Isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa linear na pag-asa ng dalawa
vectors ay ang kanilang collinearity.
2. Produktong scaler- isang operasyon sa dalawang vectors, ang resulta kung saan ay isang scalar (numero) na hindi nakasalalay sa sistema ng coordinate at nagpapakilala sa mga haba ng mga multiplier vector at ang anggulo sa pagitan nila. Ang operasyong ito ay tumutugma sa pagpaparami haba ibinigay na vector x sa projection isa pang vector y sa ibinigay na vector x. Ang operasyong ito ay karaniwang tinitingnan bilang commutative at linear sa bawat salik.
Mga katangian ng produkto ng tuldok:
3. Tatlong vectors (o higit pa) ang tinatawag coplanar kung sila, na nabawasan sa isang karaniwang pinagmulan, ay namamalagi sa parehong eroplano.
Ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa linear dependence ng tatlong vectors ay ang kanilang coplanarity.Anumang apat na vectors ay linearly dependent. batayan sa kalawakan anumang ordered triple ng non-coplanar vectors ay tinatawag. Ang isang batayan sa espasyo ay nagbibigay-daan sa isa na malinaw na iugnay sa bawat vector ang nakaayos na triple ng mga numero - ang mga coefficient ng representasyon ng vector na ito sa isang linear na kumbinasyon ng mga vector ng batayan. Sa kabaligtaran, sa tulong ng isang batayan, iuugnay natin ang isang vector sa bawat order na triplet ng mga numero kung gagawa tayo ng linear na kumbinasyon. Tinatawag na orthogonal na batayan orthonormal , kung ang mga vector nito ay katumbas ng isang haba. Para sa isang orthonormal na batayan sa espasyo, ang notasyon ay kadalasang ginagamit. Teorama: Sa isang orthonormal na batayan, ang mga coordinate ng mga vector ay ang kaukulang orthogonal projection ng vector na ito sa mga direksyon ng mga coordinate vector. Isang triple ng mga non-coplanar vector a, b, c tinawag tama, kung ang tagamasid mula sa kanilang karaniwang pinagmulan ay lumalampas sa mga dulo ng mga vector a, b, c sa ayos na iyon ay tila nagpapatuloy sa clockwise. Kung hindi a, b, c - kaliwa triple. Ang lahat ng kanan (o kaliwa) triple ng mga vector ay tinatawag pare-parehong nakatuon. Ang isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang magkaparehong patayo na coordinate axes OX at OY. Ang coordinate axes ay bumalandra sa isang punto O, na tinatawag na pinagmulan, ang bawat axis ay may positibong direksyon. AT kanang kamay coordinate system, ang positibong direksyon ng mga axes ay pinili upang sa direksyon ng axis OY pataas, axis OX tumingin sa kanan.
Apat na anggulo (I, II, III, IV) na nabuo ng mga coordinate axes X"X at Y"Y, ay tinatawag na coordinate angles o mga kuwadrante(tingnan ang fig. 1).
kung ang mga vector at may paggalang sa isang orthonormal na batayan sa eroplano ay may mga coordinate at, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon produktong scalar ng mga vector na ito ay kinakalkula ng formula
4. Vector product ng dalawang vectors a at b ay isang operasyon sa kanila, na tinukoy lamang sa tatlong-dimensional na espasyo, ang resulta nito ay vector kasama ang mga sumusunod
ari-arian:
Ang geometric na kahulugan ng cross product ng mga vector ay ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector. Ang isang kinakailangan at sapat na kundisyon para sa collinearity ng isang nonzero vector at isang vector ay ang pagkakaroon ng isang numero na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay.
Kung ang dalawang vector ay tinukoy sa pamamagitan ng kanilang mga parihabang Cartesian coordinate, o mas tiyak, ang mga ito ay kinakatawan sa isang vorthonormalized na batayan
at tama yung coordinate system, tapos yung vector product nila yung may form
Upang matandaan ang formula na ito, maginhawang gamitin ang determinant:
5. Pinaghalong produkto vectors - ang scalar product ng isang vector at ang cross product ng mga vectors at :
Minsan ito ay tinatawag triple scalar na produkto vectors, tila dahil sa ang katunayan na ang resulta ay isang scalar (mas tiyak, isang pseudoscalar).
geometric na kahulugan: Ang module ng pinaghalong produkto ay numerong katumbas ng dami ng parallelepiped na nabuo ng mga vectors.
Sa pamamagitan ng pagpapalitan ng dalawang salik pinaghalong produkto reverse sign:
Sa pamamagitan ng isang cyclic (circular) permutation ng mga kadahilanan, ang pinaghalong produkto ay hindi nagbabago:
Ang pinaghalong produkto ay linear sa anumang kadahilanan.
Ang pinaghalong produkto ay zero kung at kung ang mga vector ay coplanar.
1. Kondisyon ng complanarity para sa mga vector: tatlong vector ay coplanar kung at kung ang kanilang pinaghalong produkto ay zero.
