Bu derste, vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin çapraz çarpımı ve vektörlerin karışık çarpımı (ihtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam bir mutluluk için olur, buna ek olarak vektörlerin nokta çarpımı, daha fazlasına ihtiyaç duyulmaktadır. Vektör bağımlılığı böyledir. Analitik geometri ormanına girdiğimiz izlenimi edinilebilir. Bu doğru değil. Yüksek matematiğin bu bölümünde, Pinokyo'ya yetecek kadar dışında, genellikle çok az yakacak odun vardır. Aslında, malzeme çok yaygın ve basittir - aynısından neredeyse daha zor skaler ürün, Bile tipik görevler daha az olacaktır. Analitik geometrideki ana şey, birçok kişinin göreceği veya zaten görmüş olduğu gibi, HESAPLARI YANLIŞ YAPMAMAKTIR. Büyü gibi tekrar edersen mutlu olursun =)
Vektörler uzak bir yerde parlıyorsa, ufuktaki şimşek gibi, önemli değil, dersle başlayın. Aptallar için vektörler vektörler hakkında temel bilgileri geri yüklemek veya yeniden elde etmek. Daha hazırlıklı okuyucular, bilgileri seçici olarak tanıyabilir, sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım. pratik iş
Seni ne mutlu edecek? Ben küçükken iki, hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi çalıştı. Şimdi dikkate alacağımız için hiç hokkabazlık yapmaya gerek yok. sadece uzay vektörleri, ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Niye ya? Bu eylemler böyle doğdu - vektörlerin vektörü ve karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!
Bu işlemde, skaler çarpımda olduğu gibi, iki vektör. Bozulmaz harfler olsun.
Eylemin kendisi belirtilen Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var, ama ben vektörlerin çapraz çarpımını bu şekilde, köşeli parantez içinde bir çarpı işaretiyle belirlemeye alışığım.
Ve derhal soru: varsa vektörlerin nokta çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, o zaman fark ne? Net bir fark, her şeyden önce, SONUÇ:
Vektörlerin skaler çarpımının sonucu bir SAYI:
Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu bir VEKTÖR'dür.: yani vektörleri çarpıyoruz ve tekrar bir vektör elde ediyoruz. Kapalı kulüp. Aslında, operasyonun adı buradan geliyor. Çeşitli eğitim literatüründe, atamalar da değişebilir, harfi kullanacağım.
çapraz ürünün tanımı
Önce resimli bir tanım, ardından yorumlar olacak.
Tanım: Çapraz ürün doğrusal olmayan vektörler , bu sırayla alınan, VEKTÖR denir, uzunluk sayısal olarak hangisi paralelkenarın alanına eşit, bu vektörler üzerine kurulu; vektör vektörlere dik, ve temelin doğru bir yönelime sahip olması için yönlendirilir: 
Tanımı kemiklerle analiz ediyoruz, çok ilginç şeyler var!
Bu nedenle, aşağıdaki önemli noktaları vurgulayabiliriz:
1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen kaynak vektörler doğrusal değil. Doğrusal vektörlerin durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.
2) Alınan vektörler sıkı bir sırayla: – "a", "be" ile çarpılır, "a" için "olmak" değil. Vektör çarpmasının sonucu mavi ile gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ters sırada çarpılırsa, uzunluk olarak eşit ve zıt yönde (kızıl renk) bir vektör elde ederiz. yani eşitlik 
.
3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün UZUNLUĞU (ve dolayısıyla kıpkırmızı vektör), sayısal olarak vektörler üzerine kurulmuş paralelkenarın ALANına eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyah renkle gölgelenmiştir.
Not : çizim şematiktir ve elbette çapraz ürünün nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.
Geometrik formüllerden birini hatırlıyoruz: paralelkenarın alanı, bitişik kenarların ürününe ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör ürününün UZUNLUĞUNU hesaplama formülü geçerlidir:
Formülde vektörün kendisi hakkında değil, vektörün UZUNLUĞU hakkında konuştuğumuzu vurguluyorum. Pratik anlamı nedir? Ve anlamı, analitik geometri problemlerinde, bir paralelkenarın alanı genellikle bir vektör ürünü kavramıyla bulunur:
İkinci önemli formülü elde ediyoruz. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler (kırmızı gölgeleme) üzerine kurulu bir üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
4) Eşit derecede önemli bir gerçek, vektörün vektörlere dik olmasıdır, yani 
. Elbette, zıt yönlü vektör (kızıl ok) da orijinal vektörlere diktir.
