Ang axial (o equatorial) na sandali ng inertia ng isang seksyon na may kaugnayan sa ilang axis ay ang kabuuan ng mga produkto ng elementarya na mga lugar at ang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa axis na ito, na kinuha sa buong lugar nito F, i.e.

Ang polar moment ng inertia ng isang seksyon na may paggalang sa isang tiyak na punto (pol) ay ang kabuuan ng mga produkto ng elementarya na mga lugar at ang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa puntong ito, na kinuha sa buong lugar nito F, i.e.

Ang sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw ng isang seksyon na may paggalang sa ilang dalawang magkaparehong patayo na mga palakol ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga elementarya na lugar at ang kanilang mga distansya mula sa mga palakol na ito, na kinuha sa buong lugar nito F, i.e.

Ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ay ipinahayag sa, atbp.

Ang axial at polar moments ng inertia ay palaging positibo, dahil ang kanilang mga expression sa ilalim ng mga palatandaan ng mga integral ay kinabibilangan ng mga halaga ng mga lugar (palaging positibo) at ang mga parisukat ng mga distansya ng mga lugar na ito mula sa isang naibigay na axis o poste.

Sa fig. Ang 9.5, a ay nagpapakita ng isang seksyon na may lugar na F at ipinapakita ang y at z axes. Axial moments ng inertia ng seksyong ito na nauugnay sa mga y axes:

Ang kabuuan ng mga sandaling ito ng pagkawalang-galaw

at samakatuwid

Kaya, ang kabuuan ng mga axial moments ng inertia ng isang seksyon tungkol sa dalawang mutually perpendicular axes ay katumbas ng polar moment of inertia ng seksyong ito tungkol sa punto ng intersection ng mga axes na ito.

Ang mga centrifugal moments ng inertia ay maaaring positibo, negatibo o zero. Kaya, halimbawa, ang centrifugal moment ng inertia ng seksyon na ipinapakita sa Fig. 9.5, a, na may kaugnayan sa y axes at positibo, dahil para sa pangunahing bahagi ng seksyong ito, na matatagpuan sa unang kuwadrante, ang mga halaga at, samakatuwid, ay positibo.

Kung babaguhin mo ang positibong direksyon ng y-axis o vice versa (Larawan 9.5, b) o paikutin ang parehong mga palakol na ito ng 90 ° (Larawan 9.5, c), kung gayon ang centrifugal moment ng inertia ay magiging negatibo (ang ganap nito hindi magbabago ang halaga), dahil ang pangunahing bahagi ay makikita ang seksyon sa isang kuwadrante na ang mga punto ay may positibong y-coordinate at negatibong z-coordinate. Kung ang mga positibong direksyon ng parehong mga palakol ay baligtad, hindi nito mababago ang alinman sa tanda o ang laki ng centrifugal moment ng inertia.

Isaalang-alang ang isang pigura na simetriko tungkol sa isa o higit pang mga palakol (Larawan 10.5). Iguhit ang mga palakol upang kahit isa sa mga ito (sa kasong ito axis y) kasabay ng axis ng symmetry ng figure. Ang bawat site na matatagpuan sa kanan ng axis ay tumutugma sa kasong ito sa parehong site na matatagpuan simetriko sa una, ngunit sa kaliwa ng y-axis. Ang centrifugal moment ng inertia ng bawat pares ng naturang simetriko na lokasyon na mga platform ay katumbas ng:

Kaya naman,

Kaya, ang sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon tungkol sa mga palakol, kung saan ang isa o pareho ay nag-tutugma sa mga palakol ng mahusay na proporsyon nito, sero.

Ang axial moment ng inertia ng isang kumplikadong seksyon tungkol sa isang tiyak na axis ay katumbas ng kabuuan ng mga axial moments ng inertia ng mga bahaging nasasakupan nito tungkol sa parehong axis.

Katulad nito, ang sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw ng isang kumplikadong seksyon tungkol sa anumang dalawang magkaparehong patayo na mga palakol ay katumbas ng kabuuan ng mga sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bahaging bumubuo nito tungkol sa parehong mga palakol. Gayundin, ang polar moment ng inertia ng isang kumplikadong seksyon na may kaugnayan sa isang tiyak na punto ay katumbas ng kabuuan ng mga polar moments ng inertia ng mga bahaging bumubuo nito na nauugnay sa parehong punto.

Dapat itong isipin na ang mga sandali ng pagkawalang-galaw na kinakalkula na may paggalang sa iba't ibang mga axes at mga punto ay hindi maaaring summed.

§ 4.5. PAGKUKULANG NG MGA SANDALI NG INERTIA NG MGA SEKSYON NG ISANG SIMPLENG ANYO

Tulad ng ipinahiwatig sa § 1.5, ang mga geometric na katangian ng kumplikadong mga seksyon ay tinutukoy sa pamamagitan ng paghahati sa kanila sa isang bilang ng mga simpleng figure, ang mga geometric na katangian na maaaring kalkulahin gamit ang naaangkop na mga formula o tinutukoy mula sa mga espesyal na talahanayan. Ang mga formula na ito ay nakuha bilang resulta ng direktang pagsasama ng mga expression (8.5)-(10.5). Ang mga pamamaraan para sa pagkuha ng mga ito ay tinalakay sa ibaba gamit ang mga halimbawa ng isang parihaba, isang tatsulok at isang bilog.

Parihabang seksyon

Tukuyin natin ang axial moment ng inertia ng isang parihaba na may taas h at lapad b na nauugnay sa axis na dumadaan sa base nito (Larawan 11.5, a). Pumili tayo mula sa parihaba sa pamamagitan ng mga linyang parallel sa axis ng elementary strip na may taas at lapad b.

Ang lugar ng strip na ito, ang distansya mula sa strip hanggang sa axis, ay katumbas ng mga ito. Pinapalitan namin ang mga dami na ito sa expression para sa sandali ng pagkawalang-galaw (8.5):

Sa katulad na paraan, para sa sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis, maaaring makuha ng isa ang expression

Upang matukoy ang sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw, pumili kami mula sa rektanggulo na may mga linya na kahanay sa mga palakol (Fig.

11.5, b), isang elementarya na lugar ng laki. Alamin muna natin ang centrifugal moment ng inertia hindi ng buong parihaba, ngunit lamang ng isang vertical strip na may taas na h at isang lapad na matatagpuan sa layo mula sa axis.

Ang produkto ay kinuha sa labas ng integral sign, dahil para sa lahat ng mga lugar na kabilang sa itinuturing na vertical strip, ito ay pare-pareho.

Pagkatapos ay isasama namin ang expression sa hanay mula hanggang

Alamin natin ngayon ang mga axial moments ng inertia ng rectangle tungkol sa mga axes y at dumadaan sa gitna ng gravity na kahanay sa mga gilid ng rectangle (Fig. 12.5). Para sa kasong ito, ang mga limitasyon ng pagsasama ay mula hanggang

Ang sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw ng isang parihaba tungkol sa mga axes (Larawan 12.5) ay katumbas ng zero, dahil ang mga ax na ito ay nag-tutugma sa mga axes ng symmetry nito.

tatsulok na seksyon

Tukuyin natin ang mga axial moments ng inertia ng triangle tungkol sa tatlong parallel axes na dumadaan sa base nito (Fig. 13.5, a), ang center of gravity (Fig. 13.5, b) at ang tuktok (Fig. 13.5, e).

Para sa kaso kapag ang axis ay dumaan sa base ng tatsulok (Larawan 13.5, a),

Para sa kaso kapag ang axis ay dumaan sa gitna ng grabidad ng tatsulok na kahanay sa base nito (Larawan 13.5, b),

Sa kaso kapag ang axis ay dumaan sa tuktok ng tatsulok na kahanay sa base nito (Larawan 13.5, c),

Ang sandali ng pagkawalang-galaw ay mas malaki (tatlong beses) kaysa sa sandali ng pagkawalang-galaw, dahil ang pangunahing bahagi ng lugar ng tatsulok ay mas malayo sa axis kaysa sa axis.

Ang mga expression (17.5) - (19.5) ay nakuha para sa isang isosceles triangle. Gayunpaman, totoo rin ang mga ito para sa mga non-isosceles na tatsulok. Ang paghahambing, halimbawa, ang mga tatsulok na ipinapakita sa Fig. 13.5, a at 13.5, d, kung saan ang una ay isosceles at ang pangalawa ay hindi isosceles, itinatatag namin na ang mga sukat ng site at ang mga limitasyon kung saan nagbabago ang y (mula 0 hanggang) ay pareho para sa parehong mga tatsulok. Samakatuwid, ang mga sandali ng pagkawalang-galaw para sa kanila ay pareho din. Katulad nito, maaari itong ipakita na ang axial moments ng inertia ng lahat ng mga seksyon na ipinapakita sa Fig. 14.5 ay pareho. Sa pangkalahatan, ang displacement ng mga bahagi ng seksyon na kahanay sa ilang axis ay hindi nakakaapekto sa halaga ng axial moment of inertia tungkol sa axis na ito.

Malinaw, ang kabuuan ng mga axial moments ng inertia ng tatsulok tungkol sa mga axes na ipinapakita sa Fig. Ang 13.5, a at 13.5, c, ay dapat na katumbas ng axial moment ng inertia ng rectangle tungkol sa axis na ipinapakita sa fig. 11.5 a. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang rektanggulo ay maaaring isaalang-alang bilang dalawang tatsulok, para sa isa kung saan ang axis ay dumadaan sa base, at para sa isa pa - sa pamamagitan ng tuktok na kahanay sa base nito (Larawan 15.5).

