Euler Venn diyagramının kümeleri arasındaki bağıntı kümeleri. Euler-Venn diyagramlarını kullanarak problemler nasıl çözülür. Diyagramınıza resim, illüstrasyon veya grafik ekleyin

Bölümler: bilişim

1. Giriş

İlköğretim ve lise Bilişim ve BİT dersinde "Mantığın Temelleri" ve "İnternette bilgi arama" gibi önemli konular işlenir. Belirli bir problem tipini çözerken Euler çemberlerini (Euler-Venn diyagramları) kullanmak uygundur.

Matematiksel yardım. Euler-Venn diyagramları, öncelikle küme teorisinde, birkaç kümenin tüm olası kesişimlerinin şematik bir temsili olarak kullanılır. Genel olarak, n özelliğin tüm 2n kombinasyonunu gösterirler. Örneğin, n=3 için, Euler-Venn diyagramı genellikle bir eşkenar üçgenin köşelerinde ortalanmış ve aynı yarıçapa sahip, yaklaşık olarak üçgenin kenar uzunluğuna eşit üç daire olarak tasvir edilir.

2. Arama sorgularında mantıksal bağların sunumu

“İnternette bilgi arama” konusunu incelerken, Rus dilinin “ve”, “veya” birliklerine benzer şekilde mantıksal bağlaçlar kullanan arama sorgusu örnekleri dikkate alınır. Mantıksal bağlaçların anlamı, onları bir grafik şeması - Euler daireleri (Euler-Venn diyagramları) yardımıyla gösterirsek daha açık hale gelir.

3. Mantıksal işlemlerin küme teorisi ile bağlantısı

Euler-Venn diyagramlarının yardımıyla mantıksal işlemler ve küme teorisi arasındaki bağlantı görselleştirilebilir. göstermek için slaytları kullanabilirsiniz. Ek 1.

Mantıksal işlemler kendi doğruluk tablolarıyla tanımlanır. AT Ek 2 Mantıksal işlemlerin grafiksel gösterimleri doğruluk tablolarıyla birlikte ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Genel durumda bir diyagram oluşturma ilkesini açıklayalım. Diyagramda, A adlı dairenin alanı, A ifadesinin doğruluğunu gösterir (küme teorisinde, A dairesi bu kümeye dahil olan tüm öğelerin gösterimidir). Buna göre, dairenin dışındaki alan, karşılık gelen ifadenin "yanlış" değerini gösterir. Diyagramın hangi alanının mantıksal bir işlemin görüntüsü olacağını anlamak için, yalnızca A ve B kümelerindeki mantıksal işlemin değerlerinin “doğru”ya eşit olduğu alanları gölgelemek gerekir.

Örneğin, ima değeri üç durumda (00, 01 ve 11) "true"dur. Sırayla gölgeleme: 1) A=0, B=0 değerlerine karşılık gelen kesişen iki dairenin dışındaki alan; 2) sadece A=0, B=1 değerlerine karşılık gelen B (hilal) çemberi ile ilgili alan; 3) hem A dairesi hem de B dairesi (kesişme) ile ilgili alan - A=1, B=1 değerlerine karşılık gelir. Bu üç alanın birleşimi, mantıksal çıkarım işleminin grafiksel bir temsili olacaktır.

4. Mantıksal eşitliklerin (yasaların) ispatında Euler çemberlerinin kullanımı

Mantıksal eşitlikleri kanıtlamak için Euler-Venn diyagramları yöntemi uygulanabilir. Aşağıdaki eşitliği ¬(AvB) = ¬A&¬B (de Morgan yasası) ispatlayalım.

Denklemin sol tarafının görsel bir temsili için, bunu sırayla gerçekleştireceğiz: her iki daireyi de gri ile gölgeleyeceğiz (ayrılma uygulayacağız), ardından ters çevirmeyi göstermek için dairelerin dışındaki alanı siyah ile gölgeleyeceğiz:

Şek. 3 Şekil 4

Eşitliğin sağ tarafının görsel bir temsili için, sırayla gerçekleştiriyoruz: inversiyonun (¬A) görüntülendiği alanı gri renkle gölgelendiriyoruz ve benzer şekilde, ¬B alanı da griyle; daha sonra, birleşimi görüntülemek için bu gri alanların kesişimini almanız gerekir (bindirmenin sonucu siyah olarak gösterilir):

Şekil 5 Şekil 6 Şekil 7

Sol ve sağ kısımların görüntülendiği alanların eşit olduğunu görüyoruz. Q.E.D.

5. Konuyla ilgili GIA ve USE formatındaki görevler: “İnternette bilgi arama”

GIA 2013'ün demo versiyonundan Problem No. 18.

Tablo, arama sunucusuna yapılan sorguları gösterir. Her istek için kodu belirtilir - A'dan D'ye karşılık gelen harf. İstek kodlarını sırayla soldan sağa düzenleyin Azalan arama motorunun her bir sorgu için bulacağı sayfa sayısı.

kod	Rica etmek
ANCAK	(Uç ve Para) \| semaver
B	Fly & Money & Bazaar & Semaver
AT	Uç \| Para \| semaver
G	Sinek & Para & Semaver

Her sorgu için bir Euler-Venn şeması oluşturalım:

İstek A

B isteği

G isteği

Cevap: VAGB.

USE-2013'ün demo versiyonundan Görev B12.

Tablo, İnternet'in belirli bir bölümü için sorguları ve bunlar tarafından bulunan sayfa sayısını gösterir.

Rica etmek	Bulunan sayfalar (bin olarak)
Fırkateyn \| Yok edici	3400
Fırkateyn ve Muhrip	900
Firkateyn	2100

Sorgu için kaç sayfa (bin olarak) bulunacak Yok edici?

Tüm isteklerin neredeyse aynı anda yürütüldüğüne inanılıyor, böylece tüm aranan kelimeleri içeren sayfalar, isteklerin yürütülmesi sırasında değişmedi.

