Ang pangunahing gawain ng differential calculus ay upang mahanap ang derivative f'(x) o kaugalian df=f'(x)dx mga function f(x). Sa integral calculus, nalulutas ang inverse na problema. Sa pamamagitan ng ibinigay na function f(x) ito ay kinakailangan upang mahanap ang tulad ng isang function F(x), Ano F'(x)=f(x) o dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.
kaya, pangunahing gawain ng integral calculus ay isang function ng pagbawi F(x) sa pamamagitan ng kilalang derivative (differential) ng function na ito. Ang integral calculus ay maraming aplikasyon sa geometry, mechanics, physics at teknolohiya. Nagbibigay ito ng pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng mga lugar, volume, sentro ng grabidad, atbp.
Kahulugan. FunctionF(x), , ay tinatawag na antiderivative para sa functionf(x) sa set X kung ito ay differentiable para sa alinman atF'(x)=f(x) odF(x)=f(x)dx.
Teorama. Anumang tuloy-tuloy sa pagitan [a;b] functionf(x) ay may antiderivative sa segment na itoF(x).
Teorama. Kung angF 1 (x) atF 2 (x) ay dalawang magkaibang antiderivatives ng parehong functionf(x) sa set x, pagkatapos ay naiiba sila sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino, i.e.F 2 (x)=F1x)+C, kung saan ang C ay isang pare-pareho.
- Indefinite integral, ang mga katangian nito.
Kahulugan. Pinagsama-samaF(x)+C ng lahat ng antiderivativesf(x) sa set X ay tinatawag na isang hindi tiyak na integral at ipinapahiwatig:
- (1)Sa formula (1) f(x)dx tinawag integrand,f(x) ay ang integrand, x ay ang integration variable, a Ang C ay ang pare-pareho ng pagsasama.
Isaalang-alang ang mga pag-aari na hindi tiyak na integral sumusunod mula sa kahulugan nito.
1. Hinango mula sa hindi tiyak na integral ay katumbas ng integrand, ang differential ng indefinite integral ay katumbas ng integrand:
at .2. Ang indefinite integral ng differential ng ilang function ay katumbas ng kabuuan ng function na ito at isang arbitrary constant:
3. Ang pare-parehong salik a (a≠0) ay maaaring alisin sa tanda ng hindi tiyak na integral:
4. Ang indefinite integral ng algebraic sum ng isang finite number of functions ay katumbas ng algebraic sum ng integrals ng mga function na ito:
5. Kung angF(x) - antiderivative ng isang function f(x), pagkatapos:
6 (invariance ng integration formula). Nananatili ang anyo ng anumang formula ng integration kung ang variable ng integration ay papalitan ng anumang function na naiba-iba ng variable na ito:
saanu ay isang differentiable function.
- Talaan ng mga hindi tiyak na integral.
Dalhin natin pangunahing mga patakaran para sa pagsasama ng mga function.
Dalhin natin talahanayan ng mga pangunahing di-tiyak na integral.(Tandaan na dito, tulad ng sa differential calculus, sulat u ay maaaring tukuyin bilang isang malayang variable (u=x), at isang function ng independent variable (u=ikaw(x)).)
(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).
Ang mga integral 1 - 17 ay tinatawag tabular.
Ang ilan sa mga formula sa itaas ng talahanayan ng mga integral, na walang analogue sa talahanayan ng mga derivatives, ay na-verify sa pamamagitan ng pag-iiba ng kanilang mga kanang bahagi.
- Pagbabago ng variable at pagsasama ng mga bahagi sa hindi tiyak na integral.
Pagsasama sa pamamagitan ng pagpapalit (pagbabago ng variable). Hayaang kailanganin upang kalkulahin ang integral
, na hindi tabular. Ang kakanyahan ng paraan ng pagpapalit ay nasa integral ang variable X palitan ang variable t ayon sa pormula x=φ(t), saan dx=φ'(t)dt.Teorama. Hayaan ang functionx=φ(t) ay tinukoy at naiba sa ilang hanay ng T at hayaang ang X ang hanay ng mga halaga ng function na ito kung saan tinukoy ang functionf(x). Pagkatapos kung sa set X ang functionf(
Ang mga katangiang ito ay ginagamit upang magsagawa ng mga pagbabagong-anyo ng integral upang dalhin ito sa isa sa mga elementary integral at karagdagang pagkalkula.
