Ano ang tinatawag na base ng pyramid. Mga formula at katangian ng isang regular na quadrangular pyramid. Pinutol na pyramid. Apat na pangunahing linear na mga parameter

Ang video tutorial na ito ay makakatulong sa mga user na magkaroon ng ideya tungkol sa Pyramid theme. Tamang pyramid. Sa araling ito, makikilala natin ang konsepto ng pyramid, bigyan ito ng kahulugan. Isaalang-alang kung ano ang isang regular na pyramid at kung ano ang mga katangian nito. Pagkatapos ay patunayan namin ang theorem sa lateral surface ng isang regular na pyramid.

Sa araling ito, makikilala natin ang konsepto ng pyramid, bigyan ito ng kahulugan.

Isaalang-alang ang isang polygon A 1 A 2...Isang n, na nasa eroplano α, at isang punto P, na hindi namamalagi sa eroplano α (Larawan 1). Ikonekta natin ang tuldok P may mga taluktok A 1, A 2, A 3, … Isang n. Kunin n mga tatsulok: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R atbp.

Kahulugan. Polyhedron RA 1 A 2 ... A n, binubuo ng n-gon A 1 A 2...Isang n at n mga tatsulok RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , tinawag n- pyramid ng karbon. kanin. isa.

kanin. isa

Isaalang-alang ang isang quadrangular pyramid PABCD(Larawan 2).

R- tuktok ng pyramid.

A B C D- ang base ng pyramid.

RA- tadyang sa gilid.

AB- gilid ng base.

Mula sa isang punto R ihulog ang patayo RN sa ground plane A B C D. Ang perpendikular na iginuhit ay ang taas ng pyramid.

kanin. 2

Ang kabuuang ibabaw ng pyramid ay binubuo ng lateral surface, iyon ay, ang lugar ng lahat ng lateral faces, at ang base area:

S full \u003d S side + S main

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung:

ang base nito ay isang regular na polygon;
ang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng base ay ang taas nito.

Paliwanag sa halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid

Isaalang-alang ang isang regular na quadrangular pyramid PABCD(Larawan 3).

R- tuktok ng pyramid. base ng pyramid A B C D- isang regular na may apat na gilid, iyon ay, isang parisukat. Dot O, ang intersection point ng mga diagonal, ay ang sentro ng parisukat. Ibig sabihin, RO ay ang taas ng pyramid.

kanin. 3

Paliwanag: sa kanan n-gon, ang gitna ng inscribed na bilog at ang gitna ng circumscribed na bilog ay magkasabay. Ang sentrong ito ay tinatawag na sentro ng polygon. Minsan sinasabi nila na ang tuktok ay naka-project sa gitna.

Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito, ay tinatawag apothema at ipinapahiwatig h a.

1. lahat ng gilid na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay;

2. ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles.

Patunayan natin ang mga katangiang ito gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid.

Ibinigay: RABCD- regular na quadrangular pyramid,

A B C D- parisukat,

RO ay ang taas ng pyramid.

Patunayan:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Tingnan ang Fig. 4.

kanin. 4

Patunay.

RO ay ang taas ng pyramid. Ibig sabihin, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta AO, VO, SO at GAWIN nakahiga sa loob nito. Kaya ang mga tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD- hugis-parihaba.

Isaalang-alang ang isang parisukat A B C D. Ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng isang parisukat na AO = BO = CO = GAWIN.

Pagkatapos ay ang mga tamang tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD binti RO- pangkalahatan at mga binti AO, VO, SO at GAWIN pantay, kaya ang mga tatsulok na ito ay pantay sa dalawang paa. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga segment, RA = PB = PC = PD. Ang punto 1 ay napatunayan.

Mga segment AB at Araw ay pantay-pantay dahil sila ay mga gilid ng parehong parisukat, RA = RV = PC. Kaya ang mga tatsulok AVR at VCR - isosceles at pantay sa tatlong panig.

Katulad nito, nakuha namin na ang mga tatsulok ABP, BCP, CDP, DAP ay isosceles at pantay, na kinakailangan upang patunayan sa aytem 2.

Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem:

Para sa patunay, pumili kami ng isang regular na triangular na pyramid.

Ibinigay: RAVS ay isang regular na triangular na pyramid.

AB = BC = AC.

RO- taas.

Patunayan: . Tingnan ang Fig. 5.

kanin. 5

Patunay.

RAVS ay isang regular na triangular na pyramid. I.e AB= AC = BC. Hayaan O- ang gitna ng tatsulok ABC, pagkatapos RO ay ang taas ng pyramid. Ang base ng pyramid ay isang equilateral triangle. ABC. pansinin mo yan .

mga tatsulok RAV, RVS, RSA- pantay na isosceles triangles (ayon sa ari-arian). Ang isang tatsulok na pyramid ay may tatlong gilid na mukha: RAV, RVS, RSA. Kaya, ang lugar ng lateral surface ng pyramid ay:

S gilid = 3S RAB

Ang teorama ay napatunayan.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m, ang taas ng pyramid ay 4 m. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng pyramid.

Ibinigay: regular na quadrangular pyramid A B C D,

A B C D- parisukat,

r= 3 m,

RO- ang taas ng pyramid,

RO= 4 m.

Hanapin: S gilid. Tingnan ang Fig. 6.

kanin. 6

Desisyon.

Ayon sa napatunayang teorama, .

Hanapin muna ang gilid ng base AB. Alam namin na ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m.

Pagkatapos, m.

Hanapin ang perimeter ng parisukat A B C D na may gilid na 6 m:

Isaalang-alang ang isang tatsulok BCD. Hayaan M- gitnang bahagi DC. Bilang O- gitna BD, pagkatapos (m).

Tatsulok DPC- isosceles. M- gitna DC. I.e, RM- ang median, at samakatuwid ang taas sa tatsulok DPC. Pagkatapos RM- apothem ng pyramid.

RO ay ang taas ng pyramid. Tapos, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ang direktang OM nakahiga sa loob nito. Maghanap tayo ng apothem RM mula sa isang tamang tatsulok ROM.

Ngayon ay mahahanap natin ang gilid na ibabaw ng pyramid:

Sagot: 60 m2.

Ang radius ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base ng isang regular na triangular na pyramid ay m. Ang lateral surface area ay 18 m 2. Hanapin ang haba ng apothem.

Ibinigay: ABCP- regular na tatsulok na pyramid,

AB = BC = SA,

R= m,

S gilid = 18 m 2.

Hanapin: . Tingnan ang Fig. 7.

kanin. 7

Desisyon.

Sa isang kanang tatsulok ABC ibinigay ang radius ng circumscribed circle. Humanap tayo ng side AB ang tatsulok na ito gamit ang sine theorem.

Ang pag-alam sa gilid ng isang regular na tatsulok (m), nakita natin ang perimeter nito.

Ayon sa theorem sa lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid, kung saan h a- apothem ng pyramid. Pagkatapos:

Sagot: 4 m.

Kaya, sinuri namin kung ano ang isang pyramid, kung ano ang isang regular na pyramid, napatunayan namin ang teorama sa lateral surface ng isang regular na pyramid. Sa susunod na aralin, makikilala natin ang pinutol na pyramid.

Bibliograpiya

Geometry. Baitang 10-11: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (basic at mga antas ng profile) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., Rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
Geometry. Baitang 10-11: Teksbuk para sa pangkalahatang edukasyon institusyong pang-edukasyon/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: may sakit.
Geometry. Baitang 10: Textbook para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon na may malalim at profile na pag-aaral ng matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: may sakit.

Internet portal na "Yaklass" ()
Internet portal na "Festival pedagogical na ideya"Una ng Setyembre" ()
Internet portal na "Slideshare.net" ()

Takdang aralin

Maaari bang ang isang regular na polygon ang maging batayan ng isang hindi regular na pyramid?
Patunayan na ang mga di-nagsalubong na gilid ng isang regular na pyramid ay patayo.
Hanapin ang halaga ng dihedral angle sa gilid ng base ng isang regular na quadrangular pyramid, kung ang apothem ng pyramid ay katumbas ng gilid ng base nito.
RAVS ay isang regular na triangular na pyramid. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle sa base ng pyramid.