Sa katunayan, sa pamamagitan ng mga formula (17.5) at (19.5)

na kasabay ng pagpapahayag ng parihaba ayon sa formula (12.5).

Seksyon sa anyo ng isang bilog

Tukuyin natin ang axial moment ng inertia ng bilog tungkol sa anumang axis na dumadaan sa center of gravity nito. Mula sa fig. 16.5, at sumusunod

Malinaw, na may paggalang sa anumang axis na dumadaan sa gitna ng bilog, ang axial moment ng inertia ay magiging pantay at, samakatuwid,

Ayon sa formula (11.5) nakita natin ang polar moment ng inertia ng bilog na may kaugnayan sa sentro nito:

Ang pormula para sa axial moment of inertia ng isang bilog ay maaaring makuha sa mas simpleng paraan kung una mong kukunin ang formula para sa polar moment ng inertia nito na may kaugnayan sa gitna (point O). Upang gawin ito, pumili kami mula sa bilog ng isang elementarya na singsing na may kapal ng radius at lugar (Larawan 16.5, b).

Ang polar moment ng inertia ng elementary ring na may kaugnayan sa gitna ng bilog, dahil ang lahat ng elementarya na lugar kung saan binubuo ang singsing na ito ay matatagpuan sa parehong distansya mula sa gitna ng bilog. Kaya naman,

Ang resulta na ito ay tumutugma sa nakuha sa itaas.

Ang mga sandali ng inertia (polar at axial) ng isang seksyon na may hugis ng isang pabilog na singsing na may panlabas na diameter d at isang panloob na isa (Larawan 17.5) ay maaaring matukoy bilang pagkakaiba sa pagitan ng mga kaukulang sandali ng pagkawalang-galaw ng panlabas at panloob. mga bilog.

Polar moment of inertia ng singsing batay sa formula (21.5)

o, kung ipinapahiwatig

Katulad nito, para sa axial moments ng inertia ng ring

Sandali ng pagkawalang-galaw at sandali ng paglaban

Kapag tinutukoy ang seksyon ng mga istruktura ng gusali, madalas na kinakailangan upang malaman ang sandali ng pagkawalang-galaw at ang sandali ng paglaban para sa itinuturing na cross section ng istraktura. Ano ang sandali ng paglaban at kung paano ito nauugnay sa sandali ng pagkawalang-galaw ay itinakda nang hiwalay. Bilang karagdagan, para sa mga compressible na istruktura, kailangan mo ring malaman ang halaga ng radius ng gyration. Posible upang matukoy ang sandali ng paglaban at ang sandali ng pagkawalang-galaw, at kung minsan ang radius ng gyration para sa karamihan ng mga cross section ng isang simpleng geometric na hugis, gamit ang mga kilalang formula:

Talahanayan 1. Mga sectional na hugis, sectional na lugar, mga sandali ng pagkawalang-galaw at mga sandali ng pagtutol para sa mga istruktura ng medyo simpleng geometric na mga hugis.

Karaniwan, ang mga formula na ito ay sapat para sa karamihan ng mga kalkulasyon, ngunit mayroong lahat ng uri ng mga kaso at ang seksyon ng istraktura ay maaaring hindi tulad ng isang simpleng geometric na hugis o ang posisyon ng mga axes kung saan ang sandali ng pagkawalang-kilos o ang sandali ng Ang paglaban ay dapat matukoy na maaaring hindi pareho, pagkatapos ay maaari mong gamitin ang mga sumusunod na formula:

Talahanayan 2. Mga hugis ng seksyon, mga lugar ng seksyon, mga sandali ng pagkawalang-galaw at mga sandali ng pagtutol para sa mga istruktura ng mas kumplikadong mga geometric na hugis

Tulad ng makikita mula sa Talahanayan 2, sa halip mahirap kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw at ang sandali ng paglaban para sa hindi pantay na mga anggulo, ngunit hindi na kailangan para dito. Para sa hindi pantay na istante at pantay na istante na mga rolling anggulo, pati na rin para sa mga channel, I-beam at profile pipe, mayroong mga assortment. AT mga assortment ang mga halaga ng sandali ng pagkawalang-galaw at ang sandali ng paglaban ay ibinibigay para sa bawat profile.

Talahanayan 3. Mga pagbabago sa mga sandali ng pagkawalang-galaw at mga sandali ng paglaban depende sa posisyon ng mga palakol.

Maaaring kailanganin ang mga formula mula sa Talahanayan 3 upang makalkula ang mga sloped na elemento ng bubong.

Mas mainam na ipaliwanag nang may malinaw na halimbawa para sa mga espesyal na likas na matalino, tulad ko, kung ano ang sandali ng pagkawalang-galaw at kung ano ang kinakain nito. Sa mga dalubhasang site, ang lahat ay medyo nakakalito, at si Doc ay may malinaw na talento upang magdala ng impormasyon, marahil hindi ang pinaka kumplikado, ngunit napakahusay at malinaw.

Sa prinsipyo, kung ano ang sandali ng pagkawalang-galaw at kung saan ito nanggaling ay ipinaliwanag sa sapat na detalye sa artikulong "Mga Batayan ng lakas ng mga materyales, mga formula ng pagkalkula", dito ko uulitin: "W ang sandali ng paglaban ng beam cross seksyon, sa madaling salita, ang lugar ng compressible o makunat na bahagi ng seksyon ng beam, na pinarami ng braso ng resultang puwersa". Ang sandali ng paglaban ay dapat na kilala para sa mga kalkulasyon ng lakas ng istraktura, i.e. para sa limitasyon ng mga stress. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ay dapat malaman upang matukoy ang mga anggulo ng pag-ikot ng cross section at pagpapalihis (displacement) ng sentro ng gravity ng cross section, dahil ang maximum na mga deformation ay nangyayari sa pinakamataas at pinakamababang mga layer ng baluktot na istraktura, pagkatapos ay ang Ang sandali ng pagkawalang-galaw ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagpaparami ng sandali ng paglaban sa distansya mula sa seksyon ng sentro ng grabidad hanggang sa itaas o mas mababang layer, samakatuwid, para sa mga parihabang seksyon I=Wh/2. Kapag tinutukoy ang sandali ng pagkawalang-galaw ng mga seksyon ng kumplikadong mga geometric na hugis, una ang kumplikadong figure ay nahahati sa mga simple, pagkatapos ay ang mga cross-sectional na lugar ng mga figure na ito at ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng pinakasimpleng mga figure ay tinutukoy, pagkatapos ay ang mga lugar ng pinakasimpleng. ang mga numero ay pinarami ng parisukat ng distansya mula sa karaniwang sentro ng grabidad ng seksyon hanggang sa sentro ng grabidad ng pinakasimpleng pigura. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng pinakasimpleng figure sa komposisyon ng isang kumplikadong seksyon ay katumbas ng sandali ng pagkawalang-galaw ng figure + ang parisukat ng distansya na pinarami ng lugar. Pagkatapos ang nakuha na mga sandali ng pagkawalang-galaw ay summed up at ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang kumplikadong seksyon ay nakuha. Ngunit ito ang mga pinaka-pinasimpleng formulations (bagaman, sumasang-ayon ako, mukhang medyo nakakalito).

Sandali ng pagkawalang-galaw at sandali ng pagtutol - Dr. Lom

Kapag tinutukoy ang seksyon ng mga istruktura ng gusali, madalas na kinakailangan upang malaman ang sandali ng pagkawalang-galaw at ang sandali ng paglaban para sa cross section ng istraktura. Posible upang matukoy ang sandali ng paglaban at ang sandali ng enerhiya para sa karamihan ng mga cross section ng isang simpleng geometric na hugis gamit ang matagal nang kilalang mga formula

Kabanata 5. MGA SANDALI NG INERTIA NG MGA SEKSYON NG EROPLO

Ang anumang patag na seksyon ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang bilang ng mga geometric na katangian: lugar, mga coordinate ng sentro ng grabidad, static na sandali, sandali ng pagkawalang-galaw, atbp.