1. Ang derivative ng indefinite integral ay katumbas ng integrand:
2. Ang differential ng hindi tiyak na integral ay katumbas ng integrand:
3. Ang hindi tiyak na integral ng differential ng ilang function ay katumbas ng kabuuan ng function na ito at isang arbitrary constant:
4. Ang isang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa integral sign:
Bukod dito, isang ≠ 0
5. Ang integral ng kabuuan (difference) ay katumbas ng kabuuan (difference) ng mga integral:
6. Ang property ay isang kumbinasyon ng mga katangian 4 at 5:
Bukod dito, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Ang invariance property ng indefinite integral:
Kung , kung gayon
8. Ari-arian:
Kung , kung gayon
Sa katunayan, ang ari-arian na ito ay espesyal na kaso integration gamit ang pagbabago ng variable na pamamaraan, na tatalakayin nang mas detalyado sa susunod na seksyon.
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Una naming inilapat ang property 5, pagkatapos ay property 4, pagkatapos ay ginamit namin ang antiderivatives table at nakuha ang resulta.
Ang algorithm ng aming online integral calculator ay sumusuporta sa lahat ng mga katangiang nakalista sa itaas at madaling mahanap detalyadong solusyon para sa iyong integral.
Sa differential calculus, nalutas ang problema: sa ilalim ng ibinigay na function ƒ(x) hanapin ang derivative nito(o kaugalian). Ang integral calculus ay malulutas ang kabaligtaran na problema: upang mahanap ang function na F (x), alam ang derivative nito F "(x) \u003d ƒ (x) (o differential). Ang nais na function na F (x) ay tinatawag na antiderivative ng function ƒ (x).
Ang function na F(x) ay tinatawag primitive function na ƒ(x) sa pagitan (a; b), kung para sa alinmang x є (a; b) ang pagkakapantay-pantay
F " (x)=ƒ(x) (o dF(x)=ƒ(x)dx).
Halimbawa, ang antiderivative function na y \u003d x 2, x є R, ay isang function, dahil
Malinaw, ang mga antiderivative ay magiging anumang mga function
kung saan ang C ay isang pare-pareho, dahil
Theorem 29. 1. Kung ang function na F(x) ay ang antiderivative ng function na ƒ(x) sa (a;b), kung gayon ang set ng lahat ng antiderivatives para sa ƒ(x) ay ibinibigay ng formula na F(x)+ C, kung saan ang C ay isang pare-parehong numero.
▲ Ang function na F(x)+C ay ang antiderivative ng ƒ(x).
Sa katunayan, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).
Hayaan ang F(x) na iba, iba sa F(x), antiderivative function ƒ(x), ibig sabihin, Ф "(x)=ƒ(x). Pagkatapos ay para sa anumang x є (a; b) mayroon tayo
At nangangahulugan ito (tingnan ang Corollary 25.1) na
kung saan ang C ay isang pare-parehong numero. Samakatuwid, Ф(х)=F(x)+С.▼
Ang set ng lahat ng primitive function na F(x)+C para sa ƒ(x) ay tinatawag hindi tiyak na integral ng function ƒ(x) at ipinapahiwatig ng simbolong ∫ ƒ(x) dx.
Kaya ayon sa kahulugan 
∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Dito ay tinatawag na ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - variable ng pagsasama, ∫ -hindi tiyak na integral sign.
Ang operasyon ng paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang function ay tinatawag na integration ng function na ito.
Ang geometrically indefinite integral ay isang pamilya ng "parallel" curves y \u003d F (x) + C (bawat numerical value ng C ay tumutugma sa isang tiyak na curve ng pamilya) (tingnan ang Fig. 166). Tinatawag ang graph ng bawat antiderivative (curve). integral curve.
Ang bawat function ba ay may hindi tiyak na integral?
Mayroong isang teorama na nagsasaad na "bawat function na tuluy-tuloy sa (a; b) ay may isang antiderivative sa pagitan na ito", at, dahil dito, isang hindi tiyak na integral.
