Diferansiyel hesabın ana görevi türevini bulmaktır f'(x) veya diferansiyel df=f'(x)dx fonksiyonlar f(x).İntegral hesapta ters problem çözülür. İle verilen fonksiyon f(x) böyle bir fonksiyon bulmak gerekiyor F(x), ne F'(x)=f(x) veya dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.
Böylece, integral hesabın ana görevi bir kurtarma işlevidir F(x) bu fonksiyonun bilinen türevi (diferansiyel) ile. İntegral hesabın geometri, mekanik, fizik ve teknolojide çok sayıda uygulaması vardır. Alanları, hacimleri, ağırlık merkezlerini vb. bulmak için genel bir yöntem sunar.
Tanım. İşlevF(x), , fonksiyonun ters türevi olarak adlandırılır.f(x) herhangi biri için türevlenebilirse X kümesinde veF'(x)=f(x) veyadF(x)=f(x)dx.
Teorem. Segment üzerindeki herhangi bir sürekli [a;b] fonksiyonf(x) bu segmentte bir ters türevi varF(x).
Teorem. Eğer birF1 (x) veF2 (x) aynı fonksiyonun iki farklı ters türevidirf(x) x kümesinde, o zaman birbirlerinden sabit bir terimle farklılık gösterirler, yani.F2 (x)=F1x)+C, burada C bir sabittir.
- Belirsiz integral, özellikleri.
Tanım. ToplamaF(x)+Tüm antitürevlerin Cf(x) X kümesindeki belirsiz integral olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir:
- (1)Formül (1) f(x)dx aranan integrand,f(x) integraldir, x integral değişkendir, a C integrasyon sabitidir.
değil özellikleri düşünün kesin integral tanımından hareketle.
1. türev belirsiz integral integrale eşittir, belirsiz integralin diferansiyeli, integrale eşittir:
ve .2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyonun toplamına ve keyfi bir sabite eşittir:
3. Sabit faktör a (a≠0) belirsiz integralin işaretinden alınabilir:
4. Sonlu sayıda fonksiyonun cebirsel toplamının belirsiz integrali, bu fonksiyonların integrallerinin cebirsel toplamına eşittir:
5. Eğer birF(x) - bir fonksiyonun ters türevi f(x), ardından:
6 (entegrasyon formüllerinin değişmezliği). İntegrasyon değişkeni, bu değişkenin herhangi bir türevlenebilir fonksiyonu ile değiştirilirse, herhangi bir integrasyon formülü formunu korur:
neredeu türevlenebilir bir fonksiyondur.
- Belirsiz integraller tablosu.
hadi getirelim Fonksiyonları entegre etmek için temel kurallar.
hadi getirelim temel belirsiz integraller tablosu.(Burada olduğu gibi burada diferansiyel hesap, mektup sen bağımsız değişken olarak adlandırılabilir (u=x) ve bağımsız değişkenin bir fonksiyonu (u=sen(x)).)
(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).
1 - 17 arası integraller denir tablo şeklinde.
Türev tablosunda bir benzeri olmayan integral tablosunun yukarıdaki formüllerinden bazıları, sağ taraflarının türevi alınarak doğrulanır.
- Belirsiz integralde değişkenlerin değişimi ve parçalara göre integrali.
İkame yoluyla entegrasyon (değişken değişikliği). İntegrali hesaplamak için gerekli olsun
, ki bu tablo şeklinde değildir. Yerine koyma yönteminin özü, integralde değişkenin X değişkeni değiştir t formüle göre x=φ(t), nerede dx=φ'(t)dt.Teorem. fonksiyon olsunx=φ(t) bazı T kümesinde tanımlı ve türevlenebilir ve X, fonksiyonun tanımlandığı bu fonksiyonun değer kümesi olsunf(x). O zaman eğer X setinde ise fonksiyonf(
Bu özellikler, onu temel integrallerden birine getirmek ve daha fazla hesaplama yapmak için integralin dönüşümlerini gerçekleştirmek için kullanılır.