Sa araling ito, makikilala natin ang konsepto ng pyramid, bigyan ito ng kahulugan.

Kahulugan. Polyhedron RA 1 A 2 ... A n, binubuo ng n-gon A 1 A 2...Isang n at n mga tatsulok RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , tinawag n- pyramid ng karbon. kanin. isa.

kanin. isa

Isaalang-alang ang isang quadrangular pyramid PABCD(Larawan 2).

R- tuktok ng pyramid.

A B C D- ang base ng pyramid.

RA- tadyang sa gilid.

AB- gilid ng base.

Mula sa isang punto R ihulog ang patayo RN sa ground plane A B C D. Ang perpendikular na iginuhit ay ang taas ng pyramid.

kanin. 2

Ang kabuuang ibabaw ng pyramid ay binubuo ng lateral surface, iyon ay, ang lugar ng lahat ng lateral faces, at ang base area:

S full \u003d S side + S main

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung:

ang base nito ay isang regular na polygon;
ang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng base ay ang taas nito.

Paliwanag sa halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid

Isaalang-alang ang isang regular na quadrangular pyramid PABCD(Larawan 3).

kanin. 3

Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito, ay tinatawag apothema at ipinapahiwatig h a.

1. lahat ng gilid na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay;

2. ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles.

Patunayan natin ang mga katangiang ito gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid.

Ibinigay: RABCD- regular na quadrangular pyramid,

A B C D- parisukat,

RO ay ang taas ng pyramid.

Patunayan:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Tingnan ang Fig. 4.

kanin. 4

Patunay.

Isaalang-alang ang isang parisukat A B C D. Ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng isang parisukat na AO = BO = CO = GAWIN.

Mga segment AB at Araw ay pantay-pantay dahil sila ay mga gilid ng parehong parisukat, RA = RV = PC. Kaya ang mga tatsulok AVR at VCR - isosceles at pantay sa tatlong panig.

Katulad nito, nakuha namin na ang mga tatsulok ABP, BCP, CDP, DAP ay isosceles at pantay, na kinakailangan upang patunayan sa aytem 2.

Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem:

Para sa patunay, pumili kami ng isang regular na triangular na pyramid.

Ibinigay: RAVS ay isang regular na triangular na pyramid.

AB = BC = AC.

RO- taas.

Patunayan: . Tingnan ang Fig. 5.

kanin. 5

Patunay.

S gilid = 3S RAB

Ang teorama ay napatunayan.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m, ang taas ng pyramid ay 4 m. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng pyramid.

Ibinigay: regular na quadrangular pyramid A B C D,

A B C D- parisukat,

r= 3 m,

RO- ang taas ng pyramid,

RO= 4 m.

Hanapin: S gilid. Tingnan ang Fig. 6.

kanin. 6

Desisyon.

Ayon sa napatunayang teorama, .

Hanapin muna ang gilid ng base AB. Alam namin na ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m.

Pagkatapos, m.

Hanapin ang perimeter ng parisukat A B C D na may gilid na 6 m:

Isaalang-alang ang isang tatsulok BCD. Hayaan M- gitnang bahagi DC. Bilang O- gitna BD, pagkatapos (m).

Tatsulok DPC- isosceles. M- gitna DC. I.e, RM- ang median, at samakatuwid ang taas sa tatsulok DPC. Pagkatapos RM- apothem ng pyramid.

RO ay ang taas ng pyramid. Tapos, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ang direktang OM nakahiga sa loob nito. Maghanap tayo ng apothem RM mula sa isang tamang tatsulok ROM.

Ngayon ay mahahanap natin ang gilid na ibabaw ng pyramid:

Sagot: 60 m2.

Ang radius ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base ng isang regular na triangular na pyramid ay m. Ang lateral surface area ay 18 m 2. Hanapin ang haba ng apothem.

Ibinigay: ABCP- regular na tatsulok na pyramid,

AB = BC = SA,

R= m,

S gilid = 18 m 2.

Hanapin: . Tingnan ang Fig. 7.

kanin. 7

Desisyon.

Sa isang kanang tatsulok ABC ibinigay ang radius ng circumscribed circle. Humanap tayo ng side AB ang tatsulok na ito gamit ang sine theorem.

Ang pag-alam sa gilid ng isang regular na tatsulok (m), nakita natin ang perimeter nito.

Ayon sa theorem sa lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid, kung saan h a- apothem ng pyramid. Pagkatapos:

Sagot: 4 m.

Bibliograpiya

Geometry. Baitang 10-11: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (basic at profile level) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., Rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
Geometry. Baitang 10-11: Isang aklat-aralin para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
Geometry. Baitang 10: Textbook para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon na may malalim at profile na pag-aaral ng matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: may sakit.

Internet portal na "Yaklass" ()
Internet portal "Festival of Pedagogical Ideas "Una ng Setyembre" ()
Internet portal na "Slideshare.net" ()

Takdang aralin

Maaari bang ang isang regular na polygon ang maging batayan ng isang hindi regular na pyramid?
Patunayan na ang mga di-nagsalubong na gilid ng isang regular na pyramid ay patayo.
Hanapin ang halaga ng dihedral angle sa gilid ng base ng isang regular na quadrangular pyramid, kung ang apothem ng pyramid ay katumbas ng gilid ng base nito.
RAVS ay isang regular na triangular na pyramid. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle sa base ng pyramid.

Ang teksto ng trabaho ay inilalagay nang walang mga imahe at mga formula.
Buong bersyon available ang trabaho sa tab na "Mga File ng trabaho" sa format na PDF

Panimula

Kapag nakilala natin ang salitang "pyramid", pagkatapos ay dadalhin tayo ng associative memory sa Egypt. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga unang monumento ng arkitektura, maaari itong mapagtatalunan na ang kanilang bilang ay hindi bababa sa ilang daan. Isang Arabong manunulat noong ika-13 siglo ang nagsabi: "Lahat ng bagay sa mundo ay natatakot sa oras, at ang oras ay natatakot sa mga pyramids." Ang mga pyramid ay ang tanging himala ng pitong kababalaghan sa mundo na nakaligtas hanggang sa ating panahon, hanggang sa panahon. teknolohiya ng kompyuter. Gayunpaman, ang mga mananaliksik ay hindi pa nakakahanap ng mga pahiwatig sa lahat ng kanilang mga misteryo. Kung mas marami tayong natutunan tungkol sa mga pyramids, mas marami tayong mga katanungan. Ang mga piramide ay interesado sa mga istoryador, pisiko, biologist, manggagamot, pilosopo, atbp. Malaki ang interes nila at hinihikayat nila ang isang mas malalim na pag-aaral ng kanilang mga ari-arian, kapwa mula sa matematika at iba pang mga punto ng view (historical, geographical, atbp.).

Kaya layunin Ang aming pag-aaral ay ang pag-aaral ng mga katangian ng pyramid mula sa iba't ibang punto ng view. Bilang mga intermediate na layunin, natukoy namin ang: pagsasaalang-alang ng mga katangian ng pyramid mula sa punto ng view ng matematika, ang pag-aaral ng mga hypotheses tungkol sa pagkakaroon ng mga lihim at misteryo ng pyramid, pati na rin ang mga posibilidad ng aplikasyon nito.

bagay ang pag-aaral sa papel na ito ay isang pyramid.

Bagay pananaliksik: mga katangian at katangian ng pyramid.

Mga gawain pananaliksik:

Upang pag-aralan ang siyentipiko - popular na literatura sa paksa ng pananaliksik.

Isaalang-alang ang pyramid bilang isang geometric na katawan.

