Основната задача на диференциалното смятанее да се намери производната f'(х)или диференциал df=f'(х)dxфункции f(х).В интегралното смятане се решава обратната задача. от дадена функция f(х) е необходимо да се намери такава функция F(х),Какво F'(x)=f(х)или dF(x)=F'(х)dx=f(х)dx.
По този начин, основна задача на интегралното смятанее възстановителна функция F(х)чрез известната производна (диференциал) на тази функция. Интегралното смятане има множество приложения в геометрията, механиката, физиката и технологиите. Той дава общ метод за намиране на площи, обеми, центрове на тежестта и др.
Определение. ФункцияF(x), се нарича първообразна за функциятаf(x) на множеството X, ако е диференцируемо за всяко иF'(x)=f(х) илиdF(x)=f(х)dx.
Теорема. Всяка непрекъсната на интервала [а;b] функцияf(x) има антипроизводна на този сегментF(x).
Теорема. АкоF 1 (х) иF 2 (x) са две различни анти-производни на една и съща функцияf(x) на множеството x, тогава те се различават един от друг с постоянен член, т.е.F 2 (x)=F1х)+C, където C е константа.
- Неопределен интеграл, неговите свойства.
Определение. АгрегатF(х)+C на всички антидериватиf(x) върху множеството X се нарича неопределен интеграл и се означава:
- (1)Във формула (1) f(х)dxНаречен интегрална функция,f(x) е интегралната величина, x е интегриращата променлива,а C е константа на интегриране.
Не смятайте имотите определен интегралследващо от дефиницията му.
1. Производно от неопределен интеграле равно на подинтеграла, диференциалът на неопределения интеграл е равен на подинтеграла:
и .2. Неопределеният интеграл от диференциала на някаква функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:
3. Постоянният фактор a (a≠0) може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл:
4. Неопределеният интеграл от алгебричния сбор на краен брой функции е равен на алгебричния сбор от интегралите на тези функции:
5. АкоF(х) - първопроизводна на функция f(x), тогава:
6 (инвариантност на интегриращите формули). Всяка формула за интегриране запазва формата си, ако интегриращата променлива е заменена с която и да е диференцируема функция на тази променлива:
къдетоu е диференцируема функция.
- Таблица на неопределените интеграли.
Да донесем основни правила за интегриране на функции.
Да донесем таблица на основните неопределени интеграли.(Обърнете внимание, че тук, както в диференциално смятане, писмо uможе да се нарече независима променлива (u=х), и функция на независимата променлива (u=u(х)).)
(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).
Интеграли 1 - 17 се наричат табличен.
Някои от горните формули на таблицата на интегралите, които нямат аналог в таблицата на производните, се проверяват чрез диференциране на десните им страни.
- Промяна на променливата и интегриране по части в неопределения интеграл.
Интегриране чрез заместване (смяна на променлива). Нека се изисква да се изчисли интегралът
, което не е таблично. Същността на метода на заместване е, че в интеграла променливата хзамени променливата тспоред формулата x=φ(т),където dx=φ'(т)dt.Теорема. Нека функциятаx=φ(t) е дефиниран и диференцируем върху някакво множество T и нека X е наборът от стойности на тази функция, върху който е дефинирана функциятаf(х). Тогава, ако на множеството X функциятаf(
Тези свойства се използват за извършване на трансформации на интеграла с цел привеждането му до един от елементарните интеграли и по-нататъшно изчисление.
1. Производната на неопределения интеграл е равна на интеграла:
2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интеграла:
3. Неопределеният интеграл от диференциала на някаква функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:
4. От интегралния знак може да се извади постоянен коефициент:
Освен това a ≠ 0
5. Интегралът от сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) от интегралите:
6. Имотът е комбинация от свойства 4 и 5:
Освен това a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Свойството на инвариантност на неопределения интеграл:
Ако, тогава
8. Имот:
Ако, тогава
Всъщност този имот е специален случайинтеграция с помощта на метода за промяна на променливата, който е разгледан по-подробно в следващия раздел.
Помислете за пример:
Първо приложихме свойство 5, след това свойство 4, след това използвахме таблицата с анти-производни и получихме резултата.
Алгоритъмът на нашия онлайн интегрален калкулатор поддържа всички изброени по-горе свойства и може лесно да бъде намерен подробно решениеза вашия интеграл.
При диференциалното смятане проблемът се решава: при дадената функция ƒ(x) намерете нейната производна(или диференциал). Интегралното изчисление решава обратната задача: да се намери функцията F (x), като се знае нейната производна F "(x) \u003d ƒ (x) (или диференциал). Желаната функция F (x) се нарича антипроизводна на функцията ƒ (x).
