Birim uzunluk parçası ile, eski matematikçiler zaten biliyorlardı: örneğin, sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan köşegenin ve karenin kenarının ölçülemezliğini biliyorlardı.
İrrasyonel:
Mantıksızlık Kanıt Örnekleri
2'nin kökü
Aksini varsayın: rasyoneldir, yani, ve tamsayı olan indirgenemez bir kesir olarak temsil edilir. Sözde eşitliğin karesini alalım:
.Bundan bile, bu nedenle, hatta ve . Bütün nerede olsun. Sonra
Bu nedenle, hatta, bu nedenle, hatta ve . Kesirin indirgenemezliğiyle çelişen bunu elde ettik ve eşittir. Bu nedenle, orijinal varsayım yanlıştı ve irrasyonel bir sayıdır.
3 sayısının ikili logaritması
Aksini varsayın: rasyoneldir, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilir. , ve pozitif alınabilir. Sonra
Ama açık, garip. Bir çelişki elde ederiz.
e
Öykü
İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (MÖ 750 - MÖ 690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemediğini bulduğunda, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi.
İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı bir pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilen tamsayı sayısıdır. Ancak Hippasus, tek bir uzunluk birimi olmadığını, çünkü varlığının varsayımının bir çelişkiye yol açtığını savundu. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü bir tamsayı birim parçası içeriyorsa, bu sayının aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:
- Hipotenüsün uzunluğunun bir ikizkenar dik üçgenin bacak uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: a:b, nerede a ve b mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
- Pisagor teoremine göre: a² = 2 b².
- Gibi a² hatta, açift olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
- kadarıyla a:b indirgenemez b tuhaf olmalı.
- Gibi a hatta, belirtmek a = 2y.
- Sonra a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², bu nedenle b eşit, o zaman b Bile.
- Ancak kanıtlandı ki b garip. çelişki.
Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdı. alogolar(ifade edilemez), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılmaz olduğu şeklindeki tüm teorinin altında yatan varsayımı yıktı.
Ayrıca bakınız
notlar
| sayısal sistemler | |
|---|---|
| sayma setler |
tamsayılar () |
Daha önce $1\frac25$'ın $\sqrt2$'a yakın olduğunu göstermiştik. Tam olarak $\sqrt2$'a eşit olsaydı, . O zaman - $\frac(1\frac25)(1)$ oranı, kesrin üst ve alt kısımlarının 5 ile çarpılmasıyla $\frac75$ tamsayılarının oranına dönüştürülebilen, istenen değer olacaktır.
Ancak ne yazık ki $1\frac25$, $\sqrt2$'ın tam değeri değil. $1\frac(41)(100)$ için daha kesin bir cevap $\frac(141)(100)$ bağıntısıyla verilir. $\sqrt2$'ı $1\frac(207)(500)$ ile eşitlediğimizde daha da fazla doğruluk elde ederiz. Bu durumda, tam sayılardaki oran $\frac(707)(500)$'a eşit olacaktır. Ama $1\frac(207)(500)$ de 2'nin karekökünün tam değeri değil.Yunan matematikçiler $\sqrt2$'ın tam değerini hesaplamak için çok zaman ve çaba harcadılar, ama asla başaramadılar. $\frac(\sqrt2)(1)$ oranını tam sayıların oranı olarak gösteremediler.
Son olarak, büyük Yunan matematikçi Euclid, hesaplamaların doğruluğu ne kadar artarsa artsın $\sqrt2$'ın tam değerini almanın imkansız olduğunu kanıtladı. Karesi alındığında 2 ile sonuçlanacak bir kesir yoktur. Bu sonuca ilk varanın Pisagor olduğu söylenir, ancak bu açıklanamayan gerçek bilim adamını o kadar etkilemiştir ki, kendi kendine yemin etmiş ve öğrencilerinden bu sonuca varması için yemin etmiştir. bu keşif bir sır. Ancak bu bilgi doğru olmayabilir.
