İkinin lineer bağımlılığı için gerekli ve yeterli bir koşul
vektörler onların doğrusallığıdır.
2. skaler ürün- sonucu koordinat sistemine bağlı olmayan ve çarpan vektörlerinin uzunluklarını ve aralarındaki açıyı karakterize eden bir skaler (sayı) olan iki vektör üzerinde bir işlem. Bu işlem çarpma işlemine karşılık gelir. uzunluk verilen vektör x projeksiyon verilen x vektörüne başka bir y vektörü. Bu işlem genellikle her faktörde değişmeli ve doğrusal olarak görülür.
Nokta ürün özellikleri:
3. Üç vektör (veya daha fazla) denir aynı düzlemde eğer ortak bir kökene indirgenmişlerse, aynı düzlemde bulunurlar.
Üç vektörün lineer bağımlılığı için gerekli ve yeterli bir koşul, onların eş düzlemlilikleridir.Her dört vektör lineer olarak bağımlıdır. uzayda temel düzlemsel olmayan vektörlerin herhangi bir sıralı üçlüsüne denir. Uzayda bir temel, her vektörle sıralı bir sayı üçlüsünü - bu vektörün temsilinin katsayılarını, temelin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonunda açıkça ilişkilendirmeye izin verir. Aksine, bir taban yardımıyla, lineer bir kombinasyon yaparsak, sıralı her sayı üçlüsü ile bir vektörü ilişkilendiririz.Ortogonal tabana ortogonal taban denir. ortonormal , vektörlerinin uzunluğu bire eşitse. Uzayda bir ortonormal taban için, notasyon sıklıkla kullanılır. teorem: Bir ortonormal temelde, vektörlerin koordinatları, bu vektörün koordinat vektörlerinin yönlerine karşılık gelen ortogonal izdüşümleridir. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü a, b, c isminde Sağ, eğer ortak kökenlerinden gözlemci vektörlerin uçlarını atlarsa a, b, c bu sırayla saat yönünde ilerliyor gibi görünüyor. Aksi durumda a, b, c - sol üçlü. Vektörlerin tüm sağ (veya sol) üçlülerine denir eşit odaklı. Bir düzlemde dikdörtgen koordinat sistemi, birbirine dik iki koordinat ekseninden oluşur. ÖKÜZ ve OY. Koordinat eksenleri bir noktada kesişiyor Ö orijin olarak adlandırılan , her eksenin pozitif bir yönü vardır. AT sağ el koordinat sistemi, eksenlerin pozitif yönü, eksenin yönü ile olacak şekilde seçilir. OY yukarı, eksen ÖKÜZ sağa baktı.
Koordinat eksenlerinin oluşturduğu dört açı (I, II, III, IV) X"X ve Y"Y, koordinat açıları olarak adlandırılır veya kadranlar(bkz. şekil 1).
vektörler ve düzlemde ortonormal bir tabana göre koordinatları varsa ve sırasıyla, skaler ürün bu vektörlerin formülü ile hesaplanır
4. İki vektör a ve b vektörünün çarpımı onlar üzerinde, yalnızca üç boyutlu uzayda tanımlanan, sonucu olan bir işlemdir. vektör Takip ederek
özellikleri:
Vektörlerin çapraz ürününün geometrik anlamı, vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanıdır. Sıfırdan farklı bir vektör ile bir vektörün eşdoğrusallığı için gerekli ve yeterli koşul, eşitliği sağlayan bir sayının varlığıdır.
İki vektör ve dikdörtgen Kartezyen koordinatlarıyla tanımlanmışsa veya daha kesin olarak, vortonormalleştirilmiş bir temelde temsil edilirler.
ve koordinat sistemi doğruysa, vektör çarpımı şu şekildedir:
Bu formülü hatırlamak için determinantı kullanmak uygundur:
5. karışık ürün vektörler - bir vektörün skaler çarpımı ve vektörlerin çapraz çarpımı ve :
Bazen denir üçlü skaler ürün vektörler, görünüşe göre sonucun bir skaler (daha doğrusu, bir psödoskaler) olması gerçeğinden dolayı.
geometrik anlamda: Karışık ürünün modülü, vektörler tarafından oluşturulan paralel yüzün hacmine sayısal olarak eşittir.
İki faktörü değiştirerek karışık ürün işareti tersine çevirir:
Faktörlerin döngüsel (dairesel) bir permütasyonu ile karışık ürün değişmez:
Karışık ürün herhangi bir faktörde doğrusaldır.
Karışık ürün, ancak ve ancak vektörler eş düzlemliyse sıfırdır.