1. Belirsiz integralin türevi, integrale eşittir:
2. Belirsiz integralin diferansiyeli, integrale eşittir:
3. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyonun toplamına ve keyfi bir sabite eşittir:
4. İntegral işaretinden sabit bir faktör alınabilir:
Ayrıca, a ≠ 0
5. Toplamın (fark) integrali, integrallerin toplamına (farkına) eşittir:
6. Mülk, 4. ve 5. özelliklerin birleşimidir:
Ayrıca, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Belirsiz integralin değişmezlik özelliği:
eğer , o zaman
8. Mülkiyet:
eğer , o zaman
Aslında bu özellik, özel durum sonraki bölümde daha ayrıntılı olarak tartışılan değişken yönteminin değiştirilmesi kullanılarak entegrasyon.
Bir örnek düşünün:
Önce özellik 5'i, ardından özellik 4'ü uyguladık, sonra ters türev tablosunu kullandık ve sonucu aldık.
Çevrimiçi integral hesaplayıcımızın algoritması, yukarıda listelenen tüm özellikleri destekler ve kolayca bulabilir detaylı çözüm integraliniz için.
Diferansiyel hesapta problem çözülür: verilen ƒ(x) fonksiyonu altında türevini bulun(veya diferansiyel). İntegral hesabı ters problemi çözer: F (x) fonksiyonunu bulmak, türevini bilmek F "(x) \u003d ƒ (x) (veya diferansiyel). İstenen F (x) fonksiyonuna fonksiyonun antitürevi denir ƒ(x).
F(x) işlevi çağrılır ilkel(a; b) aralığında ƒ(x) fonksiyonu, eğer herhangi bir x є (a; b) için eşitlik
F " (x)=ƒ(x) (veya dF(x)=ƒ(x)dx).
Örneğin, ters türev işlevi y \u003d x 2, x є R, bir işlevdir, çünkü
Açıktır ki, ters türevler de herhangi bir fonksiyon olacaktır.
burada C bir sabittir, çünkü
Teorem 29. 1. F(x) fonksiyonu, (a;b) üzerindeki ƒ(x) fonksiyonunun ters türevi ise, o zaman ƒ(x) için tüm terstürevler kümesi F(x)+ formülüyle verilir. C, burada C sabit bir sayıdır.
▲ F(x)+C işlevi, ƒ(x)'in ters türevidir.
Gerçekten, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).
F(x), F(x), ters türev fonksiyonu ƒ(x), yani Ф "(x)=ƒ(x)'den farklı bir başka olsun. O zaman herhangi bir x є (a; b) için
Ve bu şu anlama gelir (bkz. Sonuç 25.1)
burada C sabit bir sayıdır. Bu nedenle, Ф(х)=F(x)+С.▼
ƒ(x) için tüm ilkel fonksiyonlar F(x)+C kümesine denir ƒ(x) fonksiyonunun belirsiz integrali ve ∫ ƒ(x) dx sembolü ile gösterilir.
Yani tanım gereği 
ƒ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Burada ƒ(x) denir integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - entegrasyon değişkeni, ∫ -belirsiz integral işareti.
Bir fonksiyonun belirsiz integralini bulma işlemine bu fonksiyonun integrali denir.
Geometrik olarak belirsiz integral, "paralel" eğrilerin bir ailesidir y \u003d F (x) + C (C'nin her sayısal değeri, ailenin belirli bir eğrisine karşılık gelir) (bkz. Şekil 166). Her bir ters türevin (eğrinin) grafiğine denir. integral eğrisi.
Her fonksiyonun belirsiz bir integrali var mıdır?
“(a;b) üzerinde sürekli olan her fonksiyonun bu aralıkta bir ters türevi vardır” diye bir teorem ve dolayısıyla belirsiz bir integral vardır.