Ancak $\frac(\sqrt2)(1)$ sayısı bir tamsayı oranı olarak gösterilemiyorsa, bu durumda $\sqrt2$ içeren bir sayı yoktur, örneğin $\frac(\sqrt2)(2)$ veya $\frac (4)(\sqrt2)$ aynı zamanda tam sayıların oranı olarak da gösterilemez, çünkü bu tür tüm kesirler bir sayı ile çarpılarak $\frac(\sqrt2)(1)$'a dönüştürülebilir. Yani $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Veya $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, üst ve alt kısım $\sqrt2$ ile çarpılarak dönüştürülebilir ve $\frac(4) elde edilir (\sqrt2)$. ($\sqrt2$ sayısı ne olursa olsun, onu $\sqrt2$ ile çarparsak 2 elde ettiğimizi unutmamalıyız.)
$\sqrt2$ sayısı tam sayıların oranı olarak gösterilemediğinden, buna denir. irrasyonel sayı. Öte yandan, tam sayıların oranı olarak gösterilebilen tüm sayılara denir. akılcı.
Pozitif ve negatif tüm tamsayılar ve kesirli sayılar rasyoneldir.
Anlaşıldığı üzere, çoğu Karekök irrasyonel sayılardır. Rasyonel karekökler yalnızca bir dizi kare sayıya dahil edilen sayılar içindir. Bu sayılara tam kareler de denir. Rasyonel sayılar da bu tam karelerden oluşan kesirlerdir. Örneğin, $\sqrt(1\frac79)$ rasyonel bir sayıdır çünkü $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ veya $1\frac13$ (4 köktür 16'nın karesi ve 3, 9'un karekökü).
Bu makalenin malzemesi, hakkında ilk bilgilerdir. irrasyonel sayılar . İlk olarak irrasyonel sayıların tanımını yapıp açıklayacağız. Aşağıda bazı irrasyonel sayılar örnekleri verilmiştir. Son olarak, verilen bir sayının irrasyonel olup olmadığını bulmak için bazı yaklaşımlara bakalım.
Sayfa gezintisi.
İrrasyonel sayıların tanımı ve örnekleri
Ondalık kesirleri incelerken, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirleri ayrı ayrı ele aldık. Bu tür kesirler, tek bir segmentle kıyaslanamaz olan segment uzunluklarının ondalık ölçümünde ortaya çıkar. Ayrıca sonsuz tekrarlanmayan ondalık sayıların dönüştürülemeyeceğini de belirtmiştik. ortak kesirler(sıradan kesirlerin ondalık sayılara dönüştürülmesine ve tam tersi), bu nedenle, bu sayılar rasyonel sayılar değildir, sözde irrasyonel sayıları temsil ederler.
biz de geldik irrasyonel sayıların tanımı.
Tanım.
Ondalık gösterimde sonsuz yinelenmeyen ondalık kesirleri temsil eden sayılara denir. irrasyonel sayılar.
Sesli tanım getirmeyi sağlar irrasyonel sayı örnekleri. Örneğin, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesir 4.10110011100011110000… (birlerin ve sıfırların sayısı her seferinde bir artar) irrasyonel bir sayıdır. İrrasyonel sayıya başka bir örnek verelim: −22.353335333335 ... (sekizleri ayıran üçlülerin sayısı her seferinde iki artar).
İrrasyonel sayıların, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirler biçiminde oldukça nadir olduğuna dikkat edilmelidir. Genellikle formda bulunurlar , vb. ve ayrıca özel olarak tanıtılan harfler şeklinde. Böyle bir gösterimdeki irrasyonel sayıların en ünlü örnekleri aritmetiktir. Kare kök ikisinden "pi" sayısı π=3.141592…, e=2.718281… ve altın sayı.
İrrasyonel sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıları birleştiren gerçek sayılar olarak da tanımlanabilir.
Tanım.
İrrasyonel sayılar- Bu gerçek sayılar, hangi rasyonel değildir.
Bu sayı irrasyonel midir?
Bir sayı ondalık kesir olarak değil, belirli bir kök, logaritma vb. olarak verildiğinde, çoğu durumda irrasyonel olup olmadığı sorusunu cevaplamak oldukça zordur.
