Что называется основанием пирамиды. Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды. Усеченная пирамида. Четыре основных линейных параметра

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.

Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р - вершина пирамиды.

ABCD - основание пирамиды.

РА - боковое ребро.

АВ - ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S полн = S бок + S осн

Пирамида называется правильной, если:

ее основание - правильный многоугольник;
отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,

АВСD - квадрат,

РО - высота пирамиды.

Доказать :

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство .

РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО - высота.

Доказать : . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S бок = 3S РАВ

Теорема доказана.

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,

АВСD - квадрат,

r = 3 м,

РО - высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти : S бок. См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение .

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).

Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.

РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ : 60 м 2 .

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.

Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R = м,

S бок = 18 м 2 .

Найти : . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение .

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:

Ответ : 4 м.

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

Список литературы

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.

Интернет портал «Якласс» ()
Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
Интернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнее задание

Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рис. 1

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р - вершина пирамиды.

ABCD - основание пирамиды.

РА - боковое ребро.

АВ - ребро основания.

Рис. 2

S полн = S бок + S осн

Пирамида называется правильной, если:

ее основание - правильный многоугольник;
отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Рис. 3

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,

АВСD - квадрат,

РО - высота пирамиды.

Доказать :

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство .

Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО - высота.

Доказать : . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

S бок = 3S РАВ

Теорема доказана.

Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,

АВСD - квадрат,

r = 3 м,

РО - высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти : S бок. См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение .

По доказанной теореме, .

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ : 60 м 2 .

Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R = м,

S бок = 18 м 2 .

Найти : . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение .

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:

Ответ : 4 м.

Список литературы

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.

Интернет портал «Якласс» ()
Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
Интернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнее задание

Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Когда мы встречаем слово «пирамида», то ассоциативная память уносит нас в Египет. Если говорить о ранних памятниках архитектуры, то можно утверждать, что количество их не менее нескольких сотен. Арабский писатель XIII века сказал: «Все на свете боится времени, а время боится пирамид». Пирамиды - это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени, до эпохи компьютерных технологий. Однако исследователям до сих пор не удалось найти ключи ко всем их загадкам. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Пирамиды представляют интерес для историков, физиков, биологов, медиков, философов и др. Они вызывают большой интерес и побуждает к более глубокому изучению их свойств как с математической, так и с других точек зрения (исторической, географической и др.).

Поэтому целью нашего исследования стало изучение свойств пирамиды с разных точек зрения. В качестве промежуточных целей мы определили: рассмотрение свойств пирамиды с точки зрения математики, изучение гипотез о существовании тайн и загадок пирамиды, а также возможностей её применения.

Объектом исследования в данной работе является пирамида.

Предмет исследования: особенности и свойства пирамиды.

Задачи исследования:

Изучить научно - популярную литературу по теме исследования.

Рассмотреть пирамиду как геометрическое тело.

Определить свойства и особенности пирамиды.

Найти материал, подтверждающий применение свойств пирамиды в различных областях науки и техники.

Методы исследования: анализ, синтез, аналогия, мысленное моделирование.

Предполагаемым результатом работы должна стать структурированная информация о пирамиде, её свойствах и возможностях применения.

Этапы подготовки проекта :

Определение темы проекта, целей и задач.

Изучение и собирание материала.

Составление плана проекта.

Формулировка ожидаемого результата деятельности над проектом, в том числе усвоение нового материала, формирование знаний, умений и навыков в предметной деятельности.

Оформление результатов исследования.

Рефлексия

Пирамида как геометрическое тело

Рассмотрим истоки слова и термина «пирамида ». Сразу стоит отметить, что «пирамида» или «pyramid» (английский), «piramide» (французский, испанский и славянские языки), “pyramide” (немецкий) - это западный термин, берущий свой исток в древней Греции. В древнегреческом πύραμίς («пирамис » и мн. ч. Πύραμίδες «пирамидес ») имеет несколько значений. Древние греки именовали «пирамис » пшеничный пирог, который напоминал форму египетских сооружений. Позже это слово стало означать «монументальную структуру с квадратной площадью в основании и с наклонными сторонам, встречающимися на вершине. Этимологический словарь указывает, что греческое «пирамис» происходит из египетского «pimar». Первое письменное толкование слова «пирамида» встречается в Европе в 1555 г. и означает: «один из видов древних сооружений королей». После открытия пирамид в Мексике и с развитием наук в 18 веке, пирамида стала не просто древним памятников архитектуры, но и правильной геометрической фигурой с четырьмя симметричными сторонами (1716 г.). Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит а доказал Евдокс Книдский.