§ Ang isang triple ng mga vector na naglalaman ng isang pares ng mga collinear na vector ay coplanar.
§ Pinaghalong produkto ng mga coplanar vector. Ito ay isang criterion para sa coplanarity ng tatlong vectors.
§ Ang mga coplanar vector ay linearly dependent. Isa rin itong criterion para sa coplanarity.
§ May mga totoong numero na para sa coplanar , maliban sa o . Isa itong reformulation ng dating property at isa ring criterion para sa coplanarity.
§ Sa isang 3-dimensional na espasyo, 3 non-coplanar vector ang bumubuo ng batayan. Iyon ay, ang anumang vector ay maaaring katawanin bilang: . Pagkatapos ay ang mga coordinate sa ibinigay na batayan.
Ang pinaghalong produkto sa tamang Cartesian coordinate system (sa orthonormal na batayan) ay katumbas ng determinant ng matrix na binubuo ng mga vector at :
§6. Pangkalahatang equation (kumpleto) ng eroplano
kung saan at ay mga constant, bukod dito, at hindi katumbas ng zero sa parehong oras; sa anyo ng vector:
kung saan ang radius vector ng punto , ang vector ay patayo sa eroplano (normal na vector). Mga cosine ng direksyon vector :
Kung ang isa sa mga coefficient sa plane equation ay zero, ang equation ay tinatawag hindi kumpleto. Kapag ang eroplano ay dumaan sa pinanggalingan ng mga coordinate, kapag (o , ) P. ay parallel sa axis (ayon sa pagkakabanggit o ). Para sa ( , o ), ang eroplano ay parallel sa eroplano (o , ayon sa pagkakabanggit).
§ Equation ng isang eroplano sa mga segment:
kung saan ang , , ay ang mga segment na pinutol ng eroplano sa mga palakol at .
§ Equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang punto patayo sa normal na vector :
sa anyo ng vector:
(halo-halong produkto ng mga vectors), kung hindi man
§ Normal (na-normalize) na equation ng eroplano
§ Anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano. Kung ang mga P. equation ay ibinigay sa anyong (1), kung gayon
Kung nasa vector form, kung gayon
§ Ang mga eroplano ay parallel, kung
O (Vector na produkto)
§ Ang mga eroplano ay patayo, kung
O kaya . (Produktong Scalar)
7. Equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos , hindi nagsisinungaling sa parehong linya:
8. Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay ang pinakamaliit sa mga distansya sa pagitan ng puntong ito at ng mga punto ng eroplano. Ito ay kilala na ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay katumbas ng haba ng patayo na bumaba mula sa puntong ito hanggang sa eroplano.
§ Paglihis ng Punto mula sa eroplanong ibinigay ng normalized equation
Kung at ang pinagmulan ay nasa magkabilang panig ng eroplano, kung hindi man . Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano ay
§ Ang distansya mula sa punto hanggang sa eroplano na ibinigay ng equation ay kinakalkula ng formula:
9. Bundle ng eroplano- ang equation ng anumang P. na dumadaan sa linya ng intersection ng dalawang eroplano
kung saan ang α at β ay anumang mga numero na hindi magkasabay na katumbas ng zero.
Upang ang tatlong eroplano na ibinigay ng kanilang pangkalahatang equation A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 kamag-anak sa PDSC ay nabibilang sa parehong sinag, intrinsic o extrinsic, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix ay katumbas ng alinman sa dalawa o isa.
Theorem 2. Hayaang ibigay ang dalawang eroplanong π 1 at π 2 na may kinalaman sa PDSC sa pamamagitan ng kanilang mga pangkalahatang equation: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D 2 = 0. Upang ang π 3 plane, na ibinigay na may kaugnayan sa PDSC sa pamamagitan ng pangkalahatang equation nito na A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, ay nabibilang sa beam na nabuo ng π 1 at π 2 na mga eroplano, ito ay kinakailangan at sapat na ang kaliwang bahagi ng equation ng eroplano π 3 ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga kaliwang bahagi ng mga equation ng mga eroplano π 1 at π 2 .
10.Vector parametric equation ng isang tuwid na linya sa kalawakan:
kung saan ang radius vector ng ilang nakapirming punto M 0 na nakahiga sa isang tuwid na linya ay isang non-zero vector collinear sa tuwid na linya na ito, ay ang radius vector ng isang arbitrary na punto sa tuwid na linya.
Parametric equation ng isang tuwid na linya sa kalawakan:
M
Canonical Equation tuwid sa kalawakan:
nasaan ang mga coordinate ng ilang nakapirming punto M 0 nakahiga sa isang tuwid na linya; - mga coordinate ng isang vector collinear sa linyang ito.