F - istek üzerine sayfa sayısı (bin olarak) Firkateyn;

E - istek üzerine sayfa sayısı (bin olarak) Yok edici;

X, belirtilen sorgu için sayfa sayısıdır (bin olarak) Firkateyn ve olumsuzluk adı geçen Yok edici;

Y, belirtilen sorgu için sayfa sayısıdır (bin olarak) Yok edici ve olumsuzluk adı geçen Firkateyn.

Her istek için Euler-Venn diyagramları oluşturalım:

Rica etmek	Euler-Venn diyagramı	Sayfa sayısı
Fırkateyn \| Yok edici	Şekil 12	3400
Fırkateyn ve Muhrip	Şekil 13	900
Firkateyn	Şekil 14	2100
Yok edici	Şekil 15	?

Elimizdeki şemalara göre:

X + 900 + Y \u003d F + Y \u003d 2100 + Y \u003d 3400. Buradan Y \u003d 3400-2100 \u003d 1300 buluyoruz.
E \u003d 900 + U \u003d 900 + 1300 \u003d 2200.

Cevap: 2200.

6. Euler-Venn diyagramları yöntemini kullanarak mantıksal anlamlı problemleri çözme

Sınıfta 36 kişi var. Bu sınıfın öğrencileri matematik, fizik ve kimya çemberlerine katılmakta olup, matematik çemberine 18 kişi, fizik çemberine 14 kişi, kimya çemberine 10 kişi katılmaktadır.Ayrıca her üç çembere de 2 kişi, 8 kişi katıldığı bilinmektedir. hem matematiksel hem de fiziksel olanlara, 5 ve matematiksel ve kimyasallara, 3 - hem fiziksel hem de kimyasallara katılın.

Sınıftaki kaç öğrenci herhangi bir kulübe katılmıyor?

Bu sorunu çözmek için Euler çemberlerini kullanmak çok uygun ve açıktır.

En büyük daire sınıftaki tüm öğrencilerin oluşturduğu kümedir. Çemberin içinde kesişen üç küme vardır: matematiksel ( M), fiziksel ( F), kimyasal ( X) daireler.

İzin vermek MFH- her biri üç daireye de katılan birçok adam. MF-H- her biri matematiksel ve fiziksel çevrelere katılan birçok adam ve olumsuzluk kimyasalı ziyaret eder ¬M¬PH- her biri bir kimya çemberine katılan ve fizik ve matematik çevrelerine katılmayan birçok adam.

Setleri benzer şekilde tanıtıyoruz: ¬MFH, M¬PH, M¬F-H, ¬MF-H, ¬M-F-H.

Her üç çembere de 2 kişinin katıldığı biliniyor, dolayısıyla bölgede MFH 2 numarayı yaz. 8 kişi hem matematiksel hem de fiziksel çevrelere katılıyor ve aralarında zaten üç çembere de katılan 2 kişi var, ardından bölgeye MF-H 6 kişi (8-2) yazın. Benzer şekilde, kalan kümelerdeki öğrenci sayısını da belirleriz:

Tüm bölgelerdeki insan sayısını toplayalım: 7+6+3+2+4+1+5=28. Bu nedenle sınıftan 28 kişi çevrelere katılıyor.

Yani 36-28 = 8 öğrenci çemberlere katılmıyor.

Sonrasında kış tatilleri sınıf öğretmeni hangi adamların tiyatroya, sinemaya veya sirke gittiğini sordu. Sınıftaki 36 öğrenciden ikisinin hiç sinemaya gitmediği ortaya çıktı. ne tiyatroda, ne sirkte. 25 kişi sinemayı, 11 kişi tiyatroyu, 17 kişi sirki ziyaret etti; hem sinemada hem de tiyatroda - 6; ve sinemada ve sirkte - 10; hem tiyatroda hem de sirkte - 4.

Sinemayı, tiyatroyu ve sirki kaç kişi ziyaret etti?

Sinemaya, tiyatroya ve sirke giden çocukların sayısı x olsun.

Ardından aşağıdaki diyagramı oluşturabilir ve her alandaki adamların sayısını sayabilirsiniz:

Sinema ve tiyatroyu 6 kişi ziyaret etti, yani sinema ve tiyatroyu sadece 6 kişi ziyaret etti.

Benzer şekilde, sadece sinemada ve sirkte (10.) insanlar.

Sadece tiyatro ve sirkte (4) pers.

25 kişi sinemaya gitti, yani sadece 25 kişi sinemaya gitti - (10.) - (6.) - x = (9 + x).

Benzer şekilde, sadece tiyatroda (1 + x) kişi vardı.

Sadece sirkte (3 + x) insan vardı.

Tiyatroda, sinemada ve sirkte yoktu - 2 kişi.

36-2=34 kişi. etkinliklere katıldı.

Öte yandan tiyatroda, sinemada, sirkte bulunanların sayısını ise şöyle özetleyebiliriz:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34

Her üç etkinliğe de yalnızca bir kişinin katıldığı anlaşılmaktadır.

Böylece, Euler çemberleri (Euler-Venn diyagramları), USE ve GIA formatındaki problemlerin çözümünde ve anlamlı mantıksal problemlerin çözümünde pratik uygulama bulur.

Edebiyat

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitin. Bilgisayar bilimlerinde mantık. M.: Bilişim ve Eğitim, 2006. 155 s.
LL. Bosova. Bilgisayarların aritmetik ve mantıksal temelleri. M.: Bilişim ve eğitim, 2000. 207 s.
LL. Bosova, A.Yu. Bosova. Ders kitabı. 8. sınıf için Bilişim ve BİT: BINOM. Bilgi Laboratuvarı, 2012. 220 s.
LL. Bosova, A.Yu. Bosova. Ders kitabı. 9. sınıf için Bilişim ve BİT: BINOM. Bilgi Laboratuvarı, 2012. 244 s.
FIPI web sitesi: http://www.fipi.ru/

Euler-Venn diyagramları kullanılarak bazı problemler uygun ve görsel olarak çözülebilir. Örneğin, setlerdeki görevler. Euler-Venn diyagramlarının ne olduğunu ve nasıl oluşturulacağını bilmiyorsanız, önce okuyun.

