Böl kareli kağıt.

Bu aslında sadece kareli kağıt ve kalem gerektiren Katamino oyununun basitleştirilmiş bir versiyonudur. Bu tür sorunlarla sıklıkla karşılaşılır öğretim yardımcıları ve olimpiyatların görevleri küçük okul çocukları. Hücreler tarafından çizilen şekli belirli sayıda özdeş parçaya bölmek gerekir.

Bu görevler, üç veya dört yaşından başlayarak çok geniş bir yaş aralığı için uygundur. Ama onları kötüye kullanmayın - sonunda sıkılırlar. Büyük olasılıkla, her biri 4-5 hücreden oluşan 4-5 parçanın karmaşıklığında durmaya değer.

Seviye 1

Pirinç. 1: Izgara çizgileri boyunca (hücrelere göre) 2 eşit parçaya bölün.

Pirinç. 2: Izgara çizgileri boyunca 3 eşit parçaya bölün.

Çocuklarınızın daha fazlasına ihtiyacı olabilir basit görevler. Oluşturmaları çok kolaydır: sadece "cevaptan" gitmeniz gerekir, yani. kareli kağıt alın, birkaç hücreden bir figürün şeklini ("parça") seçin ve bu tür birkaç figürü yan yana çizerek onları "körleyerek". (Rakamları kendileriyle karıştırmamak güzel olurdu. ayna yansımaları.) Sorunun iki veya daha fazla çözümü olup olmadığı önemli değil - bu, en az birini (veya tümünü) bulmanız gerektiği anlamına gelir. Boş bir kareli kağıda elde ettiğiniz "canavar" konturunu yeniden çizin - görev hazır.

Seviye 2

Pirinç. 3: Hücreleri her birinde bir tane olacak şekilde 2 eşit parçaya bölün.
Kırmızı kare. (Ek bir koşul - kırmızı bir kare - "ekstra"
çözümler.)

Pirinç. 4: Izgara çizgileri boyunca 3 eşit parçaya bölün.

Pirinç. 5: Izgara çizgileri boyunca 4 eşit parçaya bölün.

3. seviye

Pirinç. 6: 4 eşit parçaya bölün.

29 Nisan 2013 saat 04:34

İki eşit parçaya bölün, birinci kısım

• Matematik

Kesme problemleri, dedikleri gibi, mamutun yuvarlanmadığı matematik alanıdır. Birçok ayrı problem var, ama aslında genel bir teori yok. İyi bilinen Bolyai-Gervin teoremine ek olarak, bu alanda pratikte başka hiçbir temel sonuç yoktur. Belirsizlik, dilimleme problemlerinin ebedi yoldaşıdır. Örneğin, düzgün bir beşgeni altı parçaya bölebiliriz, bundan bir kare oluşturulabilir; ancak bunun için beş bölümün yeterli olmayacağını kanıtlayamayız.

Kurnaz buluşsal yöntemler, hayal gücü ve yarım litre yardımıyla bazen belirli bir çözüm bulmayı başarırız, ancak kural olarak, bu çözümün minimalliğini veya var olmadığını kanıtlamak için doğru araçlara sahip değiliz (ikincisi , elbette, bir çözüm bulamadığımız durumu ifade eder). Bu üzücü ve adaletsiz. Ve bir keresinde boş bir defter aldım ve belirli bir görev ölçeğinde adaleti sağlamaya karar verdim: düz bir figürü iki eşit (uyumlu) parçaya bölmek. Bu makale dizisinin bir parçası olarak (bu arada üç tane olacak), biz yoldaşlar, aşağıda gösterilen bu komik çokgeni ele alacağız ve tarafsız bir şekilde iki eşit şekle kesilip kesilemeyeceğini anlamaya çalışacağız.

Tanıtım

Önce yenileyelim okul kursu geometri ve eşit rakamların ne olduğunu hatırlayın. Yandex yararlı bir şekilde şunları önerir:

Bire bir bir şekli diğerine dönüştüren bir hareket varsa, düzlemdeki iki şeklin eşit olduğu söylenir.

