Rastgele değişken çeşitli koşullara bağlı olarak belirli değerler alabilen bir değişkendir ve rastgele değişkene sürekli denir , sınırlı veya sınırsız bir aralıktan herhangi bir değer alabiliyorsa. Sürekli bir rastgele değişken için tüm olası değerleri belirtmek imkansızdır, bu nedenle bu değerlerin belirli olasılıklarla ilişkili aralıkları belirtilir.
Sürekli rastgele değişkenlerin örnekleri şunlardır: belirli bir boyuta döndürülen bir parçanın çapı, bir kişinin yüksekliği, bir merminin menzili, vb.
Sürekli rastgele değişkenler için fonksiyon F(x), Farklı ayrık rastgele değişkenler, hiçbir yerde sıçrama yoksa, sürekli rastgele değişkenin herhangi bir tek değerinin olasılığı sıfıra eşittir.
Bu, sürekli bir rastgele değişken için değerleri arasındaki olasılık dağılımı hakkında konuşmanın anlamsız olduğu anlamına gelir: her birinin olasılığı sıfırdır. Bununla birlikte, bir anlamda, sürekli bir rastgele değişkenin değerleri arasında "daha fazla ve daha az olası" vardır. Örneğin, herhangi birinin rastgele bir değişkenin değerinin - rastgele karşılaşılan bir kişinin yüksekliği - 170 cm - 220 cm'den daha olası olduğundan şüphe duyması olası değildir, ancak bir değer pratikte ortaya çıkabilir.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu
Yalnızca sürekli rastgele değişkenler için anlam ifade eden bir dağılım yasası olarak, dağılım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu kavramı tanıtılmıştır. Sürekli rastgele değişken ve kesikli rastgele değişken için dağılım fonksiyonunun anlamını karşılaştırarak buna yaklaşalım.
Böylece, rastgele bir değişkenin (hem ayrık hem de sürekli) dağılım fonksiyonu veya integral fonksiyonu rastgele bir değişkenin değerinin olma olasılığını belirleyen bir fonksiyon olarak adlandırılır. X limit değerinden küçük veya ona eşit X.
Değerlerinin noktalarında ayrık bir rastgele değişken için x1 , x 2 , ..., x ben ,... yoğunlaşmış olasılık kütleleri p1 , p 2 , ..., p ben ,..., ve tüm kütlelerin toplamı 1'e eşittir. Bu yorumu sürekli bir rastgele değişken durumuna aktaralım. 1'e eşit bir kütlenin ayrı noktalarda toplanmadığını ve x ekseni boyunca sürekli olarak "bulaştığını" hayal edin. Öküz bazı düzensiz yoğunluk ile. Herhangi bir sitede rastgele bir değişkene çarpma olasılığı Δ x bu bölüme atfedilebilir kütle ve bu bölümdeki ortalama yoğunluk - kütlenin uzunluğa oranı olarak yorumlanacaktır. Az önce olasılık teorisinde önemli bir kavramı tanıttık: dağılım yoğunluğu.
Olasılık Yoğunluğu f(x) sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun türevidir:
.
Yoğunluk fonksiyonunu bilerek, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin kapalı aralığa ait olma olasılığını bulabiliriz [ a; b]:
sürekli bir rastgele değişken olma olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır. a; b] aralığındaki olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir. aönceki b:
.
Bu durumda, fonksiyonun genel formülü F(x) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilen sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı f(x) :
.
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun grafiği, dağılım eğrisi olarak adlandırılır (aşağıdaki şekil).
Şeklin alanı (şekilde gölgeli), bir eğri ile sınırlanmış, noktalardan çizilen düz çizgiler a ve b apsis eksenine dik ve eksen ey, grafiksel olarak sürekli bir rastgele değişkenin değerinin olasılığını görüntüler. X aralığında aönceki b.
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri
1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiği ile sınırlı olan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı f(x) ve eksen ey) bire eşittir:
2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz:
ve dağılımın varlığı dışında değeri sıfırdır.
dağıtım yoğunluğu f(x) ve dağıtım işlevi F(x), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım fonksiyonunun aksine evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rastgele değişkenler için mevcuttur.
Sürekli bir rastgele değişkenin pratikteki en önemli iki dağılım türünden bahsedelim.
dağılım yoğunluğu fonksiyonu ise f(x) sonlu bir aralıkta sürekli bir rastgele değişken [ a; b] sabit bir değer alır C, ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alır, o zaman bu dağılıma tekdüze denir .
Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yoğunlaşır ve merkezden uzaklaşırken ortalamalardan daha farklı toplanır (fonksiyonun grafiği bir kesime benzer) bir zil), sonra bu dağılım normal denir .
örnek 1 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu bilinmektedir:
Bir özellik bulun f(x) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyon için grafik çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ile 8 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .
Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz:
Fonksiyon Grafiği F(x) - parabol:
Fonksiyon Grafiği f(x) - düz:
Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ile 8 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:
Örnek 2 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:
Faktörü hesapla C. Bir özellik bulun F(x) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyon için grafik çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .
Çözüm. katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunları buluruz:
Böylece, sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:
Entegrasyon, işlevi buluyoruz F(x) olasılık dağılımları. Eğer bir x < 0 , то F(x) = 0 . 0 ise< x < 10 , то
.
x> 10, sonra F(x) = 1 .
Böylece, olasılık dağılım fonksiyonunun tam kaydı şu şekildedir:
Fonksiyon Grafiği f(x) :
Fonksiyon Grafiği F(x) :
Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:
Örnek 3 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlik ile verilirken . katsayısını bul ANCAK, sürekli bir rastgele değişken olma olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5/[ aralığından bir değer alır X.
Çözüm. Koşulla, eşitliğe ulaşırız
Bu nedenle, nereden. Yani,
.
Şimdi sürekli bir rastgele değişken olma olasılığını buluyoruz. X]0, 5[ aralığındaki herhangi bir değeri alacaktır:
Şimdi bu rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu alıyoruz:
Örnek 4 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X yalnızca negatif olmayan değerler alan , ve dağıtım işlevi 
.
Matematiksel beklenti kavramları M(X) ve dağılım D(X Daha önce ayrık bir rastgele değişken için tanıtılan ) sürekli rastgele değişkenlere genişletilebilir.
· Matematiksel beklenti M(X) sürekli rastgele değişken X eşitlikle tanımlanır:
Bu integralin yakınsak olması şartıyla.
· Dağılım D(X) sürekli rastgele değişken X eşitlik ile tanımlanır:
· Standart sapmaσ( X) sürekli rastgele değişken eşitlikle tanımlanır:
Kesikli rasgele değişkenler için daha önce ele alınan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.
Sorun 5.3. rastgele değer X diferansiyel fonksiyon tarafından verilen f(x):
Bulmak M(X), D(X), σ( X), birlikte P(1 < X< 5).
Çözüm:
M(X)= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D(X)=
= = /
P 1 =
Görevler
5.1. X
f(x), birlikte
R(‒1/2 < X< 1/2).
5.2. Sürekli rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen:
Diferansiyel dağılım fonksiyonunu bulun f(x), birlikte
R(2π /9< X< π /2).
5.3. Sürekli rastgele değişken X
Bul: a) sayı İle birlikte; b) M(X), D(X).
5.4. Sürekli rastgele değişken X dağıtım yoğunluğu tarafından verilen:
Bul: a) sayı İle birlikte; b) M(X), D(X).
5.5. X:
Bulmak bir) F(X) ve grafiğini çizin; b) M(X), D(X), σ( X); c) dört bağımsız denemede değerin X(1;4) aralığına ait değerin tam 2 katını alır.