Şüphesiz, sorulan soruyu cevaplarken hangi sayıların irrasyonel olmadığını bilmek çok faydalıdır. Rasyonel sayıların irrasyonel sayılar olmadığı irrasyonel sayıların tanımından çıkar. Bu nedenle, irrasyonel sayılar:
- sonlu ve sonsuz periyodik ondalık kesirler.
Ayrıca, işaretlerle birbirine bağlanan herhangi bir rasyonel sayı bileşimi irrasyonel sayı değildir. Aritmetik işlemler(+, -, ·, :). Çünkü iki rasyonel sayının toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü bir rasyonel sayıdır. Örneğin, ifadelerin değerleri ve rasyonel sayılardır. Burada, rasyonel sayılar arasında bu tür ifadelerde tek bir irrasyonel sayı varsa, tüm ifadenin değerinin bir irrasyonel sayı olacağını not ediyoruz. Örneğin, ifadede sayı irrasyoneldir ve sayıların geri kalanı rasyoneldir, bu nedenle irrasyonel sayı. Rasyonel bir sayı olsaydı, o zaman sayının rasyonalitesi buradan gelirdi, ama rasyonel değil.
Bir sayı verilen ifade birkaç irrasyonel sayı, kök işareti, logaritma içeriyorsa, trigonometrik fonksiyonlar, sayılar π , e, vb., o zaman belirli bir sayının irrasyonelliğini veya rasyonelliğini her özel durumda kanıtlamak gerekir. Bununla birlikte, kullanılabilecek halihazırda elde edilmiş birkaç sonuç vardır. Başlıcalarını sıralayalım.
Bir tamsayının k'inci kökünün, ancak kökün altındaki sayı başka bir tamsayının k'inci kuvvetiyse rasyonel sayı olduğu kanıtlanmıştır, diğer durumlarda böyle bir kök irrasyonel bir sayı tanımlar. Örneğin, sayılar ve irrasyoneldir, çünkü karesi 7 olan bir tamsayı ve beşinci kuvvete yükseltilmesi 15 sayısını veren bir tamsayı yoktur. Ve sayılar ve irrasyonel değildir, çünkü and .
Logaritmalara gelince, bazen mantıksızlıklarını çelişki ile kanıtlamak mümkündür. Örneğin, log 2 3'ün irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlayalım.
Diyelim ki log 2 3 irrasyonel değil rasyonel bir sayıdır, yani sıradan bir m/n kesri olarak gösterilebilir. ve aşağıdaki eşitlikler zincirini yazmamıza izin verin: . Son eşitlik imkansızdır, çünkü sol tarafındadır. garip numara, ve hatta sağ tarafta. Böylece, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelen bir çelişkiye geldik ve bu log 2 3'ün irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlıyor.
Herhangi bir pozitif ve birim olmayan rasyonel a için lna'nın bir irrasyonel sayı olduğuna dikkat edin. Örneğin, ve irrasyonel sayılardır.
Ayrıca, sıfır olmayan herhangi bir rasyonel a için e a sayısının irrasyonel olduğu ve sıfır olmayan herhangi bir z tamsayısı için π z sayısının irrasyonel olduğu kanıtlanmıştır. Örneğin sayılar irrasyoneldir.
İrrasyonel sayılar ayrıca argümanın herhangi bir rasyonel ve sıfır olmayan değeri için sin , cos , tg ve ctg trigonometrik fonksiyonlarıdır. Örneğin, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , irrasyonel sayılardır.
Kanıtlanmış başka sonuçlar da var, ancak kendimizi daha önce listelenenlerle sınırlayacağız. Ayrıca, yukarıdaki sonuçların kanıtlanmasında, teori ile ilişkili olduğu söylenmelidir. cebirsel sayılar ve aşkın sayılar.
