Olasılık teorisinde nedir. Olasılık teorisi: formüller ve problem çözme örnekleri. Olasılık teorisi. ortalama seviye

Olasılık nedir?

Bu terimle ilk kez karşılaşınca ne olduğunu anlayamadım. Bu yüzden anlaşılır bir şekilde açıklamaya çalışacağım.

Olasılık, istenen olayın gerçekleşme şansıdır.

Örneğin, bir arkadaşınızı ziyaret etmeye karar verdiniz, girişi ve hatta yaşadığı katı hatırlayın. Ama dairenin numarasını ve yerini unuttum. Ve şimdi merdiven boşluğunda duruyorsunuz ve önünüzde seçim yapabileceğiniz kapılar var.

İlk zili çaldığınızda arkadaşınızın sizin için açma ihtimali (olasılığı) nedir? Bütün daire ve bir arkadaş sadece birinin arkasında yaşıyor. Eşit şansla, herhangi bir kapıyı seçebiliriz.

Ama bu şans nedir?

Kapılar, sağ kapı. İlk kapıyı çalarak tahmin etme olasılığı: . Yani, üç seferden birinde kesin olarak tahmin edeceksiniz.

Bir kez arayarak bilmek istiyoruz, kapıyı ne sıklıkla tahmin edeceğiz? Tüm seçeneklere bakalım:

  1. aradın 1 inci Kapı
  2. aradın 2. Kapı
  3. aradın 3 üncü Kapı

Ve şimdi bir arkadaşın olabileceği tüm seçenekleri düşünün:

a. Başına 1 inci kapı
b. Başına 2. kapı
içinde. Başına 3 üncü kapı

Tüm seçenekleri bir tablo şeklinde karşılaştıralım. Seçiminiz bir arkadaşınızın konumuyla eşleştiğinde, bir çarpı işareti - eşleşmediğinde seçenekleri belirtir.

her şeyi nasıl görüyorsun Belki seçenekler arkadaşınızın konumu ve hangi kapıyı çalacağınız konusundaki seçiminiz.

ANCAK hepsinin olumlu sonuçları . Yani, kapıyı bir kez çalarak saatleri tahmin edeceksiniz, yani. .

Bu olasılıktır - olumlu bir sonucun (seçiminiz bir arkadaşınızın konumuyla çakıştığında) olası olayların sayısına oranıdır.

Tanım formüldür. Olasılık genellikle p ile gösterilir, yani:

Böyle bir formül yazmak çok uygun değil, bu yüzden - olumlu sonuçların sayısını ve - toplam sonuçların sayısını alacağız.

Olasılık yüzde olarak yazılabilir, bunun için elde edilen sonucu şu şekilde çarpmanız gerekir:

Muhtemelen, “sonuçlar” kelimesi gözünüze çarptı. Matematikçiler çeşitli eylemler (bizim için böyle bir eylem bir kapı zilidir) deneyleri olarak adlandırdıkları için, bu tür deneylerin sonucunu bir sonuç olarak adlandırmak gelenekseldir.

Sonuçlar olumlu ve olumsuz.

Örneğimize geri dönelim. Diyelim ki kapılardan birini çaldık ama bir yabancı bizim için açtı. Biz tahmin etmedik. Kalan kapılardan birini çalarsak, arkadaşımızın bizim için açma olasılığı nedir?

Bunu düşündüyseniz, o zaman bu bir hatadır. Anlayalım.

İki kapımız kaldı. Yani olası adımlarımız var:

1) aramak 1 inci Kapı
2) Çağrı 2. Kapı

Tüm bunlarla birlikte bir arkadaş kesinlikle birinin arkasındadır (sonuçta aradığımız kişinin arkasında değildi):

a) bir arkadaş 1 inci kapı
b) için bir arkadaş 2. kapı

Tabloyu tekrar çizelim:

Gördüğünüz gibi, uygun oldukları her şey için seçenekler var. Yani olasılık eşittir.

Neden?

Düşündüğümüz durum, bağımlı olaylara örnek.İlk olay birinci kapı zili, ikinci olay ikinci kapı zili.

Aşağıdaki eylemleri etkiledikleri için bağımlı olarak adlandırılırlar. Sonuçta, ilk çalıştan sonra bir arkadaş kapıyı açsa, diğer ikisinden birinin arkasında olma olasılığı nedir? Doğru şekilde, .

Ama eğer bağımlı olaylar varsa, o zaman bağımsız? Doğru, var.

Bir ders kitabı örneği, yazı tura atmaktır.

  1. Bir bozuk para atıyoruz. Örneğin tura gelme olasılığı nedir? Bu doğru - çünkü her şey için seçenekler (tura veya tura, bir madeni paranın kenarda durma olasılığını ihmal edeceğiz), ancak sadece bize uyuyor.
  2. Ama kuyruklar düştü. Tamam, tekrar yapalım. Şimdi tura gelme olasılığı nedir? Hiçbir şey değişmedi, her şey aynı. Kaç seçenek? İki. Ne kadar memnunuz? Bir.

Ve kuyrukların arka arkaya en az bin kez düşmesine izin verin. Aynı anda tura gelme olasılığı aynı olacaktır. Her zaman seçenekler vardır, ancak uygun olanlar.

Bağımlı olayları bağımsız olaylardan ayırt etmek kolaydır:

  1. Deney bir kez yapılırsa (bir kez para atıldığında, kapı zili bir kez çaldığında vb.), o zaman olaylar her zaman bağımsızdır.
  2. Deney birkaç kez yapılırsa (bir madeni para bir kez atılır, kapı zili birkaç kez çalınır), o zaman ilk olay her zaman bağımsızdır. Ve sonra, olumlu sayıların sayısı veya tüm sonuçların sayısı değişirse, olaylar bağımlıdır ve değilse bağımsızdır.

Olasılığı belirlemek için biraz pratik yapalım.

örnek 1

Madeni para iki kez havaya atılıyor. Arka arkaya iki kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olası seçenekleri göz önünde bulundurun:

  1. kartal kartal
  2. kuyruklu kartal
  3. kuyruk-kartal
  4. kuyruk-kuyruk

Gördüğünüz gibi, tüm seçenekler. Bunlardan sadece biz memnunuz. Olasılık budur:

Koşul basitçe olasılığı bulmayı isterse, cevap ondalık kesir olarak verilmelidir. Cevabın yüzde olarak verilmesi gerektiği belirtilseydi, o zaman ile çarpardık.

Cevap:

Örnek 2

Bir kutu çikolatada, tüm şekerler aynı ambalajda paketlenmiştir. Ancak tatlılardan - fındık, konyak, kiraz, karamel ve nuga ile.

Bir şeker alıp fındıklı şeker alma olasılığı nedir? Cevabınızı yüzde olarak veriniz.

Çözüm:

Kaç tane olası sonuç var? .

Yani bir şeker alınca kutudakilerden biri olacak.

Ve kaç olumlu sonuç?

Çünkü kutuda sadece fındıklı çikolatalar var.

Cevap:

Örnek 3

Bir kutu topta. bunlardan beyaz ve siyah.

  1. Beyaz bir top çekme olasılığı nedir?
  2. Kutuya daha fazla siyah top ekledik. Şimdi beyaz bir top çekme olasılığı nedir?

Çözüm:

a) Kutuda sadece top var. beyaz olanlar.