5) Vektör öyle yönlendirilir ki temel sahip Sağ oryantasyon. hakkında bir derste yeni bir temele geçiş hakkında detaylı konuştum düzlem yönelimi, ve şimdi uzayın yönünün ne olduğunu anlayacağız. parmaklarında açıklayacağım sağ el . Zihinsel olarak birleştir işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuzun içine bastırın. Sonuç olarak baş parmak- vektör ürünü yukarı bakacak. Bu, doğru temeldir (şekilde gösterilmiştir). Şimdi vektörleri değiştirin ( işaret ve orta parmaklar) bazı yerlerde, sonuç olarak, başparmak dönecek ve vektör ürünü zaten aşağı bakacak. Bu aynı zamanda hak odaklı bir temeldir. Belki bir sorunuz var: hangi temelin sol yönelimi var? Aynı parmakları "atayın" sol el vektörler ve sol temel ve sol boşluk yönlendirmesini alın (bu durumda başparmak alt vektör yönünde yer alacaktır). Mecazi olarak konuşursak, bu tabanlar "bükülür" veya alanı farklı yönlere yönlendirir. Ve bu kavram çok zorlanmış veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, en sıradan ayna uzayın yönünü değiştirir ve “yansıyan nesneyi aynadan çekerseniz”, genel olarak mümkün olmayacaktır. "orijinal" ile birleştirin. Bu arada, aynaya üç parmağınızı getirin ve yansımayı analiz edin ;-)
...şimdi bilmek ne kadar iyi sağ ve sol yönlü bazı hocaların oryantasyon değişikliği ile ilgili açıklamaları korkunç olduğu için =)
Doğrusal vektörlerin vektör çarpımı
Tanım ayrıntılı olarak yapıldı, vektörler doğrusal olduğunda ne olduğunu bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, bunlar tek bir düz çizgi üzerine yerleştirilebilir ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgi halinde "katlanır". Matematikçilerin dediği gibi, böyle bir alan, dejenere paralelkenar sıfırdır. Aynısı formülden de gelir - sinüs sıfır veya 180 derece sıfır, ve dolayısıyla alan sıfırdır
Böylece, eğer öyleyse 
ve 
. Lütfen çapraz çarpımın kendisinin sıfır vektörüne eşit olduğuna dikkat edin, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve sıfıra eşit olduğu yazılır.
özel durum bir vektörün ve kendisinin çapraz ürünüdür:
Çapraz çarpımı kullanarak, üç boyutlu vektörlerin doğrusallığını kontrol edebilirsiniz ve diğerlerinin yanı sıra bu sorunu da analiz edeceğiz.
çözümler için pratik örnekler gerekli olabilir trigonometrik tablo ondan sinüslerin değerlerini bulmak için.
Pekala, hadi bir ateş başlatalım:
örnek 1
a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz. 
b) Vektörler üzerine kurulmuş bir paralelkenarın alanını bulun: 
Karar: Hayır, bu bir yazım hatası değil, koşul öğelerindeki ilk verileri kasıtlı olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!
a) Koşullara göre bulunması gerekir. uzunluk vektör (vektör çarpımı). İlgili formüle göre:
Cevap:
Uzunluk sorulduğundan, cevapta boyut - birimleri belirtiyoruz.
b) Koşullara göre bulunması gerekir. Meydan vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı, çapraz ürünün uzunluğuna sayısal olarak eşittir:
Cevap:
Lütfen vektör ürünü hakkındaki cevapta hiç konuşma olmadığını, bize sorulduğuna dikkat edin. şekil alanı, sırasıyla, boyut kare birimlerdir.
Her zaman koşul tarafından bulunması gereken NE'ye bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. açık Cevap. Gerçekçilik gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında yeterince gerçekçi var ve iyi şansa sahip görev gözden geçirilmek üzere iade edilecek. Bu özellikle gergin bir nitpick olmasa da - cevap yanlışsa, kişinin basit şeyleri anlamadığı ve / veya görevin özünü anlamadığı izlenimi edinilir. Bu an her zaman kontrol altında tutulmalı, yüksek matematikteki ve diğer derslerdeki herhangi bir problemi çözmelidir.
Büyük harf "en" nereye gitti? Prensip olarak, çözüme ek olarak takılabilirdi, ancak rekoru kısaltmak için yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve aynı şeyin tanımıdır.