şimdi analiz edelim tipik görevler ve kümeler hakkında.

Görev 1.

Yabancı dilleri derinlemesine inceleyen bir okulda 100 öğrenciye anket uygulandı. Öğrencilere şu soru soruldu: Ne yabancı Diller Okuyor musun?" 48 öğrencinin İngilizce, 26 - Fransızca, 28 - Almanca okuduğu ortaya çıktı. 8 öğrencinin İngilizce ve Almanca, 8 - İngilizce ve Fransızca, 13 - Fransızca ve Almanca okuduğu ortaya çıktı. 24 öğrencinin ne İngilizce ne de Fransızca okuduğu, ne de Almanca Anketteki kaç öğrenci aynı anda üç dil öğreniyor: İngilizce, Fransızca ve Almanca?

Cevap: 3.

Çözüm:

İngilizce öğrenen birçok okul çocuğu ("A");
Fransızca öğrenen birçok okul çocuğu ("F");
Almanca öğrenen birçok okul çocuğu ("N").

Bize koşul tarafından verilenleri Euler-Venn diyagramı yardımıyla gösterelim.

İstenen A=1, F=1, H=1 alanını "x" olarak gösterelim (aşağıdaki tabloda, alan No. 7). Geri kalan bölgeleri x cinsinden ifade ediyoruz.

0) Bölge A=0, F=0, H=0: 24 okul çocuğu - problemin durumuna göre verilir.

1) Bölge A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x öğrenci.

2) Bölge A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x öğrenci.

3) Bölge A=0, F=1, H=1: 13 okul çocuğu.

4) Bölge A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x okul çocukları.

5) Bölge A=1, F=0, H=1: 8 okul çocuğu.

6) Bölge A=1, F=1, H=0: 8 okul çocuğu.

№ alanlar	ANCAK	F	H	Miktar okul çocukları
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13.
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8'ler
6	1	1	0	8'ler
7	1	1	1	X

x'i tanımlayalım:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

3 öğrencinin aynı anda üç dil öğrendiği ortaya çıktı: İngilizce, Fransızca ve Almanca.

Euler-Venn diyagramı bilinen x ile şu şekilde görünecektir:

Görev 2.

Matematik Olimpiyatlarında öğrencilerden biri cebirde, biri geometride ve biri trigonometride olmak üzere üç problemi çözmeleri istendi. Olimpiyata 1000 okul çocuğu katıldı. Olimpiyatın sonuçları şu şekilde oldu: 800 katılımcı cebirde, 700 kişi geometride, 600 kişi trigonometride problem çözdü, 600 öğrenci cebir ve geometride, 500 kişi cebir ve trigonometride, 400 kişi geometri ve trigonometride problem çözdü. 300 kişi cebir, geometri ve trigonometri problemlerini çözdü. Herhangi bir problemi çözemeyen kaç öğrenci vardır?

Cevap: 100.

Çözüm:

İlk olarak, kümeleri tanımlıyoruz ve gösterimi tanıtıyoruz. Üç tane var:

cebirde bir takım problemler ("A");
geometride bir takım problemler ("G");
trigonometride ("T") bir dizi problem.

Ne bulmamız gerektiğini tasvir edelim:

Tüm olası alanlar için öğrenci sayısını belirleyelim.

İstenen A=0, G=0, T=0 alanını "x" olarak gösterelim (aşağıdaki tabloda, alan No. 0).

Kalan alanları bulalım:

1) Bölge A=0, D=0, T=1: okul çocuğu yok.

2) Bölge A=0, D=1, T=0: okul çocuğu yok.

3) Bölge A=0, D=1, T=1: 100 okul çocuğu.

4) Bölge A=1, D=0, T=0: okul çocuğu yok.

5) Bölge A=1, D=0, T=1: 200 okul çocuğu.

6) Bölge A=1, D=1, T=0: 300 okul çocuğu.

7) Bölge A=1, D=1, T=1: 300 okul çocuğu.

Tablodaki alanların değerlerini yazalım:

№ alanlar	ANCAK	G	T	Miktar okul çocukları
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Bir grafik kullanarak tüm alanların değerlerini çizelim:

x'i tanımlayalım:

x=U-(AV G V T), burada U evrendir.

A V G V T \u003d 0 + 0 + 0 + 300 + 300 + 200 + 100 \u003d 900.

100 okul çocuğunun tek bir sorunu çözmediğini anladık.

Görev 3.

Fizik Olimpiyatlarında öğrencilerden üç problemi çözmeleri istendi: biri kinematikte, biri termodinamikte ve biri optikte. Olimpiyatın sonuçları şöyle oldu: 400 katılımcı kinematikte, 350 kişi termodinamikte, 300 kişi optikte problem çözdü. 300 öğrenci kinematik ve termodinamikte, 200 kişi kinematik ve optikte, 150 kişi termodinamik ve optikte problem çözdü. 100 kişi kinematik, termodinamik ve optik problemlerini çözdü. Kaç öğrenci iki problemi çözmüştür?

Cevap: 350.

Çözüm:

İlk olarak, kümeleri tanımlıyoruz ve gösterimi tanıtıyoruz. Üç tane var:

kinematikte bir dizi görev ("K");
termodinamikte bir takım problemler ("T");
optikteki problemler ("O").

Bize koşul tarafından verilenleri Euler-Venn diyagramını kullanarak gösterelim:

Ne bulmamız gerektiğini tasvir edelim:

Tüm olası alanlar için öğrenci sayısını belirleyelim:

0) Alan K=0, T=0, O=0 : tanımlanmadı.

1) Bölge K=0, T=0, O=1: 50 öğrenci.

2) Bölge K=0, T=1, O=0: okul çocuğu yok.

3) Bölge K=0, T=1, O=1: 50 öğrenci.

4) Bölge K=1, T=0, O=0: okul çocuğu yok.

5) Bölge K=1, T=0, O=1: 100 okul çocuğu.

