Какво е теория на вероятностите. Теория на вероятностите: формули и примери за решаване на проблеми. Теория на вероятностите. средно ниво

Какво е вероятност?

Сблъсквайки се с този термин за първи път, не бих разбрал какво е това. Така че ще се опитам да обясня по разбираем начин.

Вероятността е шансът да се случи желаното събитие.

Например, решихте да посетите приятел, да си спомните входа и дори пода, на който живее. Но забравих номера и местоположението на апартамента. И сега стоите на стълбището, а пред вас са вратите, от които да избирате.

Какъв е шансът (вероятността), ако позвъните на първата врата, вашият приятел да ви отвори? Цял апартамент, а приятел живее само зад един от тях. С еднакъв шанс можем да изберем всяка врата.

Но какъв е този шанс?

Врати, дясната врата. Вероятност за отгатване чрез звънене на първата врата: . Тоест един път от три ще познаете със сигурност.

Искаме да знаем, като се обадим веднъж, колко често ще познаем вратата? Нека разгледаме всички опции:

1. ти се обади 1-воврата
2. ти се обади 2-роврата
3. ти се обади 3-товрата

И сега помислете за всички опции, където може да бъде приятел:

а. Отзад 1-воврата
б. Отзад 2-роврата
в Отзад 3-товрата

Нека сравним всички опции под формата на таблица. Отметка показва опциите, когато изборът ви съвпада с местоположението на приятел, кръст - когато не съвпада.

Как виждаш всичко вероятно настроикиместоположението на приятел и изборът ви на коя врата да позвъните.

НО благоприятни резултати от всички . Тоест, вие ще познаете времената от, като звъннете на вратата веднъж, т.е. .

Това е вероятността - съотношението на благоприятен изход (когато изборът ви съвпадна с местоположението на приятел) към броя на възможните събития.

Определението е формулата. Вероятността обикновено се означава с p, така че:

Не е много удобно да се пише такава формула, така че да вземем за - броя на благоприятните резултати, а за - общия брой резултати.

Вероятността може да се запише като процент, за това трябва да умножите получения резултат по:

Вероятно думата „резултати“ ви е привлякла окото. Тъй като математиците наричат ​​различни действия (за нас такова действие е звънец на вратата) експерименти, е обичайно да наричаме резултата от такива експерименти резултат.

Е, резултатите са благоприятни и неблагоприятни.

Нека се върнем към нашия пример. Да кажем, че звъннахме на една от вратите, но непознат ни отвори. Не се досещахме. Каква е вероятността, ако звъннем на една от останалите врати, нашият приятел ще ни отвори?

Ако сте мислили така, значи това е грешка. Нека го разберем.

Остават ни две врати. Така че имаме възможни стъпки:

1) Обадете се на 1-воврата
2) Обадете се 2-роврата

Приятел, с всичко това, определено стои зад един от тях (все пак той не беше зад този, на когото се обадихме):

а) приятел 1-воврата
б) приятел за 2-роврата

Да начертаем отново таблицата:

Както можете да видите, има всички опции, от които - благоприятни. Тоест, вероятността е равна.

Защо не?

Ситуацията, която разгледахме е пример за зависими събития.Първото събитие е първото звънене на вратата, второто събитие е второто звънене на вратата.

И те се наричат ​​зависими, защото засягат следните действия. В крайна сметка, ако приятел отвори вратата след първото позвъняване, каква би била вероятността той да е зад някой от другите двама? Правилно, .

Но ако има зависими събития, тогава трябва да има независими? Вярно, има ги.

Пример от учебника е хвърлянето на монета.

1. Хвърляме монета. Каква е вероятността да излязат например глави? Точно така - тъй като опциите за всичко (или глави, или опашки, ние ще пренебрегнем вероятността една монета да застане на ръба), но само ни подхожда.
2. Но опашките паднаха. Добре, нека го направим отново. Каква е вероятността да изникнат глави сега? Нищо не се е променило, всичко е същото. Колко опции? две. с колко сме доволни? едно.

И нека опашките падат поне хиляда пъти подред. Вероятността да паднат глави наведнъж ще бъде същата. Винаги има варианти, но изгодни.

Разграничаването на зависими събития от независими събития е лесно:

1. Ако експериментът се проведе веднъж (веднъж хвърлена монета, звънецът на вратата звъни веднъж и т.н.), тогава събитията винаги са независими.
2. Ако експериментът се проведе няколко пъти (монета се хвърля веднъж, звънецът се звъни няколко пъти), тогава първото събитие винаги е независимо. И тогава, ако броят на благоприятните или броят на всички резултати се промени, тогава събитията са зависими, а ако не, те са независими.

Нека потренираме малко, за да определим вероятността.

Пример 1

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността да се изправят два пъти подред?

решение:

Помислете за всички възможни опции:

1. орел орел
2. опашки орел
3. опашки-орел
4. Опашки-опашки

Както можете да видите, всички опции. От тях само ние сме доволни. Това е вероятността:

Ако условието изисква просто да се намери вероятността, тогава отговорът трябва да бъде даден като десетична дроб. Ако беше посочено, че отговорът трябва да бъде даден като процент, тогава щяхме да умножим по.

Отговор:

Пример 2

В кутия с шоколадови бонбони всички бонбони са опаковани в една и съща опаковка. От сладките обаче - с ядки, коняк, череши, карамел и нуга.

Каква е вероятността да вземете един бонбон и да получите бонбон с ядки. Дайте отговора си в проценти.

решение:

Колко възможни изхода има? .

Тоест, като вземете един бонбон, той ще бъде един от тези в кутията.

И колко благоприятни резултати?

Защото кутията съдържа само шоколадови бонбони с ядки.

Отговор:

Пример 3

В кутия с топки. от които бели и черни.

1. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?
2. Добавихме още черни топки към кутията. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка сега?

решение:

а) В кутията има само топки. от които са бели.

Вероятността е:

б) Сега в кутията има топки. И остават точно толкова бели.

Отговор:

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е ().

Например в кутия с червени и зелени топки. Каква е вероятността да изтеглите червена топка? Зелена топка? Червена или зелена топка?

Вероятност за теглене на червена топка

Зелена топка:

Червена или зелена топка:

Както можете да видите, сборът от всички възможни събития е равен на (). Разбирането на тази точка ще ви помогне да решите много проблеми.

Пример 4

В кутията има флумастери: зелени, червени, сини, жълти, черни.

Каква е вероятността да не нарисувате червен маркер?

решение:

Нека преброим числото благоприятни резултати.

НЕ червен маркер, това означава зелено, синьо, жълто или черно.

Вероятност за всички събития. А вероятността от събития, които считаме за неблагоприятни (когато извадим червен флумастер) е .

По този начин, вероятността да нарисувате НЕ червен флумастер е -.

Отговор:

Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вече знаете какво са независими събития.

И ако трябва да намерите вероятността две (или повече) независими събития да се случат подред?

Да кажем, че искаме да знаем каква е вероятността, като хвърлим монета веднъж, ще видим орел два пъти?

Вече разгледахме - .

Ами ако хвърлим монета? Каква е вероятността да видите орел два пъти подред?

Общо възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-глави-опашки
3. Глава-опашка-орел
4. Глава-опашка-опашка
5. опашки-орел-орел
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Не знам за вас, но аз направих този списък погрешно веднъж. Еха! И единственият вариант (първият) ни подхожда.

За 5 ролки можете сами да направите списък с възможните резултати. Но математиците не са толкова трудолюбиви като вас.

Следователно те първо забелязаха, а след това и доказаха, че вероятността за определена последователност независими събитиявсеки път намалява с вероятността за едно събитие.

С други думи,

Помислете за примера на същата, злощастна монета.

Вероятност да се сблъскате с изпитание? . Сега хвърляме монета.

Каква е вероятността да получите опашки подред?

Това правило не работи само ако бъдем помолени да намерим вероятността едно и също събитие да се случи няколко пъти подред.

Ако искахме да намерим последователността ОПАШКА-ОРЕЛ-ОПАШКА при последователни обръщания, щяхме да направим същото.

Вероятността за получаване на опашки - , глави - .

Вероятността да се получи последователността ОПАШКИ-ОРЕЛ-ОПАШКИ-ОПАШКИ:

Можете да проверите сами, като направите таблица.

Правилото за добавяне на вероятностите за несъвместими събития.

Така че спри! Нова дефиниция.

Нека го разберем. Нека вземем нашата износена монета и я хвърлим веднъж.
Възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-глави-опашки
3. Глава-опашка-орел
4. Глава-опашка-опашка
5. опашки-орел-орел
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Така че тук са несъвместими събития, това е определена, дадена последователност от събития. са несъвместими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността за две (или повече) несъвместими събитияслед това събираме вероятностите за тези събития.

Трябва да разберете, че загубата на орел или опашка е две независими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността поредица да изпадне) (или която и да е друга), тогава използваме правилото за умножаване на вероятностите.
Каква е вероятността да получите глави при първото хвърляне и опашка при второто и третото?

Но ако искаме да знаем каква е вероятността да получим една от няколкото последователности, например, когато се появи точно веднъж, т.е. опции и тогава трябва да добавим вероятностите на тези последователности.

Общите опции ни подхождат.

Можем да получим същото, като добавим вероятностите за възникване на всяка последователност:

По този начин ние добавяме вероятности, когато искаме да определим вероятността за някои, несъвместими, поредици от събития.

Има страхотно правило, което да ви помогне да не се объркате кога да умножите и кога да добавите:

Нека се върнем към примера, когато хвърлихме монета пъти и искаме да знаем вероятността да видим глави веднъж.
Какво ще се случи?

Трябва да падне:
(глави И опашки И опашки) ИЛИ (опашки И глави И опашки) ИЛИ (опашки И опашки И глави).
И така се оказва:

Нека разгледаме няколко примера.

Пример 5

В кутията има моливи. червено, зелено, оранжево и жълто и черно. Каква е вероятността да нарисувате червени или зелени моливи?

решение:

Какво ще се случи? Трябва да извадим (червено ИЛИ зелено).

Сега е ясно, събираме вероятностите за тези събития:

Отговор:

Пример 6

Зара се хвърля два пъти, каква е вероятността да излязат общо 8?

Решение.

Как можем да получим точки?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятността да изпаднеш от едно (всяко) лице е .

Изчисляваме вероятността:

Отговор:

тренировка.

Мисля, че сега ви стана ясно кога трябва как да преброите вероятностите, кога да ги съберете и кога да ги умножите. Не е ли? Да направим малко упражнения.

задачи:

Да вземем тесте карти, в които картите са пики, сърца, 13 бухалки и 13 тамбури. От до Асо от всяка боя.

1. Каква е вероятността да изтеглим бухалки подред (поставяме първата изтеглена карта обратно в тестето и разбъркваме)?
2. Каква е вероятността да изтеглите черна карта (пика или бухалка)?
3. Каква е вероятността да изтеглите картина (вале, дама, поп или асо)?
4. Каква е вероятността да изтеглим две картини подред (махаме първата изтеглена карта от тестето)?
5. Каква е вероятността, като вземете две карти, да съберете комбинация - (Вале, Дама или Поп) и Асо Последователността, в която ще бъдат изтеглени картите, няма значение.