Tukuyin ang mga katangian at katangian ng pyramid.

Maghanap ng materyal na nagpapatunay sa paggamit ng mga katangian ng pyramid sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya.

Paraan pananaliksik: pagsusuri, synthesis, analogy, mental modeling.

Inaasahang resulta ng trabaho dapat ay nakabalangkas na impormasyon tungkol sa pyramid, mga katangian at aplikasyon nito.

Mga yugto ng paghahanda ng proyekto:

Pagtukoy sa tema ng proyekto, layunin at layunin.

Pag-aaral at pagkolekta ng materyal.

Pagguhit ng plano ng proyekto.

Ang pagbabalangkas ng inaasahang resulta ng aktibidad sa proyekto, kabilang ang asimilasyon ng bagong materyal, ang pagbuo ng kaalaman, kasanayan at kakayahan sa aktibidad ng paksa.

Pagbubuo ng mga resulta ng pananaliksik.

Pagninilay

Pyramid bilang isang geometric na katawan

Isaalang-alang ang pinagmulan ng salita at terminong " pyramid". Kaagad na dapat tandaan na ang "pyramid" o " pyramid"(Ingles), " pyramide"(Pranses, Espanyol at Mga wikang Slavic), pyramide(German) ay isang Kanluraning termino na may mga pinagmulan sa sinaunang Greece. Sa sinaunang Griyego πύραμίς ("P iramis"at marami pang iba. h. Πύραμίδες « mga piramide Ang "") ay may maraming kahulugan. Ang mga sinaunang Griyego ay tumawag mga piramide» isang wheat cake na kahawig ng hugis ng mga istruktura ng Egypt. Nang maglaon, ang salita ay nangahulugan na “isang monumental na istruktura na may parisukat na lugar sa base at may mga sloping side na nagtatagpo sa itaas. Etymological na diksyunaryo ay nagpapahiwatig na ang Greek na "pyramis" ay nagmula sa Egyptian na " pimar". Ang unang nakasulat na interpretasyon ng salita "pyramid" natagpuan sa Europa noong 1555 at nangangahulugang: "isa sa mga uri ng sinaunang gusali ng mga hari." Matapos ang pagtuklas ng mga pyramids sa Mexico at sa pag-unlad ng agham noong ika-18 siglo, ang pyramid ay naging hindi lamang isang sinaunang monumento ng arkitektura, kundi isang regular na geometric figure na may apat na simetriko na panig (1716). Ang simula ng geometry ng pyramid ay inilatag sa sinaunang Egypt at Babylon, ngunit ito ay aktibong binuo sa Sinaunang Greece. Ang unang nagtaguyod kung ano ang katumbas ng dami ng pyramid ay si Democritus, at pinatunayan ito ni Eudoxus ng Cnidus.

Ang unang kahulugan ay nabibilang sa sinaunang Griyegong matematiko, ang may-akda ng mga teoretikal na treatise sa matematika na dumating sa atin, si Euclid. Sa XII volume ng kanyang "Beginnings", tinukoy niya ang pyramid bilang isang body figure, na napapaligiran ng mga eroplano na mula sa isang eroplano (base) ay nagtatagpo sa isang punto (itaas). Ngunit ang kahulugang ito ay pinuna na noong unang panahon. Kaya't iminungkahi ni Heron ang sumusunod na kahulugan ng isang pyramid: "Ito ay isang pigura na may hangganan ng mga tatsulok na nagtatagpo sa isang punto at ang base nito ay isang polygon."

May depinisyon ang French mathematician na si Adrien Marie Legendre, na noong 1794 sa kanyang akda na "Elements of Geometry" ay tinukoy ang pyramid bilang mga sumusunod: "Ang pyramid ay isang katawan na pigura na nabuo ng mga tatsulok na nagtatagpo sa isang punto at nagtatapos sa magkaibang panig ng isang patag na base.”

Binibigyang-kahulugan ng mga modernong diksyunaryo ang terminong "pyramid" bilang mga sumusunod:

	Isang polyhedron na ang base ay isang polygon at ang iba pang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex	Paliwanag na diksyunaryo ng wikang Ruso, ed. D. N. Ushakova
	Isang katawan na napapaligiran ng pantay na tatsulok, na binubuo ng mga vertex sa isang punto at bumubuo ng isang parisukat na may mga base ng mga ito	Explanatory Dictionary of V.I.Dal
	Isang polyhedron na ang base ay isang polygon at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex	Explanatory Dictionary, ed. S. I. Ozhegova at N. Yu. Shvedova
	Isang polyhedron na ang base ay isang polygon at ang mga gilid ng mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex	T. F. Efremov. Bagong paliwanag at derivational na diksyunaryo ng wikang Ruso.
	Isang polyhedron, ang isang mukha ay isang polygon, at ang iba pang mga mukha ay mga tatsulok na mayroong isang karaniwang vertex	Diksyunaryo ng mga salitang banyaga
	Isang geometric na katawan na ang base ay isang polygon at ang mga gilid ay kasing dami ng mga tatsulok gaya ng base na may mga gilid na ang mga vertices ay nagtatagpo sa isang punto.	Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso
	Isang polyhedron, ang isang mukha nito ay isang uri ng flat polygon, at lahat ng iba pang mga mukha ay mga tatsulok, ang mga base nito ay ang mga gilid ng base ng polyhedron, at ang mga vertices ay nagtatagpo sa isang punto	F. Brockhaus, I.A. Efron. encyclopedic Dictionary
	Isang polyhedron na ang base ay isang polygon at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex	Moderno diksyunaryo
	Isang polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon at ang iba pang mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex	Matematika encyclopedic Dictionary

Sa pagsusuri sa mga kahulugan ng pyramid, maaari nating tapusin na ang lahat ng mga mapagkukunan ay may magkatulad na mga pormulasyon:

Ang pyramid ay isang polyhedron na ang base ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex. Ayon sa bilang ng mga sulok ng base, ang mga pyramids ay triangular, quadrangular, atbp.

Ang polygon A 1 A 2 A 3 ... An ay ang base ng pyramid, at ang mga tatsulok na RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PAnA 1 ay ang mga gilid na mukha ng pyramid, P ang tuktok ng pyramid, ang mga segment na RA 1, RA 2, ..., PAn - mga tadyang sa gilid.

Ang patayo na iginuhit mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base ay tinatawag h mga pyramid.

Bilang karagdagan sa isang di-makatwirang pyramid, mayroong isang regular na pyramid, sa base kung saan mayroong isang regular na polygon at isang pinutol na pyramid.

lugar Ang kabuuang ibabaw ng isang pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito. Sfull = S side + S main, kung saan ang S side ay ang kabuuan ng mga lugar ng side faces.

Dami pyramid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: V=1/3S main.h, kung saan S pangunahing. - base area, h - taas.

Upang mga katangian ng pyramid iugnay:

Kapag ang lahat ng mga gilid ng gilid ay magkapareho ang laki, madaling ilarawan ang isang bilog na malapit sa base ng pyramid, habang ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito; Ang mga side ribs ay bumubuo ng parehong mga anggulo sa base plane; sa karagdagan, ang kabaligtaran ay totoo rin, i.e. kapag ang mga gilid ng gilid ay bumubuo ng pantay na mga anggulo sa base plane, o kapag ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa base ng pyramid at ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito, kung gayon ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay may parehong laki.

Kapag ang mga gilid ng mukha ay may isang anggulo ng pagkahilig sa eroplano ng base ng parehong halaga, kung gayon madaling ilarawan ang isang bilog na malapit sa base ng pyramid, habang ang tuktok ng pyramid ay ipapakita sa gitna ng bilog na ito. ; ang taas ng mga gilid na mukha ay pantay na haba; ang lugar ng lateral surface ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng lateral face.

