) naglalaro lalo na mahalagang papel sa probability theory at kadalasang ginagamit sa paglutas ng mga praktikal na problema. Ang pangunahing tampok nito ay ito ang batas na naglilimita, na nilapitan ng iba pang mga batas ng pamamahagi sa ilalim ng mga karaniwang karaniwang kundisyon. Halimbawa, ang kabuuan ng isang sapat na malaking bilang ng mga independyente (o mahinang umaasa) na mga random na variable na humigit-kumulang ay sumusunod sa normal na batas, at ito ay mas tumpak, mas maraming random na mga variable ang nasusuma.

Napatunayan sa eksperimento na ang mga pagkakamali sa pagsukat, mga paglihis sa mga geometric na sukat at posisyon ng mga elemento ng mga istruktura ng gusali sa panahon ng kanilang paggawa at pag-install, pagkakaiba-iba ng pisikal at mekanikal na mga katangian ng mga materyales at mga kargamento na kumikilos sa mga istruktura ng gusali ay napapailalim sa normal na batas.

Halos lahat ng mga random na variable ay sumusunod sa pamamahagi ng Gaussian, ang paglihis kung saan mula sa mga average na halaga ay sanhi ng isang malaking hanay ng mga random na kadahilanan, na ang bawat isa ay indibidwal na hindi gaanong mahalaga. (Central limit theorem).

normal na pamamahagi tinatawag na distribusyon ng isang random na tuluy-tuloy na variable kung saan ang probability density ay may anyo (Fig. 18.1).

kanin. 18.1. Normal na batas sa pamamahagi para sa isang 1< a 2 .

(18.1)

kung saan a at ang mga parameter ng pamamahagi.

Mga katangiang probabilistik random variable, na ibinahagi ayon sa normal na batas, ay katumbas ng:

Pag-asa sa matematika (18.2)

Pagpapakalat (18.3)

Standard deviation (18.4)

Asymmetry coefficient A = 0(18.5)

Sobra E= 0. (18.6)

Ang parameter σ na kasama sa Gaussian distribution ay katumbas ng root-mean-square ratio ng isang random variable. Halaga a tinutukoy ang posisyon ng sentro ng pamamahagi (tingnan ang Fig. 18.1), at ang halaga a- lapad ng pamamahagi (Larawan 18.2), i.e. pagkalat ng istatistika sa paligid ng ibig sabihin.

kanin. 18.2. Normal na batas sa pamamahagi para sa σ 1< σ 2 < σ 3

Ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na pagitan (mula sa x 1 hanggang x 2) para sa isang normal na distribusyon, tulad ng sa lahat ng mga kaso, ay tinutukoy ng integral ng probability density (18.1), na hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar at kinakatawan ng isang espesyal na function, na tinatawag na Laplace function (integral ng mga probabilidad).

Isa sa mga representasyon ng probability integral:

(18.7)

Halaga at tinawag dami.

Makikita na F(x) - kakaibang function, ibig sabihin, F(-x) = -F(x) . Ang mga halaga ng pagpapaandar na ito ay kinakalkula at ipinakita sa anyo ng mga talahanayan sa teknikal at pang-edukasyon na panitikan.

Ang distribution function ng normal na batas (Fig. 18.3) ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng probability integral:

(18.9)

kanin. 18.2. Ang pag-andar ng batas ng normal na pamamahagi.

Ang posibilidad na ang isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas ay nahuhulog sa pagitan mula sa X. sa x, ay tinutukoy ng expression:

Dapat ito ay nabanggit na

Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0.5; Ф(-∞) = -0.5.

Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema na may kaugnayan sa pamamahagi, ang isa ay madalas na kailangang isaalang-alang ang posibilidad na mahulog sa isang agwat na simetriko na may paggalang sa inaasahan sa matematika, kung ang haba ng agwat na ito i.e. kung ang agwat mismo ay may hangganan mula sa , mayroon tayong:

Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema, ang mga hangganan ng mga paglihis ng mga random na variable ay ipinahayag sa pamamagitan ng pamantayan, ang karaniwang paglihis, na pinarami ng isang tiyak na kadahilanan na tumutukoy sa mga hangganan ng lugar ng mga paglihis ng isang random na variable.

Ang pagkuha at at gamit din ang formula (18.10) at ang talahanayan F (x) (Appendix Blg. 1), nakukuha natin

Ipinapakita ng mga formula na ito na kung ang isang random na variable ay may normal na distribusyon, kung gayon ang posibilidad ng paglihis nito mula sa average na halaga nito na hindi hihigit sa σ ay 68.27%, hindi hihigit sa 2σ - 95.45% at hindi hihigit sa 3σ - 99.73%.

Dahil ang halaga ng 0.9973 ay malapit sa pagkakaisa, halos imposible para sa normal na distribusyon ng isang random na variable na lumihis mula sa inaasahan sa matematika ng higit sa 3σ. Ang panuntunang ito, na may bisa lamang para sa isang normal na pamamahagi, ay tinatawag na tatlong sigma na panuntunan. Ang paglabag nito ay malamang P = 1 - 0.9973 = 0.0027. Ginagamit ang panuntunang ito kapag nagtatakda ng mga hangganan ng pinahihintulutang paglihis ng mga pagpapaubaya ng mga geometric na katangian ng mga produkto at istruktura.

Sa maraming mga problema na nauugnay sa normal na ipinamamahagi na mga random na variable, kinakailangan upang matukoy ang posibilidad na ang isang random na variable, na sumusunod sa normal na batas na may mga parameter, ay nahuhulog sa pagitan mula hanggang . Upang kalkulahin ang posibilidad na ito, ginagamit namin ang pangkalahatang formula

saan ang distribution function ng quantity .

Hanapin natin ang distribution function ng isang random variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na may mga parameter . Ang density ng pamamahagi ng halaga ay:

Mula dito makikita natin ang function ng pamamahagi

. (6.3.3)

Gawin natin ang pagbabago ng variable sa integral (6.3.3)

at dalhin ito sa form:

(6.3.4)

Ang integral (6.3.4) ay hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na mga function, ngunit maaari itong kalkulahin sa mga tuntunin ng isang espesyal na function na nagpapahayag tiyak na integral mula sa expression o (ang tinatawag na probability integral), kung saan ang mga talahanayan ay pinagsama-sama. Mayroong maraming mga uri ng naturang mga pag-andar, halimbawa:

;

atbp. Alin sa mga function na ito ang gagamitin ay isang bagay ng panlasa. Pipili tayo bilang isang function

. (6.3.5)

Madaling makita na ang function na ito ay walang iba kundi ang distribution function para sa isang normal na distributed random variable na may mga parameter.