Kendin yap çözümü için popüler bir örnek:
Örnek 2
Vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun 
Vektör ürünü aracılığıyla bir üçgenin alanını bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonunda.
Uygulamada, görev gerçekten çok yaygındır, üçgenler genellikle işkence görebilir.
Diğer sorunları çözmek için şunlara ihtiyacımız var:
Vektörlerin çapraz çarpımının özellikleri
Vektör ürününün bazı özelliklerini zaten düşündük, ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.
İsteğe bağlı vektörler ve isteğe bağlı bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:
1) Diğer bilgi kaynaklarında, bu öğe genellikle özelliklerde ayırt edilmez, ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.
2) 
- mülk yukarıda da tartışılır, bazen denir antikomütatiflik. Başka bir deyişle, vektörlerin sırası önemlidir.
3) - kombinasyon veya ilişkisel vektör ürün yasaları. Sabitler, vektör ürününün sınırlarının dışına kolayca çıkarılabilir. Gerçekten, orada ne yapıyorlar?
4) - dağıtım veya dağıtım vektör ürün yasaları. Parantez açmada da herhangi bir sorun yok.
Bir gösteri olarak, kısa bir örnek düşünün:
Örnek 3
Eğer bulun 
Karar: Koşul olarak, vektör ürününün uzunluğunun tekrar bulunması gerekir. Minyatürümüzü boyayalım: 
(1) İlişkisel yasalara göre, vektör çarpımının sınırlarının ötesindeki sabitleri alıyoruz.
(2) Modül eksi işaretini “yerken” sabiti modülden çıkarıyoruz. Uzunluk negatif olamaz.
(3) Bundan sonrası açıktır.
Cevap: 
Ateşe odun atma zamanı:
Örnek 4
Vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın, eğer 
Karar: Formülü kullanarak bir üçgenin alanını bulun 
. Buradaki pürüz, "ce" ve "te" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak temsil edilmesidir. Buradaki algoritma standarttır ve dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini biraz andırır. Vektörlerin nokta çarpımı. Netlik için üç adıma ayıralım:
1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı üzerinden ifade ediyoruz, aslında, vektörü vektör cinsinden ifade edin. Uzunluğu hakkında henüz bir kelime yok!
(1) Vektörlerin ifadelerini değiştiriyoruz.
(2) Dağılım yasalarını kullanarak, parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açın.
(3) İlişkisel yasaları kullanarak vektör çarpımlarının ötesindeki tüm sabitleri çıkarırız. Çok az deneyimle, 2. ve 3. eylemler aynı anda gerçekleştirilebilir.
(4) Hoş özelliğinden dolayı ilk ve son terimler sıfıra (sıfır vektör) eşittir. İkinci terimde, vektör ürününün anti-değişmezlik özelliğini kullanırız:
(5) Benzer terimler sunuyoruz.
Sonuç olarak, vektörün elde edilmesi gereken bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı: 
2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu eylem Örnek 3'e benzer: 
3) Gerekli üçgenin alanını bulun: 
Çözümün 2-3. Adımları tek satırda düzenlenebilir.
Cevap:
Düşünülen sorun oldukça yaygındır. kontrol işi, işte kendin yap çözümüne bir örnek:
Örnek 5
Eğer bulun
Hızlı Çözüm ve dersin sonunda cevap. Önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davrandığınızı görelim ;-)
Koordinatlarda vektörlerin çapraz çarpımı
, ortonormal bazında verilen , formül ile ifade edilir:
Formül gerçekten basit: determinantın üst satırına koordinat vektörlerini yazıyoruz, vektörlerin koordinatlarını ikinci ve üçüncü satırlara “paketliyoruz” ve sıkı bir şekilde- önce "ve" vektörünün koordinatları, ardından "double-ve" vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırada çarpılması gerekiyorsa, satırlar da değiştirilmelidir: 
Örnek 10
Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
a)
b) 
Karar: Test, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: vektörler eşdoğrusal ise, çapraz çarpımı sıfırdır (sıfır vektör): 
.
a) Vektör ürününü bulun: 
Yani vektörler doğrusal değildir.
b) Vektör ürününü bulun: 
Cevap: a) doğrusal değil, b)
Burada, belki de vektörlerin vektör çarpımı hakkındaki tüm temel bilgiler yer almaktadır.
Vektörlerin karışık çarpımının kullanıldığı durumlarda çok az sorun olduğundan bu bölüm çok büyük olmayacaktır. Aslında, her şey tanıma dayanacak, geometrik anlamda ve birkaç çalışma formülü.
