Bilindiği gibi, rastgele değişken duruma göre belirli değerler alabilen değişken denir. Rastgele değişkenler, Latin alfabesinin büyük harfleriyle (X, Y, Z) ve değerleriyle - karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (ayrık) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık rassal değişken belirli sıfır olmayan olasılıklarla yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değerler kümesi alan rastgele değişken olarak adlandırılır.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini karşılık gelen olasılıklarıyla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım yasası aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.

1 . Dağıtım yasası tablo ile verilebilir:

burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .

içinde) kullanarak dağıtım fonksiyonu F(x) her x değeri için, X rastgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen, yani. F(x) = P(X< x).

F(x) fonksiyonunun özellikleri

3 . Dağıtım yasası grafiksel olarak ayarlanabilir – dağıtım poligonu (poligon) (bkz. problem 3).

Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birden fazla sayıyı bilmek yeterlidir. Rastgele bir değişkenin "ortalama değeri" anlamına gelen bir sayı veya bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı olabilir. Bu tür sayılara rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri :

• matematiksel beklenti (ortalama değer) ayrık bir rastgele değişkenin M(X)=Σ x ben p ben.
  Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ
• Dağılım Ayrık rassal değişken D(X)=M2 veya D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) farkına rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması denir.
  Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ
• Standart sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).

"Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası" konusundaki problem çözme örnekleri

Görev 1.

1000 piyango bileti düzenlendi: 5 tanesi 500 ruble, 10 tanesi 100 ruble, 20 tanesi 50 ruble ve 50 tanesi 10 ruble kazanacak. Rastgele değişken X'in olasılık dağılımı yasasını belirleyin - bilet başına kazanç.

Çözüm. Sorunun durumuna göre, X rastgele değişkeninin aşağıdaki değerleri mümkündür: 0, 10, 50, 100 ve 500.

Kazanmayan bilet sayısı 1000 - (5+10+20+50) = 915, sonra P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

Benzer şekilde, diğer tüm olasılıkları buluruz: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Ortaya çıkan yasayı bir tablo şeklinde sunuyoruz:

X'in matematiksel beklentisini bulun: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Görev 3.

Cihaz, birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın başarısız olma olasılığı 0,1'dir. Bir deneyde başarısız olan öğelerin sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın, bir dağıtım poligonu oluşturun. F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve çizin. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun.

Çözüm. 1. Kesikli rasgele değişken X=(bir deneydeki başarısız eleman sayısı) aşağıdaki olası değerlere sahiptir: x 1 =0 (cihazın hiçbir elemanı arızalı), x 2 =1 (bir eleman arızalı), x 3 =2 ( iki öğe başarısız oldu ) ve x 4 \u003d 3 (üç öğe başarısız oldu).

Elemanların arızaları birbirinden bağımsızdır, her elemanın arızalanma olasılıkları birbirine eşittir, bu nedenle uygulanabilir. Bernoulli'nin formülü . n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 koşuluna göre, değerlerin olasılıklarını belirleriz:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Kontrol edin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Böylece, istenen binom dağılım yasası X şu şekildedir:

Apsis ekseninde, olası değerleri x i ve ordinat ekseninde karşılık gelen olasılıkları р i çiziyoruz. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) noktalarını oluşturalım. Bu noktaları doğru parçalarıyla birleştirerek istenen dağıtım poligonunu elde ederiz.

3. F(x) = P(X) dağıtım fonksiyonunu bulun

x ≤ 0 için F(x) = P(X'e sahibiz<0) = 0;
0 için< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 için< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 için< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 için F(x) = 1 olacaktır, çünkü olay kesindir.

F(x) fonksiyonunun grafiği

4. X binom dağılımı için:
- matematiksel beklenti М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dağılım D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- standart sapma σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

Normal olasılık dağılımı yasası

Abartmadan, felsefi bir yasa olarak adlandırılabilir. Çevremizdeki dünyanın çeşitli nesnelerini ve süreçlerini gözlemlerken, çoğu zaman bir şeyin yeterli olmadığı ve bir norm olduğu gerçeğiyle karşılaşırız:


İşte temel bir görünüm yoğunluk fonksiyonları normal olasılık dağılımı ve bu en ilginç derse hoş geldiniz.

Hangi örnekler verilebilir? Onlar sadece karanlık. Bu, örneğin, insanların boyu, ağırlığı (ve sadece değil), fiziksel güçleri, zihinsel yetenekleri vb. "kitle" var (öyle ya da böyle) ve her iki yönde de sapmalar var.

Bunlar cansız nesnelerin farklı özellikleridir (aynı boyutlar, ağırlık). Bu, örneğin yüz metrelik bir yarışın zamanı veya reçinenin kehribara dönüşmesi gibi rastgele bir süreç süresidir. Fizikten akla hava molekülleri geldi: aralarında yavaş olanlar var, hızlı olanlar var ama çoğu “standart” hızlarda hareket ediyor.

Ardından, merkezden bir standart sapma daha saparız ve yüksekliği hesaplarız:

Çizimdeki işaretleme noktaları (yeşil renk) ve bunun oldukça yeterli olduğunu görüyoruz.

Son aşamada, dikkatlice bir grafik çiziyoruz ve özellikle dikkatle onu yansıt dışbükeylik / içbükeylik! Muhtemelen uzun zaman önce apsis ekseninin Yatay asimptot, ve bunun için “tırmanmak” kesinlikle imkansız!

Çözümün elektronik tasarımı ile grafiği Excel'de oluşturmak kolaydır ve beklenmedik bir şekilde kendim için bu konuyla ilgili kısa bir video bile kaydettim. Ama önce normal eğrinin şeklinin ve değerlerine bağlı olarak nasıl değiştiğinden bahsedelim.

