Leonardo Fibonacci, Orta Çağ'ın en büyük matematikçilerinden biridir. Çalışmalarından biri olan Hesaplamalar Kitabı'nda Fibonacci Hint-Arap hesabını ve onu kullanmanın Romalılara göre avantajlarını anlattı.
Tanım
Fibonacci sayıları veya Fibonacci dizisi, bir dizi özelliği olan sayısal bir dizidir. Örneğin, dizideki iki komşu sayının toplamı, bir sonrakinin değerini verir (örneğin, 1+1=2; 2+3=5, vb.), bu da Fibonacci katsayılarının varlığını doğrular. , yani sabit oranlar.
Fibonacci dizisi şöyle başlar: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
2.
Fibonacci sayılarının tam tanımı
3.
Fibonacci Dizisinin Özellikleri
4.
1. Her sayının bir sonrakine oranı, seri numarası arttıkça 0,618'e gitmektedir. Her sayının bir öncekine oranı 1.618'e (ters 0.618'e) eğilimlidir. 0.618 sayısı (FI) olarak adlandırılır.
2. Her sayıyı bir sonraki sayıya bölerken birinden 0,382 elde edilir; tersi - sırasıyla 2.618.
3. Oranları bu şekilde seçerek, ana Fibonacci katsayıları kümesini elde ederiz: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.
5.
Fibonacci dizisi ile "altın bölüm" arasındaki ilişki
6.
Fibonacci dizisi asimptotik olarak (gittikçe daha yavaş yaklaşan) sabit bir orana eğilimlidir. Bununla birlikte, bu oran irrasyoneldir, yani, kesirli kısımda sonsuz, öngörülemeyen bir ondalık basamak dizisine sahip bir sayıdır. Tam olarak ifade edilemez.
Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi kendisinden öncekine bölünürse (örneğin, 13:8), sonuç 1.61803398875 irrasyonel değeri etrafında dalgalanan bir değer olacaktır ve bir süre sonra onu aşan ya da ulaşmayan bir irrasyonel değer olacaktır. O. Ancak Eternity'yi bunun için harcadıktan sonra bile, son ondalık basamağa oranı tam olarak bilmek imkansızdır. Kısa olması için 1.618 şeklinde vereceğiz. Bu orana özel isimler, Luca Pacioli'nin (bir ortaçağ matematikçisi) İlahi Oran olarak adlandırmasından önce bile verilmeye başlandı. Modern isimleri arasında Altın Oran, Altın Ortalama ve dönen karelerin oranı gibi vardır. Kepler bu ilişkiyi "geometrinin hazineleri"nden biri olarak adlandırdı. Cebirde, genellikle Yunanca phi harfi ile gösterilir.
Altın bölümü bir segment örneğinde düşünelim.
Uçları A ve B olan bir doğru parçası düşünün. C noktasının AB doğru parçasına bölünmesine izin verin, öyle ki,
AC/CB = CB/AB veya
AB/CB = CB/AC.
Bunu şöyle hayal edebilirsiniz: A-–C--–B
7.
Altın bölüm, bir parçanın eşit olmayan parçalara böyle orantılı bir bölünmesidir, burada tüm parça daha büyük parça ile aynı şekilde daha büyük parçanın kendisi daha küçük parça ile ilgilidir; veya başka bir deyişle, büyük olan her şeyle olduğu gibi, daha küçük olan da daha büyük olanla ilişkilidir.
8.
Altın oranın segmentleri sonsuz bir irrasyonel kesir 0,618 ... olarak ifade edilir, AB bir alınırsa AC = 0,382 .. Bildiğimiz gibi 0,618 ve 0,382 sayıları Fibonacci dizisinin katsayılarıdır.
9.
Fibonacci oranları ve doğada ve tarihte altın oran
10.
Fibonacci'nin insanlığa kendi dizisini hatırlattığını belirtmek önemlidir. Eski Yunanlılar ve Mısırlılar tarafından biliniyordu. Gerçekten de o zamandan beri, Fibonacci katsayıları ile tanımlanan örüntüler doğada, mimaride, güzel sanatlarda, matematikte, fizikte, astronomide, biyolojide ve diğer birçok alanda bulunmuştur. Fibonacci dizisi kullanılarak kaç sabitin hesaplanabileceği ve terimlerinin çok sayıda kombinasyonda nasıl göründüğü şaşırtıcı. Ancak bunun sadece bir sayı oyunu değil, en önemli matematiksel ifade olduğunu söylemek abartı olmaz. doğal olaylar keşfedilen her şeyden.
11.
Aşağıdaki örnekler, bu matematiksel dizinin bazı ilginç uygulamalarını göstermektedir.
12.
1. Kabuk bir spiral içinde bükülür. Açarsanız, yılanın uzunluğundan biraz daha düşük bir uzunluk elde edersiniz. On santimetrelik küçük bir kabuğun 35 cm uzunluğunda bir spirali vardır, spiral olarak kıvrılmış kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekti. Gerçek şu ki, kabuğun kıvrımlarının ölçümlerinin oranı sabittir ve 1,618'e eşittir. Arşimet, mermi sarmalını inceledi ve sarmalın denklemini türetti. Bu denklemin çizdiği sarmal onun adıyla anılır. Adımındaki artış her zaman tekdüzedir. Şu anda, Arşimet spirali mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır.
2. Bitkiler ve hayvanlar. Goethe bile doğanın sarmallık eğilimini vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve sarmal dizilişi uzun zaman önce fark edildi. Ayçiçeği tohumlarının dizilişinde, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması, bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tutuyor. Ayçiçeği tohumu, çam kozalağı dallarındaki yaprakların düzenlenmesinde Fibonacci serisinin kendini gösterdiği ve bu nedenle altın bölüm yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek, ağını spiral bir düzende örer. Bir kasırga dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü spiral şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülür. Goethe spirali "yaşam eğrisi" olarak adlandırdı.
