Hizmet sistemlerinin modellenmesinde sıklıkla kullanılan ayrık dağılımları göz önünde bulundurun.

Bernoulli dağılımı. Bernoulli şeması, her birinde yalnızca iki sonucun mümkün olduğu bir dizi bağımsız denemedir - "başarı" ve "başarısızlık" olasılıklı R ve q = 1 - R. Rastgele değişken olsun X karşılık gelen olasılıklarla iki değer alabilir:

Bernoulli dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 11.1.

Böyle bir dağılıma sahip rastgele bir değişken, Bernoulli şemasının bir denemesindeki başarıların sayısına eşittir.

(11.1) ve (11.15)'e göre üretme fonksiyonu şu şekilde hesaplanır:

Pirinç. 11.1.

(11.6) formülünü kullanarak, dağılımın matematiksel beklentisini buluruz:

(11.17)'ye göre üreten fonksiyonun ikinci türevini hesaplıyoruz.

(11.7) ile dağılım varyansını elde ederiz

Bernoulli dağılımı, sonuçları birbirini dışlayan iki sınıfa ait olan herhangi bir rastgele deneyin modeli olarak kitle hizmeti teorisinde büyük bir rol oynar.

Geometrik dağılım. Olayların birbirinden bağımsız olarak ayrık zamanlarda gerçekleştiğini varsayalım. Bir olayın olma olasılığı, R, ve bunun olmama olasılığı q = 1-p,Örneğin, sipariş vermeye gelen bir müşteri.

ile belirtmek r için bir olayın aynı anda 1. kez meydana gelme olasılığı ile,şunlar. ile-th müşteri bir sipariş verdi ve önceki ile- 1 müşteri yok. Daha sonra bu karmaşık olayın olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremi ile belirlenebilir.

Geometrik dağılıma sahip olayların olasılıkları Şekil 2'de gösterilmiştir. 11.2.

Tüm olası olayların olasılıklarının toplamı

geometrik bir ilerlemedir, dolayısıyla dağılım denir geometrik.(1 - R)

rastgele değer X'ler geometrik dağılım, Bernoulli şemasındaki ilk başarılı denemenin sayısı anlamına gelir.

Pirinç. 11.2.

Bir olayın meydana gelme olasılığını belirleyin X>k

ve geometrik dağılım fonksiyonu

(11.1) ve (11.20)'ye göre geometrik dağılımın üretici fonksiyonunu hesaplayalım.

(11.6)'ya göre geometrik dağılımın matematiksel beklentisi

ve (11.7)'ye göre dağılım

Geometrik dağılım, sürekli üstel dağılımın ayrık bir versiyonu olarak kabul edilir ve ayrıca hizmet sistemlerini modellemek için faydalı bir takım özelliklere sahiptir. Özellikle, üstel dağılım gibi, geometrik dağılımın da hafızası yoktur:

şunlar. eğer / başarısız deneyler varsa, o zaman ilk başarı için daha fazlasının yapılması gerekliliği olasılığı j yeni denemelerin sayısı, yeni bir deneme dizisinin ilk başarıyı gerektirme olasılığı ile aynıdır. /" denemeler. Başka bir deyişle, önceki denemelerin gelecekteki denemeler üzerinde hiçbir etkisi yoktur ve denemeler bağımsızdır. Genellikle bu doğrudur. ve siparişler verilir. rastgele.

İşlev parametreleri bir geometrik dağılıma tabi olan bir sistem örneğini ele alalım.

Usta elinde Pözdeş yedek parçalar. Her detay olasıdır q kusuru var. Onarım sırasında, parça, çalışabilirlik açısından kontrol edilen cihaza takılır. Cihaz çalışmıyorsa, parça başka bir parça ile değiştirilir. Rastgele bir değişken düşünüyoruz X- kontrol edilecek parça sayısı.

Test edilen parça sayısının olasılıkları tabloda gösterilen değerlere sahip olacaktır:

					rya"~ x

Burada q = 1 - R.

Kontrol edilen parça sayısının matematiksel beklentisi şu şekilde tanımlanır:

Binom dağılımı. Rastgele bir değişken düşünün

nerede Xj parametresiyle Bernoulli dağılımına uyar R ve rastgele değişkenler Xj bağımsız.

rastgele değer X birimlerin oluşum sayısına eşit olacaktır. P testler, yani Binom dağılımına sahip rastgele değişken, başarı sayısı anlamına gelir. P bağımsız testler.

(11.9)'a göre, her biri bir Bernoulli dağılımına sahip olan karşılıklı bağımsız rasgele değişkenlerin toplamının üretici fonksiyonu, onların üretici fonksiyonlarının (11.17) çarpımına eşittir:

Üreten fonksiyonu (11.26) bir seriye genişletirsek, şunu elde ederiz:

Üreten fonksiyonun (11.1) tanımına göre, rastgele değişkenin olma olasılığı X anlam kazanacak ile:

nerede binom katsayılarıdır.

11 beri & birim başına P yerler C* yollarıyla düzenlenebilir, ardından aşağıdakileri içeren örnek sayısı ile birimleri kesinlikle aynı olacaktır.

Binom yasası için dağıtım işlevi, formülle hesaplanır.

dağıtım denir iki terimli formdaki olasılıkların iki terimlinin genişlemesi açısından olması nedeniyle:

Tüm olası sonuçların toplam olasılığının 1'e eşit olduğu açıktır:

(11.29)'dan binom katsayılarının bir dizi faydalı özelliği elde edilebilir. Örneğin, ne zaman R =1, q=1 alırız

eğer koyarsak R =1, q= - 1 , o zaman

Herhangi bir 1k için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

İçinde bulunan olasılıklar P testlerde, olay şu şekilde gerçekleşir: 1) × 2 tane daha ile bir Zamanlar; 3) en az & kez; 4) en fazla & kez, sırasıyla formüllere göre bulun:

(11.6) kullanarak, binom dağılımının beklentisini tanımlarız.

ve (11.7)'ye göre - dağılım:

Çalışma parametreleri binom dağılımı ile tanımlanan birkaç sistem örneğini ele alalım.

1. 10 üründen oluşan bir parti, standart olmayan bir ürün içerir. Rastgele 5 üründen oluşan bir örneklemle hepsinin standart olma olasılığını bulalım (olay ANCAK).

Tüm rastgele örneklerin sayısı p - S, e 0 ve olayı destekleyen örnek sayısı P= C9 5 . Böylece, istenen olasılık eşittir

2. Yeni bir dairenin girişinde, 2 ile yeni elektrik lambaları. Her bir elektrik lambası bir olasılıkla yıl içinde yanar. R. Yıl boyunca, başlangıçta yanan lambaların en az yarısının yenileriyle değiştirilmesi gerekme olasılığını bulalım (olay ANCAK):

3. Belirli bir tüketici grubuna mensup bir kişi, 1. ürünü 0.2 olasılıkla, 2. ürünü 0.3, 3. ürünü 0.4, 4. ürünü 0.1 olasılıkla tercih ediyor. 6 kişilik bir grup tüketici. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: ANCAK - grup, ürün 3'ü tercih eden en az 4 tüketiciyi içerir; AT- 4. ürünü tercih eden grupta en az bir tüketici var.

Bu olasılıklar:

büyük /? olasılık hesaplamaları hantal hale gelir, bu nedenle limit teoremleri kullanılır.

Yerel Laplace teoremi olasılığına göre, R p (k) formül tarafından belirlenir

nerede - Gauss işlevi;

Laplace integral teoremi olasılığını hesaplamak için kullanılır P bağımsız testler, olay en az gerçekleşecek ile ( bir kez ve daha fazla değil 2'ye bir Zamanlar:

Bu teoremleri kullanmanın örneklerini ele alalım.

1. Dikiş atölyesi, %90'ı en yüksek kalitede olan kişiye özel giysiler üretir. 200 ürün arasından en az 160, en fazla 170 en yüksek kalite olma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

2. Bir sigorta şirketinin 12.000 müşterisi vardır. Her biri kendini bir kazaya karşı sigortalayarak 10 bin ruble katkıda bulunuyor. Kaza olasılığı R - 0.006 ve kurbana 1 milyon ruble ödeme. 0,995 olasılıkla sağlanan sigorta şirketinin karını bulalım; başka bir deyişle, sigorta şirketi 0,005 risk seviyesinde ne kadar kâr bekleyebilir.

Çözüm: Tüm müşterilerin toplam katkısı 12.000-10.000 = 120 milyon ruble. Şirketin karı sayıya bağlıdır ile kazalar ve R = 120.000-1000 /: bin ruble eşitliği ile belirlenir.

