Bilindiği gibi, rastgele değişken duruma göre belirli değerler alabilen değişken denir. Rastgele değişkenler, Latin alfabesinin büyük harfleriyle (X, Y, Z) ve değerleriyle - karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (ayrık) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.
Ayrık rassal değişken belirli sıfır olmayan olasılıklarla yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değerler kümesi alan rastgele bir değişkendir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini karşılık gelen olasılıklarıyla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım yasası aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.
1 . Dağıtım yasası tablo ile verilebilir:
burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .
içinde) kullanarak dağıtım fonksiyonu F(x) , her x değeri için, X rastgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirler, yani. F(x) = P(X< x).
F(x) fonksiyonunun özellikleri
3 . Dağıtım yasası grafiksel olarak ayarlanabilir – dağıtım poligonu (poligon) (bkz. problem 3).
Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birden fazla sayıyı bilmek yeterlidir. Rastgele bir değişkenin "ortalama değeri" anlamına gelen bir sayı veya bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı olabilir. Bu tür sayılara rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri denir.
Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri :
- matematiksel beklenti
(ortalama değer) ayrık bir rastgele değişkenin M(X)=Σ x ben p ben.
Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ - Dağılım
Ayrık rassal değişken D(X)=M2 veya D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) farkına rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması denir.
Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ - Standart sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).
"Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası" konusundaki problem çözme örnekleri
Görev 1.
1000 piyango bileti verildi: 5 tanesi 500 ruble, 10 - 100 ruble, 20 - 50 ruble, 50 - 10 ruble kazanıyor. Rastgele değişken X'in olasılık dağılımı yasasını belirleyin - bilet başına kazanç.
Çözüm. Problemin durumuna göre, X rastgele değişkeninin aşağıdaki değerleri mümkündür: 0, 10, 50, 100 ve 500.
Kazanmayan biletlerin sayısı 1000 - (5+10+20+50) = 915, sonra P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
Benzer şekilde, diğer tüm olasılıkları buluruz: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Ortaya çıkan yasayı bir tablo şeklinde sunuyoruz:
X'in matematiksel beklentisini bulun: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
Görev 3.
Cihaz, birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her elemanın başarısız olma olasılığı 0,1'dir. Bir deneyde başarısız olan öğelerin sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın, bir dağıtım çokgeni oluşturun. F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve çizin. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun.
Çözüm. 1. Kesikli rasgele değişken X=(bir deneydeki başarısız eleman sayısı) aşağıdaki olası değerlere sahiptir: x 1 =0 (cihazın hiçbir elemanı arızalı), x 2 =1 (bir eleman arızalı), x 3 =2 ( iki öğe başarısız oldu ) ve x 4 \u003d 3 (üç öğe başarısız oldu).
Elemanların arızaları birbirinden bağımsızdır, her elemanın arızalanma olasılıkları birbirine eşittir, bu nedenle uygulanabilir. Bernoulli'nin formülü
. n=3, p=0,1, q=1-p=0.9 koşuluna göre, değerlerin olasılıklarını belirleriz:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Kontrol edin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
Böylece, istenen binom dağılım yasası X şu şekildedir:
Apsis ekseninde, olası değerleri x i ve ordinat ekseninde karşılık gelen olasılıkları p i çiziyoruz. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) noktalarını oluşturalım. Bu noktaları doğru parçalarıyla birleştirerek istenen dağıtım poligonunu elde ederiz.
3. F(x) = P(X) dağıtım fonksiyonunu bulun
x ≤ 0 için F(x) = P(X'e sahibiz<0) = 0;0 için< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 için< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 için< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 için F(x) = 1 olacaktır, çünkü olay kesindir.
 |
F(x) fonksiyonunun grafiği
4.
X binom dağılımı için:
- matematiksel beklenti М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dağılım D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- standart sapma σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
dağıtım yoğunluğu olasılıklar X işlevi çağır f(x) dağılım fonksiyonunun ilk türevidir f(x):
Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu kavramı X ayrı bir miktar için geçerli değildir.
olasılık yoğunluğu f(x) diferansiyel dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır:
Mülk 1. Dağılım yoğunluğu negatif olmayan bir değerdir:
Mülkiyet 2.İle aralığındaki dağılım yoğunluğunun uygun olmayan integrali bire eşittir:
Örnek 1.25. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verildiğinde X:
f(x).
