sayı mıdır? Hayır, sıfır bir doğal sayı değildir.
Kaç tane doğal sayı vardır? Sonsuz sayıda doğal sayı vardır.
En küçük doğal sayı kaçtır? Bir en küçük doğal sayıdır.
En büyük doğal sayı kaçtır? Belirtilemez, çünkü sonsuz sayıda doğal sayı vardır.
Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Böylece, a ve b doğal sayılarının eklenmesi:
Doğal sayıların çarpımı bir doğal sayıdır. Böylece a ve b doğal sayılarının çarpımı:
c her zaman bir doğal sayıdır.
Doğal sayıların farkı Her zaman bir doğal sayı yoktur. Eksi, çıkarılandan büyükse, doğal sayıların farkı doğal sayıdır, aksi halde değildir.
Doğal sayıların bölümü Her zaman bir doğal sayı yoktur. a ve b doğal sayıları için
c bir doğal sayı olduğunda, a'nın b'ye tam olarak bölünebildiği anlamına gelir. Bu örnekte, a bölendir, b bölendir, c bölümdür.
Bir doğal sayının böleni, ilk sayının tam olarak bölünebildiği doğal sayıdır.
Her doğal sayı kendisine ve 1'e tam bölünür.
Basit doğal sayılar sadece 1'e ve kendilerine tam bölünür. Burada tamamen bölünmüş demek istiyoruz. Örnek, sayılar 2; 3; 5; 7 sadece 1'e ve kendisine tam bölünür. Bunlar basit doğal sayılardır.
Bir asal sayı olarak kabul edilmez.
Birden büyük ve asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Bileşik sayılara örnekler:
Bir, bileşik sayı olarak kabul edilmez.
Doğal sayılar kümesi bir, asal sayı ve bileşik sayılardan oluşur.
Doğal sayılar kümesi Latince N harfi ile gösterilir.
Doğal sayıların toplama ve çarpma özellikleri:
eklemenin değişmeli özelliği
toplamanın birleştirici özelliği
(a + b) + c = a + (b + c);
çarpmanın değişmeli özelliği
çarpmanın birleştirici özelliği
(ab)c = a(bc);
çarpmanın dağılma özelliği
A (b + c) = ab + ac;
Tüm sayılar
Tam sayılar doğal sayılardır, sıfırdır ve doğal sayıların tersidir.
Doğal sayıların karşısındaki sayılar negatif tam sayılardır, örneğin:
1; -2; -3; -4;...
Tam sayılar kümesi Latince Z harfi ile gösterilir.
Rasyonel sayılar
Rasyonel sayılar tam sayılar ve kesirlerdir.
Herhangi bir rasyonel sayı, periyodik bir kesir olarak temsil edilebilir. Örnekler:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Herhangi bir tamsayının, periyodu sıfır olan periyodik bir kesir olduğu örneklerden görülebilir.
Herhangi bir rasyonel sayı, m/n kesri olarak temsil edilebilir, burada m tamsayı,n doğal sayı. Önceki örnekteki 3,(6) sayısını böyle bir kesir olarak gösterelim.
Sayıları, özellikle de doğal sayıları anlamak, en eski matematiksel "becerilerden" biridir. Birçok uygarlık, hatta modern olanlar bile, doğayı tanımlamadaki büyük önemlerinden dolayı sayılara bazı mistik özellikler atfetmiştir. Rağmen modern bilim ve matematik bu "sihirli" özellikleri doğrulamaz, sayı teorisinin önemi yadsınamaz.
Tarihsel olarak, birçok doğal sayı önce ortaya çıktı, daha sonra oldukça kısa bir süre sonra onlara kesirler ve pozitif irrasyonel sayılar eklendi. Kümenin bu alt kümelerinden sonra sıfır ve negatif sayılar tanıtıldı gerçek sayılar. Son küme, karmaşık sayılar kümesi ancak modern bilimin gelişmesiyle ortaya çıktı.
Modern matematikte, sayılara oldukça yakın olmasına rağmen, tarihsel sıraya göre girilmez.
Doğal sayılar $\mathbb(N)$
Doğal sayılar kümesi genellikle $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ olarak belirtilir ve genellikle $\mathbb(N)_0$'ı belirtmek için sıfır ile doldurulur.