Olasılık:

b) Şimdi kutuda toplar var. Ve bir o kadar beyaz kaldı.

Cevap:

Tam Olasılık

Tüm olası olayların olasılığı ().

Örneğin, kırmızı ve yeşil toplardan oluşan bir kutuda. Kırmızı bir top çekme olasılığı nedir? Yeşil top mu? Kırmızı top mu yeşil top mu?

Kırmızı top çekme olasılığı

Yeşil top:

Kırmızı veya yeşil top:

Gördüğünüz gibi, olası tüm olayların toplamı () 'ye eşittir. Bu noktayı anlamak birçok sorunu çözmenize yardımcı olacaktır.

Örnek 4

Kutuda keçeli kalemler var: yeşil, kırmızı, mavi, sarı, siyah.

Kırmızı bir işaretçi DEĞİL çizme olasılığı nedir?

Çözüm:

sayı sayalım olumlu sonuçlar.

Yeşil, mavi, sarı veya siyah anlamına gelen kırmızı bir işaretleyici DEĞİLDİR.

Tüm olayların olasılığı. Olumsuz olduğunu düşündüğümüz olayların olasılığı (kırmızı keçeli kalemi çıkardığımızda) .

Bu nedenle, kırmızı keçeli kalem çizmeme olasılığı -'dir.

Cevap:

Bir olayın olmama olasılığı eksi olayın olma olasılığıdır.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Bağımsız olayların ne olduğunu zaten biliyorsunuz.

Ve arka arkaya iki (veya daha fazla) bağımsız olayın meydana gelme olasılığını bulmanız gerekiyorsa?

Diyelim ki, bir kez yazı tura atarsak iki kez kartal görme olasılığımızı bilmek istiyoruz.

Biz zaten düşündük - .

Bir bozuk para atarsak ne olur? Bir kartalı arka arkaya iki kez görme olasılığı nedir?

Toplam olası seçenekler:

  1. kartal-kartal-kartal
  2. Kartal-baş-kuyrukları
  3. Baş-kuyruk-kartal
  4. Yazı-tura-kuyruk
  5. kuyruk-kartal-kartal
  6. kuyruk-kafa-kuyruk
  7. Kuyruk-kuyruk-kafa
  8. Kuyruk-kuyruk-kuyruk

Sizi bilmem ama ben bu listeyi bir kez yanlış yaptım. Vay! Ve sadece seçenek (ilk) bize uyuyor.

5 rulo için olası sonuçların bir listesini kendiniz yapabilirsiniz. Ama matematikçiler sizin kadar çalışkan değiller.

Bu nedenle, belirli bir dizinin olasılığını önce fark ettiler ve sonra kanıtladılar. bağımsız olaylar her seferinde bir olayın olasılığı kadar azalır.

Diğer bir deyişle,

Aynı, talihsiz madeni para örneğini düşünün.

Bir denemede tura gelme olasılığı? . Şimdi bir bozuk para atıyoruz.

Arka arkaya yazı gelme olasılığı nedir?

Bu kural, yalnızca aynı olayın arka arkaya birkaç kez meydana gelme olasılığını bulmamız istendiğinde işe yaramaz.

Ardışık atışlarda KUYRUK-KARTAL-KUYRUK dizisini bulmak isteseydik, aynısını yapardık.

Yazı gelme olasılığı - , tura - .

KUYRUK-KARTAL-KUYRUK-KUYRUK dizisini alma olasılığı:

Bir tablo yaparak kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Uyumsuz olayların olasılıklarını ekleme kuralı.

Bu yüzden dur! Yeni tanım.

Anlayalım. Yıpranmış madeni paramızı alıp bir kez çevirelim.
Olası seçenekler:

  1. kartal-kartal-kartal
  2. Kartal-baş-kuyrukları
  3. Baş-kuyruk-kartal
  4. Yazı-tura-kuyruk
  5. kuyruk-kartal-kartal
  6. kuyruk-kafa-kuyruk
  7. Kuyruk-kuyruk-kafa
  8. Kuyruk-kuyruk-kuyruk

Yani burada uyumsuz olaylar var, bu belirli, belirli bir olay dizisi. uyumsuz olaylardır.

İki (veya daha fazla) olasılığının ne olduğunu belirlemek istiyorsak uyumsuz olaylar sonra bu olayların olasılıklarını toplarız.

Bir kartal veya kuyruk kaybının iki bağımsız olay olduğunu anlamalısınız.

Bir dizinin (veya başka herhangi birinin) düşme olasılığının ne olduğunu belirlemek istiyorsak, olasılıkları çarpma kuralını kullanırız.
İlk atışta tura, ikinci ve üçüncü atışta tura gelme olasılığı nedir?

Ancak, örneğin tam olarak bir kez tura geldiğinde, birkaç diziden birini alma olasılığının ne olduğunu bilmek istiyorsak, yani. seçenekleri ve sonra bu dizilerin olasılıklarını eklemeliyiz.

Toplam seçenekler bize uyuyor.

Her dizinin oluşma olasılıklarını toplayarak da aynı şeyi elde edebiliriz:

Bu nedenle, bazı uyumsuz olay dizilerinin olasılığını belirlemek istediğimizde olasılıkları ekleriz.

Ne zaman çarpacağınızı ve ne zaman ekleyeceğinizi karıştırmamanıza yardımcı olacak harika bir kural var:

Bir kez yazı tura attığımız ve bir kez tura görme olasılığını öğrenmek istediğimiz örneğe geri dönelim.
Ne olacak?

Düşmeli:
(yazı VE tura VE tura) VEYA (yazı VE tura VE tura) VEYA (yazı VE tura VE tura) VEYA (yazı VE tura VE tura).
Ve böylece ortaya çıkıyor:

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 5

Kutuda kalemler var. kırmızı, yeşil, turuncu ve sarı ve siyah. Kırmızı veya yeşil kalem çizme olasılığı nedir?

Çözüm:

Ne olacak? Çekmemiz gerekiyor (kırmızı VEYA yeşil).

Şimdi açık, bu olayların olasılıklarını topluyoruz:

Cevap:

Örnek 6

Bir zar iki kez atılıyor, toplamda 8 gelme olasılığı nedir?

Çözüm.

Nasıl puan alabiliriz?

(ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve).

Bir (herhangi bir) yüzden düşme olasılığı .

Olasılığı hesaplıyoruz:

Cevap:

Antrenman yapmak.

Olasılıkları nasıl saymanız, ne zaman toplamanız ve ne zaman çarpmanız gerektiği artık sizin için netleşti sanırım. Değil mi? Biraz egzersiz yapalım.

Görevler:

Kartların maça, kupa, 13 sopa ve 13 tef olduğu bir iskambil destesi alalım. Her takımdan As'a.

  1. Sopaları arka arkaya çekme olasılığı nedir (çekilen ilk kartı desteye geri koyarız ve karıştırırız)?
  2. Siyah kart (maça veya sopa) çekme olasılığı nedir?
  3. Bir resim (kriko, kraliçe, kral veya as) çizme olasılığı nedir?
  4. Arka arkaya iki resim çizme olasılığı nedir (çekilen ilk kartı desteden çıkarırız)?
  5. İki kart alarak bir kombinasyon - (Vale, Kız veya Papaz) ve As Toplama olasılığı nedir Kartların çekileceği sıra önemli değildir.