Sumasang-ayon kaming tawagan ang function na isang normal na distribution function. Ang appendix (Talahanayan 1) ay nagpapakita ng mga talahanayan ng mga halaga ng function.

Ipahayag natin ang distribution function (6.3.3) ng quantity na may mga parameter at sa mga tuntunin ng normal distribution function . Obviously,

Ngayon, hanapin natin ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable sa segment mula hanggang . Ayon sa formula (6.3.1)

Kaya, ipinahayag namin ang posibilidad na ang isang random na variable , na ibinahagi ayon sa normal na batas na may anumang mga parameter, ay mahuhulog sa plot sa mga tuntunin ng standard distribution function , na tumutugma sa pinakasimpleng normal na batas na may mga parameter na 0.1. Tandaan na ang mga argumento ng function sa formula (6.3.7) ay may napakasimpleng kahulugan: may distansya mula sa kanang dulo ng seksyon hanggang sa gitna ng dispersion, na ipinahayag sa mga karaniwang paglihis; - ang parehong distansya para sa kaliwang dulo ng seksyon, at ang distansya na ito ay itinuturing na positibo kung ang dulo ay matatagpuan sa kanan ng scattering center, at negatibo kung sa kaliwa.

Tulad ng anumang function ng pamamahagi, ang function ay may mga sumusunod na katangian:

3. - hindi bumababa na pag-andar.

Bilang karagdagan, mula sa mahusay na proporsyon ng normal na distribusyon na may mga parameter tungkol sa pinagmulan, sinusundan nito iyon

Gamit ang pag-aari na ito, sa katunayan, posible na limitahan ang mga talahanayan ng pag-andar sa mga positibong halaga lamang ng argumento, ngunit upang maiwasan ang isang hindi kinakailangang operasyon (pagbabawas mula sa isa), ang Talahanayan 1 ng apendiks ay nagbibigay ng mga halaga para sa parehong positibo at negatibong mga argumento.

Sa pagsasagawa, ang isang tao ay madalas na nakatagpo ng problema sa pagkalkula ng posibilidad na ang isang normal na ibinahagi na random na variable ay mahuhulog sa isang lugar na simetriko tungkol sa scattering center. Isaalang-alang ang naturang seksyon ng haba (Larawan 6.3.1). Kalkulahin natin ang posibilidad na matamaan ang site na ito gamit ang formula (6.3.7):

Isinasaalang-alang ang pag-aari (6.3.8) ng function at pagbibigay sa kaliwang bahagi ng formula (6.3.9) ng isang mas compact na form, kumuha kami ng isang formula para sa posibilidad ng isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na nahuhulog sa isang simetriko ng seksyon na may paggalang sa scattering center:

. (6.3.10)

Solusyonan natin ang sumusunod na problema. Itabi natin ang sunud-sunod na mga segment ng haba mula sa scattering center (Larawan 6.3.2) at kalkulahin ang posibilidad na ang isang random na variable ay mahuhulog sa bawat isa sa kanila. Dahil ang kurba ng normal na batas ay simetriko, sapat na upang ipagpaliban ang mga naturang segment sa isang direksyon lamang.

Ayon sa formula (6.3.7) makikita natin:

(6.3.11)

Tulad ng makikita mula sa mga datos na ito, ang mga posibilidad na matamaan ang bawat isa sa mga sumusunod na segment (ikalima, ikaanim, atbp.) na may katumpakan na 0.001 ay katumbas ng zero.

Ang pag-round sa mga probabilidad na maabot ang mga segment sa 0.01 (hanggang 1%), makakakuha tayo ng tatlong numero na madaling matandaan:

0,34; 0,14; 0,02.

Ang kabuuan ng tatlong halagang ito ay 0.5. Nangangahulugan ito na para sa isang normal na ipinamamahagi na random na variable, lahat ng dispersion (hanggang sa mga fraction ng isang porsyento) ay magkasya sa seksyon .

Ito ay nagbibigay-daan, alam ang karaniwang paglihis at ang matematikal na pag-asa ng isang random na variable, na humigit-kumulang na ipahiwatig ang saklaw ng halos posibleng mga halaga nito. Ang ganitong paraan para sa pagtatantya ng saklaw ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay kilala sa mga istatistika ng matematika tinatawag na three sigma rule. Ang panuntunan ng tatlong sigma ay nagpapahiwatig din ng isang tinatayang pamamaraan para sa pagtukoy ng karaniwang paglihis ng isang random na variable: kinukuha nila ang maximum na posibleng paglihis mula sa average at hinati ito ng tatlo. Siyempre, ang magaspang na paraan na ito ay maaari lamang irekomenda kung walang iba, mas tumpak na mga paraan upang matukoy .

Halimbawa 1. Ang isang random na variable , na ibinahagi ayon sa normal na batas, ay isang error sa pagsukat ng isang tiyak na distansya. Kapag sumusukat, pinapayagan ang isang sistematikong error sa direksyon ng labis na pagtatantya ng 1.2 (m); ang standard deviation ng error sa pagsukat ay 0.8 (m). Hanapin ang posibilidad na ang paglihis ng sinusukat na halaga mula sa tunay na halaga ay hindi lalampas sa 1.6 (m) sa ganap na halaga.

Desisyon. Ang error sa pagsukat ay isang random na variable na sumusunod sa normal na batas na may mga parameter at . Kailangan nating hanapin ang posibilidad na bumaba ang dami na ito sa pagitan mula hanggang . Sa pamamagitan ng formula (6.3.7) mayroon tayo:

Gamit ang mga talahanayan ng pag-andar (Appendix, Talahanayan 1), makikita natin:

; ,

Halimbawa 2. Hanapin ang parehong posibilidad tulad ng sa nakaraang halimbawa, ngunit sa kondisyon na walang sistematikong error.