Yol kenarındaki otların arasında dikkat çekmeyen bir bitki yetişir - hindiba. Daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir dal oluşturulmuştur. İşte ilk yaprak. Süreç uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır, ancak ilkinden daha kısadır, yine uzaya bir fırlatma yapar, ancak daha az kuvvetle, daha da küçük bir yaprak bırakır ve tekrar fırlatır. İlk aykırı değer 100 birim olarak alınırsa, ikincisi 62 birime, üçüncüsü 38'e, dördüncüsü 24'e eşittir vb. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Büyümede, uzayın fethinde, bitki belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri altın orana orantılı olarak yavaş yavaş azaldı.
Kertenkele canlıdır. Kertenkelede ilk bakışta gözümüze hoş gelen oranlar yakalanır - kuyruğunun uzunluğu vücudun geri kalanının uzunluğuyla 62 ila 38 olarak ilişkilidir.
Hem bitki hem de hayvan dünyalarında, doğanın şekillendirme eğilimi, büyüme ve hareket yönüne göre simetriyi sürekli olarak kırar. Burada altın oran, büyüme yönüne dik olan kısımların oranlarında ortaya çıkar. Doğa, simetrik parçalara ve altın oranlara bölünmeyi gerçekleştirmiştir. Parçalarda, bütünün yapısının tekrarı kendini gösterir.
Yüzyılımızın başında Pierre Curie, bir dizi derin simetri fikrini formüle etti. Simetriyi hesaba katmadan herhangi bir cismin simetrisini düşünemeyeceğini savundu. çevre. Altın simetri kalıpları kendilerini enerji geçişlerinde gösterir temel parçacıklar, bazılarının yapısında kimyasal bileşikler, gezegensel ve uzay sistemleri, canlı organizmaların gen yapılarında. Yukarıda belirtildiği gibi bu kalıplar, bir kişinin ve bir bütün olarak vücudun bireysel organlarının yapısındadır ve ayrıca biyoritmlerde ve beynin işleyişinde ve görsel algıda kendini gösterir.
3. Uzay. 18. yüzyılın Alman astronomu I. Titius'un bu diziyi (Fibonacci) kullanarak güneş sisteminin gezegenleri arasındaki mesafelerde düzenlilik ve düzen bulduğu astronomi tarihinden bilinmektedir.
Ancak, yasalara aykırı görünen bir durum vardı: Mars ve Jüpiter arasında gezegen yoktu. Gökyüzünün bu bölgesinin odaklanmış gözlemi, asteroit kuşağının keşfedilmesine yol açtı. Bu Titius'un ölümünden sonra oldu. erken XIX içinde.
Fibonacci serisi yaygın olarak kullanılmaktadır: onun yardımıyla canlıların arkitektoniklerini, insan yapımı yapıları ve Galaksilerin yapısını temsil ederler. Bu gerçekler, sayı serisinin evrenselliğinin göstergelerinden biri olan tezahür etme koşullarından bağımsız olduğunun kanıtıdır.
4. Piramitler. Birçoğu Giza piramidinin sırlarını çözmeye çalıştı. Diğer Mısır piramitlerinden farklı olarak, bu bir mezar değil, daha ziyade çözülemez bir sayısal kombinasyon bulmacasıdır. Ebedi sembolün yapımında kullandıkları piramidin mimarlarının dikkat çekici marifet, beceri, zaman ve emekleri, gelecek nesillere iletmek istedikleri mesajın son derece önemli olduğunu göstermektedir. Onların dönemi okuryazarlık öncesiydi, hiyeroglif öncesiydi ve semboller keşifleri kaydetmenin tek yoluydu. Uzun zamandır insanlık için bir gizem olan Giza piramidinin geometrik-matematiksel sırrının anahtarı, aslında Herodot'a, piramidin her birinin alanı olacak şekilde inşa edildiğini bildiren tapınak rahipleri tarafından verildi. yüzlerinin toplamı, boyunun karesine eşitti.
üçgen alan
356 x 440 / 2 = 78320
kare alan
280 x 280 = 78400
Giza'daki piramidin tabanının kenarının uzunluğu 783.3 fit (238.7 m), piramidin yüksekliği 484.4 fit (147.6 m). Taban kenarının uzunluğunun yüksekliğe bölümü Ф=1.618 oranını verir. 484.4 fitlik yükseklik 5813 inç (5-8-13)'e karşılık gelir - bunlar Fibonacci dizisinden sayılardır. Bu ilginç gözlemler, piramidin inşasının Ф=1.618 oranına dayandığını göstermektedir. Bazı modern bilim adamları, eski Mısırlıların onu yalnızca gelecek nesillere korumak istedikleri bilgiyi aktarmak amacıyla inşa ettiklerini yorumlama eğilimindedir. Giza'daki piramidin yoğun çalışmaları, o zamanlar matematik ve astrolojide ne kadar kapsamlı bilginin olduğunu gösterdi. Piramidin tüm iç ve dış oranlarında 1.618 sayısı merkezi bir rol oynamaktadır.
Meksika'daki piramitler. Altın oranın mükemmel oranlarına göre sadece Mısır piramitleri inşa edilmedi, aynı fenomen Meksika piramitlerinde de bulundu. Hem Mısır hem de Meksika piramitlerinin ortak bir kökene sahip insanlar tarafından yaklaşık olarak aynı zamanda dikildiği fikri ortaya çıkıyor.