Yanıtlar:

  1. Her değere sahip bir deste iskambil destesinde bunun anlamı:
  2. Olaylar bağımlıdır, çünkü çekilen ilk karttan sonra destedeki kart sayısı (“resim” sayısı kadar) azalmıştır. Başlangıçta destedeki toplam vale, kraliçe, papaz ve as sayısı, yani ilk kartla “resmi” çizme olasılığı:

    Desteden ilk kartı çıkardığımız için, destede zaten resimleri olan bir kart kalmış demektir. İkinci kartla resim çizme olasılığı:

    Güverteden aldığımız durumla ilgilendiğimiz için: “resim” VE “resim”, o zaman olasılıkları çarpmamız gerekiyor:

    Cevap:

  3. İlk kart çekildikten sonra destedeki kart sayısı azalacağı için iki seçeneğimiz var:
    1) İlk kartla As'ı çıkarırız, ikincisi - vale, kraliçe veya kral
    2) İlk kartla bir vale, kraliçe veya kral, ikincisi - bir as çıkarırız. (as ve (kriko veya kraliçe veya kral)) veya ((kriko veya vezir veya kral) ve as). Destedeki kart sayısını azaltmayı unutmayın!

Tüm sorunları kendi başınıza çözebildiyseniz, o zaman harika bir adamsınız! Şimdi sınavda olasılık teorisi ile ilgili görevler deli gibi tıklayacaksınız!

OLASILIK TEORİSİ. ORTALAMA SEVİYE

Bir örnek düşünün. Diyelim ki bir zar atıyoruz. Bu ne tür bir kemik, biliyor musun? Bu, yüzlerinde sayılar olan bir küpün adıdır. Kaç yüz, çok sayıda sayı: kaça kadar? Önceki.

Bu yüzden bir zar atıyoruz ve bir veya ile gelmesini istiyoruz. Ve düşüyoruz.

Olasılık teorisinde ne olduğunu söylüyorlar olumlu olay(iyi ile karıştırmayın).

Düşerse, olay da hayırlı olurdu. Toplamda, sadece iki olumlu olay meydana gelebilir.

Kaç tane kötü var? Tüm olası olaylar olduğundan, o zaman elverişsizleri olaylardır (bu, düşerse veya düşerse).

Tanım:

Olasılık, olumlu olayların sayısının tüm olası olayların sayısına oranıdır.. Yani olasılık, tüm olası olayların ne kadarının elverişli olduğunu gösterir.

Olasılık Latince bir harfle gösterilir (görünüşe göre, ingilizce kelime olasılık - olasılık).

Olasılığı yüzde olarak ölçmek gelenekseldir (konulara bakın ve). Bunu yapmak için, olasılık değeri ile çarpılmalıdır. Zar örneğinde, olasılık.

Ve yüzde olarak: .

Örnekler (kendiniz karar verin):

  1. Bir madeni paranın tura gelme olasılığı kaçtır? Ve yazı gelme olasılığı nedir?
  2. Bir zar atıldığında, çift ​​sayı? Ve neyle - tuhaf?
  3. Düz, mavi ve kırmızı kalemlerden oluşan bir çekmecede. Rastgele bir kalem çiziyoruz. Basit bir tane çıkarma olasılığı nedir?

Çözümler:

  1. Kaç seçenek var? Yazılar ve turalar - sadece iki. Ve bunlardan kaç tanesi uygun? Sadece biri kartal. yani olasılık

    Kuyruklarla aynı: .

  2. Toplam seçenekler: (bir küpün kaç kenarı vardır, çok farklı seçenekler). Olumlu olanlar: (bunların hepsi çift sayılardır :).
    Olasılık. Garip, elbette, aynı şey.
  3. Toplam: . uygun: . Olasılık: .

Tam Olasılık

Çekmecedeki tüm kalemler yeşildir. Kırmızı kalem çizme olasılığı nedir? Şans yok: olasılık (sonuçta, olumlu olaylar -).

Böyle bir olaya imkansız denir.

Yeşil kalem çizme olasılığı nedir? Toplam olay sayısı kadar olumlu olay vardır (tüm olaylar olumludur). Yani olasılık veya.

Böyle bir olaya kesin denir.

Kutunun içinde yeşil ve kırmızı kalem varsa, yeşil veya kırmızı kalem çekme olasılığı nedir? Bir kez daha. Şuna dikkat edin: yeşil çizme olasılığı eşittir ve kırmızıdır.

Özetle, bu olasılıklar tam olarak eşittir. Yani, tüm olası olayların olasılıklarının toplamı veya'ya eşittir.

Örnek:

Bir kutu kalemin içinde mavi, kırmızı, yeşil, basit, sarı ve diğerleri turuncu. Yeşil çizmeme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olasılıkların toplandığını unutmayın. Ve yeşil çizme olasılığı eşittir. Bu, green'i çizmeme olasılığının eşit olduğu anlamına gelir.

Bu numarayı hatırla: Bir olayın olmama olasılığı eksi olayın olma olasılığıdır.

Bağımsız olaylar ve çarpma kuralı

Bir yazı turasını iki kez atıyorsunuz ve ikisinde de tura gelmesini istiyorsunuz. Bunun olasılığı nedir?

Tüm olası seçenekleri gözden geçirelim ve kaç tane olduğunu belirleyelim:

Kartal-Kartal, Kuyruk-Kartal, Kartal-Kuyruk, Kuyruk-Kuyruk. Başka?

Bütün varyant. Bunlardan sadece biri bize uyuyor: Kartal-Kartal. Yani olasılık eşittir.

İyi. Şimdi bir yazı tura atalım. Kendini say. Olmuş? (Cevap).

Her bir sonraki atışın eklenmesiyle olasılığın bir faktör azaldığını fark etmiş olabilirsiniz. Genel kural aranan çarpma kuralı:

Bağımsız olayların olasılıkları değişir.

Bağımsız olaylar nelerdir? Her şey mantıklı: bunlar birbirine bağlı olmayanlardır. Örneğin, birkaç kez yazı tura attığımızda, her seferinde yeni bir atış yapıldığında, sonucu önceki tüm atışlara bağlı değildir. Aynı başarı ile aynı anda iki farklı jeton atabiliyoruz.

Daha fazla örnek:

  1. Bir zar iki kez atılıyor. Her iki seferde de gelme olasılığı nedir?
  2. Bir madeni para kez atılıyor. Önce tura, sonra iki kez tura gelme olasılığı nedir?
  3. Oyuncu iki zar atar. Üzerlerindeki sayıların toplamının eşit olma olasılığı kaçtır?

Yanıtlar:

  1. Olaylar bağımsızdır, bu da çarpma kuralının çalıştığı anlamına gelir: .
  2. Kartal olma olasılığı eşittir. Kuyruk olasılığı da. çarpıyoruz:
  3. 12 ancak iki -ki düşerse elde edilebilir: .

Uyumsuz olaylar ve toplama kuralı

Uyumsuz olaylar, tam olasılığa kadar birbirini tamamlayan olaylardır. Adından da anlaşılacağı gibi, aynı anda olamazlar. Örneğin, yazı tura atarsak yazı veya tura düşebilir.

Örnek.

Bir kutu kalemin içinde mavi, kırmızı, yeşil, basit, sarı ve diğerleri turuncu. Yeşil veya kırmızı çekme olasılığı nedir?