Первое определение принадлежит древнегреческому математику, автору дошедших до нас теоретических трактатов по математике, Евклиду. В XII томе своих «Начал» он определяет пирамиду как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Но это определение подвергалось критике уже в древности. Так Герон предложил следующее определение пирамиды: «Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник».

Существует определение французского математика Адриена Мари Лежандра, который в 1794 году в своем труде «Элементы геометрии» пирамиду определяет так: «Пирамида - телесная фигура образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания».

Современные словари трактуют термин «пирамида» следующим образом:

	Многогранник, основание которого представляет многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину	Толковый словарь русского языка под ред. Д. Н. Ушакова
	Тело, ограниченное равными треугольниками, составленными вершинами в одну точку и образующими основаньями своими угольник	Толковый словарь В.И.Даля
	Многогранник, основание которого представляет собой многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной	Толковый словарь под ред. C. И. Ожегова и Н.Ю.Шведовой
	Многогранник, основание которого представляет многоугольник, а боковые грани - треугольники, имеющие общую вершину	Т. Ф. Ефремов. Новый толково-словообразовательный словарь русского языка.
	Многогранник, одна грань которого есть многоугольник, а другие грани - треугольники, имеющие общую вершину	Словарь иностранных слов
	Геометрическое тело, основанием которому служит многоугольник, а сторонами столько треугольников, сколько основание имеет сторон, сходящихся вершинами в одну точку.	Словарь иностранных слов русского языка
	Многогранник, одна грань которого есть какой либо плоский многоугольник, а все прочие грани суть треугольники, основания которых суть стороны основания П., а вершины сходятся в одной точке	Ф.А. Брокгауз, И.А. Ефрон. Энциклопедический словарь
	Многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину	Современный толковый словарь
	Многогранник, одной из граней которого служит многоугольник а остальные грани - треугольники с общей вершиной	Математический энциклопедический словарь

Анализируя определения пирамиды, можно заключить, что все источники имеют схожие формулировки:

Пирамида - многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину . По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

Многоугольник А 1 А 2 А 3 … Аn - основание пирамиды, а треугольники РА 1 А 2 , РА 2 А 3 , …, РАnА 1 - боковые грани пирамиды, Р - вершина пирамиды, отрезки РА 1 , РА 2 ,…, РАn - боковые ребра.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотойh пирамиды.

Помимо произвольной пирамиды, существуют правильная пирамида, в основании которой правильный многоугольник и усеченная пирамида.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней. Sполн = S бок + S осн, где S бок - сумма площадей боковых граней.

Объём пирамиды находится по формуле: V=1/3S осн.h, где S осн. - площадь основания, h - высота.

К свойствам пирамиды относятся:

Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности; боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы; кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности; высоты боковых граней имеют равную длину; площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Пирамида называется правильной , если в её основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Боковые грани правильной пирамиды - равные, равнобедренные треугольники (рис.2а). Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

Площадь боковой грани правильной пирамиды выражается так: Sбок. =1/2P h, где Р - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема правильной пирамиды). Если пирамида пересечена плоскостью A’B’C’D’, параллельной основанию, то боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; в сечении получается многоугольник A’B’C’D’, подобный основанию; площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Усечённая пирамида получается отсечением от пирамиды её верхней части плоскостью, параллельной основанию (рис.2б). Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники ABCD и A`B`C`D`, боковые грани - трапеции. Высота усеченной пирамиды - расстояние между основаниями. Объем усеченной пирамиды находится по формуле: V=1/3 h (S + + S’), где S и S’- площади оснований ABCD и A’B’C’D’, h - высота.