1. Vektörler için benzerlik koşulu: üç vektör, ancak ve ancak karışık çarpımları sıfır ise eş düzlemlidir.
§ Bir çift eşdoğrusal vektör içeren vektörlerin üçlüsü eş düzlemlidir.
§ Eş düzlemli vektörlerin karışık çarpımı. Bu, üç vektörün eş düzlemliliği için bir kriterdir.
§ Eş düzlemli vektörler lineer bağımlıdır. Bu aynı zamanda eş düzlemlilik için bir kriterdir.
§ Eş düzlemli için veya dışında gerçek sayılar vardır. Bu, önceki özelliğin yeniden formüle edilmesidir ve aynı zamanda bir eşdüzlemlilik kriteridir.
§ 3 boyutlu bir uzayda, aynı düzlemde olmayan 3 vektör bir taban oluşturur. Yani, herhangi bir vektör şu şekilde temsil edilebilir: . Daha sonra verilen bazda koordinatlar olacaktır.
Sağ Kartezyen koordinat sistemindeki (ortonormal temelde) karışık ürün, vektörlerden oluşan matrisin determinantına eşittir ve:
§6. Düzlemin genel denklemi (tam)
burada ve sabittir ve aynı anda sıfıra eşit değildir; vektör biçiminde:
noktanın yarıçap vektörü nerede, vektör düzleme diktir (normal vektör). yön kosinüsleri vektör:
Düzlem denklemindeki katsayılardan biri sıfır ise denklem denir. eksik. Düzlem koordinatların orijinden geçtiğinde, (veya , ) P. eksene paralel olduğunda (sırasıyla veya ). ( , veya ) için, düzlem düzleme paraleldir (veya sırasıyla).
§ Segmentlerde bir düzlemin denklemi:
nerede , , düzlem tarafından eksenler üzerinde kesilen parçalar ve .
§ Bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi normal vektöre dik :
vektör biçiminde:
(vektörlerin karışık çarpımı), aksi halde
§ Normal (normalleştirilmiş) düzlem denklemi
§ İki düzlem arasındaki açı. P. denklemleri (1) şeklinde verilirse, o zaman
Vektör biçiminde ise, o zaman
§ Uçaklar paralel, Eğer
Veya (Vektör Çarpımı)
§ Uçaklar dik, Eğer
Veya . (skaler çarpım)
7. Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi , aynı çizgide yatmamak:
8. Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bu nokta ile düzlemin noktaları arasındaki mesafelerin en küçüğüdür. Bir noktadan bir düzleme olan uzaklığın, bu noktadan düzleme bırakılan dikmenin uzunluğuna eşit olduğu bilinmektedir.
§ Nokta Sapması normalleştirilmiş denklem tarafından verilen düzlemden
Eğer ve orijin düzlemin zıt taraflarında bulunuyorsa, aksi halde . Bir noktadan bir düzleme olan uzaklık,
§ Denklemde verilen noktadan düzleme olan uzaklık şu formülle hesaplanır:
9. Uçak demeti- iki düzlemin kesişme çizgisinden geçen herhangi bir P'nin denklemi
burada α ve β aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılardır.
Verdikleri üç uçak için genel denklemler A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 PDSC'ye göre, içsel veya dışsal aynı ışına aitse, matrisin sıralamasının iki veya bire eşit olması gerekli ve yeterlidir.
Teorem 2. İki π 1 ve π 2 düzlemi, genel denklemleriyle PDSC'ye göre verilsin: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D2 = 0. PDSC'ye göre A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 genel denklemiyle verilen π 3 düzleminin π 1 ve π 2 düzlemlerinin oluşturduğu kirişe ait olması için, π 3 düzleminin denkleminin sol tarafının, π 1 ve π 2 düzlemlerinin denklemlerinin sol kısımlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilmesi gerekli ve yeterlidir.
10.Düz bir çizginin vektör parametrik denklemi boşlukta:
sabit bir noktanın yarıçap vektörü nerede M 0, düz bir çizgi üzerinde uzanan, bu düz çizgiyle aynı çizgide olan sıfır olmayan bir vektördür, düz çizgi üzerindeki rastgele bir noktanın yarıçap vektörüdür.
Düz bir çizginin parametrik denklemi boşlukta:
M
kanonik denklem Düz boşlukta:
bazı sabit noktaların koordinatları nerede M 0 düz bir çizgide uzanmak; - bu doğruya paralel olan bir vektörün koordinatları.