Tanımından kaynaklanan belirsiz integralin bazı özelliklerini not ediyoruz.
1. Belirsiz integralin diferansiyeli, integrale eşittir ve belirsiz integralin türevi, integrale eşittir:
d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).
Gerçekten de, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx
(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).
Bu özellik sayesinde tümleştirmenin doğruluğu türev alma ile doğrulanır. Örneğin, eşitlik
∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C
true, çünkü (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.
2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyonun toplamına ve keyfi bir sabite eşittir:
∫dF(x)=F(x)+C.
Yok canım,
3. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:
α ≠ 0 bir sabittir.
Yok canım,
(C 1 / a \u003d C koyun.)
4. Sonlu sayıda sürekli fonksiyonun cebirsel toplamının belirsiz integrali, fonksiyonların terimlerinin integrallerinin cebirsel toplamına eşittir:
F"(x)=ƒ(x) ve G"(x)=g(x) olsun. O zamanlar
nerede C 1 ±C 2 \u003d C.
5. (Entegrasyon formülünün değişmezliği).
Eğer bir 
, burada u=φ(x) sürekli türevi olan keyfi bir fonksiyondur.
▲ x bağımsız değişken olsun, ƒ(x) - sürekli fonksiyon ve F(x) onun antitürevidir. O zamanlar
Şimdi u=φ(x) kuralım, burada φ(x) sürekli türevlenebilir bir fonksiyondur. Karmaşık bir F(u)=F(φ(x)) fonksiyonunu düşünün. Fonksiyonun ilk diferansiyelinin formunun değişmezliği nedeniyle (bkz. s. 160), elimizde
buradan▼
Böylece, belirsiz integral formülü, integrasyon değişkeninin bağımsız bir değişken veya sürekli türevi olan herhangi bir fonksiyonu olup olmadığına bakılmaksızın geçerli kalır.
Yani, formülden 
x'i u (u=φ(x)) ile değiştirerek şunu elde ederiz: 
Özellikle,
Örnek 29.1. integrali bulun 
nerede C \u003d C1 + C 2 + C3 + C 4.
Örnek 29.2.İntegral Çözümü bulun:
- 29.3. Temel belirsiz integraller tablosu
Entegrasyonun türevin tersi olduğu gerçeğinden yararlanarak, diferansiyel hesabın (diferansiyeller tablosu) karşılık gelen formüllerini ters çevirerek ve belirsiz integralin özelliklerini kullanarak bir temel integral tablosu elde edilebilir.
Örneğin, çünkü
d(sin u)=cos u . du,
Ana entegrasyon yöntemleri göz önüne alındığında, bir dizi tablo formülünün türetilmesi verilecektir.
Aşağıdaki tablodaki integrallere tablo integralleri denir. Yürekten bilinmeleri gerekir. İntegral hesabında, ters türevleri bulmak için basit ve evrensel kurallar yoktur. temel fonksiyonlar, diferansiyel hesapta olduğu gibi. Ters türevleri bulma yöntemleri (yani, bir işlevi entegre etme), belirli bir (istenen) integrali tablo haline getiren yöntemlere indirgenir. Bu nedenle tabular integralleri bilmek ve tanıyabilmek gerekir.
Temel integraller tablosunda, entegrasyon değişkeninin hem bağımsız bir değişkeni hem de bağımsız bir değişkenin bir fonksiyonunu (entegrasyon formülünün değişmezlik özelliğine göre) gösterebileceğini unutmayın.
Aşağıdaki formüllerin geçerliliği, formülün sol tarafındaki integrale eşit olacak olan sağ taraftaki diferansiyel alınarak doğrulanabilir.