Основания правильной усеченной n-угольной пирамиды - правильные n-угольники. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды выражается так: Sбок. = ½(P+P’)h, где P и P’- периметры оснований, h - высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирамиды)

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину, представляют собой треугольники. Сечение, проходящее через два несоседних боковых ребра пирамиды, называется диагональным сечением. Если сечение проходит через точку на боковом ребре и сторону основания, то его следом на плоскость основания пирамиды будет эта сторона. Сечение, проходящее через точку, лежащую на грани пирамиды, и заданный след сечения на плоскость основания, то построение надо проводить так: находят точку пересечения плоскости данной грани и следа сечения пирамиды и обозначают её; строят прямую проходящую через заданную точку и полученную точку пересечения; повторяют эти действия и для следующих граней.

Прямоугольнаяпирамида - это пирамида, в которой одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию. В этом случае, это ребро и будет высотой пирамиды (рис.2в).

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания. Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр . (рис.2а)

Рассмотрим теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами.

Сфера

Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу; В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус

Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Очень часто в своих исследованиях учёные используют свойства пирамиды с пропорциями Золотого сечения . Как пользовались соотношениями золотого сечения при построении пирамид мы рассмотрим в следующем параграфе, а здесь же остановимся на определении золотого сечения.

В математическом энциклопедическом словаре даётся следующее определение Золотого сечения - это деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая его часть АС является средним пропорциональным между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ.

Алгебраическое нахождение Золотого сечения отрезка АВ = а сводится к решению уравнения а:х = х:(а-х), откуда х приблизительно равно 0,62а. Отношение х можно выразить дробями n/n+1= 0,618, где n - число Фибоначчи, имеющее номер n.

Золотое сечение часто применяется в произведениях искусства, архитектуры, встречается в природе. Яркими примерами являются скульптура Аполлона Бельведерского, Парфенон. При строительстве Парфенона использовалось отношение высоты здания к его длине и это отношение равно 0,618. Окружающие нас предметы также дают примеры Золотого сечения, например, переплеты многих книг тоже имеют отношение ширины и длины близкое к 0,618.

Таким образом, изучив научно - популярную литературу по проблеме исследования мы пришли к выводу, что пирамида - это многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. Мы рассмотрели элементы и свойства пирамиды, её виды и соотношение с пропорциями Золотого сечения.

2. Особенности пирамиды

Так в Большом энциклопедическом словаре написано, что пирамида - монументальное сооружение, имеющее геометрическую форму пирамиды (иногда ступенчатую или башнеобразную). Пирамидами называли гробницы древнеегипетских фараонов 3-го - 2-го тысячелетий до н. э., а так же постаменты храмов в Центральной и Южной Америке, связанные с космологическими культами. Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса. Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует вспомнить, какой системой мер пользовались египтяне. У египтян было три единицы длины: «локоть» (466 мм), равнявшийся семи «ладоням» (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем «пальцам» (16,6 мм).

Большинство исследователей сходятся в том, что длина стороны основания пирамиды, например, GF равна L = 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 «локтям». Полное соответствие 500 «локтям» будет, если длину «локтя» считать равной 0,4663 м. .

Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются все отношения ее геометрических элементов. В чем причина различий в оценке высоты пирамиды? Дело в том, что пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10x10 м, а столетие назад она была равна 6x6 м. Очевидно, что вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной. Оценивая высоту пирамиды, необходимо учитывать такой физический фактор, как осадка конструкции. За длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м 2 нижней поверхности) высота пирамиды уменьшилась по сравнению с первоначальной высотой. Первоначальную высоту пирамиды можно воссоздать, если найти основную геометрическую идею.

В 1837 г. Английский полковник Г. Вайз измерил угол наклона граней пирамиды: он оказался равным a = 51°51". Эта величина и сегодня признается большинством исследователей. Указанному значению угла отвечает тангенс (tg a), равный 1,27306. Эта величина соответствует отношению высоты пирамиды АС к половине ее основания CB, то есть AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

И вот здесь исследователей ожидал большой сюрприз! Дело в том, что если взять корень квадратный из золотой пропорции, то мы получим следующий результат = 1,272. Сравнивая эту величину с величиной tg a = 1,27306, мы видим, что эти величины очень близки между собой. Если же принять угол a = 51°50", то есть уменьшить его всего на одну угловую минуту, то величина a станет равной 1,272, то есть совпадет с величиной. Следует отметить, что в 1840 г. Г. Вайз повторил свои измерения и уточнил, что значение угла a =51°50".