"a"yı arttırırken veya azaltırken (değişmeyen "sigma" ile) grafik şeklini korur ve sağa / sola hareket eder sırasıyla. Örneğin, fonksiyon şu şekli aldığında ve grafiğimiz 3 birim sola "hareket eder" - tam olarak orijine:


Sıfır matematiksel beklentisi olan normal dağılımlı bir miktar tamamen doğal bir isim aldı - merkezli; yoğunluk fonksiyonu – Bile, ve grafik y eksenine göre simetriktir.

"sigma"da bir değişiklik olması durumunda ("a" sabiti ile), grafik "yerinde kalır", ancak şekil değiştirir. Büyütüldüğünde, dokunaçlarını geren bir ahtapot gibi alçalır ve uzar. Ve tersi, grafiği düşürürken daha dar ve uzun olur- "şaşırmış ahtapot" çıkıyor. Evet, saat azalmak iki kez "sigma": önceki tablo iki kez daralır ve uzar:

Her şey tam uyumludur grafiklerin geometrik dönüşümleri.

Birim değeri olan normal dağılıma "sigma" denir. normalleştirilmiş, ve eğer aynı zamanda merkezli(bizim durumumuz), o zaman böyle bir dağıtım denir standart. Daha önce karşılaşılmış olan daha basit bir yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. yerel Laplace teoremi: . Standart dağıtım pratikte geniş uygulama alanı buldu ve çok yakında amacını anlayacağız.

Şimdi bir film izleyelim:

Evet, oldukça doğru - bir şekilde haksız yere gölgede kaldık olasılık dağılım fonksiyonu. onu hatırlıyoruz tanım:
- rastgele bir değişkenin tüm gerçek değerleri "artı" sonsuza kadar "çalışan" değişkenden DAHA AZ bir değer alma olasılığı.

İntegralin içinde, notasyonda "bindirme" olmaması için genellikle farklı bir harf kullanılır, çünkü burada her değer atanır uygun olmayan integral bazılarına eşit olan sayı aralığından.

Hemen hemen tüm değerler doğru bir şekilde hesaplanamaz, ancak az önce gördüğümüz gibi, modern hesaplama gücü ile bu zor değildir. Yani fonksiyon için standart dağılımın ilgili excel işlevi genellikle bir argüman içerir:

=NORMSDAĞ(z)

Bir, iki - ve bitirdiniz:

Çizim, hepsinin uygulanmasını açıkça göstermektedir. dağıtım işlevi özellikleri ve buradaki teknik nüanslardan dikkat etmelisiniz yatay asimptotlar ve bir bükülme noktası.

Şimdi konunun temel görevlerinden birini hatırlayalım, yani, nasıl bulunacağını öğrenelim - normal bir rastgele değişken olma olasılığı aralıktan bir değer alacak. Geometrik olarak, bu olasılık eşittir alan karşılık gelen bölümde normal eğri ve x ekseni arasında:

ancak her seferinde yaklaşık bir değer belirleyin mantıksız ve bu nedenle kullanmak daha mantıklı "kolay" formül:
.

! ayrıca hatırlıyor , ne

Burada Excel'i tekrar kullanabilirsiniz, ancak birkaç önemli “ama” vardır: ilk olarak, her zaman elinizin altında değildir ve ikincisi, “hazır” değerler, büyük olasılıkla öğretmenden sorular soracaktır. Neden? Niye?

Bundan daha önce defalarca bahsettim: bir zamanlar (ve çok uzun zaman önce değil) sıradan bir hesap makinesi bir lükstü ve söz konusu sorunu çözmenin “manuel” yolu eğitim literatüründe hala korunmaktadır. Onun özü standartlaştırmak"alfa" ve "beta" değerleri, yani çözümü standart dağılıma indirger:

Not : işlevin genel durumdan elde edilmesi kolaydırdoğrusal kullanarak ikameler. Sonra ve:

ve değiştirmeden sadece formülü takip eder keyfi bir dağılımın değerlerinden standart dağılımın karşılık gelen değerlerine geçiş.

Bu neden gerekli? Gerçek şu ki, değerler atalarımız tarafından titizlikle hesaplandı ve terver ile ilgili birçok kitapta bulunan özel bir tabloda özetlendi. Ama daha da yaygın olanı, daha önce ele aldığımız değerler tablosudur. Laplace integral teoremi:

Elimizde Laplace fonksiyonunun bir değerler tablosu varsa , sonra çözüyoruz:

Kesirli değerler, standart tabloda yapıldığı gibi geleneksel olarak 4 ondalık basamağa yuvarlanır. Ve kontrol için madde 5 Yerleşim.

sana şunu hatırlatırım ve karışıklığı önlemek için her zaman kontrol altında ol, gözlerinizin önünde NE işlevi tablosu.

Cevap yüzde olarak verilmesi gerekir, bu nedenle hesaplanan olasılık 100 ile çarpılmalı ve sonuca anlamlı bir yorum getirilmelidir:

- 5 ila 70 m uçuşla, mermilerin yaklaşık %15,87'si düşecek

Kendi başımıza eğitiyoruz:

Örnek 3

Fabrikada üretilen rulmanların çapı, 1.5 cm beklentisi ve 0.04 cm standart sapması ile normal olarak dağıtılan rastgele bir değişkendir.Rastgele alınan bir rulmanın boyutunun 1,4 ila 1,6 cm arasında olma olasılığını bulun.

Örnek çözümde ve aşağıda, en yaygın seçenek olarak Laplace işlevini kullanacağım. Bu arada, ifadeye göre, burada dikkate alınan aralığın sonlarını dahil edebileceğinizi unutmayın. Ancak, bu kritik değil.

Ve zaten bu örnekte, özel bir durumla karşılaştık - aralık matematiksel beklentiye göre simetrik olduğunda. Böyle bir durumda, şu şekilde yazılabilir ve Laplace fonksiyonunun tuhaflığını kullanarak çalışma formülünü basitleştirin:

Delta parametresi denir sapma matematiksel beklentiden ve çift eşitsizlik kullanılarak "paketlenebilir" modül:

rastgele bir değişkenin değerinin matematiksel beklentiden daha az sapma olasılığıdır.

