Matematiksel fizik problemlerini incelemek için güçlü araçlardan biri, integral dönüşüm yöntemidir. f(x) fonksiyonunun (a, 6), sonlu veya sonsuz aralığında tanımlanmasına izin verin. f(x) fonksiyonunun integral dönüşümü, K(x, w)'nin dönüşüm çekirdeği adı verilen belirli bir dönüşüm için sabitlenmiş bir fonksiyon olduğu işlevdir (integralin (*) kendi uygun veya yanlış anlamında var olduğu varsayılır) ). §bir. Fourier integrali [-f, I] segmentinde bir Fourier serisine genişleme koşullarını sağlayan herhangi bir f(x) fonksiyonu, bu segmentte bir trigonometrik seri ile temsil edilebilir. : Fourier dönüşümü Fourier integrali Karmaşık integral formu Fourier dönüşümü Kosinüs ve sinüs dönüşümleri Genlik ve faz spektrumları Uygulama özellikleri Denklemin (1) sağındaki seri farklı bir biçimde yazılabilir. Bu amaçla, formüllerden (2) a» ve op katsayılarının değerlerini, cos ^ x ve sin x integrallerini alarak (entegrasyon değişkeni m olduğu için mümkündür) O) ve kullanarak tanıtıyoruz. farkın kosinüsü için formül. /(x) işlevi orijinal olarak [-1,1] aralığından daha büyük sayısal eksen aralığında tanımlandıysa (örneğin, tüm eksende), o zaman genişletme (3) değerleri yeniden üretecektir bu fonksiyonun sadece [-1, 1] aralığında ve tüm gerçek eksende 21 periyotlu periyodik bir fonksiyon olarak devam etmesi (Şekil 1). Bu nedenle, f(x) işlevi (genel olarak periyodik olmayan) tüm gerçek eksende tanımlanmışsa, formül (3)'te I + oo olarak sınıra geçilmeye çalışılabilir. Bu durumda, aşağıdaki koşulların karşılanması doğaldır: 1. f(x), Ox\ ekseninin herhangi bir sonlu parçası üzerinde bir Fourier serisine genişleme koşullarını karşılar 2. f(x) işlevi kesinlikle tüm gerçek eksen üzerinde integrallenebilir.(3) I -* + oo olarak sıfıra eğilimlidir. Nitekim (3)'ün sağındaki toplamın I + oo olarak limitte nereye gideceğini belirlemeye çalışalım. O zaman (3)'ün sağ tarafındaki toplamın şu şekli alacağını varsayalım İntegralin mutlak yakınsaması nedeniyle, bu büyük I için toplam, fonksiyonun integral toplamına benzeyen bir ifadeden çok az farklıdır. (0, + oo) değişim aralığı için derlenen £ değişkeni Bu nedenle, (5) toplamının С integraline gitmesini beklemek doğaldır. ) eşitliği de elde ettiğimizi Formül (7)'nin geçerliliği için yeterli koşul aşağıdaki teorem ile ifade edilir. Teorem 1. Eğer f(x) fonksiyonu tüm gerçek eksende kesinlikle integrallenebilirse ve türeviyle birlikte herhangi bir parça [a, 6] üzerinde birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktalarına sahipse, o zaman üçüncü tür /(x) fonksiyonunun, (7)'nin sağ tarafındaki integralin değeri Formül (7)'ye eşittir, buna Fourier integral formülü, sağ tarafındaki integrale Fourier integrali denir. Farkın kosinüs günü için formülü kullanırsak, formül (7) şu şekilde yazılabilir: a(t), b(t) fonksiyonları, 2n-periyodik bir a(t)'nin karşılık gelen Fourier katsayıları an ve bn'nin analoglarıdır. fonksiyon, ancak ikincisi n'nin ayrık değerleri için tanımlanırken, a(0> HO, sürekli G(-oo, +oo) değerleri için tanımlanır) Fourier integralinin karmaşık formu f(x) Varsayalım x ekseninin tamamında kesinlikle integral alınabilmesi için, integrali, açıkça tek bir fonksiyon olarak kabul ediyoruz. Öte yandan, integral, değişkenin çift bir fonksiyonudur, bu nedenle, Fourier integral formülü aşağıdaki gibi yazılabilir. : Eşitliği hayali birim i ile çarpalım ve eşitliğe (10) ekleyelim.Bu, Fourier integralinin karmaşık şeklidir.Burada, t üzerindeki dış entegrasyon, Cauchy ana değeri anlamında anlaşılmaktadır: § 2 Fourier dönüşümü Kosinüs ve sinüs Fourier dönüşümleri f(x) doğrusu, x ekseninin herhangi bir sonlu parçası üzerinde parçalı düzgündür ve tüm eksen üzerinde kesinlikle integrallenebilir. Tanım. Euler formülü sayesinde elde edeceğimiz fonksiyona f(r) fonksiyonunun Fourier dönüşümü (spektral fonksiyon) denir. Bu, / (r) fonksiyonunun (-oo, + oo) aralığında bir çekirdek ile integral dönüşümüdür Fourier integral formülünü kullanarak elde ederiz Bu, F'den geçişi veren ters Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. (t) ila / (x). Bazen doğrudan Fourier dönüşümü şu şekilde verilir: Daha sonra ters Fourier dönüşümü aşağıdaki formülle belirlenir. /(g) fonksiyonunun Fourier dönüşümü de şu şekilde tanımlanır: FOURIER DÖNÜŞÜM Fourier integrali İntegralin karmaşık formu Fourier dönüşümü Kosinüs ve sinüs Dönüşüm Genlik ve faz spektrumlarının Uygulama özellikleri Ardından, bu durumda, ^ faktörünün konumu oldukça keyfidir: formül (1") veya formül (2") girebilir. Örnek 1. -4 fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulun Elimizde Bu eşitlik, integral işareti altında £'ya göre türev almayı kabul eder (türevden sonra elde edilen integral, ( herhangi bir sonlu parçaya ait olduğunda): nereden alırız (C entegrasyon sabitidir). (4)'te £ = 0 ayarlayarak, С = F(0) buluruz. (3) sayesinde, özellikle şunu elde ettiğimiz için bilinir: Fonksiyon 4'ü ele alalım. F(t) fonksiyonunun spektrumu için, Buradan elde ederiz (Şekil 2). f(x) fonksiyonunun gerçek eksenin tamamında mutlak integrallenebilirlik koşulu çok katıdır. Örneğin, Fourier dönüşümünün (burada ele alınan klasik formda) mevcut olmadığı f(x) = e1 gibi temel fonksiyonları hariç tutar. Yalnızca bu işlevler, |x| için yeterince hızlı sıfıra eğilimli bir Fourier dönüşümüne sahiptir. -+ +oo (örnek 1 ve 2'deki gibi). 