Сборът от ирационални числа е ирационално число. Рационални и ирационални числа. Общо понятие и дефиниция на ирационално число

С сегмент с единична дължина древните математици вече са знаели: те са знаели, например, несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на числото.

Ирационални са:

Примери за доказване на ирационалност

Корен от 2

Да приемем обратното: той е рационален, тоест е представен като несводима дроб, където и са цели числа. Нека квадратурираме предполагаемото равенство:

От това следва, че дори, следователно, дори и . Нека къде е цялото. Тогава

Следователно, дори, следователно, дори и . Получихме това и са четни, което противоречи на неприводимостта на дроба . Следователно, първоначалното предположение е погрешно и е ирационално число.

Двоичен логаритъм на числото 3

Да приемем обратното: той е рационален, тоест е представен като дроб, където и са цели числа. Тъй като , и може да се приеме положително. Тогава

Но е ясно, странно е. Получаваме противоречие.

д

История

Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр.н.е., когато Манава (около 750 г. пр. н. е. - около 690 г. пр. н. е.) открива, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изрично изразени.

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. н. е.), питагореец, който намери това доказателство чрез изучаване на дължините на страните на пентаграма. По времето на питагорейците се е смятало, че има единична единица дължина, достатъчно малка и неделима, която е цял брой пъти, включена във всеки сегмент. Въпреки това, Хипас твърди, че няма единна единица дължина, тъй като предположението за нейното съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цял брой единични сегменти, то това число трябва да бъде едновременно четно и нечетно. Доказателството изглеждаше така:

Съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да се изрази като а:б, където аи бизбрана като възможно най-малка.
Според питагоровата теорема: а² = 2 б².
Като а² дори, атрябва да е четно (тъй като квадратът на нечетно число би бил нечетен).
Дотолкова доколкото а:бнесводим бтрябва да е странно.
Като адори, обозначете а = 2г.
Тогава а² = 4 г² = 2 б².
б² = 2 г², следователно бтогава е четно бдори.
Доказано е обаче, че бстранно Противоречие.

Гръцките математици наричат това съотношение на несъизмерими величини alogos(неизразимо), но според легендите на Хипас не е отдадено дължимото уважение. Има легенда, че Хипас е направил откритието по време на морско пътуване и е бил хвърлен зад борда от други питагорейци „за създаването на елемент от Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните съотношения. " Откриването на Хипас представлява сериозен проблем за питагорейската математика, разрушавайки основното предположение, че числата и геометричните обекти са едно цяло и неразделни.

Вижте също

Бележки

Числени системи
Броене комплекти	цели числа ()

Вече показахме по-рано, че $1\frac25$ е близо до $\sqrt2$. Ако беше точно равно на $\sqrt2$, . Тогава съотношението - $\frac(1\frac25)(1)$, което може да се превърне в съотношение на цели числа $\frac75$ чрез умножаване на горната и долната част на дроба по 5, би било желаната стойност.

Но, за съжаление, $1\frac25$ не е точната стойност на $\sqrt2$. По-точен отговор $1\frac(41)(100)$ се дава от отношението $\frac(141)(100)$. Постигаме още по-голяма точност, когато приравним $\sqrt2$ на $1\frac(207)(500)$. В този случай съотношението в цели числа ще бъде равно на $\frac(707)(500)$. Но $1\frac(207)(500)$ също не е точната стойност на квадратния корен от 2. Гръцките математици прекараха много време и усилия, за да изчислят точната стойност на $\sqrt2$, но така и не успяха. Те не успяха да представят съотношението $\frac(\sqrt2)(1)$ като съотношение на цели числа.

И накрая, великият гръцки математик Евклид доказа, че колкото и да се увеличава точността на изчисленията, е невъзможно да се получи точната стойност на $\sqrt2$. Няма такава дроб, която при квадратура да доведе до 2. Твърди се, че Питагор пръв стигнал до това заключение, но този необясним факт толкова впечатлил учения, че той се заклел и дал клетва от учениците си да пазете това откритие в тайна. Тази информация обаче може да не е вярна.