6) Bölge K=1, T=1, O=0: 200 okul çocuğu.

7) Bölge K=1, T=1, O=1: 100 okul çocuğu.

Tablodaki alanların değerlerini yazalım:

№ alanlar	İle	T	Ö	Miktar okul çocukları
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Bir grafik kullanarak tüm alanların değerlerini çizelim:

x'i tanımlayalım.

x=200+100+50=350.

Alınan, 350 okul çocuğu iki problemi çözdü.

Görev 4.

Yoldan geçenler arasında bir anket yapıldı. Soru soruldu: "Ne tür bir evcil hayvanınız var?". Anket sonuçlarına göre 150 kişinin kedisi, 130 kişinin köpeği ve 50 kişinin de kuşu olduğu ortaya çıktı. 60 kişinin bir kedisi ve bir köpeği, 20'sinin bir kedisi ve bir kuşu, 30'unun bir köpeği ve bir kuşu var. 70 kişinin hiç evcil hayvanı yok. 10 kişinin bir kedisi, bir köpeği ve bir kuşu var. Ankete kaç kişi katıldı?

Cevap: 300.

Çözüm:

İlk olarak, kümeleri tanımlıyoruz ve gösterimi tanıtıyoruz. Üç tane var:

kedisi olan birçok insan ("K");
köpeği olan birçok insan ("C");
kuş ("P") olan birçok insan.

Bize koşul tarafından verilenleri Euler-Venn diyagramını kullanarak gösterelim:

Ne bulmamız gerektiğini tasvir edelim:

Tüm olası alanlar için insan sayısını belirleyelim:

0) Alan K=0, S=0, P=0: 70 kişi.

1) Alan K=0, S=0, P=1: 10 kişi.

2) Alan K=0, S=1, P=0: 50 kişi.

3) Alan K=0, S=1, P=1: 20 kişi.

4) Alan K=1, S=0, P=0:80 kişi.

5) Alan K=1, T=0, O=1: 10 kişi.

6) Bölge K=1, T=1, O=0: 50 kişi.

7) Bölge K=1, T=1, O=1: 10 kişi.

Tablodaki alanların değerlerini yazalım:

№ alanlar	İle	C	P	Miktar insan
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Bir grafik kullanarak tüm alanların değerlerini çizelim:

x'i tanımlayalım:

x=U (evren)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Ankete 300 kişinin katıldığı öğrenildi.

Görev 5.

120 kişi üniversitelerden birinde bir uzmanlık alanına girdi. Adaylar üç sınava girdiler: matematikte, bilgisayar bilimlerinde ve Rus dilinde. Matematik 60 kişi, bilgisayar bilimi - 40 kişi geçti. 30 başvuru matematik ve bilgisayar bilimi, 30 - matematik ve Rusça, 25 - bilgisayar bilimi ve Rusça geçti. 20 kişi üç sınavı da geçti ve 50 kişi başarısız oldu. Rus dilini kaç aday geçti?

Euler-Venn diyagramı - görsel yardım setlerle çalışmak. Bu diyagramlar, kümelerin kesişimi için olası tüm seçenekleri gösterir. Kavşak sayısı (alanlar) n, aşağıdaki formülle belirlenir:

n=2N,

burada N küme sayısıdır.

Böylece, eğer problem iki küme kullanıyorsa, o zaman n=2 2 =4, eğer üç küme ise, o zaman n=2 3 =8, eğer dört küme ise, o zaman n=2 4 =16. Bu nedenle, Euler-Venn diyagramları esas olarak iki veya üç küme için kullanılır.

Kümeler, bir dikdörtgene (evren) yerleştirilmiş daireler (2-3 set kullanılıyorsa) ve elipsler (4 set kullanılıyorsa) olarak gösterilir.

Evrensel küme (evren) U (görev bağlamında) - incelenen görevin tüm öğelerini içeren bir küme: görevin tüm kümelerinin öğeleri ve bunlara dahil olmayan öğeler.

Boş set Ø(sorunun bağlamında) - incelenen sorunun herhangi bir öğesini içermeyen bir küme.

Kesişen kümeler diyagram üzerine kuruludur, bir evren içine alınmıştır. Sayısı kavşak sayısına eşit olan alanları tahsis edin.

Euler-Venn diyagramları, mantıksal işlemleri görsel olarak temsil etmek için de kullanılır.

İki ve üç küme için Euler-Venn diyagramları oluşturma örneklerini analiz edelim.

örnek 1

Evren U=(0,1,2,3,4,5,6)

İki A ve B kümesi için Euler-Venn diyagramları:

Örnek 2

Aşağıdaki sayı kümeleri olsun:

Evren U=(0,1,2,3,4,5,6,7)

Üç A, B, C kümesi için Euler-Venn diyagramları:

Alanları ve onlara ait olan sayıları tanımlayalım:

ANCAK	B	C	atama alanlar	sayılar
0	0	0	0)	0
0	0	1	1)	7
0	1	0	2)	5
0	1	1	3)	6
1	0	0	4)	2
1	0	1	5)	1
1	1	0	6)	4
1	1	1	7)	3

Örnek 3

Aşağıdaki sayı kümeleri olsun:

A=(0,1,2,3,4,5,6,7)

B=(3,4,5,7,8,9,10,13)

C=(0,2,3,7,8,10,11,12)

D=(0,3,4,6,9,10,11,14)

Evren U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

Dört küme A, B, C, D için Euler-Venn diyagramları:

Alanları ve onlara ait olan sayıları tanımlayalım:

ANCAK	B	C	D	atama alanlar	sayılar
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	10
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6
1	0	1	0	10)	2
1	0	1	1	11)	0
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4
1	1	1	0	14)	7
1	1	1	1	15)	3

Setlerdeki tipik sorunları çözmek istiyorsanız, makaleye gidin.