Pangkalahatang vector equation ng isang tuwid na linya sa kalawakan:
Dahil ang linya ay ang intersection ng dalawang magkaibang di-parallel na eroplano, na ibinigay ayon sa pagkakabanggit ng mga pangkalahatang equation:
kung gayon ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ibigay ng isang sistema ng mga equation na ito:
Ang anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon at magiging katumbas ng anggulo sa pagitan ng mga linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay matatagpuan gamit ang scalar product. cosA=(ab)/IaI*IbI
Ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
kung saan ang (A; B; C;) ay ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano
(l;m;n;) na nagdidirekta ng mga coordinate ng vector ng tuwid na linya
Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:
a) Kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may slope, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon ang kanilang parallelism ay binubuo sa pagkakapantay-pantay ng kanilang mga angular coefficient:
k 1 = k 2 . (8)
b) Para sa kaso kapag ang mga linya ay ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang pananaw(6), ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang paralelismo ay ang mga coefficient sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.
Mga kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang linya:
a) Sa kaso kapag ang mga linya ay binigay ng mga equation (4) na may slope, ang kailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang kanilang mga slope ay reciprocal sa magnitude at kabaligtaran sa sign, i.e.
b) Kung ang mga equation ng mga tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay upang matupad ang pagkakapantay-pantay.
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
Direktang tumawag patayo sa eroplano kung ito ay patayo sa anumang linya sa eroplanong iyon. Kung ang isang linya ay patayo sa bawat isa sa dalawang intersecting na linya ng isang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa eroplanong iyon. Upang ang isang linya at isang eroplano ay magkapareho, kinakailangan at sapat na ang normal na vector sa eroplano at ang nagdidirekta na vector ng linya ay patayo. Para dito, kinakailangan na ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero.
Upang ang isang linya at isang eroplano ay maging patayo, ito ay kinakailangan at sapat na ang normal na vector sa eroplano at ang nagdidirekta na vector ng linya ay collinear. Ang kundisyong ito ay nasiyahan kung ang cross product ng mga vector na ito ay katumbas ng zero.
12. Sa espasyo, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay ibinibigay ng isang parametric equation
ay makikita bilang pinakamababang distansya mula sa ibinigay na punto sa isang di-makatwirang punto sa linya. Coefficient t ang puntong ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula
Distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang haba ng kanilang karaniwang patayo. Ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano na dumadaan sa mga linyang ito.
Ang mga sumusunod ay nagbibigay ng ilang pamantayan para sa linear na pag-asa at, nang naaayon, linear na kalayaan ng mga sistema ng mga vector.
Teorama. (Isang kinakailangan at sapat na kundisyon para sa linear dependence ng mga vectors.)
Ang isang sistema ng mga vector ay nakasalalay kung at kung ang isa sa mga vector ng system ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba ng sistemang ito.
Patunay. Kailangan. Hayaang maging linearly dependent ang system. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, kinakatawan nito ang null vector sa isang di-maliit na paraan, i.e. mayroong isang di-trivial na kumbinasyon ng sistemang ito ng mga vector na katumbas ng zero vector:
kung saan hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng linear na kumbinasyong ito ay hindi katumbas ng zero. Hayaan , .
Hatiin ang parehong bahagi ng nakaraang pagkakapantay-pantay sa non-zero coefficient na ito (i.e. multiply sa:
Ipahiwatig: , saan .
mga. isa sa mga vectors ng system ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pa ng system na ito, atbp.
Kasapatan. Hayaang ang isa sa mga vector ng system ay linearly na ipahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga vector ng system na ito:
Ilipat natin ang vector sa kanan ng pagkakapantay-pantay na ito:
Dahil ang koepisyent ng vector ay , kung gayon mayroon kaming isang di-trivial na representasyon ng zero sa pamamagitan ng sistema ng mga vector, na nangangahulugan na ang sistemang ito ng mga vector ay linearly na umaasa, atbp.
Napatunayan na ang theorem.
Bunga.
1. Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space ay linearly independent kung at kung wala sa mga vectors ng system ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga vectors ng system na ito.
2. Isang sistema ng mga vector na naglalaman ng isang zero vector o dalawa pantay na vector, ay nakadepende sa linear.
Patunay.
1) Pangangailangan. Hayaang maging linearly independent ang system. Ipagpalagay na ang kabaligtaran at mayroong isang system vector na linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito. Pagkatapos, sa pamamagitan ng theorem, ang sistema ay linearly dependent, at dumating tayo sa isang kontradiksyon.
Kasapatan. Huwag hayaang maipahayag ang alinman sa mga vectors ng system sa mga tuntunin ng iba. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran. Hayaan ang system na maging linearly dependent, ngunit pagkatapos ay sumusunod mula sa theorem na mayroong isang system vector na linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito, at muli tayong dumating sa isang kontradiksyon.
2a) Hayaang maglaman ang system ng zero vector. Ipagpalagay para sa katiyakan na ang vector :. Tapos yung equality
mga. isa sa mga vector ng system ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga vector ng system na ito. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ang naturang sistema ng mga vectors ay linearly dependent, at iba pa.