Но ако числото $\frac(\sqrt2)(1)$ не може да бъде представено като съотношение на цели числа, тогава няма число, съдържащо $\sqrt2$, например $\frac(\sqrt2)(2)$ или $\frac (4)(\sqrt2)$ също не може да бъде представен като съотношение на цели числа, тъй като всички такива дроби могат да бъдат преобразувани в $\frac(\sqrt2)(1)$, умножено по някакво число. Така че $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Или $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, което може да се преобразува чрез умножаване на горната и долната част по $\sqrt2$, за да се получи $\frac(4) (\sqrt2)$. (Не бива да забравяме, че без значение какво е числото $\sqrt2$, ако го умножим по $\sqrt2$, получаваме 2.)

Тъй като числото $\sqrt2$ не може да бъде представено като съотношение на цели числа, то се извиква ирационално число. От друга страна се извикват всички числа, които могат да бъдат представени като съотношение на цели числа рационално.

Всички цели и дробни числа, както положителни, така и отрицателни, са рационални.

Както се оказва, повечето квадратни корениса ирационални числа. Рационалните квадратни корени са само за числа, включени в поредица от квадратни числа. Тези числа се наричат още перфектни квадрати. Рационалните числа също са дроби, съставени от тези перфектни квадрати. Например, $\sqrt(1\frac79)$ е рационално число, защото $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ или $1\frac13$ (4 е коренът квадрат от 16, а 3 е корен квадратен от 9).

Материалът на тази статия е първоначалната информация за ирационални числа . Първо, ще дадем определение на ирационалните числа и ще го обясним. Ето няколко примера за ирационални числа. И накрая, нека разгледаме някои подходи за установяване дали дадено число е ирационално или не.

Навигация в страницата.

Определение и примери за ирационални числа

При изследването на десетичните дроби отделно разгледахме безкрайни непериодични десетични дроби. Такива дроби възникват при десетичното измерване на дължините на сегменти, които са несъизмерими с един сегмент. Ние също така отбелязахме, че безкрайните неповтарящи се десетични знаци не могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби(вижте превода на обикновени дроби в десетични и обратно), следователно тези числа не са рационални числа, те представляват така наречените ирационални числа.

Така стигнахме до себе си дефиниция на ирационални числа.

Определение.

Извикват се числа, които в десетичната система представляват безкрайни неповтарящи се десетични дроби ирационални числа.

Озвучената дефиниция позволява да донесе примери за ирационални числа. Например, безкрайната непериодична десетична дроб 4.10110011100011110000... (броят на единиците и нулите се увеличава с едно всеки път) е ирационално число. Нека дадем друг пример за ирационално число: −22,353335333335 ... (броят на тройките, разделящи осмици, се увеличава с две всеки път).

Трябва да се отбележи, че ирационалните числа са доста редки под формата на безкрайни непериодични десетични дроби. Обикновено те се намират във формата и т.н., както и под формата на специално въведени букви. Най-известните примери за ирационални числа в такава нотация са аритметиката Корен квадратенот две, числото “pi” π=3,141592…, числото e=2,718281… и златно число.

Ирационалните числа също могат да бъдат определени чрез реални числа, които съчетават рационални и ирационални числа.

Определение.

Ирационални числа- Това реални числа, които не са рационални.

Ирационално ли е това число?

Когато числото е дадено не като десетична дроб, а като определен корен, логаритъм и т.н., тогава в много случаи е доста трудно да се отговори на въпроса дали е ирационално.

Несъмнено при отговора на поставения въпрос е много полезно да се знае кои числа не са ирационални. От определението за ирационални числа следва, че рационалните числа не са ирационални числа. Следователно ирационалните числа НЕ са:

крайни и безкрайни периодични десетични дроби.

Също така, всяка композиция от рационални числа, свързани със знаци, не е ирационално число. аритметични операции(+, −, ·, :). Това е така, защото сборът, разликата, произведението и частното на две рационални числа е рационално число. Например, стойностите на изразите и са рационални числа. Тук отбелязваме, че ако в такива изрази сред рационалните числа има едно единствено ирационално число, тогава стойността на целия израз ще бъде ирационално число. Например в израза числото е ирационално, а останалите числа са рационални, следователно, ирационалното число. Ако това беше рационално число, тогава рационалността на числото би следвала от това, но то не е рационално.