Peki, tek satıra sığan çözüm :)
rastgele alınan bir yatağın çapının 1,5 cm'den 0,1 cm'den fazla olmaması olasılığıdır.

Bu görevin sonucu birliğe yakın çıktı, ancak daha fazla güvenilirlik istiyorum - yani çapın olduğu sınırları bulmak için. neredeyse herkes rulmanlar. Bunun bir kriteri var mı? Var! Soru sözde tarafından cevaplanır

üç sigma kuralı

Onun özü şudur pratik olarak güvenilir normal olarak dağılan bir rastgele değişkenin aralıktan bir değer alacağı gerçeğidir. .

Gerçekten de, beklentiden sapma olasılığı şundan daha azdır:
veya %99.73

"Rulmanlar" açısından - bunlar 1,38 ila 1,62 cm çapında 9973 parça ve sadece 27 "standart altı" kopyadır.

Pratik araştırmalarda, "üç sigma" kuralı genellikle ters yönde uygulanır: eğer istatistiksel olarak hemen hemen tüm değerlerin incelenen rastgele değişken 6 standart sapma aralığına sığarsa, bu değerin normal yasaya göre dağıtıldığına inanmak için iyi nedenler vardır. Doğrulama teori kullanılarak gerçekleştirilir istatistiksel hipotezler.

Zorlu Sovyet görevlerini çözmeye devam ediyoruz:

Örnek 4

Tartım hatasının rastgele değeri, sıfır matematiksel beklenti ve 3 gramlık standart sapma ile normal yasaya göre dağıtılır. Bir sonraki tartımın mutlak değerde 5 gramı geçmeyen bir hata ile yapılması olasılığını bulunuz.

ÇözümÇok basit. Duruma göre ve bir sonraki tartımda hemen not ediyoruz (bir şey veya birisi) 9 gramlık bir doğrulukla neredeyse %100 sonuç alacağız. Ancak problemde daha dar bir sapma var ve formüle göre :

- Bir sonraki tartımın 5 gramı aşmayan bir hatayla yapılma olasılığı.

Cevap:

Çözülmüş bir problem, görünüşte benzer bir problemden temelde farklıdır. Örnek 3 hakkında ders üniforma dağıtımı. Bir hata oluştu yuvarlamaölçüm sonuçları, burada ölçümlerin kendi rastgele hatasından bahsediyoruz. Bu tür hatalar, cihazın kendisinin teknik özelliklerinden kaynaklanmaktadır. (İzin verilen hataların aralığı, kural olarak pasaportunda belirtilir), ve ayrıca deneycinin hatasıyla - örneğin, "gözle" aynı ölçeklerin okundan okumalar aldığımızda.

Diğerlerinin yanı sıra, sözde sistematikölçüm hataları. Çoktan Rastgele olmayan cihazın yanlış kurulumu veya çalışması nedeniyle oluşan hatalar. Bu nedenle, örneğin, ayarlanmamış yer kantarları sürekli olarak bir kilogramı "ekleyebilir" ve satıcı sistematik olarak alıcıların ağırlığını azaltır. Veya sistematik olarak değil, çünkü kısa sürede değiştirebilirsiniz. Ancak, her durumda, böyle bir hata rastgele olmayacaktır ve beklentisi sıfırdan farklıdır.

…Acil olarak bir satış eğitimi kursu geliştiriyorum =)

Sorunu kendi başımıza çözelim:

Örnek 5

Silindir çapı, rastgele, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkendir, standart sapması mm'dir. Boncuk çapının uzunluğunun olasılıkla düşeceği matematiksel beklentiye göre simetrik olan aralığın uzunluğunu bulun.

Madde 5* dizayn görünümü yardım etmek. Lütfen matematiksel beklentinin burada bilinmediğini unutmayın, ancak bu sorunun çözülmesine en ufak bir müdahalede bulunmaz.

Ve materyali birleştirmek için şiddetle tavsiye ettiğim sınav görevi:

Örnek 6

Normal dağılan bir rastgele değişken, parametreleri (matematiksel beklenti) ve (standart sapma) tarafından verilir. Gerekli:

a) olasılık yoğunluğunu yazın ve grafiğini şematik olarak gösterin;
b) aralıktan bir değer alma olasılığını bulun ;
c) modülün 'den daha fazla sapmama olasılığını bulun;
d) "üç sigma" kuralını uygulayarak rastgele değişkenin değerlerini bulun.

Bu tür problemler her yerde karşımıza çıkıyor ve yıllarca pratik yaparak yüzlercesini çözebildim. Elle çizim yapmayı ve kağıt hesap tablolarını kullanmayı unutmayın ;)

Artan karmaşıklığın bir örneğini analiz edeceğim:

Örnek 7

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildedir: . Bul , matematiksel beklenti , varyans , dağılım fonksiyonu , çizim yoğunluğu ve dağılım fonksiyonları, bul .

Çözüm: öncelikle koşulun rastgele değişkenin doğası hakkında bir şey söylemediğine dikkat edelim. Tek başına, katılımcının varlığı hiçbir şey ifade etmez: örneğin, gösterici veya genellikle keyfi sürekli dağıtım. Ve bu nedenle, dağılımın “normalliği”nin hala kanıtlanması gerekiyor:

fonksiyon beri belirlenen hiç gerçek değer ve forma indirgenebilir , daha sonra rastgele değişken normal yasaya göre dağıtılır.

Sunuyoruz. Bunun için tam bir kare seçin ve organize etmek üç katlı kesir:


Göstergeyi orijinal formuna döndürerek bir kontrol yaptığınızdan emin olun:

görmek istediğimiz buydu.

Böylece:
- üzerinde güç kuralı"çimdikleme". Ve burada bariz sayısal özellikleri hemen yazabilirsiniz:

Şimdi parametrenin değerini bulalım. Normal dağılım çarpanı forma sahip olduğundan ve , o zaman:
işlevimizi ifade ettiğimiz ve değiştirdiğimiz:
, bundan sonra bir kez daha kaydın üzerinden gözlerimizle gözden geçireceğiz ve ortaya çıkan fonksiyonun forma sahip olduğundan emin olacağız. .