Tandaan na ang katotohanang ito ay maaaring direktang patunayan mula sa isang linearly dependent na sistema ng mga vectors.
Dahil , kitang-kita ang sumusunod na pagkakapantay-pantay
Ito ay isang non-trivial na representasyon ng zero vector, na nangangahulugan na ang system ay linearly dependent.
2b) Hayaan ang system na magkaroon ng dalawang pantay na vectors. Hayaan para sa . Tapos yung equality
Yung. ang unang vector ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga vector ng parehong sistema. Ito ay sumusunod mula sa teorama na ang ibinigay na sistema ay linearly umaasa, at iba pa.
Katulad ng nauna, ang assertion na ito ay maaari ding patunayan nang direkta mula sa kahulugan ng isang linearly dependent system.
Def. Sistema ng mga elemento x 1 ,…,x m lin. Ang produksiyon V ay tinatawag na linearly dependent kung ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) na ang λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .
Def. Ang isang sistema ng mga elemento x 1 ,…,x m ∈ V ay tinatawag na linearly independent kung mula sa pagkakapantay-pantay λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.
Def. Ang elementong x ∈ V ay tinatawag na linear na kumbinasyon ng mga elemento x 1 ,…,x m ∈ V kung ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ na ang x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .
Theorem (criterion ng linear dependence): Ang isang sistema ng mga vectors x 1 ,…,x m ∈ V ay linearly dependent kung at kung hindi bababa sa isang vector ng system ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba.
Dok. Kailangan: Hayaang ang x 1 ,…,x m ay linearly dependent ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) na ang λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Ipagpalagay na λ m ≠ 0, kung gayon
x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.
Kasapatan: Hayaan ang kahit isa sa mga vector ay linearly na ipahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga vector: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - ay linearly independent.
Sinabi ni Ven. kundisyon ng linear dependence:
Kung ang system ay naglalaman ng isang zero na elemento o isang linearly dependent subsystem, ito ay linearly dependent.
λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – linearly dependent system
1) Hayaan ang x 1 = θ, at ang pagkakapantay-pantay na ito ay wasto para sa λ 1 =1 at λ 1 =…= λ m =0.
2) Hayaang ang λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 ay isang linearly dependent subsystem ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Pagkatapos para sa λ 1 =0 nakukuha rin natin ang |λ 1 |+…+| λ m | Ang ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 ay isang linearly dependent system.
Batayan ng isang linear na espasyo. Vector coordinate sa ibinigay na batayan. Ang mga coordinate ng mga kabuuan ng mga vector at ang produkto ng isang vector sa pamamagitan ng isang numero. Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa linear na pag-asa ng isang sistema ng mga vector.
Kahulugan: Ang isang nakaayos na sistema ng mga elemento e 1, ..., e n ng isang linear na espasyo V ay tinatawag na batayan ng espasyong ito kung:
A) e 1 ... e n ay linearly independent
B) ∀ x ∈ α 1 … α n tulad na x= α 1 e 1 +…+ α n e n
x= α 1 e 1 +…+ α n e n – pagpapalawak ng elementong x sa batayan e 1, …, e n
α 1 … α n ∈ ℝ ay ang mga coordinate ng elemento x sa batayan e 1, …, e n
Teorama: Kung ang batayan e 1, …, e n ay ibinigay sa linear space V, kung gayon ∀ x ∈ V ang column ng mga coordinate x sa batayan e 1, …, e n ay natatanging tinutukoy (ang mga coordinate ay natatanging tinutukoy)
Patunay: Hayaang x=α 1 e 1 +…+ α n e n at x=β 1 e 1 +…+β n e n
x= ⇔ = Θ, ibig sabihin, e 1, …, e n ay linearly independent, pagkatapos ay - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.
Teorama: hayaan ang e 1, …, e n maging batayan ng linear space V; Ang x, y ay mga arbitrary na elemento ng espasyo V, ang λ ∈ ℝ ay isang arbitrary na numero. Kapag ang x at y ay idinagdag, ang kanilang mga coordinate ay idinagdag, kapag ang x ay pinarami ng λ, ang mga coordinate ng x ay pinarami din ng λ.
Patunay: x= (e 1, …, e n) at y= (e 1, …, e n)
x+y= + = (e 1, …, e n)
λx= λ ) = (e 1, …, e n)
Lemma1: (kailangan at sapat na kondisyon para sa linear na pag-asa ng isang sistema ng mga vectors)
Hayaan ang e 1 …e n maging batayan ng espasyo V. Ang sistema ng mga elemento f 1 , …, f k ∈ V ay linearly dependent kung at kung ang mga coordinate column ng mga elementong ito sa batayan e 1, …, e n ay nakadepende sa linear
Patunay: palawakin ang f 1 , …, f k sa batayan e 1, …, e n
f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k
λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] i.e. λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔
⇔ λ 1 +…+ λ n = kung kinakailangan.