5.6. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu göz önüne alındığında X:
Bulmak bir) F(X) ve grafiğini çizin; b) M(X), D(X), σ( X); c) üç bağımsız denemede değerin X aralığa ait olan değerin tam 2 katını alacaktır.
5.7. İşlev f(X) şu şekilde verilir:
İle birlikte X; b) dağıtım işlevi F(x).
5.8. İşlev f(x) şu şekilde verilir:
Bul: a) sabitin değeri İle birlikte, fonksiyonun bazı rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu olacağı X; b) dağıtım işlevi F(x).
5.9. rastgele değer X(3;7) aralığı üzerinde yoğunlaşan , dağılım fonksiyonu tarafından verilir F(X)= X a) 5'ten küçük, b) 7'den az olmayan değeri alır.
5.10. rastgele değer X, (-1; 4) aralığına konsantre, dağılım fonksiyonu tarafından verilir F(X)= . Rastgele değişkenin olma olasılığını bulun X a) 2'den küçük, b) 4'ten küçük değeri alır.
5.11.
Bul: a) sayı İle birlikte; b) M(X); c) olasılık R(X > M(X)).
5.12. Rastgele değişken, diferansiyel dağılım fonksiyonu tarafından verilir:
Bulmak bir) M(X); b) olasılık R(X ≤ M(X)).
5.13. Zaman dağılımı, olasılık yoğunluğu tarafından verilir:
Kanıtla f(x) aslında bir olasılık yoğunluk dağılımıdır.
5.14. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu göz önüne alındığında X:
bir numara bul İle birlikte.
5.15. rastgele değer X[-2; 2] segmentinde Simpson yasasına (ikizkenar üçgen) göre dağıtılır (Şekil 5.4). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun f(x) tam sayı doğrusunda.
Pirinç. 5.4 Şek. 5.5
5.16. rastgele değer X(0; 4) aralığında "dik üçgen" yasasına göre dağıtılır (Şekil 5.5). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun f(x) tam sayı doğrusunda.
Yanıtlar
P (-1/2<X<1/2)=2/3.
P(2π /9<X< π /2)=1/2.
5.3. a) İle birlikte=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.
5.4. a) İle birlikte=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.
b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.
b) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.
5.7. a) c = ; b)
5.8. a) İle birlikte=1/2; b)
5.9. a) 1/4; b) 0.
5.10. a) 3/5; b) 1.
5.11. a) İle birlikte= 2; b) M(X)= 2; 1-de içinde 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. a) M(X)= π/2; b) 1/2
Bölüm 1. Ayrık rassal değişken
§ 1. Rastgele değişken kavramı.
Kesikli bir rasgele değişkenin dağılım yasası.
Tanım : Rastgele, test sonucunda, önceden bilinmeyen ve rastgele nedenlere bağlı olarak olası bir dizi değerden yalnızca bir değer alan bir miktardır.
İki tür rastgele değişken vardır: kesikli ve sürekli.
Tanım : Rastgele değişken X denir ayrık (süreksiz) değerlerinin kümesi sonlu veya sonsuz ise ancak sayılabilirse.
Başka bir deyişle, kesikli bir rastgele değişkenin olası değerleri yeniden numaralandırılabilir.
Rastgele bir değişkeni dağıtım yasasını kullanarak tanımlayabilirsiniz.
Tanım : Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasındaki yazışmalara denir.
Kesikli bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, ilk satırda rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin artan sırada gösterildiği ve ikinci satırda karşılık gelen olasılıkların gösterildiği bir tablo şeklinde verilebilir. bu değerlerin, yani
nerede р1+ р2+…+ рn=1
Böyle bir tabloya ayrık bir rastgele değişkenin bir dizi dağılımı denir.
Bir rastgele değişkenin olası değerler kümesi sonsuz ise, р1+ р2+…+ рn+… serisi yakınsar ve toplamı 1'e eşittir.
Kesikli bir rasgele değişken X'in dağılım yasası, grafiksel olarak gösterilebilir, bunun için dikdörtgen bir koordinat sisteminde çokgen bir çizgi oluşturulur, art arda noktaları (xi;pi), i=1,2,…n koordinatlarıyla birleştirir. Sonuç satırı denir dağıtım poligonu (Şek. 1).
Organik kimyanın organik kimyası "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> sırasıyla 0,7 ve 0,8'dir. Rastgele değişken X'in dağılım yasasını hazırlayın - öğrencinin gireceği sınav sayısı geçmek.
Çözüm. İnceleme sonucunda, dikkate alınan rastgele değişken X şu değerlerden birini alabilir: x1=0, x2=1, x3=2.
Bu değerlerin olasılığını bulalım.Olayları belirtin:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Böylece, X rastgele değişkeninin dağılım yasası tablo tarafından verilmektedir:
Kontrol: 0.6+0.38+0.56=1.
§ 2. Dağıtım işlevi
Rastgele bir değişkenin tam bir açıklaması da dağıtım işlevi tarafından verilir.
Tanım: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu Her x değeri için X rasgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) işlevi çağrılır:
F(x)=P(X<х)
Geometrik olarak dağılım fonksiyonu, X rastgele değişkeninin, x noktasının solundaki bir nokta ile sayı doğrusunda gösterilen değeri alma olasılığı olarak yorumlanır.
1)0≤F(x)≤1;
2) F(x), (-∞;+∞) üzerinde azalmayan bir fonksiyondur;
3) F(x) - x= xi (i=1,2,…n) noktalarında soldan sürekli ve diğer tüm noktalarda sürekli;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Kesikli bir rasgele değişken X'in dağılım yasası bir tablo şeklinde verilirse:
daha sonra dağılım fonksiyonu F(x) aşağıdaki formülle belirlenir:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
x≤ x1 için 0
x1'de p1< х≤ x2,
F(x)= p1 + p2 x2'de< х≤ х3
x> xn için 1
Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir:
§ 3. Kesikli bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri.
Matematiksel beklenti önemli sayısal özelliklerden biridir.
Tanım: Matematiksel beklenti M(X) Kesikli rastgele değişken X, tüm değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıkların ürünlerinin toplamıdır:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin ortalama değerinin bir özelliği olarak hizmet eder.
Matematiksel beklentinin özellikleri:
1)M(C)=C, burada C sabit bir değerdir;
2) M (C X) \u003d CM (X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;
5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit bir değerdir;
Kesikli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılım derecesini karakterize etmek için varyans kullanılır.
Tanım: dağılım D ( X ) rasgele değişken X, rasgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma karesinin matematiksel beklentisidir:
Dağılım özellikleri:
1)D(C)=0, burada C sabit bir değerdir;
2)D(X)>0, burada X rastgele bir değişkendir;
3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit bir değerdir;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;
Varyansı hesaplamak için genellikle aşağıdaki formülü kullanmak uygundur:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
burada М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
D(X) varyansı, her zaman uygun olmayan bir rastgele değişkenin karesinin boyutuna sahiptir. Bu nedenle, √D(X) değeri, rastgele bir değişkenin olası değerlerinin dağılımının bir göstergesi olarak da kullanılır.
Tanım: Standart sapma σ(X) rasgele değişken X, varyansın karekökü olarak adlandırılır:
Görev numarası 2. Ayrık rasgele değişken X, dağıtım yasası tarafından verilir:
F(x) dağılım fonksiyonu olan P2'yi bulun ve M(X), D(X), σ(X) ile birlikte grafiğini çizin.