Yoğunluğu çizelim:

ve dağıtım fonksiyonunun grafiği :

Elinizde Excel ve hatta normal bir hesap makinesi yoksa, son tablo kolayca manuel olarak oluşturulur! Bu noktada, dağıtım fonksiyonu değeri alır. ve işte burada

Ayrık rasgele değişkenlerin en yaygın dağılım yasalarını ayırt edebiliriz:

• Binom dağılım yasası
• Poisson dağıtım yasası
• Geometrik dağılım yasası
• Hipergeometrik dağılım yasası

Kesikli rastgele değişkenlerin belirli dağılımları için, değerlerinin olasılıklarının yanı sıra sayısal özelliklerin (matematiksel beklenti, varyans vb.) hesaplanması belirli "formüllere" göre yapılır. Bu nedenle, bu tür dağılımları ve temel özelliklerini bilmek çok önemlidir.

1. Binom dağılım yasası.

Kesikli bir $X$ rastgele değişkeni, $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ değerlerini alırsa, $P\left(X=k\right)= olasılıklarıyla binom olasılık dağılımına tabidir. C^k_n\cdot p^k\cdot (\sol(1-p\sağ))^(n-k)$. Aslında, $X$ rasgele değişkeni, $n$ bağımsız denemelerde $A$ olayının oluşum sayısıdır. $X$ rasgele değişkeni için olasılık dağılım yasası:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i ve P_n\sol(0\sağ) & P_n\sol(1\sağ) & \dots & P_n\sol(n\sağ) \\
\hline
\end(dizi)$

Böyle bir rastgele değişken için beklenti $M\left(X\right)=np$, varyans $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$'dır.

Örnek . Ailede iki çocuk var. Bir erkek ve bir kızın doğum olasılıklarının 0,5$'a eşit olduğunu varsayarak, $\xi $ rasgele değişkeninin dağılım yasasını bulun - ailedeki erkek çocukların sayısı.

$\xi $ rasgele değişkeni, ailedeki erkek çocukların sayısı olsun. $\xi:\ 0,\ ​​1,\ 2$'ın alabileceği değerler. Bu değerlerin olasılıkları $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) formülüyle bulunabilir. )$, burada $n =2$ - bağımsız deneme sayısı, $p=0.5$ - bir dizi $n$ denemede bir olayın meydana gelme olasılığı. Alırız:

$P\left(\xi =0\sağ)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\sol(1-0.5\sağ))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$

$P\left(\xi =1\sağ)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\sol(1-0.5\sağ))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\sağ)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\sol(1-0,5\sağ))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

O zaman $\xi $ rasgele değişkeninin dağılım yasası, $0,\ 1,\ 2$ değerleri ile olasılıkları arasındaki yazışmadır, yani:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(dizi)$

Dağıtım yasasındaki olasılıkların toplamı $1$'a eşit olmalıdır, yani $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =1$.

Beklenti $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varyans $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standart sapma $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\yaklaşık 0,707 $.

2. Poisson dağıtım yasası.

Kesikli bir rastgele değişken $X$ yalnızca $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ negatif olmayan tamsayı değerlerini alabilirse, $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Yorum. Bu dağılımın özelliği, deneysel verilere dayanarak $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ tahminlerini bulmamızdır, eğer elde edilen tahminler birbirine yakınsa, o zaman biz Rastgele değişkenin Poisson dağılım yasasına tabi olduğunu iddia etmek için sebepleri var.

Örnek . Poisson dağıtım yasasına tabi rasgele değişkenlerin örnekleri şunlar olabilir: yarın bir benzin istasyonu tarafından hizmet verilecek araba sayısı; üretilen üründeki kusurlu ürün sayısı.

Örnek . Tesis, üsse 500$'lık ürün gönderdi. Ürünün nakliye sırasında hasar görme olasılığı 0,002$'dır. Hasarlı ürün sayısına eşit $X$ rasgele değişkeninin dağılım yasasını bulun; bu, $M\sol(X\sağ),\D\sol(X\sağ)$'a eşittir.

Kesikli bir rastgele değişken $X$, hasarlı öğelerin sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ parametresiyle Poisson dağılım yasasına tabidir. Değerlerin olasılıkları $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) şeklindedir.}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\sol(X=0\sağ)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\sol(X=1\sağ)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\sol(X=2\sağ)=((1^2)\üstü (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\sol(X=3\sağ)=((1^3)\üzer (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\sol(X=4\sağ)=((1^4)\üzer (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\sol(X=5\sağ)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\sol(X=6\sağ)=((1^6)\üstü (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\sağ)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

$X$ rasgele değişkeninin dağılım yasası:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(dizi)$

Böyle bir rastgele değişken için, matematiksel beklenti ve varyans birbirine eşittir ve $\lambda $ parametresine eşittir, yani $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Geometrik dağılım yasası.

Kesikli bir rastgele değişken $X$ yalnızca $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ doğal değerlerini alabilirse, $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) doğru)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, o zaman böyle bir rastgele değişken $X$'ın geometrik olasılık dağılımı yasasına tabi olduğunu söyleriz. Aslında geometrik dağılım, Bernoulli'nin ilk başarıya yönelik denemeleri gibi görünüyor.

Örnek . Geometrik dağılıma sahip rastgele değişkenlerin örnekleri şunlar olabilir: hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısı; ilk arızadan önce cihazın test sayısı; ilk turadan önceki yazı tura sayısı vb.

Geometrik dağılıma tabi bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) şeklindedir. /p^ 2$.

Örnek . Balıkların yumurtlama yerine hareket etme yolunda 4$'lık bir kilit var. Her bir kilitten bir balığın geçme olasılığı $p=3/5$'dır. $X$ rasgele değişkeninin bir dağıtım serisini oluşturun - kilitte ilk durmadan önce balık tarafından geçen kilit sayısı. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ öğesini bulun.