Düz bir çizginin genel vektör denklemi boşlukta:
Doğru, genel denklemlerle sırasıyla verilen iki farklı paralel olmayan düzlemin kesişimi olduğundan:
o zaman düz bir çizginin denklemi, bu denklemlerden oluşan bir sistemle verilebilir:
Yön vektörleri ve arasındaki açı, çizgiler arasındaki açıya eşit olacaktır. Vektörler arasındaki açı, skaler ürün kullanılarak bulunur. cosA=(ab)/IaI*IbI
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı şu formülle bulunur:
burada (A; B; C;) düzlemin normal vektörünün koordinatlarıdır
(l;m;n;) düz çizginin vektör koordinatlarını yönlendirme
İki çizginin paralelliği için koşullar:
a) Doğrular denklem (4) ile eğimli olarak verilmişse, gerekli ve yeterli koşul paralellikleri açısal katsayılarının eşitliğinden oluşur:
k 1 = k 2 . (8)
b) Doğruların denklemlerle verildiği durumda Genel görünüm(6), paralellikleri için gerekli ve yeterli koşul, denklemlerinde karşılık gelen akım koordinatlarındaki katsayıların orantılı olmasıdır, yani.
İki çizginin dikliği için koşullar:
a) Doğruların denklem (4) ile eğimli olarak verilmesi durumunda, diklikleri için gerekli ve yeterli koşul, eğimlerinin büyüklük olarak karşılıklı ve işaret olarak zıt olmasıdır, yani.
b) Doğruların denklemleri genel (6) şeklinde verilmişse, dikliklerinin (gerekli ve yeterli) şartı eşitliği sağlamaktır.
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
Doğrudan aradı düzleme dik o düzlemdeki herhangi bir doğruya dik ise. Bir doğru, bir düzlemin kesişen iki doğrusunun her birine dik ise, o düzleme de diktir. Bir doğrunun ve bir düzlemin paralel olabilmesi için düzleme normal vektörünün ve doğrunun yönlendirici vektörünün dik olması gerekli ve yeterlidir. Bunun için skaler çarpımlarının sıfıra eşit olması gerekir.
Bir doğrunun ve bir düzlemin dik olması için, düzleme normal vektörün ve doğrunun yönlendirici vektörünün eşdoğrusal olması gerekli ve yeterlidir. Bu vektörlerin çapraz çarpımı sıfıra eşitse bu koşul sağlanır.
12. Uzayda, parametrik bir denklem tarafından verilen bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe
minimum uzaklık olarak bulunabilir. verilen noktaçizgi üzerinde rastgele bir noktaya. katsayı t bu nokta formülle bulunabilir
Kesişen çizgiler arasındaki mesafe ortak diklerinin uzunluğudur. Bu doğrulardan geçen paralel düzlemler arasındaki mesafeye eşittir.
Aşağıda, doğrusal bağımlılık ve buna bağlı olarak vektör sistemlerinin doğrusal bağımsızlığı için çeşitli kriterler verilmektedir.
Teorem. (Vektörlerin lineer bağımlılığı için gerekli ve yeterli bir koşul.)
Bir vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesi durumunda bağımlıdır.
Kanıt. İhtiyaç. Sistemin lineer bağımlı olmasına izin verin. Daha sonra, tanım gereği, boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder, yani. sıfır vektörüne eşit olan bu vektörler sisteminin önemsiz olmayan bir kombinasyonu vardır:
burada bu lineer kombinasyonun katsayılarından en az biri sıfıra eşit değildir. İzin vermek , .
Önceki eşitliğin her iki bölümünü de bu sıfır olmayan katsayıya bölün (yani şuyla çarpın:
Belirtin: , nerede .
onlar. sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir, vb.
yeterlilik. Sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilsin:
Vektörü bu eşitliğin sağına kaydıralım:
Vektörün katsayısı olduğu için, vektörler sistemi tarafından önemsiz olmayan bir sıfır temsiline sahibiz, bu da bu vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir, vb.
Teorem kanıtlanmıştır.
Sonuç.
1. Bir vektör uzayındaki vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden hiçbiri bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmemişse, doğrusal olarak bağımsızdır.
2. Bir veya iki sıfır vektör içeren bir vektörler sistemi eşit vektör, lineer bağımlıdır.
Kanıt.
1) Gereklilik. Sistemin lineer bağımsız olmasına izin verin. Bunun tersini varsayalım ve bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla lineer olarak ifade edilen bir sistem vektörü var. O zaman, teoreme göre sistem lineer bağımlıdır ve bir çelişkiye ulaşırız.
yeterlilik. Sistemin vektörlerinden hiçbirinin diğerleri cinsinden ifade edilmesine izin vermeyin. Tam tersini varsayalım. Sistemin lineer olarak bağımlı olmasına izin verin, ancak teoremden, bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla lineer olarak ifade edilen bir sistem vektörü olduğu sonucu çıkar ve yine bir çelişkiye geliriz.