Эти измерения привели исследователей к следующей интересной гипотезе: в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC / CB = = 1,272.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник ABC, в котором отношение катетов AC / CB = . Если теперь длины сторон прямоугольника ABC обозначить через x, y, z, а также учесть, что отношение y/x = , то в соответствии с теоремой Пифагора, длина z может быть вычислена по формуле:

Если принять x = 1, y = , то:

Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t::1, называется «золотым» прямоугольным треугольником.

Тогда, если принять за основу гипотезу о том, что основной «геометрической идеей» пирамиды Хеопса является «золотой» прямоугольный треугольник, то отсюда легко можно вычислить «проектную» высоту пирамиды Хеопса. Она равна:

H = (L/2)/= 148,28 м.

Выведем теперь некоторые другие отношения для пирамиды Хеопса, вытекающие из «золотой» гипотезы. В частности найдем отношение внешней площади пирамиды к площади ее основания. Для этого примем длину катета CB за единицу, то есть: CB = 1. Но тогда длина стороны основания пирамиды GF = 2, а площадь основания EFGH будет равна S EFGH = 4.

Вычислим теперь площадь боковой грани пирамиды Хеопса S D . Поскольку высота AB треугольника AEF равна t, то площадь боковой грани будет равна S D = t. Тогда суммарная площадь всех четырех боковых граней пирамиды будет равна 4t, а отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции . Это и есть главная геометрическая тайна пирамиды Хеопса.

А также, при постройке египетских пирамид было установлено, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это подтверждается новейшими измерениями.

Мы знаем, что отношение между длиной окружности и её диаметром, есть постоянная величина, хорошо известная современным математикам, школьникам - это число «Пи» = 3,1416… Но если сложить четыре стороны основания пирамиды Хеопса, мы получим 931,22 м. Разделив это число на удвоенную высоту пирамиды (2x148,208), мы получим 3,1416…, то есть число «Пи». Следовательно, пирамида Хеопса - единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи», играющего важную роль в математике.

Таким образом, наличие в размерах пирамиды золотого сечения - отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте - есть число, очень близкое по значению к числу π. Это, несомненно, тоже особенность. Хотя многие авторы считают, что это совпадение является случайным, поскольку дробь 14/ 11 является «хорошим приближением и для квадратного корня из отношения золотого сечения, и для отношения площадей квадрата и вписанного в него круга» .

Однако говорить здесь только о египетских пирамидах неправильно. Существуют не только египетские пирамиды, на Земле существует целая сеть пирамид. Основные монументы (египетские и мексиканские пирамиды, остров Пасхи и комплекс Стоунхендж в Англии) на первый взгляд бессистемно раскиданы по нашей планете. Но если в исследование включить тибетский комплекс пирамид, то появляется строгая математическая система их расположения на поверхности Земли. На фоне Гималайского хребта четко выделяется пирамидальное образование - гора Кайлас. Расположение г. Кайлас, египетских и мексиканских пирамид очень интересное, а именно - если соединить г. Кайлас с мексиканскими пирамидами, то соединяющая их линия выходит на остров Пасхи. Если соединить г. Кайлас с египетскими пирамидами, то линия их соединения опять выходит на остров Пасхи. Очертилась ровно одна четвертая земного шара. Если соединить мексиканские пирамиды и египетские, то мы увидим два равных треугольника. Если найти их площади, то их сумма равна одной четвертой площади земного шара.

Выявлена бесспорная связь между комплексом тибетских пирамид с другими сооружениями древности - египетскими и мексиканскими пирамидами, колоссами острова Пасхи и комплексом Стоунхендж в Англии. Высота главной пирамиды Тибета - горы Кайлас - составляет 6714 метров. Расстояние от Кайласа до Северного полюса равно 6714 километрам, расстояние от Кайласа до Стоунхенджа - 6714 километров . Если отложить на глобусе от Северного полюса эти 6714 километров, то мы попадем на так называемую Башню Дьявола, имеющую вид усеченной пирамиды. И, наконец, ровно 6714 километров от Стоунхенджа до Бермудскоготреугольника.

