Temel konseptler
Açıları ölçme konusunun bir parçası olarak, bu bölümde ilk geometrik bilgilerle ilgili birkaç kavramı ele alacağız:
- enjeksiyon;
- genişletilmiş ve gelişmemiş açı;
- derece, dakika ve saniye;
- açının derece ölçüsü;
- sağ, dar ve geniş açılar.
Bir açı, bir nokta (tepe) ve ondan çıkan iki ışın (kenar) olan böyle bir geometrik şekildir. Her iki ışın da aynı düz çizgi üzerinde bulunuyorsa açıya açılmış denir.
Bir açının derece ölçüsü sayesinde açıları ölçebilirsiniz. Açıların ölçümü, segmentlerin ölçümüne benzer şekilde gerçekleştirilir. Tıpkı segmentleri ölçerken olduğu gibi, açıları ölçerken de özel bir ölçü birimi kullanılır. Çoğu zaman bir derecedir.
tanım 1
Derece bir ölçü birimidir. Geometride, diğer açıların karşılaştırıldığı açıyı temsil eder. Derece, düz açıdan $\frac(1)(180)$'a eşittir.
Şimdi bir açının derece ölçüsünü tanımlayabiliriz.
tanım 2
Bir açının derece ölçüsü, belirli bir açıya bir derecenin kaç kez yerleştirildiğini gösteren pozitif bir sayıdır.
Açıları ölçmek için bir iletki kullanılır.
Derece ölçüsü kaydetmeye bir örnek: $\angle ABC = 150^(\circ)$. Şekilde, bu giriş şu anlama gelir:
Sözlü olarak şöyle derler: "ABC açısı 150 derecedir."
Derecenin bazı bölümlerinin kendi özel adları vardır. Dakikaya $\frac(1)(60)$ derecenin bir parçası denir, $"$ işareti atama için kullanılır. Saniyeye $\frac(1)(60)$ dakikanın bir parçası, $"" denir $ atama için kullanılır. 75 derece, 45 dakika ve 28 saniyede bir açı yazma örneği: $75^(\circ)45"28""$.
Eşit açılar, derece ölçüleri eşit olan açılardır. Buna göre, bir açı diğerinden küçük veya bir açı diğerinden büyük denilerek açılar karşılaştırılabilir.
Gelişmiş bir açının tanımı yukarıda verilmiştir. Derece ölçüsü kavramını bilerek, döndürülmüş ve gelişmemiş bir açı arasındaki farkı tanımlayabiliriz. Doğru açı her zaman 180$^(\circ)$'dır. açılmamış açı 180$^(\circ)$'dan küçük herhangi bir açıdır.
Doğru, dar ve geniş açılar vardır. Dik açı $90^(\circ)$, dar açı $90^(\circ)$'dan, geniş açı 90$^(\circ)$'dan büyük ve 180^(\circ)$'dan küçüktür.
Şekil 4. Sağ, dar ve geniş açılar. Author24 - öğrenci belgelerinin çevrimiçi değişimi
AT Günlük yaşam açıları ölçme ve derece ölçüsünü anlama yeteneğinin gerekliliği ve önemine dair örnekler vardır. Gök cisimlerinin konumlarının belirlenmesinde astronomi dahil olmak üzere çeşitli çalışmalarda açıların ölçülmesi gereklidir.
Uygulama için, en az üç açılmamış köşe ve bir genişletilmiş köşe çizmeye çalışın. Farklı yollar, açıları bir iletki ile ölçün ve sonuçları kaydedin. Bir iletki ile rasgele sayılar ayarlayabilir ve çizim açılarını doğru bir şekilde uygulayabilirsiniz, bunları bir açıortay ile bölebilirsiniz (ortay, belirli bir açının tepesinden gelen ve açıyı ikiye bölen bir ışındır).
Görev örnekleri
örnek 1
Görev. Bir çizim var:
$DE$ ve $DF$ ışınları, karşılık gelen $ADB$ ve $BDC$ açılarının açıortayıdır. $\angle EDF = 75^(\circ)$ ise $ADC$ açısını bulmak gerekir.
Karar. $EDF$ açısı, $ADB$ ve $BDC$ açılarının her birinin yarısını içerdiğinden, $EDF$'ın $ADC$ açısının tam olarak yarısı olduğu sonucuna varabiliriz. alırız basit hesaplamalar: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.