Da Vinci Şifresi adlı film ve kitapla ünlenen Fibonacci dizisi, daha çok takma adı Fibonacci olarak bilinen İtalyan matematikçi Pisa Leonardo tarafından on üçüncü yüzyılda elde edilen bir sayı dizisidir. Bilim insanının takipçileri, bu sayı dizisinin tabi olduğu formülün çevremizdeki dünyada yansımasını bulduğunu ve diğer matematiksel keşifleri yansıttığını ve böylece bize evrenin sırlarının kapısını araladığını fark ettiler. Bu yazıda Fibonacci dizisinin ne olduğunu açıklayacağız, bu örüntünün doğada nasıl gösterildiğine dair örnekleri ele alacağız ve ayrıca diğer matematik teorileriyle karşılaştıracağız.
Kavramın formülasyonu ve tanımı
Fibonacci serisi, her bir elemanı önceki ikisinin toplamına eşit olan matematiksel bir dizidir. Dizinin belirli bir üyesini x n olarak gösterelim. Böylece tüm seri için geçerli bir formül elde ederiz: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. Bu durumda, sıralama şu şekilde görünecektir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. 21 ve 34'ün toplamı 55 olduğundan sonraki sayı 55 olacaktır. Ve böyle devam eder. aynı prensibe göre.
Çevredeki örnekler
Bitkiye, özellikle yaprakların tepesine bakarsak, spiral şeklinde çiçek açtıklarını fark ederiz. Bitişik yapraklar arasında, sırayla doğru matematiksel Fibonacci dizisini oluşturan açılar oluşturulur. Bu özellik sayesinde ağaçta büyüyen her yaprak maksimum miktarda güneş ışığı ve ısı alır.
Fibonacci matematik bulmacası
Ünlü bir matematikçi teorisini bir bilmece şeklinde sundu. Kulağa böyle geliyor. Bir yılda kaç çift tavşan doğacağını bulmak için kapalı bir alana bir çift tavşan koyabilirsiniz. Bu hayvanların doğası, her ay bir çiftin yeni bir çift üretebilmesi ve iki aya ulaştıklarında üremeye hazır hale gelmeleri göz önüne alındığında, ünlü sayı dizisini aldı: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - her ay yeni tavşan çiftlerinin sayısını gösterir.
Fibonacci Dizisi ve Orantılı Oran
Bu serinin dikkate alınması gereken birkaç matematiksel nüansı vardır. Daha yavaş ve daha yavaş (asimptotik olarak) yaklaşan, belirli bir orantılı ilişkiye eğilimlidir. Ama mantıksız. Başka bir deyişle, kesirli kısımda öngörülemeyen ve sonsuz bir ondalık sayı dizisine sahip bir sayıdır. Örneğin serinin herhangi bir elemanının oranı 1.618 rakamı civarında değişmekte, bazen onu geçmekte, bazen ona ulaşmaktadır. Bir sonraki benzetme ile 0,618'e yaklaşır. 1.618 sayısı ile ters orantılıdır. Elemanları bire bölersek 2.618 ve 0.382 elde ederiz. Zaten anladığınız gibi, onlar da ters orantılıdır. Ortaya çıkan sayılara Fibonacci oranları denir. Şimdi bu hesaplamaları neden yaptığımızı açıklayalım.
altın Oran
Çevremizdeki tüm nesneleri belirli kriterlere göre ayırt ederiz. Bunlardan biri biçimdir. Bazıları bizi daha çok çeker, bazıları daha az, bazıları ise hiç hoşlanmaz. Simetrik ve orantılı bir cismin insanda çok daha kolay algılandığı ve uyum ve güzellik duygusu uyandırdığı fark edilmiştir. Bütün bir görüntü her zaman birbiriyle belirli bir oranda olan farklı boyutlardaki parçaları içerir. Buradan Altın Oran denilen sorunun cevabı gelir. Bu kavram, doğada, bilimde, sanatta vb. bütün ve parçaların oranının mükemmelliği anlamına gelir. Matematiksel bir bakış açısıyla aşağıdaki örneği inceleyin. Herhangi bir uzunlukta bir parça alın ve küçük parça büyük parça ile, büyük parçanın toplamı (tüm parçanın uzunluğu) ile ilişkili olacak şekilde iki parçaya bölün. Öyleyse bir keselim ile bir boyutu için. bir parçası a 0.618'e eşit olacak, ikinci kısım b 0.382'ye eşit olduğu ortaya çıktı. Böylece Altın Oran'ın durumunu gözlemliyoruz. bölüm oranı c ile a 1.618'e eşittir. Ve parçaların ilişkisi c ve b- 2.618. Bizim bildiğimiz Fibonacci katsayılarını elde ederiz. Altın üçgen, altın dikdörtgen ve altın küboid aynı prensibe göre inşa edilmiştir. İnsan vücudu bölümlerinin orantılı oranının Altın Oran'a yakın olduğunu da belirtmekte fayda var.
Fibonacci dizisi her şeyin temeli midir?
Altın Bölüm teorisini ve İtalyan matematikçinin iyi bilinen serisini birleştirmeye çalışalım. İlk boyutun iki karesiyle başlayalım. Sonra üstüne ikinci boyuttan başka bir kare ekleyin. Kenar uzunluğu kendisinden önceki iki kenarın toplamına eşit olan aynı şeklin yanına çizelim. Benzer şekilde, beşinci boyutta bir kare çiziyoruz. Ve böylece sıkılıncaya kadar süresiz olarak devam edebilirsiniz. Ana şey, sonraki her karenin kenarının boyutunun önceki ikisinin kenarlarının toplamına eşit olmasıdır. Kenar uzunlukları Fibonacci sayıları olan bir dizi çokgen elde ederiz. Bu rakamlara Fibonacci dikdörtgenleri denir. Çokgenlerimizin köşelerinden düzgün bir çizgi çekelim ve ... Arşimet sarmalını elde edelim! Bu rakamın adımındaki artış, bildiğiniz gibi, her zaman tekdüzedir. Fantaziyi açarsanız, ortaya çıkan desen bir deniz tarağı kabuğu ile ilişkilendirilebilir. Buradan, Fibonacci dizisinin, çevreleyen dünyadaki elementlerin orantılı, uyumlu oranlarının temeli olduğu sonucuna varabiliriz.