Çözüm: X rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarının toplamı 1'e eşit olduğundan,
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
F(x)=P(X) dağıtım fonksiyonunu bulun Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: F(x), rastgele bir değişkenin gerçek eksende gösterilen değeri x'in solundaki bir nokta ile alma olasılığıdır. Eğer x≤-1 ise, o zaman F(x)=0, çünkü (-∞;x) üzerinde bu rastgele değişkenin tek bir değeri yoktur; eğer -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; 0 ise<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;х) iki değer x1=-1 ve x2=0 düşer; 1 ise<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; 2 ise<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; x>3 ise, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 olmak üzere dört değer (-∞;x) ve x5=3 aralığına düştüğü için. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 için 0, 0.1'de -1<х≤0, 0,2 0'da<х≤1, F(x)= 0,5'te 1<х≤2, 2'de 0,7<х≤3, x>3 için 1 F(x) fonksiyonunu grafiksel olarak gösterelim (Şekil 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Binom dağılım yasası kesikli rastgele değişken, Poisson yasası. Tanım: binom
ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası olarak adlandırılır - her birinde A olayının p olasılığı ile gerçekleşebileceği veya q = 1-p olasılığı ile gerçekleşmeyebileceği n bağımsız tekrarlanan denemede A olayının oluşum sayısı. Daha sonra Р(Х=m)-A olayının n denemede tam olarak m kez meydana gelme olasılığı Bernoulli formülüyle hesaplanır: P(X=m)=Сmnpmqn-m İkili bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi, varyansı ve standart sapması sırasıyla aşağıdaki formüllerle bulunur: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Her testte A - "beş alma" olayının olasılığı aynıdır ve 1/6'ya eşittir, yani, P(A)=p=1/6, sonra P(A)=1-p=q=5/6, burada - "damlalar beş değil." Rastgele değişken X değerleri alabilir: 0;1;2;3. Bernoulli formülünü kullanarak olası X değerlerinin her birinin olasılığını buluyoruz: P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216; P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. O. rasgele değişken X'in dağılım yasası şu şekildedir: Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulalım: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Görev numarası 4. Otomatik makine damgaları parçaları. Üretilen bir parçanın kusurlu olma olasılığı 0,002'dir. Seçilen 1000 parça arasında şunlar olma olasılığını bulun: a) 5 kusurlu; b) en az biri kusurludur. Çözüm:
n=1000 sayısı büyüktür, kusurlu bir parça üretme olasılığı p=0,002 küçüktür ve incelenen olaylar (parçanın kusurlu olduğu ortaya çıkar) bağımsızdır, bu nedenle Poisson formülü gerçekleşir: Рn(m)= e-
λ
λm λ=np=1000 0.002=2'yi bulalım. a) 5 kusurlu parça olma olasılığını bulun (m=5): P1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) En az bir kusurlu parça olma olasılığını bulunuz. A Olayı - "seçilen parçalardan en az biri arızalı" olayının tersidir - "seçilen tüm parçalar arızalı değil" Bu nedenle, P (A) \u003d 1-P (). Dolayısıyla istenen olasılık şuna eşittir: Р(А)=1-P1000(0)=1- e-2
20
\u003d 1-e-2 \u003d 1-0.13534≈0.865. Bağımsız çalışma için görevler.
1.1
1.2.
Dağınık rastgele değişken X, dağıtım yasası tarafından verilir: p4, dağılım fonksiyonu F(X)'i bulun ve M(X), D(X), σ(X) ile birlikte grafiğini çizin. 1.3.
Kutu içerisinde 2 tanesi artık yazı yazmayan 9 adet keçeli kalem bulunmaktadır. Rastgele 3 keçeli kalem alın. Rastgele değişken X - alınanlar arasında keçeli kalem yazma sayısı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun. 1.4.
Kütüphane rafında 4'ü ciltli olmak üzere rastgele 6 ders kitabı bulunmaktadır. Kütüphaneci rastgele 4 ders kitabı alır. Rastgele değişken X, alınanlar arasında bağlı ders kitaplarının sayısıdır. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun. 1.5.
Biletin iki görevi vardır. İlk problemi doğru çözme olasılığı 0.9, ikincisi 0.7'dir. Rastgele değişken X, biletteki doğru çözülmüş problemlerin sayısıdır. Bir dağılım yasası oluşturun, bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın ve ayrıca F (x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini oluşturun. 1.6.
Üç atıcı bir hedefe ateş eder. İlk atıcı için hedefi bir atışla vurma olasılığı, ikinci için 0,5, üçüncü için 0,8, üçüncü için 0,7'dir. Rastgele değişken X, atıcıların her biri bir atış yapması durumunda hedefteki isabet sayısıdır. Dağılım yasasını bulun, M(X),D(X). 1.7.
Bir basketbol oyuncusu, her atışta 0,8 isabet olasılığı ile topu sepete atar. Her vuruş için 10 puan alır ve ıskalama durumunda puan verilmez. Bir basketbol oyuncusu tarafından 3 atış için alınan X sayısındaki rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun. M(X),D(X)'i ve ayrıca 10'dan fazla puan alma olasılığını bulun. 1.8.
Kartlara harfler yazılır, sadece 5 sesli harf ve 3 ünsüz. Rastgele 3 kart seçilir ve alınan kart her seferinde geri verilir. Rastgele değişken X, alınan sesli harf sayısıdır. Bir dağılım yasası oluşturun ve M(X),D(X),σ(X)'i bulun. 1.9.
Ortalama olarak, sözleşmelerin %60'ından azında sigorta şirketi, sigortalı bir olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta tutarlarını öder. Rastgele bir değişken X için bir dağıtım kanunu hazırlayın - rastgele seçilen dört sözleşme arasında sigorta tutarının ödendiği sözleşmelerin sayısı. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulunuz. 1.10.
Radyo istasyonu, iki yönlü iletişim kurulana kadar belirli aralıklarla (dörtten fazla olmayan) çağrı işaretleri gönderir. Bir çağrı işaretine yanıt alma olasılığı 0,3'tür. Rastgele değişken, gönderilen çağrı işaretlerinin X sayısı. Dağılım yasasını oluşturun ve F(x)'i bulun. 1.11.
Sadece biri kilide uyan 3 anahtar vardır. Denenen anahtar sonraki denemelere katılmazsa, kilidi açma girişimlerinin rastgele değişkeni X sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın. M(X),D(X)'i bulun. 1.12.
Güvenilirlik için üç cihazın sıralı bağımsız testleri gerçekleştirilir. Sonraki her cihaz, yalnızca bir öncekinin güvenilir olduğu ortaya çıktığında test edilir. Her enstrüman için testi geçme olasılığı 0.9'dur. Rastgele değişken X sayısı test edilen cihazların dağılım yasasını derleyin. 1.13
.Ayrık rasgele değişken X'in üç olası değeri vardır: x1=1, x2, x3 ve x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Elektronik cihazın bloğu 100 özdeş eleman içerir. T süresi boyunca her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,002'ye eşittir. Öğeler bağımsız olarak çalışır. T zamanında en fazla iki elemanın başarısız olma olasılığını bulun. 1.15.
Ders kitabı 50.000 adet basılmıştır. Ders kitabının yanlış ciltlenmiş olma olasılığı 0,0002'dir. Dolaşımın içerme olasılığını bulun: a) Dört kusurlu kitap, b) ikiden az kusurlu kitap. 1
.16.
Dakikada bir PBX'e gelen çağrı sayısı, λ=1,5 parametresi ile Poisson yasasına göre dağıtılır. Bir dakika içinde şu olma olasılığını bulun: a) iki arama; b) en az bir çağrı. 1.17.
Z=3X+Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun. 1.18.