2a) Sistemin bir sıfır vektörü içermesine izin verin. Kesinlik için vektörün :. Daha sonra eşitlik
onlar. sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden, böyle bir vektör sisteminin lineer olarak bağımlı olduğu sonucu çıkar.
Bu gerçeğin, doğrusal olarak bağımlı bir vektör sisteminden doğrudan kanıtlanabileceğini unutmayın.
olduğundan, aşağıdaki eşitlik açıktır
Bu, sıfır vektörünün önemsiz olmayan bir temsilidir; bu, sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.
2b) Sistemin iki eşit vektörü olsun. için izin verin. Daha sonra eşitlik
Onlar. birinci vektör, aynı sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden, verilen sistemin lineer olarak bağımlı olduğu vb. sonucu çıkar.
Bir öncekine benzer şekilde, bu iddia da doğrudan lineer bağımlı bir sistemin tanımından kanıtlanabilir.
Def. Elemanlar sistemi x 1 ,…,x m lin. λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ olacak şekilde ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) V'ye lineer bağımlı denir.
Def.λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0 ise, x 1 ,…,x m ∈ V elemanlardan oluşan bir sisteme lineer bağımsız denir.
Def. Bir x ∈ V elemanına x 1 ,…,x m ∈ V eğer ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m olacak şekilde x 1 ,…,x m ∈ V elemanlarının lineer kombinasyonu denir.
Teorem (doğrusal bağımlılık kriteri): x 1 ,…,x m ∈ V vektörlerinden oluşan bir sistem, ancak ve ancak sistemin en az bir vektörü, diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edildiğinde, doğrusal olarak bağımlıdır.
Doktor. İhtiyaç: x 1 ,…,x m lineer bağımlı olsun ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) öyle ki λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. λ m ≠ 0 varsayalım, o zaman
x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.
yeterlilik: Vektörlerden en az biri diğer vektörler cinsinden lineer olarak ifade edilsin: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - lineer bağımsızdır.
Ven. doğrusal bağımlılık koşulu:
Sistem sıfır eleman veya lineer bağımlı bir alt sistem içeriyorsa, lineer bağımlıdır.
λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – lineer bağımlı sistem
1) x 1 = θ olsun, bu eşitlik λ 1 =1 ve λ 1 =…= λ m =0 için geçerlidir.
2) λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 lineer bağımlı bir alt sistem olsun ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . O zaman λ 1 =0 için |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 lineer bağımlı bir sistemdir.
Doğrusal uzayın temeli. Verilen bazda vektör koordinatları. Vektörlerin toplamının koordinatları ve bir vektörün bir sayı ile çarpımı. Bir vektör sisteminin lineer bağımlılığı için gerekli ve yeterli koşul.
Tanım: Doğrusal bir uzay V'nin sıralı bir e 1, ..., e n elemanları sistemi, eğer aşağıdaki durumlarda bu uzayın temeli olarak adlandırılır:
A) e 1 ... e n lineer bağımsızdır
B) ∀ x ∈ α 1 … α n öyle ki x= α 1 e 1 +…+ α n e n
x= α 1 e 1 +…+ α n e n – x öğesinin e 1, …, e n bazında genişlemesi
α 1 … α n ∈ ℝ x öğesinin e 1, …, e n bazındaki koordinatlarıdır
teorem: Eğer e 1, …, e n temeli V lineer uzayında verilirse, o zaman ∀ x ∈ V e 1, …, e n bazındaki x koordinatlarının sütunu benzersiz bir şekilde belirlenir (koordinatlar benzersiz bir şekilde belirlenir)
Kanıt: x=α 1 e 1 +…+ α n e n ve x=β 1 e 1 +…+β n e n olsun
x= ⇔ = Θ, yani e 1, …, e n lineer olarak bağımsızdır, o zaman - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.
teorem: e 1, …, e n lineer uzay V'nin temeli olsun; x, y, V uzayının keyfi elemanlarıdır, λ ∈ ℝ keyfi bir sayıdır. x ve y toplandığında koordinatları toplanır, x λ ile çarpıldığında x'in koordinatları da λ ile çarpılır.
Kanıt: x= (e 1, …, e n) ve y= (e 1, …, e n)
x+y= + = (e 1, …, e n)
λx= λ ) = (e 1, …, e n)
Önem1: (bir vektör sisteminin lineer bağımlılığı için gerekli ve yeterli koşul)
e 1 …e n uzay V'nin temeli olsun. f 1 , …, f k ∈ V elemanlarının sistemi, eğer ve sadece bu elemanların e 1, …, e n bazındaki koordinat sütunları ise doğrusal olarak bağımlıdır. lineer bağımlı
Kanıt: f 1 , …, f k'yi e 1, …, e n bazında genişlet
f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k
λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] yani λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔
⇔ λ 1 +…+ λ n = gerektiği gibi.