2.1. Kosinüs ve sinüs Fourier dönüşümleri Fark kosinüs formülünü kullanarak, Fourier integral formülünü aşağıdaki biçimde yeniden yazarız: f(x) bir çift fonksiyon olsun. Daha sonra, (5) eşitliğinden şunu elde ederiz Tek f(x) durumunda, benzer şekilde elde ederiz f(x) yalnızca (0, -foo) üzerinde verilirse, formül (6) f(x)'i uzatır tüm Öküz eksenine eşit bir şekilde ve formül (7) - tek. (7) Tanım. Fonksiyon, f(x) fonksiyonunun kosinüs Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. (6)'dan, bir çift fonksiyon f(x) için şu çıkar: Bu, f(x)'in Fc(t) için bir kosinüs dönüşümü olduğu anlamına gelir. Diğer bir deyişle, / ve Fc fonksiyonları karşılıklı kosinüs dönüşümleridir. Tanım. Fonksiyon, f(x) fonksiyonunun sinüs Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. (7)'den tek bir f(x) fonksiyonu için bunu elde ederiz, yani, f ve F'ler karşılıklı sinüs dönüşümleridir. Örnek 3 (dik açılı darbe). f(t) aşağıdaki gibi tanımlanan bir çift fonksiyon olsun: (Şekil 3). Elde edilen sonucu integrali hesaplamak için kullanalım Formül (9) sayesinde, Şekil 3 0 0 t = 0 noktasında f(t) fonksiyonu süreklidir ve bire eşittir. Bu nedenle, (12")'den 2.2 elde ederiz. Fourier integralinin genlik ve faz spektrumları 2m periyotlu periyodik f(x) fonksiyonunun bir Fourier serisine genişletilmesine izin verin. Bu eşitlik, kavramlara geldiğimiz biçimde yazılabilir. (-oo, +oo) üzerinde verilen periyodik olmayan bir f(x) fonksiyonu için, belirli koşullar altında, onu genişleyen Fourier integrali ile temsil etmenin mümkün olduğu ortaya çıktı. bu fonksiyon tüm frekanslarda (sürekli frekans spektrumunda genişleme Tanım Spektral fonksiyon veya Fourier integralinin spektral yoğunluğu bir ifadedir (f fonksiyonunun doğrudan Fourier dönüşümüne genlik spektrumu ve Ф " fonksiyonu denir) = -argSfc) - / (") işlevinin faz spektrumu. Genlik spektrumu A(t), t frekansının /(x) fonksiyonuna katkısının bir ölçüsü olarak hizmet eder. Örnek 4. Fonksiyonun genlik ve faz spektrumlarını bulun 4 Spektral fonksiyonu bulun Buradan Bu fonksiyonların grafikleri şek. 4. §3. Fourier dönüşümü özellikleri 1. Doğrusallık. Eğer ve G(0) sırasıyla f(x) ve q(x) fonksiyonlarının Fourier dönüşümleriyse, o zaman herhangi bir a ve p sabiti için a f(x) + p g(x) fonksiyonunun Fourier dönüşümü şu fonksiyon olacaktır: a İntegralin lineerlik özelliğini kullanarak, Fourier dönüşümü lineer bir operatördür.Bunu ile ifade ederek yazacağız.Eğer F(t) bir fonksiyonun Fourier dönüşümü ise f(x) tüm reel üzerinde mutlak integre edilebilir. ekseni, o zaman F(t) hepsi için sınırlıdır. f(x) fonksiyonunun tüm eksende mutlak olarak integrallenebilir olmasına izin verin - f (x fonksiyonunun Fourier dönüşümü). O zaman 3 "flts J. f (x) olsun toleransı Fourier dönüşümü olan bir fonksiyon, L özellik sayısıdır fh (x) \u003d f (z-h) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun kayması denir.Fourier dönüşümünün tanımını kullanarak , Problem.Bir f(z) fonksiyonunun Fourier dönüşümüne sahip olmasını sağlayın F(0> h bir gerçel sayıdır. 3. Fourier dönüşümü ve türevinin ooeresis olduğunu gösterin.Kesinlikle integre edilebilir bir f(x) fonksiyonunun f(x) türevinin f " (x), ayrıca tüm eksende kesinlikle entegre edilebilir Oh, öyleyse /(n) |x| olarak sıfır olma eğilimindedir. -» +oo. F "(x)'in pürüzsüz bir fonksiyon olduğunu varsayarak, parçalara göre integral alarak yazıyoruz, integralin dışında kalan terime sahibiz (çünkü ve elde ederiz) Böylece, / (x) fonksiyonunun farklılaşması, Fourier'nin çarpımına karşılık gelir. görüntü ^ P /] faktöre göre f (x) fonksiyonu, m dahil m mertebesine kadar pürüzsüz kesinlikle integrallenebilir türevlere sahipse ve bunların tümü, f(x) fonksiyonunun kendisi gibi, sıfıra eğilimliyse ve sonra kısımlar halinde integral alıyorsa gerekli sayıda, Fourier dönüşümünü elde ederiz, çünkü türev alma işlemini bir değerle çarpma işlemiyle değiştirir ve böylece belirli türdeki diferansiyel denklemleri entegre etme problemini basitleştirir. kesinlikle integrallenebilir fonksiyon f^k\x) (özellik 2)'nin sınırlı bir fonksiyonudur, (2) ilişkisinden aşağıdaki tahmini elde ederiz: Fourier dönüşümü Fourier integrali Karmaşık integral formu Fourier dönüşümü Kosinüs ve sinüs dönüşümleri Genlik ve faz spektrumları Uygulama özellikleri Bu değerlendirmeden şu şekildedir: f(x) fonksiyonunun kesinlikle integrallenebilir türevleri ne kadar çoksa, Fourier dönüşümü o kadar hızlı sıfıra meyleder. Yorum. Bu durum oldukça doğaldır, çünkü Fourier integrallerinin olağan teorisi, şu ya da bu anlamda bir başlangıcı ve sonu olan, ancak yaklaşık olarak aynı yoğunlukta sonsuza kadar devam etmeyen süreçlerle ilgilenir. 4. |z| için f(x) fonksiyonunun bozulma oranı arasındaki ilişki -» -f oo ve Fourm dönüşümünün düzgünlüğü. Yalnızca /(x) değil, xf(x) çarpımının da x ekseninin tamamında kesinlikle integrallenebilir bir fonksiyon olduğunu varsayalım. O zaman Fourier dönüşümü) türevlenebilir bir fonksiyon olacaktır. Aslında, integralin £ parametresine göre biçimsel farklılaşma, parametreye göre mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsak olan bir integrale yol açar. Eğer, f(x) fonksiyonu ile birlikte fonksiyonlar tüm Öküz ekseni üzerinde kesinlikle integrallenebilir ise, o zaman türev alma işlemine devam edilebilir. Fonksiyonun m mertebesine kadar türevleri olduğunu elde ederiz ve böylece f(x) fonksiyonu ne kadar hızlı azalırsa, fonksiyon o kadar pürüzsüz olur Teorem 2 (tatbikat hakkında). Sırasıyla /,(x) ve f2(x) fonksiyonlarının Fourier dönüşümleri olsun. O zaman sağ taraftaki çift katlı integral mutlak olarak yakınsar. x koyalım. O zaman sahip olacağız veya entegrasyon sırasını değiştirerek, Fonksiyona fonksiyonların evrişimi denir ve sembolü ile gösterilir Formül (1) şimdi aşağıdaki gibi yazılabilir: Buradan, evrişimin Fourier dönüşümünün olduğu açıktır. fonksiyonlar f \ katlanabilir fonksiyonların Fourier dönüşümlerinin çarpımı, Açıklama. Evrişimin aşağıdaki özelliklerini oluşturmak kolaydır: 1) doğrusallık: 2) değişme: §4. Fourier dönüşümünün uygulamaları 1. Р(^) sabit katsayılı m mertebesinde bir lineer diferansiyel operatör olsun. Fourier dönüşümünü denklem (1)'e uygulayarak, nereye göre eksende diferansiyel cebirsel bir denklem yerine elde ederiz, böylece resmi olarak sembolün ters Fourier dönüşümünü gösterdiği yer Bu yöntemin uygulanabilirliğinin ana sınırlaması aşağıdakilerle bağlantılıdır: gerçek: Sabit katsayılı adi diferansiyel denklemin çözümü, formun fonksiyonlarını içerir.< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и
Zaten oldukça bıkmış olanlar. Ve teorinin stratejik rezervlerinden yeni konserve yiyecekler çıkarma zamanının geldiğini hissediyorum. Fonksiyonu başka bir şekilde bir diziye genişletmek mümkün müdür? Örneğin, bir düz çizgi parçasını sinüs ve kosinüs cinsinden ifade etmek için? İnanılmaz görünüyor, ancak görünüşte uzak olan bu tür işlevler,
"birleşme". Teori ve pratikteki tanıdık derecelere ek olarak, bir fonksiyonu bir diziye genişletmek için başka yaklaşımlar da vardır.
