Dahil ang masa ng isang punto ay pare-pareho, at ang acceleration nito, ang equation na nagpapahayag ng pangunahing batas ng dynamics ay maaaring katawanin bilang
Ang equation ay sabay na nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa differential form: derivative ng oras sa momentum ng punto ay katumbas ng geometric na kabuuan pwersang kumikilos sa punto.
Isama natin ang equation na ito. Hayaang tumuro ang masa m, gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa (Larawan 15), ay may sa sandaling ito t\u003d 0 bilis, at sa ngayon t 1 - bilis.
Fig.15
I-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay at kunin mula sa kanila mga tiyak na integral. Sa kasong ito, sa kanan, kung saan ang pagsasama ay sa paglipas ng panahon, ang mga limitasyon ng mga integral ay 0 at t 1 , at sa kaliwa, kung saan isinama ang bilis, ang mga limitasyon ng integral ay ang kaukulang mga halaga ng bilis at . Dahil ang integral ng is , pagkatapos ay bilang isang resulta makuha namin:
.
Ang mga integral sa kanan ay ang mga impulses aktibong pwersa. Kaya nagtatapos kami sa:
.
Ang equation ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa huling anyo: ang pagbabago sa momentum ng isang punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng lahat ng pwersa na kumikilos sa punto sa parehong tagal ng panahon ( kanin. labinlima).
Kapag nilulutas ang mga problema, sa halip na isang vector equation, ang mga equation sa projection ay kadalasang ginagamit.
Kailan rectilinear na paggalaw nangyayari sa kahabaan ng axis Oh ang teorama ay ipinahayag ng una sa mga equation na ito.
Mga tanong para sa pagsusuri sa sarili
Bumuo ng mga pangunahing batas ng mekanika.
Anong equation ang tinatawag na basic equation of dynamics?
Ano ang sukat ng pagkawalang-kilos ng mga solidong katawan sa paggalaw ng pagsasalin?
Nakadepende ba ang bigat ng katawan sa lokasyon ng katawan sa Earth?
Anong frame of reference ang tinatawag na inertial?
Aling katawan ang napapailalim sa puwersa ng inertia? materyal na punto at ano ang modulus at direksyon nito?
Ipaliwanag ang pagkakaiba sa pagitan ng mga konsepto ng "inertia" at "force of inertia"?
Sa anong mga katawan inilapat ang puwersa ng pagkawalang-kilos, paano ito nakadirekta at sa anong pormula ito makalkula?
Ano ang prinsipyo ng kinetostatics?
Ano ang mga module at direksyon ng tangential at normal na puwersa ng inertia ng isang materyal na punto?
Ano ang timbang ng katawan? Ano ang SI unit para sa pagsukat ng masa?
Ano ang sukatan ng inertia ng isang katawan?
Isulat ang pangunahing batas ng dynamics sa vector at differential form?
Ang isang pare-parehong puwersa ay kumikilos sa isang materyal na punto. Paano gumagalaw ang tuldok?
Anong acceleration ang matatanggap ng punto kung ang isang puwersa na katumbas ng dalawang beses ang puwersa ng grabidad ay kumilos dito?
Matapos ang banggaan ng dalawang materyal na punto na may masa m 1 =6 kg at m 2 \u003d 24 kg, ang unang punto ay nakatanggap ng isang acceleration ng 1.6 m / s. Ano ang acceleration na nakuha ng pangalawang punto?
Sa anong paggalaw ng isang materyal na punto ang tangential force ng inertia ay katumbas ng zero at sa ano ito normal?
Anong mga formula ang ginagamit upang kalkulahin ang mga module ng rotational at centrifugal forces of inertia ng isang puntong kabilang sa matibay na katawan umiikot tungkol sa isang nakapirming axis?
Paano nabuo ang pangunahing batas ng point dynamics?
Ibigay ang pagbabalangkas ng batas ng pagsasarili ng pagkilos ng mga puwersa.
Isulat ang mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto sa vector at coordinate form.
Bumuo ng esensya ng una at pangalawang pangunahing gawain ng point dynamics.
Ibigay ang mga kundisyon kung saan natutukoy ang mga constant ng pagsasama ng mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto.
Anong mga equation ng dynamics ang tinatawag na natural na equation ng paggalaw ng isang materyal na punto?
Ano ang dalawang pangunahing problema ng point dynamics na nalutas sa tulong ng differential motions ng isang materyal na punto?
Differential equation ng paggalaw ng isang libreng materyal na punto.
Paano natutukoy ang mga constant kapag isinasama ang mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto?
Pagpapasiya ng mga halaga ng mga di-makatwirang mga pare-pareho na lumilitaw kapag pinagsama ang mga kaugalian na equation ng paggalaw ng isang materyal na punto.
Ano ang mga batas libreng pagkahulog katawan?
Ano ang mga batas na namamahala sa pahalang at patayong paggalaw ng isang katawan na itinapon sa isang anggulo sa abot-tanaw sa isang vacuum? Ano ang trajectory ng paggalaw nito at sa anong anggulo ang katawan ay may pinakamalaking saklaw ng paglipad?
Paano makalkula ang salpok ng isang variable na puwersa sa isang may hangganan na tagal ng panahon?
Ano ang momentum ng isang materyal na punto?
Paano ipahayag ang elementarya na gawain ng puwersa sa pamamagitan ng elementarya na landas ng punto ng aplikasyon ng puwersa, at paano - sa pamamagitan ng pagtaas ng arc coordinate ng puntong ito?
Sa anong mga displacement ang gawain ng grabidad: a) positibo, b) negatibo, c) katumbas ng zero?
Paano makalkula ang kapangyarihan ng isang puwersa na inilapat sa isang materyal na punto na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis na may isang angular na tulin?