Napansin namin ang ilang mga katangian ng hindi tiyak na integral na sumusunod mula sa kahulugan nito.
1. Ang differential ng di-tiyak na integral ay katumbas ng integrand, at ang derivative ng di-tiyak na integral ay katumbas ng integrand:
d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).
Sa katunayan, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx
(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).
Salamat sa pag-aari na ito, ang kawastuhan ng pagsasama ay na-verify sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan. Halimbawa, pagkakapantay-pantay
∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C
totoo, dahil (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.
2. Ang hindi tiyak na integral ng differential ng ilang function ay katumbas ng kabuuan ng function na ito at isang arbitrary na pare-pareho:
∫dF(x)=F(x)+C.
Talaga,
3. Ang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa integral sign:
Ang α ≠ 0 ay isang pare-pareho.
Talaga,
(ilagay ang C 1 / a \u003d C.)
4. Ang indefinite integral ng algebraic sum ng isang finite number of continuous functions ay katumbas ng algebraic sum ng integrals ng terms ng mga function:
Hayaan ang F"(x)=ƒ(x) at G"(x)=g(x). Pagkatapos
kung saan C 1 ±C 2 \u003d C.
5. (Invariance ng integration formula).
Kung ang 
, kung saan ang u=φ(x) ay isang arbitrary na function na may tuluy-tuloy na derivative.
▲ Hayaang x ang malayang variable, ƒ(x) - tuluy-tuloy na pag-andar at ang F(x) ay ang antiderivative nito. Pagkatapos
Itakda natin ngayon ang u=φ(x), kung saan ang φ(x) ay isang function na patuloy na naiba-iba. Isaalang-alang ang isang kumplikadong function F(u)=F(φ(x)). Dahil sa pagkakaiba-iba ng anyo ng unang kaugalian ng function (tingnan ang p. 160), mayroon tayong
Mula dito▼
Kaya, ang formula para sa indefinite integral ay nananatiling wasto kahit na ang integration variable ay isang independent variable o anumang function nito na may tuluy-tuloy na derivative.
Kaya, mula sa formula 
sa pamamagitan ng pagpapalit ng x ng u (u=φ(x)) nakukuha natin 
Sa partikular,
Halimbawa 29.1. Hanapin ang integral 
kung saan ang C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.
Halimbawa 29.2. Maghanap ng integral na Solusyon:
- 29.3. Talaan ng mga pangunahing di-tiyak na integral
Sinasamantala ang katotohanan na ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkita ng kaibhan, ang isa ay maaaring makakuha ng isang talahanayan ng mga pangunahing integral sa pamamagitan ng pagbaligtad ng kaukulang mga pormula ng differential calculus (talahanayan ng mga pagkakaiba) at paggamit ng mga katangian ng hindi tiyak na integral.
Halimbawa, bilang
d(sin u)=cos u . du,
Ang derivation ng isang bilang ng mga formula ng talahanayan ay ibibigay kapag isinasaalang-alang ang mga pangunahing paraan ng pagsasama.
Ang mga integral sa talahanayan sa ibaba ay tinatawag na mga integral na tabular. Dapat silang kilala sa puso. Sa integral calculus, walang simple at unibersal na panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivatives mula sa elementarya na pag-andar, tulad ng sa differential calculus. Ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga antiderivatives (iyon ay, pagsasama-sama ng isang function) ay binabawasan sa pagtukoy ng mga pamamaraan na nagdadala ng isang naibigay (nais) integral sa isang tabular. Samakatuwid, kinakailangang malaman ang mga integral na tabular at makilala ang mga ito.
Tandaan na sa talahanayan ng mga pangunahing integral, ang variable ng integration at maaaring tukuyin ang parehong independiyenteng variable at isang function ng isang independiyenteng variable (ayon sa invariance property ng integration formula).
Ang validity ng mga formula sa ibaba ay maaaring ma-verify sa pamamagitan ng pagkuha ng differential sa kanang bahagi, na magiging katumbas ng integrand sa kaliwang bahagi ng formula.
Patunayan natin, halimbawa, ang bisa ng formula 2. Ang function na 1/u ay tinukoy at tuloy-tuloy para sa lahat ng nonzero value ng u.