Bu nedenle, olayın olasılığının böyle bir A/ sayısının bulunması gerekir. P(k > M) 0,005'i geçmedi. Ardından, 0,995 olasılıkla, R = 120.000-10,004 / bin ruble kar sağlanacaktır.

eşitsizlik P(k > M) P(k0.995. Şu tarihten beri için > 0, o zaman R( 0 0.995. Bu olasılığı tahmin etmek için Laplace integral teoremini kullanıyoruz. P- 12.000 ve /?=0.006, #=0.994:

Çünkü*! F(x]) = -0.5.

Bu nedenle, hangi A/ bulmak gerekir

Bulduk (M- 72)/8,5 > 2,58. Sonuç olarak, M>12 + 22 = 94.

Yani, 0,995 olasılıkla şirket, kârı garanti eder.

En olası sayıyı belirlemek genellikle gereklidir. 0'a. Bir dizi başarıya sahip bir olayın olasılığı 0'a diğer olası test sonuçlarının olasılığını aşıyor veya en azından bundan daha az değil. En Olası Sayı 0'açift ​​eşitsizlikten belirlenir

3. 25 adet tüketim malı örneği olsun. Numunelerin her birinin müşteri tarafından kabul edilebilir olma olasılığı 0,7'dir. Müşteriler tarafından kabul edilebilecek en olası numune sayısını belirlemek gerekir. (11.39) tarafından

Buradan 0'a - 18.

Poisson Dağılımı. Poisson dağılımı, çok sayıda deneme verildiğinde, P, her birinde bir olayın olasılığı Rçok küçük, olay tam olarak gerçekleşecek schz'ye.

işi bırak pr \u003d k; bu, farklı deneme serilerinde bir olayın ortalama meydana gelme sayısı, yani. çeşitli P, değişmeden kalır. Bu durumda, Poisson dağılımı, binom dağılımına yaklaşmak için kullanılabilir:

büyük için beri P

Poisson dağılımının üretici fonksiyonu (11.1)'den şu şekilde hesaplanır:

nerede Maclaurin formülü ile

Üreten fonksiyonun katsayılarının özelliğine göre, oluşma olasılığı ile ortalama sayıda başarı ile başarılar X(11.40) olarak hesaplanır.

Şek. 11.3, Poisson dağılımının olasılık yoğunluğunu gösterir.

Poisson dağılımının üretici fonksiyonu, binom dağılımının üretici fonksiyonunun seri açılımı kullanılarak da elde edilebilir. pr \u003d X de P-» oo ve Maclaurin formülü (11.42):

Pirinç. 11.3.

Matematiksel beklentiyi (11.6) ile tanımlarız.

ve (11.7)'ye göre dağılım

Parametrelerin Poisson dağılımına sahip bir sistem örneğini düşünün.

Firma mağazaya 500 adet ürün gönderdi. Ürünün nakliye sırasında hasar görme olasılığı 0,002'dir. Ürünlerin nakliye sırasında hasar görme olasılıklarını bulun: tam olarak 3 (R olayı); 3'ten az (olay AT) 3'ten fazla (olay Q; en az bir (olay D).

Sayı P= 500 büyük, olasılık R= 0.002 küçüktür, dikkate alınan olaylar (ürün hasarı) bağımsızdır, bu nedenle Poisson formülü (11.40) kullanılabilir.

saat x=pr= 500 0.002=1 şunu elde ederiz:

Poisson dağılımı, hizmet sistemlerini modellemek için bir dizi faydalı özelliğe sahiptir.

1. Rastgele değişkenlerin toplamı X \u003d X ( + X 2 Poisson dağılımı ile Poisson yasasına göre de dağıtılır.

Rastgele değişkenler üreten işlevlere sahipse:

daha sonra, (11.9)'a göre, Poisson dağılımına sahip bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının üretici fonksiyonu şu şekilde olacaktır:

Ortaya çıkan dağılımın parametresi Xx + X2.

2. Kümenin eleman sayısı./V parametresi ile Poisson dağılımına uyuyorsa X ve her eleman olasılık ile bağımsız olarak seçilir R, daha sonra boyutun örnek elemanları Y parametresi ile Poisson yasasına göre dağıtılır pX.

İzin vermek , nerede Bernoulli dağılımına karşılık gelir ve N- Poisson Dağılımı. (11.17), (11.41)'e göre ilgili üretici fonksiyonlar:

Rastgele bir değişkenin üretme işlevi Y(11.14)'e göre hesaplanır

şunlar. üreten fonksiyon, parametre ile Poisson dağılımına karşılık gelir. pX.

3. Özellik 2'nin bir sonucu olarak, aşağıdaki özellik geçerlidir. Kümenin eleman sayısı parametre ile Poisson yasasına göre dağıtılırsa X ve küme, /? olasılıklarıyla rastgele dağıtılır ve p 2 = 1 - R iki gruba ayrıldıktan sonra setlerin boyutları 7V'dir ve N2 bağımsızdır ve parametrelerle Poisson dağılımına sahiptir p(k ve p(k.

Kullanım kolaylığı için ayrık dağılımlar için elde edilen sonuçları tablo şeklinde sunuyoruz. 11.1 ve 11.2.

Tablo 11.1. Ayrık dağılımların temel özellikleri

Dağıtım	Yoğunluk	Menzil	Seçenekler	tn |		CX--2
Bernoulli	P(X = ) = p P (X = 0} = R + Z= 1	P - 0,1
Geometrik	p(-p) ila - 1	k = 1,2,...			^ 1 1 |	1 -R
binom	ile p ila (- R g ila	* = 1,2,...,#"			pr( - p)	1 -r pr
zehir	E'ler ile!	k = 1,2,...

Tablo 11. 2. Kesikli dağılımların üretim fonksiyonları

TEST SORULARI

• 1. Hangi olasılık dağılımları kesikli olarak sınıflandırılır?
• 2. Üreten fonksiyon nedir ve ne için kullanılır?
• 3. Oluşturma işlevini kullanarak rastgele değişkenlerin momentleri nasıl hesaplanır?
• 4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının üretici fonksiyonu nedir?
• 5. Bileşik dağılıma ne denir ve bileşik dağılımların üretici fonksiyonları nasıl hesaplanır?
• 6. Bernoulli dağılımının temel özelliklerini veriniz, servis görevlerinde kullanımına bir örnek veriniz.
• 7. Geometrik dağılımın temel özelliklerini veriniz, servis görevlerinde kullanımına bir örnek veriniz.
• 8. Binom dağılımının temel özelliklerini veriniz, hizmet görevlerinde kullanımına bir örnek veriniz.
• 9. Poisson dağılımının temel özelliklerini veriniz, servis görevlerinde kullanımına bir örnek veriniz.

Normal yasaya göre dağıtılan rastgele değişkenlerin örnekleri, bir kişinin boyu, aynı türden yakalanan balıkların kütlesidir. Normal dağılım şu anlama gelir : Sezgisel düzeyde "normal" (ve aslında - ortalama) olarak algılanan insan boyu, aynı türden balık kütlesi değerleri vardır ve bunlar yeterince büyük bir boyutta çok daha yaygındır. yukarı veya aşağı farklı olanlardan daha örnek.

Sürekli bir rastgele değişkenin (bazen Gauss dağılımı) normal olasılık dağılımı, ortalamaya göre simetrik olan bu dağılımın yoğunluk fonksiyonunun bir çanın kesilmesine çok benzemesi nedeniyle çan şeklinde olarak adlandırılabilir ( yukarıdaki şekilde kırmızı eğri).

Örnekte belirli değerleri karşılama olasılığı, şeklin eğrinin altındaki alanına eşittir ve normal bir dağılım durumunda, karşılık gelen "çanın" üst kısmının altında olduğunu görüyoruz. ortalamaya yönelen değerlere, alan ve dolayısıyla olasılık, kenarların altından daha büyüktür. Böylece, daha önce söylenenle aynı şeyi elde ederiz: "normal" boyda bir insanla tanışma, "normal" ağırlıkta bir balık yakalama olasılığı, yukarı veya aşağı farklılık gösteren değerlerden daha yüksektir. Pek çok uygulama durumunda, ölçüm hataları normale yakın bir yasaya göre dağıtılır.

Normal dağılımın yoğunluk fonksiyonunu gösteren dersin başındaki şekilde tekrar duralım. Bu fonksiyonun grafiği, yazılım paketindeki bazı veri örneklerinin hesaplanmasıyla elde edilmiştir. İSTATİSTİK. Üzerinde, histogram sütunları, dağılımı kırmızı bir eğri olan normal dağılım yoğunluk fonksiyonu grafiğine yakın olan (veya istatistiklerde dedikleri gibi, önemli ölçüde farklı olmayan) örnek değerlerinin aralıklarını temsil eder. Grafik, bu eğrinin gerçekten çan şeklinde olduğunu göstermektedir.

Normal dağılım birçok yönden değerlidir çünkü yalnızca sürekli bir rastgele değişkenin ortalamasını ve standart sapmayı bilerek, o değişkenle ilişkili herhangi bir olasılığı hesaplayabilirsiniz.