İki bağımsız rastgele değişkenin dağılım yasaları verilmiştir: Z=X+2Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun. Yanıtlar:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; x≤-2 için 0, -2'de 0,3<х≤0, 0'da F(x)= 0,5<х≤2, 2'de 0.9<х≤5, x>5 için 1 -1'de 0,3<х≤0, 0'da 0,4<х≤1, F(x)= 1'de 0,6<х≤2, 2'de 0,7<х≤3, x>3 için 1 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0, için 0 0'da 0,03<х≤1, 1'de F(x)= 0.37<х≤2, x>2 için 1 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22e-0.2≈0.999 1.15.
a) 0.0189; b) 0.00049 1.16.
a) 0.0702; b) 0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Bölüm 2 Sürekli rastgele değişken
Tanım: Sürekli
tüm olası değerleri sayısal eksenin sonlu veya sonsuz aralığını tamamen dolduran değeri adlandırın. Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur. Sürekli bir rastgele değişken, bir dağıtım işlevi kullanılarak belirtilebilir. Tanım: F dağıtım işlevi
sürekli rastgele değişken X, her bir değer için xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R belirleyen bir F(x) işlevidir. Dağıtım işlevine bazen kümülatif dağılım işlevi denir. Dağıtım işlevi özellikleri:
1)1≤F(x)≤1 2) Sürekli bir rasgele değişken için, dağılım fonksiyonu herhangi bir noktada süreklidir ve belki de bireysel noktalar dışında her yerde türevlenebilir. 3) Rastgele bir X değişkeninin (a; b), [a; b), [a; b] aralıklarından birine düşme olasılığı, F (x) fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. a ve b noktalarında, yani P(a<Х 4) Sürekli bir rastgele değişken X'in tek bir değer alma olasılığı 0'dır. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Bir dağıtım işlevi kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirtmek tek değildir. Olasılık dağılım yoğunluğu (dağılım yoğunluğu) kavramını tanıtalım. Tanım
:
olasılık yoğunluğu
f
(
x
)
sürekli rastgele değişken X, dağılım fonksiyonunun türevidir, yani: Olasılık dağılım yoğunluğuna bazen diferansiyel dağılım fonksiyonu veya diferansiyel dağılım yasası denir. Olasılık dağılımının f(x) yoğunluğunun grafiğine denir. olasılık dağılım eğrisi
.
Olasılık yoğunluğu özellikleri:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height olduğunda ="62 kaynak="> x≤2 için 0, f(x)= c(x-2) 2'de<х≤6, x>6 için 0. Bul: a) c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini oluşturun; c) Р(3≤х<5) Çözüm:
+
∞ a) Normalizasyon koşulundan c'nin değerini bulun: ∫ f(x)dx=1. Bu nedenle, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x eğer 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; x≤2 için Gif" width="14" height="62"> 0, F (x) \u003d (x-2) 2/16 2'de<х≤6, x>6 için 1 F(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 3'te gösterilmiştir. https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0, için 0 F (x) \u003d (3 yay x) / π 0'da<х≤√3, x>√3 için 1'dir. diferansiyel dağılım fonksiyonunu bulun f(x) Çözüm:
f (x) \u003d F '(x) olduğundan, o zaman https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Dağınık rastgele değişkenler için daha önce ele alınan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir. Görev numarası 3. Rastgele değişken X, diferansiyel fonksiyon f(x) tarafından verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Bağımsız çözüm için görevler.
2.1.
Sürekli bir rastgele değişken X, bir dağıtım fonksiyonu tarafından verilir: x≤0, için 0 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0, F(х)= - π/6'da cos 3x<х≤ π/3, x> π/3 için 1'dir. diferansiyel dağılım fonksiyonu f(x)'i bulun ve ayrıca Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2 için 0, f(x)= 2'de x ile<х≤4, x>4 için 0. 2.4.
Sürekli bir rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu tarafından verilir: x≤0, için 0 f(х)= с √х 0'da<х≤1, x>1 için 0. Bul: a) c sayısı; b) M(X), D(X). 2.5.
x için https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39">, 0'da x . Şunları bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Dört bağımsız denemede X değerinin (1; 4) aralığına ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı. 2.6.
Sürekli bir rasgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilir: x için f (x) \u003d 2 (x-2), 0'da x . Şunları bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Üç bağımsız testte X değerinin aralığa ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı. 2.7.
f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /dört ; π /4]. Şunları bulun: a) fonksiyonun bazı rasgele değişken X'in olasılık yoğunluğu olacağı c sabitinin değeri; b) dağıtım fonksiyonu F(x). 2.9.
(3;7) aralığında yoğunlaşan rastgele değişken Х, dağılım fonksiyonu F(х)= tarafından verilir. olma olasılığını bulun rasgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 5'ten küçük, b) 7'den az değil. 2.10.
Rastgele değişken X, (-1; 4) aralığına konsantre, dağıtım fonksiyonu tarafından verilen F(x)= . olma olasılığını bulun rasgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 2'den küçük, b) 4'ten az değil. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Bul: a) c sayısı; b) M(X); c) olasılık P(X > M(X)). 2.12.
Rastgele değişken, diferansiyel dağılım fonksiyonu tarafından verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Bul: a) M(X); b) olasılık Р(Х≤М(Х)) 2.13.
Zaman dağılımı, olasılık yoğunluğu tarafından verilir: x ≥0 için https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">. f(x)'in gerçekten bir olasılık yoğunluk dağılımı olduğunu kanıtlayın. 2.14.
Sürekli bir rasgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (şek.4) 2.16.
Rastgele değişken X, (0; 4) aralığında “dik açılı üçgen” yasasına göre dağıtılır (Şekil 5). Gerçek eksenin tamamında olasılık yoğunluğu f(x) için analitik bir ifade bulun. Yanıtlar
x≤0, için 0 f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0, F(x)= 3sin 3x π/6'da<х≤ π/3, x> π/3 için 0. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu f(x) bu aralıkta sabitse ve 0'a eşitse, X'in tüm olası değerlerinin ait olduğu belirli bir aralıkta (a;b) düzgün bir dağılım yasasına sahiptir. onun dışında, yani x≤a için 0, f(x)= bir için<х x≥b için 0. f(x) fonksiyonunun grafiği şek. bir F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=. Görev numarası 1. Rastgele değişken X, segment üzerinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Bulmak: a) olasılık dağılım yoğunluğu f(x) ve grafiğini oluşturun; b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini oluşturun; c) M(X),D(X), σ(X). Çözüm:
Yukarıda tartışılan formülleri kullanarak a=3, b=7 ile şunları buluruz: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7'de, x>7 için 0 Grafiği oluşturalım (Şekil 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> x≤3 için 0, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">şek.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x için 0<0, f(х)= λе-λх х≥0'da. Üstel bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu aşağıdaki formülle verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(X)= Böylece üstel dağılımın matematiksel beklentisi ve standart sapması birbirine eşittir. X'in (a;b) aralığına düşme olasılığı şu formülle hesaplanır: Р(a<Х Görev numarası 2. Cihazın ortalama çalışma süresi 100 saattir Cihazın çalışma süresinin bir üstel dağılım yasasına sahip olduğunu varsayarak, şunu bulun: a) olasılık dağılım yoğunluğu; b) dağıtım işlevi; c) Cihazın arızasız çalışma süresinin 120 saati aşma olasılığı. Çözüm:
Koşullara göre, matematiksel dağılım M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> x için 0<0, a) x≥0 için f(x)= 0.01e -0.01x. b) x için F(x)= 0<0, 1-e -0.01x x≥0'da. c) Dağılım fonksiyonunu kullanarak istenen olasılığı buluruz: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3. §
3.Normal dağıtım yasası Tanım:
X'in sürekli rastgele değişkeni normal dağılım yasası (Gauss yasası),
dağıtım yoğunluğu şu şekildeyse: burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Normal dağılım eğrisi denir normal veya gauss eğrisi
(şek.7) Normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in dağılım işlevi, aşağıdaki formüle göre Laplace işlevi Ф (х) aracılığıyla ifade edilir: Laplace fonksiyonu nerede? Yorum:
Ф(х) fonksiyonu tektir (Ф(-х)=-Ф(х)), ayrıca x>5 ise Ф(х) ≈1/2 olarak kabul edebiliriz. F(x) dağılım fonksiyonunun grafiği şekil 2'de gösterilmiştir. sekiz https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Sapmanın mutlak değerinin pozitif δ sayısından küçük olma olasılığı şu formülle hesaplanır: Özellikle, m=0 için eşitlik doğrudur: "Üç Sigma Kuralı"
X rastgele değişkeni, m ve σ parametreleriyle bir normal dağılım yasasına sahipse, değerinin (a-3σ; a+3σ) aralığında olduğu pratik olarak kesindir, çünkü https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Şu formülü kullanalım: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Ф(х) fonksiyonunun değer tablosuna göre Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 buluyoruz. Yani istenen olasılık: P(28 Bağımsız çalışma için görevler
3.1.