Şimdi Wikipedia'ya hareketi soralım. İlk olarak, hareketin noktalar arasındaki mesafeleri koruyan düzlemin bir dönüşümü olduğunu söyleyecektir. İkincisi, bir düzlemdeki hareketlerin bir sınıflandırması bile vardır. Hepsi aşağıdaki üç türden birine aittir:

• Kayan simetri (burada, paralel çevirinin sıfır vektör üzerinde gerçekleştirildiği dejenere bir durum olarak kolaylık ve fayda adına ayna simetrisini dahil ediyorum)

Bazı notasyonları tanıtalım. Şekil A diyeceğimiz kesilen rakamı ve onu kesebileceğimiz varsayılan iki varsayımsal eşit rakamı sırasıyla B ve C olarak adlandıracağız. Düzlemin A şekli tarafından işgal edilmeyen kısmına, alanı D diyeceğiz. Resimdeki belirli bir çokgenin kesim şekli olarak kabul edildiği durumlarda, ona A 0 diyeceğiz.

Yani, eğer A şekli B ve C olmak üzere iki eşit parçaya bölünebiliyorsa, o zaman B'yi C'ye götüren bir hareket vardır. Bu hareket ya paralel bir öteleme, bir dönme ya da bir kayan simetri olabilir (bu andan başlayarak , artık ayna simetrisinin de kayma olarak kabul edildiğini şart koşmuyorum). Bu basit ve hatta açık bir şekilde söyleyebilirim ki, çözümümüz inşa edilecek. Bu bölümde en basit durumu ele alacağız - paralel transfer. Dönme ve kayma simetrisi sırasıyla ikinci ve üçüncü kısımlara düşecektir.

Durum 1: Paralel Transfer

Paralel çeviri, tek bir parametre ile verilir - üzerinde kaymanın meydana geldiği vektör. Biraz daha terim sunalım. Kaydırma vektörüne paralel olan ve A şeklinin en az bir noktasını içeren doğruya denir. sekant. Kesen çizgi ile şekil A'nın kesişimi olarak adlandırılacaktır. bölüm. Şekil A'nın (eksi bölüm) tamamıyla bir yarım düzlemde yer aldığı kesen denir. sınır.

Lemma 1. Sınır bölümü birden fazla nokta içermelidir.

Kanıt: bariz. Eh, ya da daha ayrıntılı: çelişkiyle kanıtlayacağız. Bu nokta şekil B'ye aitse, o zaman resim(yani paralel öteleme sırasında gideceği nokta) C şekline aittir => resim A şekline aittir => resim bölüme aittir. çelişki. Bu nokta şekil C'ye aitse, o zaman prototip(paralel öteleme sırasında girilecek nokta) şekil B'ye aittir ve daha sonra benzer şekilde. Bölümde en az iki nokta olması gerektiği ortaya çıktı.

Bu basit lemma tarafından yönlendirilen, istenen paralel ötelemenin yalnızca dikey eksen boyunca (mevcut görüntü yönlendirmesinde) meydana gelebileceğini anlamak kolaydır.Eğer başka bir yönde olsaydı, sınır bölümlerinden en az biri bir tek nokta. Bu, kaydırma vektörünü zihinsel olarak döndürerek ve sınırlara ne olduğunu görerek anlaşılabilir. Dikey paralel çeviri durumunu ortadan kaldırmak için daha zor bir araca ihtiyacımız var.

Lemma 2.Şekil C'nin sınırında bulunan bir noktanın ters görüntüsü, ya şekil B ve C'nin sınırında ya da şekil B ve bölge D'nin sınırındadır.