Bölümler: bilişim

1. Giriş

2. Arama sorgularında mantıksal bağların sunumu

mantıksal bağlantı	Örnek talep et	Açıklama	Euler çemberleri
& - "VE"	Paris & Üniversite	Her iki kelimenin geçtiği tüm sayfalar seçilecektir: Paris ve üniversite	Şekil 1
\| - "VEYA"	Paris \| Üniversite	Paris ve/veya üniversite kelimelerini içeren tüm sayfalar seçilecektir.	İncir. 2

3. Mantıksal işlemlerin küme teorisi ile bağlantısı

Euler-Venn diyagramlarının yardımıyla mantıksal işlemler ve küme teorisi arasındaki bağlantı görselleştirilebilir. göstermek için slaytları kullanabilirsiniz. Ek 1.

4. Mantıksal eşitliklerin (yasaların) ispatında Euler çemberlerinin kullanımı

Mantıksal eşitlikleri kanıtlamak için Euler-Venn diyagramları yöntemi uygulanabilir. Aşağıdaki eşitliği ¬(AvB) = ¬A&¬B (de Morgan yasası) ispatlayalım.

Şek. 3 Şekil 4

Şekil 5 Şekil 6 Şekil 7

Sol ve sağ kısımların görüntülendiği alanların eşit olduğunu görüyoruz. Q.E.D.

5. Konuyla ilgili GIA ve USE formatındaki görevler: “İnternette bilgi arama”

GIA 2013'ün demo versiyonundan Problem No. 18.

kod	Rica etmek
ANCAK	(Uç ve Para) \| semaver
B	Fly & Money & Bazaar & Semaver
AT	Uç \| Para \| semaver
G	Sinek & Para & Semaver

Her sorgu için bir Euler-Venn şeması oluşturalım:

İstek A

B isteği

G isteği

Cevap: VAGB.

USE-2013'ün demo versiyonundan Görev B12.

Tablo, İnternet'in belirli bir bölümü için sorguları ve bunlar tarafından bulunan sayfa sayısını gösterir.

Rica etmek	Bulunan sayfalar (bin olarak)
Fırkateyn \| Yok edici	3400
Fırkateyn ve Muhrip	900
Firkateyn	2100

Sorgu için kaç sayfa (bin olarak) bulunacak Yok edici?

Tüm isteklerin neredeyse aynı anda yürütüldüğüne inanılıyor, böylece tüm aranan kelimeleri içeren sayfalar, isteklerin yürütülmesi sırasında değişmedi.

F - istek üzerine sayfa sayısı (bin olarak) Firkateyn;

E - istek üzerine sayfa sayısı (bin olarak) Yok edici;

X, belirtilen sorgu için sayfa sayısıdır (bin olarak) Firkateyn ve olumsuzluk adı geçen Yok edici;

Y, belirtilen sorgu için sayfa sayısıdır (bin olarak) Yok edici ve olumsuzluk adı geçen Firkateyn.

Her istek için Euler-Venn diyagramları oluşturalım:

Rica etmek	Euler-Venn diyagramı	Sayfa sayısı
Fırkateyn \| Yok edici	Şekil 12	3400
Fırkateyn ve Muhrip	Şekil 13	900
Firkateyn	Şekil 14	2100
Yok edici	Şekil 15	?

Elimizdeki şemalara göre:

X + 900 + Y \u003d F + Y \u003d 2100 + Y \u003d 3400. Buradan Y \u003d 3400-2100 \u003d 1300 buluyoruz.
E \u003d 900 + U \u003d 900 + 1300 \u003d 2200.

Cevap: 2200.

6. Euler-Venn diyagramları yöntemini kullanarak mantıksal anlamlı problemleri çözme

Sınıftaki kaç öğrenci herhangi bir kulübe katılmıyor?

Bu sorunu çözmek için Euler çemberlerini kullanmak çok uygun ve açıktır.

En büyük daire sınıftaki tüm öğrencilerin oluşturduğu kümedir. Çemberin içinde kesişen üç küme vardır: matematiksel ( M), fiziksel ( F), kimyasal ( X) daireler.

Setleri benzer şekilde tanıtıyoruz: ¬MFH, M¬PH, M¬F-H, ¬MF-H, ¬M-F-H.

Tüm bölgelerdeki insan sayısını toplayalım: 7+6+3+2+4+1+5=28. Bu nedenle sınıftan 28 kişi çevrelere katılıyor.

Yani 36-28 = 8 öğrenci çemberlere katılmıyor.

Kış tatilinden sonra sınıf öğretmeni, adamlardan hangisinin tiyatroya, sinemaya veya sirke gittiğini sordu. Sınıftaki 36 öğrenciden ikisinin hiç sinemaya gitmediği ortaya çıktı. ne tiyatroda, ne sirkte. 25 kişi sinemayı, 11 kişi tiyatroyu, 17 kişi sirki ziyaret etti; hem sinemada hem de tiyatroda - 6; ve sinemada ve sirkte - 10; hem tiyatroda hem de sirkte - 4.

Sinemayı, tiyatroyu ve sirki kaç kişi ziyaret etti?

Sinemaya, tiyatroya ve sirke giden çocukların sayısı x olsun.

Ardından aşağıdaki diyagramı oluşturabilir ve her alandaki adamların sayısını sayabilirsiniz:

Sinema ve tiyatroyu 6 kişi ziyaret etti, yani sinema ve tiyatroyu sadece 6 kişi ziyaret etti.

Benzer şekilde, sadece sinemada ve sirkte (10.) insanlar.

Sadece tiyatro ve sirkte (4) pers.

25 kişi sinemaya gitti, yani sadece 25 kişi sinemaya gitti - (10.) - (6.) - x = (9 + x).

Benzer şekilde, sadece tiyatroda (1 + x) kişi vardı.

Sadece sirkte (3 + x) insan vardı.

Tiyatroda, sinemada ve sirkte yoktu - 2 kişi.

36-2=34 kişi. etkinliklere katıldı.

Öte yandan tiyatroda, sinemada, sirkte bulunanların sayısını ise şöyle özetleyebiliriz:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34

Her üç etkinliğe de yalnızca bir kişinin katıldığı anlaşılmaktadır.