Örneğin formül 2'nin geçerliliğini ispatlayalım. 1/u fonksiyonu, u'nun sıfır olmayan tüm değerleri için tanımlı ve süreklidir.
u > 0 ise, o zaman ln|u|=lnu, o zaman 
Bu yüzden
Eğer sen<0, то ln|u|=ln(-u). Но
Anlamına geliyor
Yani formül 2 doğrudur. Benzer şekilde, formül 15'i kontrol edelim:
Temel integraller tablosu
Arkadaşlar! Sizi tartışmaya davet ediyoruz. Bir fikriniz varsa, yorumlarda bize yazın.
Ters türev ve belirsiz integral.
(a; b) aralığındaki bir ters türev fonksiyonu f(x) öyle bir F(x) fonksiyonudur ki eşitlik verilen bir aralıktaki herhangi bir x için geçerlidir.
C sabitinin türevinin sıfıra eşit olduğu gerçeğini hesaba katarsak, eşitlik 
. Bu nedenle, f(x) fonksiyonu, keyfi bir C sabiti için bir F(x)+C ters türev kümesine sahiptir ve bu ters türevler, rastgele bir sabit değer ile birbirinden farklıdır.
f(x) fonksiyonunun ters türevlerinin tamamına bu fonksiyonun belirsiz integrali denir ve şu şekilde gösterilir: 
.
İfadeye integral, f(x)'e de integral denir. İntegrant, f(x) fonksiyonunun diferansiyelidir.
Bilinmeyen bir fonksiyonu verilen diferansiyel ile bulma eylemine belirsiz entegrasyon denir, çünkü integralin sonucu bir fonksiyon F(x) değil, F(x)+C ters türevleri kümesidir.
tablo integralleri
İntegrallerin en basit özellikleri
1. Entegrasyon sonucunun türevi, integrale eşittir.
2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, fonksiyonun kendisinin ve keyfi bir sabitin toplamına eşittir.
3. Katsayı belirsiz integralin işaretinden çıkarılabilir.
4. Fonksiyonların toplamının/farkının belirsiz integrali, fonksiyonların belirsiz integrallerinin toplamına/farkına eşittir.
Belirsiz integralin birinci ve ikinci özelliklerinin ara eşitlikleri açıklama amacıyla verilmiştir.
Üçüncü ve dördüncü özellikleri ispatlamak için eşitliklerin sağ taraflarının türevlerini bulmak yeterlidir:
Bu türevler, birinci özellik sayesinde ispat olan integrallere eşittir. Son geçişlerde de kullanılır.
Böylece, entegrasyon problemi, ters farklılaşma problemidir ve bu problemler arasında çok yakın bir ilişki vardır:
ilk özellik, entegrasyonun kontrol edilmesini sağlar. Yapılan integrasyonun doğruluğunu kontrol etmek için elde edilen sonucun türevinin hesaplanması yeterlidir. Türev alma sonucu elde edilen fonksiyon integrale eşit çıkarsa, bu integrasyonun doğru yapılmış olduğu anlamına gelir;
belirsiz integralin ikinci özelliği, bir fonksiyonun bilinen diferansiyelinden onun ters türevini bulmamızı sağlar. Belirsiz integrallerin doğrudan hesaplanması bu özelliğe dayanmaktadır.
1.4 Entegrasyon formlarının değişmezliği.
Değişmez entegrasyon, argümanları bir grubun öğeleri veya homojen bir uzayın noktaları olan fonksiyonlar için bir entegrasyon türüdür (böyle bir uzayın herhangi bir noktası, grubun belirli bir eylemiyle diğerine aktarılabilir).
f(x) fonksiyonu, f.w diferansiyel formunun integralinin hesaplanmasına indirgenir, burada
r(x) için açık bir formül aşağıda verilmiştir. Sözleşme koşulu şu şekildedir: 
.