Bumuo ng isang teorama sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto.
Sa ilalim ng anong mga kondisyon hindi nagbabago ang momentum ng isang materyal na punto? Sa ilalim ng anong mga kondisyon hindi nagbabago ang projection nito sa ilang axis?
Ibigay ang pagbabalangkas ng theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto sa differential at finite form.
Ano ang tinatawag na sandali ng momentum ng isang materyal na punto na nauugnay sa: a) sentro, b) axis?
Paano nabuo ang theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum ng isang punto na may kaugnayan sa sentro at nauugnay sa axis?
Sa ilalim ng anong mga kondisyon nananatiling hindi nagbabago ang angular momentum ng isang punto tungkol sa isang axis?
Paano tinutukoy ang mga sandali ng momentum ng isang materyal na punto na nauugnay sa gitna at nauugnay sa axis? Ano ang relasyon nila?
Sa anong lokasyon ng momentum vector ng isang materyal ang itinuturo ang moment nito na may kaugnayan sa axis sero?
Bakit ang tilapon ng isang materyal na punto na gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng isang sentral na puwersa ay nasa isang eroplano?
Anong paggalaw ng isang punto ang tinatawag na rectilinear? Isulat ang differential equation para sa rectilinear motion ng isang materyal na punto.
Isulat ang mga differential equation para sa paggalaw ng eroplano ng isang materyal na punto.
Anong paggalaw ng isang materyal na punto ang inilarawan ng mga differential equation ng unang uri ng Lagrange?
Sa anong mga kaso tinatawag na hindi libre ang isang materyal na punto at ano ang mga differential equation ng paggalaw ng puntong ito?
Magbigay ng mga kahulugan ng nakatigil at hindi nakatigil, holonomic at nonholonomic na mga hadlang.
Ano ang dalawang-daan na relasyon? Unilateral?
Ano ang kakanyahan ng prinsipyo ng pagpapalaya mula sa mga bono?
Anong anyo mayroon ang mga differential equation ng paggalaw ng isang hindi-libreng materyal na punto sa anyong Lagrange? Ano ang Lagrange multiplier?
Ibigay ang pagbabalangkas ng dynamical Coriolis theorem.
Ano ang kakanyahan ng prinsipyo ng relativity ng Galileo-Newton?
Pangalanan ang mga paggalaw kung saan ang Coriolis force of inertia ay zero.
Ano ang magnitude at direksyon ng translational at Coriolis inertia forces?
Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga differential equation ng kamag-anak at ganap na paggalaw ng isang materyal na punto?
Paano tinutukoy ang translational at Coriolis forces of inertia in iba't ibang okasyon portable na paggalaw?
Ano ang kakanyahan ng prinsipyo ng relativity ng klasikal na mekanika?
Anong mga sistema ng sanggunian ang tinatawag na inertial?
Ano ang kundisyon para sa kamag-anak na natitirang bahagi ng isang materyal na punto?
Sa anong mga punto ibabaw ng lupa ang gravity ang may pinakamalaking at pinakamaliit na halaga?
Ano ang nagpapaliwanag sa paglihis ng mga bumabagsak na katawan sa silangan?
Sa anong direksyon ang isang katawan na itinapon nang patayo ay pinalihis?
Ang isang balde ay ibinaba sa minahan nang may pagbilis a\u003d 4 m / s 2. Grabity ng tub G=2 kN. Tukuyin ang pag-igting sa lubid na sumusuporta sa batya?
Dalawang materyal na punto ang gumagalaw sa isang tuwid na linya na may pare-parehong bilis na 10 at 100 m/s. Maaari bang ipagtanggol na ang mga katumbas na sistema ng pwersa ay inilalapat sa mga puntong ito?
1) imposible;
Ang pantay na puwersa ay inilalapat sa dalawang materyal na punto ng mass 5 at 15 kg. Ihambing ang mga numerical na halaga ng acceleration ng mga puntong ito?
1) pareho ang mga acceleration;
2) ang acceleration ng isang punto na may mass na 15 kg ay tatlong beses na mas mababa kaysa sa acceleration ng isang punto na may mass na 5 kg.
Posible bang malutas ang mga problema ng dinamika gamit ang mga equation ng equilibrium?
Dahil ang mass ng punto ay pare-pareho, at ang acceleration nito, ang equation (2), na nagpapahayag ng pangunahing batas ng dynamics, ay maaaring katawanin bilang
Ang equation (32) ay sabay-sabay na nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa differential form: ang time derivative ng momentum ng isang punto ay katumbas ng kabuuan ng mga pwersang kumikilos sa punto
Hayaang ang gumagalaw na punto ay may bilis sa isang sandali ng oras at isang bilis sa isang sandali. Pagkatapos ay i-multiply natin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay (32) sa at kumuha ng ilang mga integral mula sa kanila. Sa kasong ito, sa kanan, kung saan ang pagsasama ay sa paglipas ng panahon, ang mga limitasyon ng integral ay magiging at sa kaliwa, kung saan ang bilis ay isinama, ang mga limitasyon ng integral ay ang kaukulang mga halaga ng bilis.
Dahil ang integral ng ay pantay, bilang resulta ay nakukuha natin
Ang mga integral sa kanan, tulad ng sumusunod mula sa formula (30), ay kumakatawan sa mga impulses ng kumikilos na pwersa. Samakatuwid, ito ay sa wakas
Ang equation (33) ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa huling anyo nito: ang pagbabago sa momentum ng isang punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses ng lahat ng pwersang kumikilos sa punto. sa parehong yugto ng panahon.
Sa paglutas ng mga problema, sa halip na vector equation (33), ang mga equation sa projection ay kadalasang ginagamit. Ang pag-project ng parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay (33) sa mga coordinate axes, nakukuha namin
Sa kaso ng rectilinear motion na nagaganap sa kahabaan ng axis, ang theorem ay ipinahayag ng una sa mga equation na ito.