Matematiksel dizi ve evren
Yakından bakarsanız, Arşimet sarmalı (açıkça bir yerde, ancak bir yerde örtülü) ve dolayısıyla Fibonacci ilkesi, bir kişiyi çevreleyen birçok tanıdık doğal elementte izlenebilir. Örneğin, aynı istiridye kabuğu, sıradan brokoli salkımları, ayçiçeği çiçeği, iğne yapraklı bir bitkinin konisi ve benzerleri. Daha ileriye bakarsak, sonsuz galaksilerde Fibonacci dizisini göreceğiz. Doğadan ilham alan ve onun formlarını benimseyen bir insan bile, yukarıda bahsedilen dizinin izlenebileceği nesneler yaratır. Altın Bölüm'ü hatırlamanın zamanı geldi. Fibonacci modeli ile birlikte bu teorinin ilkeleri izlenir. Fibonacci dizisinin, neredeyse aynı olan ancak başlangıcı olmayan ve sonsuz olan Altın Oran'ın daha mükemmel ve temel logaritmik dizisine uyum sağlamak için bir tür doğa testi olduğu bir versiyonu var. Doğanın modeli öyledir ki, yeni bir şey yaratmak için üzerine inşa edilecek kendi başlangıç noktasına sahip olmalıdır. Fibonacci serisinin ilk elemanlarının oranı, Altın Oran ilkelerinden uzaktır. Ancak, devam ettikçe, bu tutarsızlık daha fazla düzeltilir. Bir diziyi belirlemek için, birbirini takip eden üç öğesini bilmeniz gerekir. Altın dizi için iki tane yeterli. Hem aritmetik hem de geometrik bir ilerleme olduğu için.
Çözüm
Yine de, yukarıdakilere dayanarak, oldukça mantıklı sorular sorulabilir: "Bu sayılar nereden geldi? Onu ideal hale getirmeye çalışan tüm dünyanın cihazının bu yazarı kim? Her şey her zaman istediği gibi miydi? , başarısızlık neden oldu? Bundan sonra ne olacak?" Bir sorunun cevabını bularak, bir sonrakini alırsınız. Çözün - iki tane daha belirir. Onları çözersen, üç tane daha alırsın. Onlarla ilgilendikten sonra, çözülmemiş beş tane alacaksınız. Sonra sekiz, sonra on üç, yirmi bir, otuz dört, elli beş...
Pisa'lı Leonardo (lat. Leonardus Pisanus, İtalyan. Leonardo Pisano, 1170 civarı, Pisa - 1250 civarı, age) - ortaçağ Avrupa'nın ilk büyük matematikçisi. En çok Fibonacci olarak bilinir.
Daha fazlasını buradan okuyun: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%E8%E1%EE%ED%E0%F7%F7%E8
Da Vinci Şifresi filminden herkes tarafından bilinen Fibonacci dizisi, 13. yüzyılda daha çok Fibonacci olarak bilinen İtalyan matematikçi Pisa Leonardo tarafından bir bilmece olarak tanımlanan bir sayı dizisidir. Kısaca, bilmecenin özü:
Birisi, tavşanların doğası her ay bir çift tavşan başka bir çift üretecek şekildeyse, yıl boyunca kaç çift tavşan doğacağını bulmak için belirli bir kapalı alana bir çift tavşan yerleştirdi. yavru üretmek için iki aylık ulaştığında ortaya çıkar.
Fibonacci Dizisi ve Tavşanlar
Sonuç, aşağıdaki sayı dizisidir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, burada on iki ayın her birindeki tavşan çiftlerinin sayısı ile ayrılmış olarak gösterilir. virgül. Süresiz olarak devam ettirilebilir. Özü, her sonraki numaraönceki ikisinin toplamıdır.
Bu seri, üzerinde durulması gereken birkaç matematiksel özelliğe sahiptir. Asimptotik olarak (gittikçe daha yavaş yaklaşarak) sabit bir orana eğilimlidir. Bununla birlikte, bu oran irrasyoneldir, yani, kesirli kısımda sonsuz, öngörülemeyen bir ondalık basamak dizisine sahip bir sayıdır. Tam olarak ifade edilemez.
Yani serinin herhangi bir üyesinin bir öncekine oranı 1.618 sayısı civarında dalgalanıyor, bazen onu aşıyor, bazen ona ulaşmıyor. Bir sonrakine oran benzer şekilde 1,618 ile ters orantılı olan 0,618 sayısına yaklaşır. Elemanları bire bölersek, yine ters orantılı olan 2.618 ve 0.382 sayılarını elde ederiz. Bunlar sözde Fibonacci oranlarıdır.
Bütün bunlar neden?
Böylece doğanın en gizemli fenomenlerinden birine yaklaşıyoruz. Aslında anlayışlı Leonardo, yeni bir şey keşfetmedi, dünyaya Altın Bölüm gibi Pisagor teoreminin öneminden daha düşük olmayan bir fenomeni hatırlattı.
Çevremizdeki tüm nesneleri biçim de dahil olmak üzere ayırt ederiz. Kimisini daha çok kimisini daha az severiz, kimisini ise tamamen iter. Bazen ilgi dikte edilebilir yaşam durumu ve bazen gözlenen nesnenin güzelliği. Simetrik ve orantılı şekil, en iyiye katkıda bulunur görsel algı ve bir güzellik ve uyum duygusu uyandırır. Bütünsel bir görüntü her zaman birbirleriyle ve bütünle belirli bir ilişki içinde olan farklı boyutlardaki parçalardan oluşur. Altın oran, bilimde, sanatta ve doğada bütünün ve parçalarının mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür.
eğer açıksa basit örnek, o zaman Altın Bölüm, büyük parçanın küçük olanla, bunların toplamının (tüm parçanın) daha büyük olanla ilişkili olduğu bir oranda parçanın iki parçaya bölünmesidir.