Böylece, Euler çemberleri (Euler-Venn diyagramları), USE ve GIA formatındaki problemlerin çözümünde ve anlamlı mantıksal problemlerin çözümünde pratik uygulama bulur.

Edebiyat

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitin. Bilgisayar bilimlerinde mantık. M.: Bilişim ve Eğitim, 2006. 155 s.
LL. Bosova. Bilgisayarların aritmetik ve mantıksal temelleri. M.: Bilişim ve eğitim, 2000. 207 s.
LL. Bosova, A.Yu. Bosova. Ders kitabı. 8. sınıf için Bilişim ve BİT: BINOM. Bilgi Laboratuvarı, 2012. 220 s.
LL. Bosova, A.Yu. Bosova. Ders kitabı. 9. sınıf için Bilişim ve BİT: BINOM. Bilgi Laboratuvarı, 2012. 244 s.
FIPI web sitesi: http://www.fipi.ru/

Federal Eğitim Ajansı

Durum Eğitim kurumu yüksek mesleki eğitim

Ulusal Araştırma

Tomsk Politeknik Üniversitesi

Doğal Kaynaklar Enstitüsü

Sanal Makine Departmanı

MAKALE

Başlık : « Euler-Venn diyagramı»

Yürütücü:

2U00 grubunun öğrencisi

Süpervizör:

Giriş…………………………………………………………….………..3

1. Tarihten………………………………………………………….….…..4

2. Euler-Venn diyagramı……………………………………………….…..4

3. Euler-Venn diyagramı kümeleri üzerinde işlemler…………………….5

a) Konsolidasyon…………………….. ……………………………….……7

b) Kesişme, tamamlayıcı………………….……………………………..7

c) Pierce'ın oku, Schaeffer'ın vuruşu ve farkı ...…………………………….8

d) Fark………………………………………………………………………8

e) Simetrik fark ve denklik…………………….…….9

Sonuç………………………………………………………………………10

Kaynaklar…………………………………………………….………..11

giriiş

Euler daireleri - görsel temsil için alt kümeler arasındaki ilişkiyi gösterebileceğiniz geometrik bir diyagram. Daireler Leonhard Euler tarafından icat edildi. Matematik, mantık, yönetim ve diğer uygulamalı alanlarda kullanılır.

Önemli özel durum Euler daireleri - Euler - Venn diyagramları, n özelliğin tüm 2n kombinasyonunu, yani sonlu bir Boole cebrini tasvir eder. n = 3 için, Euler-Venn diyagramı genellikle üç merkezleri bir eşkenar üçgenin köşelerinde ve aynı yarıçapta, yaklaşık olarak üçgenin kenarının uzunluğuna eşit olan daireler.

Leonhard Euler, bir takım problemleri çözerken, kümeleri daireler kullanarak tasvir etme fikrini kullandı. Ancak, Euler'den önce bile, bu yöntem seçkin Alman filozof ve matematikçi (1646-1716) tarafından kullanıldı. Leibniz bunları kavramlar arasındaki mantıksal bağlantıların geometrik yorumu için kullandı, ancak yine de doğrusal şemaları kullanmayı tercih etti.

Ama L. Euler'in kendisi bu yöntemi oldukça kapsamlı bir şekilde geliştirdi. Euler çemberi yöntemi, Alman matematikçi Ernst Schroeder (1841-1902) tarafından Mantığın Cebiri adlı kitabında da kullanılmıştır. Grafik yöntemler, İngiliz mantıkçı John Venn'in (1843-1923) 1881'de Londra'da yayınlanan Symbolic Logic kitabında detaylandırdığı yazılarında zirveye ulaştı. Bu nedenle, bu tür şemalara bazen Euler-Venn diyagramları denir.

1. Tarihten

Leonhard Euler(1707 - 1783, St.Petersburg, Rus imparatorluğu) - matematikçi, mekanik, fizikçi. Fizyolojide yardımcı, fizik profesörü, matematiğin gelişimine önemli katkılarda bulunan yüksek matematik profesörü, ayrıca mekanik, fizik, astronomi ve bir dizi uygulamalı bilim.

Euler, 800'den fazla makalenin yazarıdır. matematiksel analiz, diferansiyel geometri, sayı teorisi, yaklaşık hesaplamalar, gök mekaniği, matematiksel fizik, optik, balistik, gemi yapımı, müzik teorisi vb.

Hayatının neredeyse yarısını Rusya'da geçirdi ve burada Rus biliminin gelişimine önemli katkılarda bulundu. 1726'da, bir yıl sonra taşınacağı St. Petersburg'da çalışmaya davet edildi. 1711'den 1741'e ve ayrıca 1766'dan, St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin bir akademisyeniydi (1741-1766'da Berlin'de çalıştı ve St. Petersburg Akademisi'nin onursal üyesi olarak kaldı). Rusçayı iyi biliyordu ve eserlerinin bir kısmını (özellikle ders kitaplarını) Rusça olarak yayınladı. İlk Rus akademik matematikçiler (S.K. Kotelnikov) ve gökbilimciler (S.Ya. Rumovsky) Euler'in öğrencileriydi. Torunlarından bazıları hala Rusya'da yaşıyor.

John Venn (1, İngiliz mantıkçı. Sınıf mantığı alanında çalıştı, burada özel bir grafik aparatı (Venn diyagramları olarak adlandırılır) yarattı ve burada "biçimsel sinir ağları"nın mantıksal-matematiksel teorisinde kullanıldı. ters işlemler J. Boole'un mantıksal hesabında. John'un ana ilgi alanı mantıktı ve konuyla ilgili üç makale yayınladı. Bunlar, 1866'da frekansın yorumunu veya olasılığın frekans teorisini tanıtan The Logic of Chance; 1881'de Venn diyagramlarının tanıtıldığı "Sembolik Mantık"; Boole mantığındaki ters işlemler için gerekçe sağlayan 1889'da "Ampirik Mantığın İlkeleri".