Отговори:

1. В тесте карти с всяка стойност това означава:
2. Събитията са зависими, тъй като след първата изтеглена карта броят на картите в тестето е намалял (както и броят на „картинките“). Общо валета, дами, попове и аса в тестето първоначално, което означава вероятността да се изтегли „картинката“ с първата карта:

   Тъй като изваждаме първата карта от тестето, това означава, че в тестето вече има останала карта, на която има снимки. Вероятност да нарисувате картина с втората карта:

   Тъй като се интересуваме от ситуацията, когато получаваме от тестето: „картина“ И „картинка“, тогава трябва да умножим вероятностите:

   Отговор:

3. След като се изтегли първата карта, броят на картите в тестето ще намалее, така че имаме две възможности:
   1) С първата карта изваждаме асо, втората - вале, дама или поп
   2) С първата карта изваждаме вале, дама или поп, втората - асо. (асо и (валет или дама или поп)) или ((вале или дама или поп) и асо). Не забравяйте да намалите броя на картите в тестето!

Ако си успял сам да решиш всички проблеми, значи си страхотен човек! Сега задачи по теория на вероятностите в изпита ще щракате като ядки!

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА. СРЕДНО НИВО

Помислете за пример. Да кажем, че хвърляме зар. Що за кост е това, знаеш ли? Това е името на куб с числа на лицата. Колко лица, толкова много числа: от до колко? Преди.

Така че хвърляме зар и искаме той да излезе с или. И изпадаме.

В теорията на вероятностите казват какво се е случило благоприятно събитие(да не се бърка с добро).

Ако изпадне, събитието също ще бъде благоприятно. Общо могат да възникнат само две благоприятни събития.

Колко лоши? Тъй като всички възможни събития, тогава неблагоприятните от тях са събития (това е, ако изпадне или).

определение:

Вероятността е съотношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.. Тоест, вероятността показва каква част от всички възможни събития са благоприятни.

Вероятността се обозначава с латинска буква (очевидно от английска думавероятност - вероятност).

Обичайно е да се измерва вероятността като процент (вижте теми и). За да направите това, стойността на вероятността трябва да се умножи по. В примера със зарове, вероятност.

И в проценти: .

Примери (решете сами):

1. Каква е вероятността хвърлянето на монета да падне върху глави? И каква е вероятността за опашки?
2. Каква е вероятността, когато се хвърля зар, четен брой? И с какво - странно?
3. В чекмедже с обикновени, сини и червени моливи. Изчертаваме на случаен принцип един молив. Каква е вероятността да извадите обикновен?

Решения:

1. Колко опции има? Глави и опашки - само две. И колко от тях са благоприятни? Само един е орел. Така че вероятността

   Същото с опашките: .

2. Общо опции: (колко страни има един куб, толкова различни опции). Благоприятни: (това са всички четни числа :).
   Вероятност. Със странно, разбира се, едно и също нещо.
3. Обща сума: . Благоприятен: . Вероятност: .

Пълна вероятност

Всички моливи в чекмеджето са зелени. Каква е вероятността да нарисувате червен молив? Няма шансове: вероятност (в края на краищата благоприятни събития -).

Такова събитие се нарича невъзможно.

Каква е вероятността да нарисувате зелен молив? Има точно толкова благоприятни събития, колкото има общо събития (всички събития са благоприятни). Така че вероятността е или.

Такова събитие се нарича сигурно.

Ако в кутията има зелени и червени моливи, каква е вероятността да нарисувате зелен или червен? Още веднъж. Обърнете внимание на следното нещо: вероятността да нарисувате зелено е равна, а червено е .

Накратко, тези вероятности са напълно равни. т.е. сумата от вероятностите на всички възможни събития е равна на или.

пример:

В кутия с моливи сред тях има сини, червени, зелени, прости, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да не рисуваш зелено?

решение:

Не забравяйте, че всички вероятности се сумират. И вероятността да нарисувате зелено е равна. Това означава, че вероятността да не нарисувате зелено е равна.

Запомнете този трик:Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Независими събития и правилото за умножение

Хвърляте монета два пъти и искате тя да излезе с глави и двата пъти. Каква е вероятността за това?

Нека да преминем през всички възможни опции и да определим колко има:

Орел-Орел, Опашки-Орел, Орел-Опашки, Опашки-Опашки. Какво друго?

Целият вариант. От тях само един ни подхожда: Орел-Орел. Значи, вероятността е равна.

Добре. Сега нека хвърлим монета. Пребройте себе си. Се случи? (отговор).

Може да сте забелязали, че с добавянето на всяко следващо хвърляне, вероятността намалява с коефициент. Общо правилоНаречен правило за умножение:

Вероятностите за независими събития се променят.

Какво представляват независимите събития? Всичко е логично: това са тези, които не зависят един от друг. Например, когато хвърляме монета няколко пъти, всеки път се прави ново хвърляне, чийто резултат не зависи от всички предишни хвърляния. Със същия успех можем да хвърлим две различни монети едновременно.

Още примери:

1. Зара се хвърля два пъти. Каква е вероятността да се появи и двата пъти?
2. Една монета се хвърля пъти. Каква е вероятността да получите първо глави и след това два пъти опашки?
3. Играчът хвърля два зара. Каква е вероятността сборът от числата върху тях да бъде равен?

Отговори:

1. Събитията са независими, което означава, че правилото за умножение работи: .
2. Вероятността за орел е равна. Вероятността за опашки също. Ние умножаваме:
3. 12 може да се получи само ако изпаднат две -ki: .

Несъвместими събития и правилото за добавяне

Несъвместими събития са събития, които се допълват с пълна вероятност. Както подсказва името, те не могат да се случат едновременно. Например, ако хвърлим монета, може да паднат или глави, или опашки.

Пример.

В кутия с моливи сред тях има сини, червени, зелени, прости, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да нарисувате зелено или червено?