Kanıt: açık değil, ama şimdi düzelteceğiz. Bir şeklin sınır noktasının öyle bir nokta olduğunu hatırlatmama izin verin, ona keyfi olarak yakın, hem şekle ait olan hem de ona ait olmayan noktalar var. Buna göre, C şeklinin sınır noktasının (buna O diyelim) yakınında, C şeklinin her iki noktası ve B şekline veya D alanına ait diğer noktalar vardır. Yalnızca B şeklinin noktaları olabilir. Bu nedenle, O noktasının ters görüntüsüne keyfi olarak yakın (buna O noktası demek mantıklı olur) B şeklinin noktaları vardır. B şekli, B'ye ait olmayan herhangi bir nokta olabilir (yani, C şeklinin noktaları veya D alanının noktaları). Benzer şekilde D alanının noktaları için. Bu nedenle, O noktasına keyfi olarak yakın olan ya C şeklinin noktaları (ve sonra O noktası B ve C'nin sınırında olacaktır) ya da D alanının noktaları (ve sonra B ve D sınırındaki ters görüntü). Tüm bu mektupları gözden geçirmeyi başarırsanız, o zaman lemmanın kanıtlandığını kabul edeceksiniz.

Teorem 1.Şekil A'nın kesiti bir parça ise, uzunluğu kaydırma vektörünün uzunluğunun bir katıdır.

Kanıt: Bu bölümün "uzak" ucunu düşünün (yani, ön görüntüsü de bölüme ait olan son). Bu uç, açıkçası, C şekline aittir ve onun sınır noktasıdır. Bu nedenle, ters görüntüsü (bu arada, aynı zamanda segment üzerinde bulunur ve görüntüden kaydırma vektörünün uzunluğu ile ayrılır) ya B ve C sınırında ya da B ve D sınırında olacaktır. B ve C'nin sınırındaysa, onun ön görüntüsünü de alırız. Bir sonraki ön-görüntü C'nin sınırında olmayı bırakıp D'nin sınırında bitene kadar bu işlemi tekrarlayacağız - ve bu, bölümün hemen diğer ucunda gerçekleşecek. Sonuç olarak, bölümü her birinin uzunluğu kaydırma vektörünün uzunluğuna eşit olan bir dizi küçük parçaya bölen bir ön görüntü zinciri elde ederiz. Bu nedenle, bölümün uzunluğu, kesme vektörünün uzunluğunun bir katıdır, p.t.d.

Teorem 1'in sonucu. Segment olan herhangi iki bölüm orantılı olmalıdır.

Bu sonucu kullanarak, dikey paralel transferin de ortadan kalktığını göstermek kolaydır.

Gerçekten de, bir bölüm bir kez üç hücre uzunluğundadır ve iki - üç bölüm eksi iki yarım köke sahiptir. Açıkçası, bu değerler kıyaslanamaz.

Çözüm

Şekil A 0 ise ve iki eşit şekil B ve C'ye kesilebiliyorsa, B paralel bir öteleme ile C'ye aktarılamaz. Devam edecek.

Matematik öğretmenlerinin ve çeşitli seçmeli ve çevrelerin öğretmenlerinin dikkatine, eğlenceli ve geliştirici geometrik kesme görevleri sunulmaktadır. Bir öğretmen tarafından sınıflarında bu tür görevleri kullanmanın amacı, öğrenciyi yalnızca ilginç ve etkili hücre ve şekil kombinasyonlarına ilgilendirmek değil, aynı zamanda onda bir çizgi, açı ve şekil duygusu oluşturmaktır. Görev seti, lise öğrencileriyle bile kullanmak mümkün olsa da, esas olarak 4-6. sınıflardaki çocuklara yöneliktir. Alıştırmalar, öğrencilerin yüksek ve sabit bir dikkat konsantrasyonuna sahip olmalarını gerektirir ve görsel hafızayı geliştirmek ve eğitmek için mükemmeldir. Öğrencileri matematik okullarına ve bağımsız düşünme düzeyine özel talepler getiren sınıflara giriş sınavlarına hazırlayan matematik öğretmenleri için önerilir. yaratıcılıkçocuk. Görevlerin seviyesi, lise "ikinci okul" (ikinci matematik okulu), Moskova Devlet Üniversitesi'nin küçük Mekhmat'ı, Kurchatov okulu vb.