Normal dağılım, kullanımı en kolay olanlardan biri olma avantajına sahiptir. istatistiksel hipotezleri test etmek için kullanılan istatistiksel kriterler - Student t-testi- yalnızca örnek verilerin normal dağılım yasasına uygun olması durumunda kullanılabilir.

Sürekli bir rastgele değişkenin normal dağılımının yoğunluk fonksiyonu formül kullanılarak bulunabilir:

,

nerede x- değişkenin değeri, - ortalama değer, - standart sapma, e\u003d 2.71828 ... - doğal logaritmanın tabanı, \u003d 3.1416 ...

Normal dağılım yoğunluk fonksiyonunun özellikleri

Ortalamadaki değişiklikler çan eğrisini eksen yönünde hareket ettirir Öküz. Artarsa ​​eğri sağa, azalırsa sola kayar.

Standart sapma değişirse, eğri tepe noktasının yüksekliği değişir. Standart sapma arttığında eğrinin tepesi daha yüksek, düştüğünde ise daha düşüktür.

Normal dağılan bir rastgele değişkenin değerinin belirli bir aralık içinde olma olasılığı

Zaten bu paragrafta, anlamı başlıkta belirtilen pratik sorunları çözmeye başlayacağız. Teorinin problemleri çözmek için hangi olasılıkları sağladığını analiz edelim. Normal dağılıma sahip bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için başlangıç ​​konsepti, normal dağılımın integral fonksiyonudur.

İntegral normal dağılım fonksiyonu:

.

Ancak, ortalama ve standart sapmanın her olası kombinasyonu için tablolar elde etmek sorunludur. Bu nedenle, normal dağılımlı bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamanın basit yollarından biri, standart bir normal dağılım için olasılık tablolarını kullanmaktır.

Normal dağılıma standartlaştırılmış veya normalleştirilmiş dağılım denir., ortalama değeri ve standart sapması olan .

Standartlaştırılmış normal dağılımın yoğunluk fonksiyonu:

.

Standartlaştırılmış normal dağılımın kümülatif işlevi:

.

Aşağıdaki şekil, grafiği yazılım paketindeki bazı veri örneklerinin hesaplanmasıyla elde edilen standartlaştırılmış normal dağılımın integral fonksiyonunu göstermektedir. İSTATİSTİK. Grafiğin kendisi kırmızı bir eğridir ve örnek değerler ona yaklaşıyor.

Resmi büyütmek için farenin sol tuşu ile üzerine tıklayabilirsiniz.

Rastgele bir değişkeni standartlaştırmak, görevde kullanılan orijinal birimlerden standart birimlere geçmek anlamına gelir. Standardizasyon formüle göre yapılır.

Pratikte, bir rastgele değişkenin olası tüm değerleri genellikle bilinmez, bu nedenle ortalama ve standart sapma değerleri doğru bir şekilde belirlenemez. Bunlar, gözlemlerin aritmetik ortalaması ve standart sapma ile değiştirilir. s. Değer z standart sapmaları ölçerken rastgele bir değişkenin değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarını ifade eder.

Açık aralık

Hemen hemen her istatistik kitabında bulunan standartlaştırılmış normal dağılım için olasılık tablosu, rastgele bir değişkenin standart normal dağılıma sahip olma olasılıklarını içerir. Z belirli bir sayıdan daha küçük bir değer alır z. Yani, eksi sonsuzdan açık aralığa düşecektir. z. Örneğin, değerin olma olasılığı Z 1.5'ten küçük, 0.93319'a eşittir.

örnek 1Şirket, ortalama 1000 ve standart sapması 200 saatlik normal dağılım ömrüne sahip parçalar üretmektedir.

Rastgele seçilen bir parça için hizmet ömrünün en az 900 saat olma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. İlk gösterimi sunalım:

İstenen olasılık.

Rastgele değişkenin değerleri açık aralıktadır. Ancak rastgele bir değişkenin verilen bir değerden daha küçük bir değer alma olasılığını hesaplayabiliriz ve problemin durumuna göre verilen değere eşit veya daha büyük bir değer bulması gerekir. Bu, çan eğrisinin altındaki boşluğun diğer kısmıdır. Bu nedenle, istenen olasılığı bulmak için, rastgele değişkenin belirtilen 900'den daha küçük bir değer alacağı belirtilen olasılığın birinden çıkarılması gerekir:

Şimdi rastgele değişkenin standartlaştırılması gerekiyor.

Notasyonu tanıtmaya devam ediyoruz:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - rastgele bir değişkenin verilen değeri;

μ = 1000 - ortalama değer;

σ = 200 - standart sapma.

Bu verilere dayanarak, sorunun koşullarını elde ederiz:

.

Standartlaştırılmış bir rastgele değişkenin tablolarına göre (aralık sınırı) z= −0.5, 0.30854 olasılığa karşılık gelir. Birlikten çıkarın ve sorunun durumunda gerekli olanı alın:

Yani parçanın ömrünün en az 900 saat olma olasılığı %69'dur.

Bu olasılık, MS Excel NORM.DIST işlevi kullanılarak elde edilebilir (integral değerinin değeri 1'dir):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DAĞ(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

MS Excel'deki hesaplamalar hakkında - bu dersin sonraki paragraflarından birinde.

Örnek 2 Bazı şehirlerde ortalama yıllık aile geliri, ortalama değeri 300.000 ve standart sapması 50.000 olan normal dağılımlı rastgele bir değişkendir.Ailelerin %40'ının gelirinin değerden daha az olduğu bilinmektedir. A. Değer bul A.

Çözüm. Bu problemde %40, rastgele bir değişkenin harfle gösterilen belirli bir değerden daha küçük bir açık aralıktan bir değer alma olasılığından başka bir şey değildir. A.

Değeri bulmak için A, önce integral fonksiyonunu oluşturuyoruz:

Göreve göre

μ = 300000 - ortalama değer;

σ = 50000 - standart sapma;

x = A bulunacak değerdir.

eşitlik kurmak

.

İstatistiksel tablolara göre, 0.40 olasılığının aralık sınırının değerine karşılık geldiğini buluyoruz. z = −0,25 .

Bu nedenle, eşitliği yaparız

ve çözümünü bulun:

A = 287300 .

Cevap: Ailelerin %40'ının geliri 287300'den azdır.

Kapalı aralık

Birçok problemde, normal dağılıma sahip bir rastgele değişkenin aşağıdaki aralıkta bir değer alma olasılığının bulunması gerekir. z 1 ila z 2. Yani kapalı aralığa düşecektir. Bu tür problemleri çözmek için, aralığın sınırlarına karşılık gelen olasılıkları tabloda bulmak ve ardından bu olasılıklar arasındaki farkı bulmak gerekir. Bu, daha küçük olanın daha büyük olandan çıkarılmasını gerektirir. Bu yaygın sorunları çözme örnekleri aşağıdaki gibidir ve bunları kendiniz çözmeniz önerilir ve ardından doğru çözümleri ve cevapları görebilirsiniz.

Örnek 3 Bir işletmenin belirli bir dönem karı, ortalama 0,5 milyon c.u değerinde normal dağıtım yasasına tabi rastgele bir değişkendir. ve 0.354'lük bir standart sapma. İşletmenin kârının 0,4 ila 0,6 c.u olma olasılığını iki ondalık basamak doğrulukla belirleyin.

Örnek 4Üretilen parçanın uzunluğu, parametrelerle normal yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişkendir. μ =10 ve σ =0.071. Parçanın izin verilen boyutlarının 10 ± 0.05 olması gerekiyorsa, evlilik olasılığını iki ondalık basamak doğrulukla bulun.

İpucu: Bu problemde, rastgele bir değişkenin kapalı bir aralığa düşme olasılığını (kusursuz bir parça elde etme olasılığı) bulmaya ek olarak, bir işlem daha gereklidir.

standartlaştırılmış değerin olasılığını belirlemenizi sağlar. Z Az değil -z ve daha fazla yok +z, nerede z- standartlaştırılmış bir rastgele değişkenin keyfi olarak seçilmiş bir değeri.

