Принадлежность прямой плоскости :
2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости.
Из этих двух признаков принадлежности прямой плоскости можно сделать следующие выводы:
1) если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости;
2) прямая принадлежит плоскости, если она с одним следом плоскости имеет общую точку, а другому следу параллельна.
Рассмотрим плоскость Q, общего положения, задана следами (рисунок 17). Прямая NM принадлежит этой плоскости, поскольку ее следы лежат на одноименных следах плоскостей.
На рисунке 18 показана плоскость, заданная пересекающимися прямыми t и n. Чтобы построить прямую, лежащую в этой плоскости, достаточно провести произвольно одну из проекций, например, горизонтальную c1, а затем спроецировать точки пересечения этой прямой с прямыми плоскости на фронтальную плоскость. Фронтальная проекция прямой c2 пройдет через полученные точки.
Рисунок 17 Рисунок 18
Согласно второму положению на рисунке 19 построена прямая h, принадлежащая плоскости Р, - она имеет точку N (N1, N2) общую с плоскостью Р и параллельна прямой, лежащей в плоскости - горизонтальному следу Р1.
Рисунок 19 Рисунок 20
Рассмотрим плоскости частного положения. Если прямая или фигура принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости (рисунок 20), то горизонтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с горизонтальным следом плоскости.
Если прямая или плоская фигура принадлежит фронтально-проецирующей плоскости, то фронтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с фронтальным следом плоскости.
Принадлежность точки плоскости:
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.
Пример: Дана плоскость Р (a || b). Известна горизонтальная проекция точки В, принадлежащей плоскости Р. Найти фронтальную проекцию точки В (рисунок 21).
На рисунках 22, 23, 24 показано фрагментарно решение этой задачи:
1) проведем через В1 (известную проекцию точки В) любую прямую,
лежащую в плоскости Р, - для этого прямая должна иметь с плоскостью две общие точки. Отметим их на чертеже - М1 и K1;
2) построим фронтальные проекции этих точек по принадлежности точек прямым, т. е. М2 на прямой а, K2 на прямой b. Проведем через фронтальные проекции точек фронтальную проекцию прямой;
Рисунок 21 Рисунок 22
Одной из задач, для решения которых применяются линии уровня, является задача на построение проекций точки, принадлежащей плоскости. Пусть имеется фронтальная проекция D 2 точки D принадлежащей плоскости, заданной следами k X l (рис. 111, а). Требуется найти горизонтальную проекцию D 1 точки D.
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей плоскости. Решаем задачу с помощью горизонтали h плоскости k X l. Через точку D 2 проводим фронтальную проекцию h 2 этой горизонтали, которая, как известно, должна быть параллельна оси х 12 (Рис. 111 б). Она пересечет фронтальную проекцию k 2 фронтального следа k к точке N 2 ; проведя вертикальную линию связи, найдем на оси проекций х 12 горизонтальную проекцию фронтального следа N горизонтали (см. рис. 108).
TBegin-->TEnd-->
Горизонтальная проекция h 1 горизонтали должна быть параллельна l 1 , Горизонтальную проекцию D 1 точки D найдем на горизонтальной проекции h 1 горизонтали в точке пересечения ее с вертикальной линией связи, проведенной через точку D 2 .
Эту задачу можно было бы решить также с помощью фронтали. В этом случае пришлось бы через точку D 2 провести фронтальную проекцию f 2 ||k 2 . Советуем учащимся выполнить построение самим. Результат должен быть одинаковым с первым построением.
Несколько изменим условия задачи. Пусть будет задана горизонтальная проекция Е 1 точки Е и плоскость ABC, определенная проекциями треугольника (рис, 112, а), В этой задаче нельзя воспользоваться горизонталью плоскости, поскольку отсутствует фронтальная проекция точки Е. Применяем фронталь f; через точку E 1 проводим горизонтальную проекцию (х фронтали, находим ее фронтальную проекцию l2 и на ней точку Е 1 .