Çözüm: Dağılım yoğunluğu, dağılım fonksiyonunun birinci türevine eşittir:
1. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verildiğinde X:
Dağılım yoğunluğunu bulun.
2. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verilir X:
Dağıtım yoğunluğunu bulun f(x).
1.3. Sürekli rastgeleliğin sayısal özellikleri
miktarları
Beklenen değer sürekli rastgele değişken X olası değerleri tüm eksene ait olan ey, eşitlik ile belirlenir:
İntegralin mutlak yakınsadığı varsayılır.
a,b), sonra:
f(x) rastgele değişkenin dağılım yoğunluğudur.
Dağılım sürekli rastgele değişken X olası değerleri tüm eksene ait olan eşitlik ile belirlenir:
Özel durum. Rastgele değişkenin değerleri aralığa aitse ( a,b), sonra:
olasılık X aralığına ait değerleri alacaktır ( a,b), eşitlik ile belirlenir:
.
Örnek 1.26. Sürekli rastgele değişken X
Rastgele bir değişkene çarpmanın matematiksel beklentisini, varyansını ve olasılığını bulun X(0; 0.7) aralığında.
Çözüm: Rastgele değişken (0,1) aralığına dağıtılır. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu tanımlayalım X:
a) Matematiksel beklenti 
:
b) Dağılım 
içinde) 
Bağımsız çalışma için görevler:
1. Rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen:
M(x);
b) dispersiyon D(x);
X(2,3) aralığına girin.
2. Rastgele değer X
Bul: a) matematiksel beklenti M(x);
b) dispersiyon D(x);
c) rastgele bir değişkene çarpma olasılığını belirlemek X aralıkta (1; 1.5).
3. Rastgele değer X integral dağılım fonksiyonu tarafından verilir:
Bul: a) matematiksel beklenti M(x);
b) dispersiyon D(x);
c) rastgele bir değişkene çarpma olasılığını belirlemek X aralığında.
1.4. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasaları
1.4.1. Üniforma dağıtımı
Sürekli rastgele değişken X aralığında düzgün bir dağılıma sahiptir [ a,b], bu segmentte rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının yoğunluğu sabitse ve bunun dışında sıfıra eşitse, yani:
Pirinç. dört.
; 
; 
.
Örnek 1.27. Bazı güzergahlardan bir otobüs, 5 dakikalık aralıklarla düzgün hareket eder. Düzgün dağılmış bir rastgele değişken olma olasılığını bulun. X– Otobüs bekleme süresi 3 dakikadan az olacaktır.
Çözüm: rastgele değer X- aralık boyunca eşit olarak dağıtılır .
Olasılık Yoğunluğu: 
.
Bekleme süresinin 3 dakikayı geçmemesi için yolcunun bir önceki otobüsün hareketinden 2 ila 5 dakika sonra otobüs durağına gelmesi, yani. rastgele değer X(2;5) aralığı içinde olmalıdır. O. istenen olasılık:
Bağımsız çalışma için görevler:
1. a) rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X(2; 8) aralığında eşit olarak dağıtılır;
b) rastgele bir değişkenin varyansını ve standart sapmasını bulun X,(2;8) aralığında eşit olarak dağılmıştır.
2. Elektrikli saatin yelkovanı her dakikanın sonunda zıplar. Belirli bir anda saatin gerçek zamandan en fazla 20 saniye farklı olan zamanı gösterme olasılığını bulun.
1.4.2. Üstel (üstel) dağılım
Sürekli rastgele değişken X olasılık yoğunluğu şu şekildeyse üstel olarak dağıtılır:
üstel dağılımın parametresi nerede.
Böylece 
Pirinç. 5.
Sayısal özellikler:
Örnek 1.28. rastgele değer X- ampulün çalışma süresi - üstel bir dağılıma sahiptir. Ortalama lamba ömrü 400 saat ise lambanın en az 600 saat dayanma olasılığını belirleyin.