Bir Dağılımın Normalliğini Kontrol Etmek İçin Yaklaşık Bir Yöntem

Örnek değerlerin dağılımının normalliğini kontrol etmek için yaklaşık bir yöntem aşağıdakilere dayanmaktadır: normal dağılımın özelliği: çarpıklık β 1 ve basıklık katsayısı β 2 sıfır.

asimetri katsayısı β 1 ortalamaya göre ampirik dağılımın simetrisini sayısal olarak karakterize eder. Çarpıklık sıfıra eşitse, aritmetrik ortalama, medyan ve mod eşittir: ve dağılım yoğunluğu eğrisi ortalamaya göre simetriktir. Asimetri katsayısı sıfırdan küçükse (β 1 < 0 ), o zaman aritmetik ortalama medyandan daha küçüktür ve medyan da moddan () daha küçüktür ve eğri sağa kaydırılır (normal dağılıma kıyasla). Asimetri katsayısı sıfırdan büyükse (β 1 > 0 ), o zaman aritmetik ortalama medyandan daha büyüktür ve medyan da moddan () daha büyüktür ve eğri sola kaydırılır (normal dağılıma kıyasla).

basıklık katsayısı β 2 eksen yönünde aritmetik ortalama etrafındaki ampirik dağılımın konsantrasyonunu karakterize eder Oy ve dağılım yoğunluğu eğrisinin tepe noktası derecesi. Basıklık katsayısı sıfırdan büyükse, eğri daha uzundur (normal dağılıma kıyasla) eksen boyunca Oy(grafik daha sivridir). Basıklık katsayısı sıfırdan küçükse, eğri daha düzleşir (normal dağılıma kıyasla) eksen boyunca Oy(grafik daha geniştir).

Çarpıklık katsayısı, MS Excel işlevi SKRS kullanılarak hesaplanabilir. Bir veri dizisini kontrol ediyorsanız, bir "Sayı" kutusuna bir veri aralığı girmeniz gerekir.

Basıklık katsayısı, MS Excel basıklık işlevi kullanılarak hesaplanabilir. Bir veri dizisini kontrol ederken, veri aralığını bir "Sayı" kutusuna girmek de yeterlidir.

Yani, zaten bildiğimiz gibi, normal bir dağılımda çarpıklık ve basıklık katsayıları sıfıra eşittir. Peki ya -0.14, 0.22, 0.43'e eşit çarpıklık katsayıları ve 0.17, -0.31, 0.55'e eşit basıklık katsayılarımız varsa? Soru oldukça adil, çünkü pratikte sadece bazı kaçınılmaz, kontrol edilemeyen dağılımlara maruz kalan yaklaşık, seçici asimetri ve basık değerleri ile ilgileniyoruz. Bu nedenle, bu katsayıların sıfıra mutlak eşitliğini talep etmek imkansızdır, sadece sıfıra yeterince yakın olmaları gerekir. Ama yeterince ne anlama geliyor?

Alınan ampirik değerlerin kabul edilebilir değerlerle karşılaştırılması gerekmektedir. Bunu yapmak için, aşağıdaki eşitsizlikleri kontrol etmeniz gerekir (modül katsayılarının değerlerini kritik değerlerle karşılaştırın - hipotez test alanının sınırları).

asimetri katsayısı için β 1 .

Üç sigma kuralı.

Bir değeri değiştir? (*) formülüne şunu elde ederiz:

Dolayısıyla, keyfi olarak bire yakın bir olasılıkla, normal olarak dağılmış bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma modülünün standart sapmanın üç katını geçmediği iddia edilebilir.

Merkezi Limit Teoremi.

Merkezi limit teoremi, normal dağılım yasasının ortaya çıktığı koşulları oluşturmaya adanmış bir grup teoremdir. Bu teoremler arasında en önemli yer Lyapunov teoremine aittir.

Eğer rastgele değişken X büyük bir sayının toplamı karşılıklı mıdır? bağımsız rastgele değişkenler, yani her birinin tüm miktar üzerindeki etkisi ihmal edilebilir, ardından rastgele değişken X süresiz olarak normal dağılıma yaklaşan bir dağılıma sahiptir.

Sürekli bir rastgele değişkenin başlangıç ​​ve merkezi momentleri, asimetri ve basıklık. Mod ve medyan.

Uygulamalı problemlerde, örneğin matematiksel istatistiklerde, normal dağılımdan farklı ampirik dağılımların teorik çalışmasında, bu farklılıkları ölçmek gerekli hale gelir. Bu amaçla özel boyutsuz özellikler tanıtılmıştır.

Tanım. Sürekli bir rastgele değişkenin modu (Mo (X)) olasılığı p olan en olası değeridir i veya olasılık yoğunluğu f(x) maksimum değerine ulaşır.

Tanım. Sürekli bir rastgele değişkenin medyanı X (Ben(X)) eşitliğinin doğru olduğu değeridir:

Geometrik olarak, x = Me (X) dikey çizgisi, şeklin eğrinin altındaki alanını iki eşit parçaya böler.

X = Me(X) noktasında, dağılım fonksiyonu F(Me(X)) =

x I [ 0; bir ].

Olasılık yoğunluğu f(x) x = 1'de maksimumdur, yani. f (1) = 3, dolayısıyla Mo (X) = 1 [ 0; bir ].

Ortancayı bulmak için Me (X) = b olarak gösteriniz.

Me (X), P (X 3 = .

b3 = ; b = » 0.79

M(X) ==+ =

Ox ekseninde ortaya çıkan 3 Mo (x), Me (X), M (X) değerini not edin:

Tanım. asimetri teorik dağılım, üçüncü mertebenin merkezi momentinin standart sapmanın küpüne oranıdır:

Tanım. Basıklık teorik dağılıma eşitlik tarafından belirlenen değer denir:

nerede ? dördüncü derecenin merkezi momenti.

Normal dağılım için. Normal dağılımdan saparken, dağılım eğrisinin "uzun" ve daha düz kısmı, moda karşılık gelen x ekseni üzerindeki noktanın sağında bulunuyorsa asimetri pozitiftir; eğrinin bu kısmı modun solundaysa, asimetri negatiftir (Şekil 1, a, b).

Basıklık, normal eğriye kıyasla dağılım eğrisinin yükselişinin “dikliğini” karakterize eder: basıklık pozitifse, o zaman eğri daha yüksek ve daha keskin bir tepe noktasına sahiptir; Negatif basıklık durumunda, karşılaştırılan eğri daha düşük ve daha düz bir tepe noktasına sahiptir.

Bu karşılaştırma özelliklerini kullanırken, normal ve teorik dağılımlar için matematiksel beklenti ve varyansın aynı değerlerine ilişkin varsayımların referans olduğu unutulmamalıdır.

Örnek. Ayrık bir rastgele değişken olsun X dağıtım kanunu tarafından verilen:

Bul: teorik dağılımın çarpıklığı ve basıklığı.

Önce rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulalım:

Daha sonra 2., 3. ve 4. derecelerin başlangıç ​​ve merkezi momentlerini hesaplıyoruz ve :

Şimdi formülleri kullanarak gerekli değerleri buluyoruz:

Bu durumda, dağılım eğrisinin "uzun" kısmı modun sağında bulunur ve eğrinin kendisi, aynı matematiksel beklenti ve varyans değerleriyle normal eğriden biraz daha tepededir.

Teorem. Rastgele bir rastgele değişken için X ve herhangi bir sayı

?>0 aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:

Ters eşitsizliğin olasılığı.

Bir çiftlikte ortalama su tüketimi günde 1000 litredir ve bu rastgele değişkenin standart sapması 200 litreyi geçmez. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak herhangi bir günde çiftlikteki su tüketiminin 2000 litreyi geçmeme olasılığını tahmin edin.

İzin vermek X– hayvan çiftliğinde su tüketimi (l).

Dağılım D(X) = . 0 aralığının sınırları X 2000 matematiksel beklentiye göre simetriktir M(X) = 1000, ardından istenen olayın olasılığını tahmin etmek için Chebyshev eşitsizliğini uygulayabiliriz:

Yani, 0.96'dan az değil.

Binom dağılımı için Chebyshev eşitsizliği şu şekli alır:

RASGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMI YASALARI

RASTGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMI YASALARI - bölüm Matematik, OLASILIK TEORİSİ VE MATEMATİKSEL İSTATİSTİK En yaygın yasalar tekdüze, normal ve üsteldir.

Sürekli rastgele değişkenlerin olasılıklarının düzgün, normal ve üstel dağılımı yasalarıyla en sık karşılaşılır.

Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılımı, X'in tüm olası değerlerinin ait olduğu (a, b) aralığında, dağılım yoğunluğu sabit kalırsa (6.1) düzgün olarak adlandırılır.

Dağıtım işlevi şu şekildedir:

Normal, yoğunluğu şu şekilde olan sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılımıdır:

Rastgele bir X değişkeninin (?; ?) aralığına ait bir değer alma olasılığı:

Laplace işlevi nerede ve,

Sapmanın mutlak değerinin pozitif bir sayıdan küçük olma olasılığı nedir?:

Özellikle, a = 0 için, . (6.7)

Üstel (üssel), yoğunlukla tanımlanan sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılımıdır:

nerede? sabit pozitif bir değerdir.