В результате этих исследований можно сделать вывод, что на Земле существует пирамидально-географическая система.

Таким образом, к особенностям можно отнести отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции; наличие в размерах пирамиды золотого сечения - отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте - есть число, очень близкое по значению к числу π, т.е. пирамида Хеопса - единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи»; существование пирамидально-географической системы.

3. Другие свойства и применение пирамиды.

Рассмотрим практичное применение данной геометрической фигуры. Например, голограмма. Для начала рассмотрим, что такое голография. Гологра́фия — набор технологий для точной записи, воспроизведения и переформирования волновых полей оптического электромагнитного излучения, особый фотографический метод, при котором с помощью лазера регистрируются, а затем восстанавливаются изображения трехмерных объектов, в высшей степени похожие на реальные. Голограмма — продукт голографии, объемное изображение, создаваемое с помощью лазера, воспроизводящего изображение трехмерного объекта. С помощью правильной усеченной четырехгранной пирамиды можно воссоздать изображение - голограмму. Создается фото файл и правильная усеченная четырехгранная пирамида из полупрозрачного материла. От крайнего снизу пикселя и среднего относительно оси ординат делается небольшой отступ. Данная точка будет являться серединой стороны квадрата, образованного сечением. Фотография множиться, и ее копии располагаются так же относительно трех других сторон. На квадрат ставиться пирамида сечением вниз так, чтобы оно совпало с квадратом. Монитор генерирует световую волну, каждая из четырех одинаковых фотографий, находясь в плоскости, являющейся проекцией грани пирамиды, попадает на саму грань. В итоге на каждой из четырех граней мы имеем одинаковые изображения, а так как материал, из которого изготовлена пирамида, имеет свойство прозрачности, то волны как бы преломляются, встречаясь в центре. В итоге мы получаем ту же интерференционную картину стоячей волны, центральной осью, или же осью вращения которой служит высота правильной усеченной пирамиды. Такой способ работает и с видеоизображением, так как принцип действия остается неизменным.

Рассматривая частные случаи, можно заметить, что пирамида широко используется в повседневной жизни, даже в домашнем хозяйстве. Пирамидальная форма встречается часто, прежде всего, в природе: растения, кристаллы, молекула метана имеет форму правильной треугольной пирамиды - тетраэдра, элементарная ячейка кристалла алмаза тоже представляет собой тетраэдр, в центре и четырех вершинах которого расположены атомы углерода. Пирамиды встречаются в домашних условиях, детских игрушках. Кнопки, клавиатуры компьютера часто являются подобиями четырехугольной усеченной пирамиды. Их можно увидеть в виде элементов зданий или самих архитектурных построек, как светопрозрачные конструкции крыш.

Рассмотрим ещё некоторые примеры использования термина «пирамида»

Экологические пирамиды — это графические модели (как правило, в виде треугольников), отражающие число особей (пирамида чисел), количество их биомассы (пирамида биомасс) или заключенной в них энергии (пирамида энергии) на каждом трофическом уровне и указывающие на понижение всех показателей с повышением трофического уровня

Информационная пирамида. Она отражает иерархию различных видов информации. Предоставление информации строится по следующей пирамидальной схеме: в вершине - основные показатели, по которым можно однозначно отследить темпы движения предприятия к выбранной цели. Если что-то не так, то можно перейти к среднему уровню пирамиды - обобщенным данным. Они проясняют картину по каждому показателю в отдельности или во взаимосвязи друг с другом. По этим данным можно определить возможное место сбоя или проблемы. За более полной информацией нужно обратиться к основанию пирамиды - детальное описание состояния всех процессов в числовом виде. Эти данные помогают выявить причину проблемы, с тем, чтобы ее можно было устранить и избежать ее повторения в дальнейшем.

Таксономия Блума. Таксономия Блума предлагает классификацию задач в виде пирамиды, устанавливаемых педагогами ученикам, и, соответственно, целей обучения. Она делит образовательные цели на три сферы: когнитивную, аффективную и психомоторную. Внутри каждой отдельной сферы для перехода на более высокий уровень необходим опыт предыдущих уровней, различаемых в данной сфере.