Rastgele değişken X, (-3;5) aralığında eşit olarak dağıtılır. Bulmak: b) dağıtım fonksiyonu F(x); c) sayısal özellikler; d) olasılık P(4<х<6). 3.2.
Rastgele değişken X, segment üzerinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Bulmak: a) dağılım yoğunluğu f(x); b) dağıtım fonksiyonu F(x); c) sayısal özellikler; d) olasılık Р(3≤х≤6). 3.3.
Otobana, araçlar için 2 dakika yeşil, 3 saniye sarı ve 30 saniye kırmızı ışık vb. Arabanın trafik ışıklarından durmadan geçme olasılığını bulunuz. 3.4.
Metro trenleri 2 dakikalık aralıklarla düzenli olarak çalışmaktadır. Yolcu platforma rastgele bir zamanda girer. Yolcunun tren için 50 saniyeden fazla beklemesi gerekme olasılığı nedir? Bir rasgele değişken X'in matematiksel beklentisini bulun - trenin bekleme süresi. 3.5.
Dağılım fonksiyonu tarafından verilen üstel dağılımın varyansını ve standart sapmasını bulun: F(x)= 0'da x<0, x≥0 için 1-e-8x. 3.6.
Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu tarafından verilir: x'te f(x)=0<0, x≥0'da 0,7 e-0,7x. a) Ele alınan rastgele değişkenin dağılım yasasını adlandırın. b) F(X) dağılım fonksiyonunu ve X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulun. 3.7.
Rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu tarafından verilen üstel yasaya göre dağıtılır: x'te f(x)=0<0, 0,4 e-0,4 x x≥0'da. Test sonucunda X'in (2.5; 5) aralığından bir değer alma olasılığını bulun. 3.8.
Sürekli bir rastgele değişken X, dağılım fonksiyonu tarafından verilen üstel yasaya göre dağıtılır: F(x)= 0'da x<0, x≥0'da 1.-0.6x Test sonucunda X'in aralığından bir değer alma olasılığını bulun. 3.9.
Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması sırasıyla 8 ve 2'dir. a) dağılım yoğunluğu f(x); b) Test sonucunda X'in (10;14) aralığından bir değer alma olasılığı. 3.10.
Rastgele değişken X normal olarak ortalama 3.5 ve varyans 0.04 ile dağılır. Bulmak: a) dağılım yoğunluğu f(x); b) Test sonucunda X'in aralığından bir değer alma olasılığı. 3.11.
Rastgele değişken X, normal olarak M(X)=0 ve D(X)=1 ile dağıtılır. |X|≤0.6 veya |X|≥0.6 olan olaylardan hangisinin olasılığı daha yüksektir? 3.12.
Rastgele değişken X normal olarak M(X)=0 ve D(X)=1 ile dağılır. Bir testte hangi aralıktan (-0.5;-0.1) veya (1;2) daha büyük bir değer alacaktır olasılık? 3.13.
Hisse başına cari fiyat, M(X)=10den olan normal bir dağılım kullanılarak modellenebilir. birimler ve σ (X)=0.3 den. birimler Bulmak: a) Cari hisse fiyatının 9,8 den olma olasılığı. birimler 10.4 den'ye kadar. birimler; b) Hisse senedinin cari fiyatının yer alacağı sınırları bulmak için "üç sigma kuralı"nı kullanmak. 3.14.
Madde sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, σ=5r kök-ortalama-kare oranı ile normal yasaya tabidir. Dört bağımsız deneyde, üç tartımdaki hatanın mutlak değer 3r'de oluşmama olasılığını bulun. 3.15.
Rastgele değişken X normal olarak M(X)=12.6 ile dağıtılır. Bir rastgele değişkenin (11.4;13.8) aralığına düşme olasılığı 0.6826'dır. σ standart sapmasını bulun. 3.16.
X rastgele değişkeni normal olarak M(X)=12 ve D(X)=36 ile dağılır. 0,9973 olasılıkla X rastgele değişkeninin test sonucunda düşeceği aralığı bulun. 3.17.
Otomatik bir makine tarafından üretilen bir parça, kontrol edilen parametresinin nominal değerden X sapması modulo cinsinden 2 ölçü birimini aşarsa kusurlu olarak kabul edilir. Rastgele değişken X'in normal olarak M(X)=0 ve σ(X)=0,7 ile dağıldığı varsayılır. Makine kusurlu parçaların yüzde kaçını veriyor? 3.18.
X ayrıntı parametresi, nominal değere eşit 2 matematiksel beklenti ve 0,014 standart sapma ile normal olarak dağıtılır. X'in nominal değer modülünden sapmasının, nominal değerin %1'ini geçmeme olasılığını bulun. Yanıtlar
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) x≤-3 için 0, F(x)=sol"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) Р(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Rastgele değişken Aynı koşullar altında yapılan testler sonucunda, hesaba katılmayan rastgele faktörlere bağlı olarak, genel olarak farklı değerler alan niceliğe denir. Rastgele değişkenlere örnekler: bir zarın üzerine düşen puanların sayısı, bir partideki kusurlu öğelerin sayısı, merminin hedeften sapma noktası, cihazın çalışma süresi, vb. Ayrık ve sürekli arasında ayrım yapın rastgele değişkenler. ayrık Olası değerleri sayılabilir bir küme, sonlu veya sonsuz (yani, elemanları numaralandırılabilen bir küme) oluşturan rastgele bir değişken denir. Sürekli Olası değerleri sürekli olarak sayısal eksenin bazı sonlu veya sonsuz aralığını dolduran rastgele bir değişken olarak adlandırılır. Sürekli bir rastgele değişkenin değer sayısı her zaman sonsuzdur. Rastgele değişkenler, Latin alfabesinin sonundaki büyük harflerle gösterilecektir: X,
Y, ...; rastgele bir değişkenin değerleri - küçük harflerle: X, y... . Böylece, X
Rastgele bir değişkenin tüm olası değerleri kümesini belirtir ve X - Bazı özel anlamlar. dağıtım yasası Kesikli bir rastgele değişken, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasında herhangi bir biçimde verilen bir yazışmadır. Rastgele değişkenin olası değerlerine izin verin X
. Test sonucunda rastgele değişken bu değerlerden birini yani; Tam bir ikili uyumsuz olay grubundan bir olay meydana gelecektir. Bu olayların olasılıkları da bilinsin: Rastgele bir değişkenin dağılım yasası X
adlı bir tablo şeklinde yazılabilir. Yakın dağıtım Ayrık rassal değişken: Dağılım serisi eşittir (normalleştirme koşulu). Örnek 3.1. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bulun X
- iki yazı tura atışında "kartal"ın oluşum sayısı. Dağıtım işlevi, hem ayrık hem de sürekli rastgele değişkenler için dağıtım yasasını belirlemenin evrensel bir biçimidir. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonuX
fonksiyon denir F(X),
Tam sayı doğrusunda aşağıdaki gibi tanımlanır: F(X)= P(X< х
), yani F(X) rastgele değişken olma olasılığı vardır X
değerinden daha düşük bir değer alır. X.