Matematikte kümeleri temsil eden daire şeklindeki çizimler çok uzun süredir kullanılmaktadır. Bu yöntemi ilk kullananlardan biri seçkin bir Alman matematikçisi ve filozofuydu (1 Taslak eskizlerinde bu tür dairelerin olduğu çizimler bulundu. Daha sonra bu yöntem Leonard Euler tarafından oldukça kapsamlı bir şekilde geliştirildi. uzun yıllar Petersburg Bilimler Akademisi'nde çalıştı. Bu zamana kadar ünlü "Mektuplar alman prensesi", 1761'den 1768'e kadar olan dönemde yazılmıştır. Bu "Mektupların ..." bazılarında Euler sadece yönteminden bahseder. Euler'den sonra, aynı yöntem Çek matematikçi Bernard Bolzano tarafından geliştirildi (1Yalnızca, Euler'in aksine, o yaptı. dairesel çizmeyin Euler çemberi yöntemi, Alman matematikçi Ernest Schroeder tarafından da kullanıldı (1 Bu yöntem, 1881'de Londra'da yayınlanan Mantığın Cebiri kitabında yaygın olarak kullanılmaktadır. Euler çemberleri yerine Venn'in onuruna, ilgili şekillere bazen Venn diyagramları denir; bazı kitaplarda ayrıca Euler-Venn diyagramları (veya daireler) olarak da adlandırılırlar.

2. Euler-Venn diyagramı

Küme ve altküme kavramları, matematiğin birçok kavramının tanımında ve özellikle bir geometrik şeklin tanımında kullanılmaktadır. Bir düzlemi evrensel bir küme olarak tanımlarız. Daha sonra planimetride bir geometrik şeklin aşağıdaki tanımını verebiliriz:

geometrik şekil düzlemdeki herhangi bir nokta kümesine denir. Kümeleri ve aralarındaki ilişkileri görsel olarak görüntülemek için geometrik şekiller birbirleriyle bu ilişki içindedirler. Kümelerin bu tür temsillerine Euler-Venn diyagramları denir. Euler-Venn diyagramları, kümeler hakkında çeşitli ifadeleri görünür kılar. Evrensel kümeyi bir dikdörtgen, alt kümelerini ise daire olarak tasvir ederler. Matematik, mantık, yönetim ve diğer uygulamalı alanlarda kullanılır.

Euler-Venn diyagramı, evrensel kümeyi temsil eden büyük bir dikdörtgeni tasvir etmekten oluşur. sen, ve içinde - kümeleri temsil eden daireler (veya diğer bazı kapalı şekiller). Rakamlar, problemde gerekli olan en genel durumda kesişmeli ve buna göre etiketlenmelidir. Diyagramın farklı alanları içinde yer alan noktalar, karşılık gelen kümelerin elemanları olarak kabul edilebilir. Oluşturulan diyagramla, yeni oluşturulan kümeleri belirtmek için belirli alanları gölgelemek mümkündür.

Kümelerde temel işlemler:

Kavşak Birlik Farkı

3. Euler-Venn diyagramının kümeleri üzerinde işlemler

Küme işlemleri, mevcut kümelerden yeni kümeler elde etmek için kabul edilir.

	Tanım. Dernek A ve B kümelerine A, B kümelerinden en az birine ait olan tüm öğelerden oluşan bir küme denir (Şekil 1):
	Tanım. geçit A ve B kümeleri, hem A kümesine hem de B kümesine aynı anda ait olan ve yalnızca bu öğelerden oluşan bir kümedir (Şekil 2):
	Tanım . fark A ve B kümeleri, A'nın B'de yer almayan tüm ve yalnızca bu öğelerinin kümesidir (Şekil 3):
	Tanım. simetrik fark A ve B kümeleri, bu kümelerin yalnızca A kümesine veya yalnızca B kümesine ait olan öğelerinin kümesidir (Şekil 4):
	Tanım. mutlak bir tamamlayıcı A kümesi, A kümesine ait olmayan tüm öğelerin kümesidir (Şekil 5):

Şimdi örneklerle daha ayrıntılı.

Yeniden hesaplamadan sonra şu şekilde tanımlanabilecek bazı nesneler kümesi verilsin.

A = (1, 2, 4, 6) ve B = (2, 3, 4, 8, 9)

yuvarlak ve beyaz nesneler. Orijinal seti arayabilirsiniz temel, ve A ve B alt kümeleri basitçe setler.

Sonuç olarak, dört eleman sınıfı elde ederiz:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - elementler adlandırılmış özelliklerden herhangi birine sahip değil,

C 1 = (1, 6) - elemanlar sadece A (yuvarlak) özelliğine sahiptir,

C 2 = (3, 8, 9) - elemanlar sadece B (beyaz) özelliğine sahiptir,

C 3 = (2, 4) - elementler aynı anda iki A ve B özelliğine sahiptir.

Şek. 1.1. belirtilen sınıflar ile gösterilir Euler - Venn diyagramları.

Pirinç. 1.1

Genellikle diyagramlar tam genelliğe sahip değildir, örneğin Şekil 2'de gösterilen. 1.2. Üzerinde, A kümesi zaten B'ye tamamen dahil edilmiştir. Bu durumda özel bir dahil etme sembolü (Ì) kullanılır: A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

İki koşul aynı anda sağlanırsa: A Ì B ve B Ì A, o zaman A = B, bu durumda A ve B kümelerinin tamamen eşdeğerdir.

Pirinç. 1.2

Dört eleman sınıfı tanımlandıktan ve Euler-Venn diyagramları hakkında gerekli bilgiler verildikten sonra kümeler üzerinde işlemler tanıtılır. Önce işlemi ele alalım dernekler.

a) Konsolidasyon

Dernek A = (1, 2, 4, 6) ve B = (2, 3, 4, 8, 9) kümeleri

hadi kümeyi arayalım

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

burada È kümelerin birleşiminin sembolüdür. Böylece, birlik üç element sınıfını kapsar - C 1, C 2 ve CŞemada gölgeli olan 3 (Şekil 1.3).