Решение .

Вероятността да нарисувате зелен молив е равна. Червен - .

Благоприятни събития от всички: зелено + червено. Така че вероятността да нарисувате зелено или червено е равна.

Същата вероятност може да бъде представена в следния вид: .

Това е правилото за добавяне:вероятностите за несъвместими събития се сумират.

Смесени задачи

Пример.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността резултатът от ролките да е различен?

Решение .

Това означава, че ако главите се издигат първи, опашките трябва да са втори и обратно. Оказва се, че тук има две двойки независими събития и тези двойки са несъвместими една с друга. Как да не се объркате къде да умножите и къде да добавите.

Има едно просто правило за такива ситуации. Опитайте се да опишете какво трябва да се случи, като свържете събитията със съюзите "И" или "ИЛИ". Например в този случай:

Трябва да се търкаля (глави и опашки) или (опашки и глави).

Където има съюз "и", ще има умножение и където "или" е събиране:

Опитайте го сами:

1. Каква е вероятността две хвърляния на монета да излязат с една и съща страна и двата пъти?
2. Зара се хвърля два пъти. Каква е вероятността сумата да падне точки?

Решения:

1. (Глава нагоре и глава нагоре) или (опашка нагоре и опашка нагоре): .
2. Какви са опциите? и. Тогава:
   Навита (и) или (и) или (и): .

Друг пример:

Хвърляме монета веднъж. Каква е вероятността главите да се появят поне веднъж?

решение:

О, как не искам да сортирам опциите ... Глава-опашка-опашка, Орел-глава-опашка, ... Но не е нужно! Нека поговорим за пълната вероятност. Запомни ли си? Каква е вероятността орелът никога няма да падне? Това е просто: опашките летят през цялото време, това означава.

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Вероятността е съотношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.

Независими събития

Две събития са независими, ако настъпването на едното не променя вероятността да се случи другото.

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е ().

Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вероятността за определена последователност от независими събития е равна на произведението на вероятностите на всяко от събитията

Несъвместими събития

Несъвместими събития са тези събития, които не могат да възникнат едновременно в резултат на експеримент. Редица несъвместими събития образуват пълна група от събития.

Вероятностите за несъвместими събития се сумират.

След като описахме какво трябва да се случи, използвайки съюзите "И" или "ИЛИ", вместо "И" поставяме знака за умножение, а вместо "ИЛИ" - събиране.

ОСТАНАЛИТЕ 2/3 СТАТИИ СА ДОСТЪПНИ САМО ЗА YOUCLEVER СТУДЕНТИТЕ!

Станете ученик на YouClever,

Подгответе се за OGE или USE по математика на цената на "чаша кафе на месец",

И също така получете неограничен достъп до учебника "YouClever", подготвителната програма "100gia" (rechebnik), неограничен пробен изпити OGE, 6000 задачи с анализ на решения и към други услуги на YouClever и 100gia.

Математика за програмисти: Теория на вероятностите

Иван Камишан

Някои програмисти, след като работят в разработването на конвенционални търговски приложения, мислят да овладеят машинно обучение и да станат анализатори на данни. Често те не разбират защо определени методи работят, а повечето методи за машинно обучение изглеждат като магия. Всъщност машинното обучение се основава на математическа статистика, което от своя страна се основава на теорията на вероятностите. Ето защо в тази статия ще обърнем внимание на основните понятия на теорията на вероятностите: ще се докоснем до определенията за вероятност, разпределение и ще анализираме няколко прости примера.

Може би знаете, че теорията на вероятностите е условно разделена на 2 части. Дискретната теория на вероятностите изучава явления, които могат да бъдат описани чрез разпределение с краен (или изброим) брой възможни поведения (хвърляния на зарове, монети). Теорията на непрекъснатите вероятности изучава явления, разпределени върху някакво плътно множество, например на сегмент или в кръг.

Можете да разгледате темата за теорията на вероятностите прост пример. Представете си себе си като разработчик на стрелци. Неразделна част от развитието на игрите в този жанр е механиката на стрелбата. Ясно е, че стрелецът, в който всички оръжия стрелят абсолютно точно, няма да представлява голям интерес за играчите. Следователно е необходимо да добавите разпространение към оръжието. Но простото рандомизиране на точките за хит на оръжието няма да успее фина настройкаследователно, регулирането на баланса на играта ще бъде трудно. В същото време, използвайки произволни променливи и техните разпределения, можете да анализирате как оръжието ще работи с даден спред и да помогнете да направите необходимите корекции.

Пространство на елементарните резултати

Да предположим, че от някакъв случаен експеримент, който можем да повторим много пъти (например хвърляне на монета), можем да извлечем някаква формализираща се информация (глави или опашки). Тази информация се нарича елементарен резултат и е препоръчително да се разгледа множеството от всички елементарни резултати, често означавани с буквата Ω (Омега).

Структурата на това пространство зависи изцяло от естеството на експеримента. Например, ако разгледаме стрелба по достатъчно голяма кръгла цел, пространството на елементарните резултати ще бъде кръг, за удобство, поставен с център на нула, а резултатът ще бъде точка в този кръг.

Освен това те разглеждат набори от елементарни резултати - събития (например, удрянето в "първата десетка" е концентричен кръг с малък радиус с цел). В дискретния случай всичко е съвсем просто: можем да получим всяко събитие, включително или изключвайки елементарни резултати за крайно време. В непрекъснатия случай обаче всичко е много по-сложно: имаме нужда от достатъчно добро семейство от множества за разглеждане, наречено алгебра, по аналогия с прости реални числа, които могат да се събират, изваждат, разделят и умножават. Множествата в алгебрата могат да се пресичат и комбинират, като резултатът от операцията ще бъде в алгебрата. Това е много важно свойство за математиката зад всички тези понятия. Минималното семейство се състои само от две множества - празното множество и пространството на елементарните резултати.