Финансовая пирамида - специфическое явление экономического развития. Название «пирамида» наглядно иллюстрирует ситуацию, когда люди «внизу» пирамиды отдают деньги малочисленной верхушке. При этом каждый новый участник платит, чтобы увеличить возможность своего продвижения наверх пирамиды

Пирамида потребностей Маслоу отражает одну из самых популярных и известных теорий мотивации — теорию иерархии потребностей . Потребности Маслоу распределил по мере возрастания, объяснив такое построение тем, что человек не может испытывать потребности высокого уровня, пока нуждается в более примитивных вещах. По мере удовлетворения низлежащих потребностей, все более актуальными становятся потребности более высокого уровня, но это вовсе не означает, что место предыдущей потребности занимает новая, только когда прежняя удовлетворена полностью.

Ещё один пример применения термина «пирамида» - это пирамида питания - схематическое изображение принципов здорового питания, разработанных диетологами. Продукты, составляющие основание пирамиды, должны употребляться в пищу как можно чаще, в то время, как находящиеся на вершине пирамиды продукты следует избегать или употреблять в ограниченных количествах.

Таким образом, всё вышесказанное показывает разнообразие использования пирамиды в нашей жизни. Возможно, пирамида имеет гораздо более высокую цель, и предназначена для чего-то большего, чем те практические способы её использования, которые сейчас открыты.

Заключение

С пирамидами мы постоянно встречаемся в нашей жизни - это древние Египетские пирамиды и игрушки, которыми играют дети; объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп. За многие тысячелетия своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.

В ходе исследования, мы определили, что пирамиды - довольно распространенное явление на всем земном шаре.

Мы изучили научно - популярную литературу по теме исследования, рассмотрели различные трактовки термина «пирамида», определили, что в геометрическом понимании пирамида - это многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. Изучили виды пирамид (правильная, усеченная, прямоугольная), элементы (апофема, боковые грани, боковые ребра, вершина, высота, основание, диагональное сечение) и свойства геометрических пирамид при равенстве боковых ребер и при наклоне боковых граней к плоскости основания под одним углом. Рассмотрели теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами (сфера, конус цилиндр).

К особенностям пирамиды мы отнесли:

отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции;

наличие в размерах пирамиды золотого сечения - отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте - есть число, очень близкое по значению к числу π, т.е. пирамида Хеопса - единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи»;

существование пирамидально-географической системы.

Мы изучили современное применение данной геометрической фигуры. Рассмотрели, каким образом связаны пирамида и голограмма, обратили внимание на то, что пирамидальная форма встречается чаще всего в природе (растения, кристаллы, молекулы метана, строение решетки алмаза и т.д.). На протяжении исследования мы встречались с материалом, подтверждающим применение свойств пирамиды в различных областях науки и техники, в бытовой жизни людей, при анализе информации, в экономике и ещё во многих направлениях. И пришли к выводу, что возможно, пирамиды имеют гораздо более высокую цель, и предназначены для чего-то большего, чем те практические способы их использования, которые сейчас открыты.

Список литературы.

Ван дер Варден, Бартель Леендерт. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. [Текст]/ Б. Л. Ван дер Варден — КомКнига, 2007 г.

Волошинов А. В. Математика и искусство. [Текст]/ А. В. Волошинов - Москва: «Просвещение» 2000г.

Всемирная история (энциклопедия для детей). [Текст]/ - М.: “Аванта+”, 1993.

Галограмма. [Электронный ресурс] - https://hi-news.ru/tag/gologramma - статья в интернете

Геометрия [Текст]: Учеб. 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений Атанасян Л.С., В. Ф.Бутузов и др. - 22-е издание. - М.: Просвещение, 2013 г.

Коппенс Ф. Новая эра пирамид. [Текст]/ Ф. Коппенс - Смоленск: Русич, 2010 г.

Математический энциклопедический словарь. [Текст]/ А. М. Прохоров и др. - М.: Советская энциклопедия, 1988.

Мулдашев Э. Р. Мировая система пирамид и монументов древности спасла нас от конца света, но …[Текст]/ Э. Р. Мулдашев - М.: «АиФ-Принт»; М.: «ОЛМА-ПРЕСС»; СПб.: Издательский Дом «Нева»; 2003.