Dağıtım fonksiyonu grafiksel olarak gösterilebilir. Ayrık bir rasgele değişken için grafiğin basamaklı bir formu vardır. Örneğin, aşağıdaki seri tarafından verilen rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım (Şekil 3.1): Pirinç. 3.1. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği Fonksiyonun atlamaları, rastgele değişkenin olası değerlerine karşılık gelen noktalarda meydana gelir ve bu değerlerin olasılıklarına eşittir. Kırılma noktalarında, fonksiyon F(X) solda süreklidir. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği sürekli bir eğridir. Pirinç. 3.2. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği Dağıtım işlevi aşağıdaki belirgin özelliklere sahiptir: 1) 4) Rastgele bir değişken olduğu gerçeğinden oluşan bir olay arayacağız. X
bir değer alır X, Bazı yarı kapalı aralığa ait A£
X<
B,
[] aralığında rastgele bir değişkene basarak A,
B).
Teorem 3.1. Aralığa düşen rastgele bir değişkenin olasılığı [ A,
B) bu aralıktaki dağılım fonksiyonunun artışına eşittir: Aralığı azaltırsak [ A,
B),
O halde limitte, aralığa ulaşma olasılığı yerine formül (3.1)'in noktayı bulma olasılığını, yani rasgele değişkenin değeri alma olasılığını verdiğini varsayarsak A: Dağılım fonksiyonunun noktada süreksizliği varsa A,
O zaman limit (3.2), fonksiyonun atlama değerine eşittir. F(X) noktada X=A,
Yani, rastgele değişkenin değeri alma olasılıkları A
(Şekil 3.3, ANCAK).
Rastgele değişken sürekli ise, yani fonksiyon sürekli ise F(X), sonra limit (3.2) sıfıra eşittir (Şekil 3.3, B) Bu nedenle, sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir belirli değerinin olasılığı sıfırdır. Ancak bu, olayın imkansız olduğu anlamına gelmez. X=A,
Yalnızca, bu olayın göreceli sıklığının, test sayısında sınırsız bir artışla sıfıra eğilim göstereceğini söylüyor. ANCAK) Pirinç. 3.3. Dağıtım fonksiyonu atlama Sürekli rasgele değişkenler için, dağıtım fonksiyonu ile birlikte, dağıtım yasasını belirtmenin başka bir biçimi kullanılır - dağıtım yoğunluğu. Aralığa çarpma olasılığı ise, oran, olasılığın nokta civarında dağıldığı yoğunluğu karakterize eder. X. Bu ilişkinin sınırı, yani. e. türev, denir dağıtım yoğunluğu(olasılık dağılımının yoğunluğu, olasılık yoğunluğu) rastgele bir değişkenin X. Dağıtım yoğunluğunu belirtmeyi kabul ediyoruz Böylece dağılım yoğunluğu, rastgele bir değişkenin noktanın yakınına düşme olasılığını karakterize eder. X. Dağılım yoğunluğunun grafiği denir çarpık ırklarTanımlar(Şekil 3.4). Pirinç. 3.4. Dağıtım yoğunluğu türü Dağıtım fonksiyonunun tanımına ve özelliklerine göre F(X), dağılım yoğunluğunun aşağıdaki özelliklerini kurmak kolaydır F(X):
1) F(X)³0 2) 3) 4) Sürekli bir rastgele değişken için, bir noktaya gelme olasılığının sıfır olması nedeniyle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir: Örnek 3.2. rastgele değer X
Dağıtım yoğunluğu tarafından belirtilen Gerekli: A) Katsayının değerini bulun ANCAK; B) dağıtım fonksiyonunu bulun; C) Rastgele bir değişkenin (0, ) aralığına düşme olasılığını bulun. Dağıtım işlevi veya dağıtım yoğunluğu, bir rastgele değişkeni tamamen tanımlar. Bununla birlikte, çoğu zaman, pratik problemleri çözerken, dağıtım yasasının tam bilgisine gerek yoktur, sadece bazı karakteristik özelliklerini bilmek yeterlidir. Bunu yapmak için, olasılık teorisinde, dağıtım yasasının çeşitli özelliklerini ifade eden rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri kullanılır. Başlıca sayısal özellikler şunlardır: MatematikselBeklenti, varyans ve standart sapma. Beklenen değer Rastgele bir değişkenin sayı eksenindeki konumunu karakterize eder. Bu, etrafında tüm olası değerlerinin gruplandırıldığı rastgele bir değişkenin ortalama bir değeridir. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X
sembolize M(X) veya T. Kesikli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, rasgele değişkenin tüm olası değerlerinin eşlenmiş ürünlerinin toplamı ve bu değerlerin olasılıklarıdır: Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, uygun olmayan bir integral kullanılarak belirlenir: Tanımlara dayanarak, matematiksel beklentinin aşağıdaki özelliklerinin geçerliliğini doğrulamak kolaydır: 1. (rastgele olmayan bir değişkenin matematiksel beklentisi İTİBAREN En rastgele olmayan değere eşittir). 2. ³0, ise ³0. 4. Eğer ve bağımsız, sonra . Örnek 3.3. Bir dizi dağılım tarafından verilen ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun: Çözüm. Örnek 3.4. Dağılım yoğunluğu tarafından verilen bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun: Çözüm. Dağılım ve standart sapma Rastgele bir değişkenin dağılımının özellikleridir, matematiksel beklentiye göre olası değerlerinin yayılmasını karakterize ederler. dağılım D(X)
rastgele değişken X
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden karesi alınmış sapmanın matematiksel beklentisine denir.Ayrık bir rastgele değişken için varyans toplamla ifade edilir: Ve sürekli - integral için Varyans, rastgele bir değişkenin karesinin boyutuna sahiptir. saçılma özelliği, Boyut olarak eşleştirmeRastgele değişkenli Stee, standart sapmadır. Dağılım özellikleri: 1) sabittir. Özellikle, 3) Özellikle, Varyansın formül (3.5) ile hesaplanmasının, genellikle (3.3) veya (3.4) formülüne göre daha uygun olduğuna dikkat edin. Değer denir kovaryans rastgele değişkenler. Eğer bir aranan Korelasyon katsayısı rastgele değişkenler. Gösterilebilir ki eğer Dikkat edin, eğer bağımsızlarsa, o zaman Örnek 3.5.Örnek 1'deki dağılım serisi tarafından verilen bir rastgele değişkenin varyansını bulun. Çözüm. Varyansı hesaplamak için matematiksel beklentiyi bilmeniz gerekir. Yukarıda verilen bir rastgele değişken için şu bulundu: M=1.3. Varyansı formül (3.5) kullanarak hesaplıyoruz: Örnek 3.6. Rastgele değişken dağılım yoğunluğu tarafından verilir Varyansı ve standart sapmayı bulun. Çözüm. Önce matematiksel beklentiyi buluruz: (simetrik bir aralıkta tek bir fonksiyonun integrali olarak). Şimdi varyansı ve standart sapmayı hesaplıyoruz: 1. Binom dağılımı. Bernoulli şemasındaki "BAŞARI" sayısına eşit olan rastgele değişken, bir binom dağılımına sahiptir: Binom yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi Bu dağılımın varyansı . 2. Poisson Dağılımı Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı , . Poisson dağılımı genellikle, bir saat içinde bir araba yıkamaya gelen araba sayısı, haftada makine durma sayısı, sayı gibi belirli bir zaman veya mekan aralığında meydana gelen olayların sayısıyla ilgilenirken kullanılır. trafik kazaları vb. Rastgele değişken var geometrik dağılım parametre ile olasılıklı değerler alırsa 3. Normal dağılım.