Ang pyramid ay tinatawag tama, kung ang base nito ay isang regular na polygon, at ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng base. Ang mga gilid na mukha ng isang regular na pyramid ay pantay, isosceles triangles (Fig. 2a). aksis Ang isang regular na pyramid ay tinatawag na isang tuwid na linya na naglalaman ng taas nito. Apothem - ang taas ng lateral face ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa tuktok nito.

parisukat Ang gilid na mukha ng isang regular na pyramid ay ipinahayag tulad ng sumusunod: Sside. \u003d 1 / 2P h, kung saan ang P ay ang perimeter ng base, ang h ay ang taas ng gilid na mukha (ang apothem ng isang regular na pyramid). Kung ang pyramid ay tinawid ng eroplanong A'B'C'D', kahanay sa base, kung gayon ang mga gilid at taas sa gilid ay hinati ng eroplanong ito sa mga proporsyonal na bahagi; sa seksyon, ang isang polygon A'B'C'D' ay nakuha, katulad ng base; ang mga lugar ng seksyon at ang base ay nauugnay bilang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa itaas.

Pinutol na pyramid ay nakuha sa pamamagitan ng pagputol mula sa pyramid sa itaas na bahagi nito sa pamamagitan ng isang eroplanong parallel sa base (Larawan 2b). Ang mga base ng pinutol na pyramid ay magkatulad na polygons ABCD at A`B`C`D`, ang mga gilid na mukha ay trapezoid. Ang taas ng pinutol na pyramid ay ang distansya sa pagitan ng mga base. Ang dami ng isang pinutol na pyramid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: V \u003d 1/3 h (S + + S '), kung saan ang S at S' ay ang mga lugar ng mga base ABCD at A'B'C'D ', h ay ang taas.

Ang mga base ng isang regular na pinutol na n-gonal pyramid ay mga regular na n-gon. Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid ay ipinahayag tulad ng sumusunod: Sside. \u003d ½ (P + P ’) h, kung saan ang P at P’ ay ang mga perimeter ng mga base, ang h ay ang taas ng gilid na mukha (ang apothem ng isang regular na pinutol na pyramid)

Ang mga seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng mga eroplanong dumadaan sa tuktok nito ay mga tatsulok. Ang isang seksyon na dumadaan sa dalawang hindi magkalapit na gilid ng isang pyramid ay tinatawag na isang diagonal na seksyon. Kung ang seksyon ay dumaan sa isang punto sa gilid ng gilid at sa gilid ng base, kung gayon ang panig na ito ang magiging bakas nito sa eroplano ng base ng pyramid. Ang isang seksyon na dumadaan sa isang punto na nakahiga sa mukha ng pyramid at isang naibigay na bakas ng seksyon sa eroplano ng base, kung gayon ang pagtatayo ay dapat isagawa tulad ng sumusunod: hanapin ang intersection point ng eroplano ng ibinigay na mukha at ang bakas ang seksyon ng pyramid at italaga ito; bumuo ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng ibinigay na punto at ang nagresultang intersection point; Ulitin ang mga hakbang na ito para sa susunod na mga mukha.

Parihabang pyramid - ito ay isang pyramid kung saan ang isa sa mga gilid na gilid ay patayo sa base. Sa kasong ito, ang gilid na ito ang magiging taas ng pyramid (Larawan 2c).

Regular na triangular na pyramid- Ito ay isang pyramid, ang base nito ay isang regular na tatsulok, at ang tuktok ay inaasahang papunta sa gitna ng base. Ang isang espesyal na kaso ng isang regular na triangular na pyramid ay tetrahedron. (Larawan 2a)

Isaalang-alang ang mga theorems na nag-uugnay sa pyramid sa iba mga geometric na katawan.

Sphere

Ang isang globo ay maaaring ilarawan malapit sa pyramid kapag sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang polygon sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid ng pyramid na patayo sa kanila. Ito ay sumusunod mula sa teorama na ito na ang isang globo ay maaaring ilarawan kapwa tungkol sa alinmang tatsulok at tungkol sa anumang regular na piramide; Ang isang globo ay maaaring isulat sa isang pyramid kapag ang mga bisector plane ng mga panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay nagsalubong sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ang magiging sentro ng globo.

Cone

Ang isang kono ay tinatawag na inscribed sa isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay magkasabay at ang base nito ay nakasulat sa base ng pyramid. Bukod dito, posible na isulat ang isang kono sa isang pyramid lamang kapag ang mga apothems ng pyramid ay katumbas ng bawat isa (isang kinakailangan at sapat na kondisyon); Ang isang kono ay tinatawag na inscribed malapit sa pyramid kapag ang kanilang mga vertices ay nag-tutugma at ang base nito ay nakasulat malapit sa base ng pyramid. Bukod dito, posible na ilarawan ang kono malapit sa pyramid lamang kapag ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa (isang kinakailangan at sapat na kondisyon); Ang taas ng naturang mga cone at pyramids ay pantay-pantay sa bawat isa.

Silindro

Ang isang silindro ay tinatawag na inscribed sa isang pyramid kung ang isa sa mga base nito ay nag-tutugma sa isang bilog na nakasulat sa seksyon ng pyramid ng isang eroplanong parallel sa base, at ang isa pang base ay kabilang sa base ng pyramid. Ang isang silindro ay tinatawag na inscribed malapit sa pyramid kung ang tuktok ng pyramid ay kabilang sa isa sa mga base nito, at ang isa pang base nito ay nakasulat malapit sa base ng pyramid. Bukod dito, posible lamang na ilarawan ang isang silindro malapit sa pyramid kapag may nakasulat na polygon sa base ng pyramid (isang kinakailangan at sapat na kondisyon).

Kadalasan sa kanilang pananaliksik, ginagamit ng mga siyentipiko ang mga katangian ng pyramid na may mga proporsyon ng Golden Ratio. Isasaalang-alang natin kung paano ginamit ang mga ratios ng ginintuang seksyon sa pagtatayo ng mga pyramids sa susunod na talata, at dito tatalakayin natin ang kahulugan ng gintong seksyon.

Ang mathematical encyclopedic dictionary ay nagbibigay ng sumusunod na kahulugan gintong seksyon- ito ang paghahati ng segment AB sa dalawang bahagi sa paraang karamihan sa AC nito ay ang average na proporsyonal sa pagitan ng buong segment na AB at ang mas maliit nitong bahagi na CB.

Ang algebraic finding ng Golden section ng segment AB = a ay ibinaba sa paglutas ng equation na a: x = x: (a-x), kung saan ang x ay tinatayang katumbas ng 0.62a. Ang ratio x ay maaaring ipahayag bilang mga fraction n/n+1= 0,618, kung saan ang n ay ang numerong Fibonacci na may bilang na n.

Ang golden ratio ay kadalasang ginagamit sa mga gawa ng sining, arkitektura, at matatagpuan sa kalikasan. Ang mga matingkad na halimbawa ay ang eskultura ni Apollo Belvedere, ang Parthenon. Sa panahon ng pagtatayo ng Parthenon, ginamit ang ratio ng taas ng gusali sa haba nito at ang ratio na ito ay 0.618. Nagbibigay din ang mga bagay sa paligid natin ng mga halimbawa ng Golden Ratio, halimbawa, ang mga binding ng maraming libro ay mayroon ding lapad sa haba na ratio na malapit sa 0.618.

Kaya, sa pag-aaral ng tanyag na siyentipikong literatura sa problema sa pananaliksik, dumating kami sa konklusyon na ang isang pyramid ay isang polyhedron, ang base nito ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex. Sinuri namin ang mga elemento at katangian ng pyramid, ang mga uri nito at ugnayan sa mga proporsyon ng Golden Section.