burada Tg, gOG kullanan X üzerindeki kaydırma operatörü anlamına gelir: Tgf(x)=f(g-1x). X=G bir topoloji, kendi üzerinde sola kaymalarla hareket eden bir grup olsun. ben. ve. sadece ve sadece G yerel olarak kompakt ise mevcuttur (özellikle sonsuz boyutlu gruplarda bir int. mevcut değildir). I'nin bir alt kümesi için. ve. cA karakteristik fonksiyonu (A üzerinde 1'e ve A dışında 0'a eşittir) sol Haar ölçüsünü m(A) tanımlar. Bu ölçümün tanımlayıcı özelliği, sola kaymalar altında değişmezliğidir: tüm gОG için m(g-1A)=m(A). Bir gruptaki sol Haar ölçüsü, belirli bir skaler faktöre kadar benzersiz bir şekilde tanımlanır. Haar ölçüsü m biliniyorsa, o zaman I. ve. f fonksiyonu formül tarafından verilir 
. Doğru Haar ölçüsü benzer özelliklere sahiptir. Sürekli bir homomorfizma vardır (grup özelliğini koruyan haritalama) DG grubunun G grubuna (çarpma ile ilgili olarak) konur. hangi sayılar
dmr ve dmi sağ ve sol Haar ölçüleridir. DG(g) fonksiyonu çağrılır. G grubunun modülü. Eğer , G grubu çağrılır. tek modüler; bu durumda sağ ve sol Haar ölçüleri aynıdır. Kompakt, yarı basit ve nilpotent (özellikle değişmeli) gruplar tek modülerdir. G, n-boyutlu bir Lie grubuysa ve q1,...,qn, G üzerindeki sol-değişmez 1-formların uzayında bir taban ise, o zaman G üzerindeki sol Haar ölçüsü n-formu ile verilir. Hesaplama için yerel koordinatlarda
qi oluşturur, G grubunun herhangi bir matris uygulamasını kullanabilirsiniz: 1-form g-1dg matrisi soldan değişmez ve katsayısıdır. istenen temelin seçildiği sol-değişmeyen skaler 1-formlardır. Örneğin, tam matris grubu GL(n, R) unimodülerdir ve üzerindeki Haar ölçüsü bir form ile verilir. İzin vermek 
X=G/H, yerel olarak kompakt grup G'nin bir dönüşüm grubu ve kapalı alt grup H'nin bir noktanın dengeleyicisi olduğu homojen bir uzaydır. X üzerinde bir I.I.'nin var olması için, DG(h)=DH(h) eşitliğinin tüm hОH için geçerli olması gerekli ve yeterlidir. Özellikle, H kompakt veya yarı basit olduğunda bu doğrudur. I. ve. sonsuz boyutlu manifoldlarda yoktur.
Değişkenlerin değişimi.
Bu yazıda, belirli bir integralin temel özelliklerini listeliyoruz. Bu özelliklerin çoğu, Riemann ve Darboux'un belirli integral kavramları temelinde kanıtlanmıştır.
Belirli integralin hesaplanması genellikle ilk beş özellik kullanılarak yapılır, bu nedenle gerektiğinde bunlara atıfta bulunacağız. Belirli integralin kalan özellikleri çoğunlukla çeşitli ifadeleri değerlendirmek için kullanılır.
devam etmeden önce belirli bir integralin temel özellikleri, a'nın b'yi geçmediği konusunda hemfikiriz.
x = a için tanımlanan y = f(x) işlevi için eşitlik doğrudur.
Yani aynı integrasyon limitlerine sahip belirli integralin değeri sıfırdır. Bu özellik, Riemann integralinin tanımının bir sonucudur, çünkü bu durumda, aralığın herhangi bir bölümü ve herhangi bir nokta seçimi için her bir integral toplamı sıfıra eşittir, bu nedenle, integral toplamların limiti sıfırdır.
Bir segmentte integrallenebilen bir fonksiyon için, 
.
Diğer bir deyişle, integralin alt ve üst limitleri ters çevrildiğinde, belirli integralin değeri de tersine çevrilir. Belirli bir integralin bu özelliği aynı zamanda Riemann integrali kavramından da kaynaklanmaktadır, yalnızca bir segmentin bölümünün numaralandırılması x = b noktasından başlamalıdır.
y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için bir aralıkta integral alınabilir.