Üstel yasanın dağıtım işlevi:

Üstel yasaya göre dağıtılan (a, c) aralığında sürekli bir rastgele değişken X'e çarpma olasılığı:

1. Rastgele değişken X, (-2;N) aralığında düzgün bir şekilde dağılmıştır. Şunları bulun: a) rasgele değişken X'in diferansiyel fonksiyonu; b) integral fonksiyonu; c) (-1;) aralığına düşen rastgele bir değişkenin olasılığı; d) bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, varyansı ve standart sapması.

2. Aşağıdaki aralıkta düzgün dağılmış bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun: a) (5; 11); b) (-3; 5). Bu fonksiyonların grafiklerini çizin.

3. Rastgele değişken X, (2; 6) aralığında ve D(x) = 12'de düzgün dağılmıştır. X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonlarını bulun. Fonksiyonların grafiklerini çizin.

4. Rastgele değişken X, (0; a) aralığında bir dik üçgen (Şekil 1) yasasına göre dağıtılır. Şunları bulun: a) rasgele değişken X'in diferansiyel fonksiyonu; b) integral fonksiyonu; c) muhtemelen

rastgele bir değişkene çarpma olasılığı

aralığa(); d) matematiksel

beklenti, varyans ve ortalama kare

rastgele sapma

5. Rastgele değişken X, (-a; a) aralığında Simpson yasasına ("ikizkenar üçgen yasası") (Şekil 2) göre dağıtılır. Şunları bulun: a) rasgele değişken X'in diferansiyel olasılık dağılım fonksiyonu;

b) bir integral fonksiyon ve grafiğini çizin; c) rastgele bir değişkenin (-) aralığına düşme olasılığı; d) bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, varyansı ve standart sapması.

6. Belirli bir kanatlı türünün verimliliğini incelemek için yumurtaların çapı ölçülür. Yumurtaların en büyük enine çapı, ortalama değeri 5 cm ve standart sapması 0,3 cm olan normal yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişkendir. ve 6, 2 cm; b) Çapın ortalamadan sapması mutlak değerde 0,6 cm'yi geçmez.

7. Havuzda yakalanan balığın ağırlığı, 150 g standart sapma ve a = 1000 g matematiksel beklenti ile normal dağılım yasasına uygundur.Yakalanan balığın ağırlığının: a) 900 ila 1300 g arasında olması olasılığını bulun. ; b) 1500 g'dan fazla değil; c) 800 g'dan az olmayan; d) 200 g'dan fazla olmayan ortalama ağırlık modülünden farklıdır; e) X rastgele değişkeninin diferansiyel fonksiyonunun bir grafiğini çizin.

8. Tüm parseller için kışlık buğday verimi, aşağıdaki parametrelerle normal yasaya göre dağıtılır: a = 50 c/ha, = 10 c/ha. Aşağıdakileri belirleyin: a) arazilerin yüzde kaçının verimi 40 c/ha'dan fazla olacak; b) verimi 45 ila 60 c/ha olan parsellerin yüzdesi.

9. Tahıl yabaniliği bir örnekleme yöntemiyle ölçülür, rastgele ölçüm hataları 0,2 g standart sapma ve matematiksel beklenti a = 0 olan bir normal dağılım yasasına tabidir. Dört bağımsız ölçümden hatanın şu olma olasılığını bulun: en az biri mutlak değerde 0,3 g'ı geçmeyecektir.

10. Deney alanının her bir parselinden hasat edilen tahıl miktarı, matematiksel beklentisi a = 60 kg ve standart sapması 1,5 kg olan normal dağılımlı bir rastgele değişken X'tir. 0,9906 olasılığı ile X miktarının alınacağı aralığı bulun.Bu rastgele değişkenin diferansiyel fonksiyonunu yazın.

11. 0.9973 olasılıkla, rastgele alınan bir sığır başının canlı ağırlığının, sürü boyunca hayvanın ortalama ağırlığından mutlak sapmasının 30 kg'ı geçmediği bulunmuştur. Hayvanların canlı ağırlığa göre dağılımının normal yasaya uyduğunu varsayarak, hayvanların canlı ağırlığının standart sapmasını bulun.

12. Sebzelerin parsellere göre verimi, 300 centner/ha'lık bir matematiksel beklenti ve 30 centners/ha'lık bir standart sapma ile normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkendir. 0.9545 olasılıkla, parsellerdeki ortalama sebze veriminin içinde olacağı sınırları belirleyin.

13. Normal olarak dağıtılan rasgele değişken X, bir diferansiyel fonksiyon tarafından verilir:

Belirleyin: a) rastgele bir değişkenin aralığa düşme olasılığı

(3; 9); b) X rastgele değişkeninin modu ve medyanı.

14. Bir ticaret şirketi, iki üreticiden aynı tür ürünleri satıyor. Ürünlerin hizmet ömrü normal yasalara tabidir. İlk üreticinin ürünlerinin ortalama hizmet ömrü 5.5 bin saat, ikinci - 6 bin saat. İlk üretici, 0.95 olasılıkla, ilk üreticinin hizmet ömrünün 5 ila 6 bin saat arasında olduğunu ve ikincisinin 0,9 olasılıkla 5 ila 7 bin saat arasında olduğunu iddia ediyor. Hangi üreticinin ürün ömründe en fazla değişkenliğe sahip olduğu.

15. İşletme çalışanlarının aylık ücretleri, matematiksel beklenti a = 10 bin ruble ile normal yasaya göre dağıtılır. Şirket çalışanlarının %50'sinin 8 ila 12 bin ruble arasında ücret aldığı biliniyor. Şirket çalışanlarının yüzde kaçının aylık maaşının 9 ila 18 bin ruble olduğunu belirleyin.

16. Aşağıdaki durumlarda üstel yasanın yoğunluk ve dağılım fonksiyonunu yazın: a) bir parametre; b) ; içinde) . Fonksiyonların grafiklerini çizin.

17. Ayrıca X rastgele değişkeni üstel yasaya göre dağıtılır. Aşağıdaki aralıkta rastgele bir X değişkenine çarpma olasılığını bulun: a) (0; 1); b) (2; 4). M(X), D(X), (X).

18. Belirli bir fonksiyona göre X rastgele değişkeninin üstel dağılım yasasının M(X), D(X), (X)'ini bulun:

19. Birbirinden bağımsız çalışan iki eleman test edilir. İlkinin çalışma süresi, ikincisinden daha gösterge niteliğinde bir dağılıma sahiptir. 20 saat boyunca: a) her iki elemanın da çalışacağı; b) sadece bir eleman başarısız olacaktır; c) en az bir eleman başarısız olur; d) her iki eleman da başarısız olur.

20. Her iki bağımsız elemanın da 10 gün boyunca çalışma olasılığı 0.64'tür. Fonksiyonlar aynıysa, her bir eleman için güvenilirlik fonksiyonunu belirleyin.

21. Operatörün bir saatlik çalışma sırasında yaptığı ortalama hata sayısı 2. Operatörün 3 saatlik çalışmada aşağıdakileri yapma olasılığını bulun: a) 4 hata; b) en az iki hata; c) en az bir hata.

22. PBX'e bir dakikada gelen ortalama çağrı sayısı üçtür. 2 dakika içinde: a) 4 arama; b) en az üç arama.

23. Rastgele değişken X, Cauchy yasasına göre dağıtılır

Sürekli rastgele değişkenler

6. Sürekli rastgele değişkenler

6.1. Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Sürekli değişken, bazı sonlu veya sonsuz aralıklardan tüm değerleri alabilen rastgele bir değişkendir.

Dağıtım işlevine F (x) işlevi denir. test sonucunda rastgele değişken X'in x'ten küçük bir değer alma olasılığının belirlenmesi, yani.

Dağıtım işlevi özellikleri:

1. Dağıtım fonksiyonunun değerleri segmente aittir, yani.

2. F (x) azalmayan bir fonksiyondur, yani. eğer öyleyse.

Rastgele bir X değişkeninin aralıkta yer alan bir değeri alma olasılığı şuna eşittir:

· Sürekli bir rasgele değişken X'in belirli bir değer alma olasılığı sıfıra eşittir.

Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğuna fonksiyon denir - dağılım fonksiyonunun ilk türevi.

Belirli bir aralıkta sürekli bir rastgele değişkene çarpma olasılığı:

Bilinen bir dağılım yoğunluğundan dağılım fonksiyonunu bulma:

Dağılım Yoğunluğu Özellikleri

1. Dağılım yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur:

2. Normalleştirme koşulu:

Standart sapma

6.2. Üniforma dağıtımı

Rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ait olduğu aralıkta dağılım yoğunluğu sabit kalırsa, olasılık dağılımına tek tip denir.

Düzgün dağılmış bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu

Standart sapma

6.3. Normal dağılım

Normal, dağılım yoğunluğu ile tanımlanan bir rastgele değişkenin olasılık dağılımıdır.

a - matematiksel beklenti

standart sapma

dağılım

Aralığa çarpma olasılığı

Laplace işlevi nerede. Bu fonksiyon tablolaştırılmıştır, yani. integralin hesaplanması gerekmez, tablonun kullanılması gerekir.