Ако изразът, на който е дадено число, съдържа няколко ирационални числа, коренни знаци, логаритми, тригонометрични функции, числа π , e и др., то се изисква да се докаже ирационалността или рационалността на дадено число във всеки конкретен случай. Въпреки това, има редица вече получени резултати, които могат да бъдат използвани. Нека изброим основните.

Доказано е, че k-ти корен от цяло число е рационално число само ако числото под корена е k-та степен на друго цяло число, в други случаи такъв корен определя ирационално число. Например числата и са ирационални, тъй като няма цяло число, чийто квадрат е 7, и няма цяло число, чието повишаване на пета степен дава числото 15. И числата и не са ирационални, тъй като и .

Що се отнася до логаритмите, понякога е възможно да се докаже тяхната ирационалност чрез противоречие. Например, нека докажем, че log 2 3 е ирационално число.

Да кажем, че log 2 3 е рационално число, а не ирационално, тоест може да бъде представено като обикновена дроб m/n. и ни позволяват да напишем следната верига от равенства: . Последното равенство е невъзможно, тъй като от лявата му страна нечетно число, и дори от дясната страна. Така стигнахме до противоречие, което означава, че нашето предположение се оказа погрешно и това доказва, че log 2 3 е ирационално число.

Забележете, че lna за всяко положително и неединично рационално а е ирационално число. Например и са ирационални числа.

Доказано е също, че числото e a за всяко ненулево рационално a е ирационално и че числото π z за всяко ненулево цяло число z е ирационално. Например числата са ирационални.

Ирационалните числа са също тригонометричните функции sin , cos , tg и ctg за всяка рационална и различна от нула стойност на аргумента. Например sin1 , tg(−4) , cos5,7 са ирационални числа.

Има и други доказани резултати, но ние ще се ограничим до вече изброените. Трябва също да се каже, че при доказване на горните резултати теорията, свързана с алгебрични числаи трансцендентни числа.

В заключение отбелязваме, че не бива да се правят прибързани заключения за ирационалността на дадените числа. Например, изглежда ясно, че ирационално число в ирационална степене ирационално число. Това обаче не винаги е така. Като потвърждение на изказания факт представяме степента. Известно е, че - ирационално число, а също така е доказано, че - ирационално число, но - рационално число. Можете също да дадете примери за ирационални числа, чиято сума, разликата, произведението и частното са рационални числа. Освен това рационалността или ирационалността на числата π+e , π−e , π e , π π , π e и много други все още не е доказана.

Библиография.

математика. 6 клас: учебник. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро изд., преп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидатстващи в техникумите): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

ирационално число- Това реално число, което не е рационално, тоест не може да бъде представено като дроб, където са цели числа, . Ирационално число може да бъде представено като безкраен неповтарящ се десетичен знак.

Множеството от ирационални числа обикновено се обозначава с главна латинска буква с удебелен шрифт без засенчване. Така: , т.е. набор от ирационални числа е разлика от множества от реални и рационални числа.

За съществуването на ирационални числа, по-точно отсечките, несъизмерими с отсечка с единична дължина, са били известни още на древните математици: те са знаели например несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на числото.

Имоти

Всяко реално число може да бъде записано като безкрайна десетична дроб, докато ирационалните числа и само те се записват като непериодични безкрайни десетични дроби.
Ирационалните числа определят разрезите на Дедекинд в множеството от рационални числа, които нямат най-голямо число в долния клас и нямат най-малко число в горния клас.
Всяко реално трансцендентно число е ирационално.
Всяко ирационално число е или алгебрично, или трансцендентно.
Множеството от ирационални числа е плътно навсякъде по реалната права: между всякакви две числа има ирационално число.
Редът на множеството от ирационални числа е изоморфен на реда на множеството от реални трансцендентни числа.
Множеството от ирационални числа е неизброимо, е множество от втора категория.