Kanıt.
Fonksiyonun integral toplamını yazıyoruz 
segmentin belirli bir bölümü ve belirli bir nokta seçimi için: 
Burada ve, segmentin belirli bir bölümü için sırasıyla y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının integral toplamlarıdır.
Sınıra geçmek 
Riemann integralinin tanımıyla, kanıtlanan özelliğin iddiasına eşdeğer olduğunu elde ederiz.
Sabit faktör, belirli bir integralin işaretinden çıkarılabilir. Yani, bir y = f(x) doğru parçası ve keyfi bir sayı k üzerinde integrallenebilen bir fonksiyon için, eşitlik 
.
Belirli bir integralin bu özelliğinin kanıtı, bir öncekine kesinlikle benzer: 
y = f(x) fonksiyonu X aralığında integrallenebilir olsun ve 
ve daha sonra 
.
Bu özellik hem ve hem de veya için geçerlidir.
İspat, belirli integralin önceki özelliklerine dayanarak gerçekleştirilebilir.
Bir fonksiyon bir segmentte integrallenebilir ise, o zaman herhangi bir dahili segmentte de integrallenebilirdir.
Kanıt, Darboux toplamlarının özelliğine dayanmaktadır: segmentin mevcut bölümüne yeni noktalar eklenirse, alt Darboux toplamı azalmayacak ve üstteki artmayacaktır.
y = f(x) işlevi, aralıkta ve argümanın herhangi bir değeri için integrallenebilir ise, o zaman 
.
Bu özellik, Riemann integralinin tanımıyla kanıtlanmıştır: segmentin herhangi bir bölme noktası seçimi için herhangi bir integral toplamı ve noktaları negatif olmayacaktır (pozitif değil).
Sonuçlar.
Bir aralıkta integrallenebilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: 
Bu ifade, eşitsizliklerin entegrasyonunun kabul edilebilir olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki özellikleri kanıtlamak için bu sonucu kullanacağız.
y = f(x) fonksiyonu segment üzerinde integrallenebilir olsun, sonra eşitsizlik 
.
Kanıt.
bariz ki 
. Önceki özellikte, eşitsizliğin terim terim entegre edilebileceğini öğrenmiştik, bu nedenle bu doğrudur. 
. Bu çift eşitsizlik şu şekilde yazılabilir: .
y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının aralıkta ve argümanın herhangi bir değeri için integrallenebilir olmasına izin verin, o zaman 
, nerede 
ve .
Kanıt benzer şekilde gerçekleştirilir. m ve M, segmentteki y = f(x) fonksiyonunun en küçük ve en büyük değerleri olduğundan, o zaman 
. Çifte eşitsizliği negatif olmayan y = g(x) fonksiyonuyla çarpmak bizi aşağıdaki çift eşitsizliğe götürür. Segmente entegre ederek ispatlanacak iddiaya varıyoruz.
Sonuçlar.
g(x) = 1 alırsak, eşitsizlik şu şekli alır: 
.
Ortalama için ilk formül.
y = f(x) fonksiyonu segmentte integrallenebilir olsun, ve sonra öyle bir sayı var ki 
.
Sonuçlar.
y = f(x) fonksiyonu segment üzerinde sürekli ise, öyle bir sayı vardır ki, 
.
Genelleştirilmiş bir biçimde ortalama değerin ilk formülü.
y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları aralıkta integrallenebilir olsun, ve , ve argümanın herhangi bir değeri için g(x) > 0. Sonra öyle bir sayı var ki 
.
Ortalama için ikinci formül.
Bir doğru parçası üzerinde y = f(x) fonksiyonu integrallenebilir ve y = g(x) monoton ise, o zaman eşitliği sağlayacak bir sayı vardır. 
.