Извиква се функцията F(x). примитивенфункция ƒ(x) на интервала (a; b), ако за всяко x є (a; b) равенството
F " (x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).
например, антипроизводната функция y = x 2, x є R е функция, тъй като
Очевидно антидериватите също ще имат всякакви функции
където C е константа, тъй като
Теорема 29. 1. Ако функцията F(x) е антипроизводна на функцията ƒ(x) на (a;b), тогава множеството от всички антипроизводни за ƒ(x) се дава с формулата F(x)+ C, където C е постоянно число.
▲ Функцията F(x)+C е първопроизводната на ƒ(x).
Наистина, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).
Нека F(x) е някаква друга, различна от F(x), антипроизводна функция ƒ(x), т.е. Ф "(x)=ƒ(x). Тогава за всяко x є (a; b) имаме
А това означава (виж следствие 25.1), че
където C е постоянно число. Следователно Ф(х)=F(x)+С.▼
Извиква се множеството от всички примитивни функции F(x)+C за ƒ(x). неопределен интеграл от функцията ƒ(x)и се обозначава със символа ∫ ƒ(x) dx.
Така че по дефиниция 
∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Тук се извиква ƒ(x). интегрална функция, ƒ(x)dx — интегрална функция,Х - интеграционна променлива, ∫ -неопределен интегрален знак.
Операцията за намиране на неопределен интеграл от функция се нарича интегриране на тази функция.
Геометрично неопределеният интеграл е семейство от "успоредни" криви y \u003d F (x) + C (всяка числова стойност на C съответства на определена крива от семейството) (виж Фиг. 166). Графиката на всяка антипроизводна (крива) се нарича интегрална крива.
Всяка функция има ли неопределен интеграл?
Има теорема, която гласи, че „всяка функция, непрекъсната на (a; b), има първопроизводна на този интервал“, и следователно, неопределен интеграл.
Отбелязваме редица свойства на неопределения интеграл, които следват от неговото определение.
1. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интеграла, а производната на неопределения интеграл е равна на интеграла:
д(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).
Наистина, d (∫ ƒ (x) dx) = d (F (x) + C) = dF (x) + d (C) = F "(x) dx = ƒ (x) dx
(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).
Благодарение на това свойство, коректността на интегрирането се проверява чрез диференциране. Например, равенство
∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C
вярно, тъй като (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.
2. Неопределеният интеграл от диференциала на някаква функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:
∫dF(x)=F(x)+C.
Наистина ли,
3. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:
α ≠ 0 е константа.
Наистина ли,
(поставете C 1 / a \u003d C.)
4. Неопределеният интеграл от алгебричния сбор на краен брой непрекъснати функции е равен на алгебричния сбор от интегралите на членовете на функциите:
Нека F"(x)=ƒ(x) и G"(x)=g(x). Тогава
където C 1 ± C 2 \u003d C.
5. (Инвариантност на формулата за интегриране).
Ако 
, където u=φ(x) е произволна функция, която има непрекъсната производна.
▲ Нека x е независима променлива, ƒ(x) - непрекъсната функцияи F(x) е негова първопроизводна. Тогава
Нека сега да зададем u=φ(x), където φ(x) е непрекъснато диференцируема функция. Да разгледаме комплексна функция F(u)=F(φ(x)). Поради инвариантността на формата на първия диференциал на функцията (вж. стр. 160) имаме
От тук ▼
По този начин формулата за неопределения интеграл остава валидна независимо дали променливата за интегриране е независима променлива или която и да е функция от нея, която има непрекъсната производна.
И така, от формулата 
като заменим x с u (u=φ(x)) получаваме 
По-специално,
Пример 29.1.Намерете интеграла 
където C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.
Пример 29.2.Намерете интегрално решение:
- 29.3. Таблица на основните неопределени интеграли
Възползвайки се от факта, че интегрирането е обратното на диференцирането, може да се получи таблица с основни интеграли чрез обръщане на съответните формули на диференциалното смятане (таблица на диференциалите) и използване на свойствата на неопределения интеграл.
например, като
d(sin u)=cos u . ду,
Извеждането на редица таблични формули ще бъде дадено при разглеждане на основните методи за интегриране.
Интегралите в таблицата по-долу се наричат таблични интеграли. Те трябва да се знаят наизуст. В интегралното смятане няма прости и универсални правила за намиране на антипроизводни от елементарни функции, както при диференциалното смятане. Методите за намиране на антипроизводни (т.е. интегриране на функция) се свеждат до посочване на методи, които привеждат даден (желан) интеграл към табличен. Следователно е необходимо да се познават табличните интеграли и да могат да се разпознават.
Обърнете внимание, че в таблицата на основните интеграли променливата за интегриране и може да означава както независима променлива, така и функция на независима променлива (според свойството на инвариантност на формулата за интегриране).