2. Mga katangian ng pyramid

Kaya naman sa Big Encyclopedic Dictionary ay nakasulat na ang pyramid ay isang monumental na istraktura na may geometric na hugis ng pyramid (minsan ay stepped o tower-shaped). Ang mga libingan ng mga sinaunang pharaoh ng Egypt noong ika-3 - ika-2 milenyo BC ay tinatawag na mga pyramids. e., pati na rin ang mga pedestal ng mga templo sa Central at Timog Amerika nauugnay sa mga kultong kosmolohiya. Kabilang sa mga magarang pyramids ng Egypt, ang Great Pyramid of Pharaoh Cheops ay sumasakop sa isang espesyal na lugar. Bago magpatuloy sa pagsusuri ng hugis at sukat ng pyramid ng Cheops, dapat nating tandaan kung anong sistema ng mga sukat ang ginamit ng mga Ehipsiyo. Ang mga Ehipsiyo ay may tatlong yunit ng haba: "kubit" (466 mm), katumbas ng pitong "palad" (66.5 mm), na, naman, ay katumbas ng apat na "daliri" (16.6 mm).

Karamihan sa mga mananaliksik ay sumasang-ayon na ang haba ng gilid ng base ng pyramid, halimbawa, GF, ay L = 233.16 m. Ang halagang ito ay halos eksaktong katumbas ng 500 "cubits". Ang ganap na pagsunod sa 500 "cubits" ay magiging kung ang haba ng "cubit" ay itinuturing na katumbas ng 0.4663 m.

Ang taas ng pyramid (H) ay tinatantya ng mga mananaliksik nang iba mula 146.6 hanggang 148.2 m. At depende sa tinatanggap na taas ng pyramid, nagbabago ang lahat ng ratios ng mga geometric na elemento nito. Ano ang dahilan ng mga pagkakaiba sa pagtatantya ng taas ng pyramid? Ang katotohanan ay ang pyramid ng Cheops ay pinutol. Ang itaas na plataporma nito ngayon ay may sukat na humigit-kumulang 10x10 m, at isang siglo na ang nakalipas ito ay 6x6 m. Halata na ang tuktok ng pyramid ay nalansag, at hindi ito tumutugma sa orihinal. Kapag sinusuri ang taas ng pyramid, kinakailangang isaalang-alang ang mga ito pisikal na kadahilanan, bilang isang draft na disenyo. Sa loob ng mahabang panahon, sa ilalim ng impluwensya ng napakalaking presyon (na umabot sa 500 tonelada bawat 1 m 2 ng mas mababang ibabaw), ang taas ng pyramid ay nabawasan kumpara sa orihinal na taas nito. Ang orihinal na taas ng pyramid ay maaaring muling likhain kung makikita mo ang pangunahing geometric na ideya.

Noong 1837, sinukat ng English colonel na si G. Wise ang anggulo ng pagkahilig ng mga mukha ng pyramid: ito ay naging katumbas ng a = 51 ° 51 ". Ang halagang ito ay kinikilala pa rin ng karamihan sa mga mananaliksik ngayon. Tinukoy na halaga ang anggulo ay tumutugma sa tangent (tg a), katumbas ng 1.27306. Ang halagang ito ay tumutugma sa ratio ng taas ng pyramid AC sa kalahati ng base CB nito, iyon ay, AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

At narito ang mga mananaliksik ay para sa isang malaking sorpresa! Ang katotohanan ay kung kukunin natin ang square root ng golden ratio, pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na resulta = 1.272. Ang paghahambing ng halagang ito sa halagang tg a = 1.27306, nakikita natin na ang mga halagang ito ay napakalapit sa isa't isa. Kung kukunin natin ang anggulo a \u003d 51 ° 50 ", iyon ay, bawasan ito ng isang arc minuto lamang, kung gayon ang halaga ng isang ay magiging katumbas ng 1.272, iyon ay, ito ay magkakasabay sa halaga. Dapat tandaan na noong 1840 inulit ni G. Wise ang kanyang mga sukat at nilinaw na ang halaga ng anggulo ay \u003d 51 ° 50 ".

Ang mga sukat na ito ay humantong sa mga mananaliksik sa sumusunod na kawili-wiling hypothesis: ang tatsulok na ASV ng Cheops pyramid ay batay sa ratio na AC / CB = 1.272.

Isaalang-alang ngayon ang isang hugis-parihaba tatsulok ABC, kung saan ang ratio ng mga binti AC / CB = . Kung tinutukoy natin ngayon ang mga haba ng mga gilid ng rectangle ABC bilang x, y, z, at isinasaalang-alang din na ang ratio y / x \u003d, pagkatapos ay alinsunod sa Pythagorean theorem, ang haba z ay maaaring kalkulahin ng formula:

Kung tatanggapin natin ang x = 1, y = , kung gayon:

Ang isang tamang tatsulok kung saan ang mga gilid ay nauugnay bilang t::1 ay tinatawag na isang "gintong" tamang tatsulok.

Pagkatapos, kung gagawin natin bilang batayan ang hypothesis na ang pangunahing "geometric na ideya" ng Cheops pyramid ay ang "golden" right-angled triangle, kung gayon mula dito ay madaling kalkulahin ang "design" na taas ng Cheops pyramid. Ito ay katumbas ng:

H \u003d (L / 2) / \u003d 148.28 m.

Kumuha tayo ngayon ng ilang iba pang mga relasyon para sa pyramid ng Cheops, na sumusunod mula sa "ginintuang" hypothesis. Sa partikular, nakita namin ang ratio ng panlabas na lugar ng pyramid sa lugar ng base nito. Upang gawin ito, kinukuha namin ang haba ng binti CB bilang isang yunit, iyon ay: CB = 1. Ngunit pagkatapos ay ang haba ng gilid ng base ng pyramid ay GF = 2, at ang base area EFGH ay magiging katumbas ng S EFGH = 4.

Kalkulahin natin ngayon ang lugar ng gilid na mukha ng Cheops pyramid SD. Dahil ang taas ng AB ng tatsulok na AEF ay katumbas ng t, kung gayon ang lugar ng gilid na mukha ay magiging katumbas ng S D = t. Pagkatapos ang kabuuang lugar ng lahat ng apat na gilid na mukha ng pyramid ay magiging katumbas ng 4t, at ang ratio ng kabuuang panlabas na lugar ng pyramid sa lugar ng base ay magiging katumbas ng gintong ratio. Ito ang pangunahing geometric na sikreto ng Cheops pyramid.

At gayundin, sa panahon ng pagtatayo ng mga Egyptian pyramids, natagpuan na ang parisukat na itinayo sa taas ng pyramid ay eksaktong katumbas ng lugar ng bawat gilid ng mga tatsulok. Kinumpirma ito ng mga pinakabagong sukat.

Alam natin na ang ugnayan sa pagitan ng circumference ng isang bilog at diameter nito ay pare-pareho, na kilala ng mga modernong mathematician, mga mag-aaral, ay ang bilang na "Pi" = 3.1416 ... Ngunit kung susumahin natin ang apat na panig ng base ng Cheops pyramid, makakakuha tayo ng 931.22 m. Hinahati ang numerong ito ng dalawang beses ang taas ng pyramid (2x148.208), nakakakuha tayo ng 3 ,1416 ..., iyon ay, ang numerong "Pi". Dahil dito, ang pyramid ng Cheops ay isang one-of-a-kind na monumento, na siyang materyal na sagisag ng numerong "Pi" na tumutugtog. mahalagang papel sa matematika.

Kaya, ang presensya sa laki ng pyramid ng gintong seksyon - ang ratio ng dobleng bahagi ng pyramid sa taas nito - ay isang numerong napakalapit sa halaga sa numerong π. Ito, siyempre, ay isang tampok din. Bagama't maraming may-akda ang naniniwala na ang pagkakataong ito ay hindi sinasadya, dahil ang fraction na 14/11 ay "isang magandang pagtataya para sa parisukat na ugat mula sa ratio ng ginintuang seksyon, at para sa ratio ng mga lugar ng isang parisukat at isang bilog na nakasulat dito.