Çözüm .

Yeşil kalem çizme olasılığı eşittir. Kırmızı - .

Hepsinden hayırlı olaylar: yeşil + kırmızı. Yani yeşil veya kırmızı çizme olasılığı eşittir.

Aynı olasılık aşağıdaki biçimde temsil edilebilir: .

Bu ekleme kuralıdır: uyumsuz olayların olasılıkları toplanır.

Karma görevler

Örnek.

Madeni para iki kez havaya atılıyor. Ruloların sonucunun farklı olma olasılığı nedir?

Çözüm .

Bu, tura önce gelirse, tura ikinci olmalı ve tam tersi anlamına gelir. Burada birbirinden bağımsız iki olay çifti olduğu ve bu çiftlerin birbiriyle uyumsuz olduğu ortaya çıktı. Nerede çarpılacağı ve nereye ekleneceği konusunda kafanız karışmasın.

Bu tür durumlar için basit bir kural vardır. Olayları "VE" veya "VEYA" birliktelikleri ile bağlayarak ne olması gerektiğini açıklamaya çalışın. Örneğin, bu durumda:

Yuvarlanmalı (yazı ve tura) veya (tura ve tura).

Bir "ve" birleşiminin olduğu yerde çarpma olacaktır ve "veya" toplamanın olduğu yerde:

Kendin dene:

  1. İki yazı tura atışının her iki seferde de aynı tarafla gelme olasılığı nedir?
  2. Bir zar iki kez atılıyor. Toplamın puan düşürme olasılığı nedir?

Çözümler:

  1. (Yazı yukarı ve yazı yukarı) veya (yazı yukarı ve yazı yukarı): .
  2. Seçenekler nedir? ve. O zamanlar:
    Haddelenmiş (ve) veya (ve) veya (ve): .

Başka bir örnek:

Bir kez yazı tura atıyoruz. En az bir kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Ah, seçenekleri sıralamak istemem... Yazı-yazı-tura, Kartal-yazı-tura, ... Ama buna gerek yok! Tam olasılık hakkında konuşalım. Hatırladı? kartal olma olasılığı kaçtır? asla düşmeyecek? Çok basit: kuyruklar her zaman uçar, bu demektir.

OLASILIK TEORİSİ. KISACA ANA HAKKINDA

Olasılık, olumlu olayların sayısının tüm olası olayların sayısına oranıdır.

Bağımsız etkinlikler

Birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelme olasılığını değiştirmiyorsa, iki olay bağımsızdır.

Tam Olasılık

Tüm olası olayların olasılığı ().

Bir olayın olmama olasılığı eksi olayın olma olasılığıdır.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Belirli bir bağımsız olay dizisinin olasılığı, olayların her birinin olasılıklarının çarpımına eşittir.

Uyumsuz etkinlikler

Uyumsuz olaylar, bir deney sonucunda aynı anda meydana gelmesi mümkün olmayan olaylardır. Bir dizi uyumsuz olay, tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Uyumsuz olayların olasılıkları toplanır.

Olması gerekeni tanımladıktan sonra, "VE" yerine "VE" veya "VEYA" birliklerini kullanarak çarpma işaretini koyduk ve "VEYA" yerine - toplama koyduk.

KALAN 2/3 MAKALELER SADECE SİZ ZEKİ ÖĞRENCİLERE ULAŞABİLİR!

YouClever'ın öğrencisi olun,

"Ayda bir fincan kahve" fiyatına matematikte OGE veya USE için hazırlanın,

Ayrıca "YouClever" ders kitabına, "100gia" hazırlık programına (rechebnik), sınırsız erişime sahip olun. deneme sınavı ve OGE, çözümlerin analizi ile 6000 görev ve diğer YouClever ve 100gia hizmetleri.

Programcılar için Matematik: Olasılık Teorisi

İvan Kamışan

Bazı programcılar, geleneksel ticari uygulamaların geliştirilmesinde çalıştıktan sonra, makine öğreniminde ustalaşmayı ve bir veri analisti olmayı düşünüyor. Genellikle belirli yöntemlerin neden işe yaradığını anlamıyorlar ve çoğu makine öğrenimi yöntemi sihir gibi görünüyor. Aslında, makine öğrenimi, matematiksel istatistik, sırayla, olasılık teorisine dayanır. Bu nedenle, bu yazıda olasılık teorisinin temel kavramlarına dikkat edeceğiz: olasılık, dağılım tanımlarına değineceğiz ve birkaç basit örneği analiz edeceğiz.

Olasılık teorisinin şartlı olarak 2 bölüme ayrıldığını biliyor olabilirsiniz. Ayrık olasılık teorisi, sonlu (veya sayılabilir) sayıda olası davranışa (zar atma, madeni para) sahip bir dağılımla tanımlanabilen fenomenleri inceler. Sürekli olasılık teorisi, örneğin bir segment veya bir daire gibi bazı yoğun kümelere dağılmış fenomenleri inceler.

Olasılık teorisi konusunu şu şekilde düşünebilirsiniz. basit örnek. Kendinizi bir nişancı geliştiricisi olarak hayal edin. Bu türdeki oyunların gelişiminin ayrılmaz bir parçası, çekim mekaniğidir. Tüm silahların kesinlikle doğru bir şekilde ateş ettiği bir nişancı oyununun oyuncuların pek ilgisini çekmeyeceği açıktır. Bu nedenle, silaha yayılma eklemek gerekir. Ancak silah isabet noktalarını basitçe rastgele hale getirmek bunu yapmaz ince ayar, bu nedenle oyun dengesini ayarlamak zor olacaktır. Aynı zamanda rastgele değişkenleri ve dağılımlarını kullanarak, silahın belirli bir yayılma ile nasıl çalışacağını analiz edebilir ve gerekli ayarlamaların yapılmasına yardımcı olabilirsiniz.

Temel sonuçların alanı

Diyelim ki, birçok kez tekrarlayabileceğimiz rastgele bir deneyden (örneğin, yazı tura atmak), bazı biçimselleştirilebilir bilgiler (tura veya tura) çıkarabiliriz. Bu bilgiye temel sonuç denir ve genellikle Ω (Omega) harfiyle gösterilen tüm temel sonuçlar kümesini dikkate almak yararlıdır.

Bu uzayın yapısı tamamen deneyin doğasına bağlıdır. Örneğin, yeterince büyük dairesel bir hedefe ateş etmeyi düşünürsek, temel sonuçların alanı kolaylık olması açısından merkez sıfıra yerleştirilmiş bir daire olacaktır ve sonuç bu daire içinde bir nokta olacaktır.

Ek olarak, temel sonuç kümelerini - olaylar (örneğin, "ilk on" a ulaşmak, hedefi olan küçük yarıçaplı eşmerkezli bir dairedir) dikkate alırlar. Ayrık durumda, her şey oldukça basittir: Sonlu bir zamanda temel sonuçlar dahil veya hariç olmak üzere herhangi bir olayı elde edebiliriz. Bununla birlikte, sürekli durumda, her şey çok daha karmaşıktır: eklenebilen, çıkarılabilen, bölünebilen ve çarpılabilen basit gerçek sayılarla analoji yoluyla cebir adı verilen yeterince iyi bir küme ailesine ihtiyacımız var. Bir cebirdeki kümeler kesişebilir ve birleştirilebilir ve işlemin sonucu cebirde olacaktır. Bu, tüm bu kavramların arkasındaki matematik için çok önemli bir özelliktir. Minimal aile sadece iki kümeden oluşur - boş küme ve temel sonuçların uzayı.