Bu derste trigonometrik Fourier serisini tanıyacağız, yakınsaklığı ve toplamı konusuna değineceğiz ve tabii ki fonksiyonları bir Fourier serisine genişletmek için çok sayıda örneği analiz edeceğiz. Makaleye içtenlikle "Aptallar için Fourier Serisi" adını vermek istedim, ancak bu kurnazca olurdu çünkü problemleri çözmek, matematiksel analizin diğer bölümleri hakkında bilgi ve biraz pratik deneyim gerektirecektir. Bu nedenle, önsöz astronotların eğitimine benzeyecektir =)
İlk olarak, sayfa materyallerinin çalışmasına mükemmel bir şekilde yaklaşılmalıdır. Uykulu, dinlenmiş ve ayık. Bir hamsterin kırık pençesi hakkında güçlü duygular ve akvaryum balıklarının yaşamının zorlukları hakkında takıntılı düşünceler olmadan. Fourier serisi, anlayış açısından zor değildir, ancak pratik görevler, yalnızca artan bir dikkat konsantrasyonu gerektirir - ideal olarak, kişi dış uyaranları tamamen terk etmelidir. Çözümü ve yanıtı kontrol etmenin kolay bir yolu olmadığı için durum daha da kötüleşiyor. Bu nedenle, sağlığınız ortalamanın altındaysa, daha basit bir şey yapmak daha iyidir. Gerçek.
İkincisi, uzaya uçmadan önce, uzay aracının gösterge panelini incelemek gerekir. Makinede tıklanması gereken fonksiyonların değerleriyle başlayalım:
Herhangi bir doğal değer için:
bir) . Ve aslında, sinüzoidal x eksenini her bir "pi" boyunca "yanıp söner":
. Argümanın negatif değerleri olması durumunda, sonuç elbette aynı olacaktır: .
2). Ama bunu herkes bilmiyordu. Kosinüs "pi en", "yanıp sönen ışığa" eşdeğerdir:
Olumsuz bir argüman durumu değiştirmez: 
.
Belki de yeter.
Üçüncüsü, sevgili kozmonot birlikleri, yapabilmeniz gerekiyor ... birleştirmek.
Özellikle, kesinlikle diferansiyel işareti altına bir fonksiyon getirmek, parçalarla bütünleştirmek ve iyi ilişkiler içinde olmak Newton-Leibniz formülü. Uçuş öncesi önemli tatbikatlara başlayalım. Bunu atlamanızı kesinlikle önermiyorum, böylece daha sonra sıfır yerçekiminde düzleşmezsiniz:
örnek 1
belirli integralleri hesapla
doğal değerlerin aldığı yer.
Çözüm: Entegrasyon "x" değişkeni üzerinden yapılır ve bu aşamada ayrık değişken "en" sabit kabul edilir. tüm integrallerde fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getirin:
Çözümün, ateş edilmesi iyi olacak kısa bir versiyonu şöyle görünür:
Alışmak:
Kalan dört puan kendi başlarına. Görevi dikkatli bir şekilde ele almaya çalışın ve integralleri kısa bir şekilde düzenleyin. Ders sonunda örnek çözümler.
KALİTELİ bir egzersizden sonra uzay giysilerini giyiyoruz
ve başlamaya hazırlanıyor!
Bir Fourier serisindeki bir fonksiyonun aralıkta açılımı
bir fonksiyon düşünelim tanımlanmış en azından aralıkta (ve muhtemelen daha büyük bir aralıkta). Bu fonksiyon segment üzerinde integrallenebilir ise, trigonometrik bir fonksiyona genişletilebilir. Fourier serisi:
, sözde nerede Fourier katsayıları.
Bu durumda numara aranır. ayrışma süresi ve sayı yarı ömür ayrıştırması.
Açıkçası, genel durumda, Fourier serisi sinüs ve kosinüslerden oluşur: 
Nitekim ayrıntılı olarak yazalım:
Serinin sıfır terimi genellikle olarak yazılır.
Fourier katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır: 
Yeni terimlerin konuyu incelemek için yeni başlayanlar için hala belirsiz olduğunu çok iyi anlıyorum: ayrışma süresi, yarım döngü, Fourier katsayıları Panik yapmayın, uzay yürüyüşünden önceki heyecanla karşılaştırılamaz. Acil pratik sorular sormanın mantıklı olduğu yürütmeden önce en yakın örnekte her şeyi çözelim:
Aşağıdaki görevlerde ne yapmanız gerekiyor?
Fonksiyonu bir Fourier serisine genişletin. Ek olarak, genellikle bir fonksiyonun grafiğini, bir serinin toplamının grafiğini, kısmi bir toplamı çizmek ve karmaşık profesörlük fantezileri söz konusu olduğunda başka bir şey yapmak gerekir.
Bir fonksiyon Fourier serisine nasıl genişletilir?
Esasen, bulmanız gerekir Fourier katsayıları, yani üç tane oluştur ve hesapla belirli integraller.