Точку в плоскости можно построить не только с помощью горизонтали и фронтали, но и с помощью прямой общего положения. В некоторых случаях это даже удобнее.
TBegin-->
TEnd-->
Построение прямой общего положения, принадлежащей плоскости общего положения, принципиально не отличается от построения горизонталей и фронталей, принадлежащих плоскости. Построение основано на положении, известном из геометрии: прямая принадлежит плоскости, если она имеет две общие точки с этой плоскостью. Таким образом, если мы пересечем одну из проекций плоскости произвольной прямой и используем две точки пересечения этой прямой с линиями, принадлежащими плоскости, для построения второй проекции линии, то мы сможем решить задачу. Для примера решим предыдущую задачу с помощью прямой общего положения (рис. 112, б). Через точку Е 1 проводим прямую D 1 F 1 любого наклона; находим фронтальную проекцию D 2 F 2 линии DF, используя точки пересечения D 1 и F 1 . На пересечении фронтальной проекции D 2 F 2 с вертикальной линией связи находим фронтальную проекцию Е 1 точки Е.
программа передач на сегодня : Animal Planet, Bloomberg, 3 канал, CNN, Ajara TV, Classic Sport, Amazing Life, AB Moteurs Luxe HD, Jetix, Jetix Play, Mezzo, HD Кино, Discovery Channel, MCM, MGM, HD Life, Discovery Science.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )
Признак параллельности прямой и плоскости.
Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Выводы.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:
А) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Случаи взаимного расположения плоскостей:
Свойства параллельных плоскостей:
Задачи и тесты по теме "Тема 3. "Параллельность прямой и плоскости; параллельность плоскостей"."
- Параллельность плоскостей
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
- Параллельность прямых, прямой и плоскости - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
- Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых - Параллельные прямые 7 класс
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
- Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Перпендикулярность прямой и плоскости - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
Тема "Аксиомы стереометрии" играет важную роль в развитии пространственных представлений, поэтому старайтесь привлекать больше моделей (картон и спицы), рисунков.
В теме "Параллельность в пространстве" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.
Задачи на доказательство решаются во многих случаях по аналогии с доказательством теорем. Для решения задач на вычисление длин отрезков необходимо провести повторение курса планиметрии: равенства и подобия треугольников, определений, свойств и признаков прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
Положение плоскости в пространстве определяется:
- тремя точками, не лежащими на одной прямой;
- прямой и точкой, взятой вне прямой;
- двумя пересекающимися прямыми;
- двумя параллельными прямыми;
- плоской фигурой.
В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:
- проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
- проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
- проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
- проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
- плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
- следами плоскости;
- линией наибольшего ската плоскости.
Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей
Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.
Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ 1 , фронтальный – απ 2 и профильный – απ 3 , которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π 1 , фронтальной π 2 и профильной π 3 (Рисунок 3.2).
Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения
3.2. Плоскости частного положения
Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.
Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.
Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).
Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А , В , С ; линии АС , АВ , ВС ; плоскость треугольника АВС
Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).
Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).
Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций .
Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями .
Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).
Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).
Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).
Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения
3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5).
Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).
Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости
α = m // n
D ∈ n ⇒ D ∈ α
Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости
Упражнение
Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С .
 |
|
| а | б |
Рисунок 3.7 – Решение задачи
Решение :
- ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
- Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
- Согласно признаку пересекающихся прямых, построим горизонтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K по её известной фронтальной проекции: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
- Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD : на проекции диагонали B 1 D 1 строим К 1 .
- Через А 1 К 1 проводим проекцию диагонали А 1 С 1 .
- Точку С 1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А 1 К 1 .
3.4. Главные линии плоскости
В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).
Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.
Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π 1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).
Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π 2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).
Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π 3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).
Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником
Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником
Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником
Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами
Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами
Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами
3.5. Взаимное положение прямой и плоскости
Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.
3.5.1. Параллельность прямой плоскости
Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).
Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости
3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью
Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:
- Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
- Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
- Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN .
Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью
Упражнение
Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π 1 . (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.
Решение :
- Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ 1 (горизонтальный след плоскости);
- Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К 1 ∈А 1 В 1 и заданной плоскости σ ⇒ К 1 ∈σ 1 , следовательно, К 1 находится в точке пересечения проекций А 1 В 1 и σ 1 ;
- Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К 2 ∈А 2 В 2 .
Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения
Упражнение
Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).
Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.
 |
|
| а | б |
Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью
- Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
- Если α⊥π 1 , то на плоскость проекций π 1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ 1 или α 1), совпадающую с E 1 F 1 ;
- Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено );
- Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K .
Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б):
Через EF проведем вспомогательную плоскость α:
3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек
При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π 1 или π 2 .
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций .
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π 2 (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π 2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ , точка 4∈EF .
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π 2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π 2 .
Направление взгляда на π 2 показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π 2 , видно, что точка 4 1 располагается ближе к наблюдателю, чем 3 1 .
4 1 ∈E 1 F 1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π 2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K
Видимость на π 1
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π 1 – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π 1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π 1 .
Направление взгляда на π 1 показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π 1 , видно, что точка 2 2 располагается ближе к наблюдателю, чем 5 2 .
2 1 ∈А 2 В 2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π 1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.
3.7. Перпендикулярность прямой плоскости
Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.
 |
|
| а | б |
Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости
Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)
Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.
Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).
Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K .
- Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ=ΔАВС : A-1 ∈σ; A-1 //π 1 ; С-2 ∈σ; С-2 //π 2 .
- Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости: p 1 ⊥h 1 и p 2 ⊥f 2 , или p 1 ⊥απ 1 и p 2 ⊥απ 2
3.8. Взаимное положение двух плоскостей
3.8.1. Параллельность плоскостей
Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.
Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Упражнение
Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F ∉α (Рисунок 3.17).
Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.
Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной
Решение :
В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.
- Через точку F проводим прямую m , параллельную, например, АВ .
- Через точку F , или же через любую точку, принадлежащую m , проводим прямую n , параллельную, например, ВС , причём m∩ n=F .
- β = m ∩n и β//α по определению.
3.8.2. Пересечение плоскостей
Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.
Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.
Упражнение
Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.18). Построить линию пересечения плоскостей.
Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами
Порядок построения линии пересечения плоскостей :
- Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М 1 и М 2 , при этом М 1 =М , т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π 1).
- Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N 1 и N 2 , при этом N 2 = N , т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π 2).
- Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М 1 N 1 и М 2 N 2 .
М N – линия пересечения плоскостей.
Упражнение
Задана плоскость σ = ΔАВС , плоскость α – горизонтально- проецирующая (α⊥π 1) ⇒α 1 – горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.19).
Построить линию пересечения этих плоскостей.
Решение :
Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС , то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.
Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L , то есть K 1 и L 1 , на пересечении горизонтального следа (α 1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС : А 1 В 1 и A 1 C 1 . После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K 2 и L 2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС . Соединим одноимённые проекции: K 1 и L 1 ; K 2 и L 2 . Линия пересечения заданных плоскостей построена.
Алгоритм решения задачи :
KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL ).
Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения
Упражнение
Заданы плоскости α = m//n и плоскость β = ΔАВС (Рисунок 3.20).
Построить линию пересечения заданных плоскостей.
Решение :
- Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
- В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
- Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ:
— результатом пересечения плоскостей α, σ и τ являются прямые (4-5) и (6-7);
— результатом пересечения плоскостей β, σ и τ являются прямые (3-2) и (1-8).
- Прямые (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях α и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;
- Аналогично находим точку N , общую для плоскостей α и β.
- Соединив точки M и N , построим прямую пересечения плоскостей α и β.
Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)
Алгоритм решения задачи :
Упражнение
Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a //b . Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).
Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей
Решение :
Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π 2 , заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a ). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а . Следовательно (1-2)∩а =K .
Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β.