$\mathbb(N)$, herhangi bir $a,b,c\in \mathbb(N)$ için aşağıdaki özelliklerle toplama (+) ve çarpma ($\cdot$) işlemlerini tanımlar:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ $\mathbb(N)$ kümesi toplama ve çarpma işlemine göre kapalıdır
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ değişebilirlik
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ilişkilendirilebilirlik
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ dağılımı
5. $a\cdot 1=a$ çarpma için nötr elemandır
$\mathbb(N)$ kümesi çarpma için nötr bir öğe içerdiğinden, toplama için değil, bu kümeye sıfır eklemek, toplama için nötr bir öğe içermesini sağlar.
Bu iki işleme ek olarak, $\mathbb(N)$ kümesinde "küçüktür" ($
1. $a b$ üçleme
2. $a\leq b$ ve $b\leq a$ ise, o zaman $a=b$ bir antisimetridir
3. $a\leq b$ ve $b\leq c$ ise, o zaman $a\leq c$ geçişlidir
4. $a\leq b$ ise, o zaman $a+c\leq b+c$
5. $a\leq b$ ise, o zaman $a\cdot c\leq b\cdot c$
Tamsayılar $\mathbb(Z)$
Tamsayı örnekleri:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
$a$ ve $b$ bilinen doğal sayılar ve $x$ bilinmeyen bir doğal sayı olduğu $a+x=b$ denkleminin çözümü, yeni bir işlemin - çıkarmanın (-) kullanılmasını gerektirir. Bu denklemi sağlayan bir doğal sayı $x$ varsa, o zaman $x=b-a$. Bununla birlikte, bu özel denklemin $\mathbb(N)$ kümesi üzerinde mutlaka bir çözümü yoktur, bu nedenle pratik hususlar, doğal sayılar kümesinin böyle bir denklemin çözümlerini içerecek şekilde genişletilmesini gerektirir. Bu, bir tamsayı kümesinin tanıtılmasına yol açar: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ olduğundan, daha önce tanıtılan $+$ ve $\cdot$ işlemlerinin ve $ 1 ilişkisinin olduğunu varsaymak mantıklıdır. $0+a=a+0=a$ eklemeler için nötr bir unsur var
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ için karşıt bir $-a$ sayısı var
5. Mülkiyet:
5. $0\leq a$ ve $0\leq b$ ise, o zaman $0\leq a\cdot b$
$\mathbb(Z) $ kümesi de çıkarma işleminde kapalıdır, yani $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Rasyonel sayılar $\mathbb(Q)$
Rasyonel sayılara örnekler:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Şimdi $a\cdot x=b$ biçimindeki denklemleri düşünün, burada $a$ ve $b$ bilinen tamsayılar ve $x$ bilinmiyor. Çözümü mümkün kılmak için, bölme işlemini ($:$) tanıtmak gerekir ve çözüm $x=b:a$ olur, yani $x=\frac(b)(a)$ olur. Yine, $x$'ın her zaman $\mathbb(Z)$'a ait olmadığı sorunu ortaya çıkar, bu nedenle tamsayılar kümesi genişletilmelidir. Böylece, $\mathbb(Q)$ rasyonel sayılar kümesini $\frac(p)(q)$ öğeleriyle tanıtıyoruz, burada $p\in \mathbb(Z)$ ve $q\in \mathbb(N) $. $\mathbb(Z)$ kümesi, her öğenin $q=1$ olduğu bir altkümedir, dolayısıyla $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ve toplama ve çarpma işlemleri de buna göre bu kümeye uygulanır. $\mathbb(Q)$ kümesinde de yukarıdaki tüm özellikleri koruyan aşağıdaki kurallara:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Bölme şu şekilde girilir:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
$\mathbb(Q)$ kümesinde, $a\cdot x=b$ denkleminin her bir $a\neq 0$ için benzersiz bir çözümü vardır (sıfıra bölme tanımlanmamıştır). Bu, $\frac(1)(a)$ veya $a^(-1)$ ters elemanı olduğu anlamına gelir:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\vardır \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
$\mathbb(Q)$ kümesinin sırası şu şekilde genişletilebilir:
$\frac(p_1)(q_1)
$\mathbb(Q)$ kümesinin önemli bir özelliği vardır: herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı vardır, bu nedenle doğal ve tam sayı kümelerinin aksine iki komşu rasyonel sayı yoktur.