Pagtugon sa suliranin. Ang mga equation (33) o (34) ay nagbibigay-daan, alam kung paano nagbabago ang bilis nito kapag gumagalaw ang isang punto, upang matukoy ang impulse ng kumikilos na pwersa (ang unang problema ng dynamics) o, alam ang mga impulses ng kumikilos na pwersa, upang matukoy kung paano ang bilis ng punto ay nagbabago kapag gumagalaw (ang pangalawang problema ng dynamics). Kapag nilulutas ang pangalawang problema, kapag ibinigay ang mga puwersa, kinakailangang kalkulahin ang kanilang momenta. Gaya ng makikita sa mga pagkakapantay-pantay (30) o (31), ito ay magagawa lamang kapag ang mga puwersa ay pare-pareho o nakasalalay lamang sa oras.
Kaya, ang mga equation (33), (34) ay maaaring direktang magamit upang malutas ang pangalawang problema ng dinamika, kapag ang bilang ng data at kinakailangang dami sa problema ay kinabibilangan ng: ang kumikilos na pwersa, ang oras ng paggalaw ng punto, at ang inisyal nito. at mga huling bilis (ibig sabihin, ang mga dami ), at ang mga puwersa ay dapat na pare-pareho o nakadepende lamang sa oras.
Problema 95
Desisyon. Ayon sa theorem sa pagbabago sa momentum ng System, geometrically ang pagkakaiba sa pagitan ng mga dami ng paggalaw na ito (Fig. 222), makikita natin mula sa resultang right triangle
Ngunit ayon sa mga kondisyon ng problema, samakatuwid,
Para sa isang analytical na pagkalkula, gamit ang unang dalawa sa mga equation (34), mahahanap natin
Problema 96. Ang isang load na may mass at nakahiga sa isang pahalang na eroplano ay binibigyan (sa pamamagitan ng isang push) ang unang bilis. Ang kasunod na paggalaw ng load ay pinabagal ng isang pare-parehong puwersa F. Tukuyin kung gaano katagal titigil ang pagkarga,
Desisyon. Ayon sa data ng problema, malinaw na ang napatunayang teorama ay maaaring gamitin upang matukoy ang oras ng paggalaw. Inilalarawan namin ang pagkarga sa isang di-makatwirang posisyon (Larawan 223). Naaapektuhan ito ng puwersa ng gravity P, ang reaksyon ng eroplano N at ang puwersa ng pagpepreno F. Sa pamamagitan ng pagdidirekta sa axis sa direksyon ng paggalaw, binubuo namin ang una sa mga equation (34)
AT kasong ito- bilis sa sandaling huminto), a . Sa mga puwersa, tanging ang puwersa F ang nagbibigay ng projection sa axis. Dahil ito ay pare-pareho, nasaan ang oras ng pagpepreno. Ang pagpapalit ng lahat ng data na ito sa equation (a), nakukuha natin ang nais na oras mula sa
Bilang ng paggalaw ayon sa sukat mekanikal na paggalaw, kung ang mekanikal na paggalaw ay nagiging mekanikal. Halimbawa, ang mekanikal na paggalaw ng isang bilyar na bola (Larawan 22) bago ang impact ay pumasa sa mekanikal na paggalaw ng mga bola pagkatapos ng impact. Para sa isang punto, ang momentum ay katumbas ng produkto.
Ang sukatan ng pagkilos ng puwersa sa kasong ito ay ang momentum ng puwersa
.
(9.1)
Tinutukoy ng momentum ang pagkilos ng puwersa 
para sa isang yugto ng panahon 
. Para sa isang materyal na punto, ang momentum change theorem ay maaaring gamitin sa differential form 
(9.2) o integral (finite) form 
.
(9.3)
Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng momentum ng lahat ng pwersa na inilapat sa punto sa parehong oras.
Larawan 22
Kapag nilulutas ang mga problema, ang theorem (9.3) ay mas madalas na ginagamit sa mga projection sa coordinate axes 
;
;
(9.4)
.
Gamit ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto, posible na malutas ang mga problema kung saan ang isang punto o isang katawan na gumagalaw sa pagsasalin ay napapailalim sa pare-pareho o variable na puwersa na nakasalalay sa oras, at ang bilang ng ibinigay at hinahangad na mga halaga. kasama ang oras ng paggalaw at bilis sa simula at pagtatapos ng paggalaw. Ang mga problema gamit ang theorem ay nalutas sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:
1. pumili ng coordinate system;
2. ilarawan ang lahat ng ibinigay (aktibong) pwersa at reaksyon na kumikilos sa isang punto;
3. isulat ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa mga projection sa mga napiling coordinate axes;
4. tukuyin ang mga nais na halaga.
HALIMBAWA 12.
Ang martilyo na tumitimbang ng G=2t ay nahuhulog mula sa taas h=1m papunta sa isang workpiece sa isang oras t=0.01s at tinatakpan ang bahagi (Larawan 23). Tukuyin ang average na puwersa ng martilyo sa workpiece.
DESISYON.
1. Gumagana ang gravity ng martilyo sa workpiece 
at suportang reaksyon 
. Ang halaga ng reaksyon ng suporta ay nagbabago sa paglipas ng panahon, kaya isaalang-alang ang average na halaga nito 
.
2. idirekta ang coordinate axis y patayo pababa at ilapat ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa projection sa axis na ito: 
, (1) saan 
- bilis ng martilyo sa dulo ng suntok;
- ang paunang bilis ng martilyo sa sandali ng pakikipag-ugnay sa workpiece.
3. Upang matukoy ang bilis 
binubuo namin ang differential equation ng paggalaw ng martilyo sa projection papunta sa y-axis:
.