Mga static na sandali tungkol sa mga palakol X at y ay pantay:

Ang mga static na sandali ay karaniwang ipinahayag sa mga tuntunin ng kubiko sentimetro o metro at maaaring magkaroon ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Ang axis kung saan ang static na sandali ay zero ay tinatawag sentral. Ang punto ng intersection ng mga gitnang axes ay tinatawag sentro ng grabidad ng seksyon. Mga formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng sentro ng grabidad x c at yc kumplikadong seksyon, na pinaghiwa-hiwalay sa pinakasimpleng mga bahagi, kung saan kilala ang mga lugar A i at posisyon ng sentro ng grabidad xci at y ci, magkaroon ng form

Ang halaga ng sandali ng pagkawalang-galaw ay nagpapakilala sa paglaban ng baras sa pagpapapangit (pamamaluktot, baluktot) depende sa laki at hugis ng cross section. May mga sandali ng pagkawalang-galaw:

ay axial, na tinutukoy ng mga integral ng form

Ang axial at polar moments ng inertia ay palaging positibo at hindi

maging zero. Polar moment of inertia Ip ay katumbas ng kabuuan ng mga axial moments ng inertia ako x at ako y tungkol sa anumang pares ng magkaparehong patayo na mga palakol X at sa:

Ang centrifugal moment ng inertia ay maaaring positibo, negatibo o zero. Ang dimensyon ng mga sandali ng pagkawalang-kilos ay cm 4 o m 4. Mga formula para sa pagtukoy ng mga sandali ng pagkawalang-galaw simpleng mga seksyon kaugnay sa gitnang mga palakol ay ibinibigay sa mga sangguniang aklat. Kapag kinakalkula ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga kumplikadong seksyon, ang mga formula para sa paglipat mula sa mga gitnang axes ng mga simpleng seksyon sa iba pang mga axes na kahanay sa mga gitnang ay madalas na ginagamit.

nasaan ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga simpleng seksyon tungkol sa mga gitnang axes;

m,n– distansya sa pagitan ng mga palakol (Larawan 18).

kanin. 18. Upang matukoy ang mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga palakol,

Ang mga pangunahing gitnang axes ng seksyon ay mahalaga. Ang mga pangunahing sentral ay dalawang magkaparehong patayo na mga ax na dumadaan sa gitna ng gravity ng seksyon, na nauugnay kung saan ang centrifugal moment ng inertia ay zero, at ang axial moments ng inertia ay may matinding halaga. Ang mga pangunahing sandali ng pagkawalang-kilos ay tinutukoy ako u(max) at Iv(min) at tinutukoy ng formula

Ang posisyon ng mga pangunahing axes ay tinutukoy ng anggulo α, na matatagpuan mula sa formula

Ang anggulo α ay naka-plot mula sa isang axis na may malaking di-pangunahing sandali ng pagkawalang-galaw; ang isang positibong halaga ay counterclockwise.

Kung ang seksyon ay may isang axis ng mahusay na proporsyon, kung gayon ang axis na ito ang pangunahing isa. Ang iba pang pangunahing axis ay patayo sa axis ng symmetry. Sa pagsasagawa, ang mga seksyon ay madalas na ginagamit, na binubuo ng ilang mga pinagsamang profile (I-beam, channel, sulok). Ang mga geometric na katangian ng mga profile na ito ay ibinibigay sa assortment table. Para sa mga hindi pantay at equilateral na sulok, ang centrifugal moment ng inertia tungkol sa mga gitnang axes na kahanay sa mga istante ay tinutukoy ng formula

Bigyang-pansin ang pagtatalaga ng mga pangunahing gitnang axes sa assortment table para sa mga anggulo. Tanda Ixy para sa isang sulok ay depende sa posisyon nito sa seksyon. Ipinapakita ng Figure 19 ang mga posibleng posisyon ng anggulo sa seksyon at ipinapakita ang mga palatandaan para sa Ixy.

kanin. 19. Mga posibleng posisyon ng sulok sa seksyon

Tukuyin ako ikaw, ako v at ang posisyon ng mga pangunahing gitnang axes ng seksyon

Ang isang kumplikadong seksyon ay binubuo ng dalawang pinagsamang profile. Ang isang katas mula sa mga assortment table (Appendix 5) ay ipinapakita sa fig. 21.

Bilang pantulong, kukunin namin ang mga palakol na dumadaan sa labas

gilid ng channel (axes x B, y B, tingnan ang fig. 20). Mga coordinate ng sentro ng grabidad ng seksyon:

(kalkulahin ang iyong sarili).

kanin. 20. Posisyon ng mga pangunahing gitnang axes ng inertia

U at V kumplikadong seksyon

Bilang pandiwang pantulong ay maaaring pumili, halimbawa, ang mga gitnang palakol ng channel. Pagkatapos ang halaga ng mga kalkulasyon ay medyo mababawasan.

Axial moments ng inertia:

Pakitandaan na ang hindi pantay na sulok sa seksyon ay matatagpuan

maliban sa ipinapakita sa grading table. Kalkulahin ang halaga sa iyong sarili.

No. 24 180 x 110 x 12

kanin. 21. Ang mga halaga ng mga geometric na katangian ng mga rolling profile:

a- channel No. 24; b– hindi pantay na sulok 180 x 110 x 12

Centrifugal moments ng inertia:

- para sa channel (may mga axes ng simetrya);

- para sa sulok

minus sign - dahil sa posisyon ng sulok sa seksyon;

- para sa buong seksyon:

Sundin ang layunin ng mga palatandaan n at m. Mula sa mga gitnang axes ng channel pumasa kami sa mga karaniwang gitnang axes ng seksyon, samakatuwid + m2

Ang mga pangunahing sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon:

Ang posisyon ng mga pangunahing gitnang axes ng seksyon:

; α \u003d 55 mga 48 ′;

Sinusuri ang kawastuhan ng pagkalkula ng mga dami ako u, Iv at ang α ay ginawa ng formula

Ang anggulo α para sa formula na ito ay sinusukat mula sa axis u.

Ang itinuturing na seksyon ay may pinakamalaking pagtutol sa baluktot tungkol sa axis u at ang pinakamaliit - may kaugnayan sa axis v.

Kabanata 5

Kapag sinusuri ang lakas ng mga bahagi ng mga istraktura, kailangan nating matugunan ang mga seksyon ng isang medyo kumplikadong hugis, kung saan imposibleng kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw sa isang simpleng paraan tulad ng ginamit namin para sa isang rektanggulo at isang bilog.

Ang nasabing seksyon ay maaaring, halimbawa, Taurus (Larawan 5 a) isang annular na seksyon ng isang baluktot na tubo (mga istruktura ng sasakyang panghimpapawid) (Larawan 5, b), isang annular na seksyon ng shaft neck o mas kumplikadong mga seksyon. Ang lahat ng mga seksyong ito ay maaaring hatiin sa pinakasimpleng mga, tulad ng mga parihaba, tatsulok, bilog, atbp. Maaari itong ipakita na ang sandali ng pagkawalang-galaw ng naturang kumplikadong pigura ay ang kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bahagi kung saan natin ito hinati.

Fig.5. Mga seksyong uri ng Taurus - a) at singsing b)

Ito ay kilala na ang sandali ng pagkawalang-galaw ng anumang figure tungkol sa axis sa— sa katumbas ng:

saan z— distansya ng mga elementarya na lugar sa axis sa—sa.

Hinahati namin ang kinuhang lugar sa apat na bahagi: , , at . Ngayon, kapag kinakalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw, maaari mong pangkatin ang mga termino sa integrat upang magkahiwalay na maisagawa ang pagsusuma para sa bawat isa sa napiling apat na lugar, at pagkatapos ay idagdag ang mga kabuuan na ito. Ang halaga ng integral ay hindi magbabago mula rito.

Ang ating integral ay mahahati sa apat na integral, ang bawat isa ay sumasaklaw sa isa sa mga lugar, , at :

Ang bawat isa sa mga integral na ito ay kumakatawan sa sandali ng pagkawalang-galaw ng kaukulang bahagi ng lugar tungkol sa axis sa— sa; kaya lang

kung saan ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis sa — sa lugar, - pareho para sa lugar, atbp.

Ang resulta na nakuha ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang kumplikadong pigura ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bahagi nito. Kaya, kailangan nating makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng anumang pigura tungkol sa anumang axis na nakahiga sa eroplano nito.

Ang solusyon sa problemang ito ay ang nilalaman ng kasalukuyan at kasunod na dalawang panayam.

Mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa parallel axes.

Ang gawain - upang makuha ang pinakasimpleng mga formula para sa pagkalkula ng sandali ng pagkawalang-galaw ng anumang figure tungkol sa anumang axis - ay malulutas sa ilang mga hakbang. Kung kukuha tayo ng isang serye ng mga axes na parallel sa isa't isa, lumalabas na madaling kalkulahin ng isang tao ang mga sandali ng inertia ng isang figure tungkol sa alinman sa mga ax na ito, alam ang moment of inertia nito tungkol sa isang axis na dumadaan sa gitna ng gravity ng figure. parallel sa napiling mga palakol.

Fig.1. Modelo ng pagkalkula para sa pagtukoy ng mga sandali ng pagkawalang-galaw para sa parallel axes.

Ang mga palakol na dumadaan sa sentro ng grabidad ay tatawagin gitnang palakol. Kunin natin (Fig.1) ang isang arbitrary figure. Iguhit ang gitnang axis OU, ang sandali ng pagkawalang-kilos tungkol sa axis na ito ay tatawagin . Gumuhit ng isang axis sa eroplano ng figure parallel mga palakol sa sa malayo sa kanya. Hanapin natin ang kaugnayan sa pagitan ng at - ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis. Upang gawin ito, nagsusulat kami ng mga expression para sa at . Hatiin natin ang lugar ng figure sa mga lugar; ang distansya ng bawat naturang plataporma sa mga palakol sa at tumawag at . Pagkatapos

Mula sa Fig.1 mayroon kaming:

Ang una sa tatlong integral na ito ay ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa gitnang aksis OU. Ang pangalawa ay ang static na sandali tungkol sa parehong axis; ito ay katumbas ng zero, dahil ang axis sa dumadaan sa gitna ng grabidad ng pigura. Sa wakas, ang pangatlong integral ay katumbas ng lugar ng figure F. kaya,

(1)

ibig sabihin, ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa anumang axis ay katumbas ng sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa gitnang axis, na iginuhit parallel sa ibinigay na isa, kasama ang produkto ng lugar ng figure sa pamamagitan ng parisukat ng distansya sa pagitan ng mga palakol.