Ölçü ve Olasılık

Olasılık, çok karmaşık nesnelerin nasıl çalıştıklarını anlamadan davranışları hakkında çıkarımlarda bulunmanın bir yoludur. Bu nedenle, olasılık, bir sayı döndüren bir olayın (bu çok iyi küme ailesinden) bir işlevi olarak tanımlanır - bu tür bir olayın gerçekte ne sıklıkta meydana gelebileceğinin bir özelliği. Kesinlik için, matematikçiler bu sayının sıfır ile bir arasında olması gerektiği konusunda hemfikirdiler. Ek olarak, bu fonksiyona gereksinimler uygulanır: imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır, tüm sonuç kümesinin olasılığı birdir ve iki bağımsız olayın (ayrık kümeler) birleştirilmesi olasılığı, olasılıkların toplamına eşittir. . Olasılığın diğer adı olasılık ölçüsüdür. Uzunluk, alan, hacim kavramlarını herhangi bir boyuta (n boyutlu hacim) genelleştiren ve bu nedenle geniş bir küme sınıfına uygulanabilen en yaygın kullanılan Lebesgue ölçüsü.

Birlikte, bir dizi temel sonuç kümesi, bir kümeler ailesi ve bir olasılık ölçüsü olarak adlandırılır. olasılık uzayı. Hedef atış örneği için nasıl bir olasılık uzayı oluşturabileceğimize bakalım.

Kaçırılmaması gereken, R yarıçaplı büyük bir yuvarlak hedefe ateş etmeyi düşünün. Bir dizi temel olay olarak, yarıçapı R koordinatlarının orijininde ortalanmış bir daire koyduk. Bir olayın olasılığını tanımlamak için alanı (iki boyutlu kümeler için Lebesgue ölçüsü) kullanacağımızdan, ölçülebilir kümeler ailesini (bu ölçümün mevcut olduğu) kullanacağız.

Not Aslında bu teknik bir noktadır ve basit görevlerölçü ve küme ailesini belirleme süreci özel bir rol oynamaz. Ancak bu iki nesnenin var olduğunu anlamak gerekir, çünkü olasılık teorisi üzerine birçok kitapta teoremler şu sözlerle başlar: “ (Ω,Σ,P) bir olasılık uzayı olsun…».

Yukarıda bahsedildiği gibi, temel sonuçların tüm uzayının olasılığı bire eşit olmalıdır. Okuldan iyi bilinen formüle göre dairenin alanı (iki boyutlu Lebesgue ölçüsü, λ 2 (A) ile göstereceğiz, burada A olaydır) π * R 2'dir. O zaman P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) olasılığını ortaya koyabiliriz ve bu değer herhangi bir A olayı için zaten 0 ile 1 arasında olacaktır.

Hedefin herhangi bir noktasını vurmanın eşit derecede olası olduğunu varsayarsak, atıcının hedefin bir bölgesinde vurma olasılığını araştırması, bu setin alanını bulmaya indirgenir (dolayısıyla şu sonuca varabiliriz: belirli bir noktaya çarpma olasılığı sıfırdır, çünkü noktanın alanı sıfırdır).

Örneğin, atıcının "on"u vurma olasılığının ne olduğunu bilmek istiyoruz (a olayı - atıcı doğru seti vurur). Modelimizde "on", sıfır merkezli ve yarıçapı r olan bir daire ile temsil edilmektedir. O zaman bu daireye düşme olasılığı P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2'dir.

Bu, "geometrik olasılık" problemlerinin en basit çeşitlerinden biridir - bu problemlerin çoğu bir alan bulmayı gerektirir.

rastgele değişkenler

Rastgele değişken, temel sonuçları gerçek sayılara dönüştüren bir işlevdir. Örneğin, ele alınan problemde, rasgele bir değişken ρ(ω) ekleyebiliriz - çarpma noktasından hedefin merkezine olan mesafe. Modelimizin basitliği, temel sonuçların uzayını açıkça belirtmemize izin verir: Ω = (ω = (x,y) x 2 +y 2 ≤ R 2 ) olacak şekilde sayılar. Sonra rastgele değişken ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Olasılık uzayından soyutlama araçları. Dağıtım fonksiyonu ve yoğunluğu

Mekanın yapısının iyi bilinmesi iyidir, ancak gerçekte durum her zaman böyle değildir. Uzayın yapısı bilinse bile karmaşık olabilir. Rastgele değişkenleri tanımlamak için, eğer ifadeleri bilinmiyorsa, F ξ (x) = P(ξ) ile gösterilen bir dağılım fonksiyonu kavramı vardır.< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение rastgele değişkenξ bu olayda verilen x parametresinden küçüktür.

Dağıtım işlevinin birkaç özelliği vardır:

  1. İlk olarak, 0 ile 1 arasındadır.
  2. İkincisi, argümanı x arttığında azalmaz.
  3. Üçüncüsü, -x sayısı çok büyük olduğunda dağıtım işlevi 0'a yakındır ve x'in kendisi büyük olduğunda dağılım işlevi 1'e yakındır.

Muhtemelen, bu yapının anlamı ilk okumada çok net değildir. Biri faydalı özellikler– dağıtım işlevi, değerin aralıktan bir değer alma olasılığını aramanıza olanak tanır. Yani, P (rastgele değişken ξ ) = F ξ (b)-F ξ (a) aralığından değerler alır. Bu eşitlikten yola çıkarak, aralığın a ve b sınırları yakınsa bu değerin nasıl değiştiğini araştırabiliriz.

d = b-a olsun, sonra b = a+d olsun. Ve bu nedenle, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Küçük d değerleri için yukarıdaki fark da küçüktür (dağılım sürekli ise). p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d ilişkisini düşünmek mantıklıdır. Yeterince küçük d değerleri için bu oran, d'den bağımsız olarak bazı sabit p ξ (a) 'dan çok az farklıysa, o zaman bu noktada rastgele değişkenin yoğunluğu p ξ (a) .

Not Daha önce türev kavramıyla karşılaşan okuyucular, p ξ (a)'nın F ξ (x) fonksiyonunun a noktasındaki türevi olduğunu fark edebilirler. Her durumda, Mathprofi web sitesinde bu konuya ayrılmış bir makalede türev kavramını inceleyebilirsiniz.

Şimdi dağılım fonksiyonunun anlamı şu şekilde tanımlanabilir: a noktasındaki türevi (yoğunluğu p ξ , yukarıda tanımladığımız) bir rastgele değişkenin a noktasında (a noktasının komşuluğu) merkezli küçük bir aralığa ne sıklıkla düşeceğini tanımlar. diğer noktaların mahalleleri ile karşılaştırıldığında. Başka bir deyişle, dağıtım işlevi ne kadar hızlı büyürse, böyle bir değerin rastgele bir deneyde ortaya çıkma olasılığı o kadar artar.