(2)
Paghiwalayin ang mga variable, isama ang equation (2) nang dalawang beses: 
;
;
. Ang integration constants С 1 , С 2 ay matatagpuan mula sa mga paunang kondisyon. Sa t=0 V y =0, pagkatapos ay C 1 =0; y \u003d 0, pagkatapos ay C 2 \u003d 0. Samakatuwid, ang martilyo ay gumagalaw ayon sa batas 
, (3) at ang bilis ng martilyo ay nagbabago ayon sa batas 
. (4) Ipapahayag namin ang oras ng paggalaw ng martilyo mula sa (3) at papalitan sa (4) 
;
.
(5)
4. Nahanap namin ang projection ng momentum ng mga panlabas na pwersa sa y-axis sa pamamagitan ng formula: 
. (6) Palitan ang (5) at (6) sa (1): 
, mula sa kung saan nakita namin ang reaksyon ng suporta, at, dahil dito, ang nais na presyon ng martilyo sa workpiece 
t.
Larawan 24
Upangkung saan ang M ay ang masa ng sistema, ang V c ay ang bilis ng sentro ng masa. Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema ay maaaring isulat sa kaugalian at may hangganan (integral) na anyo: 
;
.
(9.7)
. (9.5) Ang dami ng paggalaw ng isang sistema o isang matibay na katawan ay maaaring matukoy na alam ang masa ng sistema at ang bilis ng sentro ng masa 
,
(9.6)Ang pagbabago sa dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa parehong oras. Minsan mas maginhawang gamitin ang theorem sa pagbabago ng momentum sa projection papunta sa coordinate axes 
;
(9.8)
.
(9.9)
Ang batas ng konserbasyon ng momentum ay nagtatatag na sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, ang momentum ng isang mekanikal na sistema ay nananatiling pare-pareho. Aksyon panloob na pwersa hindi maaaring baguhin ang momentum ng system. Ang equation (9.6) ay nagpapakita na para sa 
,
.
Kung ang 
, pagkatapos 
o 
.
D
propeller o propeller, jet propulsion. Ang mga pusit ay gumagalaw sa mga jerk, na nagtatapon ng tubig mula sa muscular sac ayon sa prinsipyo ng isang water cannon (Larawan 25). Ang naitaboy na tubig ay may kilalang dami ng paatras na paggalaw. Ang pusit ay nakakakuha ng kaukulang bilis 
pasulong na paggalaw dahil sa reactive thrust 
, kasi bago tumalon ang pusit, ang lakas 
balanse ng gravity 
.
Ang paggamit ng momentum change theorem ay ginagawang posible na ibukod ang lahat ng panloob na pwersa mula sa pagsasaalang-alang.
HALIMBAWA 13.
Sa isang platform ng riles, free-standing sa mga riles, isang winch A na may drum ng radius r ay naka-install (Larawan 26). Ang winch ay idinisenyo upang lumipat sa platform ng cargo B na may mass m 1 . Timbang ng platform na may winch m 2 . Ang winch drum ay umiikot ayon sa batas 
. Sa unang sandali ng oras, ang system ay mobile. Ang pagpapabaya sa alitan, hanapin ang batas ng pagbabago sa bilis ng platform pagkatapos i-on ang winch.
R 
DESISYON.
1. Isaalang-alang ang platform, winch at load bilang isang solong mekanikal na sistema, na apektado ng panlabas na pwersa: load gravity 
at mga platform 
at mga reaksyon 
at 
.
2. Dahil ang lahat ng panlabas na pwersa ay patayo sa x axis, i.e. 
, inilalapat namin ang batas ng konserbasyon ng momentum ng isang mekanikal na sistema sa projection sa x-axis: 
. Sa unang sandali ng oras, ang sistema ay nakatigil, samakatuwid, 
Ipahayag natin ang dami ng paggalaw ng system sa isang arbitrary na punto ng oras. Ang platform ay umuusad nang mabilis 
, ang pag-load ay nagsasagawa ng isang kumplikadong paggalaw na binubuo ng relatibong galaw sa buong platform sa bilis 
at portable na paggalaw kasama ang platform sa isang bilis 
., saan 
. Ang platform ay lilipat sa direksyon na kabaligtaran sa kamag-anak na paggalaw ng pagkarga.
HALIMBAWA 14.
DESISYON.
1. Ilapat ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa projection sa x-axis. Dahil ang lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema ay patayo, kung gayon 
, pagkatapos 
, saan 
.
(1)
2. Ipinapahayag namin ang projection ng dami ng paggalaw sa x-axis para sa itinuturing na mekanikal na sistema 
,
t 2) (S-sa metro, t-sa segundo), (Larawan 26). Tukuyin ang bilis ng plato sa oras na t 1 =1s, gamit ang theorem sa pagbabago sa momentum ng mekanikal na sistema.saan 
,
-- ang dami ng paggalaw ng plato at ang pagkarga, ayon sa pagkakabanggit. 
;
, saan 
--ganap na bilis ng pagkargaD. Mula sa pagkakapantay-pantay (1) sumusunod na K 1x + K 2x \u003d C 1 o m 1 u x + m 2 V Dx \u003d C 1. (2) Upang matukoy ang V Dx, isinasaalang-alang namin ang paggalaw ng load D bilang kumplikado, isinasaalang-alang ang paggalaw nito na may kaugnayan sa plato bilang kamag-anak, at ang paggalaw ng plato mismo ay portable, pagkatapos 
,
(3)
; o sa projection sa x-axis: 
. (4) Palitan ang (4) sa (2): 
. (5) Ang integration constant C 1 ay tinutukoy mula sa mga unang kondisyon: sa t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 \u003d C 1. (6) Ang pagpapalit ng halaga ng pare-parehong C 1 sa equation (5), makuha natin 
MS.
Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto
Dahil ang masa ng isang punto ay pare-pareho, at ang acceleration nito, ang equation na nagpapahayag ng pangunahing batas ng dynamics ay maaaring katawanin bilang
Ang equation ay sabay na nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa differential form: derivative ng oras ng momentum ng isang punto ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga puwersang kumikilos sa punto.
Isama natin ang equation na ito. Hayaang tumuro ang masa m, gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa (Larawan 15), ay may sa sandaling ito t\u003d 0 bilis, at sa ngayon t 1 - bilis.
Fig.15
I-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay at kumuha ng mga tiyak na integral mula sa kanila. Sa kasong ito, sa kanan, kung saan ang pagsasama ay sa paglipas ng panahon, ang mga limitasyon ng mga integral ay 0 at t 1 , at sa kaliwa, kung saan isinama ang bilis, ang mga limitasyon ng integral ay ang kaukulang mga halaga ng bilis at
. Dahil ang integral ng 
katumbas ,
pagkatapos ay bilang isang resulta makuha namin:
.
Ang mga integral sa kanan ay ang mga impulses ng kumikilos na pwersa. Kaya nagtatapos kami sa:
.
Ang equation ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa huling anyo: ang pagbabago sa momentum ng isang punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng lahat ng pwersa na kumikilos sa punto sa parehong tagal ng panahon ( kanin. labinlima).
Kapag nilulutas ang mga problema, sa halip na isang vector equation, ang mga equation sa projection ay kadalasang ginagamit.
Sa kaso ng rectilinear motion kasama ang axis Oh ang teorama ay ipinahayag ng una sa mga equation na ito.
Halimbawa 9 Hanapin ang batas ng paggalaw ng isang materyal na punto ng masa m gumagalaw sa kahabaan ng axis X sa ilalim ng pagkilos ng isang pare-parehong puwersa sa modulus F(Larawan 16) sa ilalim ng mga paunang kondisyon: , sa 
.
Fig.16
Desisyon. Bumuo tayo ng differential equation ng paggalaw ng isang punto sa projection papunta sa axis X: . Ang pagsasama ng equation na ito, nakita namin: 
. Ang pare-pareho ay tinutukoy mula sa paunang kondisyon para sa bilis at katumbas ng . Sa wakas
.
Dagdag pa, isinasaalang-alang na ang v = dx/dt, dumating tayo sa differential equation: 
, pagsasama-sama kung saan nakukuha namin
Ang pare-pareho ay tinutukoy mula sa paunang kondisyon para sa coordinate ng punto. Siya ay pantay. Samakatuwid, ang batas ng paggalaw ng isang punto ay may anyo
Halimbawa 10. Mag-load ng timbang R(Larawan 17) ay nagsimulang lumipat mula sa pahinga kasama ang isang makinis na pahalang na eroplano sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa F=kt. Hanapin ang batas ng paggalaw ng pagkarga.
Fig.17
Desisyon. Pinipili namin ang pinagmulan ng sistema ng coordinate O sa paunang posisyon ng pagkarga at idirekta ang ehe X sa direksyon ng paggalaw (Larawan 17). Pagkatapos ang mga paunang kondisyon ay ganito ang hitsura: x(t = 0) = 0,v( t = 0) = 0. Kumilos ang pwersa sa load F,P at ang puwersa ng reaksyon ng eroplano N. Ang mga pagpapakita ng mga puwersang ito sa axis X bagay Fx = F = kt, Rx = 0, N x= 0, kaya ang katumbas na equation ng paggalaw ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: . Ang paghihiwalay ng mga variable sa differential equation na ito at pagkatapos ay pagsasamahin, makukuha natin ang: v = gkt 2 /2P + C isa. Pagpapalit sa paunang data ( v(0) = 0), nakita namin iyon C 1 = 0, at nakuha namin ang batas ng pagbabago ng bilis 
.
Ang huling expression, sa turn, ay isang differential equation, na pinagsasama kung saan makikita natin ang batas ng paggalaw ng isang materyal na punto: 
. Ang patuloy na pagpasok dito ay tinutukoy mula sa pangalawang paunang kondisyon X(0) = 0. Madaling makita iyon . Sa wakas
Halimbawa 11. Sa isang load sa pahinga sa isang pahalang na makinis na eroplano (tingnan ang Fig. 17) sa layo a mula sa pinanggalingan, nagsisimulang kumilos sa positibong direksyon ng axis x puwersa F=k 2 (P/g)x, saan R - bigat ng kargamento. Hanapin ang batas ng paggalaw ng pagkarga.
Desisyon. Ang equation ng paggalaw ng itinuturing na load (materyal point) sa projection papunta sa axis X
Ang mga paunang kondisyon ng equation (1) ay may anyo: x(t = 0) = a, v( t = 0) = 0.
Kinakatawan namin ang time derivative ng velocity na pumapasok sa equation (1) bilang mga sumusunod:
.
Ang pagpapalit ng expression na ito sa equation (1) at pagbabawas ng ( P/g), nakukuha namin
Ang paghihiwalay ng mga variable sa huling equation, nakita namin na . Pagsasama ng huli, mayroon kaming: . Gamit ang mga paunang kondisyon 
, nakukuha natin, at, samakatuwid,
, 
. (2)
Dahil ang puwersa ay kumikilos sa pagkarga sa positibong direksyon ng axis X, malinaw na dapat din itong gumalaw sa parehong direksyon. Samakatuwid, sa solusyon (2), dapat piliin ang plus sign. Ang pagpapalit pa sa pangalawang expression (2) ng , makakakuha tayo ng differential equation para sa pagtukoy ng batas ng paggalaw ng load. Kung saan, ang paghihiwalay ng mga variable, mayroon kami
.