Nangangahulugan ito na ang aming gawain ay nabawasan na ngayon sa pagkalkula lamang ng mga sentral na sandali ng pagkawalang-galaw; kung alam natin ang mga ito, maaari nating kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa anumang iba pang axis. Mula sa formula (1) ito ay sumusunod na sentral sandali ng pagkawalang-galaw ay hindi bababa sa kabilang sa mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga parallel axes at para dito nakukuha natin:

Mahahanap din natin ang centrifugal moment ng inertia tungkol sa mga axes na kahanay sa mga gitnang, kung kilala (Fig. 1). Dahil sa pamamagitan ng kahulugan

kung saan: , pagkatapos ay sumusunod

Dahil ang huling dalawang integral ay ang mga static na sandali ng lugar tungkol sa mga gitnang axes OU at Oz pagkatapos sila ay mawawala at kaya:

(2)

Ang centrifugal moment ng inertia tungkol sa isang sistema ng mutually perpendicular axes parallel sa central ones ay katumbas ng centrifugal moment of inertia about these central axes plus ang product ng figure's area sa pamamagitan ng coordinate ng center of gravity nito na may kaugnayan sa mga bagong axes.

Ang kaugnayan sa pagitan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw kapag pinihit ang mga palakol.

Maaari kang gumuhit ng maraming gitnang axes hangga't gusto mo. Ang tanong ay kung posible bang ipahayag ang moment of inertia tungkol sa anumang central axis depende sa moment of inertia tungkol sa isa o dalawa tiyak mga palakol. Upang gawin ito, tingnan natin kung paano magbabago ang mga sandali ng inertia tungkol sa dalawang magkaparehong patayo na mga palakol kapag sila ay pinaikot sa isang anggulo.

Kumuha ng anumang pigura at gumuhit sa gitna ng grabidad nito O dalawang magkaparehong patayo na palakol OU at Oz(Larawan 2).

Fig.2. Modelo ng pagkalkula para sa pagtukoy ng mga sandali ng pagkawalang-galaw para sa mga rotated axes.

Ipaalam sa amin ang mga axial moments ng inertia tungkol sa mga axes na ito, , pati na rin ang centrifugal moment ng inertia . Iguhit natin ang pangalawang sistema ng mga coordinate axes at ihilig sa una sa isang anggulo ; ang positibong direksyon ng anggulong ito ay isasaalang-alang kapag ang mga axes ay pinaikot sa paligid ng punto O counterclock-wise. Pinagmulan O iligtas. Ipahayag natin ang mga sandali na nauugnay sa pangalawang sistema ng mga coordinate axes at , sa pamamagitan ng mga kilalang sandali ng pagkawalang-kilos at .

Sumulat tayo ng mga expression para sa mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga ax na ito:

Katulad nito:

Upang malutas ang mga problema, maaaring kailanganin mo ang mga formula para sa paglipat mula sa isang axis patungo sa isa pa para sa centrifugal moment of inertia. Kapag pinihit ang mga palakol (Larawan 2) mayroon kaming:

kung saan at kinakalkula ng mga formula (14.10); pagkatapos

Pagkatapos ng mga pagbabago, nakukuha namin:

(7)

Kaya, upang makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa anumang gitnang axis, kailangan mong malaman ang mga sandali ng pagkawalang-galaw at tungkol sa sistema ng alinmang dalawang magkaparehong patayo na gitnang axes. OU at Oz, ang centrifugal moment ng inertia tungkol sa parehong mga axes at ang anggulo ng inclination ng axis sa axis sa.

Upang kalkulahin ang mga halaga\u003e, kailangan mong piliin ang mga axes sa at z at hatiin ang lugar ng figure sa naturang mga bahagi ng bahagi upang magawa ang pagkalkula na ito, gamit lamang ang mga formula para sa paglipat mula sa mga gitnang axes ng bawat isa mga bahaging bumubuo sa mga palakol na kahanay sa kanila. Kung paano gawin ito sa pagsasanay ay ipapakita sa ibaba na may isang halimbawa. Tandaan na sa pagkalkula na ito, ang mga kumplikadong figure ay dapat nahahati sa mga elementarya na bahagi, kung saan, kung maaari, ang mga halaga ng mga gitnang sandali ng pagkawalang-galaw na nauugnay sa sistema ng magkabilang patayo na mga palakol ay kilala.

Tandaan na ang kurso ng derivation at ang mga resultang nakuha ay hindi magbabago kung ang pinagmulan ng mga coordinate ay kinuha hindi sa gitna ng gravity ng seksyon, ngunit sa anumang iba pang punto O. Kaya, ang mga pormula (6) at (7) ay mga pormula para sa paglipat mula sa isang sistema ng magkabilang patayo na mga palakol patungo sa isa pa, na pinaikot sa ilang anggulo , hindi alintana kung ito ay mga gitnang palakol o hindi.

Mula sa mga formula (6) makakakuha ang isa ng isa pang kaugnayan sa pagitan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw kapag ang mga axes ay pinaikot. Pagdaragdag ng mga expression para sa at makuha namin

i.e. ang kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa anumang magkaparehong patayo na mga palakol sa at z ay hindi nagbabago kapag sila ay pinaikot. Ang pagpapalit ng huling expression para sa at ang kanilang mga halaga, makuha namin:

saan ang distansya ng mga platform dF mula sa punto O. Ang dami ay, tulad ng alam na, ang polar moment ng inertia ng seksyon tungkol sa punto O.

Kaya, ang polar moment ng inertia ng seksyon na may paggalang sa anumang punto ay katumbas ng kabuuan ng mga axial moments ng inertia na may paggalang sa magkabilang patayo na mga ax na dumadaan sa puntong ito. Samakatuwid, ang kabuuan na ito ay nananatiling pare-pareho kapag ang mga axes ay pinaikot. Ang pag-asa na ito (14.16) ay maaaring gamitin upang pasimplehin ang pagkalkula ng mga sandali ng pagkawalang-galaw.

Kaya, para sa isang bilog:

Dahil, sa pamamagitan ng simetrya para sa isang bilog,

na nakuha sa itaas sa pamamagitan ng pagsasama.

Katulad nito, para sa isang manipis na pader na annular na seksyon, maaari kang makakuha ng:

Mga pangunahing axes ng inertia at mga pangunahing sandali ng inertia.

Tulad ng alam na, ang pag-alam para sa isang naibigay na figure ang mga gitnang sandali ng pagkawalang-galaw , at , posibleng kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw na may paggalang sa anumang iba pang axis.

Sa kasong ito, posible na kumuha para sa pangunahing sistema ng mga palakol tulad ng isang sistema kung saan ang mga formula ay makabuluhang pinasimple. Lalo na, ang isang tao ay makakahanap ng isang sistema ng mga coordinate axes kung saan ang centrifugal moment ng inertia ay katumbas ng zero. Sa katunayan, ang mga sandali ng pagkawalang-galaw at ay palaging positibo, bilang ang mga kabuuan ng mga positibong termino, habang ang sentripugal na sandali

ay maaaring parehong positibo at negatibo, dahil ang mga tuntunin zydF maaaring may iba't ibang palatandaan depende sa mga palatandaan z at sa para sa isang site o iba pa. Kaya maaari itong maging zero.

Ang mga axes kung saan nawawala ang centrifugal moment ng inertia ay tinatawag pangunahing mga palakol pagkawalang-kilos. Kung ang simula ng naturang sistema ay inilalagay sa gitna ng grabidad ng pigura, kung gayon ang mga ito ay magiging pangunahing mga gitnang palakol. Ipatukoy natin ang mga palakol na ito at ; para sa kanila

Hanapin natin sa anong anggulo ang mga pangunahing axes ay nakakiling sa gitnang axes y at z (Larawan 198).

Fig.1. Modelo ng pagkalkula para sa pagtukoy ng posisyon ng mga pangunahing axes ng inertia.

Sa kilalang expression para sa paglipat mula sa mga axes yz sa mga palakol, para sa sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw binibigyan namin ang anggulo ng isang halaga; pagkatapos ay ang mga axes at , ay magkakasabay sa mga pangunahing, at ang centrifugal moment ng inertia ay magiging katumbas ng zero:

(1)

Ang equation na ito ay nasiyahan ng dalawang halaga ng , na naiiba ng 180°, o dalawang halaga ng , na naiiba ng 90°. Kaya ang equation na ito ay nagbibigay sa amin ng posisyon dalawang ehe na bumubuo ng tamang anggulo sa pagitan nila. Ito ang magiging pangunahing mga sentral na palakol at , kung saan .

Gamit ang formula na ito, maaari nating gamitin ang kilalang , at makakuha ng mga formula para sa mga pangunahing sandali ng pagkawalang-galaw at . Upang gawin ito, muli naming ginagamit ang mga expression para sa axial moments ng inertia pangkalahatang posisyon. Tinutukoy nila ang mga halaga at kung sa halip na palitan

(2)

Ang mga nakuhang relasyon ay magagamit sa paglutas ng mga problema. Ang isa sa mga pangunahing sandali ng pagkawalang-galaw ay , ang isa ay .

Ang mga formula (2) ay maaaring ma-convert sa isang form na libre mula sa halaga . Ang pagpapahayag at sa pamamagitan at pagpapalit ng kanilang mga halaga sa unang formula (2), nakukuha namin, habang ginagawa ang kapalit mula sa formula (1):

Papalitan dito mula sa formula (1) ang fraction ng

nakukuha natin

(3)

Ang parehong expression ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggawa ng katulad na pagbabago ng pangalawang formula (3).