Desisyon. Sa pamamagitan ng formula (6.3.10), sa pag-aakalang , makikita natin ang:

Halimbawa 3. Sa isang target na mukhang isang strip (freeway), ang lapad nito ay 20 m, ang pagbaril ay isinasagawa sa isang direksyon na patayo sa freeway. Ang pagpuntirya ay isinasagawa sa gitnang linya ng highway. Ang standard deviation sa direksyon ng pagpapaputok ay katumbas ng m. Mayroong sistematikong error sa direksyon ng pagpapaputok: ang undershoot ay 3 m. Hanapin ang posibilidad na matamaan ang freeway sa isang shot.

Normal na batas ng pamamahagi ng posibilidad

Nang walang pagmamalabis, matatawag itong batas na pilosopikal. Ang pagmamasid sa iba't ibang mga bagay at proseso ng mundo sa paligid natin, madalas nating nakatagpo ang katotohanan na ang isang bagay ay hindi sapat, at mayroong isang pamantayan:


Narito ang isang pangunahing pananaw mga function ng density normal na pamamahagi ng posibilidad, at tinatanggap kita sa pinakakawili-wiling araling ito.

Anong mga halimbawa ang maaaring ibigay? Kadiliman lang sila. Ito ay, halimbawa, taas, bigat ng mga tao (at hindi lamang), ang kanilang pisikal na lakas, kakayahan ng pag-iisip atbp. may "misa" (sa isa o ibang paraan) at may mga paglihis sa magkabilang direksyon.

Ito ay iba't ibang katangian ng mga bagay na walang buhay (parehong sukat, timbang). Ito ay isang random na tagal ng mga proseso, halimbawa, ang oras ng isang daang metrong karera o ang pagbabago ng resin sa amber. Mula sa pisika, ang mga molekula ng hangin ay naisip: kasama ng mga ito ay may mga mabagal, may mga mabilis, ngunit karamihan sa kanila ay gumagalaw sa "karaniwang" bilis.

Susunod, lumihis kami mula sa gitna ng isa pang karaniwang paglihis at kalkulahin ang taas:

Pagmarka ng mga puntos sa pagguhit (kulay berde) at nakikita natin na ito ay sapat na.

Sa huling yugto, maingat kaming gumuhit ng isang graph, at lalo na maingat sumasalamin ito convexity / concavity! Buweno, malamang na natanto mo nang matagal na ang nakalipas na ang abscissa axis ay pahalang na asymptote, at talagang imposibleng "umakyat" para dito!

Gamit ang elektronikong disenyo ng solusyon, ang graph ay madaling itayo sa Excel, at sa hindi inaasahan para sa aking sarili, nag-record pa ako ng maikling video sa paksang ito. Ngunit una, pag-usapan natin kung paano nagbabago ang hugis ng normal na kurba depende sa mga halaga ng at .

Kapag tumataas o bumababa ang "a" (na may hindi nagbabagong "sigma") napapanatili ng graph ang hugis nito at gumagalaw pakanan / kaliwa ayon sa pagkakabanggit. Kaya, halimbawa, kapag ang function ay kinuha ang form at ang aming graph ay "gumagalaw" ng 3 unit sa kaliwa - eksakto sa pinanggalingan:


Ang isang normal na ipinamamahagi na dami na may zero na inaasahan sa matematika ay nakatanggap ng ganap na natural na pangalan - nakasentro; density function nito ay kahit, at ang graph ay simetriko tungkol sa y-axis.

Sa kaganapan ng pagbabago sa "sigma" (na may pare-parehong "a"), ang graph ay "nananatili sa lugar", ngunit nagbabago ang hugis. Kapag pinalaki, ito ay nagiging mas mababa at pahaba, tulad ng isang octopus na lumalawak ang kanyang mga galamay. At kabaliktaran, kapag binabawasan ang graph nagiging makitid at mas matangkad- ito ay lumiliko out "nagulat octopus." Oo, sa bumaba"sigma" ng dalawang beses: ang nakaraang chart ay lumiliit at umaabot nang dalawang beses:

Ang lahat ay ganap na naaayon sa geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph.

Ang normal na distribusyon na may halaga ng yunit na "sigma" ay tinatawag na-normalize, at kung ito rin nakasentro(ang aming kaso), kung gayon ang naturang pamamahagi ay tinatawag pamantayan. Mayroon itong mas simpleng function ng density, na naranasan na sa lokal na teorama ng Laplace: . Ang karaniwang pamamahagi ay nakahanap ng malawak na aplikasyon sa pagsasanay, at sa lalong madaling panahon ay mauunawaan na natin ang layunin nito.

Ngayon, manood tayo ng pelikula:

Oo, tama - kahit papaano ay nanatili tayo sa mga anino function ng pamamahagi ng posibilidad. Naaalala namin siya kahulugan:
- ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na mas mababa kaysa sa variable , na "tumatakbo" sa lahat ng tunay na halaga \u200b\u200bsa "plus" na infinity.

Sa loob ng integral, karaniwang ginagamit ang ibang letra upang walang "mga overlay" na may notasyon, dahil dito ang bawat halaga ay itinalaga hindi wastong integral, na katumbas ng ilan numero mula sa pagitan.

Halos lahat ng mga halaga ay hindi maaaring kalkulahin nang eksakto, ngunit tulad ng nakita natin, na may modernong kapangyarihan sa pag-compute, hindi ito mahirap. Kaya, para sa karaniwang function ng pamamahagi, ang kaukulang Excel function sa pangkalahatan ay naglalaman ng isang argumento:

=NORMSDIST(z)

Isa, dalawa - at tapos ka na:

Ang pagguhit ay malinaw na nagpapakita ng pagpapatupad ng lahat mga katangian ng function ng pamamahagi, at mula sa mga teknikal na nuances dito dapat mong bigyang pansin pahalang na asymptotes at isang inflection point.