Altın Bölüm - Kes
C segmentinin tamamını 1 olarak alırsak, a segmenti 0,618, segment b - 0,382'ye eşit olacaktır, ancak bu şekilde Altın Kesit koşulu karşılanacaktır (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). c'nin a'ya oranı 1.618 ve c'nin b'ye oranı 2.618'dir. Bunların hepsi aynı, bize zaten tanıdık gelen Fibonacci katsayıları.
Tabii ki, bir altın dikdörtgen, bir altın üçgen ve hatta bir altın küboid var. İnsan vücudunun oranları birçok açıdan Altın Bölüme yakındır.
Altın Oran ve İnsan Vücudu 
Resim: marcus-frings.de
Fibonacci Dizisi - Animasyon 
Ancak en ilginç olanı, kazanılan bilgileri birleştirdiğimizde başlar. Şekil, Fibonacci dizisi ile Altın Oran arasındaki ilişkiyi açıkça göstermektedir. İlk boyutun iki karesiyle başlıyoruz. Yukarıdan ikinci boyutta bir kare ekliyoruz. Kenarı önceki ikisinin, üçüncü boyutun kenarlarının toplamına eşit olan bir karenin yanında boyarız. Benzetme yoluyla, beşinci boyutta bir kare belirir. Ve böylece sıkılıncaya kadar, asıl mesele, sonraki her karenin kenar uzunluğunun, önceki iki karenin kenarlarının toplamına eşit olmasıdır. Kenar uzunlukları Fibonacci sayıları olan bir dizi dikdörtgen görüyoruz ve garip bir şekilde bunlara Fibonacci dikdörtgenleri deniyor.
Karelerimizin köşelerinden düz bir çizgi çekersek, perdesindeki artış her zaman aynı olan bir Arşimet sarmalından başka bir şey elde etmeyiz.
Fibonacci sarmalı 
Sana bir şey hatırlatmıyor mu?
Fotoğraf kredisi: Flickr'da ethanhein
Ve Arşimet'in spirallerini sadece yumuşakça kabuğunda değil, birçok çiçek ve bitkide de bulabilirsiniz, onlar çok açık değildir.
Aloe çok yapraklı: 
Fotoğraf: Flickr'daki brewbook'lar
Brokoli Romanesko: 
Fotoğraf: beart.org.uk
Ayçiçeği: 
Fotoğraf: Flickr'da esdrascalderan
Çam kozalağı: 
Fotoğraf: Flickr'da manj98
Ve sonra Altın Bölüm'ü hatırlamanın zamanı geldi! Bu fotoğraflarda doğanın en güzel ve uyumlu yaratımlarından herhangi biri tasvir ediliyor mu? Ve hepsi bu değil. Yakından baktığınızda, birçok formda benzer desenler bulabilirsiniz.
Tabii ki, tüm bu fenomenlerin Fibonacci dizisi üzerine kurulduğu ifadesi kulağa çok yüksek geliyor, ancak eğilim ortada. Ayrıca, bu dünyadaki her şey gibi, kendisi de mükemmel olmaktan uzaktır.
Fibonacci serisinin doğası gereği daha temel ve mükemmel bir altın kesitli logaritmik diziye uyum sağlama girişimi olduğuna dair spekülasyonlar var, ki bu neredeyse aynı, hiçbir yerden başlayıp hiçbir yere gitmiyor. Öte yandan doğa, kesinlikle bir tür bütünsel başlangıca ihtiyaç duyar, oradan itilebilir, yoktan bir şey yaratamaz. Fibonacci dizisinin ilk üyelerinin oranları Altın Bölümden uzaktır. Ama onun üzerinde ne kadar ilerlersek, bu sapmalar o kadar düzelir. Herhangi bir diziyi belirlemek için, üç üyesini birbiri ardına takip etmek yeterlidir. Ama altın dizi için değil, onun için iki tane yeterli, geometrik ve aritmetik ilerleme eşzamanlı. Bunun diğer tüm dizilerin temeli olduğunu düşünebilirsiniz.
Altın logaritmik dizinin her bir üyesi Altın Oranın (z) bir derecesidir. Satırın bir kısmı şuna benzer: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Altın Oran'ın değerini üç ondalık basamağa yuvarlarsak, z=1.618 elde ederiz, o zaman seri şöyle görünür: ... 0.090 0.146; 0.236; 0,382; 0.618; 1; 1.618; 2.618; 4.236; 6.854; 11.090 ... Her bir sonraki terim, sadece bir öncekinin 1.618 ile çarpılmasıyla değil, önceki iki terimin eklenmesiyle de elde edilebilir. Böylece, sadece iki komşu eleman eklenerek üstel büyüme elde edilir. Bu, başı ve sonu olmayan bir dizidir ve Fibonacci dizisi de tam olarak buna benzemeye çalışır. İyi tanımlanmış bir başlangıca sahip olarak, ideale ulaşmaya çalışır, asla ona ulaşmaz. Bu hayat.
Yine de, görülen ve okunan her şeyle bağlantılı olarak, oldukça doğal sorular ortaya çıkıyor:
Bu rakamlar nereden geldi? Onu mükemmelleştirmeye çalışan bu evrenin mimarı kim? Hiç istediği gibi oldu mu? Ve eğer öyleyse, neden başarısız oldu? Mutasyonlar? Serbest seçim? Sırada ne olacak? Bobin bükülüyor mu yoksa bükülmüyor mu?