Bir rastgele değişken x'in matematiksel beklentiden sapma olasılığı

Üç sigma kuralı

Bir rastgele değişken normal olarak dağılmışsa, matematiksel beklentiden sapmasının mutlak değeri, standart sapmanın üç katını geçmez.

Kesin olmak gerekirse, belirtilen aralığın ötesine geçme olasılığı %0.27'dir.

Normal Dağılım Çevrimiçi Hesap Makinesi Olasılığı

6.4. üstel dağılım

Rastgele bir değişken X, dağılım yoğunluğu şu şekildeyse, üstel bir yasaya göre dağıtılır.

Standart sapma

Bu dağılımın ayırt edici bir özelliği, matematiksel beklentinin standart sapmaya eşit olmasıdır.

Olasılık teorisi. Rastgele olaylar (sayfa 6)

12. Rastgele değişkenler X , eğer , , , .

13. Kusurlu bir ürün üretme olasılığı 0,0002'dir. 5000 parçanın kalitesini kontrol eden bir müfettişin aralarında 4 kusurlu parça bulma olasılığını hesaplayın.

X X aralığına ait bir değer alacaktır. Fonksiyonları çizin ve .

15. Elemanın hatasız çalışma olasılığı üstel yasaya göre dağıtılır (). Elemanın 50 saat boyunca kusursuz çalışma olasılığını bulun.

16. Cihaz, bağımsız olarak çalışan 10 elemandan oluşur. Her elemanın zamanında arızalanma olasılığı T 0,05'e eşittir. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak, başarısız olan öğelerin sayısı ile zaman içindeki ortalama başarısızlık sayısı (beklenti) arasındaki farkın mutlak değerinin olasılığını tahmin edin. T ikiden az olacaktır.

17. Hedefe (Şekil 4.1 m, m'de) sistematik bir hata () olmadan, beklenen vuruş m yayılmasıyla üç bağımsız atış yapıldı.Hedefe en az bir isabet olasılığını bulun.

1. 0,1,2,3,4,5 sayılarından üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

2. Koro 10 kişiden oluşur. 6 katılımcı 3 gün boyunca her gün farklı bir koro kadrosu olacak şekilde kaç farklı şekilde seçilebilir?

3. Bir yarıda üç as olacak şekilde 52 adet karıştırılmış kart destesi kaç farklı şekilde ikiye bölünebilir?

4. Çekilişe katılanlar, 1'den 40'a kadar sayıların yer aldığı jetonları içeren bir kutudan jeton çeker. Rastgele çekilen ilk jeton sayısının 2 sayısını içermeme olasılığını belirleyin.

5. Test tezgahında belirli koşullar altında 250 cihaz test edilir. Bu cihazlardan birinin bir saat içinde arızalanma olasılığının 0.04'e eşit olduğu ve tüm cihazlar için aynı olduğu biliniyorsa, test edilen cihazlardan en az birinin bir saat içinde arızalanma olasılığını bulun.

6. Piramidin içinde 4 tanesi optik görüş ile donatılmış 10 adet tüfek bulunmaktadır. Nişancının teleskopik görüşlü bir tüfekten ateşlendiğinde hedefi vurma olasılığı 0.95; teleskopik görüşü olmayan tüfekler için bu olasılık 0,8'dir. Atıcı, rastgele aldığı bir tüfekle hedefi vurdu. Nişancının optik görüşlü bir tüfekle ateş etme olasılığını bulun.

7. Cihaz 10 düğümden oluşmaktadır. Güvenilirlik (zaman içinde hatasız çalışma olasılığı t her düğüm için eşittir . Düğümler birbirinden bağımsız olarak başarısız olur. zamanda olma olasılığını bulunuz. t: a) en az bir düğüm başarısız olur; b) tam olarak iki düğüm başarısız olur; c) tam olarak bir düğüm başarısız olur; d) en az iki düğüm başarısız olacaktır.

8. Bazı cihazların 16 öğesinin her biri test edilir. Bir elemanın testi geçme olasılığı 0,8'dir. Testi geçecek en olası eleman sayısını bulun.

9. Olayın olma olasılığını bulun ANCAK(vites değiştirme), 243 kilometrelik bir pistte, o pistin kilometre başına vites değiştirme olasılığı 0,25 ise 70 kez meydana gelecektir.

10. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,8'dir. 100 atışla hedefin en az 75, en fazla 90 kez vurulma olasılığını bulun.

X.

12. Rastgele değişkenler X ve bağımsız. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun , eğer , , , .

13. Daktiloyla yazılmış 1000 sayfalık el yazması, 100 baskı hatası içeriyor. Rastgele seçilen bir sayfanın tam olarak 2 baskı hatası içerme olasılığını bulun.

14. Sürekli rastgele değişken X sabit bir olasılık yoğunluğu ile düzgün bir şekilde dağıtılır, burada 1) parametreyi bulun ve dağıtım yasasını yazın; 2) Bul , ; 3) Şu olasılığı bulun: X aralığına ait bir değer alacaktır.

15. Bir öğenin çalışma süresi üstel bir dağılıma sahiptir (). olma olasılığını bulun t= 24 saat eleman başarısız olmaz.

16. Sürekli rastgele değişken X normal yasaya göre dağıtılmış . Bulmak , . Test sonucunda çıkma olasılığını bulunuz. X aralıktaki değeri alacaktır.

17. Kesikli iki boyutlu bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı verilmiştir:

Bileşenlerin dağıtım yasasını bulun X ve ; matematiksel beklentileri ve ; varyanslar ve ; korelasyon katsayısı .

1. 1,2, 3, 4, 5 sayılarından bu sayıların her biri birden fazla kullanılmazsa, üç basamaklı kaç sayı yapılabilir?

2. Verilen n 3'ü aynı doğru üzerinde olmayan noktalar. Noktaları çiftler halinde birleştirerek kaç doğru çizilebilir?

0'dan 9'a kadar sayılar kullanılarak kaç domino yapılabilir?

3. Yeni takvimden rastgele yırtılmış bir kağıdın ayın ilk gününe denk gelme olasılığı nedir? (Yıl artık yıl olarak kabul edilmez.)

4. Atölyede birbirinden bağımsız çalışan 3 adet telefon bulunmaktadır.

5. Her birinin istihdam olasılıkları sırasıyla aşağıdaki gibidir: ; ; . En az bir telefonun boş olma olasılığını bulun.

6. Üç özdeş çömleği vardır. İlk kavanoz 20 beyaz top içerir, ikinci kavanoz 10 beyaz ve 10 siyah top içerir ve üçüncü kavanoz 20 siyah top içerir. Rastgele seçilen bir kavanozdan beyaz bir top çekiliyor. Topun birinci kutudan çekilme olasılığını bulun.

7. Yazın bazı bölgelerde günlerin ortalama %20'si yağışlıdır. Bir hafta içinde: a) en az bir yağmurlu gün olması; b) tam olarak bir yağmurlu gün olacak; c) yağmurlu günlerin sayısı dörtten fazla olmayacak; d) Yağmurlu günler olmayacak.

8. Cihazın montajında ​​doğruluk ihlali olasılığı 0.32'dir. 9 parçalık bir partide en olası hassas alet sayısını belirleyin.

9. Hedefi tek atışta vurma olasılığı 0,4 ise, bir tüfekten 150 atışla hedefin 70 kez vurulma olasılığını belirleyin.

10. Erkek çocukların doğma olasılığı 0,515 ise, 1000 doğan çocuktan erkek çocuk sayısının en az 455, en çok 555 olma olasılığını belirleyin.

11. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilmiştir. X:

Bul: 1) değere karşılık gelen olasılık değeri; 2) , , ; 3) dağıtım işlevi; onun grafiğini oluştur. Rastgele bir değişkenin dağıtım poligonunu oluşturun X.

12. Rastgele değişkenler X ve bağımsız. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun , eğer , , , .

13. Standart olmayan bir parça üretme olasılığı 0,004'tür. 1000 parça arasında standart olmayan 5 parça olma olasılığını bulun.

14. Sürekli rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen Bul: 1) yoğunluk fonksiyonu ; 2) , , ; 3) deney sonucunda rastgele değişkenin olma olasılığı X aralığına ait bir değer alacaktır. Fonksiyon grafikleri ve .km, km oluşturun. Hedefe iki isabet olasılığını belirleyin.

1. Konuşmacılar toplantıda konuşmalıdır ANCAK, AT, İTİBAREN, D. Konuşmacılar listesine kaç farklı şekilde yerleştirilebilirler, böylece AT konuşmacıdan sonra konuştu ANCAK?