13. Doğrusal bir uzayın boyutu. Boyut ve taban ilişkisi üzerine teorem.
Tanım:
V'de lineer olarak bağımsız n eleman varsa ve V uzayının herhangi bir n + 1 elemanından oluşan bir sistem lineer olarak bağımlıysa, V lineer uzayına n-boyutlu uzay denir. Bu durumda n, V lineer uzayının boyutu olarak adlandırılır ve dimV=n olarak gösterilir.
Eğer ∀N ∈ ℕ V uzayında N tane eleman içeren lineer bağımsız bir sistem varsa, lineer uzaya sonsuz boyutlu denir.
teorem: 1) Eğer V n-boyutlu bir lineer uzay ise, o zaman bu uzayın lineer olarak bağımsız n elemanından oluşan herhangi bir sıralı sistem bir temel oluşturur. 2) V lineer uzayında n elemandan oluşan bir temel varsa, o zaman V'nin boyutu n'ye eşittir (dimV=n).
Kanıt: 1) dimV=n ⇒ V ∃ n'de lineer bağımsız elemanlar e 1, …,e n olsun. Bu elemanların bir temel oluşturduğunu ispatlıyoruz, yani ∀ x ∈ V'nin e 1, …,e n cinsinden genişletilebileceğini ispatlıyoruz. Onlara x ekleyelim: e 1, …,e n , x – bu sistem n+1 vektör içerir, yani lineer bağımlıdır. e 1, …,e n lineer olarak bağımsız olduğundan, Teorem 2'ye göre x e 1, …,e n yani ile doğrusal olarak ifade edilir. ∃ ,…, öyle ki x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Yani e 1, …,e n, V uzayının temelidir. 2) e 1, …,e n, V'nin temeli olsun, yani V ∃ n'de n lineer bağımsız eleman vardır. İsteğe bağlı f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 öğelerini alın. Bunların lineer bağımlılıklarını gösterelim. Bunları şu şekilde ayıralım:
f m =(e 1, …,e n) = burada m = 1,…,n Koordinat sütunlarından oluşan bir matris oluşturalım: A= Matris n satır içerir ⇒ RgA≤n. Sütun sayısı n+1 > n ≥ RgA ⇒ A matrisinin sütunları (yani f 1 ,…,f n ,f n+1 koordinatlarının sütunları) lineer bağımlıdır. Öngörüden 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 lineer bağımlıdır ⇒ dimV=n.
Sonuç: Eğer herhangi bir taban n eleman içeriyorsa, bu uzayın diğer herhangi bir tabanı n eleman içerir.
Teorem 2: x 1 ,… ,x m -1 , x m vektörleri sistemi lineer olarak bağımlıysa ve x 1 ,… ,x m -1 alt sistemi lineer olarak bağımsız ise, o zaman x m - x 1 ,… ,x m -1 ile lineer olarak ifade edilir.
Kanıt: Çünkü x 1 ,… ,x m -1 , x m lineer bağımlıdır, o zaman ∃ , …, , ,
, …, | , | öyle ki . Eğer , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 lineer bağımsızdır ve olamaz. Yani m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.
bizim tarafımızdan tanıtıldı vektörler üzerinde doğrusal işlemler için farklı ifadeler oluşturmayı mümkün kılar. Vektör nicelikleri ve bu işlemler için ayarlanan özellikleri kullanarak bunları dönüştürün.
a 1 , ... ve n vektörlerinin belirli bir kümesine dayanarak, formun bir ifadesini oluşturabilirsiniz.
burada a 1 , ... ve n keyfi gerçek sayılardır. Bu ifadeye denir vektörlerin doğrusal kombinasyonu bir 1 , ..., bir n . α i , i = 1, n , sayıları lineer kombinasyon katsayıları. Vektörler kümesine de denir. vektör sistemi.
Tanıtılan bir doğrusal vektör kombinasyonu kavramıyla bağlantılı olarak, belirli bir vektör sisteminin doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabilen vektörler kümesini tanımlama sorunu ortaya çıkar a 1 , ..., a n . Ek olarak, bir vektörün lineer bir kombinasyon şeklinde temsil edildiği koşullar ve böyle bir gösterimin benzersizliği hakkında sorular doğaldır.