Lütfen Fourier serisinin genel şeklini ve üç çalışma formülünü defterinize kopyalayınız. Site ziyaretçilerinden bazılarının çocukluk hayali olan astronot olma hayalinin gözümün önünde gerçekleşmesine çok sevindim =)
Örnek 2
Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletin. Bir serinin toplamının ve kısmi bir toplamın grafiğini, grafiğini oluşturun.
Çözüm: görevin ilk kısmı, işlevi bir Fourier serisine genişletmektir.
Başlangıç standarttır, şunları yazdığınızdan emin olun:
Bu problemde genişleme periyodu, yarı periyottur.
Fonksiyonu şu aralıkta bir Fourier serisinde genişletiyoruz: 
Uygun formülleri kullanarak, buluruz Fourier katsayıları. Şimdi üç tane oluşturmamız ve hesaplamamız gerekiyor. belirli integraller. Kolaylık sağlamak için noktaları numaralandıracağım:
1) İlk integral en basit olanıdır, ancak zaten bir göz ve bir göz gerektirir: 
2) İkinci formülü kullanıyoruz:
Bu integral iyi bilinmektedir ve o parça parça alır: 
Kullanıldığı zaman bir fonksiyonu diferansiyel işareti altına getirme yöntemi.
Söz konusu görevde, hemen kullanmak daha uygundur belirli bir integralde kısımlara göre entegrasyon formülü 
:
Birkaç teknik not. İlk olarak, formülü uyguladıktan sonra ifadenin tamamı büyük parantez içine alınmalıdır, çünkü orijinal integralin önünde bir sabit var. kaybetmeyelim! Parantezler herhangi bir sonraki adımda açılabilir, en son sırada yaptım. İlk "parça" da 
ikamede aşırı doğruluk gösteriyoruz, gördüğünüz gibi, sabit iş dışı ve entegrasyon limitleri ürüne ikame ediliyor. Bu işlem köşeli parantez ile işaretlenmiştir. Eh, formülün ikinci "parçasının" integrali sizin için eğitim görevinden iyi bilinmektedir ;-)
Ve en önemlisi - nihai dikkat konsantrasyonu!
3) Üçüncü Fourier katsayısını arıyoruz:
Önceki integralin bir akrabası elde edilir, bu da parçalarla entegre:
Bu örnek biraz daha karmaşık, sonraki adımları adım adım yorumlayacağım: 
(1) İfadenin tamamı büyük parantezler içine alınır.. Sıkıcı gibi görünmek istemedim, sabiti çok sık kaybediyorlar.
(2) Bu durumda, o büyük parantezleri hemen genişlettim. Özel dikkatİlk "parçaya" ayırıyoruz: kenarda sürekli sigara içiyor ve ürüne entegrasyon sınırlarının ( ve ) değiştirilmesine katılmıyor . Kaydın dağınıklığı göz önüne alındığında, bu eylemi köşeli parantez içinde vurgulamak yine tavsiye edilir. İkinci "parça" ile 
her şey daha basit: burada kesir, büyük parantezleri açtıktan sonra ortaya çıktı ve sabit - tanıdık integrali entegre etmenin bir sonucu olarak ;-)
(3) Köşeli parantezler içinde dönüşümler yapıyoruz ve doğru integralde integralin limitlerini yerine koyuyoruz.
(4) Köşeli parantez içindeki “flaşörü” çıkarıyoruz: , ardından iç parantezleri açıyoruz: .
(5) Parantez içindeki 1 ve -1'leri iptal edip son sadeleştirmeleri yapıyoruz.
Sonunda üç Fourier katsayısının hepsini buldu: 
Bunları formülde değiştirin 
:
Ortadan ikiye ayırmayı unutmayın. Son adımda ise "en"e bağlı olmayan sabit ("eksi iki") toplamdan çıkarılır.
Böylece, fonksiyonun Fourier serisindeki şu aralıktaki açılımını elde etmiş olduk: 
Fourier serisinin yakınsaklığı sorununu inceleyelim. özellikle teoriyi açıklayacağım Dirichlet teoremi, kelimenin tam anlamıyla "parmaklarda", bu nedenle katı formülasyonlara ihtiyacınız varsa, lütfen matematik üzerine bir ders kitabına bakın. (mesela Bohan'ın 2. cildi veya Fichtenholtz'un 3. cildi ama onda daha zor).
Görevin ikinci bölümünde grafik, seri toplam grafiği ve kısmi toplam grafiğinin çizilmesi istenmektedir.
Fonksiyonun grafiği olağandır uçakta düz çizgi, siyah noktalı bir çizgi ile çizilmiştir: 
Serinin toplamı ile ilgileniyoruz. Bildiğiniz gibi, fonksiyonel seriler fonksiyonlara yakınsar. Bizim durumumuzda, oluşturulmuş Fourier serisi 
herhangi bir "x" değeri için kırmızı ile gösterilen fonksiyona yakınsar. Bu işlev tabidir 1. türden kırılmalar noktalarda ama aynı zamanda içlerinde tanımlanmış (çizimde kırmızı noktalar)
Böylece: 
. Orijinal fonksiyondan önemli ölçüde farklı olduğunu görmek kolaydır, bu nedenle notasyonda 
eşittir işareti yerine yaklaşık işareti kullanılır.
Bir dizinin toplamını oluşturmanın uygun olduğu bir algoritmayı inceleyelim.
Merkezi aralıkta Fourier serisi, işlevin kendisine yakınsar (merkezdeki kırmızı bölüm, doğrusal işlevin siyah noktalı çizgisiyle çakışır).
Şimdi, ele alınan trigonometrik genişlemenin doğası hakkında biraz konuşalım. Fourier serisi 
sadece periyodik fonksiyonları (sabit, sinüsler ve kosinüsler) içerir, yani serinin toplamı 
aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur.
Bu bizim özel örneğimizde ne anlama geliyor? Bu da demek oluyor ki serinin toplamı 
–mutlaka periyodik ve aralığın kırmızı bölümü solda ve sağda sonsuz kez tekrarlanmalıdır.
Sanırım artık "ayrışma dönemi" ifadesinin anlamı nihayet netleşti. Basitçe söylemek gerekirse, durum her seferinde tekrar tekrar kendini tekrar eder.
Uygulamada, çizimde yapıldığı gibi, üç ayrışma dönemini tasvir etmek genellikle yeterlidir. Pekala, komşu dönemlerin daha fazla "kütüğü" - grafiğin devam ettiğini açıkça belirtmek için.
özellikle ilgi çekici olanlar 1. tür süreksizlik noktaları. Bu tür noktalarda, Fourier serisi, "sıçrama" süreksizliğinin (çizimdeki kırmızı noktalar) tam ortasında bulunan yalıtılmış değerlere yakınsar. Bu noktaların ordinatı nasıl bulunur? İlk olarak "üst katın" ordinatını bulalım: Bunun için merkezi genişleme periyodunun en sağ noktasındaki fonksiyonun değerini hesaplıyoruz: . “Alt katın” ordinatını hesaplamak için en kolay yol aynı periyodun en soldaki değerini almaktır: 
. Ortalama değerin ordinatı, "üst ve alt" toplamının aritmetik ortalamasıdır: . Güzel olan, bir çizim oluştururken ortanın doğru mu yoksa yanlış mı hesaplandığını hemen görmenizdir.