Normal olasılık dağılımı yasası, diğer dağıtım yasaları arasında özel bir yere sahiptir. Olasılık teorisinde, bağımsız veya toplamın olasılık yoğunluğunun olduğu kanıtlanmıştır. Zayıf bağımlı, sayıları sınırsız bir artışla eşit derecede küçük (yani yaklaşık olarak aynı rolü oynayan) terimler, bu terimlerin hangi dağıtım yasalarına sahip olduğuna bakılmaksızın (A. M. Lyapunov'un merkezi limit teoremi) normal dağılım yasasına istenildiği kadar yaklaşır. rasgele değerler Örnek 2.1. rastgele değer X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen Test sonucunda çıkma olasılığını bulunuz. X(2.5; 3.6) arasında değerler alacaktır. Çözüm: X(2.5; 3.6) aralığında iki şekilde belirlenebilir: Örnek 2.2. Parametrelerin hangi değerlerinde ANCAK ve AT işlev F(x) = A + Ol - x rastgele bir değişkenin negatif olmayan değerleri için bir dağılım işlevi olabilir X. Çözüm: Rastgele değişkenin tüm olası değerleri X aralığına aittir, o zaman fonksiyonun bir dağılım fonksiyonu olması için X, mülk şunları içermelidir: Cevap: Örnek 2.3. Rastgele değişken X, dağıtım işlevi tarafından verilir Dört bağımsız denemenin sonucunda, değerin olma olasılığını bulun. X tam olarak 3 kez (0.25; 0.75) aralığına ait bir değer alacaktır. Çözüm: Bir değere ulaşma olasılığı X(0.25; 0.75) aralığında aşağıdaki formülle buluruz: Örnek 2.4. Bir atışta topun sepete çarpma olasılığı 0,3'tür. Üç atışta isabet sayısının dağılım yasasını çizin. Çözüm: rastgele değer X- üç atışla sepetteki vuruş sayısı - 0, 1, 2, 3 değerlerini alabilir. X X: Örnek 2.5.İki atıcı hedefe bir atış yapar. İlk atıcı tarafından vurma olasılığı 0,5, ikincisi - 0,4. Hedefteki isabet sayısının dağılım yasasını yazın. Çözüm: Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bulun X- hedefteki isabet sayısı. Olay birinci atıcı tarafından hedefe isabet etsin ve - ikinci atıcı tarafından vurulsun ve - sırasıyla onların ıskalamasına. SV'nin olasılık dağılımı yasasını oluşturalım X: Örnek 2.6. 3 eleman birbirinden bağımsız olarak test edilir. Elemanların hatasız çalışma süreleri (saat olarak) dağıtım yoğunluğu fonksiyonlarına sahiptir: ilk olarak: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, Ikinci için: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, üçüncüsü için: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. 0 ile 5 saat arasındaki zaman aralığında sadece bir elemanın başarısız olma olasılığını bulun; yalnızca iki öğe başarısız olur; üç öğe de başarısız olur. Çözüm: Olasılıkları üreten fonksiyonun tanımını kullanalım: Bir olayın meydana gelme olasılığının ilkinde bağımsız denemelerde bulunma olasılığı ANCAK eşittir , ikinci, vb. olay ANCAK tam olarak bir kez göründüğünde, üreten fonksiyonun 'nin kuvvetlerinin genişlemesindeki at katsayısına eşittir. 0 ile 5 saat arasındaki zaman aralığında birinci, ikinci ve üçüncü elemanın sırasıyla arıza ve arıza olmama olasılıklarını bulalım: Bir üreten fonksiyon oluşturalım: katsayısı, olayın olma olasılığına eşittir. ANCAK tam olarak üç kez görünecek, yani her üç öğenin de başarısız olma olasılığı; katsayısı, tam olarak iki elemanın başarısız olma olasılığına eşittir; katsayısı, yalnızca bir elemanın başarısız olma olasılığına eşittir. Örnek 2.7. Verilen bir olasılık yoğunluğu f(x) rastgele değişken X: F(x) dağılım fonksiyonunu bulun. Çözüm: Formülü kullanıyoruz: Böylece, dağıtım fonksiyonu şu şekildedir: Örnek 2.8. Cihaz, birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın başarısız olma olasılığı 0,1'dir. Bir deneyde başarısız olan öğelerin sayısının dağılım yasasını derleyin. Çözüm: rastgele değer X- bir deneyde başarısız olan eleman sayısı - şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, Bernoulli formülüyle buluruz: Böylece, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının aşağıdaki yasasını elde ederiz. X: Örnek 2.9. 6 parçanın çoğunda 4 standart parça vardır. 3 madde rastgele seçilmiştir. Seçilenler arasında standart parça sayısının dağılım yasasını hazırlayın. Çözüm: rastgele değer X- seçilenler arasından standart parça sayısı - 1, 2, 3 değerlerini alabilir ve hipergeometrik bir dağılıma sahiptir. Olasılıklar X nerede --
partideki parça sayısı; --
partideki standart parça sayısı; –
seçilen parça sayısı; --
seçilenler arasından standart parçaların sayısı. Örnek 2.10. Rastgele değişken bir dağılım yoğunluğuna sahiptir nerede ve bilinmemektedir, ancak , a ve . Bul ve . Çözüm: Bu durumda rastgele değişken X[ aralığında üçgensel bir dağılıma (Simpson dağılımı) sahiptir. bir, b]. sayısal özellikler X: Sonuç olarak, Cevap: Örnek 2.11. Ortalama olarak, sözleşmelerin %10'u için sigorta şirketi, sigortalı bir olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigortalı tutarları öder. Rastgele seçilen dört sözleşme arasından bu tür sözleşmelerin sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın. Çözüm: Matematiksel beklenti ve varyans aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir: SV'nin olası değerleri (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşme sayısı (dört üzerinden): 0, 1, 2, 3, 4. Bernoulli formülünü, sigortalı meblağların ödendiği farklı sayıda sözleşmenin (dört üzerinden) olasılıklarını hesaplamak için kullanıyoruz: CV'nin dağıtım serisi (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşmelerin sayısı) şu şekildedir: Cevap: , . Örnek 2.12. Beş gülden ikisi beyazdır. Aynı anda alınan iki gül arasındaki beyaz güllerin sayısını ifade eden rastgele bir değişken için bir dağılım kanunu yazın. Çözüm:İki gül örneğinde beyaz gül olmayabilir veya bir veya iki beyaz gül olabilir. Bu nedenle, rastgele değişken X 0, 1, 2 değerleri alabilir. X bu değerleri alırsak, şu formülle buluruz: nerede --
gül sayısı; --
beyaz gül sayısı; –
aynı anda alınan güllerin sayısı; --
alınanlar arasında beyaz güllerin sayısı. O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır: Örnek 2.13. Birleştirilmiş 15 üniteden 6'sının ek yağlamaya ihtiyacı vardır. Toplam sayıdan rasgele seçilen beş birim arasından ek yağlamaya ihtiyaç duyan birimlerin sayısının dağılım yasasını çıkarın. Çözüm: rastgele değer X- seçilen beş ünite arasından ek yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısı - 0, 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini alabilir ve hipergeometrik bir dağılıma sahiptir. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, şu formülle buluruz: nerede --
monte edilen birimlerin sayısı; --
ek yağlama gerektiren ünite sayısı; –
seçilen agregaların sayısı; --