Следовательно, точка K , является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β.
Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π 2 (τ∈b ).
Соединив точки K и L , получим прямую пересечения плоскостей α и β.
3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости
Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.
Упражнение
Задана плоскость σ⊥π 2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)
Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.
Решение .
Проведём перпендикуляр CD к плоскости σ – C 2 D 2 ⊥σ 2 (на основании ).
Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости
По теореме о проецировании прямого угла C 1 D 1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩ DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ.
Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.
Упражнение
Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α.
Требуется построить плоскость β⊥α, проходящую через точку K .
Алгоритм решения (Рисунок 3.23):
- Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = ΔАВС ;
- Через точку K проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости : если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости: b 2 ⊥f 2 ; b 1 ⊥h 1 ;
- Задаём плоскость β любым способом, например, β = a∩ b , таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α⊥β.
Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС
3.9. Задачи для самостоятельного решения
1. Задана плоскость α = m //n (Рисунок 3.24). Известно, что K ∈α.
Постройте фронтальную проекцию точки К .
Рисунок 3.24
2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB , и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).
Рисунок 3.25
3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π 2 , если его диагональ MN //π 2 (Рисунок 3.26).
Рисунок 3.26
4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m , исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).
Рисунок 3.27
5. Задана плоскость α=a //b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.
Рисунок 3.28
6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D D плоскость β⊥α и β⊥π 1 .
7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE //α и DE //π 1 .
Точка принадлежит прямой, если её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой (рис. 21а).
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, лежащей в этой плоскости (рис.21б).
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости (рис.21в).
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке 22 изображена прямая t, параллельная прямой b, принадлежащей плоскости Σ: t // b Î Σ (aÇ b).
Рисунок 22
Через любую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости.
Это задача на определение общей точки прямой и плоскости. Её называют также точкой встречи. Рассмотрим пересечение прямой с плоскостью частного положения.
Плоскость Σ задана треугольником АВС и является горизонтально проецирующей плоскостью. Точка встречи прямой k с плоскостью Σ определяется по горизонтальной проекции. Фронтальная проекция точки К достраивается с помощью линии связи. Символическая запись будет выглядеть следующим образом: k Ç Σ (ABC) = K.
Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи фронтально-конкурирующих точек 1 и 2.
Рисунок 23
Пересечение прямой с плоскостью общего положения изображено на рисунке 24. В этом случае нужно заключить прямую в проецирующую плоскость.
t Î Σ ^ П 2 - прямая t принадлежит плоскости Σ, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Линия пересечения этой плоскости с данной - линия (1, 2). Затем находится точка пересечения этой линии с прямой t , которая и будет являться точкой встречи прямой и плоскости. Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи конкурирующих точек. Возьмем горизонтально конкурирующие точки 3 и 4. Так как точка 3, принадлежащая прямой, оказалась ниже чем точка 4, следовательно, прямая на горизонтальной плоскости справа от точки пересечения невидима. Затем берем фронтально конкурирующие точки 1 и 5. Точка 1, принадлежащая плоскости, лежит ближе, следовательно, прямая находится за плоскостью, и она на фронтальной проекции невидима от точки 1 до точки К.
Рисунок 24
К особым прямым, принадлежащим плоскости, относятся горизонталь, фронталь и профильная прямая. Построение этих прямых используется при решении многих задач по начертательной геометрии. Их изображение дано на рисунке 25. Причём на горизонтальной плоскости горизонталь имеет натуральную величину, на фронтальной плоскости - фронталь и на профильной плоскости - профильная прямая.
Рисунок 25
1. Сформулируйте условия принадлежности точки плоскости и прямой плоскости.
2. Как построить прямую параллельную заданной плоскости?
3. Вспомните этапы решения задачи на определение точки пересечения прямой и плоскости.
4. Какие точки называются конкурирующими?
5. Как провести в плоскости горизонталь и фронталь?
6. Какие еще особые прямые плоскости вы знаете?