Serinin kısmi bir toplamını oluşturalım ve aynı zamanda "yakınsama" teriminin anlamını tekrar edelim. Sebep, ilgili dersten bilinmektedir. sayı serisinin toplamı. Zenginliğimizi ayrıntılı olarak açıklayalım:
Kısmi bir toplam yapmak için, dizinin sıfır + iki terimini daha yazmanız gerekir. Yani,
Çizimde, fonksiyonun grafiği yeşil renkte gösterilmiştir ve gördüğünüz gibi, toplam toplamı oldukça sıkı bir şekilde sarmaktadır. Serinin beş teriminin kısmi bir toplamını düşünürsek, bu fonksiyonun grafiği kırmızı çizgilere daha doğru bir şekilde yaklaşacaktır, eğer yüz terim varsa, o zaman "yeşil yılan" aslında kırmızı bölümlerle tamamen birleşecektir. vb. Böylece, Fourier serisi toplamına yakınsar.
Herhangi bir kısmi toplamın olduğunu not etmek ilginçtir. sürekli fonksiyon, ancak serinin toplam toplamı hala süreksizdir.
Uygulamada, kısmi bir toplam grafiği oluşturmak alışılmadık bir durum değildir. Nasıl yapılır? Bizim durumumuzda, segment üzerindeki işlevi dikkate almak, segmentin uçlarındaki ve ara noktalardaki değerlerini hesaplamak gerekir (ne kadar çok noktayı dikkate alırsanız, grafik o kadar doğru olur). Daha sonra bu noktaları çizim üzerinde işaretlemeli ve dikkatli bir şekilde periyot üzerinde bir grafik çizmeli ve ardından bunu bitişik aralıklara “kopyalamalısınız”. Başka nasıl? Ne de olsa, yaklaşım aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur ... ... grafiği bana bir şekilde tıbbi bir cihazın ekranındaki eşit kalp ritmini hatırlatıyor.
Tabii ki, inşaatı gerçekleştirmek çok uygun değil, çünkü son derece dikkatli olmanız ve en az yarım milimetrelik bir doğruluğu korumanız gerekiyor. Bununla birlikte, çizim konusunda anlaşmazlığa düşen okuyucuları memnun edeceğim - "gerçek" bir görevde, çizim yapmak her zaman gerekli olmaktan çok uzaktır, vakaların% 50'sinde işlevi bir Fourier serisine genişletmek gerekir ve bu BT.
Çizimi tamamladıktan sonra görevi tamamlıyoruz:
Cevap: 
Birçok görevde, işlev zarar görür 1. tür yırtılma tam ayrışma periyodunda:
Örnek 3
Aralıkta verilen işlevi bir Fourier serisinde genişletin. Fonksiyonun grafiğini ve serinin toplamını çizin.
Önerilen fonksiyon parçalı olarak verilmiştir. (ve dikkat edin, yalnızca segmentte) ve katlanmak 1. tür yırtılma noktada . Fourier katsayılarını hesaplamak mümkün mü? Sorun değil. Fonksiyonun hem sol hem de sağ kısımları kendi aralıklarında integrallenebilir olduğundan, üç formülün her birindeki integraller, iki integralin toplamı olarak gösterilmelidir. Örneğin, bunun sıfır katsayı için nasıl yapıldığını görelim:
İkinci integralin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı, bu da işi azalttı, ancak bu her zaman böyle değil.
Diğer iki Fourier katsayısı benzer şekilde yazılır.
Bir serinin toplamı nasıl gösterilir? Sol aralıkta bir düz çizgi parçası çiziyoruz ve aralıkta - bir düz çizgi parçası (eksen bölümünü kalın ve kalın olarak vurgulayın). Yani, genişleme aralığında, serinin toplamı, üç "kötü" nokta dışında her yerde fonksiyonla çakışır. Fonksiyonun süreksizlik noktasında Fourier serisi, süreksizliğin "sıçramasının" tam ortasında yer alan yalıtılmış bir değere yakınsar. Sözlü olarak görmek zor değil: sol limit:, sağ limit: 
ve açıkçası, orta noktanın ordinatı 0,5'tir.
Toplamın periyodikliği nedeniyle, resim komşu dönemlerle "çoğaltılmalı", özellikle aralıklarda aynı şeyi tasvir etmelidir. Bu durumda Fourier serisi noktalarda medyan değerlere yakınsar.
Aslında burada yeni bir şey yok.
Bu sorunu kendi başınıza çözmeye çalışın. Dersin sonunda yaklaşık bir ince tasarım ve çizim örneği.
Fourier serisindeki bir fonksiyonun keyfi bir periyotta açılımı
"el"nin herhangi bir pozitif sayı olduğu keyfi bir genişleme periyodu için, Fourier serisi ve Fourier katsayılarının formülleri, biraz daha karmaşık bir sinüs ve kosinüs argümanında farklılık gösterir:
Eğer , o zaman başladığımız aralığın formüllerini alırız.
Problemi çözme algoritması ve ilkeleri tamamen korunur, ancak hesaplamaların teknik karmaşıklığı artar:
Örnek 4
Fonksiyonu bir Fourier serisine genişletin ve toplamı çizin. 
Çözüm: aslında, Örnek No. 3'ün bir analogu ile 1. tür yırtılma noktada . Bu problemde genişleme periyodu, yarı periyottur. İşlev yalnızca yarım aralıkta tanımlanır, ancak bu bir şeyi değiştirmez - işlevin her iki bölümünün de integrallenebilir olması önemlidir.
Fonksiyonu bir Fourier serisine genişletelim:
Fonksiyon orijinde süreksiz olduğundan, her Fourier katsayısı açıkça iki integralin toplamı olarak yazılmalıdır:
1) İlk integrali olabildiğince detaylı yazacağım:
2) Ayın yüzeyine dikkatlice bakın:
İkinci integral parçaları almak:
Çözümün devamını yıldız işareti ile açtıktan sonra nelere çok dikkat etmelisiniz?
İlk olarak, birinci integrali kaybetmeyiz 
, hemen yürüttüğümüz yer diferansiyel işareti altına getirerek. İkinci olarak, büyük parantezlerden önceki talihsiz sabiti unutmayın ve işaretlerle karıştırmayın formülü kullanırken 
. Sonuçta, büyük parantezleri bir sonraki adımda hemen açmak daha uygundur.
Gerisi bir teknik meselesidir, yalnızca integralleri çözmede yetersiz deneyim zorluklara neden olabilir.