Rastgele değişken $X$, bentteki ilk duraktan önce balığın geçtiği bentlerin sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken, olasılık dağılımının geometrik yasasına tabidir. $X rastgele değişkeninin alabileceği değerler: 1, 2, 3, 4. Bu değerlerin olasılıkları şu formülle hesaplanır: $P\sol(X=k\sağ)=pq^( k-1)$, burada: $ p=2/5$ - balığın kilitten yakalanma olasılığı, $q=1-p=3/5$ - balığın kilitten geçme olasılığı, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\sol(X=1\sağ)=((2)\üzer (5))\cdot (\sol(((3)\üzer (5))\sağ))^0=((2)\ üzerinde(5))=0.4;$

$P\sol(X=2\sağ)=((2)\üzer (5))\cdot ((3)\üzer (5))=((6)\üst (25))=0.24; $

$P\sol(X=3\sağ)=((2)\üst (5))\cdot (\sol(((3)\üst (5))\sağ))^2=((2)\ üzerinde (5))\cdot ((9)\(25) üzerinde))=((18)\(125))=0.144;$

$P\left(X=4\sağ)=((2)\üst (5))\cdot (\sol(((3)\üst (5))\sağ))^3+(\sol(( (3)\üzer (5))\sağ))^4=((27)\(125) üzerinde))=0.216.$

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\sol(X_i\sağ) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(dizi)$

Beklenen değer:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dağılım:

$D\left(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\sağ)\sağ))^2=)0,4\cdot (\ sol(1-2,176\sağ))^2+0,24\cdot (\sol(2-2,176\sağ))^2+0,144\cdot (\sol(3-2,176\sağ))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\sol(4-2.176\sağ))^2\yaklaşık 1.377.$

Standart sapma:

$\sigma \left(X\sağ)=\sqrt(D\sol(X\sağ))=\sqrt(1.377)\yaklaşık 1.173.$

4. Hipergeometrik dağılım yasası.

Aralarında $m$ nesnelerinin verilen özelliğe sahip olduğu $N$ nesneleri varsa. Rastgele, değiştirilmeden, aralarında belirli bir özelliğe sahip $k$ nesnelerinin bulunduğu $n$ nesneleri ayıklanır. Hipergeometrik dağılım, bir örnekteki tam olarak $k$ nesnelerinin belirli bir özelliğe sahip olma olasılığını tahmin etmeyi mümkün kılar. Rastgele değişken $X$, örnekteki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı olsun. Ardından $X$ rastgele değişkeninin değerlerinin olasılıkları:

$P\left(X=k\sağ)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Yorum. Excel $f_x$ İşlev Sihirbazının HİPERGEOMET istatistiksel işlevi, belirli sayıda denemenin başarılı olma olasılığını belirlemenize olanak tanır.

$f_x\to $ istatistiksel$\to $ HİPERGEOMET$\to $ TAMAM. Doldurmanız gereken bir iletişim kutusu görünecektir. grafikte Number_of_successes_in_sample$k$ değerini belirtin. örnek boyut$n$'a eşittir. grafikte Number_of_successes_in_population$m$ değerini belirtin. Popülasyon boyutu$N$'a eşittir.

Bir geometrik dağılım yasasına tabi olan $X$ ayrık rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi ve varyansı $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) şeklindedir. (1 -((m)\üst (N))\sağ)\sol(1-(((n)\üst (N))\sağ))\üst (N-1))$.

Örnek . Bankanın kredi departmanında yüksek finans eğitimli 5 uzman ve yüksek hukuk eğitimli 3 uzman istihdam edilmektedir. Banka yönetimi, rastgele seçerek ileri eğitim için 3 uzman göndermeye karar verdi.

a) İleri eğitime yönlendirilebilecek yüksek finansal eğitime sahip uzmanların sayısının bir dağılım serisini yapın;

b) Bu dağılımın sayısal özelliklerini bulunuz.

Rastgele değişken $X$, seçilen üç kişi arasından daha yüksek finansal eğitime sahip uzmanların sayısı olsun. $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$'ın alabileceği değerler. Bu rastgele değişken $X$, aşağıdaki parametrelerle hipergeometrik dağılıma göre dağıtılır: $N=8$ - popülasyon büyüklüğü, $m=5$ - popülasyondaki başarı sayısı, $n=3$ - örneklem büyüklüğü, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - örneklemdeki başarı sayısı. Daha sonra $P\left(X=k\right)$ olasılıkları şu formül kullanılarak hesaplanabilir: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ üzerinde. Sahibiz:

$P\left(X=0\sağ)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56)))\yaklaşık 0.018;$

$P\left(X=1\sağ)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56)))\yaklaşık 0,268;$

$P\left(X=2\sağ)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28)))\yaklaşık 0,536;$

$P\left(X=3\sağ)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28)))\yaklaşık 0.179.$

Ardından $X$ rastgele değişkeninin dağılım serisi:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(dizi)$

Hipergeometrik dağılımın genel formüllerini kullanarak $X$ rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini hesaplayalım.

$M\sol(X\sağ)=((nm)\üst (N))=((3\cdot 5)\üst (8))=((15)\üst (8))=1,875.$

$D\sol(X\sağ)=((nm\sol(1-((m)\üst (N))\sağ)\sol(1-((n)\üst (N))\sağ)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\sağ)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\sağ))\üzer (8-1))=((225)\üzer (448))\yaklaşık 0,502.$

$\sigma \left(X\sağ)=\sqrt(D\sol(X\sağ))=\sqrt(0.502)\yaklaşık 0.7085.$

Bir rasgele değişken X'in dağılım fonksiyonu, her x için rasgele değişken X'in değeri alma olasılığını ifade eden F(x) işlevidir., daha küçük x

Örnek 2.5. Rastgele bir değişkenin bir dizi dağılımı verildiğinde

Dağıtım işlevini bulun ve grafiksel olarak gösterin. Çözüm. Tanıma göre

F(jc) = 0 için X X

F(x) = 4'te 0,4 + 0,1 = 0,5 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1'de X > 5.