Ang pagsasama ng huli, nakita namin: 
. Matapos mahanap ang pare-pareho, nakuha namin sa wakas
Halimbawa 12. bola M masa m(fig.18) nahuhulog nang wala paunang bilis sa ilalim ng impluwensya ng grabidad. Habang bumabagsak ang bola, nakakaranas ito ng paglaban , kung saan – pare-pareho ang drag coefficient. Hanapin ang batas ng paggalaw ng bola.
Fig.18
Desisyon. Ipakilala natin ang isang coordinate system na may pinagmulan sa punto kung saan matatagpuan ang bola t = 0, nagdidirekta sa axis sa patayo pababa (Larawan 18). Differential equation paggalaw ng bola sa projection papunta sa axis sa tapos may form
Ang mga paunang kondisyon para sa bola ay nakasulat tulad ng sumusunod: y(t = 0) = 0, v( t = 0) = 0.
Paghihiwalay ng mga variable sa equation (1)
at pagsasama, makikita natin: , kung saan . O pagkatapos makahanap ng isang pare-pareho
o . (2)
Ito ay sumusunod mula dito na ang paglilimita ng bilis, i.e. ang bilis sa , ay katumbas ng .
Upang mahanap ang batas ng paggalaw, pinapalitan natin ang v sa equation (2) ng dy/dt. Pagkatapos, ang pagsasama ng nagresultang equation sa allowance para sa paunang kondisyon, sa wakas ay nakita namin
.
Halimbawa 13 Pananaliksik sa submarino ng spherical na hugis at masa m= = 1.5×10 5 kg nagsisimula nang lumubog nang patayin ang mga makina, na may pahalang na bilis v X 0 = 30 MS at negatibong buoyancy R 1 = 0.01mg, saan 
ay ang vector sum ng Archimedean buoyancy force Q at gravity mg kumikilos sa bangka (Larawan 20). Lakas ng paglaban ng tubig 
, kg/s. Tukuyin ang mga equation ng paggalaw ng bangka at ang tilapon nito.
(Mga fragment ng isang mathematical symphony)
Ang koneksyon ng puwersang salpok sa pangunahing equation ng Newtonian dynamics ay ipinahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto.
Teorama. Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto para sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng salpok ng puwersa () na kumikilos sa materyal na punto para sa parehong yugto ng panahon. Ang mathematical proof ng theorem na ito ay maaaring tawaging isang fragment ng isang mathematical symphony. Ayan siya.
Ang differential momentum ng isang materyal na punto ay katumbas ng elementarya na salpok ng puwersang kumikilos sa materyal na punto. Ang pagsasama ng expression (128) para sa momentum differential ng isang materyal na punto, mayroon tayo
(129)
Ang teorama ay napatunayan at itinuturing ng mga mathematician na natapos ang kanilang misyon, at ang mga inhinyero, na ang kapalaran ay sagradong paniwalaan ang mga mathematician, ay may mga tanong kapag ginagamit ang napatunayang equation (129). Ngunit mahigpit silang hinaharangan ng pagkakasunud-sunod at kagandahan ng mga aksyong pangmatematika (128 at 129), na nakakabighani at naghihikayat sa atin na tawagin silang isang fragment ng isang mathematical symphony. Ilang henerasyon ng mga inhinyero ang sumang-ayon sa mga mathematician at nanginginig sa misteryo ng kanilang mga simbolo ng matematika! Ngunit pagkatapos ay mayroong isang inhinyero na hindi sumang-ayon sa mga mathematician at nagtanong sa kanila ng mga katanungan.
Mahal na mga mathematician! Bakit wala sa iyong mga aklat-aralin sa theoretical mechanics ang tumatalakay sa proseso ng paglalapat ng iyong symphonic na resulta (129) sa pagsasanay, halimbawa, kapag inilalarawan ang proseso ng pagpapabilis ng kotse? Ang kaliwang bahagi ng equation (129) ay napakalinaw. Ang kotse ay nagsisimula sa acceleration mula sa isang bilis at tatapusin ito, halimbawa, sa isang bilis ng . Ito ay medyo natural na ang equation (129) ay nagiging
At ang unang tanong ay agad na lumitaw: paano natin matutukoy ang puwersa mula sa equation (130), sa ilalim ng impluwensya kung saan ang kotse ay pinabilis sa bilis na 10 m / s? Walang sagot sa tanong na ito sa alinman sa hindi mabilang na mga aklat-aralin sa theoretical mechanics. Tayo ay pumunta sa karagdagang. Pagkatapos ng acceleration, ang sasakyan ay magsisimulang gumalaw nang pantay na may nakamit na bilis na 10m/s. Ano ang puwersa na nagtutulak sa sasakyan? I have no choice but to blush along with the mathematicians. Ang unang batas ng Newtonian dynamics ay nagsasaad na kapag ang isang kotse ay gumagalaw nang pantay, walang mga puwersa na kumikilos dito, at ang kotse, sa makasagisag na pagsasalita, ay bumahin sa batas na ito, kumonsumo ng gasolina at gumagana, gumagalaw, halimbawa, sa layo na 100 km. At nasaan ang puwersa na gumawa ng trabaho upang ilipat ang kotse ng 100 km? Ang symphonic mathematical equation (130) ay tahimik, ngunit ang buhay ay nagpapatuloy at nangangailangan ng sagot. Nagsisimula kaming maghanap.