Мярка и вероятност

Вероятността е начин да се правят изводи за поведението на много сложни обекти, без да се разбира как работят. По този начин вероятността се дефинира като функция на събитие (от това много добро семейство от множества), което връща число - някаква характеристика на това колко често подобно събитие може да се случи в реалността. За категоричност математиците се съгласиха, че това число трябва да лежи между нула и единица. В допълнение към тази функция се налагат изисквания: вероятността за невъзможно събитие е нула, вероятността за целия набор от резултати е единица, а вероятността за комбиниране на две независими събития (несвързани множества) е равна на сумата от вероятностите . Друго име на вероятността е вероятностна мярка. Най-често използваната мярка на Лебег, която обобщава понятията за дължина, площ, обем за всякакви измерения (n-мерен обем) и по този начин е приложима за широк клас множества.

Заедно множеството от набор от елементарни резултати, семейство от набори и вероятностна мярка се нарича вероятностно пространство. Нека да разгледаме как можем да изградим вероятностно пространство за примера за стрелба по мишена.

Помислете за стрелба по голяма кръгла мишена с радиус R, която не може да бъде пропусната. Като набор от елементарни събития поставяме кръг с център в началото на координатите на радиус R. Тъй като ще използваме областта (мярката на Лебег за двумерни множества), за да опишем вероятността за събитие, ще използваме семейството от измерими (за които съществува тази мярка) множества.

Забележка Всъщност това е техническа точка и в прости задачипроцесът на определяне на мярката и семейството от множества не играе особена роля. Но е необходимо да се разбере, че тези два обекта съществуват, тъй като в много книги по теория на вероятностите теоремите започват с думите: „ Нека (Ω,Σ,P) е вероятностно пространство...».

Както бе споменато по-горе, вероятността за цялото пространство от елементарни резултати трябва да бъде равна на единица. Площта (двумерната мярка на Лебег, която ще означаваме с λ 2 (A), където A е събитието) на кръга, според добре познатата формула от училище, е π * R 2. Тогава можем да въведем вероятността P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) и тази стойност вече ще лежи между 0 и 1 за всяко събитие A.

Ако приемем, че удрянето на която и да е точка от целта е еднакво вероятно, търсенето на вероятността за удар от стрелеца в някаква област на целта се свежда до намиране на площта на този набор (следователно можем да заключим, че вероятността да се удари конкретна точка е нула, тъй като площта на точката е нула).

Например, ние искаме да знаем каква е вероятността стрелецът да удари "десетката" (събитие A - стрелецът уцели правилния сет). В нашия модел "десет" се представя от окръжност с център нула и с радиус r. Тогава вероятността за попадане в този кръг е P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Това е една от най-простите разновидности на проблемите с "геометрична вероятност" - повечето от тези проблеми изискват намиране на област.

случайни променливи

Случайна променлива е функция, която преобразува елементарните резултати в реални числа. Например в разглеждания проблем можем да въведем случайна променлива ρ(ω) - разстоянието от точката на удар до центъра на целта. Простотата на нашия модел ни позволява да посочим изрично пространството на елементарните резултати: Ω = (ω = (x,y) числа, така че x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Тогава случайната променлива ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Средства за абстракция от вероятностното пространство. Функция на разпределение и плътност

Добре е, когато структурата на пространството е добре позната, но в действителност това не винаги е така. Дори ако структурата на пространството е известна, тя може да бъде сложна. За да се опишат случайни променливи, ако изразът им е неизвестен, съществува концепцията за функция на разпределение, която се означава с F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайна величинаξ на това събитие е по-малко от дадения параметър x .

Функцията за разпределение има няколко свойства:

1. Първо, това е между 0 и 1.
2. Второ, той не намалява, когато неговият аргумент x се увеличава.
3. Трето, когато числото -x е много голямо, функцията на разпределение е близка до 0, а когато самото x е голямо, функцията на разпределение е близка до 1.

Вероятно смисълът на тази конструкция не е много ясен на първо четене. Един от полезни свойства– функцията за разпределение ви позволява да търсите вероятността стойността да вземе стойност от интервала. И така, P (случайна променлива ξ приема стойности от интервала) = F ξ (b)-F ξ (a) . Въз основа на това равенство можем да изследваме как се променя тази стойност, ако границите a и b на интервала са близки.

Нека d = b-a , след това b = a+d . И следователно, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . За малки стойности на d, горната разлика също е малка (ако разпределението е непрекъснато). Има смисъл да се разгледа връзката p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Ако за достатъчно малки стойности на d това съотношение се различава малко от някаква константа p ξ (a) , независимо от d, тогава в този момент произволната променлива има плътност, равна на p ξ (a) .

Забележка Читателите, които преди са се сблъсквали с концепцията за производна, може да забележат, че p ξ (a) е производната на функцията F ξ (x) в точката a . Във всеки случай можете да проучите концепцията за производно в статия, посветена на тази тема на уебсайта Mathprofi.

Сега значението на функцията на разпределение може да се дефинира по следния начин: нейната производна (плътност p ξ , която дефинирахме по-горе) в точка a описва колко често произволна променлива ще попадне в малък интервал, центриран в точка a (около на точка a) в сравнение с кварталите на други точки. С други думи, колкото по-бързо расте функцията на разпределение, толкова по-вероятно е такава стойност да се появи в случаен експеримент.