Ngayon, alalahanin natin ang isa sa mga pangunahing gawain ng paksa, ibig sabihin, alamin kung paano hanapin - ang posibilidad na ang isang normal na random na variable kukuha ng halaga mula sa pagitan. Sa geometriko, ang posibilidad na ito ay katumbas ng lugar sa pagitan ng normal na curve at ng x-axis sa kaukulang seksyon:

ngunit sa bawat oras na gumiling ng isang tinatayang halaga ay hindi makatwiran, at samakatuwid ay mas makatuwirang gamitin "madaling" formula:
.

! nakakaalala din , Ano

Dito maaari mong gamitin muli ang Excel, ngunit mayroong ilang makabuluhang "ngunit": una, hindi ito palaging nasa kamay, at pangalawa, ang mga "handa na" na halaga, malamang, ay magtataas ng mga tanong mula sa guro. Bakit?

Paulit-ulit kong napag-usapan ang tungkol dito: sa isang pagkakataon (at hindi pa matagal na ang nakalipas) ang isang ordinaryong calculator ay isang luho, at ang "manu-manong" na paraan ng paglutas ng problemang isinasaalang-alang ay napanatili pa rin sa literatura na pang-edukasyon. Ang kakanyahan nito ay ang gawing pamantayan ang mga halagang "alpha" at "beta", iyon ay, bawasan ang solusyon sa karaniwang pamamahagi:

Tandaan : ang function ay madaling makuha mula sa pangkalahatang kasogamit ang linear pagpapalit. Pagkatapos at:

at mula sa kapalit ay sumusunod lamang sa pormula para sa paglipat mula sa mga halaga ng isang di-makatwirang pamamahagi sa kaukulang mga halaga ng karaniwang pamamahagi.

Bakit kailangan ito? Ang katotohanan ay ang mga halaga ay maingat na kinakalkula ng ating mga ninuno at na-summarized sa isang espesyal na talahanayan, na nasa maraming mga libro sa terver. Ngunit ang mas karaniwan ay ang talahanayan ng mga halaga, na napag-usapan na natin Laplace integral theorem:

Kung mayroon kaming isang talahanayan ng mga halaga ng function ng Laplace , pagkatapos ay malulutas namin ito:

Ang mga fractional na halaga ay tradisyonal na bilugan sa 4 na decimal na lugar, tulad ng ginagawa sa karaniwang talahanayan. At para sa kontrol aytem 5 layout.

Ipinaaalala ko sa iyo na , at upang maiwasan ang pagkalito laging may kontrol, talahanayan ng WHAT function bago ang iyong mga mata.

Sagot ay kinakailangang ibigay bilang isang porsyento, kaya ang kinakalkula na posibilidad ay dapat na i-multiply sa 100 at bigyan ang resulta ng isang makabuluhang komento:

- na may flight mula 5 hanggang 70 m, humigit-kumulang 15.87% ng mga shell ang mahuhulog

Nagsasanay kami sa aming sarili:

Halimbawa 3

Ang diameter ng mga bearings na ginawa sa pabrika ay isang random variable na karaniwang ipinamamahagi na may inaasahan na 1.5 cm at isang standard deviation na 0.04 cm. Hanapin ang posibilidad na ang laki ng isang random na kinuhang bearing ay mula 1.4 hanggang 1.6 cm.

Sa sample na solusyon at sa ibaba, gagamitin ko ang Laplace function bilang pinakakaraniwang opsyon. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ayon sa mga salita, dito maaari mong isama ang mga dulo ng agwat sa pagsasaalang-alang. Gayunpaman, hindi ito kritikal.

At na sa halimbawang ito nakilala natin isang espesyal na kaso– kapag ang pagitan ay simetriko na may kinalaman sa inaasahan sa matematika. Sa ganoong sitwasyon, maaari itong isulat sa form at, gamit ang kakaiba ng Laplace function, pasimplehin ang gumaganang formula:

Ang delta parameter ay tinatawag paglihis mula sa inaasahan sa matematika, at ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring "naka-pack" gamit modyul:

ay ang posibilidad na ang halaga ng isang random na variable ay lumihis mula sa inaasahan sa matematika nang mas mababa sa .

Well, ang solusyon na akma sa isang linya :)
ay ang posibilidad na ang diameter ng isang tindig na kinuha nang random ay naiiba mula sa 1.5 cm ng hindi hihigit sa 0.1 cm.

Ang resulta ng gawaing ito ay naging malapit sa pagkakaisa, ngunit gusto ko ng higit na pagiging maaasahan - ibig sabihin, upang malaman ang mga hangganan kung saan ang diameter ay halos lahat bearings. Mayroon bang anumang pamantayan para dito? umiral! Ang tanong ay sinasagot ng tinatawag na

tatlong sigma na panuntunan

Ang kakanyahan nito ay iyon praktikal na maaasahan ay ang katotohanan na ang isang karaniwang ibinahagi na random na variable ay kukuha ng isang halaga mula sa pagitan .

Sa katunayan, ang posibilidad ng paglihis mula sa inaasahan ay mas mababa kaysa sa:
o 99.73%

Sa mga tuntunin ng "bearings" - ito ay 9973 piraso na may diameter na 1.38 hanggang 1.62 cm at 27 "substandard" na mga kopya lamang.

Sa praktikal na pananaliksik, ang panuntunan ng "tatlong sigma" ay karaniwang ginagamit sa magkasalungat na daan: kung sa istatistika natagpuan na halos lahat ng mga halaga random variable na pinag-aaralan magkasya sa pagitan ng 6 na karaniwang paglihis, pagkatapos ay may mga magandang dahilan upang maniwala na ang halagang ito ay ibinahagi ayon sa normal na batas. Ang pagpapatunay ay isinasagawa gamit ang teorya istatistikal na hypotheses.

Patuloy naming nilulutas ang malupit na mga gawain ng Sobyet:

Halimbawa 4

Ang random na halaga ng error sa pagtimbang ay ibinahagi ayon sa normal na batas na may zero mathematical expectation at isang standard deviation na 3 gramo. Hanapin ang posibilidad na ang susunod na pagtimbang ay isasagawa na may error na hindi hihigit sa 5 gramo sa ganap na halaga.

Desisyon napakasimple. Sa pamamagitan ng kondisyon, at agad naming tandaan na sa susunod na pagtimbang (isang bagay o isang tao) halos 100% natin makukuha ang resulta na may accuracy na 9 grams. Ngunit sa problema mayroong isang mas makitid na paglihis at ayon sa pormula:

- ang posibilidad na ang susunod na pagtimbang ay isasagawa na may error na hindi hihigit sa 5 gramo.