Dahil ang sasakyan ay gumagalaw sa isang tuwid na linya at pare-pareho, ang puwersa na gumagalaw dito ay pare-pareho sa magnitude at direksyon, at ang equation (130) ay nagiging
(131)
Kaya, ang equation (131) sa kasong ito ay naglalarawan ng pinabilis na paggalaw ng katawan. Ano ang katumbas ng puwersa? Paano ipahayag ang pagbabago nito sa paglipas ng panahon? Mas gusto ng mga mathematician na talikuran ang tanong na ito at ipaubaya ito sa mga inhinyero, sa paniniwalang dapat nilang hanapin ang sagot sa tanong na ito. Ang mga inhinyero ay may isang posibilidad na natitira - upang isaalang-alang na kung, pagkatapos ng pagkumpleto ng pinabilis na paggalaw ng katawan, ang isang yugto ng pare-parehong paggalaw ay magsisimula, na sinamahan ng isang pare-parehong puwersa, ay kumakatawan sa equation (131) para sa sandali ng paglipat mula sa pinabilis sa pare-parehong galaw sa pormang ito
(132)
Ang arrow sa equation na ito ay hindi nangangahulugan ng resulta ng pagsasama ng equation na ito, ngunit ang proseso ng paglipat mula sa integral form nito patungo sa isang pinasimpleng anyo. Ang puwersa sa equation na ito ay katumbas ng average na puwersa na nagpabago sa momentum ng katawan mula sa zero hanggang sa huling halaga. Kaya, mahal na mga mathematician at theoretical physicist, ang kawalan ng iyong pamamaraan para sa pagtukoy sa laki ng iyong momentum ay nagtutulak sa amin na pasimplehin ang pamamaraan para sa pagtukoy ng puwersa, at ang kakulangan ng isang paraan para sa pagtukoy sa tagal ng puwersang ito ay karaniwang naglalagay sa amin sa kawalan ng pag-asa. sitwasyon at napipilitan tayong gamitin ang expression upang pag-aralan ang proseso ng pagbabago ng momentum ng katawan. Bilang isang resulta, mas mahaba ang puwersa na kumikilos, mas malaki ang momentum nito. Ito ay malinaw na sumasalungat sa matagal nang itinatag na mga ideya na ang salpok ng puwersa ay mas malaki, mas maikli ang oras ng pagkilos nito.
Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto (force impulse) sa panahon ng pinabilis na paggalaw nito ay nangyayari sa ilalim ng pagkilos ng puwersa ng Newtonian at ang mga puwersa ng paglaban sa paggalaw, sa anyo ng mga puwersa na nabuo ng mga mekanikal na pagtutol. at ang puwersa ng pagkawalang-galaw. Ngunit ang Newtonian dynamics sa karamihan ng mga problema ay binabalewala ang puwersa ng inertia, at iginiit ng Mechanodynamics na ang pagbabago sa momentum ng isang katawan sa panahon ng pinabilis na paggalaw nito ay nangyayari dahil sa labis na puwersa ng Newtonian sa mga puwersa ng paglaban sa paggalaw, kabilang ang puwersa ng pagkawalang-galaw.
Kapag ang isang katawan ay gumagalaw sa mabagal na paggalaw, halimbawa, isang kotse na naka-off ang gear, walang Newtonian na puwersa, at ang pagbabago sa momentum ng kotse ay nangyayari dahil sa labis na mga puwersa ng paglaban sa paggalaw sa puwersa ng pagkawalang-galaw. na gumagalaw sa sasakyan habang slow motion nito.
Paano ngayon ibabalik ang mga resulta ng nabanggit na "symphonic" na mga operasyong matematika (128) sa channel ng sanhi-at-epekto na mga relasyon? Mayroon lamang isang paraan out - upang makahanap ng isang bagong kahulugan para sa mga konsepto ng "impulse of force" at "impact force". Upang gawin ito, hinati namin ang magkabilang panig ng equation (132) sa oras na t. Bilang resulta, magkakaroon tayo
. (133)
Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang expression na mV / t ay ang rate ng pagbabago sa momentum (mV / t) ng isang materyal na punto o katawan. Kung isasaalang-alang natin na ang V / t ay acceleration, kung gayon ang mV / t ay isang puwersa na nagbabago sa momentum ng katawan. Ang parehong dimensyon sa kaliwa at kanan ng pantay na tanda ay nagbibigay sa atin ng karapatang tawagin ang puwersa F bilang puwersa ng epekto at italaga ito kasama ng simbolo, at ang salpok na S - ang salpok ng epekto at italaga ito sa simbolo. Mula dito ay sumusunod ang isang bagong kahulugan ng puwersa ng epekto. Ang puwersa ng epekto, na kumikilos sa isang materyal na punto o katawan, ay katumbas ng ratio ng pagbabago sa momentum ng materyal na punto o katawan sa oras ng pagbabagong ito.
Nababaligtad Espesyal na atensyon sa katotohanan na ang puwersa ng Newtonian lamang ang kasangkot sa pagbuo ng shock impulse (134), na nagbago sa bilis ng kotse mula sa zero na halaga hanggang sa maximum - , kaya ang equation (134) ay ganap na nabibilang sa Newtonian dynamics. Dahil mas madaling ayusin ang halaga ng bilis sa eksperimentong paraan kaysa sa mga acceleration, ang formula (134) ay napaka-maginhawa para sa mga kalkulasyon.
Ang equation (134) ay nagpapahiwatig ng hindi pangkaraniwang resulta.