2. 14 özdeş top 8 kutuya kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

3. 1'den 9'a kadar olan sayılardan beş basamaklı kaç sayı yazılabilir?

4. Öğrenci, programın 32 sorusundan sadece 24'ünü bilerek sınava geldi. Müfettiş ona 3 soru sordu. Öğrencinin tüm soruları yanıtlama olasılığını bulun.

5. Günün sonunda, mağazada 50'si olgun olmak üzere 60 karpuz kalmıştı. Müşteri 2 karpuz seçer. Her iki karpuzun da olgun olma olasılığı nedir?

6. Sporcu grubunda 20 koşucu, 6 jumper ve 4 çekiç atıcı bulunur. Spor ustasının normunun bir koşucu tarafından yerine getirilme olasılığı 0.9'dur; jumper - 0.8 ve atıcı - 0.75. Rastgele olarak adlandırılan bir sporcunun spor ustasının standardını karşılama olasılığını belirleyin.

7. Kiralanan bir eşyanın iyi durumda iade edilme olasılığı 0,8'dir. Alınan beş şeyden: a) üçünün iyi durumda iade edilme olasılığını belirleyin; b) beş öğenin tümü bozulmamış olarak iade edilecektir; c) en az iki ürün bozulmamış olarak iade edilecektir.

8. 500 parçalık bir partide kusur olasılığı 0.035'tir. Bu partideki en olası kusurlu parça sayısını belirleyin.

9. Elektrik ampullerinin üretiminde birinci sınıf bir lamba imal edilme olasılığı 0,64 kabul edilmiştir. Rastgele seçilen 100 elektrik lambasından 70'inin birinci dereceden olma olasılığını belirleyin.

10. 400 adet cevher numunesi incelemeye tabi tutulur. Her numunedeki endüstriyel metal içeriği olasılığı aynıdır ve 0,8'e eşittir. Endüstriyel metal içerikli numune sayısının 290 ile 340 arasında olma olasılığını bulunuz.

11. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilmiştir. X ise X X ve ; 4) Bu miktarların bağımlı olup olmadığını öğrenin.

1. 8 misafir yuvarlak bir masaya iki ünlü misafir yan yana oturacak şekilde kaç farklı şekilde oturabilir?

2. "Birleştirici" kelimesinin harfleri yeniden düzenlenerek kaç farklı "kelime" oluşturulabilir?

3. Kenar uzunlukları 4, 5, 6, 7 cm olan kaç üçgen vardır?

4. Bölünmüş alfabenin harfleri zarfın içindedir: Ö, P, R, İTİBAREN, T. Harfler dikkatlice karıştırılır. Bu harfleri çıkarıp yan yana koyarak "" kelimesini elde etme olasılığını belirleyin. SPOR‘.

5. İlk makineden %20'si montaja, ikinci %30'undan üçüncü - %50'sine gidiyor. İlk makine ortalama% 0,2 kusur, ikinci -% 0,3, üçüncü -% 1 verir. Montaj için alınan parçanın kusurlu olma olasılığını bulunuz.

6. Ateş eden üç kişiden biri ateş hattına çağrılır ve ateş eder. Hedef vuruldu. İlk atıcı için hedefi bir atışla vurma olasılığı, ikinci için 0,3 - 0,5, üçüncü için - 0,8'dir. İkinci atıcı tarafından ateş edilmiş olma olasılığını bulunuz.

7. Atölyede 6 adet motor bulunmaktadır. Her motor için şu anda açık olma olasılığı 0,8'dir. Şu anda: a) 4 motorun açık; b) en az bir motor açık; c) tüm motorlar açık.

8. TV'nin 12 lambası vardır. Her biri 0,4 olasılıkla garanti süresi boyunca arızalanabilir. Garanti süresi içinde arızalanan en olası lamba sayısını bulun.

9. Erkek çocuk olma olasılığı 0,515'tir. Kız ve erkek olarak doğan 200 çocuktan eşit olarak ayrılma olasılığını bulunuz.

10. Parçanın Kalite Kontrol Departmanı kontrolünden geçmeme olasılığı . Rastgele seçilen 400 parça arasından 70 ila 100 parçanın işaretlenmemiş olma olasılığını bulun.

11. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilmiştir. X:

• Rastgele bir değişken dağılımının temel yasaları "Belarus Devlet Yüksek Matematik Bölümü" eğitim kurumu, yazışma eğitim formunun muhasebe bölümü öğrencileri tarafından "Rastgele değişken dağılımının temel yasaları" konusunun incelenmesi üzerine (NISPO) Ana yasaları […]
• Para cezaları trafik polisi leninogorsk Geç devlet, para cezalarına itiraz etmediyseniz para cezalarınızı tahsil etmek için harekete geçecektir. Trafik polisi leninogorsk Sembollere ihtiyacınız var. Kayıt belgeleri olmadan ve bir OSAGO politikası olmadan, bu makaleye bir köprü 500 yere mal olacak. Resmi Cezalar trafik polisi leninogorsk […]
• Çernobil için kıdem tazminatı: (3 + 1) veya sadece 3? Çernobil felaketinden etkilenen vatandaşlar için (bundan böyle Çernobil mağdurları olarak anılacaktır), 796 sayılı Kanun * belirli faydalar ve garantiler getirmektedir. Bu nedenle, diğer şeylerin yanı sıra, kategori 1 olarak sınıflandırılan Çernobil mağdurları, söz konusu Kanun tarafından tercihli bir hakka sahip olarak tanımlanmaktadır […]
• Dacha vergisi. Bilmelisin. Kocam ve ben, gelebileceğimiz, yataklarda biraz kazabileceğimiz ve akşamları ateşin yanında bir sallanan sandalyeye oturabileceğimiz ve hiçbir şey düşünmeyeceğimiz bir yazlık ev düşünüyoruz. Rahatla. Bahçecilik ve bahçeciliğin pahalı olduğunu (gübre, gübreler, fideler), vergiler olduğunu ilk elden biliyoruz… Ne […]
• İpucu 1: Dağılım yasası nasıl belirlenir Dağılım yasası nasıl belirlenir Pareto grafiği nasıl oluşturulur Varyans biliniyorsa matematiksel beklenti nasıl bulunur - matematiksel bir referans; - basit bir kalem; - not defteri; - bir kalem. 2018'de normal dağıtım yasası 2. İpucu: Nasıl […]
• 3. RASTGELE DEĞERLER. RASTGELE DEĞİŞKEN KAVRAMI Rastgele değişken, aynı koşullar altında yapılan testler sonucunda, genel olarak, hesaba katılmayan rastgele faktörlere bağlı farklı değerler alan bir değişkendir. Rastgele değişken örnekleri: düşen noktaların sayısı […]
• Tasfiye geçişi Nesnenin toplam alanı, km 2; N sonra - nesnenin etkilenen elemanlarının sayısı (binalar, atölyeler, yapılar, sistemler); Ntoplam - nesnenin toplam öğe sayısı. Mağdur sayısını belirlemek için aşağıdaki ifade kullanılabilir: Spor, ani bir patlamada ölenlerin sayısıdır; Lc bunun çalışan sayısıdır […]
• Stefan Boltzmann'ın radyasyon yasaları Gerçek cisimler için Stefan-Boltzmann yasası yalnızca niteliksel olarak yerine getirilir, yani artan sıcaklıkla birlikte tüm cisimlerin enerji parlaklıkları artar. Bununla birlikte, gerçek cisimler için, enerji parlaklığının sıcaklığa bağımlılığı artık basit bir bağıntıyla (16.7) tanımlanmaz, ancak […]

Rastgele değişken Her testin sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan bir değişken olarak adlandırılır. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre, rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık ve sürekli.

Ayrık rassal değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayan, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik, rastgele bir değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceği anlamına gelir.

örnek 1 . Kesikli rastgele değişkenlere örnekler verelim:

a) $n$ atışları ile hedefe isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

b) yazı tura atarken düşen arma sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

c) gemiye gelen gemi sayısı (sayılabilir bir değerler dizisi).

d) santrale gelen çağrıların sayısı (sayılabilir bir değerler kümesi).

1. Kesikli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı yasası.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir. ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırında $x_1,\dots,\ x_n$ değerlerinin belirtildiği ve ikinci satırda bu değerlere karşılık gelen olasılıkların $ olduğu bir tablo kullanılarak belirtilir. p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$

Örnek 2 . Rastgele değişken $X$, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $X$ aşağıdaki değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. Ardından $X$ rasgele değişkeni için olasılık dağılım yasası:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(dizi)$

Yorum. $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ olayları ayrık rastgele değişken $X$'ın dağılım yasasında tam bir olaylar grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $\sum( p_i)=1$.

2. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi"merkezi" değerini belirtir. Kesikli bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır, yani: $M\sol(X\sağ)=\toplam ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz literatüründe, $E\left(X\right)$ başka bir gösterimi kullanılır.