Валидността на формулите по-долу може да се провери, като се вземе диференциалът от дясната страна, който ще бъде равен на интеграла от лявата страна на формулата.
Нека докажем, например, валидността на формула 2. Функцията 1/u е дефинирана и непрекъсната за всички ненулеви стойности на u.
Ако u > 0, тогава ln|u|=lnu, тогава 
Така
Ако у<0, то ln|u|=ln(-u). Но
Средства
Така че формула 2 е вярна. По същия начин, нека проверим формула 15:
Таблица на основните интеграли
Приятели! Каним ви да обсъдим. Ако имате мнение, пишете ни в коментарите.
Антипроизводна и неопределен интеграл.
Антипроизводна функция f(x) на интервала (a; b) е такава функция F(x), че равенството важи за всяко x от даден интервал.
Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството 
. Така функцията f(x) има набор от антипроизводни F(x)+C, за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна константна стойност.
Целият набор от първопроизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се обозначава 
.
Изразът се нарича интегрална функция, а f(x) се нарича интегрална функция. Интегралната функция е диференциалът на функцията f(x).
Действието за намиране на неизвестна функция чрез дадения й диференциал се нарича неопределено интегриране, тъй като резултатът от интегрирането не е една функция F(x), а множеството от нейните първопроизводни F(x)+C.
Таблица интеграли
Най-простите свойства на интегралите
1. Производната на резултата от интегрирането е равна на подинтегралната функция.
2. Неопределеният интеграл от диференциала на функция е равен на сумата от самата функция и произволна константа.
3. Коефициентът може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.
4. Неопределеният интеграл от сбора/разликата на функциите е равен на сбора/разликата от неопределените интеграли от функции.
За пояснение са дадени междинни равенства на първото и второто свойство на неопределения интеграл.
За да се докажат третото и четвъртото свойство, достатъчно е да се намерят производните на десните страни на равенствата:
Тези производни са равни на интегралните числа, което е доказателство по силата на първото свойство. Използва се и при последните преходи.
По този начин проблемът с интеграцията е обратният проблем на диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:
първото свойство позволява проверка на интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, достатъчно е да изчислите производната на получения резултат. Ако функцията, получена в резултат на диференциране, се окаже равна на интеграла, тогава това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;
второто свойство на неопределения интеграл ни позволява да намерим неговата антипроизводна от известния диференциал на функция. Директното изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.
1.4 Инвариантност на интеграционните форми.
Инвариантното интегриране е вид интегриране за функции, чиито аргументи са елементи от група или точки от хомогенно пространство (всяка точка от такова пространство може да бъде прехвърлена на друга чрез дадено действие на групата).
функцията f(x) се свежда до изчисляването на интеграла от диференциалната форма f.w, където
По-долу е дадена изрична формула за r(x). Условието на споразумението има формата 
.
тук Tg означава операторът на смяна на X, използващ gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Нека X=G е топология, група, действаща сама върху себе си чрез изместване вляво. Аз и. съществува тогава и само ако G е локално компактен (в частност, на безкрайномерни групи, едно int. не съществува). За подмножество от I. и. характеристична функция cA (равна на 1 на A и 0 извън A) дефинира лявата мярка на Хаар m(A). Определящото свойство на тази мярка е нейната инвариантност спрямо леви измествания: m(g-1A)=m(A) за всички gОG. Лявата мярка на Хаар върху група е еднозначно дефинирана до определен скаларен фактор. Ако мярката на Хаар m е известна, тогава I. и. функцията f се дава по формулата 
. Правилната мярка на Хаар има подобни свойства. Съществува непрекъснат хомоморфизъм (преобразуване, което запазва свойството на групата) DG на групата G в групата (по отношение на умножението) поставена. числа за които
където dmr и dmi са дясната и лявата мерки на Хаар. Извиква се функцията DG(g). модул на групата G. Ако , тогава групата G се нарича. унимодуларен; в този случай дясната и лявата мерки на Хаар са еднакви. Компактните, полупрости и нилпотентни (в частност комутативни) групи са унимодуларни. Ако G е n-мерна група на Ли и q1,...,qn е база в пространството на ляво-инвариантните 1-форми на G, тогава лявата мярка на Хаар на G се дава от n-формата . В местни координати за изчисление
форми qi, можете да използвате всякаква реализация на матрица на групата G: матрицата 1-форма g-1dg е ляво-инвариантна, а нейният коеф. са лявоинвариантни скаларни 1-форми, от които се избира желаната основа. Например, пълната матрична група GL(n, R) е унимодуларна и мярката на Хаар върху нея се дава чрез форма. Нека бъде 
X=G/H е хомогенно пространство, за което локално компактната група G е трансформационна група, а затворената подгрупа H е стабилизатор на някаква точка. За да съществува I.I. на X, е необходимо и достатъчно равенството DG(h)=DH(h) да важи за всички hОH. По-специално, това е вярно, когато H е компактен или полупрост. Пълна теория на И. и. не съществува на безкрайномерни многообразия.