Cevap: 150$^(\circ)$.
Bir başka ilginç örnek verelim.
Örnek 2
Görev. Bir çizim verildi.
$ABC$ açısı bir dik açıdır. $ABE$, $EBD$ ve $DBC$ açıları eşittir. $ABE$ ve $DBC$ açıortaylarının oluşturduğu açıyı bulmak gerekir.
Karar. $ABC$ bir dik açı olduğundan, bu, $90^(\circ)$'a eşit olduğu anlamına gelir. Açı $\açı EBD=90/3=30^(\circ)$. $ABE$, $EBD$ ve $DBC$ açıları eşit olduğundan, bunların herhangi biri $30^(\circ)$'a eşit olacaktır. Bu açılardan herhangi birinin açıortayı, bu açılardan herhangi birini $15^(\circ)$ değerine eşit iki açıya böler. $ABE$ ve $DBC$ açılarının iki yarısı istenen açıya ait olduğundan, istenen açının $30+15+15=60^(\circ)$'a eşit olduğunu söyleyebiliriz.
Cevap. $60^(\circ)$
Bu yazımızda bir açının derece ölçüsü ve açıların nasıl ölçüleceği sorusunu tam olarak açıkladık.
Ders: Açının büyüklüğü, açının derece ölçüsü, açının büyüklüğü ile bir dairenin yayının uzunluğu arasındaki uygunluk
açı ölçüsü belirli bir ışının orijinal konumuna göre saptırıldığı miktar olarak adlandırılır.
Bir açının ölçüsü iki nicelikte ölçülebilir: derece ve radyan, bu nedenle birimlerin adı - bir açının derece ve radyan ölçüsü.
Bir açının derece ölçüsü
Derece ölçüsü, belirli bir açıya kaç derece, dakika veya saniyenin sığdığını tahmin etmeyi mümkün kılar.
Derece cinsinden açılar, kirişin tam dönüşünün 360 ° olduğu bakış açısından hesaplanır. 180° dönüşün yarısı tam açıdır, 90° dönüşün çeyreği dik açıdır, vb.
Bir açının radyan ölçüsü
Şimdi bir açının radyan ölçüsünün ne olduğunu bulalım. Fizikten bildiğimiz gibi, ek birimler var. Örneğin, sıcaklığı ölçmek için ana birim Kelvin'dir ve santigrat derece ektir. Uzunluğu ölçmek için metre kullanıyoruz, ancak İngilizler ayak kullanıyor. Bu liste uzayıp gidebilir. Önemli olan, açının derece ölçüsüne ek olarak, var olma hakkı olan bir radyan ölçüsü olduğunu anlamanızdır.
Bir açının radyan ölçüsünü belirlemek için bir daire kullanılır. Radyan ölçüsünün, merkez açı tarafından tanımlanan bir dairenin yayının uzunluğu olduğuna inanılmaktadır.
Merkez açının, tepe noktası dairenin merkezinde olan bir açı olduğunu ve ışınların bir yaya dayandığını hatırlayın.
Yani 1 rad'lık bir açının derece ölçüsü 57.3°'dir. Bir açının radyan ölçüsü ya doğal sayılarla ya da π ≈ 3.14 sayısı kullanılarak tanımlanır.
Geometri için, bir açının derece ölçüsünü kullanmak daha uygundur, ancak trigonometri için bir radyan ölçüsü kullanılır.
Bir açının derece ölçüsü bir derecenin ve parçalarının bir açıya kaç kez sığdığını gösteren pozitif bir sayıdır.
"Köşe" kelimesinin farklı anlamları vardır. Geometride açı, bir noktadan çıkan iki ışın tarafından sınırlanan bir düzlemin bir parçasıdır, sözde tepe noktası. Düz, dar ve gelişmiş açılar düşünüldüğünde kastedilen geometrik açılardır.
Herhangi bir geometrik şekil gibi, açılar da karşılaştırılabilir. Geometri alanında, bugün bir açının diğerinden daha büyük veya daha küçük olduğunu tanımlamak zor değil.
Açılar için ölçü birimi bir derecedir - tam açının 1/180'i.