Sagot:

Ang isang nalutas na problema ay sa panimula ay naiiba mula sa isang tila katulad. Halimbawa 3 aralin tungkol sa pare-parehong pamamahagi. Nagkaroon ng error pagbilog mga resulta ng pagsukat, dito pinag-uusapan natin ang random na error ng mga sukat mismo. Ang mga pagkakamaling ito ay lumitaw dahil sa teknikal na mga detalye ang mismong instrumento (ang saklaw ng mga pinahihintulutang pagkakamali, bilang panuntunan, ay ipinahiwatig sa kanyang pasaporte), at dahil din sa kasalanan ng nag-eksperimento - kapag, halimbawa, "sa pamamagitan ng mata" ay kumukuha kami ng mga pagbabasa mula sa arrow ng parehong mga kaliskis.

Sa iba pa, mayroon ding tinatawag na sistematiko mga error sa pagsukat. ito ay na hindi random mga error na nangyayari dahil sa maling setup o pagpapatakbo ng device. Kaya, halimbawa, ang mga unadjusted floor scales ay maaaring patuloy na "magdagdag" ng isang kilo, at ang nagbebenta ay sistematikong kulang sa timbang na mga mamimili. O hindi sistematiko dahil maaari kang mag-shortchange. Gayunpaman, sa anumang kaso, ang gayong error ay hindi magiging random, at ang inaasahan nito ay iba sa zero.

…Agad akong bumuo ng isang kurso sa pagsasanay sa pagbebenta =)

Solusyonan natin ang problema sa ating sarili:

Halimbawa 5

Ang diameter ng roller ay isang random na normal na ipinamamahagi na random na variable, ang standard deviation nito ay mm. Hanapin ang haba ng agwat, simetriko na may paggalang sa inaasahan sa matematika, kung saan ang haba ng diameter ng butil ay mahuhulog nang may posibilidad.

Item 5* layout ng disenyo para tumulong. Pakitandaan na ang pag-asa sa matematika ay hindi alam dito, ngunit hindi ito gaanong nakakasagabal sa paglutas ng problema.

At ang gawain sa pagsusulit, na lubos kong inirerekumenda upang pagsamahin ang materyal:

Halimbawa 6

Ang isang normal na distributed random variable ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga parameter nito (mathematical expectation) at (standard deviation). Kailangan:

a) isulat ang probability density at schematically ilarawan ang graph nito;
b) hanapin ang posibilidad na kukuha ito ng halaga mula sa pagitan ;
c) hanapin ang posibilidad na ang modulo ay lumihis mula sa hindi hihigit sa ;
d) paglalapat ng panuntunan ng "three sigma", hanapin ang mga halaga ng random variable .

Ang ganitong mga problema ay inaalok sa lahat ng dako, at sa paglipas ng mga taon ng pagsasanay, nalutas ko ang daan-daan at daan-daang mga ito. Tiyaking magsanay sa pagguhit ng kamay at paggamit ng mga spreadsheet na papel ;)

Buweno, susuriin ko ang isang halimbawa ng tumaas na pagiging kumplikado:

Halimbawa 7

Ang probability distribution density ng isang random variable ay may anyo . Find , mathematical expectation , variance , distribution function , plot density at distribution functions, find .

Desisyon: una sa lahat, bigyang-pansin natin na ang kundisyon ay walang sinasabi tungkol sa likas na katangian ng random variable. Sa kanyang sarili, ang pagkakaroon ng exhibitor ay hindi nangangahulugan ng anuman: maaari itong, halimbawa, demonstrative o sa pangkalahatan ay arbitraryo patuloy na pamamahagi. At samakatuwid, ang "normalidad" ng pamamahagi ay kailangan pa ring patunayan:

Dahil ang function tinutukoy sa anuman tunay na halaga, at maaari itong bawasan sa anyo, pagkatapos ay ang random na variable ay ibinahagi ayon sa normal na batas.

Ipinepresenta namin. Para dito pumili ng isang buong parisukat at ayusin tatlong palapag na bahagi:


Tiyaking magsagawa ng tseke, ibabalik ang indicator sa orihinal nitong anyo:

na kung ano ang gusto naming makita.

kaya:
- sa tuntunin ng kapangyarihan"pinupunasan". At dito maaari mong agad na isulat ang mga halatang numerical na katangian:

Ngayon hanapin natin ang halaga ng parameter. Dahil ang normal na distribution multiplier ay may anyo at , kung gayon:
, kung saan ipinapahayag at pinapalitan namin sa aming function:
, pagkatapos nito ay muli nating susuriin ang rekord gamit ang ating mga mata at siguraduhin na ang resultang function ay may form .

I-plot natin ang density:

at ang plot ng distribution function :

Kung walang Excel at kahit isang regular na calculator sa kamay, pagkatapos ay ang huling tsart ay madaling binuo nang manu-mano! Sa punto, ang distribution function ay tumatagal ng isang halaga at narito

Isipin mo espesyal na kaso kapag ang mga parameter ng pamamahagi m = 0 .σ = 1 . Normal na pamamahagi N(0;1) ay tinatawag pamantayan normal na pamamahagi. Sa kasong ito, ang density ng pamamahagi

(22)

Ang curve ng pamamahagi na itinayo ayon sa karaniwang formula ng normal na pamamahagi ay may hugis ng kampanilya, ang vertical axis ay ang axis ng simetrya, ang pahalang ay ang asymptote. Ang pinakamataas na halaga ng ordinate ay

Para sa mga halaga ng argumento x = ± 3, ang mga halaga ng function ay malapit sa zero: na may kabuuang lugar sa ilalim ng distribution curve na katumbas ng isa, 99.73% ay nasa saklaw na ito. Tandaan na sa hanay x = ± 2 ay nasa 95.44% ng lugar sa ilalim ng distribution curve, at nasa range X= ±1 - 68.26%.