Kung u > 0, kung gayon ln|u|=lnu, kung gayon 
Kaya
Kung ikaw<0, то ln|u|=ln(-u). Но
ibig sabihin
Kaya tama ang formula 2. Katulad nito, suriin natin ang formula 15:
Talaan ng mga pangunahing integral
Kaibigan! Inaanyayahan ka naming pag-usapan. Kung mayroon kang opinyon, sumulat sa amin sa mga komento.
Antiderivative at hindi tiyak na integral.
Ang isang antiderivative function na f(x) sa interval (a; b) ay isang function na F(x) na ang pagkakapantay-pantay ay taglay para sa anumang x mula sa isang ibinigay na interval.
Kung isasaalang-alang natin ang katotohanan na ang derivative ng pare-parehong C ay katumbas ng zero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 
. Kaya, ang function na f(x) ay may isang hanay ng mga antiderivatives F(x)+C, para sa isang arbitraryong constant C, at ang mga antiderivative na ito ay naiiba sa isa't isa sa pamamagitan ng isang arbitrary na pare-parehong halaga.
Ang buong hanay ng mga antiderivatives ng function na f(x) ay tinatawag na hindi tiyak na integral ng function na ito at tinutukoy 
.
Ang expression ay tinatawag na integrand, at f(x) ay tinatawag na integrand. Ang integrand ay ang differential ng function na f(x).
Ang aksyon ng paghahanap ng hindi kilalang function sa pamamagitan ng ibinigay na differential nito ay tinatawag na indefinite integration, dahil ang resulta ng integration ay hindi isang function F(x), ngunit ang set ng mga antiderivatives nito F(x)+C.
Mga integral ng talahanayan
Ang pinakasimpleng katangian ng mga integral
1. Ang derivative ng resulta ng integration ay katumbas ng integrand.
2. Ang indefinite integral ng differential ng isang function ay katumbas ng kabuuan ng mismong function at isang arbitrary constant.
3. Maaaring alisin ang koepisyent mula sa tanda ng di-tiyak na integral.
4. Ang di-tiyak na integral ng kabuuan/difference ng mga function ay katumbas ng sum/difference ng mga di-tiyak na integral ng mga function.
Ang mga intermediate na pagkakapantay-pantay ng una at pangalawang katangian ng hindi tiyak na integral ay ibinibigay para sa paglilinaw.
Upang patunayan ang ikatlo at ikaapat na katangian, sapat na upang mahanap ang mga derivatives ng kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay:
Ang mga derivatives na ito ay katumbas ng mga integrand, na siyang patunay sa bisa ng unang pag-aari. Ginagamit din ito sa mga huling transition.
Kaya, ang problema sa pagsasama ay ang kabaligtaran na problema ng pagkita ng kaibhan, at mayroong napakalapit na ugnayan sa pagitan ng mga problemang ito:
ang unang ari-arian ay nagbibigay-daan sa pagsuri ng pagsasama. Upang suriin ang kawastuhan ng isinagawang pagsasama, sapat na upang kalkulahin ang derivative ng resulta na nakuha. Kung ang function na nakuha bilang isang resulta ng pagkita ng kaibhan ay lumabas na katumbas ng integrand, kung gayon ito ay nangangahulugan na ang pagsasama ay naisagawa nang tama;
ang pangalawang pag-aari ng indefinite integral ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang antiderivative nito mula sa kilalang kaugalian ng isang function. Ang direktang pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral ay batay sa katangiang ito.
1.4 Invariance ng mga integration form.
Ang invariant integration ay isang uri ng integration para sa mga function na ang mga argumento ay mga elemento ng isang grupo o mga punto ng isang homogenous space (anumang punto ng naturang espasyo ay maaaring ilipat sa isa pa sa pamamagitan ng isang ibinigay na aksyon ng grupo).
ang function na f(x) ay nabawasan sa pagkalkula ng integral ng differential form na f.w, kung saan
Ang isang tahasang formula para sa r(x) ay ibinigay sa ibaba. Ang kondisyon ng kasunduan ay may form 
.