Gayunpaman, mali na magsalita lamang dito tungkol sa Egyptian pyramids. Mayroong hindi lamang Egyptian pyramids, mayroong isang buong network ng mga pyramids sa Earth. Ang mga pangunahing monumento (Egyptian at Mexican pyramids, Easter Island at ang Stonehenge complex sa England) sa unang tingin ay random na nakakalat sa paligid ng ating planeta. Ngunit kung ang Tibetan pyramid complex ay kasama sa pag-aaral, pagkatapos ay isang mahigpit sistema ng matematika ang kanilang lokasyon sa ibabaw ng lupa. Laban sa backdrop ng Himalayan ridge, malinaw na nakikilala ang isang pyramidal formation - Mount Kailash. Ang lokasyon ng lungsod ng Kailash, ang Egyptian at Mexican pyramids ay napaka-interesante, ibig sabihin, kung ikinonekta mo ang lungsod ng Kailash sa mga Mexican pyramids, kung gayon ang linya na nagkokonekta sa kanila ay papunta sa Easter Island. Kung ikinonekta mo ang lungsod ng Kailash sa mga Egyptian pyramids, kung gayon ang linya ng kanilang koneksyon ay muling pupunta sa Easter Island. Eksaktong one-fourth ang globo. Kung ikinonekta natin ang Mexican pyramids at ang Egyptian, makikita natin ang dalawang pantay na tatsulok. Kung nahanap mo ang kanilang lugar, kung gayon ang kanilang kabuuan ay katumbas ng isang-ikaapat na bahagi ng lugar ng mundo.

Ang isang hindi mapag-aalinlanganang koneksyon sa pagitan ng complex ng Tibetan pyramids ay ipinahayag kasama ng iba pang istruktura sinaunang panahon - ang Egyptian at Mexican pyramids, ang colossi ng Easter Island at ang Stonehenge complex sa England. Ang taas ng pangunahing pyramid ng Tibet - Mount Kailash - ay 6714 metro. Distansya mula Kailash hanggang North Pole katumbas 6714 kilometro, ang distansya mula Kailash hanggang Stonehenge ay 6714 kilometro. Kung isasantabi mo ang globo mula sa North Pole ang mga ito 6714 kilometro, pagkatapos ay makakarating tayo sa tinatawag na Devil's Tower, na parang pinutol na pyramid. At sa wakas eksakto 6714 kilometro mula Stonehenge hanggang Bermuda Triangle.

Bilang resulta ng mga pag-aaral na ito, mahihinuha na mayroong isang pyramidal-geographical system sa Earth.

Kaya, ang mga tampok ay ang ratio ng kabuuang panlabas na lugar ng pyramid sa lugar ng base ay magiging katumbas ng gintong ratio; ang presensya sa laki ng pyramid ng gintong seksyon - ang ratio ng dobleng bahagi ng pyramid sa taas nito - ay isang numero na napakalapit sa halaga sa numerong π, i.e. ang pyramid ng Cheops ay isang one-of-a-kind na monumento, na siyang materyal na sagisag ng numerong "Pi"; ang pagkakaroon ng isang pyramidal-geographical system.

3. Iba pang mga katangian at gamit ng pyramid.

Isaalang-alang ang praktikal na aplikasyon nito geometric na pigura. Halimbawa, hologram. Una, tingnan natin kung ano ang holography. Holography - isang hanay ng mga teknolohiya para sa tumpak na pagre-record, pag-reproduce at muling paghubog ng mga wave field ng optical electromagnetic radiation, isang espesyal na pamamaraan ng photographic kung saan ang mga larawan ng mga three-dimensional na bagay ay naitala at pagkatapos ay ibinalik gamit ang isang laser, sa ang pinakamataas na antas katulad ng mga tunay. Ang hologram ay isang produkto ng holography, isang three-dimensional na imahe na nilikha ng isang laser na nagpaparami ng imahe ng isang three-dimensional na bagay. Gamit ang isang regular na pinutol na tetrahedral pyramid, maaari mong muling likhain ang isang imahe - isang hologram. Ang isang file ng larawan at isang regular na pinutol na tetrahedral pyramid mula sa isang translucent na materyal ay nilikha. Ang isang maliit na indent ay ginawa mula sa pinakamababang pixel at ang gitnang pixel na nauugnay sa y-axis. Ang puntong ito ang magiging midpoint ng gilid ng parisukat na nabuo ng seksyon. Ang larawan ay pinarami, at ang mga kopya nito ay matatagpuan sa parehong paraan na may kaugnayan sa iba pang tatlong panig. Ang isang pyramid ay inilalagay sa parisukat na may isang seksyon sa ibaba upang ito ay tumutugma sa parisukat. Bumubuo ang monitor liwanag na alon, bawat isa sa apat na magkaparehong litrato, na nasa eroplano, na siyang projection ng mukha ng pyramid, ay nahuhulog sa mukha mismo. Bilang isang resulta, sa bawat isa sa apat na mukha mayroon kaming parehong mga imahe, at dahil ang materyal na kung saan ginawa ang pyramid ay may pag-aari ng transparency, ang mga alon ay tila na-refracted, na nagtatagpo sa gitna. Bilang resulta, nakakakuha kami ng parehong pattern ng interference nakatayong alon, ang gitnang axis, o ang axis ng pag-ikot kung saan ay ang taas ng isang regular na pinutol na pyramid. Gumagana rin ang pamamaraang ito sa imahe ng video, dahil ang prinsipyo ng operasyon ay nananatiling hindi nagbabago.

Isinasaalang-alang ang mga partikular na kaso, makikita ng isa na ang pyramid ay malawakang ginagamit sa Araw-araw na buhay, kahit sa sambahayan. Ang pyramidal na hugis ay madalas na matatagpuan, pangunahin sa kalikasan: mga halaman, kristal, ang molekula ng methane ay may hugis ng isang regular na triangular na pyramid - isang tetrahedron, ang unit cell ng isang brilyante na kristal ay isa ring tetrahedron, sa gitna at apat na vertices nito ay mga carbon atom. Ang mga pyramid ay matatagpuan sa bahay, mga laruan ng mga bata. Ang mga pindutan, ang mga keyboard ng computer ay kadalasang katulad ng isang quadrangular truncated pyramid. Maaari silang makita sa anyo ng mga elemento ng gusali o mga istruktura ng arkitektura mismo, bilang mga translucent na istruktura ng bubong.

Isaalang-alang ang ilang higit pang mga halimbawa ng paggamit ng terminong "pyramid"

Mga piramide sa ekolohiya- ito ay mga graphical na modelo (kadalasan sa anyo ng mga tatsulok) na sumasalamin sa bilang ng mga indibidwal (pyramid of numbers), ang dami ng kanilang biomass (biomass pyramid) o ang enerhiyang nakapaloob sa kanila (energy pyramid) sa bawat trophic level at nagpapahiwatig isang pagbaba sa lahat ng mga tagapagpahiwatig na may pagtaas sa antas ng trophic

Piramid ng impormasyon. Sinasalamin nito ang hierarchy iba't ibang uri impormasyon. Ang pagkakaloob ng impormasyon ay binuo ayon sa sumusunod na pyramidal scheme: sa itaas - ang mga pangunahing tagapagpahiwatig kung saan maaari mong malinaw na subaybayan ang bilis ng paggalaw ng negosyo patungo sa napiling layunin. Kung may mali, maaari kang pumunta sa gitnang antas ng pyramid - pangkalahatang data. Nililinaw nila ang larawan para sa bawat tagapagpahiwatig nang paisa-isa o may kaugnayan sa bawat isa. Mula sa data na ito, matutukoy mo ang posibleng lokasyon ng pagkabigo o problema. Para sa mas kumpletong impormasyon, kailangan mong sumangguni sa base ng pyramid - Detalyadong Paglalarawan estado ng lahat ng mga proseso sa numerical form. Ang data na ito ay nakakatulong upang matukoy ang sanhi ng problema upang ito ay maitama at maiwasan sa hinaharap.