Vektörlerin karışık çarpımı üç ürün vektörler:
İşte böyle tren gibi sıraya girerler ve beklerler, hesaplanana kadar bekleyemezler.
Önce yine tanım ve resim:
Tanım: Karışık ürün eş düzlemli olmayan vektörler , bu sırayla alınan, denir paralel yüzün hacmi, bu vektörler üzerine inşa edilmiş, temel doğruysa bir "+" işaretiyle ve temel solsa bir "-" işaretiyle donatılmıştır.
Çizimi yapalım. Bize görünmeyen çizgiler noktalı bir çizgiyle çizilir: 
Tanıma geçelim:
2) Alınan vektörler belirli bir sırayla, yani, tahmin edebileceğiniz gibi, üründeki vektörlerin permütasyonu sonuçsuz gitmez.
3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce, bariz gerçeği not edeceğim: vektörlerin karışık ürünü bir NUMBER'dir: . Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir, "pe" harfi ile karışık bir ürün ve hesaplamaların sonucunu belirtirdim.
A-manastırı karışık ürün paralel borunun hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani, sayı verilen paralelyüzün hacmine eşittir.
Not : Çizim şematiktir.
4) Taban ve uzayın oryantasyonu kavramıyla tekrar uğraşmayalım. Son kısmın anlamı, hacme bir eksi işareti eklenebilir olmasıdır. basit kelimelerle, karışık ürün negatif olabilir: .
Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralel borunun hacmini hesaplama formülü, doğrudan tanımdan gelir.
Vektörler üzerine kurulmuş bir paralelkenarın alanı, bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının çarpımına eşittir.
Aynı vektörlerin uzunlukları şartlara göre verildiğinde iyi olur. Bununla birlikte, vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenar alanı için formülü ancak koordinatlardaki hesaplamalardan sonra uygulamak da mümkündür.
Şanslıysanız ve vektörlerin uzunlukları koşullara göre verilmişse, o zaman makalede daha önce ayrıntılı olarak analiz ettiğimiz formülü uygulamanız yeterlidir. Alan, modüllerin çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşit olacaktır:
Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.
Görev: Paralelkenar vektörler üzerine kuruludur ve . Eğer alanı ve aralarındaki açının 30° olduğunu bulun.
Vektörleri değerlerine göre ifade edelim:
Belki bir sorunuz var - sıfırlar nereden geldi? Vektörlerle çalıştığımızı hatırlamakta fayda var ve onlar için 
. ayrıca sonuç olarak bir ifade alırsak, bunun dönüştürüleceğini de unutmayın. Şimdi son hesaplamaları yapalım:
Vektörlerin uzunlukları koşullarda belirtilmediğinde probleme dönelim. Paralelkenarınız Kartezyen koordinat sisteminde bulunuyorsa, aşağıdakileri yapmanız gerekir.
Koordinatlarla verilen bir şeklin kenar uzunluklarının hesaplanması
Başlangıç olarak, vektörlerin koordinatlarını buluyoruz ve karşılık gelen başlangıç koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarıyoruz. a (x1;y1;z1) vektörünün ve b (x3;y3;z3) vektörünün koordinatlarını varsayalım.
Şimdi her vektörün uzunluğunu buluyoruz. Bunu yapmak için, her koordinatın karesi alınmalı, ardından sonuçları toplamalı ve sonlu sayıdan kök çıkarılmalıdır. Vektörlerimize göre aşağıdaki hesaplamalar yapılacaktır: 
şimdi bulman gerek skaler ürün vektörlerimiz. Bunu yapmak için ilgili koordinatları çarpılır ve eklenir.
Vektörlerin uzunlukları ve nokta çarpımları verildiğinde, aralarındaki açının kosinüsünü bulabiliriz. 
.
Şimdi aynı açının sinüsünü bulabiliriz: 
Artık gerekli tüm miktarlara sahibiz ve zaten bilinen formülü kullanarak vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanını kolayca bulabiliriz.
İlk önce, bir vektör ürününün ne olduğunu hatırlayalım.
Açıklama 1
vektör sanat$\vec(a)$ ve $\vec(b)$ için $\vec(c)$, bu da üçüncü bir $\vec(c)= ||$ vektörüdür ve bu vektörün özel özellikleri vardır:
- Elde edilen vektörün skaleri $|\vec(a)|$ ve $|\vec(b)|$ ve $\vec(c)= ||= |\vec(a) açısının sinüsünün çarpımıdır. )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \sol(1\sağ)$;
- Tüm $\vec(a), \vec(b)$ ve $\vec(c)$ bir sağ üçlü oluşturur;
- Elde edilen vektör $\vec(a)$ ve $\vec(b)$'a diktir.