Örneğe geri dönelim. Hedefe rastgele isabet eden noktanın merkezden uzaklığını gösteren ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 rasgele değişken için dağılım fonksiyonunu hesaplayabiliriz. Tanım olarak, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Bu rastgele değişkenin yoğunluğunu p ρ bulabiliriz. Aralığın dışında sıfır olduğunu hemen not ediyoruz, çünkü bu aralıktaki dağılım işlevi değişmez. Bu aralığın sonunda yoğunluk belirlenmez. Aralığın içinde, bir türev tablosu (örneğin, Mathprofi web sitesinden) ve temel türevlendirme kuralları kullanılarak bulunabilir. t2/R2'nin türevi 2t/R2'dir. Bu, yoğunluğu gerçek sayıların tüm ekseninde bulduğumuz anlamına gelir.

Yoğunluğun bir başka kullanışlı özelliği de, bir fonksiyonun bir aralıktan değer alma olasılığının, bu aralık üzerinden yoğunluğun integrali kullanılarak hesaplanmasıdır (Mathprofi web sitesinde doğru, yanlış, belirsiz integraller ile ilgili makalelerde ne olduğunu öğrenebilirsiniz). ).

İlk okumada f(x) fonksiyonunun yayılma integrali eğrisel bir yamuğun alanı olarak düşünülebilir. Yanları, Ox ekseninin bir parçası, bir boşluk (yatay koordinat ekseninin), eğri üzerindeki (a,f(a)), (b,f(b)) noktalarını (a, 0), (b,0) x ekseni üzerinde. Son taraf, (a,f(a)) ile (b,f(b)) arasındaki f fonksiyonunun grafiğinin bir parçasıdır. (-∞; b] aralığındaki integral hakkında konuşabiliriz, yeterince büyük negatif değerler için, a, aralıktaki integralin değeri, a sayısındaki değişime kıyasla ihmal edilecek kadar küçük olduğunda. aralıklar benzer şekilde belirlenir Konular genel olarak bilgi teknolojisi EN şans olasılık teorisi olasılık hesaplama … Teknik Çevirmenin El Kitabı

Olasılık teorisi- çeşitli olayların olasılıkları (bkz. Olasılık ve İstatistik) arasındaki ilişkileri inceleyen matematiğin bir bölümü vardır. Bu bilimle ilgili en önemli teoremleri listeliyoruz. Uyumsuz birkaç olaydan birinin meydana gelme olasılığı şuna eşittir: ... ... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. efron

OLASILIK TEORİSİ- matematiksel bazı rastgele olayların olasılıklarına göre (bkz.), k.l ile ilişkili rastgele olayların olasılıklarını bulmaya izin veren bir bilim. ilk ile yol. modern televizyon A. N. Kolmogorov'un aksiyomatiklerine dayanarak (bkz. Aksiyomatik yöntem). Üzerinde… … Rus sosyolojik ansiklopedisi

Olasılık teorisi- bazı rastgele olayların verilen olasılıklarına göre, diğer olayların olasılıklarının bulunduğu ve bir şekilde birinciyle ilişkili olduğu bir matematik dalı. Olasılık teorisi ayrıca rastgele değişkenleri ve rastgele süreçleri de inceler. Ana biri…… Modern doğa bilimi kavramları. Temel terimler sözlüğü

olasılık teorisi- tikimybių teorija durumları T sritis fizika atitikmenys: engl. olasılık teorisi vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. olasılık teorisi, fprac. theorie des olasılıklar, f … Fizikos terminų žodynas

Olasılık teorisi- ... Vikipedi

Olasılık teorisi- rastgele fenomen kalıplarını inceleyen bir matematik disiplini ... Modern doğa biliminin başlangıçları

OLASILIK TEORİSİ- (olasılık teorisi) bkz. Olasılık ... Büyük açıklayıcı sosyolojik sözlük

Olasılık teorisi ve uygulamaları- (“Olasılık Teorisi ve Uygulamaları”), SSCB Bilimler Akademisi Matematik Bölümü'nün bilimsel bir dergisi. Olasılık teorisi, matematiksel istatistiğin genel soruları ve doğa bilimlerindeki uygulamaları hakkında orijinal makaleler ve kısa iletişimler yayınlar ve ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Kitabın

  • Olasılık teorisi. , Venttsel E.S. Kitap, normal bir lise dersi kapsamında matematiğe aşina olan ve olasılık teorisinin teknik uygulamalarıyla ilgilenen kişiler için hazırlanmış bir ders kitabıdır, ... 2056 UAH için satın alın (yalnızca Ukrayna)
  • Olasılık teorisi. , Wentzel E.S. Kitap, normal bir lise dersi kapsamında matematiğe aşina olan ve olasılık teorisinin teknik uygulamalarıyla ilgilenen kişilere yönelik bir ders kitabıdır.

GİRİİŞ

Kavramlarımız zayıf olduğu için değil, birçok şey bizim için anlaşılmazdır;
ama bu şeyler kavramlarımızın çemberine girmediği için.
Kozma Prutkov

Ortaöğretim uzmanlaşmış eğitim kurumlarında matematik çalışmanın temel amacı, öğrencilere matematiği bir dereceye kadar kullanan diğer program disiplinlerini incelemek, pratik hesaplamalar yapabilme, oluşum ve gelişim için gerekli bir dizi matematiksel bilgi ve beceri kazandırmaktır. mantıksal düşünmenin

Bu yazıda, program ve Devlet Ortaöğretim Mesleki Eğitim Standartları (Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı) tarafından sağlanan "Olasılık Teorisinin ve Matematiksel İstatistiklerin Temelleri" matematik bölümünün tüm temel kavramları sırayla tanıtılmaktadır. ., 2002), çoğu ispatlanmamış ana teoremler formüle edilmiştir. Çözümleri için ana görevler ve yöntemler ve bu yöntemleri pratik problemleri çözmek için uygulama teknolojileri göz önünde bulundurulur. Sunuma ayrıntılı yorumlar ve çok sayıda örnek eşlik ediyor.

Metodik talimatlar, çalışılan materyalle ilk tanışma için, ders notları alırken, pratik alıştırmalara hazırlanmak için, edinilen bilgi, beceri ve yetenekleri pekiştirmek için kullanılabilir. Ek olarak, kılavuz lisans öğrencileri için daha önce çalışılanları hafızaya hızlı bir şekilde geri yüklemenizi sağlayan bir referans aracı olarak faydalı olacaktır.

Çalışmanın sonunda öğrencilerin otokontrol modunda gerçekleştirebilecekleri örnekler ve görevler verilmiştir.

Metodolojik talimatlar, yazışma ve tam zamanlı eğitim biçimleri öğrencileri için tasarlanmıştır.

TEMEL KONSEPTLER

Olasılık teorisi, kitlesel rastgele olayların nesnel düzenliliklerini inceler. Gözlem sonuçlarının toplanması, tanımlanması ve işlenmesi için yöntemlerin geliştirilmesiyle ilgilenen matematiksel istatistikler için teorik bir temeldir. Gözlemler yoluyla (testler, deneyler), yani. Kelimenin geniş anlamıyla deneyim, gerçek dünyadaki fenomenlerin bilgisidir.

Pratik faaliyetlerimizde, sonucu tahmin edilemeyen, sonucu şansa bağlı olan fenomenlerle sıklıkla karşılaşırız.

Rastgele bir fenomen, meydana gelme sayısının, her birinde, tüm denemelerin aynı koşulları altında meydana gelebileceği veya gerçekleşmeyebileceği denemelerin sayısına oranı ile karakterize edilebilir.