Да се ​​върнем към примера. Можем да изчислим функцията на разпределение за произволна променлива, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , която обозначава разстоянието от центъра до точката на случаен удар в целта. По дефиниция F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Можем да намерим плътността p ρ на тази случайна променлива. Веднага отбелязваме, че извън интервала е нула, тъй като функцията на разпределение на този интервал е непроменена. В краищата на този интервал плътността не се определя. Вътре в интервала може да бъде намерен с помощта на таблица с производни (например от уебсайта на Mathprofi) и елементарни правила за диференциране. Производната на t2/R2 е 2t/R2. Това означава, че сме намерили плътността по цялата ос на реалните числа.

Друго полезно свойство на плътността е вероятността функцията да вземе стойност от интервал се изчислява с помощта на интеграла от плътността през този интервал (можете да разберете какво представлява в статиите за правилни, неправилни, неопределени интеграли на уебсайта Mathprofi ).

На първо четене, интегралът на обхвата на функцията f(x) може да се разглежда като площ на криволинеен трапец. Страните му са фрагмент от оста Ox, празнина (на хоризонталната координатна ос), вертикални сегменти, свързващи точките (a,f(a)), (b,f(b)) на кривата с точки (a, 0), (b,0 ) по оста x. Последната страна е фрагмент от графиката на функцията f от (a,f(a)) до (b,f(b)) . Можем да говорим за интеграла по интервала (-∞; b] , когато за достатъчно големи отрицателни стойности, a, стойността на интеграла през интервала ще се промени пренебрежимо малко в сравнение с промяната в числото a. Интегралът по интервалите се определят по подобен начин. Наръчник за технически преводач

Теория на вероятностите- има част от математиката, която изучава връзките между вероятностите (вижте Вероятност и статистика) на различни събития. Изброяваме най-важните теореми, свързани с тази наука. Вероятността за възникване на едно от няколкото несъвместими събития е равна на ... ... Енциклопедичен речник F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА- математически наука, която позволява, според вероятностите на някои случайни събития (виж), да се намерят вероятностите за случайни събития, свързани с k. l. начин с първия. Модерен телевизор въз основа на аксиоматиката (виж Аксиоматичен метод) на А. Н. Колмогоров. На… … Руска социологическа енциклопедия

Теория на вероятностите- раздел на математиката, в който според дадените вероятности на някои случайни събития се намират вероятностите на други събития, свързани по някакъв начин с първото. Теорията на вероятностите също изучава случайни променливи и случайни процеси. Един от основните…… Концепции на съвременното естествознание. Речник на основните термини

теория на вероятностите- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. теория на вероятностите вок. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теория на вероятностите, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Теория на вероятностите- ... Уикипедия

Теория на вероятностите- математическа дисциплина, която изучава моделите на случайни явления ... Началото на съвременното естествознание

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТТА- (теория на вероятностите) вижте Вероятност... Голям обяснителен социологически речник

Теория на вероятностите и нейните приложения- („Теория на вероятностите и нейните приложения“), научно списание на Департамента по математика на Академията на науките на СССР. Публикува оригинални статии и кратки съобщения по теория на вероятностите, общи проблеми на математическата статистика и тяхното приложение в естествените науки и ... ... Голяма съветска енциклопедия

Книги

• Теория на вероятностите. , Venttsel E.S. Книгата е учебник, предназначен за хора, които са запознати с математиката в рамките на обикновен гимназиален курс и се интересуват от технически приложения на теорията на вероятностите, в ... Купете за 2056 UAH (само за Украйна)
• Теория на вероятностите. , Wentzel E.S. Книгата е учебник, предназначен за хора, запознати с математиката в обхвата на редовен гимназиален курс и интересуващи се от технически приложения на теорията на вероятностите, в ...

ВЪВЕДЕНИЕ

Много неща са неразбираеми за нас, не защото понятията ни са слаби;
а защото тези неща не влизат в кръга на нашите понятия.
Козма Прутков

Основната цел на изучаването на математика в средни специализирани образователни институции е да даде на учениците набор от математически знания и умения, необходими за изучаване на други програмни дисциплини, които използват математика в една или друга степен, за способността да извършват практически изчисления, за формиране и развитие на логическото мислене.

В тази статия са представени всички основни понятия от раздела по математика "Основи на теорията на вероятностите и математическата статистика", предвидени от програмата и Държавните образователни стандарти за средно професионално образование (Министерство на образованието на Руската федерация. М., 2002 г. ), се въвеждат последователно, формулират се основните теореми, повечето от които не са доказани. Разгледани са основните задачи и методи за тяхното решаване и технологии за прилагане на тези методи при решаване на практически задачи. Презентацията е придружена от подробни коментари и множество примери.

Методическите указания могат да се използват за първоначално запознаване с изучавания материал, при водене на записки от лекции, за подготовка за практически упражнения, за затвърждаване на придобитите знания, умения и умения. В допълнение, наръчникът ще бъде полезен за студенти като референтен инструмент, който ви позволява бързо да възстановите в паметта това, което е изучавано преди.

В края на работата се дават примери и задачи, които учениците могат да изпълняват в режим на самоконтрол.

Методическите указания са предназначени за студенти от задочна и дневна форма на обучение.

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ

Теорията на вероятностите изучава обективните закономерности на масовите случайни събития. Тя е теоретична основа на математическата статистика, занимаваща се с разработването на методи за събиране, описание и обработка на резултатите от наблюдения. Чрез наблюдения (тестове, експерименти), т.е. опит в широкия смисъл на думата, има познание за явленията на реалния свят.

В практическата си дейност често се сблъскваме с явления, чийто изход не може да бъде предвиден, чийто резултат зависи от случайността.

Случайно явление може да се характеризира със съотношението на броя на неговите поява към броя на опитите, при всяко от които при едни и същи условия на всички опити то може да се случи или да не се случи.

Теорията на вероятностите е клон на математиката, в който се изучават случайни явления (събития) и се разкриват закономерности, когато се повтарят масово.