Figure 3.- Curve ng standard normal distribution

Kapag binabago ang parameter t ang graph ay inilipat sa kanan o kaliwa upang ang linya x=t- axis ng simetrya

Figure 4 - Impluwensiya ng parameter t tulad ng isang normal na kurba ng pamamahagi

Sa pagtaas ng parameter σ, ang maximum ng distribution curve ay bumababa, na may pagbaba, at ang curve ay umaabot paitaas, habang, ayon sa normalization condition, ang lugar sa ilalim ng distribution curve ay nananatiling pare-pareho (at katumbas ng isa)

Figure 5 - Ang impluwensya ng parameter σ sa anyo ng normal na distribution curve.

Isaalang-alang muli ang karaniwang normal na distribusyon N(0,1). Ang function ng naturang distribution ay tinatawag minsan na Laplace function, mayroon itong espesyal na designation F (x). Maaari mong isulat ang equation

(23)

Ang function na ito ay naka-tabulate. Halimbawa, Ф(2.48) = = 0.9934. Ang graph ng function ay ipinapakita sa Fig.

Figure 6 - Graph ng standard normal distribution function

Mula sa simetrya ng graph ay sumusunod sa kaugnayan

F(-x) = 1-F(x)

naka-tabulate at dami ng normal na distribusyon

Normal na distribusyon dami ng order p - itong numero ikaw p , para sa Ф(u p) = p .Halimbawa,=1.645

Mula sa simetrya ng graph ng karaniwang normal na distribution function at ang formula, isang kapaki-pakinabang na ugnayan para sa mga quantile ang sumusunod:

u 1- p = u p

Maaari kang magtatag ng ugnayan sa pagitan ng distribution function F(x) para sa distribution N(m,σ) at ang standard na normal distribution function:

(24)

Ang posibilidad ng isang normal na ibinahagi na random variable na bumabagsak sa pagitan mula x 1 hanggang x 2 ay tinutukoy ng formula

Kadalasan sa mga kalkulasyon ay kinakailangan upang mahanap ang posibilidad na ang isang random na variable X ay hindi masyadong lumilihis mula sa inaasahang halaga nito m:

Tatlong Sigma Rule

Hayaan, halimbawa, ε = 3σ. Gamit ang mga talahanayan ng karaniwang normal na distribution function, makikita natin ang:

samakatuwid, ang posibilidad na ang isang random na variable ay lumihis mula sa mathematical na inaasahan ng higit sa 3σ ay bale-wala:

Ang ganitong kaganapan ay halos imposible. Para sa kadahilanang ito, ang tinatawag na tatlong sigma na panuntunan: ang paglihis ng isang normal na ibinahagi na random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito, bilang panuntunan, ay hindi lalampas sa tatlong beses sa karaniwang paglihis.

Isaalang-alang ang aplikasyon ng mga katangian ng normal na distribusyon

Halimbawa.1 Ang mga roller na may nominal na diameter na 10 mm ay ginawa sa isang awtomatikong makina. Ang standard deviation na nagpapakilala sa katumpakan ng makina ay σ = 0.03 mm. Gaano karaming mga roll mula sa isang daang, sa karaniwan, ang nakakatugon sa pamantayan, kung kinakailangan nito na ang diameter ay lumihis mula sa nominal nang hindi hihigit sa 0.05 mm?

Magkakaroon din ng mga gawain para sa isang malayang solusyon, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Normal na pamamahagi: mga teoretikal na pundasyon

Ang mga halimbawa ng mga random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas ay ang taas ng isang tao, ang masa ng nahuling isda ng parehong species. Ang ibig sabihin ng normal na distribution ay ang mga sumusunod : mayroong mga halaga ng taas ng tao, ang masa ng mga isda ng parehong species, na intuitively perceived bilang "normal" (at sa katunayan - average), at ang mga ito ay mas karaniwan sa isang sapat na malaking sample kaysa sa mga na naiiba pataas o pababa.

Ang normal na probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable (minsan ang Gaussian distribution) ay maaaring tawaging bell-shaped dahil sa katotohanan na ang density function ng distribution na ito, na simetriko tungkol sa mean, ay halos kapareho ng cut ng isang bell ( pulang kurba sa figure sa itaas).

Ang posibilidad na matugunan ang ilang mga halaga sa sample ay katumbas ng lugar ng figure sa ilalim ng curve, at sa kaso ng isang normal na pamamahagi, makikita natin na sa ilalim ng tuktok ng "kampanilya" , na tumutugma sa mga halaga na may kaugnayan sa average, ang lugar, at samakatuwid ang posibilidad, ay mas malaki kaysa sa ilalim ng mga gilid. Kaya, nakukuha natin ang parehong bagay na nasabi na: ang posibilidad na makilala ang isang tao ng "normal" na taas, ang paghuli ng isda ng "normal" na timbang ay mas mataas kaysa sa mga halaga na naiiba pataas o pababa. Sa napakaraming kaso ng pagsasanay, ang mga error sa pagsukat ay ipinamamahagi ayon sa isang batas na malapit sa normal.

Huminto muli tayo sa figure sa simula ng aralin, na nagpapakita ng density function ng normal na distribusyon. Ang graph ng function na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagkalkula ng ilang sample ng data sa software package STATISTICS. Dito, ang mga hanay ng histogram ay kumakatawan sa mga agwat ng mga halaga ng sample na ang pamamahagi ay malapit (o, tulad ng sinasabi nila sa mga istatistika, ay hindi gaanong naiiba mula sa) sa normal na distribution density function graph mismo, na isang pulang curve. Ang graph ay nagpapakita na ang curve na ito ay talagang hugis kampana.

Ang normal na distribusyon ay mahalaga sa maraming aspeto dahil, alam lamang ang ibig sabihin ng isang tuluy-tuloy na random na variable at ang standard deviation, maaari mong kalkulahin ang anumang probabilidad na nauugnay sa variable na ito.

Ang normal na pamamahagi ay may karagdagang pakinabang ng pagiging isa sa pinakamadaling gamitin istatistikal na pamantayan na ginagamit upang subukan ang mga istatistikal na hypotheses - T-test ng mag-aaral- magagamit lamang sa kaso kapag ang sample na data ay sumusunod sa normal na batas sa pamamahagi.