Перельман Я. И. Занимательная арифметика. [Текст]/ Я. И. Перельман- М.: Центрполиграф, 2017 г

Райхард Г. Пирамиды. [Текст]/ Ганс Райхард - М.: Слово, 1978 г.

Терра-Лексикон. Иллюстрированный энциклопедический словарь. [Текст]/ - М.: ТЕРРА, 1998.

Томпкинс П. Тайны великой пирамиды Хеопса. [Текст]/ Питер Томпкинс. - М.:«Центрополиграф»,2008 г.

Уваров В. Волшебные свойства пирамид. [Текст]/ В. Уваров -Лениздат,2006.

Шарыгин И.Ф.. Геометрия 10-11 класс. [Текст]/ И.Ф. Шарыгин:. - М: «Просвещение», 2000 г.

Яковенко М. Ключ к пониманию пирамиды.[Электронный ресурс] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html- статья в интернете

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая - тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Определение

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

На рисунке обозначены:
ABC - Основание пирамиды
OS - Высота
KS - Апофема
OK - радиус окружности, вписанной в основание
AO - радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO - двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно . В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды :

боковые ребра правильной пирамиды равны
все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3 (пи делить на 3 или 60 градусов).
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

V - объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h - высота пирамиды
a - длина стороны основания пирамиды
R - радиус описанной окружности
r - радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной - см. формулы для правильной пирамиды .

Примеры решения задач:

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр .

Тетраэдр - это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

У тетраэдра:

Все грани равны
4 грани, 4 вершины и 6 ребер
Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра - это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра - это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра - это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами :

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке
Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины
Эта точка делит бимедианы пополам

Видеоурок 2: Задача на пирамиду. Объем пирамиды

Видеоурок 3: Задача на пирамиду. Правильная пирамида

Лекция: Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

Пирамида, её свойства

Пирамида – это объемное тело, которое имеет в основании многоугольник, а все её грани состоят из треугольников.

Частным случаем пирамиды является конус, в основании которого лежит окружность.

Рассмотрим основные элементы пирамиды:

Апофема – это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с серединой нижнего ребра боковой грани. Иными словами, это высота грани пирамиды.

На рисунке можно увидеть треугольники ADS, ABS, BCS, CDS. Если внимательно посмотреть на названия, можно увидеть, что каждый треугольник имеет в своем названии одну общую букву – S. То есть это значит, что все боковые грани (треугольники) сходятся в одной точке, которая называется вершиной пирамиды.

Отрезок ОS, который соединяет вершину с точкой пересечения диагоналей основания (в случае с треугольников – в точке пересечения высот), называется высотой пирамиды .

Диагональным сечением называют плоскость, которая проходит через вершину пирамиды, а также одну из диагоналей основания.

Так как боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, то для нахождения общей площади боковой поверхности необходимо найти площади каждой грани и сложить их. Количество и форма граней зависит от формы и размеров сторон многоугольника, который лежит в основании.

Единственная плоскость в пирамиде, которой не принадлежит её вершина, называется основанием пирамиды.

На рисунке мы видим, что в основании лежит параллелограмм, однако, может быть любой произвольный многоугольник.

Свойства:

Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:

Вокруг основания такой пирамиды можно описать окружность. Если спроецировать вершину такой пирамиды, то её проекция будет находится в центре окружности.
Углы при основании пирамиды у каждой грани одинаковы.
При этом достаточным условием к тому, что вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а так же считать, что все ребра разной длины, можно считать одинаковые углы между основанием и каждым ребром граней.

Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:

Вы сможете описать окружность вокруг основания пирамиды, вершина которой проецируется точно в центр.
Если провести у каждой боковой грани высоты к основанию, то они будут равной длины.
Чтобы найти площадь боковой поверхности такой пирамиды, достаточно найти периметр основания и умножить его на половину длины высоты.
S бп = 0,5P oc H.
Виды пирамиды.
В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, они могут быть треугольными, четырехугольными и др. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), то такая пирамида будет называться правильной.

Правильная треугольная пирамида