Tanım 2.1. a 1 , ... ve n vektörlerine denir lineer bağımlı, α 1 , ... , α n gibi bir katsayılar dizisi varsa,
α 1 a 1 + ... + α n bir n = 0 (2.2)
ve bu katsayılardan en az biri sıfır değildir. Belirtilen katsayı seti mevcut değilse, vektörler çağrılır. Doğrusal bağımsız.
Eğer α 1 = ... = α n = 0 ise, o zaman açıkçası, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Bunu akılda tutarak şunu söyleyebiliriz: vektörler a 1 , ..., ve Eşitlikten (2.2) tüm α 1 , ... , α n katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkarsa, n lineer olarak bağımsızdır.
Aşağıdaki teorem, yeni kavramın neden "bağımlılık" (veya "bağımsızlık") olarak adlandırıldığını açıklar ve doğrusal bağımlılık için basit bir kriter verir.
Teorem 2.1. a 1 , ... ve n , n > 1 vektörlerinin lineer bağımlı olması için bunlardan birinin diğerlerinin lineer birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.
◄ Gereklilik. a 1 , ... ve n vektörlerinin lineer bağımlı olduğunu varsayalım. Doğrusal bağımlılığın 2.1 tanımına göre, eşitlikte (2.2) solda en az bir sıfır olmayan katsayı vardır, örneğin α 1 . İlk terimi eşitliğin solunda bırakarak, geri kalanını her zamanki gibi işaretlerini değiştirerek sağa kaydırıyoruz. Elde edilen eşitliği α 1'e bölerek elde ederiz.
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ bir 2 - ... - α n / α 1 ⋅ bir n
onlar. a 1 vektörünün geri kalan a 2 , ... ve n vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsili.
yeterlilik. Örneğin, ilk vektör a 1, kalan vektörlerin lineer bir kombinasyonu olarak gösterilebilir: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Tüm terimleri sağdan sola aktararak, 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 elde ederiz, yani. a 1 , ... ve n vektörlerinin α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , eşit katsayılarla doğrusal kombinasyonu sıfır vektör. Bu lineer kombinasyonda tüm katsayılar sıfıra eşit değildir. Tanım 2.1'e göre, a 1 , ... ve n vektörleri lineer olarak bağımlıdır.
Doğrusal bağımlılığın tanımı ve kriteri, iki veya daha fazla vektörün varlığını ima edecek şekilde formüle edilmiştir. Bununla birlikte, bir vektörün lineer bağımlılığından da söz edilebilir. Bu olasılığı gerçekleştirmek için "vektörler lineer bağımlıdır" yerine "vektörler sistemi lineer bağımlıdır" demeliyiz. "Bir vektörün sistemi lineer olarak bağımlıdır" ifadesinin, bunun şu anlama geldiğini doğrulamak kolaydır. tek vektör sıfırdır (doğrusal bir kombinasyonda yalnızca bir katsayı vardır ve sıfır olmamalıdır).
Doğrusal bağımlılık kavramının basit bir geometrik yorumu vardır. Bu yorum, aşağıdaki üç ifadeyle açıklığa kavuşturulmuştur.
Teorem 2.2.İki vektör, ancak ve ancak şu durumlarda lineer olarak bağımlıdır: doğrusal.
◄ a ve b vektörleri lineer olarak bağımlıysa, bunlardan biri, örneğin a, diğeri aracılığıyla ifade edilir, yani. a = λb bazı gerçek sayılar λ için. Tanım 1.7'ye göre İşler bir sayıya göre vektörler, a ve b vektörleri eşdoğrusaldır.
Şimdi a ve b vektörleri eşdoğrusal olsun. İkisi de sıfırsa, lineer olarak bağımlı oldukları açıktır, çünkü bunların herhangi bir lineer kombinasyonu sıfır vektörüne eşittir. Bu vektörlerden biri 0'a eşit olmasın, örneğin b vektörü. Vektörlerin uzunluklarının oranını λ ile gösteriniz: λ = |а|/|b|. Doğrusal vektörler olabilir tek yönlü veya zıt yönler. İkinci durumda, λ'nın işaretini değiştiririz. Ardından Tanım 1.7'yi kontrol ederek a = λb olduğunu görüyoruz. Teorem 2.1'e göre a ve b vektörleri lineer bağımlıdır.
Açıklama 2.1.İki vektör olması durumunda, lineer bağımlılık kriteri dikkate alınarak, ispatlanmış teorem aşağıdaki gibi yeniden formüle edilebilir: iki vektör, eğer ve sadece biri diğerinin bir sayı ile çarpımı olarak temsil ediliyorsa, eşdoğrusaldır. Bu, iki vektörün doğrusallığı için uygun bir kriterdir.
Teorem 2.3.Üç vektör, ancak ve ancak şu durumlarda lineer olarak bağımlıdır: aynı düzlemde.