Bir sorunun cevabını bularak, bir sonrakini alırsınız. Çözerseniz, iki yenisini alırsınız. Onlarla ilgilen, üç tane daha görünecek. Onları çözdükten sonra, çözülmemiş beş tane alacaksınız. Sonra sekiz, sonra on üç, 21, 34, 55...
Merhaba sevgili okuyucular!
Altın oran - bu nedir? Fibonacci sayıları? Makalede - bu soruların cevapları çoklu ve net, basit terimlerle.
Bu sorular birkaç bin yıldır giderek daha fazla yeni neslin zihnini meşgul ediyor! Matematiğin sıkıcı değil, heyecan verici, ilginç, büyüleyici olabileceği ortaya çıktı!
Diğer faydalı makaleler:Fibonacci sayıları - nedir bu?
Çarpıcı gerçek şu ki sayısal dizinin sonraki her numarasını bir öncekine bölerken sonuç 1,618'e doğru giden bir sayıdır.
Bu gizemli diziyi şanslı buldum orta çağ matematikçisi Leonardo of Pisa (daha çok Fibonacci olarak bilinir). Ondan önce Leonardo da Vinci insan, bitki ve hayvanların vücudunun yapısında şaşırtıcı derecede tekrar eden bir oran keşfettiler. fi = 1,618. Bu sayı (1.61) bilim adamları tarafından "Tanrı'nın Sayısı" olarak da adlandırılmaktadır.
Leonardo da Vinci'den önce, bu sayı dizisi eskiden beri biliniyordu. Eski Hindistan ve Eski Mısır. Mısır piramitleri oranlar kullanılarak oluşturulmuş fi = 1.618.
Ama hepsi bu değil, ortaya çıkıyor. dünyanın ve uzayın doğa yasaları açıklanamaz bir şekilde katı matematiksel yasalara uymak fidonacci sayı dizileri.
Örneğin, hem Dünya'daki bir kabuk hem de Uzaydaki bir galaksi, Fibonacci sayıları kullanılarak inşa edilmiştir. Çiçeklerin büyük çoğunluğunun 5, 8, 13 taç yaprağı vardır. Ayçiçeklerinde, bitki gövdelerinde, dönen bulutlarda, girdaplarda ve hatta Forex döviz kuru çizelgelerinde Fibonacci sayıları her yerdedir.
Bu KISA VİDEO'da (6 dakika) Fibonacci dizisi ve Altın Oran'ın ne olduğuna dair basit ve eğlenceli bir açıklama izleyin:
Altın Oran veya İlahi Oran nedir?
Peki Altın Oran veya Altın Oran veya İlahi Oran nedir? Fibonacci ayrıca diziyi keşfetti Fibonacci sayılarının karelerinden oluşur daha da gizemlidir. Hadi deneyelim diziyi bir alan olarak grafiksel olarak temsil eder:
1², 2², 3², 5², 8²…
Fibonacci sayılarının bir dizi karesinin grafik temsiline bir spiral yazarsak, bitkiler, hayvanlar, DNA sarmalı, insan dahil olmak üzere evrendeki her şeyin inşa edildiği kurallara göre Altın Oran elde ederiz. body, ... Bu liste süresiz olarak devam ettirilebilir.
Doğadaki altın oran ve Fibonacci sayıları VİDEO
Altın Oran'ın bazı sırlarını açığa çıkaran kısa bir film (7 dakikalık) izlemenizi öneririm. Fibonacci sayıları yasasını, yaşamı ve yaşamı yöneten en önemli yasa olarak düşünürken, cansız doğa, soru ortaya çıkıyor: Makrokozmos ve mikrokozmos için bu ideal formül kendi kendine mi ortaya çıktı yoksa biri onu yaratıp başarıyla uyguladı mı?
Bunun hakkında ne düşünüyorsun? Gelin bu bilmeceyi birlikte düşünelim ve belki biraz daha yaklaşırız.
Umarım makale sizin için yararlı olmuştur ve öğrenmişsinizdir. Altın Oran *ve Fibonacci sayıları nedir? Blog sayfalarında tekrar buluşana kadar, bloga abone olun. Abonelik formu makalenin altındadır.
Uygulamaları için hepinize birçok yeni fikir ve ilham diliyorum!
Bu uyum ölçeğinde dikkat çekicidir...
Merhaba arkadaşlar!
İlahi Uyum veya Altın Oran hakkında bir şey duydunuz mu? Bir şeyin bize neden mükemmel ve güzel göründüğünü ama bir şeyin itici olduğunu hiç düşündünüz mü?
Değilse, o zaman bu makaleye başarıyla ulaştınız, çünkü içinde altın oranı tartışacağız, ne olduğunu, doğada ve insanda nasıl göründüğünü öğreneceğiz. İlkeleri hakkında konuşalım, Fibonacci serisinin ne olduğunu ve altın dikdörtgen ve altın spiral kavramı dahil çok daha fazlasını öğrenelim.
Evet, bir sürü resim, formül var yazıda, sonuçta altın oran da matematik. Ama her şey yeterince açıklanmış sade dil, Açıkça. Ayrıca yazının sonunda herkesin kedileri neden bu kadar çok sevdiğini öğreneceksiniz =)
Altın oran nedir?
Basit bir şekilde, o zaman altın oran, uyum yaratan belirli bir orantı kuralı mı?. Yani, bu oranların kurallarını ihlal etmezsek, çok uyumlu bir kompozisyon elde ederiz.
Altın oranın en kapsamlı tanımı, daha büyük olanın bütünle olduğu gibi, daha küçük olanın da daha büyük olanla ilişkili olduğunu söyler.
Ancak bunun dışında altın oran matematiktir: belirli bir formülü ve belirli bir numarası vardır. Birçok matematikçi, genel olarak, onu ilahi uyumun bir formülü olarak görür ve buna "asimetrik simetri" adını verir.