Промяна на променливи.
В тази статия изброяваме основните свойства на определен интеграл. Повечето от тези свойства са доказани въз основа на концепциите на Риман и Дарбу за определен интеграл.
Изчисляването на определения интеграл много често се извършва с помощта на първите пет свойства, така че ще се позоваваме на тях, когато е необходимо. Останалите свойства на определения интеграл се използват главно за оценка на различни изрази.
Преди да преминете към основни свойства на определен интеграл, ние сме съгласни, че a не надвишава b.
За функцията y = f(x) , дефинирана за x = a , равенството е вярно.
Тоест стойността на определения интеграл със същите граници на интегриране е нула. Това свойство е следствие от дефиницията на интеграла на Риман, тъй като в този случай всяка интегрална сума за всяко деление на интервала и всеки избор на точки е равна на нула, тъй като следователно границата на интегралните суми е нула.
За функция, интегрируема на сегмент, имаме 
.
С други думи, когато горната и долната граница на интегриране са обърнати, стойността на определения интеграл се обръща. Това свойство на определен интеграл произтича и от концепцията за интеграла на Риман, само номерирането на разделянето на отсечка трябва да започва от точката x = b.
за функции y = f(x) и y = g(x), интегрируеми на интервал.
Доказателство.
Записваме интегралната сума на функцията 
за дадено разделяне на сегмента и даден избор на точки: 
където и са интегралните суми на функциите y = f(x) и y = g(x) за дадено разделяне на отсечката, съответно.
Преминаване до предела при 
получаваме, че според дефиницията на интеграла на Риман е еквивалентно на твърдението за доказваното свойство.
Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на определен интеграл. Тоест за функция, интегрируема на отсечка y = f(x) и произволно число k, равенството 
.
Доказателството за това свойство на определен интеграл е абсолютно подобно на предишното: 
Нека функцията y = f(x) е интегрируема на интервала X , и 
и тогава 
.
Това свойство е валидно и за двете и за или .
Доказателството може да се извърши въз основа на предишните свойства на определения интеграл.
Ако функцията е интегрируема в сегмент, тогава тя е интегрируема и във всеки вътрешен сегмент.
Доказателството се основава на свойството на сумите на Дарбу: ако към съществуващото разделяне на сегмента се добавят нови точки, тогава долната сума на Дарбу няма да намалее, а горната няма да се увеличи.
Ако функцията y = f(x) е интегрируема на интервала и за всяка стойност на аргумента, тогава 
.
Това свойство се доказва чрез дефиницията на интеграла на Риман: всяка интегрална сума за произволен избор на точки на разделяне на отсечката и точки в ще бъде неотрицателна (не положителна).
Последица.
За функции y = f(x) и y = g(x), интегрируеми на интервал, са валидни следните неравенства: 
Това твърдение означава, че интегрирането на неравенствата е допустимо. Ще използваме това следствие, за да докажем следните свойства.
Нека функцията y = f(x) е интегрируема на отсечката , тогава неравенството 
.
Доказателство.
Очевидно е, че 
. В предишното свойство открихме, че неравенството може да се интегрира член по член, следователно е вярно 
. Това двойно неравенство може да се запише като .
Нека функциите y = f(x) и y = g(x) са интегрируеми на интервала и за всяка стойност на аргумента, тогава 
, където 
и .
Доказателството се извършва по подобен начин. Тъй като m и M са най-малките и най-големите стойности на функцията y = f(x) на сегмента, тогава 
. Умножаването на двойното неравенство по неотрицателната функция y = g(x) ни води до следното двойно неравенство. Интегрирайки го на сегмента, стигаме до твърдението, което трябва да бъде доказано.
Последица.
Ако вземем g(x) = 1, тогава неравенството приема формата 
.
Първата формула за средната стойност.
Нека функцията y = f(x) е интегрируема на отсечката, и , тогава има число, такова, че 
.
Последица.
Ако функцията y = f(x) е непрекъсната на сегмента , тогава има число, такова, че 
.
Първата формула на средната стойност в обобщен вид.
Нека функциите y = f(x) и y = g(x) са интегрируеми на интервала , и , и g(x) > 0 за всяка стойност на аргумента. Тогава има число такова, че 
.
Втората формула за средната стойност.
Ако на сегмент функцията y = f(x) е интегрируема и y = g(x) е монотонна, тогава съществува число, такова, че равенството 
.