Matematik öğretmeninin notu:
İlgili işaretçiye tıklayarak görebileceğiniz bazı problem çözümlerinde, olası kesme örneklerinden sadece biri belirtilmiştir. Başka bir doğru kombinasyon elde edebileceğinizi tamamen kabul ediyorum - bundan korkmayın. Farenizin çözümünü dikkatlice kontrol edin ve durumu karşılıyorsa, bir sonraki görevi üstlenmekten çekinmeyin.

1) Şekilde gösterilen şekli 3 eşit parçaya kesmeye çalışın:

: Küçük rakamlar T harfine çok benzer

2) Şimdi bu rakamı 4 eşit parçaya bölün:

matematik öğretmeni ipucu: Küçük rakamların 3 hücreden oluşacağını tahmin etmek kolaydır ve üç hücreli çok fazla rakam yoktur. Sadece iki türü vardır: köşe ve 1 × 3 dikdörtgen.

3) Bu şekli 5 eşit parçaya kesin:

Her bir şeklin oluşturduğu hücre sayısını bulun. Bu figürinler G harfine benziyor.

4) Ve şimdi on hücre rakamını 4'e kesmeniz gerekiyor. eşit olmayan dikdörtgen (veya kare).

Matematikte bir öğretmenin göstergesi: Bir dikdörtgen seçin ve ardından kalan hücrelere üç tane daha girmeyi deneyin. Çalışmazsa, ilk dikdörtgeni değiştirin ve tekrar deneyin.

5) Görev daha karmaşık hale geliyor: rakamı 4'e kesmeniz gerekiyor şekil olarak farklı rakamlar (mutlaka dikdörtgenler halinde değil).

matematik öğretmeni ipucu: önce farklı şekillerdeki her türlü şekli ayrı ayrı çizin (dörtten fazla olacaktır) ve önceki görevdeki gibi seçeneklerin numaralandırma yöntemini tekrarlayın.
:

6) Bu şekli, her biri yalnızca bir yeşil hücre doldurulacak şekilde farklı şekillerde dört hücreden oluşan 5 şekle kesin.

Matematik Öğretmeni İpucu: Bu şeklin üst kenarından kesmeye başlayın, nasıl devam edeceğinizi hemen anlayacaksınız.
:

7) Önceki soruna göre. Kaç şekil olduğunu bulun çeşitli şekiller tam olarak dört hücreden mi oluşuyor? Rakamlar bükülebilir, döndürülebilir, ancak üzerinde bulunduğu sostolu (yüzeyinden) yükseltmek imkansızdır. Yani verilen iki rakam birbirinden döndürme ile elde edilemediği için eşit sayılmayacaktır.

Matematik Öğretmeni İpucu:Önceki sorunun çözümünü inceleyin ve dönerken bu şekillerin farklı konumlarını hayal etmeye çalışın. Sorunumuzdaki cevabın 5 veya daha fazla sayı olacağını tahmin etmek kolay. (Aslında, altıdan fazla). Toplamda 7 tip tarif edilen şekil vardır.

8) 16 hücreli bir kareyi 4 eşit parçaya bölün, böylece dört parçanın her birinde tam olarak bir yeşil hücre olsun.

matematik öğretmeni ipucu: Küçük figürlerin görünümü bir kare veya dikdörtgen değildir, hatta dört hücrenin bir köşesi bile değildir. Peki hangi şekilleri kesmeye çalışmalıyız?

9) Gösterilen şekli, ortaya çıkan parçalardan bir kare katlanabilecek şekilde iki parçaya kesin.

matematik öğretmeni ipucu: Şekilde toplamda 16 hücre var yani kare 4×4 boyutunda olacak. Ve bir şekilde ortadaki pencereyi doldurmanız gerekiyor. Nasıl yapılır? Belki bir çeşit değişim? Daha sonra dikdörtgenin uzunluğu tek sayıda hücreye eşit olduğundan, kesim dikey değil, kesikli bir çizgi boyunca yapılmalıdır. Böylece üst kısım bir tarafta orta hücrelerden, alt kısım ise diğer tarafta kesilir.