Примери

Ирационални числа
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Ирационални са:

Примери за доказване на ирационалност

Корен от 2

Да приемем обратното: то е рационално, тоест е представено като несводима дроб, където е цяло число и е естествено число. Нека квадратурираме предполагаемото равенство:

От това следва, че дори, следователно, дори и . Нека къде е цялото. Тогава

Двоичен логаритъм на числото 3

Но е ясно, странно е. Получаваме противоречие.

д

История

Съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да се изрази като а:б, където аи бизбрана като възможно най-малка.
Според питагоровата теорема: а² = 2 б².
Като а² дори, атрябва да е четно (тъй като квадратът на нечетно число би бил нечетен).
Дотолкова доколкото а:бнесводим бтрябва да е странно.
Като адори, обозначете а = 2г.
Тогава а² = 4 г² = 2 б².
б² = 2 г², следователно бтогава е четно бдори.
Доказано е обаче, че бстранно Противоречие.

Определение на ирационално число

Ирационалните числа са онези числа, които в десетична нотация са безкрайни непериодични десетични дроби.

Така например числата, получени чрез вземане на корен квадратен от естествени числа, са ирационални и не са квадрати от естествени числа. Но не всички ирационални числа се получават чрез извличане на квадратен корен, тъй като числото "pi", получено чрез разделяне, също е ирационално и е малко вероятно да го получите, когато се опитвате да извлечете квадратния корен от естествено число.

Свойства на ирационалните числа

За разлика от числата, записани в безкрайни десетични дроби, само ирационалните числа се записват в непериодични безкрайни десетични дроби.
Сборът от две неотрицателни ирационални числа може в крайна сметка да бъде рационално число.
Ирационалните числа определят секциите на Дедекинд в множеството от рационални числа, в чийто по-нисък клас няма най-голямо число, а в горния клас няма по-малко число.
Всяко реално трансцендентално число е ирационално.
Всички ирационални числа са или алгебрични, или трансцендентни.
Множеството от ирационални числа на линията са плътно опаковани и между всякакви две негови числа задължително има ирационално число.
Множеството от ирационални числа е безкрайно, неизброимо и е множество от 2-ра категория.
При извършване на която и да е аритметична операция върху рационални числа, с изключение на деление на 0, резултатът ще бъде рационално число.
Когато добавяте рационално число към ирационално число, резултатът винаги е ирационално число.
Когато добавяме ирационални числа, в резултат можем да получим рационално число.
Множеството от ирационални числа не е четно.

Числата не са ирационални

Понякога е доста трудно да се отговори на въпроса дали дадено число е ирационално, особено в случаите, когато числото е под формата на десетична дроб или във формата числов израз, корен или логаритъм.

Следователно няма да е излишно да знаем кои числа не са ирационални. Ако следваме определението за ирационални числа, тогава вече знаем, че рационалните числа не могат да бъдат ирационални.

Ирационалните числа не са:

Първо, всички естествени числа;
Второ, цели числа;
Трето, обикновени фракции;
Четвърто, различно смесени числа;
Пето, това са безкрайни периодични десетични дроби.

В допълнение към всичко по-горе, всяка комбинация от рационални числа, която се изпълнява от знаците на аритметичните операции, като +, -, , :, не може да бъде ирационално число, тъй като в този случай резултатът от две рационални числа също ще бъде рационално число.

Сега нека видим кои от числата са ирационални:

Знаете ли за съществуването на фен клуб, където феновете на този мистериозен математически феномен търсят все повече информация за Пи, опитвайки се да разгадаят неговата мистерия. Всеки човек, който знае наизуст определен брой числа Пи след десетичната запетая, може да стане член на този клуб;

Знаете ли, че в Германия, под закрилата на ЮНЕСКО, се намира дворецът Кастадел Монте, благодарение на чиито пропорции можете да изчислите Пи. На този номер е посветен цял дворец от крал Фридрих II.

Оказва се, че числото Пи се е опитало да се използва в строителството Вавилонската кула. Но за наше голямо съжаление това доведе до краха на проекта, тъй като по това време точното изчисляване на стойността на Pi не беше достатъчно проучено.

Певицата Кейт Буш в новия си диск записа песен, наречена "Pi", която прозвуча сто двадесет и четири номера от известния числови серии 3, 141…..