Para sa pangunahing sistema ng mga gitnang axes, kung saan maaari kang pumunta sa anumang iba pa, hindi mo maaaring gawin OU at Oz, at mga pangunahing palakol at ; pagkatapos ay hindi lilitaw ang centrifugal moment ng inertia () sa mga formula. Ipahiwatig natin ang anggulo na nabuo ng axis , (Fig. 2) sa pangunahing axis , sa pamamagitan ng . Upang kalkulahin ang , at , pagpasa mula sa mga axes at , sa naunang natagpuang mga expression para sa , at , palitan ang anggulo sa pamamagitan ng , at , at — sa pamamagitan ng , at . Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Sa kanilang anyo, ang mga formula na ito ay ganap na katulad ng mga formula para sa normal at paggugupit na mga stress sa dalawang magkabilang patayo na lugar sa isang elementong napapailalim sa pag-igting sa dalawang direksyon. Ipahiwatig lamang namin ang isang formula na nagpapahintulot sa amin na pumili mula sa dalawang mga halaga ng anggulo ng isa na tumutugma sa paglihis ng unang pangunahing axis (nagbibigay ng max J) mula sa paunang posisyon ng axis sa:

Ngayon ay maaari na nating bumalangkas kung ano ang kailangang gawin upang makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang pigura tungkol sa anumang axis sa pinakasimpleng paraan. Kinakailangan na gumuhit ng mga palakol sa gitna ng grabidad ng pigura OU at Oz upang, na hatiin ang pigura sa pinakasimpleng bahagi, madali nating kalkulahin ang mga sandali na dumaraan sa layo (Larawan 2) mula sa sentro ng grabidad:

Sa maraming mga kaso posible na agad na iguhit ang mga pangunahing axes ng figure; kung ang figure ay may isang axis ng simetrya, kung gayon ito ang magiging isa sa mga pangunahing axes. Sa katunayan, kapag kinukuha ang formula, napag-usapan na natin ang integral , na siyang sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon tungkol sa mga palakol. sa at z; napatunayan na kung ang axis Oz ay ang axis ng simetrya, ang integral na ito ay naglalaho.

Samakatuwid, sa kasong ito, ang mga axes OU at Oz ay pangunahing ang mga gitnang axes ng inertia ng seksyon. kaya, axis ng simetrya- palaging ang pangunahing gitnang axis; pangalawa bahay ang gitnang axis ay dumadaan sa gitna ng grabidad patayo sa axis ng simetrya.

Halimbawa. Hanapin ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng parihaba (Larawan 3) na nauugnay sa mga axes at katumbas ng:

Ang mga sandali ng pagkawalang-kilos tungkol sa mga palakol at ay katumbas ng:

Ang centrifugal moment ng inertia ay

http://:www.svkspb.nm.ru

Mga katangiang geometriko ng mga patag na seksyon

parisukat: , dF - elementarya na lugar.

Static na sandali ng elemento ng lugardF tungkol sa 0x axis
- produkto ng elemento ng lugar sa pamamagitan ng distansyang "y" mula sa 0x axis: dS x = ydF

Ang pagbubuod (pagsasama) ng mga naturang produkto sa buong lugar ng figure, nakuha namin mga static na sandali tungkol sa y at x axes:
;
[cm 3, m 3, atbp.].

Mga coordinate ng sentro ng grabidad:
. Mga static na sandali na nauugnay sa gitnang palakol(mga palakol na dumadaan sa gitna ng grabidad ng seksyon) ay katumbas ng zero. Kapag kinakalkula ang mga static na sandali ng isang kumplikadong figure, nahahati ito sa mga simpleng bahagi, na may mga kilalang lugar F i at mga coordinate ng mga sentro ng gravity x i, y i. Ang static na sandali ng lugar ng buong figure \u003d ang kabuuan ng mga static na sandali ng bawat bahagi nito:
.

Ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng isang kumplikadong pigura:

M
mga sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon

Axial(equatorial) section moment of inertia- ang kabuuan ng mga produkto ng elementarya na lugar dF sa pamamagitan ng mga parisukat ng kanilang mga distansya sa axis.

;
[cm 4, m 4, atbp.].

Ang polar moment ng inertia ng isang seksyon na may kaugnayan sa isang tiyak na punto (pol) ay ang kabuuan ng mga produkto ng elementarya na mga lugar sa pamamagitan ng mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa puntong ito.
; [cm 4, m 4, atbp.]. J y + J x = J p .

Centrifugal moment of inertia ng seksyon- ang kabuuan ng mga produkto ng elementarya na mga lugar sa pamamagitan ng kanilang mga distansya mula sa dalawang magkaparehong patayo na palakol.
.

Ang sentripugal na sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon tungkol sa mga palakol, ang isa o pareho sa mga ito ay nag-tutugma sa mga palakol ng mahusay na proporsyon, ay katumbas ng zero.

Ang axial at polar moments ng inertia ay palaging positibo, ang centrifugal moments ng inertia ay maaaring positibo, negatibo o zero.

Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang kumplikadong pigura ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bahagi nito.

Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga seksyon ng isang simpleng anyo

P
parihabang seksyon Bilog

Upang


singsing

T
parihaba

R
autofemoral

Parihaba

t
parihaba

H quarter circle

J y \u003d J x \u003d 0.055R 4

Jxy =0.0165R 4

sa fig. (-)

kalahating bilog

M

ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga karaniwang profile ay matatagpuan mula sa mga talahanayan ng assortment:

D
vutaur Channel sulok

M

mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa parallel axes:

J x1 = J x + a 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

ang sandali ng pagkawalang-kilos tungkol sa anumang axis ay katumbas ng sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa gitnang axis na kahanay sa ibinigay na isa, kasama ang produkto ng lugar ng figure at ang parisukat ng distansya sa pagitan ng mga axes. J y1x1 = J yx + abF; (Ang "a" at "b" ay pinapalitan sa pormula, na isinasaalang-alang ang kanilang tanda).

Relasyon sa pagitan mga sandali ng pagkawalang-galaw kapag pinihit ang mga palakol:

J x1 \u003d J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 \u003d J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Anggulo >0, kung ang paglipat mula sa lumang sistema ng coordinate patungo sa bago ay nangyayari nang pakaliwa. J y1 + J x1 = J y + J x

Extreme (maximum at minimum) na mga halaga ng mga sandali ng inertia ay tinatawag pangunahing mga sandali ng pagkawalang-galaw. Ang mga axes kung saan ang mga axial moments ng inertia ay may matinding halaga ay tinatawag pangunahing axes ng pagkawalang-galaw. Ang mga pangunahing axes ng inertia ay magkaparehong patayo. Centrifugal moments of inertia tungkol sa mga pangunahing axes = 0, i.e. principal axes of inertia - axes kung saan ang centrifugal moment of inertia = 0. Kung ang isa sa mga axes ay nag-tutugma o pareho ang coincide sa axis ng symmetry, kung gayon sila ang principal. Anggulo na tumutukoy sa posisyon ng mga pangunahing axes:
, kung  0 >0  ang mga axes ay iniikot sa counterclockwise. Ang axis ng maximum ay palaging gumagawa ng isang mas maliit na anggulo sa mga axes, na nauugnay sa kung saan ang moment of inertia ay may mas malaking halaga. Ang mga pangunahing palakol na dumadaan sa sentro ng grabidad ay tinatawag pangunahing mga gitnang axes ng inertia. Mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga palakol na ito:

J max + J min = J x + J y . Ang centrifugal moment ng inertia tungkol sa mga pangunahing central axes ng inertia ay 0. Kung ang mga pangunahing sandali ng inertia ay kilala, ang mga formula para sa paglipat sa rotated axes ay:

J x1 \u003d J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 \u003d J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min) sin2;

Ang pangwakas na layunin ng pagkalkula ng mga geometric na katangian ng seksyon ay upang matukoy ang mga pangunahing gitnang sandali ng pagkawalang-galaw at ang posisyon ng mga pangunahing gitnang axes ng inertia. R radius ng pagkawalang-galaw -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Kung ang J x at J y ang mga pangunahing sandali ng pagkawalang-galaw, kung gayon ang i x at i y - pangunahing radii ng gyration. Ang isang ellipse na binuo sa pangunahing radii ng inertia tulad ng sa mga semiax ay tinatawag ellipse ng inertia. Gamit ang ellipse ng inertia, maaari mong graphical na mahanap ang radius ng gyration i x1 para sa anumang x 1 axis. Upang gawin ito, gumuhit ng tangent sa ellipse parallel sa x 1 axis, at sukatin ang distansya mula sa axis na ito hanggang sa tangent. Alam ang radius ng gyration, maaari mong mahanap ang sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon tungkol sa x-axis 1:
. Para sa mga seksyon na may higit sa dalawang axes ng symmetry (halimbawa: isang bilog, isang parisukat, isang singsing, atbp.), Ang mga axial moments ng inertia tungkol sa lahat ng mga central axes ay katumbas ng bawat isa, J xy \u003d 0, ang ellipse ng ang pagkawalang-galaw ay nagiging bilog ng pagkawalang-galaw.

mga sandali ng paglaban.