Sonuç olarak, verilen sayıların mantıksızlığı hakkında aceleci sonuçlar çıkarılmaması gerektiğini not ediyoruz. Örneğin, bir irrasyonel sayının irrasyonel derece irrasyonel bir sayıdır. Ancak, bu her zaman böyle değildir. Seslendirilen gerçeğin bir teyidi olarak, dereceyi sunuyoruz. - İrrasyonel bir sayı olduğu ve bunun da kanıtlandığı - irrasyonel bir sayı, ancak - rasyonel bir sayı olduğu bilinmektedir. Ayrıca toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü rasyonel sayılar olan irrasyonel sayılara örnekler verebilirsiniz. Ayrıca, π+e , π−e , π e , π π , π e ve diğer birçok sayının rasyonelliği veya irrasyonelliği henüz kanıtlanmamıştır.
Bibliyografya.
- Matematik. 6. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya. Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, Rev. - E.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
irrasyonel sayı- Bu gerçek Numara rasyonel olmayan, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilemez. İrrasyonel bir sayı, tekrar etmeyen sonsuz bir ondalık sayı olarak temsil edilebilir.
İrrasyonel sayılar kümesi, genellikle koyu ve gölgeli bir Latince büyük harfle gösterilir. Böylece: , yani irrasyonel sayılar kümesi reel ve rasyonel sayılar kümelerinin farkı.
İrrasyonel sayıların varlığı üzerine, daha doğrusu Birim uzunluktaki bir parça ile ölçülemeyen parçalar, eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan köşegenin ve karenin kenarının ölçülemezliğini biliyorlardı.
Özellikleri
- Herhangi bir gerçek sayı sonsuz ondalık kesir olarak yazılabilirken, irrasyonel sayılar ve sadece bunlar periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirler olarak yazılabilir.
- İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük ve üst sınıfta en küçük sayı olmayan rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind kesimlerini tanımlar.
- Her gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.
- Her irrasyonel sayı ya cebirsel ya da aşkındır.
- İrrasyonel sayılar kümesi gerçek doğru üzerinde her yerde yoğundur: herhangi iki sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır.
- İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya eşbiçimlidir.
- İrrasyonel sayılar kümesi sayılamaz, ikinci kategorinin bir kümesidir.
Örnekler
| İrrasyonel sayılar - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
İrrasyonel:
Mantıksızlık Kanıt Örnekleri
2'nin kökü
Aksini varsayın: rasyoneldir, yani indirgenemez bir kesir olarak temsil edilir, burada bir tam sayıdır ve doğal bir sayıdır. Sözde eşitliğin karesini alalım:
.Bundan bile, bu nedenle, hatta ve . Bütün nerede olsun. Sonra
Bu nedenle, hatta, bu nedenle, hatta ve . Kesirin indirgenemezliğiyle çelişen bunu elde ettik ve eşittir. Bu nedenle, orijinal varsayım yanlıştı ve irrasyonel bir sayıdır.
3 sayısının ikili logaritması
Aksini varsayın: rasyoneldir, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilir. , ve pozitif alınabilir. Sonra
Ama açık, garip. Bir çelişki elde ederiz.
e
Öykü
İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (MÖ 750 - MÖ 690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemediğini bulduğunda, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi.
İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı bir pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilen tamsayı sayısıdır. Ancak Hippasus, tek bir uzunluk birimi olmadığını, çünkü varlığının varsayımının bir çelişkiye yol açtığını savundu. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü tam sayıda birim parça içeriyorsa, bu sayının aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:
- Hipotenüsün uzunluğunun bir ikizkenar dik üçgenin bacak uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: a:b, nerede a ve b mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
- Pisagor teoremine göre: a² = 2 b².
- Gibi a² hatta, açift olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
- kadarıyla a:b indirgenemez b tuhaf olmalı.
- Gibi a hatta, belirtmek a = 2y.
- Sonra a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², bu nedenle b eşit, o zaman b Bile.
- Ancak kanıtlandı ki b garip. çelişki.
Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdı. alogolar(ifade edilemez), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılmaz olduğu şeklindeki tüm teorinin altında yatan varsayımı yıktı.
İrrasyonel bir sayının tanımı
İrrasyonel sayılar, ondalık gösterimde sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirler olan sayılardır.