13. Dimensyon ng isang linear space. Theorem sa relasyon sa pagitan ng dimensyon at batayan.
Kahulugan:
Ang linear space V ay tinatawag na n-dimensional space kung mayroong n linearly independent na elemento sa V, at ang isang sistema ng anumang n + 1 na elemento ng space V ay linearly dependent. Sa kasong ito, ang n ay tinatawag na dimensyon ng linear space V at ipinapahiwatig na dimV=n.
Ang linear space ay tinatawag na infinite-dimensional kung ∀N ∈ ℕ sa space V ay mayroong isang linearly independent system na naglalaman ng N elemento.
Teorama: 1) Kung ang V ay isang n-dimensional na linear space, kung gayon ang anumang ordered system ng n linearly independent na mga elemento ng space na ito ay bumubuo ng batayan. 2) Kung sa linear space V mayroong isang batayan na binubuo ng n elemento, kung gayon ang dimensyon ng V ay katumbas ng n (dimV=n).
Patunay: 1) Hayaang dimV=n ⇒ sa V ∃ n linearly independent elements e 1, …,e n . Pinatutunayan namin na ang mga elementong ito ay bumubuo ng isang batayan, iyon ay, pinatutunayan namin na ang ∀ x ∈ V ay maaaring palawakin sa mga tuntunin ng e 1, …,e n . Idagdag natin ang x sa kanila: e 1, …,e n , x – ang sistemang ito ay naglalaman ng n+1 vectors, na nangangahulugang ito ay linearly dependent. Dahil ang e 1, …, e n ay linearly independent, pagkatapos ay sa pamamagitan ng Theorem 2 x linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng e 1, …,e n i.e. ∃ ,…, na ang x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Kaya e 1, …,e n ang batayan ng espasyo V. 2)Hayaan ang e 1, …,e n ang batayan ng V, kaya may mga n linearly independent na elemento sa V ∃ n. Kumuha ng arbitrary na f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 na elemento. Ipakita natin ang kanilang linear dependence. Hatiin natin ang mga ito sa mga tuntunin ng:
f m =(e 1, …,e n) = kung saan m = 1,…,n Gumawa tayo ng matrix ng mga coordinate column: A= Matrix ay naglalaman ng n row ⇒ RgA≤n. Bilang ng mga column n+1 > n ≥ RgA ⇒ Ang mga column ng matrix A (ibig sabihin, ang mga column ng mga coordinate f 1 ,…,f n ,f n +1) ay linearly dependent. Mula sa Lemma 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 ay linearly dependent ⇒ dimV=n.
Bunga: Kung ang anumang batayan ay naglalaman ng n elemento, ang anumang iba pang batayan ng puwang na ito ay naglalaman ng n elemento.
Teorama 2: Kung ang sistema ng mga vectors x 1 ,… ,x m -1 , x m ay linearly dependent, at ang subsystem nito x 1 ,… ,x m -1 ay linearly independent, kung gayon ang x m - ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng x 1 ,… ,x m -1
Patunay: kasi x 1 ,… ,x m -1 , x m ay linearly dependent, pagkatapos ay ∃ , …, , ,
, …, | , | ganyan . Kung , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 ay linearly independent, na hindi maaaring. Kaya m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.
Ipinakilala sa amin mga linear na operasyon sa mga vector gawing posible na lumikha ng iba't ibang mga expression para sa dami ng vector at baguhin ang mga ito gamit ang mga katangiang itinakda para sa mga operasyong ito.
Batay sa isang ibinigay na hanay ng mga vectors a 1 , ..., at n , maaari kang bumuo ng isang expression ng form
kung saan ang a 1 , ..., at n ay mga arbitrary na tunay na numero. Ang ekspresyong ito ay tinatawag linear na kumbinasyon ng mga vector a 1 , ..., a n . Ang mga numero α i , i = 1, n , ay linear na kumbinasyon coefficients. Ang hanay ng mga vectors ay tinatawag din sistema ng vector.
Kaugnay ng ipinakilalang konsepto ng isang linear na kumbinasyon ng mga vectors, ang problema ay lumitaw sa paglalarawan ng hanay ng mga vectors na maaaring isulat bilang isang linear na kumbinasyon ng isang naibigay na sistema ng mga vectors a 1 , ..., a n . Bilang karagdagan, ang mga tanong tungkol sa mga kondisyon kung saan mayroong representasyon ng isang vector sa anyo ng isang linear na kumbinasyon, at tungkol sa pagiging natatangi ng naturang representasyon, ay natural.
Kahulugan 2.1. Ang mga vectors a 1 , ..., at n ay tinatawag nakadepende sa linear, kung mayroong ganoong set ng coefficients α 1 , ... , α n iyon
α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)
at hindi bababa sa isa sa mga coefficient na ito ay nonzero. Kung ang tinukoy na hanay ng mga coefficient ay hindi umiiral, kung gayon ang mga vector ay tinatawag linearly independent.