Математическата статистика е раздел на математиката, който има за предмет изучаването на методи за събиране, систематизиране, обработка и използване на статистически данни за получаване на научно обосновани заключения и вземане на решения.

В същото време статистическите данни се разбират като набор от числа, които представляват количествените характеристики на особеностите на изследваните обекти, които ни интересуват. Статистическите данни се получават в резултат на специално разработени експерименти и наблюдения.

Статистическите данни по своята същност зависят от много случайни фактори, така че математическата статистика е тясно свързана с теорията на вероятностите, която е нейната теоретична основа.

I. ВЕРОЯТНОСТ. ТЕОРЕМИ ЗА СБИРАНЕ И ВЕРОЯТНОСНО УМНОЖЕНИЕ

1.1. Основни понятия на комбинаториката

В раздела по математика, наречен комбинаторика, се решават някои проблеми, свързани с разглеждането на множествата и съставянето на различни комбинации от елементи от тези множества. Например, ако вземем 10 различни числа 0, 1, 2, 3,:, 9 и направим комбинации от тях, ще получим различни числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.н.

Виждаме, че някои от тези комбинации се различават само по реда на цифрите (например 143 и 431), други по числата, включени в тях (например 5671 и 1207), а други също се различават по броя на цифрите ( например 143 и 43).

Така получените комбинации отговарят на различни условия.

В зависимост от правилата за компилация могат да се разграничат три вида комбинации: пермутации, разположения, комбинации.

Нека първо се запознаем с концепцията факториал.

Произведението на всички естествени числа от 1 до n включително се нарича n-факторен и пиши.

Изчислете: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) както и , тогава можете да го извадите от скоби

Тогава получаваме

в) .

Пермутации.

Комбинация от n елемента, които се различават един от друг само по реда на елементите, се нарича пермутация.

Пермутациите се обозначават със символа P n , където n е броят на елементите във всяка пермутация. ( Р- първата буква на френската дума пермутация- пермутация).

Броят на пермутациите може да се изчисли по формулата

или с факториал:

Нека си припомним това 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. По колко начина могат да бъдат подредени шест различни книги на един рафт?

Решение. Желаният брой начини е равен на броя на пермутациите на 6 елемента, т.е.

Настаняване.

Разположения от мелементи в нвъв всеки се наричат ​​такива съединения, които се различават едно от друго или по самите елементи (поне един), или по реда от местоположението.

Местоположенията са обозначени със символа , където ме броят на всички налични елементи, не броят на елементите във всяка комбинация. ( НО-първа буква на френската дума подреждане, което означава "поставяне, привеждане в ред").

В същото време се предполага, че nm

Броят на разположенията може да се изчисли по формулата

,

тези. броя на всички възможни разположения от мелементи от не равно на продукта нпоследователни цели числа, от които по-голямото е м.

Записваме тази формула във факториална форма:

Пример 3. Колко варианта за разпределяне на три ваучера в санаториум от различни профили могат да бъдат направени за петима кандидати?

Решение. Желаният брой опции е равен на броя на разположенията на 5 елемента по 3 елемента, т.е.

.

Комбинации.

Комбинациите са всички възможни комбинации от мелементи от н, които се различават един от друг с поне един елемент (тук ми н-естествени числа и nm).

Брой комбинации от мелементи от нсе обозначават ( С- първата буква на френската дума комбинация- комбинация).

Като цяло, броят на мелементи от нравен на броя на разположенията от мелементи от нразделено на броя на пермутациите от нелементи:

Използвайки факториални формули за номера на разположение и пермутация, получаваме:

Пример 4. В екип от 25 души трябва да разпределите четирима за работа в определена област. По колко начина може да стане това?

Решение. Тъй като реда на избраните четирима души няма значение, това може да стане по начини.

Намираме по първата формула

.

Освен това при решаване на задачи се използват следните формули, които изразяват основните свойства на комбинациите:

(по дефиниция и се предполагат);

.

1.2. Решаване на комбинаторни задачи

Задача 1. Във факултета се изучават 16 учебни предмета. В понеделник трябва да поставите 3 предмета в графика. По колко начина може да стане това?

Решение. Има толкова много начини да планирате три елемента от 16, колкото има разположения на 16 елемента от по 3 всеки.

Задача 2. От 15 обекта трябва да бъдат избрани 10 обекта. По колко начина може да стане това?

Задача 3. В състезанието участваха четири отбора. Колко варианта за разпределение на местата между тях са възможни?

.

Задача 4. По колко начина може да се сформира патрул от трима войника и един офицер, ако има 80 войника и 3 офицери?

Решение. Войник в патрул може да бъде избран

начини и офицерски пътища. Тъй като всеки офицер може да отиде с всеки екип от войници, има само начини.

Задача 5. Намерете дали е известно, че .

Тъй като получаваме

,

,

По дефиниция на комбинацията следва, че , . Че. .

1.3. Концепцията за случайно събитие. Типове събития. Вероятност за събитие

Всяко действие, явление, наблюдение с няколко различни резултата, реализирано при даден набор от условия, ще се нарича тест.

Резултатът от това действие или наблюдение се нарича събитие .

Ако дадено събитие при дадени условия може да се случи или да не се случи, то се нарича произволен . В случай, че определено събитие трябва да се случи, то се нарича автентичен , и в случай, когато това със сигурност не може да се случи, - невъзможен.

Събитията се наричат несъвместими ако само един от тях може да се появява всеки път.

Събитията се наричат става ако при дадените условия настъпването на едно от тези събития не изключва появата на другото в същия тест.

Събитията се наричат противоположно , ако при условията на теста те, като единствените му резултати, са несъвместими.

Събитията обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука: A, B, C, D, : .

Пълна система от събития A 1 , A 2 , A 3 , : , A n е набор от несъвместими събития, настъпването на поне едно от които е задължително за даден тест.