Evet, Fransız matematikçi Fourier'nin seçkin meslektaşlarının kızması boşuna değildi - fonksiyonları trigonometrik dizilere ayırmaya nasıl cüret etti?! =) Bu arada, muhtemelen herkes söz konusu görevin pratik anlamı ile ilgilenmektedir. Fourier, matematiksel bir ısı iletimi modeli üzerinde çalıştı ve daha sonra onun adını taşıyan seri, dış dünyada görünüşte görünmeyen birçok periyodik süreci incelemek için kullanılmaya başlandı. Şimdi bu arada ikinci örneğin grafiğini periyodik bir kalp ritmi ile karşılaştırmamın tesadüf olmadığını düşünürken yakaladım kendimi. İlgilenenler pratik uygulama ile tanışabilirler. Fourier dönüşümleriüçüncü taraf kaynaklardan. ... Yapmamak daha iyi olsa da - İlk Aşk olarak hatırlanacak =)
3) Tekrar tekrar belirtilen zayıf bağlantılar göz önüne alındığında, üçüncü katsayı ile ilgileniyoruz:
Parçalara göre entegrasyon: 
Bulunan Fourier katsayılarını formüle koyarız 
, sıfır katsayısını ikiye bölmeyi unutmadan:
Serinin toplamını çizelim. Prosedürü kısaca tekrarlayalım: aralıkta bir çizgi oluştururuz ve aralıkta - bir çizgi. Sıfır "x" değeriyle, boşluğun "sıçramasının" ortasına bir nokta koyarız ve grafiği komşu dönemler için "kopyalarız": 
Dönemlerin "kavşaklarında" toplam, aralığın "sıçramasının" orta noktalarına da eşit olacaktır.
Hazır. Size, fonksiyonun kendisinin koşullu olarak yalnızca yarı aralıkta tanımlandığını ve açıkça aralıklardaki serilerin toplamı ile çakıştığını hatırlatırım.
Cevap:
Bazen parçalı olarak verilen bir fonksiyon da genişleme periyodunda süreklidir. En basit örnek: 
. Çözüm (Bkz. Bohan Cilt 2)önceki iki örnektekiyle aynıdır: rağmen fonksiyon sürekliliği noktasında, her Fourier katsayısı iki integralin toplamı olarak ifade edilir.
Ayrılık aralığında 1. tür süreksizlik noktaları ve/veya grafiğin "kavşak" noktaları daha fazla olabilir (iki, üç ve genel olarak herhangi son tutar). Bir fonksiyon her parçada integre edilebiliyorsa, Fourier serisinde de genişletilebilir. Ancak pratik deneyime göre böyle bir teneke hatırlamıyorum. Bununla birlikte, az önce düşünüldüğünden daha zor görevler var ve makalenin sonunda herkes için Fourier artan karmaşıklık serisine bağlantılar var.
Bu arada, hadi rahatlayalım, sandalyelerimize yaslanalım ve yıldızların uçsuz bucaksız genişliğini düşünelim:
Örnek 5
Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletin ve serinin toplamını çizin.
Bu görevde, işlev sürekliçözümü basitleştiren ayrışma yarı aralığı üzerinde. Her şey Örnek 2'ye çok benziyor. Uzay gemisinden kaçış yok - karar vermelisiniz =) Yaklaşık bir tasarım örneği dersin sonunda, program ektedir.
Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı
Çift ve tek fonksiyonlarla, problemi çözme süreci gözle görülür şekilde basitleştirilmiştir. Ve bu yüzden. Bir Fourier serisinde fonksiyonun "iki pi" periyodundaki açılımına geri dönelim. 
ve keyfi dönem "iki bira" 
.
Fonksiyonumuzun çift olduğunu varsayalım. Serinin genel terimi gördüğünüz gibi çift kosinüsler ve tek sinüsler içeriyor. Ve eğer bir ÇİFT fonksiyonunu ayrıştırırsak, neden tek sinüslere ihtiyacımız var?! Gereksiz katsayıyı sıfırlayalım: .
Böylece, bir çift işlev, yalnızca kosinüslerde bir Fourier serisine genişler:
Çünkü çift fonksiyonların integralleri sıfıra göre simetrik bir entegrasyon segmenti üzerinden iki katına çıkarılabilir, ardından Fourier katsayılarının geri kalanı da basitleştirilir.
açıklık için: 
İsteğe bağlı bir aralık için: 
Hemen hemen tüm matematik ders kitaplarında bulunan ders kitabı örnekleri, çift fonksiyonların açılımlarını içerir. 
. Ek olarak, kişisel muayenehanemde defalarca karşılaştılar:
Örnek 6
Verilen bir işlev. Gerekli:
1) işlevi, gelişigüzel bir pozitif sayı olan nokta ile bir Fourier serisine genişletin;
2) Aralıktaki açılımı yazın, bir fonksiyon oluşturun ve serinin toplamını çizin.
Çözüm: İlk paragrafta, sorunun genel bir şekilde çözülmesi önerilmiştir ve bu çok uygundur! Bir ihtiyaç olacak - sadece değerinizi değiştirin.
1) Bu problemde açılım periyodu, yarı periyottur. Diğer eylemler sırasında, özellikle entegrasyon sırasında, "el" sabit olarak kabul edilir.
İşlev çifttir, yani yalnızca kosinüslerde bir Fourier serisine genişler: 
.
Fourier katsayıları formüllerle aranır 
. Mutlak avantajlarına dikkat edin. İlk olarak, entegrasyon genişlemenin pozitif segmenti üzerinden gerçekleştirilir, bu da modülden güvenli bir şekilde kurtulduğumuz anlamına gelir. 
, iki parçadan sadece "x" dikkate alındığında. İkincisi, entegrasyon gözle görülür şekilde basitleştirilmiştir.
İki: 
Parçalara göre entegrasyon:
Böylece:
, "en" e bağlı olmayan sabit ise toplamdan çıkarılır.
Cevap: 
2) Aralıktaki açılımı yazıyoruz, bunun için yarı periyodun istenen değerini genel formülde yerine koyuyoruz:
I. Fourier dönüşümleri.
tanım 1.İşlev
aranan Fourier dönüşümü işlevler .
Buradaki integral, ana değer anlamında anlaşılmaktadır.
ve var olduğuna inanılır.
If, ℝ üzerinde kesinlikle integrallenebilir bir fonksiyondur, o zaman, çünkü 
için, Fourier dönüşümü (1) bu tür herhangi bir fonksiyon için anlamlıdır ve integral (1), ℝ çizgisinin tamamına göre mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar.
Tanım 2. Eğer bir 
fonksiyonun Fourier dönüşümüdür
, sonra ilişkili integral
Asıl anlam anlamında anlaşılan, denir Fonksiyonun Fourier integrali .
örnek 1 Bir Fonksiyonun Fourier Dönüşümünü Bulun
Verilen işlev kesinlikle üzerinde entegre edilebilir, aslında,
tanım 3.İntegrallerin temel değeri anlamında anlaşılır
Buna göre adlandırılmış kosinüs- ve sinüs Fourier dönüşümü fonksiyonları .
varsayarak , 
, 
, kısmen Fourier serisinden zaten aşina olduğumuz ilişkiyi elde ederiz.