10) 4×9'luk bir dikdörtgeni iki parçaya kesin, böylece onlardan bir kare ekleyebilirsiniz.

matematik öğretmeni ipucu: Dikdörtgende 36 hücre vardır. Bu nedenle karenin boyutu 6×6 olacaktır. Uzun kenar dokuz hücreden oluştuğu için üçünün kesilmesi gerekir. Bu kesinti nasıl olacak?

11) Şekilde gösterilen beş hücrenin çaprazı, bir karenin katlanabileceği parçalar halinde kesilmelidir (hücreleri kendileri kesebilirsiniz).

matematik öğretmeni ipucu: Hücre çizgileri boyunca nasıl kesersek keselim, sadece 5 hücre olduğu için bir kare elde etmeyeceğimiz açıktır.Bu, kesilmesine izin verilen tek görevdir. hücrelerde değil. Ancak yine de bunları bir kılavuz olarak bırakmak iyi olur. örneğin, sahip olduğumuz girintileri - yani haçımızın iç köşelerinde - bir şekilde kaldırmamız gerektiğini belirtmekte fayda var. Nasıl yapardın? Örneğin, haçın dış köşelerinden bazı çıkıntılı üçgenleri kesmek...

Öğretmenin tanıtım konuşması:

Biraz tarihsel arka plan: Birçok bilim insanı eski zamanlardan beri problemleri kesmeye bayılır. Birçok basit kesme problemine eski Yunanlılar, Çinliler tarafından çözümler bulundu, ancak bu konudaki ilk sistematik inceleme Abul-Vef'in kalemine aittir. Geometriciler, figürleri en az sayıda parçaya ayırma ve ardından 20. yüzyılın başlarında başka bir figür inşa etme sorununu ciddi şekilde çözmeye başladı. Bu bölümün kurucularından biri de ünlü bulmaca kurucusu Henry E. Dudeney'dir.

Bugün, bulmaca severler önce kesme problemlerini çözmeyi severler, çünkü bu tür problemleri çözmek için evrensel bir yöntem yoktur ve onları çözmeyi taahhüt eden herkes yaratıcılığını, sezgisini ve yaratıcı düşünme yeteneğini tam olarak gösterebilir. (Derste, olası kesme örneklerinden sadece birini göstereceğiz. Öğrencilerin başka doğru kombinasyonlar alabileceği varsayılabilir - bundan korkmayın).

Bu ders bekleniyor pratik oturum. Daire katılımcılarını 2-3 kişilik gruplara ayırın. Her gruba öğretmen tarafından önceden hazırlanmış şekiller verin. Öğrencilerin bir cetveli (bölümlü), kalemi, makası vardır. Makasla sadece düz kesimlere izin verilir. Bir figürü parçalara ayırdıktan sonra, aynı parçalardan başka bir figür oluşturmak gerekir.

Kesme görevleri:

1). Şekilde gösterilen şekli 3 eşit parçaya kesmeye çalışın:

İpucu: Küçük şekiller T harfine çok benzer.

2). Şimdi bu rakamı 4 eşit parçaya bölün:

İpucu: Küçük rakamların 3 hücreden oluşacağını tahmin etmek kolaydır ve üç hücreli çok fazla rakam yoktur. Yalnızca iki tür vardır: köşe ve dikdörtgen.

3). Şekli iki özdeş parçaya bölün ve ortaya çıkan parçalardan satranç tahtasını katlayın.

İpucu: Göreve ikinci bölümden başlamayı teklif edin, bir satranç tahtası nasıl alınır. Bir satranç tahtasının (kare) hangi şekle sahip olduğunu hatırlayın. Uzunluk, genişlikteki hücre sayısını sayın. (8 hücre olması gerektiğini hatırlatın).

4). Peyniri sekiz eşit parçaya kesmek için bıçağın üç vuruşunu deneyin.

İpucu: Peyniri uzunlamasına kesmeyi deneyin.

Bağımsız çözüm için görevler:

1). Bir kağıt kare kesin ve aşağıdakileri yapın:

· iki eşit küçük kare yapabileceğiniz 4 parçaya kesin.

beş parçaya kesin - dört ikizkenar üçgen ve bir kare - ve üç kare elde etmek için katlayın.