Kung α 1 = ... = α n = 0, kung gayon, malinaw naman, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Sa pag-iisip na ito, masasabi natin ito: mga vectors a 1 , ..., at Ang n ay linearly independent kung sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (2.2) na ang lahat ng coefficients α 1 , ... , α n ay katumbas ng zero.
Ang sumusunod na theorem ay nagpapaliwanag kung bakit ang bagong konsepto ay tinatawag na terminong "dependence" (o "independence"), at nagbibigay ng isang simpleng criterion para sa linear dependence.
Teorama 2.1. Upang ang mga vectors a 1 , ..., at n , n > 1, ay maging linearly dependent, kinakailangan at sapat na ang isa sa mga ito ay isang linear na kumbinasyon ng iba.
◄ Pangangailangan. Ipagpalagay na ang mga vectors a 1 , ..., at n ay linearly dependent. Ayon sa kahulugan 2.1 ng linear dependence, sa equality (2.2) mayroong kahit isang non-zero coefficient sa kaliwa, halimbawa α 1 . Iniiwan ang unang termino sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, inililipat namin ang natitira sa kanang bahagi, binabago ang kanilang mga palatandaan gaya ng dati. Ang paghahati ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng α 1 , nakukuha natin
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n
mga. representasyon ng vector a 1 bilang isang linear na kumbinasyon ng natitirang mga vectors a 2 , ..., at n .
Kasapatan. Hayaan, halimbawa, ang unang vector a 1 ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng natitirang mga vector: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Ang paglilipat ng lahat ng mga termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, makakakuha tayo ng 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. linear na kumbinasyon ng mga vectors a 1 , ..., at n na may coefficients α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , katumbas ng zero vector. Sa linear na kumbinasyong ito, hindi lahat ng coefficient ay katumbas ng zero. Ayon sa kahulugan 2.1, ang mga vectors a 1 , ..., at n ay linearly dependent.
Ang kahulugan at pamantayan ng linear dependence ay binuo sa paraang nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng dalawa o higit pang mga vector. Gayunpaman, maaari ding magsalita ng isang linear dependence ng isang vector. Upang mapagtanto ang posibilidad na ito, sa halip na "mga vector ay linearly na umaasa" kailangan nating sabihin na "ang sistema ng mga vector ay linearly na umaasa". Madaling i-verify na ang expression na "isang sistema ng isang vector ay linearly dependent" ay nangangahulugan na ito nag-iisang vector ay zero (mayroong isang koepisyent lamang sa isang linear na kumbinasyon, at hindi ito dapat maging zero).
Ang konsepto ng linear dependence ay may simpleng geometric na interpretasyon. Ang interpretasyong ito ay nilinaw ng sumusunod na tatlong pahayag.
Teorama 2.2. Dalawang vector ang linearly na umaasa kung at kung sila lang collinear.
◄ Kung ang mga vectors a at b ay linearly dependent, kung gayon ang isa sa mga ito, halimbawa a, ay ipinahayag sa pamamagitan ng isa, i.e. a = λb para sa ilang totoong numero λ. Ayon sa kahulugan 1.7 gumagana mga vector sa pamamagitan ng isang numero, ang mga vectors a at b ay collinear.
Ngayon hayaan ang mga vectors a at b ay collinear. Kung pareho silang zero, malinaw na nakadepende ang mga ito, dahil ang anumang linear na kumbinasyon ng mga ito ay katumbas ng zero vector. Hayaan ang isa sa mga vector na ito ay hindi katumbas ng 0, halimbawa ang vector b. Tukuyin sa pamamagitan ng λ ang ratio ng mga haba ng mga vectors: λ = |а|/|b|. Ang mga collinear vector ay maaaring unidirectional o magkasalungat na direksyon. Sa huling kaso, binabago namin ang tanda ng λ. Pagkatapos, pagsuri sa Depinisyon 1.7, makikita natin na a = λb. Ayon sa Theorem 2.1, ang mga vectors a at b ay linearly dependent.
Puna 2.1. Sa kaso ng dalawang vectors, na isinasaalang-alang ang criterion ng linear dependence, ang napatunayang theorem ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: dalawang vectors ay collinear kung at kung ang isa sa kanila ay kinakatawan bilang produkto ng isa sa pamamagitan ng isang numero. Ito ay isang maginhawang criterion para sa collinearity ng dalawang vectors.
Teorama 2.3. Tatlong vector ang linearly na umaasa kung at kung sila lang coplanar.