Çözüm: Problemin durumuna göre, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X 400 saate eşittir, yani:
; 
İstenen olasılık, nerede
Nihayet:
Bağımsız çalışma için görevler:
1. Parametre ise üstel kanunun yoğunluk ve dağılım fonksiyonunu yazınız.
2. Rastgele değer X
Bir miktarın matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X.
3. Rastgele değer X olasılık dağılım fonksiyonu tarafından verilen:
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bulun.
1.4.3. Normal dağılım
normal sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı olarak adlandırılır X yoğunluğu şu şekildedir:
nerede a– matematiksel beklenti, – standart sapma X.
olasılık X aralığına ait bir değer alacaktır:
, nerede
Laplace fonksiyonudur.
Sahip olduğu bir dağıtım; , yani olasılık yoğunluğu ile 
standart denir.
Pirinç. 6.
Sapmanın mutlak değerinin pozitif bir sayıdan küçük olma olasılığı:
.
Özellikle, ne zaman bir= 0 eşitlik doğrudur:
Örnek 1.29. rastgele değer X normal olarak dağılmıştır. Standart sapma . Rastgele bir değişkenin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmasının 0,3'ten küçük olma olasılığını bulun.
Çözüm: .
Bağımsız çalışma için görevler:
1. Rastgele bir değişkenin normal dağılımının olasılık yoğunluğunu yazın X, bilerek M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 20 ve 5'tir.Test sonucunda olma olasılığını bulun X(15;20) aralığındaki değeri alacaktır.
3. Rastgele ölçüm hataları, standart sapma mm ve matematiksel beklenti ile normal yasaya tabidir. bir= 0. 3 bağımsız ölçümden en az birinin hatasının mutlak değerde 4 mm'yi geçmeme olasılığını bulun.
4. Bazı maddeler sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, standart sapma r ile normal yasaya tabidir.Tartmanın mutlak değerde 10 g'ı aşmayan bir hata ile yapılması olasılığını bulun.
Beklenen değer
Dağılım olası değerleri tüm Ox eksenine ait olan sürekli rastgele değişken X, eşitlikle belirlenir: 
Servis ataması. Çevrimiçi hesap makinesi, aşağıdakilerden herhangi birinin meydana geldiği sorunları çözmek için tasarlanmıştır. dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım işlevi F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmak gerekir matematiksel beklenti, standart sapma, f(x) ve F(x) fonksiyonlarını çizin.
Talimat. Girdi verilerinin türünü seçin: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım işlevi F(x) .
Dağılım yoğunluğu f(x) verilir: 
Dağılım fonksiyonu F(x) şu şekilde verilir: 
Sürekli bir rastgele değişken, bir olasılık yoğunluğu ile tanımlanır 
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x) 'i bulun.
Rastgele değişken X denir sürekli
, dağıtım fonksiyonu F(X)=P(X ise< x) непрерывна и имеет производную.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, belirli bir aralığa düşen bir rastgele değişkenin olasılıklarını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmadığı önemli değildir:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
dağıtım yoğunluğu
sürekli rastgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F'(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.
Dağılım Yoğunluğu Özellikleri
1. Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu, x'in tüm değerleri için negatif değildir (f(x) ≥ 0).2. Normalleştirme koşulu:
Normalleştirme koşulunun geometrik anlamı: Dağılım yoğunluğu eğrisinin altındaki alan bire eşittir.
3. α ile β arasındaki aralıkta rastgele bir X değişkenine çarpma olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
Geometrik olarak, sürekli bir rastgele değişken X'in (α, β) aralığına düşme olasılığı, bu aralığa dayalı dağılım yoğunluk eğrisi altındaki eğrisel yamuğun alanına eşittir.
4. Dağılım fonksiyonu yoğunluk cinsinden şu şekilde ifade edilir:
x noktasındaki dağılım yoğunluğu değeri, bu değeri alma olasılığına eşit değildir; sürekli bir rastgele değişken için sadece belirli bir aralığa düşme olasılığından bahsedebiliriz. İzin vermek )