Одни из самых простых пространственных фигур - это многогранней углы.
Двугранный угол - это фигура, образованная двумя полуплоскости, имеющих общую прямую, их ограничивает. Полуплоскости называются гранями угла, а общая прямая - ребром угла. Степени двугранного угла есть мера соответствующего ему линейного угла.
Линейный угол двугранного угла - это угол, образованный двумя полупрямой, по которым плоскость, перпендикулярна к ребру двугранного угла, пересекает данный двугранный угол. Мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.
Трехгранный угол - это фигура, состоящая из трех плоских углов.
Гранями трехгранного угла являются плоские углы, ребрами являются стороны плоских углов, вершиной трехгранного угла есть общая вершина плоских углов.
Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.
Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Многогранник есть тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Гранью многогранника является поверхность каждого плоского многоугольника.
Ребрами многогранника являются стороны граней, вершинами многогранника есть вершины граней.
Двугранный угол при ребре многогранника определяется его гранями, в которых лежит данное ребро.
Выпуклым многогранником называется, лежащий по одну сторону от плоскости каждого из плоских многоугольников на его поверхности.
Каждая грань выпуклого многогранника - это выпуклый многоугольник. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его и в сечении образует выпуклый многоугольник.
Это интересно. Одна из частей геометрии образовала отдельную науку, которая называется топологией. Она изучает топологические свойства фигур, то есть такие, которые хранятся при непрерывных деформациях фигур «без разрывов и склеек».
Теорема Эйлера, великого математика, физика и астронома, формулирует топологическую свойство многогранников: для любого выпуклого многогранника сумма количества его вершин и количества граней без учета количества его ребер равно числу 2.
Понятие двугранного угла
Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии.
Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях -- по разные стороны от прямой $a$ (рис. 1).
Рисунок 1.
На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла.
Определение 1
Фигура называется двугранным углом , если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости.
При этом полуплоскости двугранного угла называются гранями , а прямая, разделяющая полуплоскости -- ребром двугранного угла (рис. 1).
Рисунок 2. Двугранный угол
Градусная мера двугранного угла
Определение 2
Выберем на ребре произвольную точку $A$. Угол между двумя прямыми, лежащими в разных полуплоскостях, перпендикулярных ребру и пересекающихся в точке $A$ называется линейным углом двугранного угла (рис. 3).
Рисунок 3.
Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов.
Теорема 1
Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой.
Доказательство.
Рассмотрим два линейных угла $AOB$ и $A_1{OB}_1$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Так как лучи $OA$ и ${OA}_1$ лежат в одной полуплоскости $\alpha $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Так как лучи $OB$ и ${OB}_1$ лежат в одной полуплоскости $\beta $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Следовательно
\[\angle AOB=\angle A_1{OB}_1\]
В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.
Теорема доказана.
Определение 3
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла.
Примеры задач
Пример 1
Пусть нам даны две неперпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $ которые пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta $. $AB$ -- перпендикуляр к прямой $m$. $AC$ перпендикуляр к плоскости $\alpha $ (точка $C$ принадлежит $\alpha $). Доказать, что угол $ABC$ является линейным углом двугранного угла.
Доказательство.
Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).
Рисунок 5.
Для доказательства вспомним следующую теорему
Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции.
Так как $AC$ - перпендикуляр к плоскости $\alpha $, то точка $C$ - проекция точки $A$ на плоскость $\alpha $. Следовательно, $BC$ -- проекция наклонной $AB$. По теореме 2, $BC$ перпендикулярна ребру двугранного угла.
Тогда, угол $ABC$ удовлетворяет всем требованиям определения линейного угла двугранного угла.
Пример 2
Двугранный угол равен $30^\circ$. На одной из граней лежит точка $A$, которая удалена от другой грани на расстояние $4$ см. Найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла.
Решение.
Будем рассматривать рисунок 5.
По условию, имеем $AC=4\ см$.
По определению градусной меры двугранного угла, имеем, что угол $ABC$ равен $30^\circ$.
Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником. По определению синуса острого угла
\[\frac{AC}{AB}=sin{30}^0\] \[\frac{5}{AB}=\frac{1}{2}\] \
\(\blacktriangleright\) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой \(a\) , которая является их общей границей.
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) , нужно найти линейный угол (причем острый или прямой ) двугранного угла, образованного плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) :
Шаг 1: пусть \(\xi\cap\pi=a\) (линия пересечения плоскостей). В плоскости \(\xi\) отметим произвольную точку \(F\) и проведем \(FA\perp a\) ;
Шаг 2: проведем \(FG\perp \pi\) ;
Шаг 3: по ТТП (\(FG\) – перпендикуляр, \(FA\) –наклонная, \(AG\) – проекция) имеем: \(AG\perp a\) ;
Шаг 4: угол \(\angle FAG\) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) .
Заметим, что треугольник \(AG\)
– прямоугольный.
Заметим также, что плоскость \(AFG\)
, построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям \(\xi\)
и \(\pi\)
. Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями
\(\xi\)
и \(\pi\)
- это угол между двумя пересекающимися прямыми \(c\in \xi\)
и \(b\in\pi\)
, образующими плоскость, перпендикулярную и \(\xi\)
, и \(\pi\)
.
Задание 1 #2875
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите \(6\cos \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между ее смежными боковыми гранями.
Пусть \(SABCD\) – данная пирамида (\(S\) – вершина), ребра которой равны \(a\) . Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями \(SAD\) и \(SCD\) .
Проведем \(CH\perp SD\)
. Так как \(\triangle SAD=\triangle SCD\)
, то \(AH\)
также будет высотой в \(\triangle SAD\)
. Следовательно, по определению \(\angle AHC=\alpha\)
– линейный угол двугранного угла между гранями \(SAD\)
и \(SCD\)
.
Так как в основании лежит квадрат, то \(AC=a\sqrt2\)
. Заметим также, что \(CH=AH\)
– высота равностороннего треугольника со стороной \(a\)
, следовательно, \(CH=AH=\frac{\sqrt3}2a\)
.
Тогда по теореме косинусов из \(\triangle AHC\)
: \[\cos \alpha=\dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CH\cdot AH}=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad
6\cos\alpha=-2.\]
Ответ: -2
Задание 2 #2876
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости \(\pi_1\) и \(\pi_2\) пересекаются под углом, косинус которого равен \(0,2\) . Плоскости \(\pi_2\) и \(\pi_3\) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей \(\pi_1\) и \(\pi_2\) параллельна линии пересечения плоскостей \(\pi_2\) и \(\pi_3\) . Найдите синус угла между плоскостями \(\pi_1\) и \(\pi_3\) .
Пусть линия пересечения \(\pi_1\) и \(\pi_2\) – прямая \(a\) , линия пересечения \(\pi_2\) и \(\pi_3\) – прямая \(b\) , а линия пересечения \(\pi_3\) и \(\pi_1\) – прямая \(c\) . Так как \(a\parallel b\) , то \(c\parallel a\parallel b\) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” \(\rightarrow\) “Введение в стереометрию, параллельность”).
Отметим точки \(A\in a, B\in b\)
так, чтобы \(AB\perp a, AB\perp b\)
(это возможно, так как \(a\parallel b\)
). Отметим \(C\in c\)
так, чтобы \(BC\perp c\)
, следовательно, \(BC\perp b\)
. Тогда \(AC\perp c\)
и \(AC\perp a\)
.
Действительно, так как \(AB\perp b, BC\perp b\)
, то \(b\)
перпендикулярна плоскости \(ABC\)
. Так как \(c\parallel a\parallel b\)
, то прямые \(a\)
и \(c\)
тоже перпендикулярны плоскости \(ABC\)
, а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой \(AC\)
.