◄ Eğer üç a, b, c vektörü lineer olarak bağımlıysa, o zaman Teorem 2.1'e göre bunlardan biri, örneğin a, diğerlerinin lineer bir birleşimidir: a = βb + γc. A noktasındaki b ve c vektörlerinin orijinlerini birleştirelim. O zaman βb, γc vektörleri A noktasında ortak bir orijine sahip olacak ve paralelkenar toplamlarını kuralı, onlar. a vektörü, A ile başlayan bir vektör olacak ve son, toplama vektörleri üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın tepe noktasıdır. Böylece, tüm vektörler aynı düzlemde bulunur, yani eş düzlemlidirler.
a, b, c vektörleri eş düzlemli olsun. Bu vektörlerden biri sıfır ise, diğerlerinin lineer bir kombinasyonu olacağı açıktır. Doğrusal kombinasyonun tüm katsayılarını sıfıra eşit almak yeterlidir. Bu nedenle, üç vektörün de sıfır olmadığını varsayabiliriz. Uyumlu Başlat bu vektörler ortak bir O noktasında. Uçları sırasıyla A, B, C noktaları olsun (Şekil 2.1). O, A ve O, B nokta çiftlerinden geçen çizgilere paralel olarak C noktasından geçen çizgiler çizin. Kesişme noktalarını A" ve B" ile ifade ederek, OA"CB" paralelkenarını elde ederiz, bu nedenle, OC" = OA" + OB " . Vektör OA" ve sıfır olmayan vektör a= OA eşdoğrusaldır ve bu nedenle bunlardan birincisi, ikinci ile çarpılarak elde edilebilir. gerçek Numaraα:OA" = αOA. Benzer şekilde, OB" = βOB , β ∈ R. Sonuç olarak, OC" = α OA + βOB 'yi elde ederiz, yani c vektörü a ve b vektörlerinin lineer bir birleşimidir. Teorem 2.1'e göre a, b, c vektörleri lineer bağımlıdır.
Teorem 2.4. Herhangi dört vektör lineer bağımlıdır.
◄ İspat, Teorem 2.3'tekiyle aynı şemayı takip eder. Rastgele dört a, b, c ve d vektörünü düşünün. Dört vektörden biri sıfırsa veya aralarında iki eşdoğrusal vektör varsa veya dört vektörden üçü eş düzlemliyse, bu dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır. Örneğin, a ve b vektörleri eşdoğrusal ise, o zaman onların αa + βb = 0 doğrusal kombinasyonunu sıfır olmayan katsayılarla oluşturabilir ve sonra kalan iki vektörü katsayı olarak sıfır alarak bu kombinasyona ekleyebiliriz. Sıfır olmayan katsayıların olduğu, 0'a eşit dört vektörün doğrusal bir kombinasyonunu elde ederiz.
Bu nedenle, seçilen dört vektör arasında sıfır vektör olmadığını, ikisinin eşdoğrusal olmadığını ve hiçbirinin eş düzlemli olmadığını varsayabiliriz. Ortak başlangıçları olarak O noktasını seçiyoruz.O zaman a, b, c, d vektörlerinin uçları A, B, C, D bazı noktaları olacaktır (Şekil 2.2). D noktasından geçen üç düzlem çizin, düzlemlere paralel OBC, OCA, OAB ve A", B", C" bu düzlemlerin sırasıyla OA, OB, OS çizgileriyle kesişme noktaları olsun. Paralel uçlu bir OA"C"B"C"B"DA elde ediyoruz. " ve a, b, c vektörleri O köşesinden çıkan kenarlarında bulunur. OC"DC" dörtgeni bir paralelkenar olduğundan, OD = OC" + OC" . Sırayla, OS" segmenti köşegendir. paralelkenar OA"C"B", öyle ki OC" = OA" + OB" ve OD = OA" + OB" + OC" .
OA ≠ 0 ve OA" , OB ≠ 0 ve OB" , OC ≠ 0 ve OC" vektörlerinin çiftlerinin eşdoğrusal olduğunu ve bu nedenle α, β, γ katsayılarını OA " = αOA , OB" = βOB ve OC" = γOC . Son olarak, OD = αOA + βOB + γOC elde ederiz. Sonuç olarak, OD vektörü kalan üç vektör cinsinden ifade edilir ve Teorem 2.1'e göre dört vektörün tümü doğrusal olarak bağımlıdır.