Yani (bkz. Şekil 2.1):

Dağıtım işlevi özellikleri:

1. Rastgele bir değişkenin dağılım işlevi, sıfır ile bir arasında yer alan, negatif olmayan bir işlevdir:

2. Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, tüm sayı ekseninde azalmayan bir fonksiyondur, yani. de X 2 >x

3. Eksi sonsuzda, dağılım fonksiyonu sıfıra eşittir, artı sonsuzda bire eşittir, yani.

4. Rastgele bir değişkene çarpma olasılığı X aralıkta arasında değişen olasılık yoğunluğunun belirli integraline eşittir. aönceki b(bkz. Şekil 2.2), yani.

Pirinç. 2.2

3. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu (bkz. Şekil 2.3), aşağıdaki formül kullanılarak olasılık yoğunluğu cinsinden ifade edilebilir:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun sonsuz limitlerinde uygun olmayan integral bire eşittir:

Geometrik özellikler / ve 4 olasılık yoğunlukları, arsa olduğu anlamına gelir dağılım eğrisi - x ekseninin altında değil, ve şeklin toplam alanı, sınırlı dağılım eğrisi ve x ekseni, bire eşittir.

Sürekli bir rastgele değişken için X beklenen değer M(X) ve varyans D(X) formüllerle belirlenir:

(eğer integral mutlak yakınsaksa); veya

(indirgenmiş integraller yakınsarsa).

Yukarıda belirtilen sayısal özelliklerin yanı sıra, bir rasgele değişkeni tanımlamak için nicelikler ve yüzde noktaları kavramı kullanılır.

q seviye niceliği(veya q-kantil) böyle bir değerdirx qrastgele değişken, dağıtım fonksiyonunun değeri aldığı yer, q'ya eşit, yani

• 100q%-ou noktası, X~ q niceliğidir.
• ? Örnek 2.8.

Örnek 2.6'ya göre niceliği bulun xqj ve %30 rastgele değişken noktası x.

Çözüm. Tanım olarak (2.16) F(xo t3)= 0.3, yani.

~E~ = 0.3, nicelik nereden x 0 3 = 0,6. %30 rastgele değişken noktası X, veya nicelik Х)_о,з = xoj», ^ = 0.7 denkleminden benzer şekilde bulunur. nereden *,= 1.4. ?

Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri arasında şunlar vardır: ilk v* ve merkezi R* k. sipariş anları, ayrık ve sürekli rastgele değişkenler için aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Hizmet sistemlerinin modellenmesinde sıklıkla kullanılan ayrık dağılımları göz önünde bulundurun.

Bernoulli dağılımı. Bernoulli şeması, her birinde yalnızca iki sonucun mümkün olduğu bir dizi bağımsız denemedir - "başarı" ve "başarısızlık" olasılıklı R ve q = 1 - R. Rastgele değişken olsun X karşılık gelen olasılıklarla iki değer alabilir:

Bernoulli dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 11.1.

Böyle bir dağılıma sahip rastgele bir değişken, Bernoulli şemasının bir denemesindeki başarıların sayısına eşittir.

(11.1) ve (11.15)'e göre üretme fonksiyonu şu şekilde hesaplanır:

Pirinç. 11.1.

(11.6) formülünü kullanarak, dağılımın matematiksel beklentisini buluruz:

(11.17)'ye göre üreten fonksiyonun ikinci türevini hesaplıyoruz.

(11.7) ile dağılım varyansını elde ederiz

Bernoulli dağılımı, sonuçları birbirini dışlayan iki sınıfa ait olan herhangi bir rastgele deneyin modeli olarak kitle hizmeti teorisinde büyük bir rol oynar.

Geometrik dağılım. Olayların birbirinden bağımsız olarak ayrık zamanlarda gerçekleştiğini varsayalım. Bir olayın olma olasılığı, R, ve bunun olmama olasılığı q = 1-p,Örneğin, sipariş vermeye gelen bir müşteri.

ile belirtmek r için bir olayın aynı anda 1. kez meydana gelme olasılığı ile,şunlar. ile-th müşteri bir sipariş verdi ve önceki ile- 1 müşteri yok. Daha sonra bu karmaşık olayın olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremi ile belirlenebilir.

Geometrik dağılıma sahip olayların olasılıkları Şekil 2'de gösterilmiştir. 11.2.

Tüm olası olayların olasılıklarının toplamı

geometrik bir ilerlemedir, dolayısıyla dağılım denir geometrik.(1 - R)

rastgele değer X'ler geometrik dağılım, Bernoulli şemasındaki ilk başarılı denemenin sayısı anlamına gelir.

Pirinç. 11.2.

Bir olayın meydana gelme olasılığını belirleyin X>k

ve geometrik dağılım fonksiyonu

(11.1) ve (11.20)'ye göre geometrik dağılımın üretici fonksiyonunu hesaplayalım.

(11.6)'ya göre geometrik dağılımın matematiksel beklentisi

ve (11.7)'ye göre dağılım

Geometrik dağılım, sürekli üstel dağılımın ayrık bir versiyonu olarak kabul edilir ve ayrıca hizmet sistemlerini modellemek için faydalı bir takım özelliklere sahiptir. Özellikle, üstel dağılım gibi, geometrik dağılımın da hafızası yoktur:

şunlar. eğer / başarısız deneyler varsa, o zaman ilk başarı için daha fazlasının yapılması gerekliliği olasılığı j yeni denemelerin sayısı, yeni bir deneme dizisinin ilk başarıyı gerektirme olasılığı ile aynıdır. /" denemeler. Başka bir deyişle, önceki denemelerin gelecekteki denemeler üzerinde hiçbir etkisi yoktur ve denemeler bağımsızdır. Genellikle bu doğrudur. ve siparişler verilir. rastgele.

İşlev parametreleri bir geometrik dağılıma tabi olan bir sistem örneğini ele alalım.