Axial sandali ng paglaban- ang ratio ng sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis sa distansya mula dito hanggang sa pinakamalayong punto ng seksyon.
[cm 3, m 3]

Partikular na mahalaga ang mga sandali ng paglaban na nauugnay sa mga pangunahing gitnang axes:

parihaba:
; bilog: Wx=Wy=
,

tubular na seksyon (singsing): W x =W y =
, kung saan = d H /d B .

Polar moment of resistance - ang ratio ng polar moment ng inertia sa distansya mula sa poste hanggang sa pinakamalayong punto ng seksyon:
.

Para sa bilog W p =
.

Kasalukuyang pahina: 3 (kabuuang aklat ay may 9 na pahina) [accessible reading excerpt: 7 pages]

Font:

100% +

22. Static na sandali ng seksyon

Ang mga kalkulasyon ng lakas ay nagpapakita na ang stress at strain na nangyayari sa isang solidong katawan ay nakasalalay sa panloob na mga kadahilanan ng puwersa at ang mga geometric na katangian ng cross section. Sa pag-igting, halimbawa, ang stress ay nakasalalay sa cross-sectional area, at, dahil ang stress sa kasong ito ay pantay na ipinamamahagi sa seksyon, ay hindi nakasalalay sa hugis ng seksyon. Sa panahon ng pamamaluktot, ang mga stress ay nakasalalay sa laki at hugis ng seksyon dahil sa hindi pantay na pamamahagi ng mga stress. Kasama sa mga formula ng pagkalkula ng beam sa torsion polar moment ng inertia ako p at polar moment ng paglaban W p- mga geometric na katangian ng seksyon. Kapag kinakalkula ang lakas ng isang sinag sa baluktot, kinakailangang malaman ang mga sandali ng pagkawalang-galaw at ang mga sandali ng paglaban ng seksyon na may kaugnayan sa mga palakol na dumadaan sa sentro ng grabidad ng sinag. Isaalang-alang natin ang isang partikular na seksyon ng isang sinag na may isang lugar A at isang axis na dumadaan sa sentro ng grabidad ng katawan na ito. Ang static na sandali ng isang seksyon ng eroplano tungkol sa ilang axis x ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga lugar ng elementarya na mga lugar na bumubuo sa seksyon, sa pamamagitan ng mga distansya ng mga lugar na ito sa axis na dumadaan sa sentro ng grabidad. Katulad din para sa axis y.

Ang static na sandali ay sinusukat sa metro kubiko. Maaari itong maging positibo, negatibo, o zero, depende sa napiling axis. Kung ang mga static na sandali at ang cross-sectional area ay kilala, ang mga coordinate ng center of gravity ay maaaring matukoy bilang ratio ng static na moment sa cross-sectional area. At kabaligtaran, kung ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng seksyon ay kilala - x c , y c, ang static na sandali ay katumbas ng produkto ng cross-sectional area at ang distansya mula sa sentro ng grabidad hanggang sa axis.

S x=Ay c

Sy=Palakol c

Mula sa mga relasyon na nakuha, makikita na sa kaso kapag ang axis ay dumaan sa sentro ng grabidad, ang static na sandali ay zero.

Sa kaso kung saan ang cross section ay maituturing na n-ika bilang ng mga bahaging bahagi na may mga kilalang lugar A i at mga coordinate ng mga sentro ng grabidad x i , y i, ang posisyon ng buong sentro ng grabidad ay maaaring tukuyin bilang kabuuan ng mga produkto:

Tinutukoy ng bawat termino sa numerator ang static na sandali ng seksyong ito na nauugnay sa napiling axis.

23. Sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon

Axial (o equatorial) moment of inertia ng isang seksyon ng eroplano tungkol sa ilang axis x ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga lugar ng elementarya na bumubuo sa cross section sa pamamagitan ng parisukat ng distansya ng mga lugar na ito sa axis na dumadaan sa sentro ng grabidad. Kaya, ang mga axial moment ay integral sa buong sectional area.

Polar moment of inertia kamag-anak sa ilang punto (pol) ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga lugar ng elementarya na mga lugar na bumubuo sa seksyon, sa pamamagitan ng parisukat ng distansya ng mga lugar na ito sa napiling punto.

centrifugal moment of inertia na may kaugnayan sa ilang dalawang magkaparehong patayo na mga palakol ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga elementarya na lugar na bumubuo sa seksyon, sa pamamagitan ng mga distansya ng mga lugar na ito sa mga palakol na ito.

Ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ay sinusukat sa m 4 . Ang axial at polar moments ng inertia ay maaari lamang maging positibo, dahil para sa anumang tanda ng coordinate, ang parisukat ng coordinate na ito ay kinuha sa formula. Ang centrifugal moment ng inertia ay maaaring positibo, negatibo o zero.

Ang kabuuan ng mga axial moments ng inertia tungkol sa dalawang mutually perpendicular axes ay katumbas ng polar moment of inertia tungkol sa punto kung saan ang mga axes na ito ay nagsalubong.

ako ρ = ako x +ako y

Sa katunayan, ang ρ ay ang distansya mula sa elementarya na lugar ng seksyon hanggang sa ilang punto, ito ay tinukoy bilang hypotenuse ng isang tatsulok na may mga gilid x at y.

ρ 2 = x 2 + y 2

Pinapalitan namin ang kaugnayang ito sa expression para sa polar moment of inertia at makuha ang:

24. Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga simpleng seksyon

Isaalang-alang ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ng ilang mga simpleng figure.

Isang bilog. ako ρ = ako x +ako y . Dahil ang bilog ay isang simetriko figure, kung gayon ako x = ako y. Kaya naman, ako p = 2 ako x. Batay sa kahulugan ng polar moment ng inertia at ang relasyon para sa polar moment ng inertia at axial moments ng inertia sa kaso ng isang bilog, mayroon tayong:

Para sa mga singsing diameter d at panloob na diameter d 0

kalahating bilog. Ang pangunahing mga gitnang axes ay ang axis ng simetrya ng kalahating bilog na ito at ang axis na patayo dito. Para sa kalahating bilog, ang moment of inertia ay kalahati ng isang bilog para sa parehong axis. Kung italaga natin x 1 base axis, kung gayon

Mula sa kaugnayan na nagkokonekta sa mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga parallel axes, isa sa mga ito ay sentral, at, alam ang halaga ng ordinate ng sentro ng grabidad ng kalahating bilog y c ≈ 0.424r maaari mong matukoy ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ng kalahating bilog:

Parihaba. Tukuyin natin ang sandali ng pagkawalang-galaw ako x1, na tumutugma sa base ng parihaba, at isaalang-alang ang seksyon A bilang kabuuan ng elementarya na mga parihaba ng lapad b at taas dy 1 , A=bdy 1

Para sa mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga parallel axes, ang isa ay nasa gitna, ako x =I x1 - isang 2 A. Sa kasong ito, ang distansya a=h/ 2, A=bh, ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga palakol x at y

ako x = bh 3 / 12

ako y = hb 3 / 12

Sa partikular na kaso ng isang parisukat

ako x =ako y = b 4 / 12

Para sa tatsulok kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw ako x1, nauugnay sa axis x 1 , kasabay ng base, at para dito isinasaalang-alang namin ang seksyon bilang kabuuan ng mga elementarya na parihaba ng lapad b. Pagkatapos magsagawa ng mga pagbabagong matematikal, nakita namin ang halaga ako x = bh 3 / 12. Ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa gitnang aksis ay ako x =Ix1-isang 2 b, sa kasong ito a=h/ 3,A= (1 / 2)bh. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

ako x =bh 3 / 12 – (h/3) 3 (1 / 2)bh= bh 3 / 36

Sa pangkalahatan, ang axis x ay hindi ang pangunahing

ako y= bh 3 / 48

25. Relasyon sa pagitan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa parallel axes

Itatag natin ang ugnayan sa pagitan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga parallel axes, na ang isa ay sentral. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang cross section na may isang lugar PERO. (Larawan 10) Ipagpalagay na ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng seksyon ay kilala C at mga sandali ng pagkawalang-galaw Ako xc, ako yc may kaugnayan sa gitnang mga palakol x c , y c. Sa kasong ito, posibleng matukoy ang mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga palakol x at y, parallel sa gitna at remote mula sa gitna sa layo a at b ayon sa pagkakabanggit. Isinulat namin ang kaugnayan para sa mga coordinate ng parallel axes:

x= x c+b

y= yc+a

Pagkatapos ang sandali ng pagkawalang-galaw ng seksyon tungkol sa axis x isusulat sa form:

Sa expression na ito, ang unang termino ay ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis x c, sa pangalawang termino ang integral ay kumakatawan sa static na sandali (at nauugnay sa gitnang axis ang static na sandali ay palaging zero), ang ikatlong termino ay ang cross-sectional area na pinarami ng parisukat ng distansya sa pagitan ng mga axes a. kaya:

ako x = ako xc + a 2 A

ako y = ako yc + b 2 A

Ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa anumang axis ay katumbas ng kabuuan ng sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa gitnang axis na kahanay sa ibinigay na isa, at ang produkto ng cross-sectional area ng figure sa pamamagitan ng parisukat ng distansya sa pagitan ng mga palakol.

Nakuha namin ang isang kaugnayan para sa mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga gitnang axes sa paglipat sa mga hindi-sentral na kahanay sa kanila. Ang mga ugnayang ito ay tinatawag ding parallel transfer formula.

Mula sa mga pormula na nakuha, malinaw na ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa gitnang axis ay palaging mas mababa kaysa sa sandali ng pagkawalang-galaw ng anumang hindi-sentral na kahanay nito.