Olasılık teorisi, rastgele fenomenlerin (olayların) incelendiği ve kütle tekrarları sırasında düzenliliklerin ortaya çıkarıldığı bir matematik dalıdır.

Matematiksel istatistik, bilimsel olarak sağlam sonuçlar elde etmek ve kararlar almak için istatistiksel verileri toplama, sistemleştirme, işleme ve kullanma yöntemlerinin incelenmesini konu alan bir matematik dalıdır.

Aynı zamanda, istatistiksel veriler, incelenen nesnelerin bizi ilgilendiren özelliklerinin nicel özelliklerini temsil eden bir dizi sayı olarak anlaşılmaktadır. İstatistiksel veriler, özel olarak tasarlanmış deneyler ve gözlemler sonucunda elde edilir.

İstatistiksel veriler özünde birçok rastgele faktöre bağlıdır, bu nedenle matematiksel istatistik, teorik temeli olan olasılık teorisi ile yakından ilişkilidir.

I. OLASILIK. TOPLAMA VE OLASILIK ÇARPMA TEOREMLERİ

1.1. Kombinatoriğin temel kavramları

Matematiğin kombinatorik adı verilen bölümünde, kümelerin ele alınması ve bu kümelerin çeşitli eleman kombinasyonlarının derlenmesi ile ilgili bazı problemler çözülmüştür. Örneğin, 10 farklı 0, 1, 2, 3,:, 9 sayılarını alıp bunların kombinasyonlarını yaparsak, farklı sayılar elde ederiz, örneğin 143, 431, 5671, 1207, 43, vb.

Bu kombinasyonlardan bazılarının yalnızca basamak sırasına göre farklılık gösterdiğini (örneğin, 143 ve 431), diğerlerinin içlerinde bulunan sayılarda (örneğin, 5671 ve 1207) ve diğerlerinin de basamak sayısında farklılık gösterdiğini görüyoruz ( örneğin, 143 ve 43).

Böylece elde edilen kombinasyonlar çeşitli koşulları karşılamaktadır.

Derleme kurallarına bağlı olarak, üç tür kombinasyon ayırt edilebilir: permütasyonlar, yerleşimler, kombinasyonlar.

Önce konseptle tanışalım faktöriyel.

1'den n'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımı denir n-faktöriyel ve yaz.

Hesaplayın: a) ; b) ; içinde) .

Çözüm. a) .

b) yanı sıra , sonra onu parantezlerden çıkarabilirsiniz

sonra alırız

içinde) .

Permütasyonlar.

Birbirinden yalnızca elemanlarının sırasına göre farklılık gösteren n tane elemanın birleşimine permütasyon denir.

Permütasyonlar sembolü ile gösterilir P n , burada n, her bir permütasyondaki eleman sayısıdır. ( R- Fransızca kelimenin ilk harfi permütasyon- permütasyon).

Permütasyon sayısı formül kullanılarak hesaplanabilir.

veya faktöriyel ile:

bunu hatırlayalım 0!=1 ve 1!=1.

Örnek 2. Altı farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Çözüm. İstenen yol sayısı, 6 elementin permütasyon sayısına eşittir, yani.

Konaklama

Yerleşimler m içindeki elemanlar n her birinde, elementlerin kendileri (en az bir) veya konumdan sıra ile birbirinden farklı olan bu tür bileşikler denir.

Konumlar sembolü ile gösterilir, burada m mevcut tüm öğelerin sayısıdır, n her kombinasyondaki eleman sayısıdır. ( ANCAK- Fransızca kelimenin ilk harfi ayarlama, bu "yerleştirme, sıraya koyma" anlamına gelir).

Aynı zamanda, varsayılmaktadır ki nm.

Yerleşim sayısı formül kullanılarak hesaplanabilir

,

şunlar. tüm olası yerleşimlerin sayısı m tarafından elemanlar nürüne eşittir n büyük olan ardışık tam sayılar m.

Bu formülü faktöriyel formda yazıyoruz:

Örnek 3. Beş başvuru sahibi için üç kuponun çeşitli profillerden bir sanatoryuma dağıtımı için kaç seçenek yapılabilir?

Çözüm. İstenen seçenek sayısı, 5 öğenin 3 öğeye göre yerleşim sayısına eşittir, yani.

.

Kombinasyonlar.

Kombinasyonlar, olası tüm kombinasyonlardır. m tarafından elemanlar n, birbirinden en az bir öğe ile farklılık gösteren (burada m ve n- doğal sayılar ve nm).

gelen kombinasyon sayısı m tarafından elemanlar n gösterilir ( İTİBAREN- Fransızca kelimenin ilk harfi kombinasyon- kombinasyon).

Genel olarak, sayı m tarafından elemanlar n gelen yerleşim sayısına eşit m tarafından elemanlar n permütasyon sayısına bölünmesiyle elde edilen n elementler:

Yerleştirme ve permütasyon sayıları için faktöriyel formülleri kullanarak şunları elde ederiz:

Örnek 4. 25 kişilik bir ekipte, belirli bir alanda çalışmak için dört kişi ayırmanız gerekiyor. Bu kaç yolla yapılabilir?

Çözüm. Seçilen dört kişinin sırası önemli olmadığı için bu, şekillerde yapılabilir.

İlk formülle buluyoruz

.

Ayrıca, problemleri çözerken, kombinasyonların ana özelliklerini ifade eden aşağıdaki formüller kullanılır:

(tanım gereği ve varsayılır);

.

1.2. Kombinatoryal problemleri çözme

Görev 1. Fakültede 16 ders incelenmektedir. Pazartesi günü, programa 3 konu koymanız gerekiyor. Bu kaç yolla yapılabilir?

Çözüm. Her biri 3'lü 16 öğeden oluşan yerleşimler olduğu gibi, 16 öğeden üçünü planlamanın birçok yolu vardır.

Görev 2. 15 nesneden 10 nesne seçilmelidir. Bu kaç yolla yapılabilir?

Görev 3. Yarışmaya dört takım katıldı. Aralarındaki koltuk dağılımı için kaç seçenek mümkündür?

.

Problem 4. Üç asker ve bir subaydan oluşan 80 asker ve 3 subaydan oluşan bir devriye kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm. Devriyedeki asker seçilebilir

yollar ve memurlar yolları. Herhangi bir subay, her asker ekibiyle gidebileceğinden, sadece yollar var.

Görev 5. Biliniyorsa bulun.

Aldığımızdan beri

,

,

Kombinasyonun tanımına göre , . O. .

1.3. Rastgele bir olay kavramı. Etkinlik türleri. Olay Olasılığı

Belirli bir dizi koşul altında gerçekleştirilen birkaç farklı sonucu olan herhangi bir eylem, fenomen, gözlem olarak adlandırılacaktır. Ölçek.

Bu eylemin veya gözlemin sonucuna denir. Etkinlik .

Belirli koşullar altında bir olay gerçekleşebilir veya gerçekleşmezse, buna denir. rastgele . Bir olayın mutlaka gerçekleşmesi gerekiyorsa buna denir. güvenilir , ve kesinlikle olamayacağı durumda, - imkansız.

olaylar denir uyumsuz her seferinde sadece biri görünebilirse.

olaylar denir bağlantı verilen koşullar altında, bu olaylardan birinin meydana gelmesi, aynı testte diğerinin meydana gelmesini dışlamıyorsa.

olaylar denir karşısında , eğer test koşulları altında bunlar, onun tek sonuçları olarak, uyumsuzsa.