İrrasyonel sayılar $\mathbb(I)$
İrrasyonel sayılara örnekler:
$\sqrt(2) \yaklaşık 1.41422135...$
$\pi \yaklaşık 3.1415926535...$
Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı olduğundan, rasyonel sayılar kümesinin o kadar yoğun olduğu ve onu daha fazla genişletmeye gerek olmadığı sonucuna varmak kolaylıkla yanlıştır. Pisagor bile bir zamanlar böyle bir hata yaptı. Ancak çağdaşları, rasyonel sayılar kümesinde $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) denkleminin çözümlerini incelerken bu sonucu zaten çürüttüler. Böyle bir denklemi çözmek için, karekök kavramını tanıtmak gerekir ve sonra bu denklemin çözümü $x=\sqrt(2)$ biçimindedir. $a$'ın bilinen bir rasyonel sayı ve $x$'ın bilinmeyen olduğu $x^2=a$ türünde bir denklem, rasyonel sayılar kümesinde her zaman bir çözüme sahip değildir ve yine bir ihtiyaç vardır. Seti genişletmek için Bir dizi irrasyonel sayı ortaya çıkar ve $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... gibi sayılar bu kümeye aittir.
Gerçek sayılar $\mathbb(R)$
Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesidir. $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ olduğundan, tanıtılan aritmetik işlemlerin ve ilişkilerin özelliklerini yeni kümede koruduğunu varsaymak yine mantıklıdır. Bunun resmi bir kanıtı oldukça zordur, bu nedenle yukarıdaki özellikler Aritmetik işlemler ve reel sayılar kümesindeki ilişkiler aksiyomlar olarak tanıtılır. Cebirde, böyle bir nesneye alan denir, bu nedenle gerçek sayılar kümesine sıralı bir alan olduğu söylenir.
Gerçek sayılar kümesinin tanımının tamamlanması için, $\mathbb(Q)$ ve $\mathbb(R)$ kümelerini birbirinden ayıran ek bir aksiyom eklemek gerekir. $S$'ın gerçek sayılar kümesinin boş olmayan bir alt kümesi olduğunu varsayalım. Bir $b\in \mathbb(R)$ öğesi, $\forall x\in S$ $x\leq b$'ı karşılıyorsa, $S$'ın üst sınırı olarak adlandırılır. O zaman $S$ kümesinin yukarıdan sınırlı olduğu söylenir. Bir $S$ kümesinin en küçük üst sınırına supremum denir ve $\sup S$ ile gösterilir. Bir alt sınır, aşağıda sınırlı bir küme ve bir sonsuz $\inf S$ kavramları benzer şekilde tanıtılır. Şimdi eksik aksiyom şu şekilde formüle edilir:
Herhangi bir boş olmayan ve reel sayılar kümesinin yukarıdaki alt kümesinden sınırlı bir üstünlüğü vardır.
Yukarıda tanımlanan reel sayıların alanının benzersiz olduğu da kanıtlanabilir.
Karmaşık sayılar$\mathbb(C)$
Karmaşık sayılara örnekler:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ burada $i = \sqrt(-1)$ veya $i^2 = -1$
Karmaşık sayılar kümesi sıralı gerçek sayı çiftleridir, yani $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, üzerinde toplama ve çarpma aşağıdaki şekilde tanımlanır:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Karmaşık sayıları yazmanın birkaç yolu vardır; bunlardan en yaygını $z=a+ib$'dır; burada $(a,b)$ bir gerçek sayı çiftidir ve $i=(0,1)$ sayısıdır. hayali birim denir.
$i^2=-1$ olduğunu göstermek kolaydır. $\mathbb(R)$ kümesinin $\mathbb(C)$ kümesine uzantısı, tanımlamamızı sağlar Kare kök karmaşık sayılar kümesinin tanıtılmasının nedeni olan negatif sayılar. $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ olarak verilen $\mathbb(C)$ kümesinin bir alt kümesinin tümünü karşıladığını göstermek de kolaydır. gerçek sayılar için aksiyomlar, dolayısıyla $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ veya $R\subset\mathbb(C)$.
$\mathbb(C)$ kümesinin toplama ve çarpma işlemlerine göre cebirsel yapısı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. toplama ve çarpmanın değişebilirliği
2. toplama ve çarpmanın birlikteliği
3. $0+i0$ - ekleme için nötr eleman
4. $1+i0$ - çarpma için nötr eleman
5. çarpma toplamaya göre dağılır
6. Hem toplama hem de çarpma için tek bir ters eleman vardır.