İlişkilerinden de görülebileceği gibi (3), (4),
Formüller (5), (6), Fourier dönüşümlerinin, yalnızca bağımsız değişkenin negatif olmayan değerleri için biliniyorsa, tüm satırda tamamen tanımlandığını gösterir.
Örnek 2 Bir fonksiyonun kosinüs - ve sinüs - Fourier dönüşümünü bulun
Örnek 1'de gösterildiği gibi, verilen fonksiyon üzerinde kesinlikle integrallenebilir.
Formül (3)'e göre kosinüs - Fourier dönüşümünü bulalım:
Benzer şekilde, fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulmak zor değildir. f(x) formül (4) ile:
Örnek 1 ve 2'yi kullanarak, doğrudan yerine koyarak doğrulamak kolaydır. f(x) bağıntısı (5) sağlanır.
İşlev gerçek değerliyse, bu durumda (5), (6) formülleri şu anlama gelir:
Çünkü bu durumda ve tanımlarından da anlaşıldığı gibi R üzerinde gerçek fonksiyonlardır (3), (4). Ancak eşitlik (7) koşulu altında 
konjugasyon işaretinin integral işaretinin altına yerleştirilebileceğini hesaba katarsak, Fourier dönüşümünün tanımından (1) doğrudan elde edilir. Son gözlem, herhangi bir fonksiyonun eşitliği sağladığı sonucuna varmamızı sağlar.
Ayrıca, if'in gerçek ve çift fonksiyon olduğunu belirtmekte fayda var, yani, , sonra
if gerçek ve tek bir fonksiyondur, yani, , sonra
Ve if, tamamen hayali bir fonksiyondur, yani . 
, sonra
Eğer gerçek değerli bir fonksiyon ise, Fourier integralinin şu şekilde de yazılabileceğine dikkat edin:
Neresi 
Örnek 3 
(varsayarak 
)
Dirichlet integralinin değerini bildiğimiz için
Örnekte ele alınan fonksiyon tam olarak integrallenebilir değildir ve Fourier dönüşümünde süreksizlikler vardır. Mutlak integrallenebilir fonksiyonların Fourier dönüşümünün hiçbir süreksizliği olmadığı gerçeği, aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
Lemma 1. eğer fonksiyon yerel olarak entegre edilebilir ve kesinlikle entegre edilebilir , sonra
a) Fourier dönüşümü herhangi bir değer için tanımlanmış
b) 
hatırla ki eğer açık bir kümede tanımlanan gerçek veya karmaşık değerli bir fonksiyondur, sonra fonksiyon aranan yerel olarak entegre edilebilir, varsa nokta fonksiyonun integrallenebileceği bir komşuluğa sahiptir. Özellikle, eğer , fonksiyonun yerel integrallenebilirlik koşulu, açık bir şekilde şu gerçeğe eşdeğerdir: 
herhangi bir segment için.
Örnek 4 Fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun 
:
Son integrali parametreye göre türev alarak ve sonra parçalara göre integral alarak şunu buluruz:
veya
Anlamına geliyor, 
, Euler-Poisson integralini kullanarak ilişkiden bulduğumuz bir sabit nerede
Böylece, bunu bulduk ve aynı zamanda şunu gösterdik ve 
.
tanım 4. fonksiyon diyorlar 
noktanın delinmiş bir komşuluğunda tanımlanan , şu durumda noktadaki Dini koşullarını karşılar:
a) noktada her iki tek taraflı limit de mevcuttur.
b) her iki integral
kesinlikle katılıyorum
İntegralin mutlak yakınsaması 
en azından bir değeri için integralin mutlak yakınsaması anlamına gelir.
Bir fonksiyonun Fourier integrali ile gösterilebilirliği için yeterli koşullar.
teorem 1.Eğer kesinlikle entegre edilebilirse ve yerel olarak parçalı sürekli fonksiyon noktada tatmin ediyor Dini koşulları, daha sonra Fourier integrali bu noktada yakınsar ve değere
bu noktadaki fonksiyon değerlerinin sol ve sağ limitlerinin toplamının yarısına eşittir.
Sonuç 1.eğer fonksiyon sürekli, her noktada vardır sonlu tek taraflı türevler ve kesinlikle integrallenebilir , ardından şu şekilde görünür: Fourier integrali ile
nerede 
Bir fonksiyonun Fourier dönüşümü .
Bir fonksiyonun Fourier integrali ile temsili şu şekilde yeniden yazılabilir:
Yorum. Teorem 1 ve Sonuç 1'de formüle edilen fonksiyon koşulları, böyle bir temsilin olasılığı için yeterlidir, ancak gerekli değildir.
Örnek 5 Fonksiyonu bir Fourier integrali olarak temsil edin, eğer
Bu işlev, , , noktaları dışında ℝ üzerinde tek ve süreklidir.
İşlevin tuhaflığı ve gerçekliğinden dolayı elimizde:
ve (5) ve (10) eşitliklerinden şu sonuç çıkar:
Fonksiyonun süreklilik noktalarında elimizdekiler:
Ama işlev tuhaf, yani
çünkü integral asal değer anlamında hesaplanır.
Fonksiyon çifttir, yani
eğer , . için, eşitlik
varsayarsak, buradan buluruz
için son ifadeyi koyarsak, o zaman
Burada varsayarsak, buluruz
Gerçek değerli bir fonksiyon, gerçek doğrunun herhangi bir parçası üzerinde parçalı sürekli ise, mutlak olarak integrallenebilirse ve her noktada sonlu tek taraflı türevlere sahipse, fonksiyonun süreklilik noktalarında bir Fourier integrali olarak temsil edilir.
ve fonksiyonun süreksizlik noktalarında eşitliğin sol tarafı (1) ile değiştirilmelidir.
Her noktada sürekli, kesinlikle integral alınabilen bir fonksiyonun her noktada sonlu tek taraflı türevleri varsa, bu durumda bu fonksiyonun çift olması durumunda eşitlik
ve ne zaman bir tek fonksiyon ise, eşitlik
Örnek 5'. Aşağıdaki durumlarda fonksiyonu bir Fourier integrali olarak temsil edin:
Sürekli bir çift fonksiyon olduğundan, (13.2), (13.2') formüllerini kullanarak,
Ana değer anlamında anlaşılan integrali sembolle gösteriyoruz.
Sonuç 2.herhangi bir fonksiyon için Sonuç 1'in koşullarını karşılayan, tüm dönüşümler var , , , ve eşitlikler var
Bu ilişkiler akılda tutularak, dönüşüm (14) genellikle ters Fourier dönüşümü ve bunun yerine yazın ve eşitliklerin (15) kendilerine denir Fourier dönüşümü ters çevirme formülü.
Örnek 6 izin ver ve
not eğer 
, ardından herhangi bir işlev için
Şimdi bir fonksiyon ele alalım. O zamanlar
Fonksiyonun tek bir devamı olan bir fonksiyon alırsak 
, tüm sayısal eksende, ardından
Teorem 1'i kullanarak şunu elde ederiz
Buradaki tüm integraller, ana değer anlamında anlaşılmaktadır,
Son iki integralde reel ve sanal kısımları ayırarak Laplace integrallerini buluyoruz.