Usta elinde Pözdeş yedek parçalar. Her detay olasıdır q kusuru var. Onarım sırasında, parça, çalışabilirlik açısından kontrol edilen cihaza takılır. Cihaz çalışmıyorsa, parça başka bir parça ile değiştirilir. Rastgele bir değişken düşünüyoruz X- kontrol edilecek parça sayısı.

Test edilen parça sayısının olasılıkları tabloda gösterilen değerlere sahip olacaktır:

					rya"~ x

Burada q = 1 - R.

Kontrol edilen parça sayısının matematiksel beklentisi şu şekilde tanımlanır:

Binom dağılımı. Rastgele bir değişken düşünün

nerede Xj parametresiyle Bernoulli dağılımına uyar R ve rastgele değişkenler Xj bağımsız.

rastgele değer X birimlerin oluşum sayısına eşit olacaktır. P testler, yani Binom dağılımına sahip rastgele değişken, başarı sayısı anlamına gelir. P bağımsız testler.

(11.9)'a göre, her biri bir Bernoulli dağılımına sahip olan karşılıklı bağımsız rasgele değişkenlerin toplamının üretici fonksiyonu, onların üretici fonksiyonlarının (11.17) çarpımına eşittir:

Üreten fonksiyonu (11.26) bir seriye genişletirsek, şunu elde ederiz:

Üreten fonksiyonun (11.1) tanımına göre, rastgele değişkenin olma olasılığı X anlam kazanacak ile:

nerede binom katsayılarıdır.

11 beri & birim başına P yerler C* yollarıyla düzenlenebilir, ardından aşağıdakileri içeren örnek sayısı ile birimleri kesinlikle aynı olacaktır.

Binom yasası için dağıtım işlevi, formülle hesaplanır.

dağıtım denir iki terimli formdaki olasılıkların iki terimlinin genişlemesi açısından olması nedeniyle:

Tüm olası sonuçların toplam olasılığının 1'e eşit olduğu açıktır:

(11.29)'dan binom katsayılarının bir dizi faydalı özelliği elde edilebilir. Örneğin, ne zaman R =1, q=1 alırız

eğer koyarsak R =1, q= - 1 , o zaman

Herhangi bir 1k için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

İçinde bulunan olasılıklar P testlerde, olay şu şekilde gerçekleşir: 1) × 2 tane daha ile bir Zamanlar; 3) en az & kez; 4) en fazla & kez, sırasıyla formüllere göre bulun:

(11.6) kullanarak, binom dağılımının beklentisini tanımlarız.

ve (11.7)'ye göre - dağılım:

Çalışma parametreleri binom dağılımı ile tanımlanan birkaç sistem örneğini ele alalım.

1. 10 üründen oluşan bir parti, standart olmayan bir ürün içerir. Rastgele 5 üründen oluşan bir örneklemle hepsinin standart olma olasılığını bulalım (olay ANCAK).

Tüm rastgele örneklerin sayısı p - S, e 0 ve olayı destekleyen örnek sayısı P= C9 5 . Böylece, istenen olasılık eşittir

2. Yeni bir dairenin girişinde, 2 ile yeni elektrik lambaları. Her bir elektrik lambası bir olasılıkla yıl içinde yanar. R. Yıl boyunca, başlangıçta yanan lambaların en az yarısının yenileriyle değiştirilmesi gerekme olasılığını bulalım (olay ANCAK):

3. Belirli bir tüketici grubuna mensup bir kişi, 1. ürünü 0.2 olasılıkla, 2. ürünü 0.3, 3. ürünü 0.4, 4. ürünü 0.1 olasılıkla tercih ediyor. 6 kişilik bir grup tüketici. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: ANCAK - grup, ürün 3'ü tercih eden en az 4 tüketiciyi içerir; AT- 4. ürünü tercih eden grupta en az bir tüketici var.

Bu olasılıklar:

büyük /? olasılık hesaplamaları hantal hale gelir, bu nedenle limit teoremleri kullanılır.

Yerel Laplace teoremi olasılığına göre, R p (k) formül tarafından belirlenir

nerede - Gauss işlevi;

Laplace integral teoremi olasılığını hesaplamak için kullanılır P bağımsız testler, olay en az gerçekleşecek ile ( bir kez ve daha fazla değil 2'ye bir Zamanlar:

Bu teoremleri kullanmanın örneklerini ele alalım.

1. Dikiş atölyesi, %90'ı en yüksek kalitede olan kişiye özel giysiler üretir. 200 ürün arasından en az 160, en fazla 170 en yüksek kalite olma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

2. Bir sigorta şirketinin 12.000 müşterisi vardır. Her biri kendini bir kazaya karşı sigortalayarak 10 bin ruble katkıda bulunuyor. Kaza olasılığı R - 0.006 ve kurbana 1 milyon ruble ödeme. 0,995 olasılıkla sağlanan sigorta şirketinin karını bulalım; başka bir deyişle, sigorta şirketi 0,005 risk seviyesinde ne kadar kâr bekleyebilir.

Çözüm: Tüm müşterilerin toplam katkısı 12.000-10.000 = 120 milyon ruble. Şirketin karı sayıya bağlıdır ile kazalar ve R = 120.000-1000 /: bin ruble eşitliği ile belirlenir.

Bu nedenle, olayın olasılığının böyle bir A/ sayısının bulunması gerekir. P(k > M) 0,005'i geçmedi. Ardından, 0,995 olasılıkla, R = 120.000-10,004 / bin ruble kar sağlanacaktır.

eşitsizlik P(k > M) P(k0.995. Şu tarihten beri için > 0, o zaman R( 0 0.995. Bu olasılığı tahmin etmek için Laplace integral teoremini kullanıyoruz. P- 12.000 ve /?=0.006, #=0.994:

Çünkü*! F(x]) = -0.5.

Bu nedenle, hangi A/ bulmak gerekir

Bulduk (M- 72)/8,5 > 2,58. Sonuç olarak, M>12 + 22 = 94.

Yani, 0,995 olasılıkla şirket, kârı garanti eder.