Taksonomiya ni Bloom. Ang taxonomy ni Bloom ay nagmumungkahi ng pag-uuri ng mga gawain sa anyo ng isang pyramid, na itinakda ng mga tagapagturo sa mga mag-aaral, at, nang naaayon, mga layunin sa pag-aaral. Hinahati niya ang mga layuning pang-edukasyon sa tatlong lugar: cognitive, affective at psychomotor. Sa loob ng bawat indibidwal na globo, upang lumipat sa isang mas mataas na antas, ang karanasan ng mga nakaraang antas, na nakikilala sa globo na ito, ay kinakailangan.

Piramid sa pananalapi- isang tiyak na kababalaghan ng pag-unlad ng ekonomiya. Ang pangalang "pyramid" ay malinaw na naglalarawan ng sitwasyon kapag ang mga tao "sa ilalim" ng pyramid ay nagbibigay ng pera sa isang maliit na tuktok. Kasabay nito, ang bawat bagong kalahok ay nagbabayad upang mapataas ang posibilidad ng kanyang pag-promote sa tuktok ng pyramid.

Pyramid ng mga Pangangailangan Sinasalamin ni Maslow ang isa sa pinakasikat at kilalang mga teorya ng pagganyak - ang teorya ng hierarchy. pangangailangan. Ibinahagi ni Maslow ang mga pangangailangan sa pataas na pagkakasunud-sunod, na nagpapaliwanag ng naturang konstruksiyon sa pamamagitan ng katotohanan na ang isang tao ay hindi makakaranas ng mga pangangailangan. mataas na lebel habang nangangailangan ng mas primitive na mga bagay. Habang natutugunan ang mas mababang mga pangangailangan, ang mga pangangailangan ng isang mas mataas na antas ay nagiging mas kagyat, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang lugar ng dating pangangailangan ay inookupahan ng bago lamang kapag ang una ay ganap na nasiyahan.

Ang isa pang halimbawa ng paggamit ng terminong "pyramid" ay pyramid ng pagkain - eskematiko na representasyon ng mga prinsipyo malusog na pagkain binuo ng mga nutrisyunista. Ang mga pagkain sa ibaba ng pyramid ay dapat kainin nang madalas hangga't maaari, habang ang mga pagkain sa tuktok ng pyramid ay dapat na iwasan o kainin sa limitadong dami.

Kaya, lahat ng nasa itaas ay nagpapakita ng iba't ibang gamit ng pyramid sa ating buhay. Marahil ay marami pa ang pyramid matayog na layunin, at nilayon para sa isang bagay na higit pa sa mga praktikal na paraan ng paggamit nito na bukas na ngayon.

Konklusyon

Patuloy tayong nakakatugon sa mga pyramids sa ating buhay - ito ay sinaunang panahon Egyptian pyramids at mga laruan na pinaglalaruan ng mga bata; mga bagay ng arkitektura at disenyo, natural na mga kristal; mga virus na makikita lamang sa pamamagitan ng electron microscope. Sa maraming millennia ng pagkakaroon nito, ang mga pyramid ay naging isang uri ng simbolo na nagpapakilala sa pagnanais ng tao na maabot ang tugatog ng kaalaman.

Sa kurso ng pag-aaral, natukoy namin na ang mga pyramids ay isang pangkaraniwang pangyayari sa buong mundo.

Nag-aral kami ng tanyag na literatura sa agham sa paksa ng pananaliksik, sinuri ang iba't ibang mga interpretasyon ng terminong "pyramid", natukoy na sa geometric na kahulugan, ang isang pyramid ay isang polyhedron, ang base nito ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex. Pinag-aralan namin ang mga uri ng mga pyramids (regular, pinutol, hugis-parihaba), mga elemento (apothem, mga gilid na mukha, gilid ng gilid, itaas, taas, base, dayagonal na seksyon) at ang mga katangian ng geometric na pyramids na may pantay na gilid ng gilid at kapag ang mga gilid na mukha ay nakatagilid. sa base plane sa isang anggulo. Isinasaalang-alang ang mga theorems na nag-uugnay sa pyramid sa iba pang mga geometric na katawan (sphere, cone, cylinder).

Ang mga katangian ng pyramid ay:

ang ratio ng kabuuang panlabas na lugar ng pyramid sa lugar ng base ay magiging katumbas ng gintong ratio;

ang presensya sa laki ng pyramid ng gintong seksyon - ang ratio ng double side ng pyramid sa taas nito - ay isang numero na napakalapit sa halaga sa numerong π, i.e. ang pyramid ng Cheops ay isang one-of-a-kind na monumento, na siyang materyal na sagisag ng numerong "Pi";

ang pagkakaroon ng isang pyramidal-geographical system.

Pinag-aralan namin ang modernong aplikasyon ng geometric figure na ito. Sinuri namin kung paano konektado ang pyramid at hologram, iginuhit ang pansin sa katotohanan na ang pyramidal form ay madalas na matatagpuan sa kalikasan (mga halaman, mga kristal, mga molekula ng methane, ang istraktura ng lattice ng brilyante, atbp.). Sa buong pag-aaral, nakilala namin ang materyal na nagpapatunay sa paggamit ng mga katangian ng pyramid sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya, sa pang-araw-araw na buhay ng mga tao, sa pagsusuri ng impormasyon, sa ekonomiya, at sa maraming iba pang mga lugar. At sila ay dumating sa konklusyon na marahil ang mga pyramids ay may mas mataas na layunin, at nilayon para sa isang bagay na higit pa sa mga praktikal na gamit para sa kanila na ngayon ay bukas.

Bibliograpiya.

Van der Waerden, Barthel Leendert. Agham ng Paggising. Mathematics sinaunang egypt, Babylon at Greece. [Text] / B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007

Voloshinov A. V. Mathematics at Art. [Text] / A.V. Voloshinov - Moscow: "Enlightenment" 2000.

Ang Kasaysayan ng Daigdig(encyclopedia para sa mga bata). [Text] / - M .: “Avanta +”, 1993.

hologram . [Electronic na mapagkukunan] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - artikulo sa Internet

Geometry [Text]: Proc. 10 - 11 mga cell. para sa mga institusyong pang-edukasyon L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov at iba pa - ika-22 na edisyon. - M.: Enlightenment, 2013

Coppens F. Bagong panahon ng mga pyramids. [Text] / F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010

Mathematical Encyclopedic Dictionary. [Text] / A. M. Prokhorov at iba pa - M .: Encyclopedia ng Sobyet, 1988.

Muldashev E.R. sistema ng mundo Ang mga pyramid at monumento ng sinaunang panahon ay nagligtas sa atin mula sa katapusan ng mundo, ngunit ... [Text] / E. R. Muldashev - M .: "AiF-Print"; M.: "OLMA-PRESS"; St. Petersburg: Neva Publishing House; 2003.

Perelman Ya. I. Nakakaaliw na arithmetic. [Text] / Ya. I. Perelman- M .: Tsentrpoligraf, 2017

Reichard G. Pyramids. [Text] / Hans Reichard - M .: Slovo, 1978

Terra Lexicon. Illustrated encyclopedic dictionary. [Text] / - M.: TERRA, 1998.

Tompkins P. Mga Lihim ng Great Pyramid of Cheops. [Text]/ Peter Tompkins. - M.: "Tsentropoligraf", 2008

Uvarov V. Ang mahiwagang katangian ng mga pyramids. [Text] / V. Uvarov - Lenizdat, 2006.

Sharygin I.F. Geometry grade 10-11. [Text] / I.F. Sharygin:. - M: "Enlightenment", 2000

Yakovenko M. Ang susi sa pag-unawa sa pyramid [Electronic na mapagkukunan] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - artikulo sa Internet

Ang araling ito ay nagbibigay ng kahulugan at katangian ng isang regular na triangular na pyramid at ang espesyal na kaso nito - isang tetrahedron (tingnan sa ibaba). Ang mga link sa mga halimbawa ng paglutas ng problema ay ibinibigay sa katapusan ng aralin.