◄ Kung ang tatlong vectors a, b, c ay linearly dependent, kung gayon, ayon sa Theorem 2.1, isa sa mga ito, halimbawa a, ay isang linear na kumbinasyon ng iba: a = βb + γс. Pagsamahin natin ang mga pinagmulan ng mga vectors b at c sa punto A. Pagkatapos ang mga vectors βb, γc ay magkakaroon ng isang karaniwang pinagmulan sa puntong A at paralelogram ang panuntunan sa kanilang kabuuan, mga. vector a, ay magiging isang vector na may simula A at wakas, na siyang vertex ng parallelogram na binuo sa mga summand vectors. Kaya, ang lahat ng mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano, iyon ay, sila ay coplanar.
Hayaang maging coplanar ang mga vectors a, b, c. Kung ang isa sa mga vector na ito ay zero, kung gayon ay malinaw na ito ay isang linear na kumbinasyon ng iba. Ito ay sapat na upang kunin ang lahat ng mga coefficient ng linear na kumbinasyon na katumbas ng zero. Samakatuwid, maaari nating ipagpalagay na ang lahat ng tatlong mga vector ay hindi zero. Magkatugma simulan ang mga vector na ito sa isang karaniwang punto O. Hayaang ang kanilang mga dulo ay, ayon sa pagkakabanggit, ang mga puntong A, B, C (Larawan 2.1). Gumuhit ng mga linya sa puntong C na kahanay sa mga linyang dumadaan sa mga pares ng mga puntos na O, A at O, B. Na tinutukoy ang mga intersection point ng A" at B", nakakakuha tayo ng parallelogram OA"CB", samakatuwid, OC" = OA" + OB " . Vector OA" at ang non-zero vector a= OA ay collinear, at samakatuwid ang una sa mga ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng pangalawa sa totoong numeroα:OA" = αOA. Katulad nito, OB" = βOB , β ∈ R. Bilang resulta, nakuha namin na OC" = α OA + βOB , ibig sabihin, ang vector c ay isang linear na kumbinasyon ng mga vectors a at b. Ayon sa sa Theorem 2.1, ang mga vectors a , b, c ay linearly dependent.
Teorama 2.4. Anumang apat na vectors ay linearly dependent.
◄ Ang patunay ay sumusunod sa parehong pamamaraan tulad ng sa Theorem 2.3. Isaalang-alang ang arbitrary na apat na vectors a, b, c at d. Kung ang isa sa apat na vectors ay zero, o mayroong dalawang collinear vectors sa kanila, o tatlo sa apat na vectors ay coplanar, ang apat na vectors na ito ay linearly dependent. Halimbawa, kung ang mga vector a at b ay collinear, maaari nating buuin ang kanilang linear na kumbinasyon αa + βb = 0 na may mga non-zero coefficients, at pagkatapos ay idagdag ang natitirang dalawang vector sa kumbinasyong ito, na kumukuha ng mga zero bilang coefficient. Nakakakuha kami ng linear na kumbinasyon ng apat na vector na katumbas ng 0, kung saan mayroong mga non-zero coefficients.
Kaya, maaari nating ipagpalagay na sa mga napiling apat na vector ay walang mga null, walang dalawa ang collinear, at walang tatlo ang coplanar. Pinipili namin ang puntong O bilang kanilang karaniwang simula. Pagkatapos ang mga dulo ng mga vectors a, b, c, d ay magiging ilang puntos A, B, C, D (Larawan 2.2). Gumuhit ng tatlong eroplano sa punto D, parallel sa mga eroplano OBC, OCA, OAB, at hayaan ang A", B", C" na maging mga punto ng intersection ng mga eroplanong ito na may mga linyang OA, OB, OS, ayon sa pagkakabanggit. Nakukuha namin ang isang kahon na OA"C"B"C"B"DA ", at ang mga vectors a, b, c ay nakahiga sa mga gilid nito na lumalabas sa vertex O. Dahil ang quadrilateral OC"DC" ay isang parallelogram, kung gayon ang OD = OC" + OC" . Sa turn, ang segment na OS" ay ang dayagonal ng parallelogram OA"C"B", upang ang OC" = OA" + OB" , at OD = OA" + OB" + OC" .
Nananatiling tandaan na ang mga pares ng mga vectors OA ≠ 0 at OA" , OB ≠ 0 at OB" , OC ≠ 0 at OC" ay collinear, at, samakatuwid, maaari nating piliin ang mga coefficient α, β, γ upang OA" = αOA , OB" = βOB at OC" = γOC . Sa wakas, nakukuha namin ang OD = αOA + βOB + γOC . Dahil dito, ang vector OD ay ipinahayag sa mga tuntunin ng natitirang tatlong vectors, at lahat ng apat na vectors, ayon sa Theorem 2.1, ay linearly dependent.