seçilenler arasında ek yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısı. O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır: Örnek 2.14. Onarım için alınan 10 saatten 7'sinin mekanizmanın genel temizliğine ihtiyacı var. Saatler onarım türüne göre sıralanmaz. Temizlenmesi gereken bir saat bulmak isteyen usta, onları tek tek inceler ve böyle bir saat bulduktan sonra daha fazla izlemeyi bırakır. İzlenen saat sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun. Çözüm: rastgele değer X- seçilen beş ünite arasından ek yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısı - aşağıdaki değerleri alabilir: 1, 2, 3, 4. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, şu formülle buluruz: O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır: Şimdi miktarın sayısal özelliklerini hesaplayalım: Cevap: , . Örnek 2.15. Abone, ihtiyacı olan telefon numarasının son hanesini unutmuştur ancak bunun tek olduğunu hatırlar. Son rakamı rastgele çevirirse ve gelecekte çevrilen rakamı çevirmezse, istenen numaraya ulaşmadan önce yaptığı arama sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun. Çözüm: Rastgele değişken değerler alabilir: . Abone gelecekte aranan numarayı çevirmediği için bu değerlerin olasılıkları eşittir. Rastgele bir değişkenin dağılım serisini oluşturalım: Çevirme girişimi sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayalım: Cevap: , . Örnek 2.16. Serinin her bir cihazı için güvenilirlik testleri sırasında arıza olasılığı şuna eşittir: p. Test edildiyse başarısız olan cihaz sayısının matematiksel beklentisini belirleyin N aletler. Çözüm: Ayrık rasgele değişken X, arızalı cihazların sayısıdır. N her birinde başarısızlık olasılığının eşit olduğu bağımsız testler p, binom yasasına göre dağıtılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir: Örnek 2.17. Ayrık rassal değişken X 3 olası değer alır: olasılıkla; olasılıklı ve olasılıklı. M( X) = 8. Çözüm: Matematiksel beklenti tanımlarını ve ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını kullanıyoruz: Bulduk: . Örnek 2.18. Teknik kontrol departmanı, ürünlerin standart olup olmadığını kontrol eder. Maddenin standart olma olasılığı 0.9'dur. Her parti 5 ürün içerir. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- 50 parti doğrulamaya tabi ise, her biri tam olarak 4 standart ürün içeren parti sayısı. Çözüm: Bu durumda, yapılan tüm deneyler bağımsızdır ve her partinin tam olarak 4 standart ürün içerme olasılığı aynıdır, bu nedenle matematiksel beklenti aşağıdaki formülle belirlenebilir: parti sayısı nerede; Bir partinin tam olarak 4 standart öğe içerme olasılığı. Bernoulli formülünü kullanarak olasılığı buluyoruz: Cevap: Örnek 2.19. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X- olayın meydana gelme sayısı A iki bağımsız denemede, bu denemelerde bir olayın meydana gelme olasılıkları aynı ise ve biliniyorsa, M(X) = 0,9. Çözüm: Problem iki şekilde çözülebilir. 1) Olası CB değerleri X: 0, 1, 2. Bernoulli formülünü kullanarak bu olayların olasılıklarını belirleriz: ,
Daha sonra dağıtım yasası Xşuna benziyor: Matematiksel beklenti tanımından, olasılığı belirleriz: SW'nin varyansını bulalım X: 2) Formülü kullanabilirsiniz: Cevap: Örnek 2.20. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 20 ve 5'tir.Test sonucunda X(15; 25) aralığındaki değeri alacaktır. Çözüm: Normal bir rastgele değişkene çarpma olasılığı X bölümünden - Laplace fonksiyonu cinsinden ifade edilir: Örnek 2.21. Verilen bir fonksiyon: parametrenin hangi değerinde C bu fonksiyon, bazı sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğudur. X? Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X. Çözüm: Bir fonksiyonun bazı rasgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu olması için, negatif olmaması ve şu özelliği sağlaması gerekir: Sonuç olarak: Aşağıdaki formülü kullanarak matematiksel beklentiyi hesaplayın: Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı hesaplayın: T p. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulmak gerekir. Çözüm: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası - her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı olan bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısı binom olarak adlandırılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede A olayının meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir: Örnek 2.25. Hedefe üç bağımsız atış yapılır. Her atışta isabet olasılığı 0.25'tir. Üç atışla isabet sayısının standart sapmasını belirleyin. Çözüm:Üç bağımsız deneme yapıldığından ve her denemede A olayının (isabet) meydana gelme olasılığı aynı olduğundan, kesikli rastgele değişken X'in - hedefteki isabet sayısı - binom değerine göre dağıtıldığını varsayacağız. yasa. Binom dağılımının varyansı, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme ve olmama olasılıklarının çarpımına eşittir: Örnek 2.26. 10 dakikada sigorta şirketini ziyaret eden ortalama müşteri sayısı üçtür. Önümüzdeki 5 dakika içinde en az bir müşterinin gelme olasılığını bulun. 5 dakikada gelen ortalama müşteri sayısı: Örnek 2.29.İşlemci kuyruğundaki bir uygulamanın bekleme süresi, ortalama değeri 20 saniye olan bir üstel dağılım yasasına uyar. Bir sonraki (keyfi) isteğin işlemciyi 35 saniyeden fazla bekleme olasılığını bulun. Çözüm: Bu örnekte, beklenti O zaman istenen olasılık: Örnek 2.30. 15 kişilik bir grup, her birinde 20 sıra 10'ar koltuk bulunan bir salonda toplantı yapıyor. Her öğrenci rastgele bir şekilde salonda yer alır. Yedinci sırada en fazla üç kişinin olmaması olasılığı nedir? Çözüm: Örnek 2.31. O halde olasılığın klasik tanımına göre: nerede --
partideki parça sayısı; --
partideki standart olmayan parça sayısı; –
seçilen parça sayısı; --
seçilenler arasında standart olmayan parçaların sayısı. O zaman rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır.
1.2.
p4=0.1; x≤-1 için 0,
(şek.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a için 0,
,
Normal eğri, x=m düz çizgisine göre simetriktir, x=a'da maksimuma eşittir.
,
X
, 2) , 3) ,
.
B)
.
=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.
.
(3.3)
(3.4)
, ardından değer
, o zaman miktarlar doğrusal olarak bağımlıdır: nerede 
, 
.
.
, 
. Böyle bir dağılıma sahip rastgele bir değişken mantıklı İlk başarılı testin numaraları başarı olasılığı ile Bernoulli şemasında. Dağıtım tablosu şöyle görünür:
.
.
.
.
.
.
. Bu sistemi çözerek iki çift değer elde ederiz: . Çünkü, sorunun durumuna göre, sonunda elimizde: 
. .
.
.
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036
0,0001
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0,2
,
.
,
.
.
.
.
.
. .
. .
, ve başarısızlık oranı .