Altın oran, o zamandan beri çağdaşlarımıza ulaştı. Antik Yunan Bununla birlikte, Yunanlıların kendilerinin Mısırlılar arasında altın oranı zaten gözetlediklerine dair bir görüş var. Çünkü birçok sanat eseri Antik Mısır açıkça bu oranın kanonlarına göre inşa edilmiştir.
Altın bölüm kavramını ilk ortaya atan kişinin Pisagor olduğuna inanılıyor. Öklid'in eserleri günümüze kadar gelmiştir (altın bölümü kullanarak düzenli beşgenler inşa etmiştir, bu nedenle böyle bir beşgene “altın” denir) ve altın bölümün numarası antik Yunan mimar Phidias'ın adını almıştır. Yani, bu bizim "phi" sayımızdır (Yunanca φ harfi ile gösterilir) ve 1,6180339887498948482'ye eşittir ... Doğal olarak, bu değer yuvarlanır: φ \u003d 1.618 veya φ \u003d 1.62 ve yüzde cinsinden , altın kısım %62 ve %38 gibi görünüyor.
Bu oranın benzersizliği nedir (ve inanın bana var)? Önce bir segment örneğini anlamaya çalışalım. Böylece, bir parçayı alırız ve onu küçük parçası büyük olanla, büyük parça bütünle ilişkili olacak şekilde eşit olmayan parçalara böleriz. Anlıyorum, neyin ne olduğu henüz çok net değil, segment örneğini kullanarak daha net bir şekilde açıklamaya çalışacağım:
Böylece, bir doğru parçası alıyoruz ve onu ikiye bölüyoruz, böylece daha küçük olan a parçası daha büyük b parçasına atıfta bulunuyor, tıpkı b parçasının bütünü, yani tüm doğruyu (a + b) ifade etmesi gibi. Matematiksel olarak şöyle görünür:
Bu kural süresiz olarak çalışır, bölümleri istediğiniz kadar bölebilirsiniz. Ve ne kadar kolay olduğunu görün. Ana şey bir kez anlamaktır ve o kadar.
Ama şimdi daha yakından bakalım karmaşık örnek altın oran aynı zamanda altın bir dikdörtgen olarak temsil edildiğinden (en boy oranı φ \u003d 1,62 olan) çok sık karşılaşılan . Bu çok ilginç bir dikdörtgen: ondan bir kareyi “kesersek” yine altın bir dikdörtgen elde ederiz. Ve böylece sonsuz kez. Görmek:
Ama içinde formüller olmasaydı matematik matematik olmazdı. Yani arkadaşlar şimdi biraz "acı" olacak. Altın oranın çözümünü spoiler altına sakladım, bir sürü formül var ama onlarsız da yazıdan ayrılmak istemiyorum.
Fibonacci serisi ve altın oran
Matematiğin büyüsünü ve altın oranı yaratmaya ve gözlemlemeye devam ediyoruz. Orta Çağ'da böyle bir arkadaş vardı - Fibonacci (veya Fibonacci, her yerde farklı yazıyorlar). Matematiği ve problemleri severdi, tavşanların üremesiyle de ilginç bir sorunu vardı =) Ama konu bu değil. Bir sayı dizisi keşfetti, içindeki sayılara "Fibonacci sayıları" denir.
Dizinin kendisi şöyle görünür:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... ve sonsuza kadar böyle devam eder.
Kelimelerle, Fibonacci dizisi, sonraki her bir sayının önceki ikisinin toplamına eşit olduğu böyle bir sayı dizisidir.
Peki ya altın oran? Şimdi göreceksin.
Fibonacci sarmalı
Fibonacci sayı serisi ile altın oran arasındaki tüm bağlantıyı görmek ve hissetmek için formüllere tekrar bakmanız gerekir.
Yani Fibonacci dizisinin 9. üyesinden itibaren altın oranın değerlerini almaya başlıyoruz. Ve bu resmin tamamını görselleştirirsek, Fibonacci dizisinin nasıl altın dikdörtgene daha yakın dikdörtgenler oluşturduğunu göreceğiz. İşte böyle bir bağlantı.
Şimdi Fibonacci sarmalından bahsedelim, buna "altın sarmal" da denir.
Altın spiral, büyüme faktörü φ4 olan logaritmik bir spiraldir, burada φ altın orandır.
Genel olarak, matematik açısından altın oran ideal bir orandır. Ama onun mucizeleri daha yeni başlıyor. Neredeyse tüm dünya altın bölümün ilkelerine tabidir, bu oran doğanın kendisi tarafından yaratılmıştır. Ezoteristler ve onlar bile onda sayısal bir güç görüyorlar. Ancak bu makalede kesinlikle bunun hakkında konuşmayacağız, bu nedenle hiçbir şeyi kaçırmamak için site güncellemelerine abone olabilirsiniz.
Doğada, insanda, sanatta altın oran
Başlamadan önce, bir dizi yanlışlığı açıklığa kavuşturmak istiyorum. İlk olarak, bu bağlamda altın oranın tanımı tamamen doğru değildir. Gerçek şu ki, "kesit" kavramının kendisi, her zaman bir düzlemi ifade eden, ancak bir Fibonacci sayıları dizisini değil, geometrik bir terimdir.
Ve ikinci olarak, sayı serisi ve birinin diğerine oranı, elbette, şüpheli görünen her şeyi koyabileceğiniz ve kibrit olduğunda çok mutlu olabileceğiniz bir tür şablon haline getirildi, ama yine de, sağduyu kaybetmeye değmez.
Ancak, "krallığımızda her şey karıştı" ve biri diğeriyle eş anlamlı hale geldi. Yani genel olarak, bunun anlamı kaybolmaz. Ve şimdi iş başına.
Şaşıracaksınız ama altın oran daha doğrusu ona mümkün olduğunca yakın oranlar aynada bile hemen her yerde görülebilir. İnanmıyor musun? Bununla başlayalım.