Kahulugan 18.2 Sistema ng pag-andarf, ..., f ptinawagli-nape o h a in at c at m.o d sa gap(a, (3) kung ilang hindi mahalaga 5 ang linear na kumbinasyon ng mga function na ito ay katumbas ng zero sa pagitan na ito nang magkapareho:
Kahulugan 18.3 Sistema ng vector f 1 , ..., Ang x n ay tinatawag na linear sa a at c at m o d kung ang ilang di-trivial, linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ay katumbas ng bullet vector:
L Upang maiwasan ang pagkalito, tutukuyin namin ang bilang ng bahagi ng vector (vector-function) sa pamamagitan ng mas mababang index, at ang bilang ng vector mismo (kung mayroong ilang tulad ng mga vector) sa itaas.
"Ipinaaalala namin sa iyo na ang isang linear na kumbinasyon ay tinatawag na non-trivial kung hindi lahat ng coefficients dito ay zero.
Kahulugan 18.4 Ang sistema ng vector functions x 1 ^),..., x n (t) ay tinatawag na linear h at sa at kasama at ang aking tungkol sa pagitan,(a, /3) kung ang ilang di-trivial na linear na kumbinasyon ng mga vector function na ito ay magkaparehong katumbas ng zero vector sa pagitan na ito:
Mahalagang maunawaan ang koneksyon ng tatlong konseptong ito (linear dependence ng mga function, vectors at vector functions) sa isa't isa.
Una sa lahat, kung magpapakita tayo ng formula (18.6) sa pinalawak na anyo (naaalala na ang bawat isa sa x g (1) ay isang vector)
pagkatapos ito ay magiging katumbas ng sistema ng pagkakapantay-pantay
ibig sabihin linear dependence z bahagi sa kahulugan ng unang kahulugan (bilang mga function). Sinasabi na ang linear dependence ng mga function ng vector ay nagpapahiwatig ng kanilang sangkap sa pamamagitan ng sangkap linear dependency.
Ang kabaligtaran ay karaniwang hindi totoo: sapat na upang isaalang-alang ang halimbawa ng isang pares ng mga function ng vector
Ang mga unang bahagi ng mga function ng vector na ito ay nagtutugma lamang, na nangangahulugang ang mga ito ay linearly na umaasa. Ang pangalawang bahagi ay proporsyonal, kaya. ay linearly dependent din. Gayunpaman, kung susubukan nating buuin ang kanilang linear na kumbinasyon, sero magkapareho, pagkatapos ay mula sa kaugnayan
kunin agad ang sistema
na may tanging solusyon C - C-2 - 0. Kaya, ang aming mga vector function ay linearly independent.
Ano ang dahilan ng gayong kakaibang ari-arian? Ano ang lansihin na nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng mga linearly independent na vector function mula sa sadyang umaasa na mga function?
Ito ay lumiliko na ang buong punto ay hindi gaanong sa linear dependence ng mga bahagi, ngunit sa proporsyon ng mga coefficient na kinakailangan upang makakuha ng zero. Sa kaso ng isang linear na pag-asa ng mga function ng vector, ang parehong hanay ng mga coefficient ay nagsisilbi sa lahat ng mga bahagi, anuman ang bilang. Ngunit sa aming halimbawa, para sa isang bahagi, isang proporsyon ng mga coefficient ang kinakailangan, at para sa isa pa, isa pa. Kaya ang trick ay talagang simple: upang makakuha ng isang linear dependence ng buong vector function mula sa isang "component-by-component" linear dependence, kinakailangan na ang lahat ng mga bahagi ay linearly dependent "sa parehong proporsyon".
Let us now turn to the study of the relationship between the linear dependence of vector functions and vectors. Dito, halos halata na ang linear dependence ng mga function ng vector ay nagpapahiwatig na para sa bawat naayos t* vector
magiging linearly dependent.
Ang kabaligtaran, sa pangkalahatan, ay hindi humahawak: mula sa linear na pag-asa ng mga vector para sa bawat isa t ay hindi sumusunod sa isang linear na pag-asa ng mga function ng vector. Ito ay madaling makita sa halimbawa ng dalawang vector function
Sa t=1, t=2 at t=3 nakakakuha kami ng mga pares ng mga vector
ayon sa pagkakabanggit. Ang bawat pares ng mga vector ay proporsyonal (na may mga coefficient na 1,2 at 3 ayon sa pagkakabanggit). Madaling makita iyon para sa anumang naayos t* ang aming pares ng mga vector ay magiging proporsyonal sa koepisyent t*.
Kung susubukan naming bumuo ng isang linear na kumbinasyon ng mga function ng vector na magkaparehong katumbas ng zero, kung gayon ang mga unang bahagi ay nagbibigay na sa amin ng kaugnayan
na posible lamang kung Sa = Sa2 = 0. Kaya, naging linearly independent ang aming mga function ng vector. Muli, ang paliwanag para sa epektong ito ay na sa kaso ng isang linear na pagdepende ng mga function ng vector, ang parehong hanay ng mga constant na Cj ay nagsisilbi sa lahat ng mga halaga. t, at sa aming halimbawa para sa bawat halaga t nangangailangan ng sarili nitong proporsyon sa pagitan ng mga coefficient.