Beklenti Özellikleri$M\sol(X\sağ)$:

1. $M\left(X\right)$, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ve en büyük değerleri arasındadır.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
3. Sabit faktör beklenti işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Örnek 3 . Örnek 2$'dan $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulalım.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\üzer (6))+2\cdot ((1)\üzer (6) )+3\cdot ((1)\fazla (6))+4\cdot ((1)\fazla (6))+5\cdot ((1)\fazla (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$'ın $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük (6$) değerleri arasında olduğunu görebiliriz.

Örnek 4 . $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. 3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak, $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.

Örnek 5 . $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. 2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak, $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin, iki öğrenci grubunda, olasılık teorisindeki sınavın ortalama puanı 4 çıktı, ancak bir grupta herkes iyi öğrenciler, diğer grupta ise sadece C öğrencileri ve mükemmel öğrenciler çıktı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında yayılmasını gösterecek olan bir rastgele değişkenin böyle bir sayısal özelliğine ihtiyaç vardır. Bu özellik dispersiyondur.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı$X$:

$$D\left(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\sağ)\sağ))^2).\ $$

İngiliz literatüründe $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. Çoğu zaman $D\left(X\right)$ varyansı $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülüyle hesaplanır sol(X \sağ)\sağ))^2$.

Dağılım Özellikleri$D\sol(X\sağ)$:

1. Dağılım her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir, yani. $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
2. Bir sabitten dağılım sıfıra eşittir, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
3. Sabit faktör, kare olması koşuluyla dağılım işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\sol(CX\sağ)=C^2D\sol(X\sağ)$.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $D\sol(X+Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin farkının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $D\sol(X-Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.

Örnek 6 . Örnek 2$'dan $X$ rasgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\sol(1-3,5\sağ))^2+((1)\üzer (6))\cdot (\sol(2-3,5\sağ))^2+ \dots +((1)\üzer (6))\cdot (\sol(6-3,5\sağ))^2=((35)\üzer (12))\yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 . $X$ rasgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. 4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= buluruz 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Örnek 8 . $X$'ın varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= buluruz 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Kesikli bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi şeklinde temsil etme yöntemi tek değildir ve en önemlisi, sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemediğinden evrensel değildir. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır - dağıtım işlevi.

dağıtım işlevi rasgele değişken $X$, rasgele değişken $X$'ın sabit bir $x$ değerinden daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen bir $F\left(x\right)$ işlevidir, yani $F\left(x\ sağ)$ )=P\sol(X< x\right)$

Dağıtım işlevi özellikleri:

1. $0\le F\sol(x\sağ)\le 1$.
2. $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değerler alma olasılığı, bu aralığın sonundaki dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. : $P\sol(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\sol(x\sağ)$ - azalmaz.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 9 . Örnek 2$'dan ayrık rastgele değişken $X$'ın dağılım yasası için $F\sol(x\sağ)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$

$x\le 1$ ise, açıkçası $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ dahil $F\left(1\right)=P\left(X dahil)< 1\right)=0$).

1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

$x > 6$ ise, o zaman $F\sol(x\sağ)=P\sol(X=1\sağ)+P\sol(X=2\sağ)+P\sol(X=3\sağ) + P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Yani $F(x)=\left\(\begin(matris)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3'te< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \'de \ 4< x\le 5,\\
1,\ için \ x > 6.
\end(matris)\sağ.$

DAĞITIM HUKUKU VE ÖZELLİKLERİ

rasgele değerler

Rastgele değişkenler, sınıflandırılmaları ve tanımlama yöntemleri.

Rastgele bir değer, bir deney sonucunda bir veya başka bir değer alabilen, ancak hangisinin önceden bilinmediği bir miktardır. Bu nedenle, rastgele bir değişken için, yalnızca biri deney sonucunda mutlaka alacağı değerler belirtilebilir. Bu değerler rastgele değişkenin olası değerleri olarak anılacaktır. Rastgele bir değişken, bir deneyin rastgele sonucunu nicel olarak karakterize ettiğinden, rastgele bir olayın nicel bir özelliği olarak düşünülebilir.

Rastgele değişkenler genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle, örneğin X..Y..Z ile ve olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.

Üç tür rastgele değişken vardır:

ayrık; Sürekli; Karışık.

ayrık olası değerlerin sayısı sayılabilir bir küme oluşturan böyle bir rastgele değişken denir. Sayılabilir küme, elemanları numaralandırılabilen bir kümedir. "Ayrık" kelimesi, "süreksiz, ayrı parçalardan oluşan" anlamına gelen Latince discretus'tan gelir.

Örnek 1. Kesikli bir rasgele değişken, bir nfl partisindeki X kusurlu parçaların sayısıdır. Gerçekten de, bu rastgele değişkenin olası değerleri, 0'dan n'ye kadar bir dizi tam sayıdır.

Örnek 2. Ayrık bir rastgele değişken, hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısıdır. Burada Örnek 1'de olduğu gibi olası değerler numaralandırılabilir, ancak sınırlayıcı durumda olası değer sonsuz büyük bir sayıdır.

Sürekli olası değerleri sürekli olarak sayısal eksenin belirli bir aralığını dolduran, bazen bu rastgele değişkenin varlık aralığı olarak adlandırılan rastgele bir değişken olarak adlandırılır. Bu nedenle, herhangi bir sonlu varlık aralığında, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuz büyüktür.

Örnek 3. Sürekli bir rastgele değişken, işletmede bir aylık elektrik tüketimidir.

Örnek 4. Sürekli bir rastgele değişken, bir altimetre kullanılarak yapılan yükseklik ölçümündeki hatadır. Altimetrenin çalışma prensibinden, hatanın 0 ila 2 m aralığında olduğu bilinsin, bu nedenle, bu rastgele değişkenin varlık aralığı 0 ila 2 m arasındadır.

Rastgele değişkenlerin dağılım yasası.

Rastgele bir değişken, olası değerleri sayısal eksende belirtilirse ve dağılım yasası kurulursa tamamen belirlenmiş kabul edilir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile karşılık gelen olasılıklar arasında bir ilişki kuran bir ilişkiye denir.

Rastgele bir değişkenin belirli bir yasaya göre dağıtıldığı veya belirli bir dağıtım yasasına tabi olduğu söylenir. Dağılım yasaları olarak bir dizi olasılık, bir dağılım fonksiyonu, bir olasılık yoğunluğu, bir karakteristik fonksiyon kullanılır.

Dağılım yasası, rastgele bir değişkenin tam bir olası tanımını verir. Dağılım yasasına göre, bir rastgele değişkenin olası değerlerinin hangilerinin daha sık, hangilerinin daha az görüneceğini, deneyimden önce yargılamak mümkündür.

Kesikli bir rasgele değişken için, dağılım yasası bir tablo şeklinde, analitik olarak (bir formül şeklinde) ve grafik olarak verilebilir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlemenin en basit şekli, bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları artan sırada listeleyen bir tablodur (matris).

Böyle bir tabloya ayrı bir rastgele değişkenin bir dizi dağılımı denir. bir

X 1 , X 2 ,..., Xn olayları, test sonucunda rastgele değişken X'in sırasıyla x 1 , x 2 ,... x n değerlerini alacağı gerçeğinden oluşur. , tutarsız ve yalnızca olası olanlardır (çünkü tablo rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerini listeler), yani. tam bir grup oluşturur. Bu nedenle, olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Böylece, herhangi bir ayrık rastgele değişken için

(Bu birim bir şekilde rastgele değişkenin değerleri arasında dağıtılır, dolayısıyla "dağılım" terimi).

Rastgele bir değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilirse ve bunların karşılık gelen olasılıkları ordinat ekseni boyunca grafiksel olarak görüntülenebilir. Elde edilen noktaların bağlantısı, olasılık dağılımının çokgeni veya çokgeni olarak adlandırılan kesikli bir çizgi oluşturur (Şekil 1).

Örnek Piyango oynanır: 5000 den değerinde bir araba. üniteler, 250 den değerinde 4 TV. birim, 200 den değerinde 5 VCR. birimler Toplamda 7 den için 1000 bilet satılmaktadır. birimler Bir bilet alan piyango katılımcısının elde ettiği net kazancın dağıtım kanununu hazırlayın.

Çözüm. Rastgele değişken X - bilet başına net kazanç - olası değerleri 0-7 = -7 den'dir. birimler (bilet kazanmadıysa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. birimler (bilet sırasıyla VCR, TV veya arabayı kazandıysa). 1000 biletten kazanan olmayanların sayısının 990 olduğu ve belirtilen kazançların sırasıyla 5, 4 ve 1 olduğu göz önüne alındığında ve klasik olasılık tanımını kullanarak elde ederiz.