Mantıksal olarak, iki kümeyi birleştirme işlemi şu kelimelerle karakterize edilebilir: eleman x A kümesine veya B kümesine aittir. Bu durumda, "veya" bağlantısı aynı anda "ve" bağlantısı anlamına gelir. Öğenin ait olduğu gerçeği x A kümesi olarak gösterilir xн A. Bu nedenle, ne x A'ya ait ve/ve B, aşağıdaki formülle ifade edilir:

xО A И B = ( xÎ A) Ú ( x o B),

nerede Ú mantıksal bağlacı sembolüdür veya denir ayrılık.

b) Kavşak, ekleme

geçit A ve B kümelerine A ve B kümelerinden aynı anda her iki kümeye dahil olan öğeleri içeren A Ç B kümesi denir. bizim için Sayısal örnek sahip olacak:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

Kavşak için Euler-Venn diyagramı, Şek. 1.4.

Ne x Aynı anda iki A ve B kümesine aittir, aşağıdaki ifade ile temsil edilebilir:

xО A З B = ( xн A) u ( x o B),

burada Ù, mantıksal bağlaç "ve"nin simgesidir ve buna bağlaç.

Gölgeli alanlarla sonuçlanan bir operasyon hayal edin C 1 ve C 3, A kümesini oluşturur (Şekil 1.5). Sonra diğer iki alanı kapsayacak başka bir operasyon - C 0 ve C 2 olarak gösterilen A'ya dahil değildir A(şek.1.6).

Pirinç. 1.5

Pirinç. 1.6

Her iki diyagramdaki taralı alanları birleştirirsek, taralı küme 1'in tamamını elde ederiz; A'nın kesişimi ve A herhangi bir öğe içermeyen boş küme 0'ı verecektir:

bir È A= 1, A З A = 0.

Bir çok A tamamlar A'ya ayarla temel küme V (veya 1); dolayısıyla başlık: ek olarak A'yı ayarlayın veya ilave operasyon gibi. Boole değişkenine tamamlayıcı x, yani x (olumsuzluk- x) en sık denir x'in olumsuzlanması.

Kesişme ve tümleme işlemlerinin tanıtılmasından sonra, dört alanın tümü Ci Euler-Venn diyagramında aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

C 0 = A Ç B, C 1 = Bir B, C 2 = AÇB, C 3 = A Ç B.

İlgili alanları birleştirerek Ci Birliğin kendisi de dahil olmak üzere herhangi bir çoklu işlemi temsil edebilirsiniz:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

Çıkarım için Euler-Venn diyagramı (Şekil 1.10) şunu gösterir: kısmi A kümesinin B kümesine dahil edilmesi, bunlardan ayırt edilmesi gerekir. tamamlamak kapanımlar (Şekil 1.2).

"A kümesinin elemanları B kümesine dahildir" belirtilirse, alan C 3 gölgeli olmalı ve alan C Aynı zorunluluk ile 1 beyaz bırakılmalıdır. ilgili bölgeler C 0 ve C 1 bulunan A, not edin onları beyaz bırakmaya hakkımız yok ama yine de içine düşen alanlara mecburuz A, gölge.

E) Simetrik fark ve denklik

Geriye birbirini tamamlayan iki işlem daha vermek kalıyor - simetrik fark ve denklik. A ve B kümelerinin simetrik farkı, iki farkın birleşimidir:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Eşdeğerlik, A ve B kümelerinin kendileri için ortak olan elemanları tarafından belirlenir. Ancak, A veya B'de olmayan öğeler de eşdeğer olarak kabul edilir:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

Şek. 1.11 ve 1.12, Euler-Venn diyagramlarının gölgelenmesini gösterir.

Pirinç. 1.11

Pirinç. 1.12

Sonuç olarak, simetrik farkın birkaç adı olduğunu not ediyoruz: kesin ayrılık, özel alternatif, toplam modulo iki. Bu işlem - “A veya B” kelimeleri ile iletilebilir, yani mantıksal bir “veya” bağlacıdır, ancak içinde “ve” bağlacı olmadan.

Çözüm

Euler-Venn diyagramları kümelerin geometrik gösterimleridir. Basit diyagram oluşturma, evrensel kümenin görsel bir temsilini sağlar sen, ve içinde - kümeleri temsil eden daireler (veya diğer bazı kapalı şekiller). Rakamlar, problemde gerekli olan en genel durumda kesişir ve mecazi görüntüye karşılık gelir. Diyagramın farklı alanları içinde yer alan noktalar, karşılık gelen kümelerin elemanları olarak kabul edilebilir. Oluşturulan diyagramla, yeni oluşturulan kümeleri belirtmek için belirli alanları gölgelemek mümkündür. Bu, sorunun ve çözümünün en eksiksiz resmine sahip olmamızı sağlar. Euler-Venn diyagramlarının basitliği, bu tekniği matematik, mantık, yönetim ve diğer uygulamalı alanlarda kullanmayı mümkün kılar.

bibliyografya

1. Mantık sözlüğü. - M.: Tumanit, ed. merkezi VLADOS. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. Venn Şeması Wolfram MathWorld'de.

ANCAK	B	C	D	atama alanlar	sayılar
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	10
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6
1	0	1	0	10)	2
1	0	1	1	11)	0
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4
1	1	1	0	14)	7
1	1	1	1	15)	3

ANCAK	B	C	D	atama alanlar	sayılar
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	10
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6
1	0	1	0	10)	2
1	0	1	1	11)	0
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4
1	1	1	0	14)	7
1	1	1	1	15)	3

ANCAK	B	C	D	atama alanlar	sayılar
0	0	0	0	0)	15
0	0	0	1	1)	14
0	0	1	0	2)	12
0	0	1	1	3)	11
0	1	0	0	4)	13
0	1	0	1	5)	9
0	1	1	0	6)	8
0	1	1	1	7)	10
1	0	0	0	8)	1
1	0	0	1	9)	6
1	0	1	0	10)	2
1	0	1	1	11)	0
1	1	0	0	12)	5
1	1	0	1	13)	4
1	1	1	0	14)	7
1	1	1	1	15)	3