Ако една пълна система се състои от две несъвместими събития, тогава такива събития се наричат ​​противоположни и се означават с A и .

Пример. В кутия има 30 номерирани топки. Определете кои от следните събития са невъзможни, сигурни, противоположни:

получи номерирана топка (НО);

изтеглете топка с четен номер (AT);

изтеглена топка с нечетно число (С);

получи топка без номер (Д).

Кои от тях образуват пълна група?

Решение . НО- определено събитие; д- невъзможно събитие;

В и С- противоположни събития.

Пълната група от събития е НОи Д, Ви С.

Вероятността за събитие се разглежда като мярка за обективната възможност за настъпване на случайно събитие.

1.4. Класическата дефиниция на вероятността

Нарича се числото, което е израз на мярката за обективната възможност за настъпване на събитие вероятност това събитие и се обозначава със символа P(A).

Определение. Вероятност за събитие НОе съотношението на броя на резултатите m, които благоприятстват настъпването на дадено събитие НО, към номера нвсички резултати (несъвместими, уникални и еднакво възможни), т.е. .

Следователно, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, след като се разгледат различните резултати от теста, да се изчислят всички възможни несъвместими резултати н,изберете броя на резултатите, които ни интересуват m и изчислете съотношението мда се н.

Следните свойства следват от това определение:

Вероятността за всеки опит е неотрицателно число, което не надвишава единица.

Всъщност броят m на желаните събития се намира в рамките на . Разделяне на двете части на н, получаваме

2. Вероятността за определено събитие е равна на единица, т.к .

3. Вероятността за невъзможно събитие е нула, защото .

Задача 1. От 1000 билета в лотарията има 200 печеливши. Един билет се тегли на случаен принцип. Каква е вероятността този билет да спечели?

Решение. Общият брой на различните резултати е н=1000. Броят на изходите в полза на победата е m=200. По формулата получаваме

.

Задача 2. В партида от 18 части има 4 дефектни. 5 броя се избират на случаен принцип. Намерете вероятността две от тези 5 части да са дефектни.

Решение. Брой на всички еднакво възможни независими резултати не равно на броя на комбинациите от 18 до 5 т.е.

Нека изчислим числото m, което благоприятства събитието A. Сред 5-те произволно избрани части трябва да има 3 висококачествени и 2 дефектни. Броят начини за избор на две дефектни части от 4 налични дефектни части е равен на броя на комбинациите от 4 до 2:

Броят начини за избор на три качествени части от 14 налични качествени части е равен на

.

Всяка група качествени части може да се комбинира с всяка група дефектни части, така че общият брой комбинации ме

Желаната вероятност за събитие A е равна на съотношението на броя на резултатите m, които благоприятстват това събитие, към броя n на всички еднакво възможни независими резултати:

.

Сборът от краен брой събития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тях.

Сборът от две събития се обозначава със символа A + B, а сумата нсимвол за събития A 1 +A 2 + : +A n .

Теорема за събиране на вероятности.

Вероятността за сбора на две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Следствие 1. Ако събитието А 1 , А 2 , : , А n образува пълна система, тогава сумата от вероятностите на тези събития е равна на единица.

Следствие 2. Сборът от вероятностите за противоположни събития и е равен на единица.

.

Задача 1. Има 100 лотарийни билета. Известно е, че 5 билета получават печалба от 20 000 рубли, 10 - 15 000 рубли, 15 - 10 000 рубли, 25 - 2 000 рубли. и нищо за останалото. Намерете вероятността закупеният билет да спечели най-малко 10 000 рубли.

Решение. Нека A, B и C са събития, състоящи се в това, че върху закупения билет се пада награда от 20 000, 15 000 и 10 000 рубли. тъй като събитията A, B и C са несъвместими, тогава

Задача 2. Кореспондентският отдел на техникума получава тестове по математика от градовете А, Би С. Вероятността за получаване на контролна работа от града НОравно на 0,6, от града AT- 0,1 Намерете вероятността следващата контролна работа да дойде от града С.

Най-простият пример за връзка между две събития е причинно-следствената връзка, когато настъпването на едно от събитията непременно води до настъпване на другото, или обратно, когато настъпването на едното изключва възможността за възникване на другото.

За да се характеризира зависимостта на едни събития от други, се въвежда понятието условна вероятност.

Определение. Нека бъде НОи AT- две случайни събития от един и същи тест. След това условната вероятност за събитието НОили вероятността за събитие А, при условие че е настъпило събитие В, се нарича число.

Означавайки условната вероятност, получаваме формулата

, .

Задача 1. Изчислете вероятността в семейство с едно момченце да се роди второ момче.

Решение. Нека събитието НОсе състои в това, че в семейството има две момчета, и събитието AT- това едно момче.

Обмислете всички възможни резултати: момче и момче; момче и момиче; момиче и момче; момиче и момиче.

Тогава , и по формулата намираме

.

Събитие НОНаречен независими от събитието ATако настъпването на събитието ATняма ефект върху вероятността от настъпване на събитие НО.

Теорема за умножение на вероятностите

Вероятността за едновременно възникване на две независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

Вероятността за възникване на няколко събития, които са независими в съвкупността, се изчислява по формулата

Задача 2. Първата урна съдържа 6 черни и 4 бели топки, втората урна съдържа 5 черни и 7 бели топки. От всяка урна се изтегля една топка. Каква е вероятността и двете топки да са бели.

А и ATима събитие АБ. следователно,

б) Ако първият елемент работи, тогава възниква събитие (обратно на събитието НО- повреда на този елемент); ако вторият елемент работи - събитие AT.Намерете вероятностите за събития и:

Тогава събитието, състоящо се във факта, че и двата елемента ще работят, е и следователно,