Tanım 18.2 fonksiyon sistemif, ..., fpismindebenense o h boşlukta a in ve c ve m. o d(a, (3) biraz önemsiz ise 5 bu fonksiyonların lineer kombinasyonu bu aralıkta aynı şekilde sıfıra eşittir:
Tanım 18.3 vektör sistemi f 1 , ..., x n, a ve c'de doğrusal olarak adlandırılır ve bu vektörlerin önemsiz olmayan, doğrusal bir kombinasyonu madde işareti vektörüne eşitse, m o d:
L Karışıklığı önlemek için, vektör bileşeninin (vektör-fonksiyonu) sayısını alt indeks ile ve vektörün kendisinin sayısını (eğer böyle birkaç vektör varsa) üst indeks ile göstereceğiz.
"Size, içindeki tüm katsayılar sıfır değilse, doğrusal bir kombinasyonun önemsiz olarak adlandırıldığını hatırlatırız.
Tanım 18.4 x 1 ^),..., x n (t) vektör fonksiyonları sistemine doğrusal denir h ve içinde ve ile ve aralıkta benim yaklaşık th,(a, /3) bu vektör fonksiyonlarının bazı önemsiz doğrusal kombinasyonları bu aralıktaki sıfır vektörüne aynı şekilde eşitse:
Bu üç kavramın (fonksiyonların lineer bağımlılığı, vektörler ve vektör fonksiyonları) birbirleriyle olan bağlantısını anlamak önemlidir.
Her şeyden önce, (18.6) formülünü genişletilmiş biçimde sunarsak (her birinin x g (1) bir vektördür)
o zaman eşitlik sistemine eşdeğer olacaktır
doğrusal bağımlılık anlamına gelir z bileşeni ilk tanım anlamında (fonksiyonlar olarak). Vektör fonksiyonlarının lineer bağımlılığının onların ima ettiği söylenir. bileşen bileşen doğrusal bağımlılık.
Bunun tersi genellikle doğru değildir: bir çift vektör fonksiyonu örneğini ele almak yeterlidir.
Bu vektör fonksiyonlarının ilk bileşenleri basitçe çakışır, bu da onların lineer olarak bağımlı oldukları anlamına gelir. İkinci bileşenler orantılıdır, yani. ayrıca lineer bağımlıdır. Ancak, onların lineer kombinasyonlarını oluşturmaya çalışırsak, sıfır aynı şekilde, sonra ilişkiden
hemen sistemi al
tek çözümü olan C - C-2 - 0. Böylece vektör fonksiyonlarımız lineer bağımsızdır.
Böyle garip bir özelliğin nedeni nedir? Bilerek bağımlı işlevlerden doğrusal olarak bağımsız vektör işlevleri oluşturmanıza izin veren hile nedir?
Bütün noktanın bileşenlerin doğrusal bağımlılığında değil, sıfır elde etmek için gerekli olan katsayıların oranında olduğu ortaya çıktı. Vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığı durumunda, aynı katsayı seti, sayıdan bağımsız olarak tüm bileşenlere hizmet eder. Ancak örneğimizde, bir bileşen için bir katsayı oranı ve diğeri için başka bir katsayı gerekliydi. Yani hile gerçekten basit: "bileşen-bileşen" doğrusal bağımlılıktan tüm vektör fonksiyonlarının doğrusal bir bağımlılığını elde etmek için, tüm bileşenlerin "aynı oranda" doğrusal olarak bağımlı olması gerekir.
Şimdi vektör fonksiyonlarının lineer bağımlılığı ile vektörler arasındaki ilişkinin çalışmasına dönelim. Burada, vektör fonksiyonlarının lineer bağımlılığının, her sabit için t* vektör
lineer bağımlı olacaktır.
Genel olarak konuşursak, tersi geçerli değildir: vektörlerin her biri için doğrusal bağımlılığından t vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığını izlemez. Bunu iki vektör fonksiyonu örneğinde görmek kolaydır.
saat t=1, t=2 ve t=3 vektör çiftleri elde ederiz
sırasıyla. Her vektör çifti orantılıdır (sırasıyla 1,2 ve 3 katsayılarıyla). Herhangi bir sabit için bunu görmek kolaydır. t* vektör çiftimiz katsayı ile orantılı olacak t*.
Sıfıra eşit olan doğrusal bir vektör fonksiyonları kombinasyonu oluşturmaya çalışırsak, o zaman ilk bileşenler bize zaten ilişkiyi verir.
bu ancak mümkünse İle = İle2 = 0. Böylece vektör fonksiyonlarımız lineer bağımsız çıktı. Yine, bu etkinin açıklaması, vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığı durumunda, aynı sabitler kümesi Cj'nin tüm değerlere hizmet etmesidir. t, ve örneğimizde her değer için t katsayılar arasında kendi oranını gerektiriyordu.