Her açının sıfırdan büyük bir derece ölçüsü vardır. Düzleştirilmiş bir açı 180 dereceye karşılık gelir. Bir açının derece ölçüsü, orijinal açının ışınlarla bölünebildiği açıların tüm derece ölçülerinin toplamına eşittir.
Herhangi bir ışından belirli bir düzleme, derece ölçüsü 180 dereceden fazla olmayan bir açı ayırabilirsiniz. Bir yarım düzlemin parçası olan düz açının ölçüsü, benzer kenarları olan bir açının derece ölçüsüdür. Yarım düzlemin bulunduğu açının düzleminin ölçüsü 360 - ? sayısı ile gösterilir, nerede? tamamlayıcı düzlem açısının derece ölçüsüdür.
Dik açı her zaman 90 dereceye eşittir, geniş - 180 dereceden az, ancak 90'dan fazla, dar - 90 dereceyi geçmez.
Açının derece ölçüsüne ek olarak bir radyan vardır. Planimetride, bir dairenin yayının uzunluğu L, yarıçap - r olarak belirtilir ve karşılık gelen merkezi açı - ? .. Bu parametrelerin oranı şöyle görünür: ? = Sol/sağ.
Bir açının derece ölçüsü nasıl bulunur?
Okuldaki birçok kişi için geometri gerçek bir meydan okumadır. Temel biri geometrik şekiller açıdır. Bu kavram, bir noktada ortaya çıkan iki ışın anlamına gelir. Bir açının değerini (değerini) ölçmek için derece veya radyan kullanılır. Bir açının derece ölçüsü nasıl bulunur, yazımızdan öğreneceksiniz.
Köşe türleri
Diyelim ki bir köşemiz var. Düz bir çizgi halinde genişletirsek, değeri 180 dereceye eşit olacaktır. Böyle bir açıya konuşlandırılmış denir ve parçasının 1/180'i bir derece olarak kabul edilir.
Geliştirilen açıya ek olarak keskin (90 dereceden az), geniş (90 dereceden büyük) ve dik (90 dereceye eşit) açılar da vardır. Bu terimler, bir açının derece ölçüsünü karakterize etmek için kullanılır.
Açı ölçümü
Açı bir iletki ile ölçülür. Bu özel cihaz, üzerinde yarım daire zaten 180 parçaya bölünmüştür. İletkiyi, köşenin kenarlarından biri ile çakışacak şekilde köşeye yerleştirin. alt kısım iletki. İkinci ışın, iletki yayınını kesmelidir. Bu olmazsa, iletkiyi çıkarın ve ışını uzatmak için bir cetvel kullanın. Köşenin sağında "açılırsa", değerini üst ölçekte, solda ise - altta okuyun.
SI sisteminde, bir açının büyüklüğünü derece olarak değil radyan cinsinden ölçmek gelenekseldir. Tam açıya yalnızca 3,14 radyan sığar, bu nedenle bu değer elverişsizdir ve pratikte neredeyse hiç kullanılmaz. Bu yüzden radyanı dereceye nasıl çevireceğinizi bilmeniz gerekir. Bunun için bir formül var:
- Derece = radyan/π x 180
Örneğin, açı değeri 1,6 radyandır. Dereceye çevir: 1.6 / 3.14 * 180 = 92
Köşe Özellikleri
Artık açıların derece ölçülerini nasıl ölçeceğinizi ve dönüştüreceğinizi biliyorsunuz. Ancak sorunları çözmek için açıların özelliklerini de bilmeniz gerekir. Bugüne kadar, aşağıdaki aksiyomlar formüle edilmiştir:
- Herhangi bir açı sıfırdan büyük derecelerle ifade edilebilir. Genişletilmiş açının değeri 360'tır.
- Bir açı birkaç açıdan oluşuyorsa, derece ölçüsü tüm açıların toplamına eşittir.
- Herhangi bir ışından belirli bir yarım düzlemde, bir açı oluşturabilirsiniz. set değeri, 180 dereceden az ve sadece bir.
- Eşit açıların değerleri aynıdır.
- İki açı eklemek için değerlerini eklemeniz gerekir.
Bu kuralları anlamak ve açıları ölçebilmek başarılı bir geometri çalışmasının anahtarıdır.