Yani örneğin doğal sayıların karekökü alınarak elde edilen sayılar irrasyoneldir ve doğal sayıların karesi değildir. Ancak tüm irrasyonel sayılar karekökleri çıkararak elde edilmez, çünkü bölerek elde edilen "pi" sayısı da irrasyoneldir ve doğal bir sayıdan karekök çıkarmaya çalışırken bunu elde etmeniz pek olası değildir.
İrrasyonel sayıların özellikleri
Sonsuz ondalık kesirlerde yazılan sayıların aksine, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlerde yalnızca irrasyonel sayılar yazılır.
Negatif olmayan iki irrasyonel sayının toplamı sonunda bir rasyonel sayı olabilir.
İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük sayı olmayan, üst sınıfta daha küçük olmayan rasyonel sayılar kümesinde Dedekind bölümleri tanımlar.
Herhangi bir gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.
Tüm irrasyonel sayılar ya cebirsel ya da aşkındır.
Doğru üzerindeki irrasyonel sayılar kümesi yoğun bir şekilde paketlenmiştir ve bu sayıların herhangi ikisi arasında bir irrasyonel sayı olması zorunludur.
İrrasyonel sayılar kümesi sonsuzdur, sayılamaz ve 2. kategorinin bir kümesidir.
Rasyonel sayılar üzerinde 0'a bölme dışında herhangi bir aritmetik işlem yapıldığında sonucu bir rasyonel sayı olacaktır.
Bir irrasyonel sayıya bir rasyonel sayı eklerken sonuç her zaman irrasyonel bir sayıdır.
İrrasyonel sayıları toplarken sonuç olarak rasyonel bir sayı elde edebiliriz.
İrrasyonel sayılar kümesi çift değildir.
Rakamlar irrasyonel değildir
Bazen bir sayının irrasyonel olup olmadığı sorusunu cevaplamak, özellikle sayının ondalık kesir biçiminde mi yoksa şeklinde mi olduğu durumlarda oldukça zordur. sayısal ifade, kök veya logaritma.
Bu nedenle, hangi sayıların irrasyonel olmadığını bilmek gereksiz olmayacaktır. İrrasyonel sayıların tanımını takip edersek, rasyonel sayıların irrasyonel olamayacağını zaten biliyoruz.
İrrasyonel sayılar değildir:
Öncelikle tüm doğal sayılar;
İkincisi, tamsayılar;
Üçüncüsü, adi kesirler;
Dördüncü, farklı karışık sayılar;
Beşincisi, bunlar sonsuz periyodik ondalık kesirler.
Yukarıdakilerin tümüne ek olarak, +, -, , : gibi aritmetik işlemlerin işaretleri ile gerçekleştirilen herhangi bir rasyonel sayı kombinasyonu irrasyonel sayı olamaz, çünkü bu durumda iki rasyonel sayının sonucu da olacaktır. rasyonel sayı olsun.
Şimdi hangi sayıların irrasyonel olduğuna bakalım:
Bu gizemli matematiksel fenomenin hayranlarının Pi hakkında daha fazla bilgi aradığı ve gizemini çözmeye çalıştığı bir hayran kulübünün varlığından haberiniz var mı? Ondalık noktadan sonra belirli sayıda Pi sayısını ezbere bilen herkes bu kulübe üye olabilir;
Almanya'da UNESCO'nun koruması altında, orantıları sayesinde Pi'yi hesaplayabileceğiniz Castadel Monte sarayı olduğunu biliyor muydunuz? Kral II. Frederick tarafından bütün bir saray bu sayıya adanmıştır.
Pi sayısının inşaatta kullanılmaya çalışıldığı ortaya çıktı. Babil Kulesi. Ancak büyük üzüntümüz için bu, projenin çökmesine yol açtı, çünkü o zamanlar Pi'nin tam hesaplaması yeterince çalışılmamıştı.
Şarkıcı Kate Bush, yeni diskinde ünlülerden yüz yirmi dört sayı seslendiren "Pi" adlı bir şarkı kaydetti. sayı serisi 3, 141…..