Ang density function ng normal na distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable ay matatagpuan gamit ang formula:

,

saan x- value ng variable, - mean value, - standard deviation, e\u003d 2.71828 ... - ang base ng natural na logarithm, \u003d 3.1416 ...

Mga katangian ng normal na distribution density function

Ang mga pagbabago sa mean ay gumagalaw sa normal na distribution density ng function na curve sa direksyon ng axis baka. Kung ito ay tumaas, ang kurba ay lilipat sa kanan, kung ito ay bumababa, pagkatapos ay sa kaliwa.

Kung nagbabago ang standard deviation, nagbabago ang taas ng curve vertex. Kapag ang standard deviation ay tumaas, ang tuktok ng curve ay mas mataas, kapag ito ay bumababa, ito ay mas mababa.

Ang posibilidad na ang halaga ng isang normal na ibinahagi na random na variable ay mahuhulog sa loob ng isang ibinigay na agwat

Nasa talatang ito, magsisimula kaming malutas ang mga praktikal na problema, ang kahulugan nito ay ipinahiwatig sa pamagat. Suriin natin kung anong mga posibilidad ang ibinibigay ng teorya para sa paglutas ng mga problema. Ang panimulang konsepto para sa pagkalkula ng posibilidad ng isang normal na ibinahagi na random na variable na bumabagsak sa isang naibigay na pagitan ay ang integral function ng normal na distribution.

Integral normal distribution function:

.

Gayunpaman, may problemang kumuha ng mga talahanayan para sa bawat posibleng kumbinasyon ng mean at standard deviation. Samakatuwid, ang isa sa mga simpleng paraan upang makalkula ang posibilidad ng isang normal na ibinahagi na random na variable na nahuhulog sa isang naibigay na agwat ay ang paggamit ng mga talahanayan ng posibilidad para sa isang standardized na normal na distribusyon.

Ang normal na distribusyon ay tinatawag na standardized o normalized distribution., na ang ibig sabihin ng halaga ay , at ang karaniwang paglihis ay .

Density function ng standardized normal distribution:

.

Pinagsama-samang function ng standardized normal distribution:

.

Ipinapakita ng figure sa ibaba ang integral function ng standardized normal distribution, ang graph kung saan nakuha sa pamamagitan ng pagkalkula ng ilang sample ng data sa software package STATISTICS. Ang graph mismo ay isang pulang curve, at ang mga sample na halaga ay papalapit dito.

Upang palakihin ang larawan, maaari mong i-click ito gamit ang kaliwang pindutan ng mouse.

Ang pag-standardize ng random variable ay nangangahulugan ng paglipat mula sa orihinal na mga yunit na ginamit sa gawain patungo sa mga standardized na yunit. Isinasagawa ang standardisasyon ayon sa pormula

Sa pagsasagawa, ang lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable ay madalas na hindi kilala, kaya ang mga halaga ng mean at standard deviation ay hindi maaaring tumpak na matukoy. Ang mga ito ay pinalitan ng arithmetic mean ng mga obserbasyon at ang standard deviation s. Halaga z nagpapahayag ng mga paglihis ng mga halaga ng isang random na variable mula sa arithmetic mean kapag sinusukat ang standard deviations.

Buksan ang pagitan

Ang probability table para sa standardized normal distribution, na available sa halos anumang libro sa statistics, ay naglalaman ng mga probabilities na ang isang random variable ay mayroong standard normal distribution. Z tumatagal sa isang halaga na mas mababa sa isang tiyak na numero z. Iyon ay, mahuhulog ito sa bukas na agwat mula sa minus infinity hanggang z. Halimbawa, ang posibilidad na ang halaga Z mas mababa sa 1.5 ay katumbas ng 0.93319.

Halimbawa 1 Gumagawa ang kumpanya ng mga bahagi na may normal na distributed lifetime na may mean na 1000 at isang standard deviation na 200 oras.

Para sa random na napiling bahagi, kalkulahin ang posibilidad na ang buhay ng serbisyo nito ay hindi bababa sa 900 oras.

Desisyon. Ipakilala natin ang unang notasyon:

Ang nais na posibilidad.

Ang mga halaga ng random na variable ay nasa bukas na agwat. Ngunit maaari nating kalkulahin ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na mas mababa sa isang naibigay na halaga, at ayon sa kondisyon ng problema, ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang katumbas o mas mataas na halaga kaysa sa isang ibinigay na isa. Ito ang kabilang bahagi ng espasyo sa ilalim ng kurba ng kampana. Samakatuwid, upang mahanap ang ninanais na posibilidad, kinakailangan na ibawas mula sa isa ang nabanggit na posibilidad na ang random variable ay kukuha ng halaga na mas mababa sa tinukoy na 900:

Ngayon ang random na variable ay kailangang i-standardize.

Patuloy naming ipinakilala ang notasyon:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - ibinigay na halaga ng isang random na variable;

μ = 1000 - average na halaga;

σ = 200 - karaniwang paglihis.

Batay sa mga datos na ito, nakukuha namin ang mga kondisyon ng problema:

.

Ayon sa mga talahanayan ng isang standardized random variable (interval boundary) z= −0.5 ay tumutugma sa probabilidad na 0.30854. Ibawas ito sa pagkakaisa at kunin ang kinakailangan sa kondisyon ng problema:

Kaya, ang posibilidad na ang buhay ng bahagi ay hindi bababa sa 900 na oras ay 69%.

Ang posibilidad na ito ay maaaring makuha gamit ang MS Excel function NORM.DIST (ang halaga ng integral value ay 1):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.

Tungkol sa mga kalkulasyon sa MS Excel - sa isa sa mga kasunod na talata ng araling ito.

Halimbawa 2 Sa isang partikular na lungsod, ang average na taunang kita ng pamilya ay isang normally distributed random variable na may mean value na 300,000 at isang standard deviation na 50,000. Alam na ang kita ng 40% ng mga pamilya ay mas mababa sa halaga A. Maghanap ng halaga A.

Desisyon. Sa problemang ito, ang 40% ay hindi hihigit sa posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga mula sa isang bukas na pagitan na mas mababa sa isang tiyak na halaga, na ipinahiwatig ng titik A.