Отсюда следует, что \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\) , \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\) , \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\) . Получается, что \(\triangle ABC\) прямоугольный, а значит \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]
Ответ: 0,2
Задание 3 #2877
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Даны прямые \(a, b, c\) , пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен \(60^\circ\) . Найдите \(\cos^{-1}\alpha\) , где \(\alpha\) – угол между плоскостью, образованной прямыми \(a\) и \(c\) , и плоскостью, образованной прямыми \(b\) и \(c\) . Ответ дайте в градусах.
Пусть прямые пересекаются в точке \(O\)
. Так как угол между любыми двумя их них равен \(60^\circ\)
, то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой \(a\)
точку \(A\)
и проведем \(AB\perp
b\)
и \(AC\perp c\)
. Тогда \(\triangle AOB=\triangle AOC\)
как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, \(OB=OC\)
и \(AB=AC\)
.
Проведем \(AH\perp (BOC)\)
. Тогда по теореме о трех перпендикулярах \(HC\perp c\)
, \(HB\perp b\)
. Так как \(AB=AC\)
, то \(\triangle
AHB=\triangle AHC\)
как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, \(HB=HC\)
. Значит, \(OH\)
– биссектриса угла \(BOC\)
(так как точка \(H\)
равноудалена от сторон угла).
Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми \(a\) и \(c\) , и плоскостью, образованной прямыми \(b\) и \(c\) . Это угол \(ACH\) .
Найдем этот угол. Так как точку \(A\) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что \(OA=2\) . Тогда в прямоугольном \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac{AC}{OA} \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=1.\] Так как \(OH\) – биссектриса, то \(\angle HOC=30^\circ\) , следовательно, в прямоугольном \(\triangle HOC\) : \[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{HC}{OC}\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1{\sqrt3}.\] Тогда из прямоугольного \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^{-1}\alpha=3.\]
Ответ: 3
Задание 4 #2910
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости \(\pi_1\) и \(\pi_2\) пересекаются по прямой \(l\) , на которой лежат точки \(M\) и \(N\) . Отрезки \(MA\) и \(MB\) перпендикулярны прямой \(l\) и лежат в плоскостях \(\pi_1\) и \(\pi_2\) соответственно, причем \(MN = 15\) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Найдите \(3\cos\alpha\) , где \(\alpha\) – угол между плоскостями \(\pi_1\) и \(\pi_2\) .
Треугольник \(AMN\) прямоугольный, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , откуда \ Треугольник \(BMN\) прямоугольный, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , откуда \ Запишем для треугольника \(AMB\) теорему косинусов: \ Тогда \ Так как угол \(\alpha\) между плоскостями – это острый угол, а \(\angle AMB\) получился тупым, то \(\cos\alpha=\dfrac5{12}\) . Тогда \
Ответ: 1,25
Задание 5 #2911
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\) , точка \(M\) – основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A_1\) на плоскость \((ABCD)\) , кроме того \(M\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\) . Известно, что \(A_1M = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\) . Найдите угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) . Ответ дайте в градусах.
Построим \(MN\) перпендикулярно \(AB\) как показано на рисунке.
Так как \(ABCD\)
– квадрат со стороной \(a\)
и \(MN\perp AB\)
и \(BC\perp AB\)
, то \(MN\parallel BC\)
. Так как \(M\)
– точка пересечения диагоналей квадрата, то \(M\)
– середина \(AC\)
, следовательно, \(MN\)
– средняя линия и \(MN =\frac12BC= \frac{1}{2}a\)
.
\(MN\)
– проекция \(A_1N\)
на плоскость \((ABCD)\)
, причем \(MN\)
перпендикулярен \(AB\)
, тогда по теореме о трех перпендикулярах \(A_1N\)
перпендикулярен \(AB\)
и угол между плоскостями \((ABCD)\)
и \((AA_1B_1B)\)
есть \(\angle A_1NM\)
.
\[\mathrm{tg}\, \angle A_1NM = \dfrac{A_1M}{NM} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a} = \sqrt{3}\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^{\circ}\]
Ответ: 60
Задание 6 #1854
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей; \(S\) – не лежит в плоскости квадрата, \(SO \perp ABC\) . Найдите угол между плоскостями \(ASD\) и \(ABC\) , если \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .
Прямоугольные треугольники \(\triangle SAO\) и \(\triangle SDO\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\) ; \(AO = DO\) , т.к. \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата, \(SO\) – общая сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) – равнобедренный. Точка \(K\) – середина \(AD\) , тогда \(SK\) – высота в треугольнике \(\triangle ASD\) , а \(OK\) – высота в треугольнике \(AOD\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOK\) перпендикулярна плоскостям \(ASD\) и \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
В \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac{1}{2}\cdot AB = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5 = SO\) \(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – равнобедренный прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .
Ответ: 45
Задание 7 #1855
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей; \(S\) – не лежит в плоскости квадрата, \(SO \perp ABC\) . Найдите угол между плоскостями \(ASD\) и \(BSC\) , если \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .
Прямоугольные треугольники \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) и \(\triangle SOC\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\) ; \(AO = OD = OB = OC\) , т.к. \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата, \(SO\) – общая сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) и \(\triangle BSC\) – равнобедренные. Точка \(K\) – середина \(AD\) , тогда \(SK\) – высота в треугольнике \(\triangle ASD\) , а \(OK\) – высота в треугольнике \(AOD\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOK\) перпендикулярна плоскости \(ASD\) . Точка \(L\) – середина \(BC\) , тогда \(SL\) – высота в треугольнике \(\triangle BSC\) , а \(OL\) – высота в треугольнике \(BOC\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOL\) (она же плоскость \(SOK\) ) перпендикулярна плоскости \(BSC\) . Таким образом получаем, что \(\angle KSL\) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\) \(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\) . Можно заметить, что \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\) \(\Rightarrow\) для треугольника \(\triangle KSL\) выполняется обратная теорема Пифагора \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\circ\) .
Ответ: 90
Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.
Основные нюансы
Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
Следующий шаг - нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» - залог вашего успеха
В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.
Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.
Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на , представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Учитель математики ГОУ СОШ №10 Еременко М.А.
Основные задачи урока: Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла Рассмотреть задачи на применение этих понятий
Определение: Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -линейный угол двугранного угла ACD В
Докажем, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1 . Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1 , поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены. Следовательно, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).
Примеры двугранных углов:
Определение: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Задача 1: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 2: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1 . Ответ: 45 o .
Задача 3: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 4: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 5: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D . Решение: Пусть О – середина В D. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 В D С 1 .
Задача 6: В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠ DMB – линейный угол двугранного угла BACD .
Решение: Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и, следовательно, ∠ DMB является линейным углом двугранного угла DACB .
Задача 7: Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α , проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1 . Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α , если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0 .
Решение: АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α
2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
Стереометрия
Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве
9.8. Двугранный угол и его линейный угол
Плоскость разделяется лежащей в ней прямой на две полуплоскости.
Определение 1
Фигура, образованная двумя полуплоскостями, выходящими из одной прямой, вместе с частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями, называется двугранным углом. Полуплоскости называются гранями, а их общая прямая - ребром двугранного угла.
Грани двугранного угла делят пространство на две области: внутреннюю область данного двугранного угла и его внешнюю область.
Определение 2
Два двугранных угла называются равными, если один из них можно совместить с другим так, что совместятся их внутренние области.
Определение 3
Угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными в его гранях из одной точки ребра, называется линейным углом двугранного угла.
1 . Угол (), получающийся при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его ребру, есть линейный угол данного двугранного угла.
2 . Величина линейного угла не зависит от положения его вершины на ребре, т. е. .
3 . Линейные углы равных двугранных углов равны (следует из определений 2 и 3).
Определение 4
Из двух двугранных углов тот называется большим (меньшим), который имеет больший (меньший) линейный угол. За единицы измерения двугранных углов принимают такие двугранные углы, линейные углы которых равны