En olası sayıyı belirlemek genellikle gereklidir. 0'a. Bir dizi başarıya sahip bir olayın olasılığı 0'a diğer olası test sonuçlarının olasılığını aşıyor veya en azından bundan daha az değil. En Olası Sayı 0'açift ​​eşitsizlikten belirlenir

3. 25 adet tüketim malı örneği olsun. Numunelerin her birinin müşteri tarafından kabul edilebilir olma olasılığı 0,7'dir. Müşteriler tarafından kabul edilebilecek en olası numune sayısını belirlemek gerekir. (11.39) tarafından

Buradan 0'a - 18.

Poisson Dağılımı. Poisson dağılımı, çok sayıda deneme verildiğinde, P, her birinde bir olayın olasılığı Rçok küçük, olay tam olarak gerçekleşecek schz'ye.

işi bırak pr \u003d k; bu, farklı deneme serilerinde bir olayın ortalama meydana gelme sayısı, yani. çeşitli P, değişmeden kalır. Bu durumda, Poisson dağılımı, binom dağılımına yaklaşmak için kullanılabilir:

büyük için beri P

Poisson dağılımının üretici fonksiyonu (11.1)'den şu şekilde hesaplanır:

nerede Maclaurin formülü ile

Üreten fonksiyonun katsayılarının özelliğine göre, oluşma olasılığı ile ortalama sayıda başarı ile başarılar X(11.40) olarak hesaplanır.

Şek. 11.3, Poisson dağılımının olasılık yoğunluğunu gösterir.

Poisson dağılımının üretici fonksiyonu, binom dağılımının üretici fonksiyonunun seri açılımı kullanılarak da elde edilebilir. pr \u003d X de P-» oo ve Maclaurin formülü (11.42):

Pirinç. 11.3.

Matematiksel beklentiyi (11.6) ile tanımlarız.

ve (11.7)'ye göre dağılım

Parametrelerin Poisson dağılımına sahip bir sistem örneğini düşünün.

Firma mağazaya 500 adet ürün gönderdi. Ürünün nakliye sırasında hasar görme olasılığı 0,002'dir. Ürünlerin nakliye sırasında hasar görme olasılıklarını bulun: tam olarak 3 (R olayı); 3'ten az (olay AT) 3'ten fazla (olay Q; en az bir (olay D).

Sayı P= 500 büyük, olasılık R= 0.002 küçüktür, dikkate alınan olaylar (ürün hasarı) bağımsızdır, bu nedenle Poisson formülü (11.40) kullanılabilir.

saat x=pr= 500 0.002=1 şunu elde ederiz:

Poisson dağılımı, hizmet sistemlerini modellemek için bir dizi faydalı özelliğe sahiptir.

1. Rastgele değişkenlerin toplamı X \u003d X ( + X 2 Poisson dağılımı ile Poisson yasasına göre de dağıtılır.

Rastgele değişkenler üreten işlevlere sahipse:

daha sonra, (11.9)'a göre, Poisson dağılımına sahip bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının üretici fonksiyonu şu şekilde olacaktır:

Ortaya çıkan dağılımın parametresi Xx + X2.

2. Kümenin eleman sayısı./V parametresi ile Poisson dağılımına uyuyorsa X ve her eleman olasılık ile bağımsız olarak seçilir R, daha sonra boyutun örnek elemanları Y parametresi ile Poisson yasasına göre dağıtılır pX.

İzin vermek , nerede Bernoulli dağılımına karşılık gelir ve N- Poisson Dağılımı. (11.17), (11.41)'e göre ilgili üretici fonksiyonlar:

Rastgele bir değişkenin üretme işlevi Y(11.14)'e göre hesaplanır

şunlar. üreten fonksiyon, parametre ile Poisson dağılımına karşılık gelir. pX.

3. Özellik 2'nin bir sonucu olarak, aşağıdaki özellik geçerlidir. Kümenin eleman sayısı parametre ile Poisson yasasına göre dağıtılırsa X ve küme, /? olasılıklarıyla rastgele dağıtılır ve p 2 = 1 - R iki gruba ayrıldıktan sonra setlerin boyutları 7V'dir ve N2 bağımsızdır ve parametrelerle Poisson dağılımına sahiptir p(k ve p(k.

Kullanım kolaylığı için ayrık dağılımlar için elde edilen sonuçları tablo şeklinde sunuyoruz. 11.1 ve 11.2.

Tablo 11.1. Ayrık dağılımların temel özellikleri

Dağıtım	Yoğunluk	Menzil	Seçenekler	tn |		CX--2
Bernoulli	P(X = ) = p P (X = 0} = R + Z= 1	P - 0,1
Geometrik	p(-p) ila - 1	k = 1,2,...			^ 1 1 |	1 -R
binom	ile p ila (- R g ila	* = 1,2,...,#"			pr( - p)	1 -r pr
zehir	E'ler ile!	k = 1,2,...

Tablo 11. 2. Kesikli dağılımların üretim fonksiyonları

TEST SORULARI

• 1. Hangi olasılık dağılımları kesikli olarak sınıflandırılır?
• 2. Üreten fonksiyon nedir ve ne için kullanılır?
• 3. Oluşturma işlevini kullanarak rastgele değişkenlerin momentleri nasıl hesaplanır?
• 4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının üretici fonksiyonu nedir?
• 5. Bileşik dağılıma ne denir ve bileşik dağılımların üretici fonksiyonları nasıl hesaplanır?
• 6. Bernoulli dağılımının temel özelliklerini veriniz, servis görevlerinde kullanımına bir örnek veriniz.
• 7. Geometrik dağılımın temel özelliklerini veriniz, servis görevlerinde kullanımına bir örnek veriniz.
• 8. Binom dağılımının temel özelliklerini veriniz, hizmet görevlerinde kullanımına bir örnek veriniz.
• 9. Poisson dağılımının temel özelliklerini veriniz, servis görevlerinde kullanımına bir örnek veriniz.