Tanım . İşlev
normalleştirilmiş Fourier dönüşümü olarak adlandırılacaktır.
Tanım . Fonksiyonun normalize edilmiş Fourier dönüşümü ise, o zaman ilgili integral
Fonksiyonun normalleştirilmiş Fourier integralini arayacağız.
Normalleştirilmiş Fourier dönüşümünü ele alacağız (16).
Kolaylık sağlamak için aşağıdaki gösterimi sunuyoruz:
(şunlar. 
).
Önceki gösterimle karşılaştırıldığında, bu sadece bir yeniden normalleştirmedir: Bu nedenle, özellikle, ilişkiler (15) şu sonuca varmamıza izin verir:
veya daha kısa gösterimde,
tanım 5. Operatör, normalleştirilmiş Fourier dönüşümü olarak adlandırılacak ve operatör, ters normalleştirilmiş Fourier dönüşümü olarak adlandırılacaktır.
Lemma 1'de, bir fonksiyon üzerinde mutlak olarak integrallenebilir herhangi bir fonksiyonun Fourier dönüşümünün sonsuzda sıfır olma eğiliminde olduğu kaydedildi. Sonraki iki ifade, Fourier katsayıları gibi, Fourier dönüşümünün, alındığı işlev ne kadar hızlı, daha yumuşaksa (ilk ifadede) sıfıra yöneldiğini belirtir; Bununla ortak bir gerçek şu olacaktır ki, Fourier dönüşümünün alındığı işlev ne kadar hızlı sıfıra yönelirse, Fourier dönüşümü o kadar yumuşak olur (ikinci ifade).
Bildirim 1(bir fonksiyonun düzgünlüğü ile Fourier dönüşümünün azalma oranı arasındaki bağlantı üzerine). Eğer bir ve tüm özellikler 
kesinlikle entegre edilebilir , sonra:
a) herhangi 
b) 
Bildirim 2(bir fonksiyonun bozulma oranı ile Fourier dönüşümünün düzgünlüğü arasındaki ilişki üzerine). Yerel olarak entegre edilebilir bir fonksiyon ise : fonksiyon öyle ki kesinlikle entegre edilebilir a , sonra:
a) Bir fonksiyonun Fourier dönüşümü sınıfa ait 
b) bir eşitsizlik var
Fourier dönüşümünün ana donanım özelliklerini sunuyoruz.
Lemma 2. Fonksiyonlar için bir Fourier dönüşümü olsun (sırasıyla ters Fourier dönüşümü), o zaman ve sayıları ne olursa olsun, bir Fourier dönüşümü (sırasıyla ters Fourier dönüşümü) ve fonksiyon için var 
, ve
(sırasıyla ).
Bu özellik, Fourier dönüşümünün doğrusallığı olarak adlandırılır (sırasıyla, ters Fourier dönüşümü).
Sonuçlar. 
.
Lemma 3. Fourier dönüşümü ve ters dönüşüm, her noktada tek taraflı türevlere sahip olan, tüm eksen üzerinde sürekli kesinlikle integrallenebilir fonksiyonlar kümesinde bire bir dönüşümdür.
Bu, if ve belirtilen türde iki işlev ve if olduğu anlamına gelir. 
(sırasıyla, eğer 
), ardından tüm eksende.
Lemma 1'in iddiasından, aşağıdaki lemmayı elde edebiliriz.
Lemma 4. Kesinlikle integrallenebilir fonksiyonların dizisi ise 
ve kesinlikle entegre edilebilir bir fonksiyon öyledir ki
daha sonra dizi, tüm eksen üzerinde düzgün bir şekilde işleve yakınsar.
Şimdi iki fonksiyonun kıvrımlarının Fourier dönüşümünü inceleyelim. Kolaylık sağlamak için, evrişimin tanımını ek bir faktör ekleyerek değiştiriyoruz.
Teorem 2. Fonksiyonlar ve gerçek eksende sınırlı, sürekli ve kesinlikle integrallenebilir olsun, o zaman
şunlar. iki fonksiyonun evrişiminin Fourier dönüşümü, bu fonksiyonların Fourier dönüşümlerinin çarpımına eşittir.
Aşağıdaki problemlerin çözümünde yararlı olan, normalleştirilmiş Fourier dönüşümünün özelliklerinin 1 numaralı özet tablosunu derleyelim.
Tablo 1
| İşlev | Normalleştirilmiş Fourier Dönüşümü |
 |
|
 | |
 |
|
 |
|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 | |
 | |
 |
1-4 ve 6 özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 7 Bir fonksiyonun normalleştirilmiş Fourier dönüşümünü bulun
Örnek 4 şunu gösterdi:
güya
Özellik 3'e göre elimizde:
Benzer şekilde, normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümü için 2 numaralı tabloyu derleyebilirsiniz:
Tablo numarası 2
| İşlev | Normalleştirilmiş Ters Fourier Dönüşümü |
 |
|
| | |
 |
|
 |
|
| |  |
| |  |
| |  |
| | |
| | |
| | |
 |
Daha önce olduğu gibi, 1-4 ve 6 özelliklerini kullanarak bunu elde ederiz.
Örnek 8 Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
Örnek 6'dan aşağıdaki gibi
Sahip olduğumuzda:
İşlevi formda temsil etme
özellik 6'yı ne zaman kullan
Yerleşim ve grafik işleri için görevler için seçenekler
1. Bir fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulun
2. Bir fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulun
3. Bir fonksiyonun kosinüs - Fourier dönüşümünü bulun
4. Bir fonksiyonun kosinüs - Fourier dönüşümünü bulun
5. Bir fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulun
6.Bir fonksiyonun kosinüs - Fourier dönüşümünü bulun
7. Fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulun
8. Bir fonksiyonun kosinüs - Fourier dönüşümünü bulun
9. Bir fonksiyonun kosinüs - Fourier dönüşümünü bulun
10. Bir fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulun
11. Bir fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulun
12. Sinüs - fonksiyon dönüşümünü bulun
13. Sinüs - fonksiyon dönüşümünü bulun
14. Kosinüs - fonksiyon dönüşümünü bulun
15. Kosinüs - fonksiyon dönüşümünü bulun
16. Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:
17. Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:
18. Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:
19. Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:
20. Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:
21. Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:
22. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
24. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
26. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
28. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
30. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
23. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
25. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
27. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
29. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
31. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun
formülü kullanarak
32. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
33. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
34. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
35. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
36. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
37. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
38. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
39. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
40. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
41. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
42. Bir fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin
43. Fonksiyonu bir Fourier integrali olarak temsil edin ve aşağıdaki durumlarda aralığa tek bir şekilde genişletin:
44. Fonksiyonu if aralığına tek bir şekilde devam ettiren bir Fourier integrali olarak gösterin.