dito Tg ay nangangahulugang ang shift operator sa X gamit ang gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Hayaang ang X=G ay isang topology, isang pangkat na kumikilos sa sarili nito sa pamamagitan ng mga kaliwang shift. Ako at. umiiral kung at kung ang G ay lokal na compact (sa partikular, sa mga pangkat na walang hanggan-dimensyon, walang int.). Para sa isang subset ng I. at. Ang katangiang function na cA (katumbas ng 1 sa A at 0 sa labas ng A) ay tumutukoy sa kaliwang Haar measure m(A). Ang pagtukoy sa katangian ng panukalang ito ay ang invariance nito sa ilalim ng mga left shift: m(g-1A)=m(A) para sa lahat ng gОG. Ang kaliwang sukat ng Haar sa isang pangkat ay natatanging tinukoy hanggang sa isang nakatakdang scalar factor. Kung ang Haar measure m ay kilala, kung gayon I. at. ang function na f ay ibinibigay ng formula 
. Ang tamang sukat ng Haar ay may mga katulad na katangian. Mayroong tuluy-tuloy na homomorphism (pagma-map na nagpapanatili ng pag-aari ng grupo) DG ng pangkat G sa pangkat (na may paggalang sa multiplikasyon) ilagay. mga numero para saan
kung saan ang dmr at dmi ay ang kanan at kaliwang sukat ng Haar. Tinatawag ang function na DG(g). module ng pangkat G. Kung , kung gayon ang pangkat G ay tinatawag. unimodular; sa kasong ito, ang kanan at kaliwang Haar measures ay pareho. Ang mga compact, semisimple, at nilpotent (sa partikular, commutative) na mga grupo ay unimodular. Kung ang G ay isang n-dimensional na pangkat ng Lie at q1,...,qn ay isang batayan sa espasyo ng kaliwa-invariant na 1-form sa G, kung gayon ang kaliwang Haar measure sa G ay ibinibigay ng n-form . Sa mga lokal na coordinate para sa pagkalkula
forms qi, maaari mong gamitin ang anumang pagpapatupad ng matrix ng pangkat G: ang matrix 1-form g-1dg ay left-invariant, at ang coef nito. ay mga left-invariant na scalar 1-form, kung saan pipiliin ang gustong batayan. Halimbawa, ang buong pangkat ng matrix na GL(n, R) ay unimodular at ang Haar measure dito ay ibinibigay ng isang form. Hayaan 
Ang X=G/H ay isang homogenous na espasyo kung saan ang lokal na compact group na G ay isang transformation group at ang closed subgroup H ay isang stabilizer ng ilang punto. Upang umiral ang isang I.I. sa X, kinakailangan at sapat na ang pagkakapantay-pantay na DG(h)=DH(h) ay taglay para sa lahat ng hОH. Sa partikular, totoo ito kapag ang H ay compact o semisimple. Kumpletong teorya ng I. at. ay hindi umiiral sa mga infinite-dimensional na manifold.
Pagbabago ng mga variable.
Sa artikulong ito, inilista namin ang mga pangunahing katangian ng isang tiyak na integral. Karamihan sa mga katangiang ito ay napatunayan batay sa mga konsepto ni Riemann at Darboux ng isang tiyak na integral.
Ang pagkalkula ng tiyak na integral ay madalas na isinasagawa gamit ang unang limang katangian, kaya't sasangguni kami sa kanila kung kinakailangan. Ang natitirang mga katangian ng tiyak na integral ay pangunahing ginagamit upang suriin ang iba't ibang mga expression.
Bago lumipat sa pangunahing katangian ng isang tiyak na integral, sumasang-ayon kami na ang a ay hindi lalampas sa b .
Para sa function na y = f(x) , na tinukoy para sa x = a , ang pagkakapantay-pantay ay totoo.
Iyon ay, ang halaga ng tiyak na integral na may parehong mga limitasyon sa pagsasama ay zero. Ang pag-aari na ito ay bunga ng kahulugan ng integral ng Riemann, dahil sa kasong ito ang bawat integral sum para sa anumang partition ng interval at anumang pagpipilian ng mga puntos ay katumbas ng zero, dahil, samakatuwid, ang limitasyon ng integral sums ay zero.
Para sa isang function na maisasama sa isang segment, mayroon kami 
.