Olaylar genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: A, B, C, D, : .

Eksiksiz bir olaylar sistemi A 1 , A 2 , A 3 , : , A n, belirli bir test için en az birinin gerçekleşmesi zorunlu olan bir dizi uyumsuz olaydır.

Tam bir sistem uyumsuz iki olaydan oluşuyorsa, bu tür olaylara ters denir ve A ve ile gösterilir.

Örnek. Bir kutuda 30 numaralı top vardır. Aşağıdaki olaylardan hangisinin imkansız, kesin, zıt olduğunu belirleyin:

numaralı bir top var (ANCAK);

çift ​​numaralı bir top çiz (AT);

tek sayılı bir top çekildi (İTİBAREN);

numarasız bir top var (D).

Hangisi tam bir grup oluşturur?

Çözüm . ANCAK- belli olay; D- imkansız olay;

içinde ve İTİBAREN- zıt olaylar.

Olayların tam grubu ANCAK ve D, V ve İTİBAREN.

Bir olayın olasılığı, rastgele bir olayın meydana gelmesinin nesnel olasılığının bir ölçüsü olarak kabul edilir.

1.4. Olasılığın klasik tanımı

Bir olayın meydana gelmesinin nesnel olasılığının ölçüsünün ifadesi olan sayıya denir. olasılık bu olay ve sembolü ile gösterilir P(A).

Tanım. Bir olayın olasılığı ANCAK belirli bir olayın meydana gelmesini destekleyen sonuçların sayısının m oranıdır ANCAK, numaraya n tüm sonuçlar (uyumsuz, benzersiz ve eşit derecede mümkün), yani. .

Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını düşündükten sonra, olası tüm uyumsuz sonuçları hesaplamak gerekir. n, ilgilendiğimiz sonuç sayısını seçin m ve oranı hesaplayın m ile n.

Bu tanımdan aşağıdaki özellikler gelir:

Herhangi bir denemenin olasılığı, bir taneyi geçmeyen negatif olmayan bir sayıdır.

Gerçekten de, istenen olayların m sayısı içinde yatmaktadır. Her iki parçayı da bölmek n, alırız

2. Belirli bir olayın olasılığı bire eşittir, çünkü .

3. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır çünkü .

Problem 1. Piyangoda 1000 biletten 200 kazanan var. Rastgele bir bilet çekiliyor. Bu biletin kazanma olasılığı nedir?

Çözüm. Farklı sonuçların toplam sayısı n=1000. Kazanan lehine sonuç sayısı m=200'dür. Formüle göre, elde ederiz

.

Görev 2. 18 parçalık bir partide 4 kusurlu parça var. 5 adet rastgele seçilir. Bu 5 parçadan ikisinin bozuk olma olasılığını bulunuz.

Çözüm. Tüm eşit olası bağımsız sonuçların sayısı n 18'den 5'e kadar olan kombinasyonların sayısına eşittir, yani.

A olayı için uygun olan m sayısını hesaplayalım. Rastgele alınan 5 parçadan 3'ü kaliteli 2'si bozuk olmalıdır. Mevcut 4 kusurlu parçadan iki kusurlu parçayı seçme yollarının sayısı, 4'ten 2'ye kadar olan kombinasyonların sayısına eşittir:

Mevcut 14 kaliteli parçadan üç kaliteli parçayı seçme yollarının sayısı şuna eşittir:

.

Herhangi bir kaliteli parça grubu, herhangi bir kusurlu parça grubu ile birleştirilebilir, bu nedenle toplam kombinasyon sayısı m dır-dir

A olayının arzu edilen olasılığı, bu olayı destekleyen m sonuç sayısının eşit olası tüm bağımsız sonuçların n sayısına oranına eşittir:

.

Sonlu sayıda olayın toplamı, bunlardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

İki olayın toplamı A + B sembolü ile gösterilir ve toplamı n olaylar sembolü A 1 +A 2 + : +A n .

Olasılıkların eklenmesi teoremi.

Uyumsuz iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

Sonuç 1. Eğer А 1 , А 2 , : , А n olayı tam bir sistem oluşturuyorsa, bu olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir.

Sonuç 2. Zıt olayların olasılıklarının toplamı ve bire eşittir.

.

Problem 1. 100 piyango bileti var. 5 biletin 20.000 ruble, 10 - 15.000 ruble, 15 - 10.000 ruble, 25 - 2.000 ruble kazandığı bilinmektedir. ve geri kalanı için hiçbir şey. Satın alınan biletin en az 10.000 ruble kazanma olasılığını bulun.

Çözüm. A, B ve C, satın alınan bilete 20.000, 15.000 ve 10.000 rubleye eşit bir ödül düştüğü gerçeğinden oluşan olaylar olsun. A, B ve C olayları uyumsuz olduğundan,

Görev 2. Teknik okulun yazışma departmanı şehirlerden matematikte testler alır A, B ve İTİBAREN. Şehirden kontrol işi alma olasılığı ANCAKşehirden 0,6'ya eşit AT- 0.1. Bir sonraki kontrol işinin şehirden gelme olasılığını bulunuz. İTİBAREN.

İki olay arasındaki bağlantının en basit örneği, olaylardan birinin meydana gelmesi zorunlu olarak diğerinin ortaya çıkmasına yol açtığında veya bunun tersi, birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelme olasılığını dışladığı zaman nedensel bir ilişkidir.

Bazı olayların diğerlerine bağımlılığını karakterize etmek için kavram tanıtıldı. şartlı olasılık.

Tanım. İzin vermek ANCAK ve AT- aynı testin iki rastgele olayı. O halde olayın koşullu olasılığı ANCAK veya B olayının gerçekleşmesi şartıyla A olayının olasılığına sayı denir.

Koşullu olasılığı belirterek, formülü elde ederiz.

, .

Görev 1. Bir erkek çocuğu olan bir ailede ikinci bir erkek çocuğun doğma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. olay olsun ANCAK ailede iki erkek çocuk olması ve olayın AT- o çocuk.

Tüm olası sonuçları göz önünde bulundurun: oğlan ve oğlan; erkek ve kız; kız ve erkek; kız ve kız.

Sonra ve bulduğumuz formüle göre

.

Etkinlik ANCAK aranan bağımsız olaydan AT olayın meydana gelmesi durumunda AT bir olayın meydana gelme olasılığı üzerinde hiçbir etkisi yoktur ANCAK.

Olasılık çarpma teoremi

İki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:

Toplamda bağımsız olan birkaç olayın meydana gelme olasılığı, formülle hesaplanır.

Problem 2. Birinci kutuda 6 siyah ve 4 beyaz top, ikinci kutuda 5 siyah ve 7 beyaz top var. Her urndan bir top çekiliyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığı kaçtır?

bir ve AT bir olay var AB. Sonuç olarak,

b) İlk eleman çalışıyorsa, bir olay meydana gelir (olayın tersi ANCAK- bu elemanın başarısızlığı); ikinci eleman işe yararsa - olay AT. Olayların olasılıklarını bulun ve:

O halde, her iki öğenin de çalışacağı gerçeğinden oluşan olay ve dolayısıyla,