Kahulugan

Regular na triangular na pyramid- Ito ay isang pyramid, ang base nito ay isang regular na tatsulok, at ang tuktok ay inaasahang papunta sa gitna ng base.

Ipinapakita ng figure:
ABC- Base mga pyramid
OS - Taas
KS - Apothem
OK - radius ng bilog na nakasulat sa base
AO - radius ng isang bilog na nakapaligid sa base ng isang regular na triangular na pyramid
SKO - ang dihedral na anggulo sa pagitan ng base at mukha ng pyramid (pareho sila sa isang regular na pyramid)

Mahalaga. Sa isang regular na triangular na pyramid, ang haba ng gilid (sa figure AS, BS, CS) ay maaaring hindi katumbas ng haba ng gilid ng base (sa figure AB, AC, BC). Kung ang haba ng gilid ng isang regular na triangular na pyramid ay katumbas ng haba ng gilid ng base, kung gayon ang naturang pyramid ay tinatawag na tetrahedron (tingnan sa ibaba).

Mga katangian ng isang regular na triangular na pyramid:

pantay ang mga gilid ng isang regular na pyramid
lahat ng panig na mukha ng isang regular na pyramid ay isosceles triangles
sa isang regular na triangular na pyramid, maaari mong isulat at ilarawan ang isang globo sa paligid nito
kung ang mga sentro ng mga sphere na nakasulat at nakapaligid sa paligid ng isang regular na triangular na pyramid ay nag-tutugma, kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa tuktok ng pyramid ay katumbas ng π (180 degrees), at ang bawat isa sa kanila, ayon sa pagkakabanggit, ay katumbas ng π / 3 (pi na hinati sa 3 o 60 degrees).
ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem
ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa base sa gitna ng isang regular na equilateral triangle, na siyang sentro ng inscribed na bilog at ang intersection point ng median.

Mga formula para sa isang regular na triangular na pyramid

Ang formula para sa dami ng isang regular na triangular na pyramid ay:

Ang V ay ang volume ng isang regular na pyramid na may regular (equilateral) na tatsulok sa base
h - ang taas ng pyramid
a - ang haba ng gilid ng base ng pyramid
R - radius ng circumscribed circle
r - radius ng inscribed na bilog

Dahil ang regular na triangular pyramid ay isang espesyal na kaso ng isang regular na pyramid, ang mga formula na totoo para sa isang regular na pyramid ay totoo din para sa isang regular na triangular pyramid - tingnan ang mga formula para sa isang regular na pyramid.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema:

Tetrahedron

Ang isang espesyal na kaso ng isang regular na triangular na pyramid ay tetrahedron.

Tetrahedron ay isang regular na polyhedron (regular triangular pyramid) kung saan ang lahat ng mga mukha ay regular na tatsulok.

Sa tetrahedron:

Ang lahat ng mga gilid ay pantay
4 na mukha, 4 na vertice at 6 na gilid
Lahat dihedral na mga anggulo sa mga gilid at lahat ng trihedral na anggulo sa vertices ay pantay

Median ng isang tetrahedron- ito ay isang segment na nagkokonekta sa vertex sa punto ng intersection ng mga median ng kabaligtaran na mukha (ang mga median ng isang equilateral triangle sa tapat ng vertex)

Bimedian tetrahedron- ito ay isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga tumatawid na gilid (pagkonekta sa mga midpoint ng mga gilid ng isang tatsulok, na isa sa mga mukha ng isang tetrahedron)

Taas ng Tetrahedron- ito ay isang segment na nagkokonekta sa vertex na may isang punto ng kabaligtaran na mukha at patayo sa mukha na ito (iyon ay, ito ay ang taas na iginuhit mula sa anumang mukha, na tumutugma din sa gitna ng circumscribed na bilog).

Tetrahedron ay may sumusunod ari-arian:

Ang lahat ng median at bimedians ng isang tetrahedron ay nagsalubong sa isang punto
Hinahati ng puntong ito ang mga median sa isang ratio na 3:1, na binibilang mula sa itaas
Ang puntong ito ay naghahati sa bimedians

Video aralin 2: Pyramid challenge. Dami ng Pyramid

Video aralin 3: Pyramid challenge. Tamang pyramid

Lecture: Pyramid, ang base nito, mga gilid ng gilid, taas, ibabaw ng gilid; tatsulok na pyramid; kanang pyramid

Pyramid, ang mga katangian nito

Pyramid- Ito ay isang three-dimensional na katawan na may polygon sa base, at lahat ng mukha nito ay binubuo ng mga tatsulok.

Ang isang espesyal na kaso ng isang pyramid ay isang kono, sa base nito ay isang bilog.

Isaalang-alang ang mga pangunahing elemento ng pyramid:

Apothem ay isang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng ibabang gilid ng gilid na mukha. Sa madaling salita, ito ang taas ng mukha ng pyramid.

Sa figure makikita mo ang mga tatsulok na ADS, ABS, BCS, CDS. Kung titingnang mabuti ang mga pangalan, makikita mo na ang bawat tatsulok ay may isang karaniwang titik sa pangalan nito - S. Ibig sabihin, ang lahat ng mga gilid na mukha (tatsulok) ay nagtatagpo sa isang punto, na tinatawag na tuktok ng pyramid.

Ang segment na OS, na nag-uugnay sa vertex sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (sa kaso ng mga triangles, sa punto ng intersection ng mga taas), ay tinatawag taas ng pyramid.

Ang isang diagonal na seksyon ay isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid, pati na rin ang isa sa mga diagonal ng base.

Dahil ang lateral surface ng pyramid ay binubuo ng mga triangles, upang mahanap ang kabuuang lugar ng lateral surface, kinakailangan upang mahanap ang mga lugar ng bawat mukha at idagdag ang mga ito. Ang bilang at hugis ng mga mukha ay depende sa hugis at sukat ng mga gilid ng polygon na nasa base.

Ang tanging eroplano sa isang pyramid na walang vertex ay tinatawag batayan mga pyramid.

Sa figure, nakita namin na ang base ay isang paralelogram, gayunpaman, maaaring mayroong anumang arbitrary polygon.

Ari-arian:

Isaalang-alang ang unang kaso ng isang pyramid, kung saan mayroon itong mga gilid ng parehong haba:

Ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng naturang pyramid. Kung i-project mo ang tuktok ng naturang pyramid, ang projection nito ay matatagpuan sa gitna ng bilog.
Ang mga anggulo sa base ng pyramid ay pareho para sa bawat mukha.
Kung saan sapat na kondisyon sa katotohanan na sa paligid ng base ng pyramid maaari mong ilarawan ang isang bilog, at ipagpalagay din na ang lahat ng mga gilid iba't ibang haba, maaari nating isaalang-alang ang parehong mga anggulo sa pagitan ng base at bawat gilid ng mga mukha.

Kung nakatagpo ka ng isang pyramid kung saan ang mga anggulo sa pagitan ng mga gilid na mukha at base ay pantay, kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

Magagawa mong ilarawan ang isang bilog sa paligid ng base ng pyramid, kung saan ang tuktok nito ay eksaktong inaasahang nasa gitna.
Kung gumuhit ka sa bawat gilid na mukha ng taas hanggang sa base, kung gayon sila ay magiging pantay na haba.
Upang mahanap ang lateral surface area ng naturang pyramid, sapat na upang mahanap ang perimeter ng base at i-multiply ito sa kalahati ng haba ng taas.
Sbp \u003d 0.5P oc H.
Mga uri ng pyramid.
Depende sa kung aling polygon ang nasa base ng pyramid, maaari silang maging triangular, quadrangular, atbp. Kung ang isang regular na polygon ay nasa base ng pyramid (na may pantay na partido), kung gayon ang naturang pyramid ay tatawaging regular.

Regular na triangular na pyramid