Sa madaling salita, kapag ang upper at lower limits ng integration ay binaligtad, ang value ng definite integral ay mababaligtad. Ang pag-aari na ito ng isang tiyak na integral ay sumusunod din mula sa konsepto ng Riemann integral, ang pagnunumero lamang ng partition ng isang segment ay dapat magsimula sa puntong x = b.
para sa mga function na y = f(x) at y = g(x) na maisasama sa isang pagitan.
Patunay.
Isinulat namin ang integral sum ng function 
para sa isang partikular na partition ng segment at isang ibinigay na pagpipilian ng mga puntos : 
kung saan at ang mga integral sums ng mga function na y = f(x) at y = g(x) para sa isang partikular na partition ng segment, ayon sa pagkakabanggit.
Pagpasa sa limitasyon sa 
nakuha namin na, sa pamamagitan ng kahulugan ng integral ng Riemann, ay katumbas ng paggigiit ng ari-arian na pinatutunayan.
Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng isang tiyak na integral. Iyon ay, para sa isang function na maisasama sa isang segment na y = f(x) at isang arbitrary na numero k, ang pagkakapantay-pantay 
.
Ang patunay ng pag-aari na ito ng isang tiyak na integral ay ganap na katulad ng nauna: 
Hayaang ang function na y = f(x) ay mapagsasama sa pagitan ng X , at 
at pagkatapos 
.
Ang ari-arian na ito ay may bisa para sa pareho at para sa o .
Ang patunay ay maaaring isagawa batay sa mga nakaraang katangian ng tiyak na integral.
Kung ang isang function ay integrable sa isang segment , pagkatapos ito ay integrable din sa anumang panloob na segment .
Ang patunay ay batay sa pag-aari ng Darboux sums: kung ang mga bagong puntos ay idinagdag sa umiiral na partition ng segment, ang mas mababang Darboux sum ay hindi bababa, at ang itaas ay hindi tataas.
Kung ang function na y = f(x) ay maisasama sa pagitan at para sa anumang halaga ng argument , kung gayon 
.
Ang pag-aari na ito ay napatunayan sa pamamagitan ng kahulugan ng Riemann integral: anumang integral sum para sa anumang pagpipilian ng paghahati ng mga punto ng segment at mga punto sa ay magiging hindi negatibo (hindi positibo).
Bunga.
Para sa mga function na y = f(x) at y = g(x) na maisasama sa isang pagitan, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay: 
Ang pahayag na ito ay nangangahulugan na ang pagsasama-sama ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatanggap. Gagamitin namin ang corollary na ito upang patunayan ang mga sumusunod na katangian.
Hayaang ang function na y = f(x) ay maisasama sa segment , pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay 
.
Patunay.
Obvious naman yun 
. Sa nakaraang pag-aari, nalaman namin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino, samakatuwid, ito ay totoo 
. Ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang .
Hayaang ang mga function na y = f(x) at y = g(x) ay mapagsasama sa pagitan at para sa anumang halaga ng argumento , pagkatapos 
, saan 
at .
Ang patunay ay isinasagawa sa katulad na paraan. Dahil ang m at M ay ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function na y = f(x) sa segment , kung gayon 
. Ang pagpaparami ng double inequality sa non-negative na function na y = g(x) ay magdadala sa atin sa sumusunod na double inequality. Pagsasama nito sa segment , dumating kami sa assertion na patunayan.
Bunga.
Kung kukunin natin ang g(x) = 1 , ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo 
.
Ang unang formula para sa average.
Hayaang maisama ang function na y = f(x) sa segment , at , pagkatapos ay mayroong isang bilang na ganyan 
.
Bunga.
Kung ang function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa segment , kung gayon mayroong isang numero na ganoon 
.
Ang unang formula ng average na halaga sa isang pangkalahatang anyo.
Hayaang ang mga function na y = f(x) at y = g(x) ay mapagsasama sa pagitan , at , at g(x) > 0 para sa anumang halaga ng argumento . Pagkatapos ay mayroong isang bilang na ganyan 
.
Ang pangalawang formula para sa average.
Kung sa isang segment ang function na y = f(x) ay mapagsasama at y = g(x) ay monotone, kung gayon mayroong isang numero na ang pagkakapantay-pantay 
.