Upang mahanap ang halaga A, binubuo muna namin ang integral function:

Ayon sa gawain

μ = 300000 - average na halaga;

σ = 50000 - karaniwang paglihis;

x = A ay ang halaga na makikita.

Binubuo ang pagkakapantay-pantay

.

Ayon sa mga istatistikal na talahanayan, nakita namin na ang posibilidad na 0.40 ay tumutugma sa halaga ng hangganan ng pagitan. z = −0,25 .

Samakatuwid, ginagawa namin ang pagkakapantay-pantay

at hanapin ang solusyon nito:

A = 287300 .

Sagot: ang kita ng 40% ng mga pamilya ay mas mababa sa 287300.

Saradong pagitan

Sa maraming mga problema, kinakailangan upang mahanap ang posibilidad na ang isang normal na ibinahagi na random na variable ay kumukuha ng isang halaga sa pagitan mula sa z 1 hanggang z 2. Ibig sabihin, mahuhulog ito sa closed interval. Upang malutas ang mga naturang problema, kinakailangang hanapin sa talahanayan ang mga probabilidad na naaayon sa mga hangganan ng pagitan, at pagkatapos ay hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga probabilidad na ito. Nangangailangan ito ng pagbabawas ng mas maliit na halaga mula sa mas malaki. Ang mga halimbawa para sa paglutas ng mga karaniwang problemang ito ay ang mga sumusunod, at iminungkahi na lutasin ang mga ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay makikita mo ang mga tamang solusyon at sagot.

Halimbawa 3 Ang tubo ng isang negosyo para sa isang tiyak na panahon ay isang random na variable na napapailalim sa normal na batas sa pamamahagi na may average na halaga na 0.5 milyon c.u. at isang karaniwang paglihis ng 0.354. Tukuyin, na may katumpakan ng dalawang decimal na lugar, ang posibilidad na ang tubo ng negosyo ay mula 0.4 hanggang 0.6 c.u.

Halimbawa 4 Ang haba ng ginawang bahagi ay isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na may mga parameter μ =10 at σ =0.071 . Hanapin, na may katumpakan ng dalawang decimal na lugar, ang posibilidad ng kasal kung ang mga pinapayagang sukat ng bahagi ay dapat na 10 ± 0.05.

Pahiwatig: sa problemang ito, bilang karagdagan sa paghahanap ng posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa isang saradong agwat (ang posibilidad na makakuha ng isang di-depektong bahagi), kailangan ng isa pang aksyon.

ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang posibilidad na ang standardized na halaga Z hindi mas mababa -z at wala na +z, saan z- isang arbitraryong napiling halaga ng isang standardized random variable.

Isang Tinatayang Paraan para sa Pagsusuri sa Normalidad ng isang Pamamahagi

Ang isang tinatayang pamamaraan para sa pagsuri sa normalidad ng pamamahagi ng mga halaga ng sample ay batay sa mga sumusunod ari-arian ng isang normal na distribusyon: skewness β 1 at koepisyent ng kurtosis β 2 sero.

Asymmetry coefficient β 1 numerically characterizes ang simetrya ng empirical distribution na may paggalang sa mean. Kung ang asymmetry coefficient sero, pagkatapos ay ang arithmetric mean, median at mode ay pantay: at ang distribution density curve ay simetriko tungkol sa mean. Kung ang koepisyent ng kawalaan ng simetrya ay mas mababa sa zero (β 1 < 0 ), kung gayon ang arithmetic mean ay mas mababa kaysa sa median, at ang median, naman, ay mas mababa sa mode () at ang kurba ay inilipat sa kanan (kumpara sa normal na distribusyon). Kung ang koepisyent ng kawalaan ng simetrya ay mas malaki kaysa sa zero (β 1 > 0 ), kung gayon ang arithmetic mean ay mas malaki kaysa sa median, at ang median, naman, ay mas malaki kaysa sa mode () at ang kurba ay inilipat sa kaliwa (kumpara sa normal na distribusyon).

Koepisyent ng kurtosis β 2 nailalarawan ang konsentrasyon ng empirical distribution sa paligid ng arithmetic mean sa direksyon ng axis Oy at ang antas ng peaking ng distribution density curve. Kung ang koepisyent ng kurtosis ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang kurba ay mas pinahaba (kumpara sa normal na distribusyon) kasama ang axis Oy(mas pointed ang graph). Kung ang kurtosis coefficient ay mas mababa sa zero, kung gayon ang curve ay mas patag (kumpara sa isang normal na distribusyon) kasama ang axis Oy(mas mapurol ang graph).

Ang skewness coefficient ay maaaring kalkulahin gamit ang MS Excel function na SKRS. Kung susuriin mo ang isang hanay ng data, kailangan mong magpasok ng hanay ng data sa isang kahon ng "Numero".

Ang koepisyent ng kurtosis ay maaaring kalkulahin gamit ang MS Excel function na kurtosis. Kapag sinusuri ang isang array ng data, sapat din na ilagay ang hanay ng data sa isang kahon ng "Numero".

Kaya, tulad ng alam na natin, na may normal na distribusyon, ang skewness at kurtosis coefficients ay katumbas ng zero. Ngunit paano kung nakakuha tayo ng mga coefficient ng skewness na katumbas ng -0.14, 0.22, 0.43, at mga coefficient ng kurtosis na katumbas ng 0.17, -0.31, 0.55? Ang tanong ay medyo patas, dahil sa pagsasagawa kami ay nakikitungo lamang sa humigit-kumulang, pumipili na mga halaga ng kawalaan ng simetrya at kurtosis, na napapailalim sa ilang hindi maiiwasan, hindi makontrol na scatter. Samakatuwid, imposibleng mangailangan ng mahigpit na pagkakapantay-pantay ng mga coefficient na ito sa zero, dapat lang silang sapat na malapit sa zero. Ngunit ano ang ibig sabihin ng sapat?

Kinakailangan na ihambing ang natanggap na mga empirical na halaga sa mga tinatanggap na halaga. Upang gawin ito, kailangan mong suriin ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay (ihambing ang mga halaga ng mga coefficients modulo sa mga kritikal na halaga - ang mga hangganan ng lugar ng pagsubok ng hypothesis).

Para sa koepisyent ng kawalaan ng simetrya β 1 .