Bigyang-pansin natin ang katotohanan na, ayon sa mga bagong batas ng mechanodynamics, ang generator ng puwersa ng salpok sa panahon ng pinabilis na paggalaw ng isang materyal na punto o katawan ay ang Newtonian na puwersa. Ito ay bumubuo ng isang acceleration ng paggalaw ng isang punto o katawan, kung saan ang isang inertia force ay awtomatikong umusbong, na nakadirekta sa tapat ng Newtonian force, at ang epekto ng Newtonian force ay dapat pagtagumpayan ang aksyon ng inertia force, samakatuwid ang inertia force ay dapat na kinakatawan sa ang balanse ng mga puwersa sa kaliwang bahagi ng equation (134). Dahil ang puwersa ng pagkawalang-galaw ay katumbas ng masa ng isang punto o katawan, na pinarami ng deceleration , na nabuo nito, kung gayon ang equation (134) ay nagiging
(136)
Mahal na mga mathematician! Tingnan kung anong anyo ang kinuha nito matematikal na modelo, na naglalarawan sa impact impulse, na nagpapabilis sa paggalaw ng hit body mula sa zero speed hanggang sa maximum V (11). Ngayon suriin natin ang trabaho nito sa pagtukoy ng impact impulse , na katumbas ng impact force na nagpaputok sa 2nd UGS power unit (Fig. 120), at iiwan namin sa iyo ang iyong walang kwentang equation (132). Upang hindi kumplikado ang pagtatanghal, iiwan namin ang formula (134) na mag-isa sa ngayon at gagamitin ang mga formula na nagbibigay ng mga average na halaga ng mga puwersa. Nakikita mo kung anong posisyon ang inilagay mo sa isang inhinyero na naghahanap upang malutas ang isang partikular na problema.
Magsimula tayo sa Newtonian dynamics. Nalaman ng mga eksperto na ang 2nd power unit ay tumaas sa taas na 14m. Dahil ito ay tumataas sa larangan ng grabidad, pagkatapos ay sa taas h = 14m ito potensyal na enerhiya pantay-pantay pala
at ang average na kinetic energy ay
kanin. 120. Larawan ng silid ng makina bago ang sakuna
Mula sa pagkakapantay-pantay ng kinetic (138) at potensyal (137) na mga enerhiya ay sumusunod average na bilis power unit lifting (Fig. 121, 122)
kanin. 121. Photon ng machine room pagkatapos ng kalamidad
Ayon sa mga bagong batas ng mechanodynamics, ang pagtaas ng yunit ng kuryente ay binubuo ng dalawang yugto (Larawan 123): ang unang yugto ng OA - pinabilis na pagtaas at ang pangalawang yugto ng AB - mabagal na pagtaas , , .
Ang oras at distansya ng kanilang pagkilos ay tinatayang katumbas ng (). Pagkatapos ang kinematic equation ng accelerated lifting phase ng power unit ay isusulat bilang
. (140)
kanin. 122. Tingnan ang balon ng power unit at ang power unit mismo pagkatapos ng kalamidad
Ang batas ng pagbabago sa bilis ng pag-aangat ng yunit ng kuryente sa unang yugto ay may anyo
. (141)
kanin. 123. Ang pattern ng pagbabago sa bilis V ng paglipad ng power unit
Ang pagpapalit ng oras mula sa equation (140) sa equation (141), mayroon tayo
. (142)
Ang oras ng pag-aangat ng bloke sa unang yugto ay tinutukoy mula sa formula (140)
. (143)
Kung gayon ang kabuuang oras ng pag-angat ng power unit sa taas na 14m ay magiging katumbas ng . Ang masa ng power unit at ang takip ay 2580 tonelada. Ayon sa dynamics ni Newton, ang puwersa na nag-angat sa power unit ay katumbas ng
Mahal na mga mathematician! Sinusundan namin ang iyong mga symphony mga resulta ng matematika at isulat ang iyong formula (129), na sumusunod mula sa dynamics ni Newton, upang matukoy ang shock impulse na nagpaputok sa 2nd power unit
at magtanong ng elementarya na tanong: paano matukoy ang tagal ng shock pulse na nagpaputok sa 2nd power unit????????????
mahal!!! Alalahanin kung gaano karaming tisa ang isinulat ng mga henerasyon ng iyong mga kasamahan sa mga board na pang-edukasyon, na walang humpay na nagtuturo sa mga mag-aaral kung paano matukoy ang epekto ng salpok at walang ipinaliwanag kung paano matukoy ang tagal ng epekto sa bawat partikular na kaso. Sasabihin mong ang tagal ng impact impulse ay katumbas ng agwat ng oras para sa pagpapalit ng bilis ng power unit mula zero hanggang, ipagpalagay namin, ang maximum na halaga na 16.75 m/s (139). Ito ay nasa formula (143) at katumbas ng 0.84 s. Sumasang-ayon kami sa iyo sa ngayon at tinutukoy ang average na halaga ng shock impulse
Ang tanong ay agad na lumitaw: bakit ang magnitude ng shock impulse (146) ay mas mababa kaysa sa Newtonian na puwersa na 50600 tonelada? Ang sagot, kayo, mahal na mga mathematician, hindi. Tayo ay pumunta sa karagdagang.
Ayon sa dynamics ni Newton, ang pangunahing puwersa na lumaban sa pag-angat ng power unit ay gravity. Dahil ang puwersang ito ay nakadirekta laban sa paggalaw ng power unit, ito ay bumubuo ng isang deceleration, na katumbas ng free fall acceleration. Kung gayon ang gravitational force na kumikilos sa power unit na lumilipad paitaas ay katumbas ng
Ang dynamics ng Newton ay hindi isinasaalang-alang ang iba pang mga puwersa na pumigil sa pagkilos ng Newtonian na puwersa ng 50600 tonelada (144), at ang mechanodynamics ay nagsasabing ang inertia force ay katumbas ng
Ang tanong ay agad na lumitaw: kung paano mahahanap ang laki ng deceleration ng paggalaw ng power unit? Ang dynamics ni Newton ay tahimik, at ang mechanodynamics ay sumasagot: sa sandali ng pagkilos ng Newtonian na puwersa na nag-angat sa power unit, ito ay nilabanan: gravity at inertia, kaya ang equation ng mga pwersang kumikilos sa power unit sa sandaling iyon ay nakasulat bilang mga sumusunod.