26. Mga pangunahing axes ng inertia at mga pangunahing sandali ng inertia

Ang isang walang katapusang bilang ng mga pares ng magkabilang patayo na mga palakol ay maaaring iguhit sa anumang punto ng eroplano ng seksyon. Dahil ang kabuuan ng dalawang axial moments ng inertia ng seksyon ay isang polar moment at ay pare-pareho ang halaga, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paglipat ng coordinate system, posible na pumili ng ganoong posisyon ng mga axes kung saan ang isa sa mga napiling sandali ng pagkawalang-galaw ay magiging maximum, at ang pangalawang - minimum. Isaalang-alang ang kaugnayan sa pagitan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga palakol x 0 , y 0 at mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga palakol x at y, pinaikot sa isang anggulo α na may paggalang sa x 0 , y 0 . Hanapin natin ang gayong mga halaga ng anggulo α kung saan ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga patayo na palakol ay kukuha ng kanilang pinakamataas at pinakamababang halaga. Upang gawin ito, nakita namin ang unang derivative na may paggalang sa anggulo ng pag-ikot mula sa ako x , ako y at i-equate ito sa zero (ang mathematical rule para sa paghahanap ng extrema ng isang function).

Pagkatapos ng mga pagbabago, ang ratio ay kukuha ng anyo:

Tinutukoy ng resultang formula ang posisyon ng dalawang magkaparehong patayo na mga palakol, ang sandali ng pagkawalang-galaw na may kaugnayan sa isa sa kung saan ay pinakamataas, ang sandali ng pagkawalang-galaw na nauugnay sa isa ay minimal. Ang ganitong mga palakol ay tinatawag pangunahing mga palakol ng pagkawalang-galaw. Ang mga sandali ng pagkawalang-kilos tungkol sa gayong mga palakol ay tinatawag pangunahing mga sandali ng pagkawalang-galaw. Sa kasong ito, ang centrifugal moment ay zero.

Ang mga axes na dumadaan sa gitna ng gravity ng seksyon ay tinatawag na central axes. Sa mga praktikal na kalkulasyon, ang mga pangunahing sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga gitnang axes ay interesado, sila ay tinatawag na pangunahing mga sentral na sandali ng pagkawalang-galaw, at tulad ng mga palakol pangunahing mga gitnang palakol. Dahil ang mga gitnang axes lamang ang interesado, ang mga ito ay simpleng tinutukoy bilang ang mga pangunahing axes para sa kaiklian, at ang mga axial moments ng inertia na kinakalkula na may kinalaman sa naturang mga axes ay simpleng tinutukoy bilang ang principal moments ng inertia.

Ang isa sa mga pangunahing axes ng inertia ay ang axis na dumadaan sa gitna ng simetrya ng eroplano ng seksyon, ang pangalawa ay patayo dito. Ang axis ng symmetry at anumang patayo dito ay bumubuo ng isang sistema ng mga pangunahing axes. Kung ang seksyon ay may ilang mga axes ng symmetry (halimbawa, isang bilog, isang parisukat, isang equilateral triangle), kung gayon ang lahat ng mga gitnang axes ay punong-guro at lahat ng mga gitnang sandali ay pantay.

27. Pagkalkula ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga kumplikadong seksyon

Upang mahanap ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang kumplikadong seksyon na may isang lugar A ang seksyon ay nahahati sa simple A 1 , A 2 , … A n, kung saan ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ay matatagpuan ayon sa mga yari na formula o talahanayan.

Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang kumplikadong figure ay matatagpuan bilang ang kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw na bumubuo ng mga simpleng figure.

ako x = ako x 1 + ako x 2 +… + ako xn

Ang moment of inertia ay ang integral sa cross-sectional area,

para sa integral ito ay totoo:

Samakatuwid, maaaring isulat na:

Sa madaling salita, ang moment of inertia ng isang composite section tungkol sa ilang axis ay ang kabuuan ng mga moments ng inertia ng mga bahagi ng section na ito tungkol sa parehong axis.

Kapag nilulutas ang mga problema ng ganitong uri, sinusunod ang sumusunod na algorithm. Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang patag na seksyon at tukuyin ang mga pangunahing gitnang palakol. Mula sa mga talahanayan o gamit ang mga yari na formula, ang mga halaga ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bahagi ng nasasakupan ay kinakalkula na may kaugnayan sa kanilang sariling mga gitnang axes na kahanay sa mga pangunahing gitnang axes ng seksyon. Gamit ang mga parallel transfer formula, ang mga halaga ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bahagi ng constituent ng seksyon na may kaugnayan sa mga pangunahing axes ng seksyon ay kinakalkula. Sa pamamagitan ng pagbubuod, ang mga halaga ng mga pangunahing sentral na sandali ng pagkawalang-galaw ay tinutukoy.

Ang panuntunang ito ay may bisa din para sa centrifugal moment of inertia.

28. Ang konsepto ng metalikang kuwintas

Ang pamamaluktot ay isa sa mga uri ng deformation ng beam, kung saan nangyayari ang isang internal force factor sa cross section ng beam, na tinatawag na metalikang kuwintas Mk. Ang ganitong uri ng pagpapapangit ay nangyayari kapag ang isang pares ng mga puwersa ay kumikilos sa sinag, na tinatawag mga torsional na sandali M inilapat patayo sa longitudinal axis nito.

Ang isang bar na puno ng mga torque ay tinatawag na isang baras. Ang kabuuan ng mga torque na kumikilos sa baras ay zero kung ang baras ay umiikot nang pantay. Ang metalikang kuwintas ay maaaring matukoy ng formula, sa kondisyon na ang ipinadala na kapangyarihan ay kilala P at angular velocity w.

Sa isang kilalang dalas ng pag-ikot ng baras, ang angular velocity ay maaaring isulat bilang

Samakatuwid, ang expression para sa metalikang kuwintas ay maaaring isulat bilang:

Sa praktikal na mga kalkulasyon, ang isang tunay na bagay ay pinalitan ng isang pamamaraan ng pagkalkula. Upang gawing simple ang problema, ipinapalagay na ang mga umiikot na sandali ay puro sa gitnang seksyon ng mga bahagi, at hindi ipinamamahagi sa ibabaw ng kanilang ibabaw. Sa seksyon ng isang di-makatwirang baras, ang metalikang kuwintas ay maaaring matukoy gamit ang paraan ng mga seksyon, kapag ang baras ay pinutol sa isip ng isang eroplano. Ang isa sa mga bahagi ay itinapon at ang impluwensya nito ay pinalitan ng metalikang kuwintas na Mk, pagkatapos ito ay tinutukoy mula sa mga equation ng ekwilibriyo. Numerong halaga torque ay ang kabuuan ng mga torque sa isang gilid ng seksyon.

Sa mga cross section ng beam sa panahon ng pamamaluktot, tanging tangential stresses ang lumitaw, ang mga normal na puwersa ay kahanay sa longitudinal axis ng beam at ang kanilang mga sandali ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang kahulugan para sa metalikang kuwintas ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ang metalikang kuwintas ay ang nagresultang sandali ng mga panloob na puwersang tangential na nagmumula sa cross section ng beam na may kaugnayan sa longitudinal axis nito.

Kapag kinakalkula ang lakas sa kaso ng torsion ng beam, kinakailangan upang mahanap ang mapanganib na seksyon ng beam. Kung ang mga sukat ng cross section sa kahabaan ng axis ng beam ay hindi nagbabago, kung gayon ang mga seksyon na may pinakamataas na metalikang kuwintas ay itinuturing na mapanganib. Upang makahanap ng mga mapanganib na seksyon, ang mga diagram ng torque ay binuo (mga graph ng mga pagbabago sa metalikang kuwintas sa haba ng beam). Kapag gumagawa ng mga diagram, kaugalian na ipalagay na ang metalikang kuwintas ay positibo kung ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng orasan, kung titingnan mo ang iginuhit na seksyon. Ang palagay na ito ay arbitrary, dahil ang tanda ng metalikang kuwintas ay walang pisikal na kahulugan.

29. Pagpapasiya ng mga stress sa panahon ng pamamaluktot ng isang bilog na baras

Kapag pinag-aaralan ang pamamaluktot ng mga shaft, ang mga sumusunod na pagpapalagay ay nagaganap:

– ang hypothesis ng mga flat section: ang mga flat cross section ng beam pagkatapos ng deformation ay nananatiling flat at nakadirekta kasama ang normal sa axis nito, na lumiliko sa ilang anggulo na may kaugnayan sa axis na ito;

- ang radii ng mga cross section ay hindi hubog, at ang kanilang haba ay nananatiling pare-pareho;

- kasama ang beam axis, ang mga distansya sa pagitan ng mga cross section ay nananatiling pare-pareho.

Batay sa mga pagpapalagay sa itaas, ang pamamaluktot ng isang bilog na baras ay maaaring ituring na isang purong gupit. Ang mga pormula na nakuha batay sa mga pagpapalagay na ito ay kinumpirma sa eksperimentong paraan.

Isaalang-alang ang pamamaluktot ng isang seksyon ng isang pabilog na sinag na may radius r haba dz. Isa sa mga dulo ay ituturing na maayos.