Biliyor musun, ben çizmeyi öğrenirken, bize bir insanın yüzünü, vücudunu vs. yapmanın ne kadar kolay olduğunu anlattılar. Her şey başka bir şeye göre hesaplanmalıdır.
Her şey, kesinlikle her şey orantılıdır: kemikler, parmaklarımız, avuçlarımız, yüzdeki mesafeler, uzatılmış kolların vücuda göre olan mesafesi vb. Ama hepsi bu bile değil iç yapı organizmamızın kendisi bile, altın bölüm formülüyle eşittir veya neredeyse eşittir. İşte mesafeler ve oranlar:
omuzlardan tepeye ve kafa boyutuna = 1:1.618
göbekten taca, omuzlardan taca segmente = 1: 1.618
göbekten dizlere ve dizlerden ayaklara kadar = 1:1.618
çeneden uç noktaüst dudak ve ondan buruna = 1:1.618
Bu harika değil mi!? Uyum en saf haliyle, hem içeride hem dışarıda. Ve bu nedenle, bilinçaltı bir düzeyde, güçlü bir vücuda, kadife tene, güzel saçlara, gözlere vb. sahip olsalar bile bazı insanlar bize güzel görünmezler. Ancak, yine de, vücudun oranlarının en ufak bir ihlali ve görünüm zaten hafifçe “gözleri kesiyor”.
Kısacası, bir insan bize ne kadar güzel görünüyorsa, oranları ideale o kadar yakındır. Ve bu arada, sadece insan vücuduna atfedilemez.
Doğadaki altın oran ve fenomenleri
Doğadaki altın oranın klasik bir örneği, yumuşakça Nautilus pompilius'un kabuğu ve ammonittir. Ancak hepsi bu kadar değil, daha birçok örnek var:
insan kulağının kıvrımlarında görebiliyoruz altın sarmal;
galaksilerin etrafında döndüğü spirallerde kendi (veya ona yakın);
ve DNA molekülünde;
bir ayçiçeğinin merkezi Fibonacci dizisi boyunca düzenlenmiştir, koniler, çiçeklerin ortası, ananas ve daha birçok meyve büyür.
Arkadaşlar o kadar çok örnek var ki yazıyı fazla yazıya boğmamak için videoyu (biraz aşağıda) buraya bırakıyorum. Çünkü bu konuyu kazarsanız, böyle bir ormana dalabilirsiniz: eski Yunanlılar bile Evrenin ve genel olarak tüm uzayın altın bölüm ilkesine göre planlandığını kanıtladı.
Şaşıracaksınız, ancak bu kurallar seste bile bulunabilir. Görmek:
Kulaklarımızda ağrı ve rahatsızlığa neden olan sesin en yüksek noktası 130 desibeldir.
130 oranını altın oran φ = 1,62'ye böleriz ve 80 desibel elde ederiz - bir insan çığlığının sesi.
Orantılı olarak bölmeye devam ediyoruz ve diyelim ki normal hacim insan konuşması: 80 / φ = 50 desibel.
Eh, formül sayesinde elde ettiğimiz son ses, bir fısıltı = 2.618'in hoş sesidir.
Bu prensibe göre optimum-rahat, minimum ve maksimum sıcaklık, basınç, nem sayılarını belirlemek mümkündür. Kontrol etmedim ve bu teorinin ne kadar doğru olduğunu bilmiyorum, ama görüyorsunuz, kulağa etkileyici geliyor.
Kesinlikle yaşayan ve yaşamayan her şeyde en yüksek güzelliği ve uyumu okuyabilirsiniz.
Ana şey, onunla kapılmamaktır, çünkü bir şeyde bir şey görmek istersek, orada olmasa bile onu görürüz. Örneğin PS4'ün tasarımına dikkat çektim ve orada altın oranı gördüm =) Ancak bu konsol o kadar havalı ki tasarımcı gerçekten bu konuda zeki olsa şaşırmam.
Sanatta altın oran
Aynı zamanda çok geniş ve kapsamlı bir konudur, ayrıca ele alınması gerekir. Burada sadece birkaç temel noktayı vurgulayacağım. En dikkat çekici şey, birçok sanat eserinin ve antik çağın mimari şaheserlerinin (sadece değil) altın bölümün ilkelerine göre yapılmış olmasıdır.
Mısır ve Maya piramitleri, Notre Dame de Paris, Yunan Parthenon vb.
Mozart, Chopin, Schubert, Bach ve diğerlerinin müzik eserlerinde.
Resimde (orada açıkça görülüyor): ünlü sanatçıların en ünlü tablolarının tümü altın bölümün kuralları dikkate alınarak yapılmıştır.
Bu ilkeler Puşkin'in şiirlerinde ve güzel Nefertiti'nin büstünde bulunabilir.
Şimdi bile, örneğin fotoğrafçılıkta altın oran kuralları kullanılmaktadır. Tabii ki, sinematografi ve tasarım da dahil olmak üzere diğer tüm sanatlarda.
Fibonacci altın kedileri
Ve son olarak, kediler hakkında! Herkesin kedileri neden bu kadar çok sevdiğini hiç merak ettiniz mi? İnterneti ele geçirdiler! Kediler her yerdeler ve bu harika =)
Ve mesele şu ki, kediler mükemmel! İnanmıyor musun? Şimdi size matematiksel olarak kanıtlayacağım!
Görmek? Sırrı ortaya çıkıyor! Kedi yavruları matematik, doğa ve evren açısından mükemmeldir =)
* Şaka yapıyorum tabii. Hayır, kediler gerçekten ideal) Ama kimse onları matematiksel olarak ölçmedi sanırım.
Bu konuda, genel olarak, her şey arkadaşlar! Sonraki yazılarda görüşürüz. Sana iyi şanslar!
not Medium.com'dan alınan görseller.