Vektörler için bazı koordinatlar varsa ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ ve $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), o zaman vektör ürünleri Kartezyen koordinat sistemi aşağıdaki formülle belirlenebilir:
$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$
Bu formülü hatırlamanın en kolay yolu, onu bir determinant şeklinde yazmaktır:
$ = \begin(dizi) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(dizi)$.
Bu formülün kullanımı oldukça uygundur, ancak nasıl kullanılacağını anlamak için önce matrisler ve belirleyicileri konusuna aşina olmanız gerekir.
paralelkenar alanı, kenarları $\vec(a)$ ve $vec(b)$ olmak üzere iki vektörle tanımlanan verilen iki vektörün çapraz çarpımının skalerine eşittir.
Bu oranın elde edilmesi oldukça kolaydır.
$a$ ve $b$ segmentleri ile karakterize edilebilen sıradan bir paralelkenarın alanını bulma formülünü hatırlayın:
$S = a \cdot b \cdot \sin α$
Bu durumda kenar uzunlukları bizim için oldukça uygun olan $\vec(a)$ ve $\vec(b)$ vektörlerinin skaler değerlerine eşittir, yani bu vektörlerin vektör ürünü, söz konusu şeklin alanı olacaktır.
örnek 1
$\(5;3; 7\)$ koordinatlarına sahip $\vec(c)$ vektörleri ve Kartezyen koordinatlarda $\(3; 7;10 \)$ koordinatlarına sahip bir $\vec(g)$ vektörü verildi. $\vec(c)$ ve $\vec(g)$ tarafından oluşturulan paralelkenarın alanını bulun.
Karar:
Bu vektörler için vektör ürününü bulun:
$ = \begin(dizi) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(dizi)= i \cdot \begin(dizi) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(dizi) - j \cdot \begin(dizi) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(dizi) + k \cdot \begin(dizi) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(dizi) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.
Şimdi ortaya çıkan yönlü segment için modüler değeri bulalım, bu, oluşturulan paralelkenar alanının değeridir:
$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43.34$.
Bu akıl yürütme çizgisi, sadece 3 boyutlu bir uzayda alanı bulmak için değil, aynı zamanda iki boyutlu bir uzayda da geçerlidir. Bu konuyla ilgili bir sonraki soruya bakın.
Örnek 2
Üreten segmentleri $\(2; 3\)$ koordinatlarına sahip $\vec(m)$ vektörleri ve $\(-5; koordinatlarına sahip $\vec(d)$ vektörleri tarafından veriliyorsa, paralelkenarın alanını hesaplayın; 6\)$.
Karar:
Bu problem, yukarıda çözülmüş problem 1'in özel bir örneğidir, ancak her iki vektör de aynı düzlemde bulunur, bu da üçüncü koordinatın, $z$'ın sıfır olarak alınabileceği anlamına gelir.
Yukarıdakileri özetlemek gerekirse, paralelkenarın alanı şöyle olacaktır:
$S = \begin(dizi) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(dizi) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.
Örnek 3
Verilen vektörler $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Oluşturdukları paralelkenarın alanını bulun.
$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $
Birim vektörler için verilen tabloya göre sadeleştirelim:
Şekil 1. Bir vektörün baza göre ayrıştırılması. Author24 - öğrenci belgelerinin çevrimiçi değişimi
$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.
Hesaplama süresi:
$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.
Önceki problemler, koordinatları Kartezyen koordinat sisteminde verilen vektörlerle ilgiliydi, ancak temel vektörler arasındaki açının 90$°$'dan farklı olması durumunu da göz önünde bulundurun:
Örnek 4
$\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$ vektörü, $\vec(a)$ ve $\vec(b)$ uzunlukları birbirine eşittir ve bire eşittir ve $\vec(a)$ ile $\vec(b)$ arasındaki açı 45°'dir.
Karar:
$\vec(d) \times \vec(f)$ vektör ürününü hesaplayalım:
$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.
Vektör ürünler için özelliklerine göre şu doğrudur: $$ ve $$ eşittir sıfır, $ = - $.
Bunu basitleştirmek için kullanalım:
$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.
Şimdi $(1)$ formülünü kullanalım:
$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$.