Kapag pinaikot sa isang anggulo a sa cross section, ang shear angle na nakahiga sa ibabaw ng naturang shaft ay tinutukoy ng formula:

Ang ratio ng kabuuang anggulo ng twist sa seksyon ng baras sa haba nito ay tinatawag na relative twist angle.

Isaalang-alang natin sa isip ang isang silindro na may radius ρ sa itinuturing na seksyon ng baras, ang anggulo ng paggugupit para sa ibabaw ng silindro na ito ay tinutukoy nang katulad:

Ayon sa batas ni Hooke, sa kaso ng shear, ang shear stresses ay katumbas ng:

Kaya, sa panahon ng pamamaluktot, ang mga stress ng paggugupit ay direktang proporsyonal sa distansya mula sa sentro ng grabidad ng seksyon, at sa gitna ng grabidad, ang mga stress ng paggugupit ay katumbas ng zero. Papalapit sa ibabaw ng baras, kinukuha nila ang kanilang pinakamataas na halaga.

30. Pagkalkula ng mga sandali na ipinadala sa baras

Isaalang-alang ang pamamaluktot ng isang seksyon ng isang bilog na baras na may diameter r at haba dz. Nag-iisa kami ng isang silindro ng diameter ρ sa loob nito. Dahil ang torsion ay purong paggugupit, ang mga normal na stress ay zero, at ang mga stress ng paggugupit kapag pinaikot sa anggulo α ay ipinamamahagi tulad ng sumusunod:

Ang torque ay tinukoy bilang:

PERO- cross-sectional area. Ang pagpapalit ng shear stress sa expression na ito at isinasaalang-alang na ang integral ng radius sa sectional area ay ang polar moment ng inertia ng seksyon. , nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng expression na ito sa formula para sa mga shear stresses, nakukuha natin ang:

Kaya, ang mga stress ng paggugupit ay tinukoy bilang produkto ng metalikang kuwintas at radius, na hinati sa polar moment ng seksyon. Malinaw na para sa mga punto sa pantay na distansya mula sa axis, ang mga shear stress ay pantay, ang maximum na mga halaga ng stress ay nasa mga punto na matatagpuan sa ibabaw ng baras.

Dito ay ang polar torsional moment ng resistance.

Para sa round section

Ang kondisyon ng lakas ng torsional ay ang mga sumusunod:

Ang [τ] ay ang pinakamataas na pinahihintulutang shear stress.

Ang formula na ito ay nagpapahintulot din sa iyo na matukoy ang pinapayagang metalikang kuwintas o piliin ang pinapayagang diameter ng baras.

31, Torsional deformation. Potensyal na enerhiya

Sa proseso ng pamamaluktot, ang mga torque ay umiikot kasama ang cross section sa isang tiyak na anggulo at sa parehong oras ay nagsasagawa ng trabaho, na, tulad ng sa iba pang mga uri ng pagpapapangit, ay ginugol sa paglikha ng isang tiyak na reserba ng potensyal na enerhiya sa katawan na sumasailalim sa pagpapapangit at natutukoy ng formula:

Ang ratio na ito ay sumusunod mula sa linear dependence metalikang kuwintas M sa mula sa anggulo ng pag-ikot φ.

Kapag ang isang load ay inilapat, ang metalikang kuwintas ay unti-unting tumataas, habang alinsunod sa batas ni Hooke, ang anggulo ng pag-ikot ay tumataas nang proporsyonal. Ang gawaing ginawa ng metalikang kuwintas ay katumbas ng potensyal na enerhiya ng pagpapapangit ayon sa batas ng konserbasyon ng enerhiya, samakatuwid,

Kung papalitan natin ang kilalang formula para sa anggulo ng twist sa resultang ratio, ang expression ay kukuha ng anyo:

Sa isang hakbang na pagbabago sa torque o cross-section ng beam potensyal na enerhiya ay ang kabuuan:

Kung ang torque o polar moments (o pareho sa parehong oras) ay patuloy na nagbabago sa haba ng mga seksyon ng beam, kung gayon ang potensyal na enerhiya ay isang mahalagang bahagi sa haba.

32. Pagkalkula ng helical coil springs

Sa mechanical engineering at instrumentation, malawakang ginagamit ang helical spring, na maaaring cylindrical, cone-shaped o hugis. Ang pinakakaraniwang ginagamit na spring ay cylindrical, na gawa sa wire na may bilog na cross section: extension spring (ginawa nang walang gaps sa pagitan ng coils) at compression spring (na may gap). Upang gawing simple ang pagkalkula ng mga bukal para sa higpit at lakas, ipagpalagay namin na ang anggulo ng pagkahilig ng mga coils ay napakaliit na maaari itong mapabayaan at ang seksyon sa kahabaan ng spring axis ay itinuturing na transverse para sa coil. Mula sa mga kondisyon ng balanse para sa cut-off na bahagi ng tagsibol, malinaw na ang dalawang panloob na kadahilanan ng puwersa ay lumitaw sa seksyon: ang transverse force Q y = F at metalikang kuwintas M sa = FD / 2, ibig sabihin, ang tangential stresses lamang ang lumitaw sa seksyon ng coil. Ipagpalagay namin na ang mga stress ng paggugupit na nauugnay sa transverse na puwersa ay pantay na ipinamamahagi sa seksyon, at ang mga puwersa ng paggugupit na nauugnay sa pagkakaroon ng isang metalikang kuwintas ay ipinamamahagi ayon sa isang linear na batas at naabot ang kanilang pinakamataas na halaga sa matinding puntos mga seksyon. Ang punto na pinakamalapit sa axis ng tagsibol ay ang pinaka-stressed, ang stress para dito ay katumbas ng:

Ang ratio ng spring diameter sa wire diameter ay tinatawag na spring index,

c n =D/d

Ang resultang formula ay tinatayang dahil sa kapabayaan ng impluwensya ng transverse force at dahil sa ang katunayan na ang curvature ng coils ay hindi isinasaalang-alang. Magpakilala tayo ng correction factor Upang, depende sa index ng spring at ang anggulo ng pagkahilig ng mga coils. Pagkatapos ang kundisyon ng lakas ay nasa anyo:

Kapag ang isang load ay inilapat, ang tagsibol ay nagbabago sa haba nito. Ang pagbabagong ito ay tinatawag draft ng tagsibolλ. Alamin natin kung ano ang katumbas ng draft kung ang mga coils ay nakakaranas lamang ng torsion. Ayon sa formula ng Clapeyron, ang gawain ng mga panlabas na static na pwersa ay:

Potensyal na strain energy

Sa kasong ito

saan l- ang haba ng itinuturing na seksyon ng tagsibol;

n- bilang ng mga liko.

Matapos isagawa ang pagpapalit at pagbabagong matematikal, nakukuha namin iyon:

33. Mga displacement at stress sa helical spring

Ang mga helical spring ay malawakang ginagamit sa mechanical engineering bilang mga shock-absorbing device o reverse feed device. Ang pagkalkula ng mga helical spring ay nagpapakita ng mahusay na paraan para sa pagtukoy ng mga displacement. Ang mga helical spring ay nahahati sa tension, compression at torsion spring. Ang mga tension at compression spring ay nilo-load ng mga puwersang kumikilos sa kahabaan ng spring axis, ang mga torsion spring ay nilo-load ng mga sandali na matatagpuan sa isang eroplanong patayo sa spring axis.

Ang isang baluktot na spring ay maaaring ituring bilang isang spatially curved rod na may helical axis. Ang hugis ng tagsibol ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na parameter: diameter ng tagsibol D, bilang ng mga liko n, anggulo ng elevation θ at spring pitch s tinukoy ng formula:

s= π dtgθ

Karaniwan ang spring pitch ay mas maliit kaysa π D, ang anggulo θ ay medyo maliit (mas mababa sa 5°).

Isaalang-alang ang isang tension-compression spring. Sa ilalim ng impluwensya ng panlabas na pagkarga R sa bawat cross section, isang resulta lakas ng loob R at sandali M=PD / 2, nakahiga sa eroplano ng pagkilos ng mga pwersa R. Sa Fig. Ipinapakita ng 13 ang mga puwersang kumikilos sa cross section ng spring.

Ang mga projection ng kabuuang puwersa at moment na nauugnay sa coordinate system na nauugnay sa seksyon ay inilalarawan ng mga sumusunod na relasyon:

M sa = (PD/ 2) × cosθ,

Lumabas ako= (PD / 2) × kasalananθ,

Q=P× cosθ,

N=P× kasalananθ.

Ipagpalagay natin ang kapangyarihan R katumbas ng 1, kung gayon ang mga ratio para sa mga puwersa at sandali ay magkakaroon ng anyo:

M k1 = (D/ 2) × cosθ,

M izg1 = (D/ 2) × sinθ,

Q 1 = cosθ,

N 1 = kasalananθ.

Hanapin natin ang axial displacement sa spring gamit ang Mohr's integral. Isinasaalang-alang ang liit ng mga displacement na dulot ng normal at transverse na pwersa, pati na rin ang axial displacement, sa kasong ito ang Mohr integral ay nakasulat tulad ng sumusunod:

kung saan ang produkto sa denominator ay ang torsional stiffness ng spring;

l ay ang haba ng gumaganang bahagi ng tagsibol;

l≈ π Dn

Dahil sa liit ng anggulo ng pagkahilig ng mga liko θ ipinapalagay namin na cos θ = 1, pagkatapos

Ang mga stress sa helical spring na tumatakbo sa compression-tension o torsion ay tinutukoy bilang mga sumusunod.